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Elementos Finitos
Professor: Evandro Parente Jr.Período: 2009/1
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁCENTRO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVILMESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL: ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL
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INFORMAÇÕES GERAIS
Aulas: Segundas 8:00-9:30hQuintas 10:00-12:00hSala 05 – Bloco 710
Professor: Evandro Parente Jr.Sala 12 – Bloco 710Tel: 3366-9607 Ramal 23 evandro@ufc.br
Site:http://www.deecc.ufc.br/professores/evandro.htm
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Objetivos da disciplina
GeralFornecer os conhecimentos necessários à análise de tensões em sólidos e estruturas através do Método dos Elementos Finitos (MEF).
EspecíficosApresentar a formulação do MEF para análise de tensões.Mostrar os problemas e limitações do MEF.Aplicar o MEF à análise de problemas reais.Discutir a implementação computacional do método.
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Conteúdo
Introdução ao MEF.Trabalho Virtual e Energia Potencial.Método da Rigidez Direta.
Barras e treliças.Formulação do MEF para problemas 1D.
Funções de forma.Integração numérica.
Formulação do MEF para problemas 2D/3D.Formulação isoparamétrica.Condições de convergência e “patch-test”.
Formulação do MEF para vigas e placas.
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Bibliografia
BásicaNotas de aula.Cook, Malkus, Plesha & Witt (2002) – Concepts andApplications of Finite Element Analysis, 4a ed.
ComplementarBathe (1996) – Finite Element Procedures.Reddy (1993) – An Introduction to the FiniteElement Method.Hughes (1987) – The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis.
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Avaliação
Lista de exercícios (1/3).A discussão entre os alunos é encorajada.Trabalho individual, não se aceitando soluções idênticas.Não será aceita entrega fora do prazo.
Trabalho final (1/3):Resumo do trabalho: 30/Abr/2009.Relatório de andamento: 28/Mai/2009.Apresentação: 22/Jun/2009.
Provas escritas (1/3):AP1 – 23/Abr/2009.AP2 – 18/Jun/2009.
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Análise de sistemas de engenharia
Problema físico
Modelo matemáticoEx: equação diferencial
Modelo numéricoEx: Modelo de elementos
finitos
Simplificações eaproximações
Discretização
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Análise de sistemas de engenharia
A seleção do modelo matemático depende daresposta a ser obtida. Exemplos:
Distribuição de temperatura.Campo de tensões.
Um bom modelo deve:Considerar os aspectos essenciais do problema.Desprezar os fatores secundários.Fornecer resultados próximos das respostas reais.
Se as previsões do modelo não estão de acordo com as respostas reais é necessário refinar o modelo:
Incluir aspectos inicialmente desprezados.
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Análise de sistemas de engenharia
Modelos numéricos são aproximações dos modelosmatemáticos.
Um método numérico é confiável se ele convergepara a solução exata do modelo matemático.
Garantia de convergência com o refinamento.Velocidade de convergência.Custo computacional envolvido.Facilidade de implementação e utilização.
A solução numérica de um problema não pode ser melhor do que o modelo matemático utilizado.
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α
Discretização
Problema: Determinação do perímetro de um círculo.
R
l = 2Rsen(α/2)α = 2π/n
L = n l = 2πR sen(α/2)α/2
Dividindo em n partes:
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Discretização
Laprox/Lexatolog(Laprox/Lexato- 1)
Verifica-se que a solução converge para o resultado exato.
A velocidade de convergência é boa ?
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Projeto estrutural
ConceitoDefinição de uma configuração estrutural capaz de resistir às ações externas “transferindo” o efeitos destas ações até os apoios.Envolve a definição da geometria e materiaisutilizados.
RequesitosSegurança (resistência + estabilidade).Conforto e estética.Durabilidade.Economia (construção e manutenção).Viabilidade construtiva.
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Ações externas
Peso próprio e cargas de utilização (sobrecarga).
Ações ambientais:Variação de temperatura.Forças de vento, neve, correntes marinhas, ondas, ...
Expansão/retração dos materiais.
Protensão.
Deslocamentos prescritos:Recalques de apoio.Terremotos.
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Análise estrutural
Conceito:Determinação das respostas mecânicas de uma estrutura devido a ações externas.Obs: a geometria e os materiais são conhecidos.
Respostas mecânicas:Deslocamentos e deformaçõesTensões e esforços internos.Cargas e modos de flambagem.Freqüências naturais e modos de vibração.Carga de ruptura.
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Importância dos métodos numéricos
A análise de estruturas envolve a solução de equações diferenciais parciais.
Soluções analíticas exatas (fechadas) só existem em casos especiais:
Geometria e condições de contorno simples.Certos tipos de carregamento.Material homogêneo.
A solução de problemas reais requer a utilização de métodos numéricos (aproximados):
Método das Diferenças Finitas.Método dos Elementos Finitos.Método dos Elementos de Contorno.
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Análise por elementos finitos
apoioscarregamento
nó
GeometriaMaterial
elementoMalha
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Análise por elementos finitos
Dividir o domínio do problema em regiões (elementos finitos) de geometria simples:
Triângulos, quadriláteros, tetraedros, hexaedros,...Os elementos adjacentes são conectados através dos nós.
Aproximar os deslocamentos no interior dos elementos:Interpolar a partir dos valores nodais.Utilizar funções simples: lineares, quadráticas,...
Obter e resolver as equações de equilíbrio em função dos deslocamentos nodais (graus de liberdade).
Calcular respostas no interior dos elementos:Deformações a partir do campo de deslocamentos.Tensões a partir das deformações.
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Vantagens do MEF
Aplicação a qualquer problema de campo:Tensões, transferência de calor, percolação, etc.
Não há restrição quanto a geometria do problema.
Não há restrições sobre o carregamento e as condições de contorno do problema.
O material pode variar de elemento para elemento.
O modelo de elementos finitos parece com o corpo ou região a seranalisada.
Um modelo pode incluir componentes com diferentes comportamentos:
Barras, vigas, placas, cascas, sólidos, etc.
A aproximação é melhorada facilmente refinando a malha de elementos finitos ⇒ convergência.
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Exemplo de aplicação: estrutura de edifício
http://www.csiberkeley.com/
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Análise de um tanque esférico
http://www.csiberkeley.com/
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Contato pneu-pavimento
http://www.manufacturingcenter.com/dfx/
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Contato pneu-pavimento
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Modo de vibração de um copo
ABAQUS - Insights vol 7
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Trem de pouso
http://www.abaqus.com/
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Fuselagem
http://www.abaqus.com/
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Fuselagem
Cargas e apoiosConfiguração pós-flambagem
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Pontes
San Francisco Bay Bridge
http://www.adina.com/
Depois do terremoto
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Pontes
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Simulação de colisão
http://www.adina.com/
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Simulação de colisão
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Simulação de colisão
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Trabalhos de anos anteriores
Bruno Barros – Análise Estrutural da Fôrma de um Pilar em Concreto Armado.
Verificação dos Estados Limites
Último e de Utilização (deslocamentos
excessivos) da forma de um pilar em
Concreto Armado utilizando o MEF
utilizando o programa ABAQUS/CAE.
Analisar a influência dos componentes
estruturais da fôrma de um pilar.
Projeto de norma 02:124.24-001:
Fôrmas e Escoramentos
para Estruturas de Concreto.
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Trabalhos de anos anteriores
Detalhe da estruturaSeção de 35x120cm e altura de concretagem de 2,36m.A estrutura básica da fôrma:
Molde de compensado plastificado de 18 mm.Longarinas de madeira bruta serrada.Tirante metálico (parafuso).
Tipo de Análise: Estática.
Condições de Apoio:Deslocamento na base do pilar restringido nas três direções.
Carregamento:Empuxo do Concreto.
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Trabalhos de anos anteriores
Modelo de AnaliseCarregamento (Empuxo do Concreto).
Velocidade de Concretagem: 7m/h.Consistência do Concreto: 82,6 kN/m².
Estado Limite Último (Tensão Admissível).
Molde.55 MPa (paralelo às camadas).45 MPa (perpendicular às camadas).
Longarinas.37,8MPa (Compressão).50,3MPa (Tração).
Tirantes: 290 MPa.Estado Limite de Utilização (Deslocamentos excessivos).
δadm = 5mm (item 9.2.4 NBR14931/2004).
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Trabalhos de anos anteriores
Três análises (Estado Limite de Utilização):Somente o Molde (δ = 165,6 mm).Molde e Longarina (δ = 7,753 mm).Molde, Longarina e Tirante (δ= 7,753 mm).
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Trabalhos de anos anteriores
Bruno Feijo – Análise Estrutural de uma Torre de Enerfia Eólica para Operação no Estado do Ceará.
Análise de uma torre de energia eólica pelo Método dos Elementos Finitos.Foi utilizado o programa ABAQUS para modelar torres com diferentes secções.Análise preliminar utilizando o FTOOL e o ABAQUSpara que pudessem ser feitas algumas verificações para validar o modelo. Perfil circular cônico, com 45 m de altura, diâmetro de base 3,00 m e no topo diâmetro aproximado de 1,42 m.Material aço, com módulo de elasticidade (E) de 205 GPa e coeficiente de Poison (υ) 0,3.Variação da espessura da parede ao longo da altura.
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Trabalhos de anos anteriores
Modelo de Elementos FinitosMalha para os valores de 0.6, 0.4, 0.3 e 0.2 m.Engastado na base.Carga distribuída no topo da torre de 50 kN (Peso da hélice + gerador).Carga de vento estática (NBR 6123).
Modelo seccionado em sete partes: a 5, 10, 15, 20, 30 e 40 m. Malha
Carregamentos atuantes
Z (m) q (N/m2)
≤ 5,00 421
< 10,00 478
< 15,00 518
< 20,00 538
< 30,00 580
< 40,00 741
< 50,00 635
Z (m) q (N/m2)
≤ 5,00 421
< 10,00 478
< 15,00 518
< 20,00 538
< 30,00 580
< 40,00 741
< 50,00 635
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Trabalhos de anos anteriores
Tensões Máximas Principais
Malha 0,6 Malha 0,4 Malha 0,3 Malha 0,2
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Trabalhos de anos anteriores
Fábio Anderson – Estabilidade de Placas Laminadas. (Artigo - Cilamce 2008)
Estudar o comportamento de placas laminadas quando submetidas a carregamentos no plano;Calcular as cargas críticas utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF).Compara a solução numérica obtida pelo MEF com solução de problemas clássicos.
Esquema de laminaçãoPlaca laminada
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Trabalhos de anos anteriores
Modelo de elementos finitos
Restrições Nó
Elemento (Q8)
Carregamento biaxial
LL
h
xy
z
LL
h
xy
z Condição de Apoio: Simplesmente apoiada
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Trabalhos de anos anteriores
Placa com laminação simétrica cross-ply (0/90)sE1/E2 Analítica FEMOOP ABAQUS Erro FEMOOP Erro ABAQUS
25 7.124 7.070 7.074 -0.76% -0.70%40 7.404 7.328 7.318 -1.03% -1.16%
25 3.562 3.542 3.537 -0.55% -0.69%40 3.702 3.669 3.660 -0.89% -1.15%
Compressão Uniaxial (k = 0)
Compressão Biaxial (k = 1)
1º Modo de flambagem da placa para o carregamento uniaxial:
ABAQUS FEMOOP
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Trabalhos de anos anteriores
Paulo Filho – Método dos Elementos Finitos em Estruturas de Concreto: Revisão Bibliográfica e Exemplo de Aplicação do Método.
Verificação das tensões na região de furos que atravessam vigas de concreto na direção de sua largura .São adotados como parâmetro para a dispensa de verificação das tensões em torno dos furos as recomendações da NBR 6168 – Projeto de estruturas de concreto da ABNT .
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Trabalhos de anos anteriores
Modelagem da viga de concreto.Verificação de um furo maior que o diâmetro mínimo recomendado pela NBR 6118.
Dimensão do furo de no máximo 12 cm e h/3;
Apoios
CarregamentoMalha
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Trabalhos de anos anteriores
Distribuição das tensões σxx na viga .
Diagrama de tensões σxx na região do furo
Conclusão: As recomendações da NBR 6118 foram confirmadas pelo modelo numérico.
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Utilização do MEF
Análise preliminar:Obter uma solução aproximada do problema.Modelo analítico simplificado, fórmulas, análise experimental, análises anteriores, etc.
Análise por elementos finitos:Pré-processamento:
Modelagem: geometria, apoios, carregamento, materiais, ...Geração de malha.
Análise numérica.Pós-processamento:
Deformadas, modos de vibração/flambagem, animações,...Contornos e gráficos de tensões.
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Utilização do MEF
Verificação dos resultadosAvaliação qualitativa:
A resposta “parece” certa ?Deslocamentos (deformada).Tensões.
Existem erros grosseiros ?
O problema desejado foi resolvido ? Ou foi outro problema ?
O campo de deslocamentos satisfaz as condições de contorno esperadas ?
Ex: deslocamentos e rotações nulas nos apoios.
As simetrias esperadas estão presentes nas respostas ?
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Utilização do MEF
Verificação dos resultados (cont.)Avaliação quantitativa
Comparar resultados de EF com as soluções preliminares.Verificar se o nível de discretização é satisfatório:
Continuidade do campo de tensões.Estimadores de erros.
Revisão do modelo:Eliminar os erros grosseiros
Dados de entrada (apoios, propriedades dos materiais,...)
Melhorar o modelo de elementos finitos.Refinar a malha.
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Utilização do MEF
Considerar o problema físico.Criar ou melhorar um modelo matemático.
Obter resultados aproximados paracomparação com os resultados daanálise pelo MEF.
Planejar a discretizaçãodo modelo matemático.
PRÉ-PROCESSAMENTO
ANÁLISE PELO MEF
PÓS-PROCESSAMENTOOs resultados estão livres de erros grosseiros? Estão razoáveis do ponto de vista físico?
Qual é a falha? Compreensãofísica ou modelagem?
Os erros estão pequenos? Alterara malha modificaria pouco os resultados?
PARAR
Discretizarmais a malha.
Física
INÍCIO
EF
SIM SIM
NÃO
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Utilização do MEF
Por que estudar a teoria do MEF ?Existem programas comerciais utilizados a bastante tempo.Intensivamente testados: fabricantes e usuários.Os programas atuais possuem interface amigável.
Sua utilização não requer grandes conhecimentos.
A obtenção de resultados confiáveis requer:Conhecimento do comportamento estrutural:
Mecânica, resistência dos materiais, teoria das estruturas, ...
Conhecimento do MEF:Comportamento dos elementos utilizados.Características dos algoritmos de análise.Limitações e aproximações utilizadas pelo programa.
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Modelos para análise de estruturas
Questões envolvidas:Geometria.
Cinemática:Deslocamentos.Rotações.
Comportamento dos materiais.Relação tensão-deformação.
Carregamento.
Condições de contorno:Apoios.Carregamento.
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Modelos para análise de estruturas
Contínuos ou sólidos:Barra (1D).Estado Plano de Tensão.Estado Plano de Deformação.Sólido axissimétrico.Sólido 3D.
Estruturais:Vigas.Pórticos.Placas.Cascas.
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Tipos de análise
Estático x dinâmicoAs cargas atuantes são periódicas ou impulsivas ?A estrutura é muito flexível ?A freqüência do carregamento é próxima a da estrutura ?O comportamento do material é dependente do tempo ?
Linear x não-linearOs deslocamentos/rotações são grandes ?Qual a magnitude das deformações ?A região apoiada depende da deformação ?A relação tensão-deformação pode ser considerada linear ?O material sofre deformações permanentes ?Existe a formação de trincas ?
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Tipos de análise
Acoplada (multi-física) x desacopladaTermo-mecânico.Solo-estrutura.Fluido-estrutrura.Piezoelétrico.
Estado da prática:Depende do ramo de aplicação.Engenharia civil: estática, linear e desacoplada.Análise dinâmica: terremotos, edifícios altos,...Análise não-linear: problemas especiais.