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“É mais fácil estudar o movimento dos astros celestes do
que o movimento de um riacho que corre a nossos pés”
Galileu Galilei
Equações Fundamentais
IV.1 – Introdução
Os fenômenos de transporte fundamentam-se essencialmente nas propriedades
conservativas. Na transferência de massa é a massa, na transferência de calor é a energia
e na mecânica dos fluidos é a quantidade de movimento. Os referencias podem ser
Lagrangeanos ou Eulerianos. No referencial Lagrangeano, o observador desloca-se com
o elemento de fluido e no Eulerano o observador encontra-se em um referencial fixo. É
importante ressaltar que a massa, a energia e a quantidade de movimento são
propriedades conservativas com relação ao referencial Lagrangeano.
Desta forma, na solução de problemas de escoamento de fluidos, a propriedade
conservativa que gera as equações diferenciais parciais é a quantidade de movimento e a
taxa de quantidade de movimento é a força. Nestas equações, é necessário definir as
equações constitutivas que representam o fluxo de quantidade de movimento devido ao
atrito entre as moléculas do fluido, sendo que as equações constitutivas dependem de
cada fluido estudado, caracterizando-se como uma propriedade material. Estas equações
são expressas em função do vetor velocidade.
Desta forma, os balanços de quantidade de movimento geram uma equação
vetorial, composta evidentemente por três componentes. As incógnitas são as três
componentes do vetor velocidade e a pressão. Neste caso, faz-se necessária uma quarta
equação para que o problema de escoamento tenha solução. A quarta equação é a
equação de conservação de massa, conhecida como equação da continuidade. Na
solução dos problemas de escoamento, a relação entre a densidade e a pressão é dada
por uma equação de estado. Evidentemente, a forma da equação do movimento depende
do sistema de coordenadas adotado. Geralmente, coordenadas retangulares, cilíndricas
ou esféricas. As mudanças de coordenadas podem ser efetuadas pelo operador
Jacobiano da Transformação.
Como foi dito acima, para descrevermos convenientemente um escoamento,
precisamos de expressões que relacionam as variáveis independentes com grandezas
que conseguimos medir fisicamente. As equações das grandezas conservativas são
baseadas nos balanços de massa, energia e quantidade de movimento. Estes balanços
serão efetuadas a partir do referencial Euleriano como expresso abaixo.
grandeza da
acúmulo de Taxa
grandeza da
geração de Taxa
grandeza da
saída de Taxa
grandeza da
entrada de Taxa
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Portanto, cada um dos balanços das grandezas citadas acima corresponde a uma lei
fundamental da física, e são válidas em todos os casos, exceto envolvendo a física
relativista. Logo concluímos que a maioria, senão todos, os problemas de mecânica dos
fluidos podem ser resolvidos usando os princípios da mecânica clássica.
IV.2 – Equação da Continuidade, conservação da massa
A equação da continuidade representa a lei de conservação de massa num sistema
considerando que não ocorrem reações nos problemas de escoamento de fluidos, assim
o termo de geração é nulo. Assim teremos:
massa de
acúmulo de Taxa
saí que
massa de Taxa
entra que
massa de Taxa
IV.2.1 – Forma Integral da Equação da Continuidade
dSnSd é o ângulo formado entre o vetor velocidade, v, e o vetor
normal, n, ao elemento de superfície dS.
A taxa de massa que atravessa dS na superfície de controle na direção v é dado
por:
Sdvdm , onde o termo v é o vetor fluxo de massa. Logo,
dSnvdm
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Integrando em toda a superfície de controle teremos a taxa líquida:
S
dSnv
controle
de volumeno
líquida Taxa
Quando
)cos(n v nv onde,
massa de saída , 0 nv
massa de entrada , 0 nv
A taxa de acúmulo de massa é dada por dVt
. Integrando em todo o volume de
controle,
dVt
controle
de volumeno
acúmulo de líquida Taxa
VC
0dSnvdVt
SVC
A equação acima é a equação de conservação de massa, equação da continuidade,
na forma integral aplicada a um V.C. fixo. O primeiro termo representa o acúmulo de
massa no VC e o segundo termo representa a variação líquida de massa que atravessa a
SC.
A forma diferencial da equação da continuidade pode ser obtida aplicando o
teorema de Gauss na equação da forma integral.
O enunciado do teorema da divergência de Gauss é diz o seguinte:
dV)B(dSnBVCSC
,
No nosso caso, tem-se que vB , vetor fluxo de massa.
Aplicando o teorema de Gauss no termo de integral de superfície da forma
integral, tem-se que:
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0dV)v(dVt
VCVC
0dV)vt
(VC
Para que a integral seja nula, o integrando deve ser zero, gerando a equação da
continuidade na forma diferencial.
0vt
Na tabela a seguir são apresentadas algumas das formas particulares da equação da
continuidade.
Tipo de
Escoamento
Forma integral Forma diferencial
Transiente e
Compressível 0dSvdVt
SVC
0vt
Transiente e
Incompressível 0dSvS
ou
N
1i
ii 0Sv
0v
Permanente e
Compressível 0dSvS
ou
N
1i
ii 0Sv
0v
Permanente
Incompressível 0dSvS
ou
N
1i
ii 0Sv
0v
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IV.3 – Equação do Movimento, conservação de quantidade de
movimento.
A equação do movimento representa um balanço de forças que atuam num dado
volume de fluido e que esse balanço de forças é baseado na segunda lei de Newton,
amF .
A quantidade de movimento é definida por vmQM , onde m é a massa e v a
velocidade. A taxa de variação da QM é a força, )vm(dt
d
dt
dQMF . Como a massa
se conserva, amvdt
dmF .
Através das fronteiras do volume de controle o fluxo de QM pode ser devido ao
movimento do fluido, vv ou por transporte molecular, representada pelo tensor
tensão,
.
O fluxo convectivo tem 9 componentes sendo representado por,
zzyzyz
zyyyxy
zxyxxx
ji
vv vv vv
vv vv vv
vv vv vv
vv
,
lembrando que ).t,z,y,x(
O tensor tensão também tem 9 componentes;
zzzyzx
yzyyyx
xzxy xx
ij
,
onde i é a direção da normal ao plano de atuação da tensão e j é a direção da própria
tensão.
Portanto, τij representa o fluxo de quantidade de movimento na direção j
perpendicular à superfície cujo vetor normal tem a direção i.
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Como a propriedade conservativa é a taxa e não o fluxo, deve-se multiplicar estes
termos pelos elementos de área perperdiculares ao vetor fluxo.
Ainda existem as focas de campo e de superfície que podem atuar nos problemas
de escoamento de fluido.
Para um elemento de volume ∆x∆y∆z pode-se escrever o balanço de forças da
seguinte forma.
VC no QM de
acúmulo de Taxa
VC o sobre atuam
forças outras das Soma
VC no Q.M. de
saída de Taxa
VC no Q.M. de
entrada de Taxa
FLUXOS CONVECTIVOS: Temos os seguintes termos
de entrada e saída convectivos:
a) A taxa convectivo que entra no volume controle em x e sai em x+∆x é dado
por
yx)vv -vv(
zx)vv -vv(zy)vv - vv(
zzxzzxz
yyxyyxyxxxxxxx
,
b) A taxa convectivo que entra no volume controle em y e sai em y+∆y é dado
por
c) A taxa convectivo que entra no volume controle em z e sai em z+∆z é dado
por
A seguir, complete a figura abaixo com as componentes de entrada e saída para a
direção x utilizando as definições de fluxo convectivo.
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FLUXOS DIFUSIVOS: Temos os seguintes termos
de entrada e saída molecular:
a) Componente x da taxa molecular que entra no volume controle em x e sai em
x+∆x é dado por
yx) -(zx) -(zy) - zzzxzzxyyyxyyxxxxxxxx
b) Componente y da taxa molecular que entra no volume controle em y e sai em
y+∆y é dado por
c) Componente z da taxa molecular que entra no volume controle em z e sai em
z+∆z é dado por
A seguir, complete a figura abaixo com as componentes de entrada e saída para a
direção x utilizando as definições de fluxo molecular.
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OUTRAS FORÇAS: Forças de pressão e de campo:
Ainda existem as forças de campo gravitacional e de pressão que atual no
elemento de volume de fluido, representadas por:
a) componente x,
zyxgzy)P - P xxxx
b) componente y,
zyxgzx)P - P yyyy
c) componente z,
zyxgyx)P - P zzzz
A pressão do fluido movimento esta relacionada a densidade do fluido por uma
equação de estado.
A taxa de acumulo de momento dentro do volume de controle é dada por
)v(t
zyx x
.
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EQUAÇÃO DO MOVIMENTO
Para as direções x, y e z são realizados os bancos de quantidade de movimento
para o volume de codntrole, sendo as mesmas válidas de forma discreta. Para que elas
possam ser aplicadas o sistema completo, dividi-se as mesmas por ∆x∆y∆z e calcula-se
o limite tendendo a zero. As equações encontradas são diferenciais parciais e descritas
por:
- componente x,
xzxyxxx
xzxyxxx
gPx
)zyx
(
)vvz
vvy
vvx
()v(t
- componente y,
yzyyyxy
yzyyyxy
gPy
)zyx
(
)vvz
vvy
vvx
()v(t
- componente z,
zzzyzxz
zzzyzxz
gPz
)zyx
(
)vvz
vvy
vvx
()v(t
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Reescrevendo as equações na forma vetorial,
g][P]vv[)v(t
Onde,
)v(t
é o termo representa a taxa de acúmulo de movimento por unidade de
volume;
]vv[ representa a taxa de momento por convecção por unidade de volume;
P representa o termo a ação das forças de pressão sobre o elemento de volume;
][ representa a taxa de momento por transferência viscosa por elemento de
volume e
g representa as força de gravitacional sobre o elemento de volume.
A equação apresentada na forma vetorial pode ser reescrita utilizando a equação
da continuidade da seguinte forma.
0vt
,
Sendo que vv)v(v)vv( e ainda,
tvv
t)v(
t , desta forma,
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g][Pvv)v(vt
vvt
.
Rearranjando a equação acima,
g][P))v(vt
v()vvvt
(
O primeiro termo é a derivada substantiva da velocidade definida por
vvvtDt
vD
, (aceleração local + aceleração convectiva). O segundo termo é
nulo devido à equação da continuidade na forma diferencial, resultando:
g][PDt
vD
A equação acima é válida para qualquer fluido em escoamento laminar.
IV.4 – Equação do Movimento para Fluidos Ideais
No caso do escoamento de um fluido ideal as forças de superfície são
representadas unicamente pelas forças de pressão, visto que para um fluido ideal não
existem forças viscosas, logo
gPDt
vD
(Equação de Euler)
A Equação de Euler representa a equação do escoamento de um fluido inviscito e
representa um balanço entre as forças de pressão e de campo tendo como resultante
deste balanço de forças a força de inércia.
IV.5 – Equação da Estática de Fluidos
Caso o fluido esteja em repouso, não existe o termo de aceleração e de tensão
viscosa, assim,
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gP
IV.6 – Equação do Movimento para Fluidos Newtonianos
Para que a Equação g][PDt
vD seja aplicada, é
necessário que se conheça uma expressão para o tensor tensão.
A forma do tensor tensão deve ser estabelecida por uma equação constitutiva que
no caso dos fluidos Newtonianos é dada pela expressão
v (fluido incompressível), logo
gvPDt
vD 2 (Equação de Navier-Stokes)
Caso o fluido seja compressível,
)v(v .
A seguir são apresentas a equação da continuidade, a equação do movimento e dos
tensores de Reynolds em coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas, (Bird et al.,
1966).
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TABELAS COM AS EQUAÇÕES BÁSICAS DA
MECÂNICA DOS FLUIDOS, DA TRANSFERÊNCIA DE
CALOR E DA TRANSFERÊNCIA DE MASSA