Post on 13-Feb-2019
Princípio Fundamental da Contagem
Princípio Multiplicativo
Uma tarefa deve ser executada em uma sequência de r decisões:
d1,d2, . . . ,dr .
Suponha que existem n1 maneiras de tomar a decisão d1; uma vez
tomada a decisão d1, existem n2 maneiras de tomar a decisão d2;
uma vez tomadas as decisões d1 e d2, existem n3 maneiras de tomar
a decisão d3, e assim por diante.
Então, o número total de maneiras de efetuar a tarefa completa é dado
por n1 n2 . . . nr .
Ao usar o princípio multiplicativo, é fundamental que o número de
maneiras de tomar uma determinada decisão não seja influenciado por
nenhuma das decisões predecessoras.
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Princípio Fundamental da Contagem
Dicas1 Comece a contagem com a decisão mais restritiva.
2 Se o princípio multiplicativo não pode ser usado diretamente:
(a) Separe a contagem em casos disjuntos, ou
(b) Ignore uma restrição e depois desconte o que foi contado a mais.
Exemplos
1 Uma bandeira é formada por 7 faixas, que devem ser coloridas
com as cores azul, amarelo e vermelho. Cada faixa deve ter
somente uma cor, e a mesma cor não pode ser usada em faixas
vizinhas. De quantas maneiras a bandeira pode ser colorida?
2 Quantos são os números de três dígitos distintos?
3 Quantos são os números pares de três dígitos distintos?
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Princípio Fundamental da Contagem
Dicas1 Comece a contagem com a decisão mais restritiva.
2 Se o princípio multiplicativo não pode ser usado diretamente:
(a) Separe a contagem em casos disjuntos, ou
(b) Ignore uma restrição e depois desconte o que foi contado a mais.
Exemplos1 Uma bandeira é formada por 7 faixas, que devem ser coloridas
com as cores azul, amarelo e vermelho. Cada faixa deve ter
somente uma cor, e a mesma cor não pode ser usada em faixas
vizinhas. De quantas maneiras a bandeira pode ser colorida?
2 Quantos são os números de três dígitos distintos?
3 Quantos são os números pares de três dígitos distintos?
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Princípio Fundamental da Contagem
Dicas1 Comece a contagem com a decisão mais restritiva.
2 Se o princípio multiplicativo não pode ser usado diretamente:
(a) Separe a contagem em casos disjuntos, ou
(b) Ignore uma restrição e depois desconte o que foi contado a mais.
Exemplos1 Uma bandeira é formada por 7 faixas, que devem ser coloridas
com as cores azul, amarelo e vermelho. Cada faixa deve ter
somente uma cor, e a mesma cor não pode ser usada em faixas
vizinhas. De quantas maneiras a bandeira pode ser colorida?
2 Quantos são os números de três dígitos distintos?
3 Quantos são os números pares de três dígitos distintos?
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Princípio Fundamental da Contagem
Dicas1 Comece a contagem com a decisão mais restritiva.
2 Se o princípio multiplicativo não pode ser usado diretamente:
(a) Separe a contagem em casos disjuntos, ou
(b) Ignore uma restrição e depois desconte o que foi contado a mais.
Exemplos1 Uma bandeira é formada por 7 faixas, que devem ser coloridas
com as cores azul, amarelo e vermelho. Cada faixa deve ter
somente uma cor, e a mesma cor não pode ser usada em faixas
vizinhas. De quantas maneiras a bandeira pode ser colorida?
2 Quantos são os números de três dígitos distintos?
3 Quantos são os números pares de três dígitos distintos?
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Subconjuntos de um conjunto finito
Um conjunto com n elementos tem 2n subconjuntos.
Exemplo: Formar S ⊂ {a,b, c}.
a ∈ S
b ∈ S
c ∈ S
{a,b, c}
c /∈ S
{a,b}
b /∈ S
c ∈ S
{a, c}
c /∈ S
{a}
a /∈ S
b ∈ S
c ∈ S
{b, c}
c /∈ S
{b}
b /∈ S
c ∈ S
{c}
c /∈ S
∅
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Subconjuntos de um conjunto finito
Um conjunto com n elementos tem 2n subconjuntos.
Exemplo: Formar S ⊂ {a,b, c}.
a ∈ S
b ∈ S
c ∈ S
{a,b, c}
c /∈ S
{a,b}
b /∈ S
c ∈ S
{a, c}
c /∈ S
{a}
a /∈ S
b ∈ S
c ∈ S
{b, c}
c /∈ S
{b}
b /∈ S
c ∈ S
{c}
c /∈ S
∅
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Permutações simples
O número de modos de ordenar n objetos distintos é
n! = n (n − 1) . . . 2 1.
O número n! é chamado o fatorial de n.
Por convenção, 0! = 1.
Cada ordenação é chamada uma permutação simples dos n objetos.
Exemplo
Quantos são os anagramas da palavra “LIVRO”?
5! = 120.
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Permutações simples
O número de modos de ordenar n objetos distintos é
n! = n (n − 1) . . . 2 1.
O número n! é chamado o fatorial de n.
Por convenção, 0! = 1.
Cada ordenação é chamada uma permutação simples dos n objetos.
Exemplo
Quantos são os anagramas da palavra “LIVRO”?
5! = 120.
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Arranjos simples
ExemploDez atletas participam de uma corrida.
Quantos são os resultados possíveis para os 3 primeiros lugares?
10× 9× 8 = 720.
O número de k -subconjuntos ordenados de um n-conjunto é
Akn = (n)k = n (n − 1) . . . (n − k + 1) =
n!(n − k)!
.
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Arranjos simples
ExemploDez atletas participam de uma corrida.
Quantos são os resultados possíveis para os 3 primeiros lugares?
10× 9× 8 = 720.
O número de k -subconjuntos ordenados de um n-conjunto é
Akn = (n)k = n (n − 1) . . . (n − k + 1) =
n!(n − k)!
.
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Combinações simples
Para obter o número de subconjuntos (sem importar a ordem entre os
elementos), basta notar que cada subconjunto foi contado k ! vezes.
O número de k -subconjuntos de um n-conjunto é
Ckn =
(nk
)=
(n)k
k !=
n!k ! (n − k)!
,
que é chamado um coeficiente binomial.
Estes números podem ser arrumados em uma disposição triangular, o
famoso Triângulo de Pascal.
Exemplo
Com 5 mulheres e 4 homens, quantas comissões de 4 pessoas, com
pelo menos 2 mulheres, podem ser formadas?
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Combinações simples
Para obter o número de subconjuntos (sem importar a ordem entre os
elementos), basta notar que cada subconjunto foi contado k ! vezes.
O número de k -subconjuntos de um n-conjunto é
Ckn =
(nk
)=
(n)k
k !=
n!k ! (n − k)!
,
que é chamado um coeficiente binomial.
Estes números podem ser arrumados em uma disposição triangular, o
famoso Triângulo de Pascal.
Exemplo
Com 5 mulheres e 4 homens, quantas comissões de 4 pessoas, com
pelo menos 2 mulheres, podem ser formadas?
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Teorema Binomial
Teorema BinomialPara quaisquer n ≥ 0 inteiro e x , y ∈ R,
(x + y)n =n∑
k=0
(nk
)xk yn−k .
Exemplo
(x + y)3 =
(30
)x0 y3 +
(31
)x1 y2 +
(32
)x2 y1 +
(33
)x3 y0
= y3 + 3xy2 + 3x2y + x3.
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Permutações com objetos nem todos distintos
Exemplo
Quantos são os anagramas da palavra “BANANA”?
O número de permutações de n objetos, dos quais n1 são do tipo 1,
n2 são do tipo 2 , . . . , nr são do tipo r (onde n1 + · · ·+ nr = n) é(n
n1,n2, . . . ,nr
)=
n!n1!n2! . . . nr !
,
que é chamado um coeficiente multinomial.
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Permutações com objetos nem todos distintos
Exemplo
Quantos são os anagramas da palavra “BANANA”?
O número de permutações de n objetos, dos quais n1 são do tipo 1,
n2 são do tipo 2 , . . . , nr são do tipo r (onde n1 + · · ·+ nr = n) é(n
n1,n2, . . . ,nr
)=
n!n1!n2! . . . nr !
,
que é chamado um coeficiente multinomial.
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Divisões em grupos
Exemplo
Um professor decide separar a sua turma de 12 alunos em 3 grupos
de tamanho 4. Cada grupo fará um trabalho com um tema diferente.
Quantas são as divisões possíveis?
O número de divisões possíveis de n objetos distintos em r grupos
distintos de tamanhos respectivos n1,n2, . . . ,nr (n1 + · · ·+ nr = n) é(n
n1,n2, . . . ,nr
)=
n!n1!n2! . . . nr !
.
Omitir Teorema Multinomial
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Divisões em grupos
Exemplo
Um professor decide separar a sua turma de 12 alunos em 3 grupos
de tamanho 4. Cada grupo fará um trabalho com um tema diferente.
Quantas são as divisões possíveis?
O número de divisões possíveis de n objetos distintos em r grupos
distintos de tamanhos respectivos n1,n2, . . . ,nr (n1 + · · ·+ nr = n) é(n
n1,n2, . . . ,nr
)=
n!n1!n2! . . . nr !
.
Omitir Teorema Multinomial
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Divisões em grupos
Exemplo
Um professor decide separar a sua turma de 12 alunos em 3 grupos
de tamanho 4. Cada grupo fará um trabalho com um tema diferente.
Quantas são as divisões possíveis?
O número de divisões possíveis de n objetos distintos em r grupos
distintos de tamanhos respectivos n1,n2, . . . ,nr (n1 + · · ·+ nr = n) é(n
n1,n2, . . . ,nr
)=
n!n1!n2! . . . nr !
.
Omitir Teorema Multinomial
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Teorema Multinomial
Teorema MultinomialPara quaisquer n ≥ 1 inteiro e x1, x2, . . . , xr ∈ R,
(x1 + x2 + · · ·+ xr )n =
∑(n
n1,n2, . . . ,nr
)xn1
1 xn22 . . . xnr
r ,
onde o somatório é feito sobre todos os vetores (n1,n2, . . . ,nr ) avalores inteiros e não negativos, tais que n1 + n2 + · · ·+ nr = n.
Exemplo
(x1 + x2 + x3)2 =
(2
2,0,0
)x2
1 +
(2
0,2,0
)x2
2 +
(2
0,0,2
)x2
3
+
(2
1,1,0
)x1 x2 +
(2
1,0,1
)x1 x3 +
(2
0,1,1
)x2 x3
= x21 + x2
2 + x23 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3.
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Combinações completas
Exemplo
De quantos modos podemos distribuir 11 bombons iguais a 4 crianças?
O número de vetores distintos (x1, . . . , xn) a valores inteiros e não
negativos que satisfazem a equação
x1 + · · ·+ xn = p
é dado por(
p + n − 1n − 1
).
∴ Há(
p + n − 1n − 1
)modos de distribuir p moedas idênticas a n crianças.
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Combinações completas
Exemplo
De quantos modos podemos distribuir 11 bombons iguais a 4 crianças?
O número de vetores distintos (x1, . . . , xn) a valores inteiros e não
negativos que satisfazem a equação
x1 + · · ·+ xn = p
é dado por(
p + n − 1n − 1
).
∴ Há(
p + n − 1n − 1
)modos de distribuir p moedas idênticas a n crianças.
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Combinações completasExemplo
De quantos modos é possível comprar 11 sorvetes em uma loja que os
oferece em 4 sabores diferentes?
Se xi é a quantidade de sorvetes que vamos comprar do sabor i , então
x1 + x2 + x3 + x4 = 11.
Assim, a resposta é 364.
O número de maneiras de escolher p objetos entre n objetos distintos,
valendo escolher o mesmo objeto mais de uma vez, é
CRpn =
(p + n − 1
n − 1
).
Esse número é chamado número de combinações completas (ou com
repetição) de n objetos distintos, dos quais p são selecionados.
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Combinações completasExemplo
De quantos modos é possível comprar 11 sorvetes em uma loja que os
oferece em 4 sabores diferentes?
Se xi é a quantidade de sorvetes que vamos comprar do sabor i , então
x1 + x2 + x3 + x4 = 11.
Assim, a resposta é 364.
O número de maneiras de escolher p objetos entre n objetos distintos,
valendo escolher o mesmo objeto mais de uma vez, é
CRpn =
(p + n − 1
n − 1
).
Esse número é chamado número de combinações completas (ou com
repetição) de n objetos distintos, dos quais p são selecionados.Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Exemplo – Contagem
ExemploDe quantos modos podemos distribuir 11 bombons iguais a 4 crianças,
de forma que cada criança receba pelo menos um?
O número de vetores distintos (x1, . . . , xn) a valores inteiros que
satisfazem
x1 + · · ·+ xn = p e xi ≥ 1 para todo i = 1, . . . ,n
é dado por(
p − 1n − 1
).
Assim, existem(
p − 1n − 1
)maneiras de distribuir p moedas idênticas a
n crianças, de forma que cada criança receba pelo menos uma moeda.
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Exemplo – Contagem
ExemploDe quantos modos podemos distribuir 11 bombons iguais a 4 crianças,
de forma que cada criança receba pelo menos um?
O número de vetores distintos (x1, . . . , xn) a valores inteiros que
satisfazem
x1 + · · ·+ xn = p e xi ≥ 1 para todo i = 1, . . . ,n
é dado por(
p − 1n − 1
).
Assim, existem(
p − 1n − 1
)maneiras de distribuir p moedas idênticas a
n crianças, de forma que cada criança receba pelo menos uma moeda.
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória
Tabela
A tabela a seguir resume o número de maneiras de tomarmos uma
amostra de tamanho k de uma população com n elementos distintos,
dependendo se o mesmo objeto pode ser escolhido mais de uma vez
(amostragem com ou sem reposição) e se vamos distinguir entre duas
escolhas com os mesmos objetos escolhidos em ordem diferente
(amostra ordenada ou não).
Ordenada Não ordenada
Com reposição nk(
k + n − 1n − 1
)Sem reposição (n)k
(nk
)
Élcio Lebensztayn Análise Combinatória