Post on 08-Nov-2018
Energia Potencial Elétrica
Q - Como encontrar o trabalho realizado por uma força Fsobre um objeto que se desloca entre dois pontos Po e P ?
PoP
Q - O que se pode dizer sobre o trabalho realizado por esta força F em diferentes trajetórias entre os dois pontos Po e P ?
R- Recordando . . .
R- W ≡ F. dr∫P
Po
2
1
Energia Potencial Elétrica
SE força conservativa:
∴ Quando força conservativa ⇒
No limite de pequenos deslocamentos
∫ ⋅= O drFW = 0
A diferença de energia potencial entre os pontos P (em r) e em Po (em ro) é igual ao trabalho realizado pela força entre os pontos P e Po
rF d U d .−=
PoP oPP WW PU PU →→ −==− )()( o
∫−=−r
rr F rr o
o
)()( d U U .
F. dr∫1,P
Po
+ F . dr = 0∫2, Po
PF. dr =∫
1,P
Po∫
2,Po
P− F. dr ∫
2,P
Po
= F . dr ∴
PoP
2
1
∫ F. dr independe do caminho
∫ F. dr ≡ variação de uma função de r ≡ (x,y,z)Então
Define-se :
Energia Potencial Elétrica
Força elétrica ↔ gravitacional 2
r̂r
∝ CONSERVATIVAS
∫−=−r
rr F rr o
o
)()( d U U . rF d U d .−=
⇓
Vale para forças elétricas que também são conservativas
Energia Potencial Elétrica
Carga q2 em região com campo elétrico criado por uma carga positiva q1
C
q1
2q
P
Po
àW Felet. = ?r
rd
rqq
Wo
PPo ⋅= ∫→ C 321
4 επ
A trajetória C equivale à trajetória C’ na qual tem-se dr = deslocamentos radiais + deslocamentos angulares
⇒ W = ? F . dr
∴ apenas deslocamentos radiais contribuem para a integral.
{ {
dr // a F ⇒ W≠ 0 dr ⊥ F ⇒ W = 0
Formalmente r . dr = ½ d(r . r) = ½ d(rr) = rdr
∴
−== ∫→ rr
qqrdrqq
Woo
r
roPPo
o
114'
'4
212
21
πεπε
∴só depende das posições inicial ro e final r das partículas!
q1
2q
P
Poro
ro
r-roC
C'
Trabalho nuloneste percurso
Todo o trabalhoé realizado aqui
Qualquer trajetória leva a um mesmo resultado!
Energia Potencial Elétrica Foi vista a definição: a diferença de energia potencial entre os pontos P e Po = trabalho
da força elétrica quando a partícula se desloca de P para Po.
1 2 1 22
1 14 4
o
r
o o or
q q q qdrr r rπε πε
= − = −
∫
PoP oPP WW PU PU →→ −==− )()( o
No caso de cargas pontuais, PoP WU →−=∆
Tomando-se como referência (valor nulo) a energia potencial quando a separação entre elas é infinita tem-se
1 2
( ) 01( ) ( ) ( )
4 o
Uq qU r U r U
rπ ε
∞ =
= − ∞ =
q1 q2 > zero (cargas de mesmo sinal), interação repulsiva ⇒ U > zero
q1 q2 < zero (cargas de sinal contrário), interação atrativa ⇒ U < zero ∴Q - O que significa o sinal de U?
R - . . . a energia externa para levar à situação de d(q1 ↔ q2) = ∞ !
Energia Potencial Elétrica
⇒ Princípio da Superposição(interação entre duas cargas independe da existência das outras)
Se ∃ configuração qq de várias partículas carregadas . . . Como calcular U ?
1) colocar a partícula 1 em seu local definido r1, enquanto as outras partículas estão no infinito; trazemos a partícula 2 para seu local r2 :
1 212
2 1
14 o
q qU
πε=
−r r
2) Traz-se agora a partícula 3: 1 3 2 313 23
3 1 3 2
1 14 4o o
q q q qU U
π ε π ε+ = +
− −r r r r
3) Para N partículas ⇒1
1 12 4
N Ni j
i j io i j
q qU
πε = ≠
=−
∑∑r r
Q – Por que o fator ½ ?
( i ? j → ri ? rj : evita auto-energias infinitas das cargas)
para uma carga qi soma-se em todas as outras qj; muda-se a carga qi e . . . repete-se o procedimento para todas as N cargas
Energia Potencial Elétrica
ab ac bcU U U U= + +
q
qqa
b
c
Uab
Uac
Ubc
Exemplo: 3 partículas carregadas com qa, qb e qc
1
1 12 4
N Ni j
i j io i j
q qU
πε = ≠
=−∑∑ r r
+ab
bar
q q +ba
abr
q q +ca
car
q q +a c
acr
q q +cb
cbr
qq b cbc
r q q
o41 2
1πε=U { }
+ab
bar
q q +ca
car
q q cb
cbr
qq o4
1 πε=U { }
Energia Potencial Elétrica
29
2
Nm 1,0nC 2,0nC 1,0nC 3,0nC 2,0nC 3,0nC9,0 10
C 0,30m 0,30m 2 0,30mU
× × ×= × + +
×
2 18 2 18 2 18
7
29
2
9
Nm 2,0 10 C 3,0 10 C 6,0 10 C9,0 10
C 0,30m 0,30m 1,42 0,30m
9,0 10 Nm(6,67+10+14.2 2,8 10 J) U
U− − −
− −=
× × ×= × + + ×
×
= × ⇒
2,0 nC
1,0 nC 3,0 nC
30 c
m
30 cm
P
Exemp. 3.1 – Calcular a energia potencial eletrostática do sistema de partículas mostrado na Figura.
Energia Potencial Elétrica
Energia potencial de cargas com distribuição continua
A soma em vira integral 1
1 12 4
N Ni j
i j io i j
q qU
πε = ≠
=−
∑∑r r
1 2
1 2
1 12 4 o
dq dqU
π ε=
−∫ ∫ r r
Em um caso geral, existe uma distribuição de cargas com densidade ρ (r)
1 1 1( )dq dVρ= r 2 2 2( )dq dVρ= r
1 21 2
2 1
( ) ( )1 12 4 o
U dV dVρ ρ
π ε=
−∫ ∫r rr r
(em geral é um cálculo complicado!)
∴
⇒
⊕⊕⊕
⊕
⊕⊕⊕
⊕
⊕
⊕
⊕⊕ ⊕⊕
⊕⊕
⊕
⊕⊕
⊕
⊕ ⊕ ⊕
⊕
⊕
Energia Potencial Elétrica
Energia do campo elétrico
Onde fica armazenada a energia potencial ?
e que, em qualquer caso, será
Evidência experimental:→ a energia potencial elétrica está armazenada no campo elétrico!
(caso geral: nos campos elétrico e magnético)
Ex. óbvios: a radiação eletromagnética. a energia da luz solar; energia em um forno de microondas;energia nas telecomunicações.
Mostra-se que a densidade de energia u (energia por unidade de volume) é:
)()( 2Euuu =⋅= EE
2
2Eu oε
=
a densidade de energia u(r) é proporcional ao quadrado do valor do campo E(r) (para cada ponto em r)
Energia Potencial Elétrica Potencial elétrico
Foi visto que:
Pode-se definir (energia potencial) / (unidade de carga) = potencial elétrico V(r)
( , )( )
U qV
q≡ r
r no SI de unidades:1 joule
1 volt1coulomb
=
Obs. para o campo elétrico: [ ]metrovolt
CmJ
CN
E =⋅
==
Em uma situação geral: carga de teste q sob o efeito de um campo elétrico E
o o
( , ) ( ) ( ) ( )o
U q d q d q d′ ′ ′ ′ ′ ′= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅∫ ∫ ∫r r r
r r r
r F r r E r r E r r
onde ro é o ponto de referência do potencial, ou seja, U(q,ro ) = 0.
Então,
o
( ) ( )V d′ ′= − ⋅∫r
r
r E r r
se ∃ distribuição de cargas qualquer, para se trazer
carga q do ∞ ⇒ trabalho = ∆ energia potencial U(q,r)
= potencial elétrico
V(∞) = 0
Energia Potencial Elétrica Potencial elétrico
Ilustrando: o potencial elétrico em um ponto qq r gerado por carga pontual Q em r = 0
041πε 2´r
Q´r̂
∴ 2 2
ˆ 1( )
4 r 4 4
r
o o o
Q d Q dr QV
r rπ ε π ε π ε∞ ∞
′ ′ ′⋅= − = − =
′ ′∫ ∫r r r
r
Tem-se E(r )́=
Se Q em r´ (fora da origem das coordenadas) →1
( )4 'o
QV
π ε=
−r
r r
o
( ) ( )V d′ ′= − ⋅∫r
r
r E r re
Se configuração qualquer de partículas carregadas . . . como calcular V ?(cargas discretas qi situadas nos pontos ri )
⇒ Princípio da Superposição1
( )4
i
io i
qV
π ε=
−∑rr r
Para uma distribuição contínua: ')'( dVdq rρ=
⇒ 1 ( ')( ) '
4 'o
V dVρ
π ε=
−∫r
rr r
Energia Potencial Elétrica
29
2
Nm 1,0nC 2,0nC 1,0nC 3,0nC 2,0nC 3,0nC9,0 10
C 0,30m 0,30m 2 0,30mU
× × ×= × + +
×
2 18 2 18 2 18
7
29
2
9
Nm 2,0 10 C 3,0 10 C 6,0 10 C9,0 10
C 0,30m 0,30m 1,42 0,30m
9,0 10 Nm(6,67+10+14.2 2,8 10 J) U
U− − −
− −=
× × ×= × + + ×
×
= × ⇒
2,0 nC
1,0 nC 3,0 nC
30 c
m
30 cm
P
(B) VP =
P 171VV =
29
P 2
Nm 1,0nC 3,0nC 2,0nC 9,0 Nm 1,09,0 10 3,0 2,0C 0,30m 0,30m 0,30 C2 0,30m 2
V = × + + = + + ×
Calcular a energia potencial eletrostática do sistema de partículas mostrado na Figura e (B) o potencial no ponto P.
1( )
4i
io i
qV
π ε=
−∑rr r
Potencial elétrico
Energia Potencial Elétrica
1 ( ')( ) '
4 'o
V dVρ
π ε=
−∫r
rr r
0dO =⋅= ∫ rFW∫−=−
r
rr F rr o
o
)()( d U U .
Foi visto:
Ø força elétrica (conservativa) →∫ F. dr independe do caminho
⇒ define-se Energia potencial elétrica: função apenas da CONFIGURAÇÃO
∴
⇒ define-se Energia potencial por unidade de carga ≡ POTENCIAL ELÉTRICO
( , )( )
U qq
≡ rr
o
( ) ( )V d′ ′= − ⋅∫r
r
r E r r
o o
( , ) ( ) ( ) ( )o
U q d q d q d′ ′ ′ ′ ′ ′= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅∫ ∫ ∫r r r
r r r
r F r r E r r E r r
≡
Para uma distribuição geral de cargas:
( , )( ) U qVq
≡ rr
Energia Potencial Elétrica
EXEMPLO: Potencial em um ponto no eixo um anel de raio R, tendo um carga Q uniformemente distribuída
dQr
kdQdV
r=dQ r
dQr
dQ
r r é o mesmo (constante) para qq elemento dQ
⇒
R
2 2
kQV
R x=
+
x )( ∫=
rkdQ
rV⇒
)( ∫= dQrk
rV
Potencial elétrico
rkQ
=
Energia Potencial Elétrica
Exercício-exemplo 3.5 – Calcular o potencial elétrico no interior e no exterior de uma esfera não condutora de raio R que tem uma carga Q distribuída uniformemente.
Sol. – Vimos que o campo elétrico gerado por uma esfera uniformemente carregada é:
3
2
,4
.4
o
o
QE r r R
RQ
E r Rr
πε
πε
= <
= ≥{Para pontos externos à esfera, tem-se
2 2
1( )
4 4 4o o or r
Q Q dr QV r dr r R
r r rπε πε πε
∞ ∞ ′′= = = ≥
′ ′∫ ∫(é o mesmo de uma carga
pontual Q no centro da esfera)
∴ na superfície da esfera (r = R) será1
( )4 o
QV R
Rπε=
Potencial elétrico
Toma-se referência no infinito → V(∞) = 0o
( ) ( )V d′ ′= − ⋅∫r
r
r E r rTem-se
Energia Potencial Elétrica
Exercício-exemplo 3.5 – Calcular o potencial elétrico no interior e no exterior de uma esfera não condutora de raio R que tem uma carga Q distribuída uniformemente.
na superfície da esfera (r = R), 1( )
4 o
QV R
Rπε=
No interior da esfera
( ) ( )R
r
V r V R Edr r R′= + ≤∫
3( ) ( )4
R
o r
QV r V R rdr r R
Rπε′ ′= + ≤∫
2 23
1( ) ( )
4 4 2o o
Q QV r R r
R Rπε πε= + −
23
3( )
8 8o o
Q QV r r r R
R Rπε πε= − ≤
Potencial elétrico
( ≡ ∫R
r ∫∞
R∫∞
r+ )
Energia Potencial Elétrica
4 o
qdU dq
Rπε=
2
0
14 8
Q
o o
QU q dq
R Rπ ε π ε= =∫
R
q
dq
∴ a auto-energia da casca após carregar até Q
Auto-energia eletrostáticaUm objeto de forma qualquer contendo uma carga total q:
→ há uma energia associada (como foi possível criar esta situação?)
⇒ auto-energia eletrostática
Ex. Casca esférica de raio R , com carga Q
Q - Como é a distribuição de cargas?
R- uniformemente distribuída na superfície.
Q - Qual a força que a casca faz sobre dq?
R- como a de carga pontual no centro.
Q - Qual é a quantidade de energia dU necessária para se adicionar dq?
Energia Potencial Elétrica Cálculo do campo elétrico a partir do potencial
Foi visto: conhecer E(r) ⇒ conhecer V(r)
também . . . conhecer V(r) ⇒ conhecer E(r) ! ! !
o
( ) ( )V d′ ′= − ⋅∫r
r
r E r r
Recordando. . . o gradiente de uma função escalar f (r) = f (x, y, z) é
pois⇒ ( ) x y zdV d E dx E dy E dz= − ⋅E r r = - - -
Mas V V VdV dx dy dz
x y z∂ ∂ ∂
= + +∂ ∂ ∂
, ,x y zV V V
E E Ex y z
∂ ∂ ∂= − = − = −
∂ ∂ ∂⇒
f∇ f f fx y z
∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂i j k
Logo, x y z
V V VE E E
x y z∂ ∂ ∂
= + + = − − −∂ ∂ ∂
E i j k i j k
∴ E = − ∇V
“o campo elétrico num dado ponto é menos o gradiente do potencial elétrico naquele ponto”
Energia Potencial Elétrica Superfícies equipotenciais
Foi visto: no interior de um condutor em equilíbrioE(r) = 0 ∴ V(r) = constante
⇒ superfície de um condutor é uma superfície equipotencial.
Mas dV = E. dr ⇒ E(r) = zero ou E ⊥ dr“uma superfície equipotencial é ortogonal, em cada ponto, ao campo elétrico”
V não varia em uma superfície equipotencial → dV = 0
EquipotenciaisEquipotenciais
+q
E
+
+
+
+
+
+
+
Q - O que se pode dizer sobre o trabalho realizado pela força elétrica para se deslocar uma carga em uma mesma superfície equipotencial?
R- Tem-se E ⊥ dr em uma superfície equipotencial, logo . . .
Energia Potencial Elétrica Dipolo elétrico
Carga elétrica pontual = monopolo elétrico.
dipolo elétrico = um par de cargas elétricas de mesmo valor q e sinais opostos, separadas por uma dada distância d.
O potencial no ponto r é dado por
r1 r2
O
q
r
-q +q
d
θ
V = 04
1πε ∑
=
N
1nrq
n =04
1πε
+
12rr
qq -
1 2
1 14 o
qV
r rπε
= − =
Usando-se |r1|2= (d/2 + r) . (d/2 + r) e |r2|2 = (d/2 – r) . (d/2 – r) (ver livro)
e considerando-se d << r → aproximação de dipolo(ignoram-se termos de ordem = 2) 2
cos( )
4 o
q dV
rθ
πε=r⇒
Define-se o vetor dipolo elétrico p ≡ q d
Assim, pode-se escrever2
ˆ1( )
4 o
Vrπε⋅
= p rr
com d apontando de –q para +q
Energia Potencial Elétrica Dipolo elétrico
→ o potencial do dipolo elétrico decai com r −2
→o potencial de uma carga (monopolo elétrico) decai com r −1.
Para o Edipolo, é conveniente escolher-se o eixo z // dipolo p→ z = r cosθ
r1 r2
O
q
r
-q +q
d
θ
O potencial elétrico e o campo elétrico de um dipolo são simétricos em torno do eixo z.
332 2 2 2
( , , )4 4
( )o o
qd z p zV x y rr
x y zπε πε
= =+ +
∴2
cos( )
4 o
q dV
rθ
πε=r
Energia Potencial Elétrica
( ) oU r q E r+ = − ⋅rr r
( )o oU q E r r
= − ⋅ −
r r r
U pE=U pE= −
0U =
Eo
⇒
ror
d θ
O
( )o o oU r q E r− = + ⋅rr r
Exemplos:
Dipolo elétrico p em campo elétrico uniforme Eo
U = − qo E . d U = − p . E = − p E cos θ
U é mínima quando p // E∴ dipolos elétricos tendem a ficar alinhados com o campo
(resultado interessante: o comportamento de materiais não condutores sob o efeito de campos elétricos).
Energia Potencial Elétrica
θF
– F
R- ⊥ ao papel e ⊗
Dipolo elétrico p em campo elétrico uniforme Eo
Q- ∃ Fdipolo se E é uniforme ??
R- Não! (Fq+ = − Fq−)
Mas . . . ∃ torque ! ! ( τ = r x F)
Usando z ⊥ ao papel, positivo para fora, tem-se
θθτ sensen2
2 pEd
qEz −=−=
τ = ×p Eou seja,
Q- Qual a direção e sentido do torque na presente situação?
Energia Potencial Elétrica Distribuição de cargas elétricas em condutores
Foi visto: condutor em equilíbrio → cargas na superfície(tendência a um distanciamento máximo entre as cargas)
Se for um condutor esférico → distribuição uniforme.
Se forma qualquer . . . ???
Energia Potencial Elétrica
q1
⊕
⊕
⊕ ⊕
⊕
⊕
⊕⊕
⊕
⊕
⊕ ⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
R1 rr
V
rR1
Potencial na superfície
⊕
⊕
⊕ ⊕
⊕
⊕
⊕⊕
⊕
⊕
⊕ ⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
q2
2
2
kqR
1
1
kqR
V
rR2
Q
1
kQR
⊕
R2
Potencial nas superfícies
1 2
1 2
kq kqR R
=
⇒
⇒
Densidade superficial de cargas e campo elétrico são maiores nas pontas
+++
++ + + +
++
+
+
+
+
++
+ ++
+ ++++
Se E > rigidez dielétrica do meio ⇒ ionização. Para o ar Emax = 3kV/mm.
Distribuição de cargas elétricas em condutores
2
222
1
21 1
RR
R R RR σ
=σ
1
2
2
1RR
R
R =σσ
Geral: as densidades de cargas são inversamente proporcionais aos raios de curvatura
Energia Potencial Elétrica
EE3.6 – Dado o potencial 1
( )4 o
QV
rπε=r calcular o campo elétrico.
Sol. – Sabe-se que E(r) = −∇ V(r) →
Pode-se escrever:222
11
zyxr ++=
x y zV V V
E E Ex y z
∂ ∂ ∂= + + = − − −
∂ ∂ ∂E i j k i j k
∴ as derivadas parciais: ( )
3 32 2 2 2
1 1 22
x xx r r
x y z
∂ = − = − ∂ + +
3 3
1 1,
y zy r r z r r
∂ ∂ = − = − ∂ ∂ Analogamente para y e z:
∇233
ˆ1rrr
zyxr
rrkji −=−=++
−=
2
ˆ14 4o o
Q QV
r rπε πεr
E = −∇ = − ∇ =
Logo,
e, então,
Q- parece com . . .?