Post on 08-Nov-2018
Energia Cinética na RotaçãoPura
VELOCIDADE das partículas do corpo que giraem torno de um eixo fixo (expressa em termos de 𝜔(𝑡))
𝑏𝑖
𝐯𝑖(𝑡)
𝜔(𝑡)
|𝐯(𝑡)| = 𝑏𝜔(𝑡)
=𝑏𝜔𝑑𝑡
𝑑𝑡𝜔𝑑𝑡
𝑏
𝑑𝐫
|𝐯 𝑡 | =|𝑑𝐫|
𝑑𝑡
𝜔
𝜔
𝑏𝑖
𝐯𝑖(𝑡)
𝜔(𝑡)𝐾 =
𝑖
1
2𝑚𝑖𝐯𝑖
2
=1
2
𝑖
𝑚𝑖𝑏𝑖2𝜔2
𝐾 =1
2𝐼𝜔2 𝐼 =
𝑖
𝑚𝑖𝑏𝑖2
Momentos de Inércia de alguns objetos
𝐼 = 𝑀𝑅2 𝐼 = 112
𝑀𝐿2 𝐼 = 12𝑀𝑅2
𝐼 = 12𝑀(𝑅𝑎
2 + 𝑅𝑏2)
𝐼 = 25𝑀𝑅2
𝑅
𝐿 𝑅𝑎 𝑅𝑏
𝑅𝑅
−𝐿2
𝐿2𝐿
𝐼 = 112
𝑀𝐿2
𝑥
𝐼 = −𝐿/2
𝐿/2 𝑀𝑑𝑥
𝐿𝑥2 =
𝑀
𝐿
𝑥3
3−𝐿/2
𝐿/2
𝑑𝑥
Teorema dos eixos paralelos
Basta calcular 𝐼𝐶 …
𝑑
𝐼𝐶𝐼 = 𝐼𝐶 + 𝑀𝑑2 𝐼 = 1
12𝑀𝐿2 + 𝑀 𝐿
2
2
= 13𝑀𝐿2
𝐼𝐶 = 112
𝑀𝐿2
𝐿
Momento de Inércia da molécula de CO2
𝑑𝑑
𝐼𝐶 = 2𝑚O𝑑2𝐼 = 𝑚C𝑑2 + 𝑚O4𝑑2
= 2𝑚O𝑑2 + (𝑚C + 2𝑚O)𝑑2
𝑀
Intuição sobre Momento de Inércia
Quem tem maior 𝐾?
𝐼 = (30 kg)(1 m)2 𝐼′ = (1 kg)(6 m)2
𝐾 =1
2𝐼𝜔2
1 m
30 kg
𝜔
6 m
1 kg
𝜔
Armazenamento de energiaem rotores
𝐾 = 14(1000 kg)(50 cm)2(5000 rpm)2
= 17 MJ
Grande quantidade de energia pode serarmazenada em um rotor
𝐼 = 12𝑀𝑅2
~ 670 km/h𝐯𝑅
𝜔
Armazenamento de energia em Baterias
Armazenamento de energia em Rotores
Energiaelétrica
Energia Elétrica produzrotação (~ liquidificador)
Rotor produz energiaelétrica (~ gerador)
𝜔
Energiaelétrica
𝜔
Armazenamento de energia elétrica em Stephentown-NY
• Uso de rolamentos magnéticos evita atrito, 97% de eficiência mecânica
• Pode ser carregado/descarregado indefinidamente (baterias de Li têm vida útil de ~ 3 anos)
• Não poluente (não contém Li ou Pb)
• É possível determinar com precisão a quantidade de energia armazenada
• Manutenção a cada 20 anos (metade do custo de manutenção de baterias)
• Capaz de ser carregado/descarregado muito rapidamente• Joint European Torus (usina experimental de fusão nuclear) tem dois rotores de
775 ton que atingem w = 225 rpm. Cada rotor é capaz de armazenar 3750 MJ e fornecer 400 MW de potência (por 9,3 seg).
• Porta-aviões Gerald Ford tem 4 rotores capazes de armazenar 122 MJ a w = 6400 rpm. Podem ser carregados em 45 seg e descarregados em 2-3 seg (P ~ 50 MW). São usados para catapultar os aviões.
• A montanha russa Incredible Hulk, no Universal Studios (Florida-EUA), acelera os carros com energia armazenada em rotores.
Kinetic Energy Recovery System (KERS)
Torque na Rotação Pura
O que é capaz de colocar um corpo rígido para girar em torno de um eixo fixo?
O que é capaz de colocar uma partícula parada em movimento?𝐅
FORÇA
TORQUE
A direção do vetor 𝐅 é absolutamente crucial, ela não pode passar pelo eixo.
O mesmo vetor 𝐅, dependendo da distância 𝑅 do ponto de aplicação ao
eixo, produz rotações diferentes.
𝐅1
𝐅2
𝐅3
Graficamente...
𝐅⊥
𝑅 𝐅∥ (inútil)
(produz rotação)𝐅
A equação de Newton naRotação Pura
𝑅 𝐅
Torque em relação a um eixo (sem atrito)
𝐹⊥
𝐫𝑖
𝐚𝑖
𝑚𝑖𝐚𝑖 = 𝐟𝑖𝑡𝑜𝑡
𝐫𝑖 × 𝑚𝑖𝐚𝑖 = 𝐫𝑖 × 𝐟𝑖𝑡𝑜𝑡
𝑖
𝑚𝑖(𝐫𝑖 × 𝐚𝑖) =
𝑖
𝐫𝑖 × 𝐟𝑖𝑡𝑜𝑡
𝐤
= (𝑅𝐹⊥) 𝐤
Forças internas se cancelam
Pausa: aceleração normal e tangencial
VELOCIDADE das partículas do corpo que giraem torno de um eixo fixo
𝑏𝑖
𝐯𝑖(𝑡)
𝜔(𝑡)
|𝐯(𝑡)| = 𝑏𝜔(𝑡)
E a aceleração?
|𝐚𝑡(𝑡)| =|𝑑𝐯𝑡|
𝑑𝑡= 𝑏𝛼 𝑡=
𝑏𝜔 𝑡 + 𝑑𝑡 − 𝑏𝜔 𝑡
𝑑𝑡
|𝐚𝑛(𝑡)| =𝑑𝐯𝑛
𝑑𝑡= 𝑏𝜔2 𝑡=
𝐯 𝑡 𝜔𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐯(𝑡)𝐯(𝑡 + 𝑑𝑡)
𝑏
𝜔𝑑𝑡𝜔𝑑𝐯
𝑑𝐯𝑛𝑑𝐯𝑡
𝜔𝑑𝑡
|𝐯(𝑡)| = 𝑏𝜔(𝑡)
|𝐚𝑡(𝑡)| = 𝑏𝛼 𝑡
|𝒂𝑛(𝑡)| = 𝑏𝜔2 𝑡
Em uma figura ….
𝜔(𝑡)
𝐯
𝐚
𝑏
𝑖
𝑚𝑖(𝐫𝑖 × 𝐚𝑖) = (𝑅𝐹⊥) 𝐤
𝑅 𝐹⊥
𝐫𝑖
𝐚𝑖(𝐚𝑖)𝑡
𝑖
𝑚𝑖 𝑏𝑖(𝑎𝑖)𝑡 𝐤 = (𝑅𝐹⊥) 𝐤
𝑏𝑖𝛼(𝑡)
𝑖
𝑚𝑖𝑏𝑖2 𝛼 𝑡 = 𝑅𝐹⊥
𝐼𝛼 𝑡 = 𝑅𝐹⊥
𝛼 e 𝐹⊥ têm sinal!
Eq. de Newton para a Rotação pura
continuando...
𝐼 = 13𝑀𝐿2
𝐿1,5 N
7𝐿/8
2 N𝐿/2
3 N
𝐿/4
𝑀𝐿2
3𝛼 =
+32N
7𝐿8
− 2N𝐿2
+ 3N𝐿4
𝛼 = +0,61 rad/s2
𝑀 = 5 kg
𝐿 = 1,3 m
𝛼 = −0,46 rad/s2
𝛼 = +0,35 rad/s2