EAD 350 Pesquisa Operacional

Aula 03 – Parte 2

Profa. Adriana Backx Noronha Viana

(Participação Prof. Cesar Alexandre de Souza)

backx@usp.br

FEA/USP

Método Simplex (item 4.1 do Hillier e Lieberman) - apenas para conhecimento

• É um procedimento algébrico iterativo de solução, baseado na solução geométrica

(FPE no livro em português)

Método Simplex

• Elaborando o modelo – variáveis auxiliares (slack variables)

(graus de liberdade)

Método Simplex

Resolvendo a PL com o EXCEL (Solver) Aula 1 Exemplo 1 (Ex Wyndor)

Fábrica 1 2

1 1 0 4

2 0 2 12

3 3 2 18

Lucro Por Lote

(US$ 1.000) 3 5

Produto

Tempo de Produção

(horas)

Tempo de

Produção

Disponível

por Semana

Modelo Matemático

Função Objetivo

Max Z (lucro)= 3X1 + 5X2

Sujeito à (restrições):

1X1 + 0X2 <= 4 0X1 + 2X2 <= 12 3X1 + 2X2 < =18 X1, X2 >= 0

X1 – número de lotes do produto 1 produzido

semanalmente (porta de vidro com esquadria de

alumínio)

X2 – número de lotes do produto 2 produzido

semanalmente (janela com esquadria de madeira

Em amarelo: Dados de entrada do problema

Em azul: Valor inicial igual a zero

Em verde: Fórmula “somarproduto”

Planilha

Planilha

Coeficientes de restrições

Totais de recursos necessários

Totais de recursos disponíveis

Valor ótimo

Coeficientes da função objetiva

Variáveis decisórias

Fórmulas

Coeficientes de restrições

Totais de recursos necessários

Totais de recursos disponíveis

Valor ótimo

Coeficientes da função objetiva

Variáveis decisórias

Parâmetros do Solver

Parâmetros do Solver - Restrições

Resultados do Solver Valor ótimo Variáveis decisórias

Opções do Solver

Relatório de Sensibilidade

Relatório de Sensibilidade

22 c

2

150 1 c

3 - 3 3 + 4,5

Relatório de Sensibilidade

Limites para Fábrica 1

Relatório de Sensibilidade

Limites para Fábrica 2

Relatório de Sensibilidade

Limites para Fábrica 3

Aula 1 – Enunciado 1 • Um fabricante deseja maximizar a receita bruta de vendas de

ligas de metal. A tabela abaixo ilustra o consumo de matéria prima por unidade de liga, seus preços de venda e as disponibilidades de matéria-prima.

Itens / Atividades

Liga Tipo A LigaTipo B Matéria-prima disponível

Cobre 2 1 16

Zinco 1 2 11

Chumbo 1 3 15

Proço unitário de venda

R$30,00 R$50,00

Realize a análise de pós-otimalidade para o exercício, calculando os preços-sombra e seus limites de validade e fazendo a análise de sensibilidade dos parâmetros Ci da função Z

Análise pós Ótimo – Atv 3 – Ex1

Função Objetivo

Max Z = 30x1 + 50x2

Restrições

2x1 + x2 < 16 Cobre

x1 + 2x2 < 11 Zinco

x1 + 3x2 < 15 Chumbo

x1, x2 > 0

Análise de Sensibilidade – Ex. 1

5

10

15

5 10 15 A

B

C

D

E

Cobre 2x1 + x2 < 16

x2

x1

F

602

130

252

1

50

2

2

11

cc

cc

Coeficientes da função objetivo

quando for paralela à reta

x1 + 2x2 = 11 (Zn)

Girar até ser

paralela à reta x2 = 11/2 – 1/2 x1

G

Z = 30x1 + 50x2

Z = C1x1 + C2x2

Zinco: x1 + 2x2 < 11

Análise de Sensibilidade – Ex. 1

5

10

15

5 10 15 A

B

C

D

E

x2

x1

F

151

230

1001

2

50

2

2

11

cc

cc

Coeficientes da função objetiva

quando for paralela à reta

2x1 + x2 = 16 (Cu)

Girar até ser

paralela à reta

x2 = 16 - 2x1

G

Cobre: 2x1 + x2 < 16

Zinco: x1 + 2x2 < 11

Z = 30x1 + 50x2

Z = C1x1 + C2x2

Análise de Pós Ótimo – Ex. 1

Rel. Análise de Sensibilidade –Solver/Excel

Células ajustáveis

Valor Reduzido Objetivo Permissível Permissível

Célula Nome Final Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo

$B$3 Variável decisória x1 7 0 30 70 5

$C$3 Variável decisória x2 2 0 50 10 35

Restrições

Valor Sombra Restrição Permissível Permissível

Célula Nome Final Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo

$D$6 Cobre LE 16 3,333333333 16 6 6

$D$7 Zinco LE 11 23,33333333 11 1,2 3

$D$8 Chumbo LE 13 0 15 1E+30 2

33,2331033,333'

33,333)67,2(50)67,6(30'

67,23

8;67,6

3

20

(Cu) 162

(Zn) 122

21

21

21

ZZZ

Z

xx

xx

xx

5

10

15

5 10 15 A

B

C

D

E

x2

x1

F(6,6; 2,8)

G(11; 0)

A restrição pode ser

deslocada entre os pontos

F(6,6; 2,8) e E(8; 0).

8 < zinco < 12,2

Restrição Zinco

Restrições Laterais – Ex. 1

Zinco: x1 + 2x2 < 11

Cobre: 2x1 + x2 < 16

33,331033,313'

33,313)66,1(50)66,7(30'

67,13

5;67,7

3

23

172

112

21

21

21

ZZZ

Z

xx

xx

xx

5

10

15

5 10 15 A

B

C

D

E

x2

x1

F(6,6; 2,8)

G(11; 0)

A restrição pode ser

deslocada até os pontos

C(3; 4) e G(11; 0).

10 < cobre < 22

Restrição Cobre

Cobre: 2x1 + x2 < 16

Restrições Laterais – Ex. 1

Zinco: x1 + 2x2 < 11

Aula 3 – Enunciado 4

• Uma pequena manufatura produz dois modelos, Standard e Luxo, de um certo produto. Cada unidade do modelo Standard requer 3 horas de polimento e 1 hora de pintura. Cada unidade do modelo Luxo exige 1 hora de polimento e 4 horas de pintura. A fábrica dispõe de 2 polidores, numa base de 40 horas semanais e de um pintor, numa base de 20 horas semanais. As margens de lucro são R$24,00 e R$32,00, respectivamente, para cada unidade de Standard e Luxo. Não existem restrições de demanda para ambos os modelos. Encontre a produção semanal que maximize o lucro do fabricante.

Aula 3 – Enunciado 5 • Uma empresa pretende fabricar dois produtos, A e B. O volume de

vendas de A será de no mínimo 80% do total de vendas de ambos (A e B). Contudo, a empresa não poderá vender mais do que 100 unidades de A por dia. Ambos os produtos usam uma matéria prima cuja disponibilidade máxima diária é 240 quilos. As taxas de utilização da matéria prima são 2 quilos por unidade de A e 4 quilos por unidade de B. Os preços unitários de venda estimados pelo departamento de marketing para A e B são $20 e $ 50 respectivamente. Determine o mix de produto que otimize o faturamento da empresa (total da questão: 4,0 pontos)

a) Elabore o modelo matemático para o problema descrito.

b) Determine a solução pelo método gráfico.

c) O departamento de marketing estima que há uma margem de erro de 20% para mais ou menos em relação aos preços unitários estimados. A solução encontrada é robusta relativamente a essa margem de erro? Porque sim ou porque não? (para esse item, é necessário fazer a análise de sensibilidade para os parâmetros da função Z)

Uma empresa de engenharia está considerando o tempo

disponível de máquinas para a produção de três produtos:

1, 2 e 3. As horas requeridas para cada unidade de produto

e o tempo disponível em uma semana por máquina são:

Máquina 1 2 3

Tempo

horas/semana

Produto

A 4 h 1 h 1,5 h 100 h

B 2 h 1,5 h - 50 h

C 1 h - 0,5 h 25 h

Os produtos 1 e 2 podem ser vendidos em qualquer quantidade,

mas o produto 3 pode ser vendido até no máximo 10 unidades

por semana. O lucro unitário é de R$10, R$3 e R$4 para os

produtos 1, 2 e 3 respectivamente. Qual será o mix de produtos que

a empresa deve fabricar para obter o lucro máximo?

Aula 3 – Enunciado 6