Post on 11-Aug-2021
Distribuições deProbabilidade Discretas
Who? João L.F. Batista e Paulo Inácio K.L. Prado
From? BIE-5781 Modelagem Estatística em Ecologia e Recursos Naturais
When? setembro de 2014
Sumário
Variabilidade e Modelos EscocásticosDistribuiçõa de ProbabilidadeDistribuiçõa BernoulliDistribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa
Sumário
Variabilidade e Modelos Escocásticos
Distribuiçõa de ProbabilidadeDistribuiçõa BernoulliDistribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa
Sumário
Variabilidade e Modelos EscocásticosDistribuiçõa de Probabilidade
Distribuiçõa BernoulliDistribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa
Sumário
Variabilidade e Modelos EscocásticosDistribuiçõa de ProbabilidadeDistribuiçõa Bernoulli
Distribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa
Sumário
Variabilidade e Modelos EscocásticosDistribuiçõa de ProbabilidadeDistribuiçõa BernoulliDistribuição Binomial
Distribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa
Sumário
Variabilidade e Modelos EscocásticosDistribuiçõa de ProbabilidadeDistribuiçõa BernoulliDistribuição BinomialDistribuição Poisson
Distribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa
Sumário
Variabilidade e Modelos EscocásticosDistribuiçõa de ProbabilidadeDistribuiçõa BernoulliDistribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição Geométrica
Distribuição Binomial Negativa
Sumário
Variabilidade e Modelos EscocásticosDistribuiçõa de ProbabilidadeDistribuiçõa BernoulliDistribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa
Variabilidade e Diversidade
A Constânciada Inconstância
Um aspecto constante no estudo da Natureza é ainconstância das formas existentes.Um dos aspectos mais marcantes da vida no planeta ésua diversidade.O elemento central das ciências da vida é explicar comoessa diversidade é criada e mantida.
Variabilidade eDiversidade
A representação da variabilidade/diversidade é umaspecto fundamental nas ciências da vida:
tanto na teoriaquanto na “empírica”.
Variabilidade e Diversidade
A Constânciada Inconstância
Um aspecto constante no estudo da Natureza é ainconstância das formas existentes.Um dos aspectos mais marcantes da vida no planeta ésua diversidade.O elemento central das ciências da vida é explicar comoessa diversidade é criada e mantida.
Variabilidade eDiversidade
A representação da variabilidade/diversidade é umaspecto fundamental nas ciências da vida:
tanto na teoriaquanto na “empírica”.
Variabilidade e Diversidade
A Constânciada Inconstância Um aspecto constante no estudo da Natureza é a
inconstância das formas existentes.
Um dos aspectos mais marcantes da vida no planeta ésua diversidade.O elemento central das ciências da vida é explicar comoessa diversidade é criada e mantida.
Variabilidade eDiversidade
A representação da variabilidade/diversidade é umaspecto fundamental nas ciências da vida:
tanto na teoriaquanto na “empírica”.
Variabilidade e Diversidade
A Constânciada Inconstância Um aspecto constante no estudo da Natureza é a
inconstância das formas existentes.Um dos aspectos mais marcantes da vida no planeta ésua diversidade.
O elemento central das ciências da vida é explicar comoessa diversidade é criada e mantida.
Variabilidade eDiversidade
A representação da variabilidade/diversidade é umaspecto fundamental nas ciências da vida:
tanto na teoriaquanto na “empírica”.
Variabilidade e Diversidade
A Constânciada Inconstância Um aspecto constante no estudo da Natureza é a
inconstância das formas existentes.Um dos aspectos mais marcantes da vida no planeta ésua diversidade.O elemento central das ciências da vida é explicar comoessa diversidade é criada e mantida.
Variabilidade eDiversidade
A representação da variabilidade/diversidade é umaspecto fundamental nas ciências da vida:
tanto na teoriaquanto na “empírica”.
Variabilidade e Diversidade
A Constânciada Inconstância Um aspecto constante no estudo da Natureza é a
inconstância das formas existentes.Um dos aspectos mais marcantes da vida no planeta ésua diversidade.O elemento central das ciências da vida é explicar comoessa diversidade é criada e mantida.
Variabilidade eDiversidade
A representação da variabilidade/diversidade é umaspecto fundamental nas ciências da vida:
tanto na teoriaquanto na “empírica”.
Variabilidade e Diversidade
A Constânciada Inconstância Um aspecto constante no estudo da Natureza é a
inconstância das formas existentes.Um dos aspectos mais marcantes da vida no planeta ésua diversidade.O elemento central das ciências da vida é explicar comoessa diversidade é criada e mantida.
Variabilidade eDiversidade A representação da variabilidade/diversidade é um
aspecto fundamental nas ciências da vida:
tanto na teoriaquanto na “empírica”.
Variabilidade e Diversidade
A Constânciada Inconstância Um aspecto constante no estudo da Natureza é a
inconstância das formas existentes.Um dos aspectos mais marcantes da vida no planeta ésua diversidade.O elemento central das ciências da vida é explicar comoessa diversidade é criada e mantida.
Variabilidade eDiversidade A representação da variabilidade/diversidade é um
aspecto fundamental nas ciências da vida:tanto na teoria
quanto na “empírica”.
Variabilidade e Diversidade
A Constânciada Inconstância Um aspecto constante no estudo da Natureza é a
inconstância das formas existentes.Um dos aspectos mais marcantes da vida no planeta ésua diversidade.O elemento central das ciências da vida é explicar comoessa diversidade é criada e mantida.
Variabilidade eDiversidade A representação da variabilidade/diversidade é um
aspecto fundamental nas ciências da vida:tanto na teoriaquanto na “empírica”.
Observação da Variabilidade
CenárioEstocástico:
“Dipositivo” ou “parte da Natureza” que gera resultadosdiferentes a cada observação.
Resultado: o que se observa a cada “ensaio” do cenário estocásticoEnsaio: evento de observação ou experimentação
Incerteza: a observação de um dado resultado é incertaChance: um dado resultado tem uma certa “chance” de ser
observado
ModeloEstocástico:
Associa probabilidades aos resultados observados numcenário estocástico
Probabilidade: medida da incerteza/chance de se observar um resultado
Observação da Variabilidade
CenárioEstocástico:
“Dipositivo” ou “parte da Natureza” que gera resultadosdiferentes a cada observação.
Resultado: o que se observa a cada “ensaio” do cenário estocásticoEnsaio: evento de observação ou experimentação
Incerteza: a observação de um dado resultado é incertaChance: um dado resultado tem uma certa “chance” de ser
observado
ModeloEstocástico:
Associa probabilidades aos resultados observados numcenário estocástico
Probabilidade: medida da incerteza/chance de se observar um resultado
Observação da Variabilidade
CenárioEstocástico:
“Dipositivo” ou “parte da Natureza” que gera resultadosdiferentes a cada observação.
Resultado: o que se observa a cada “ensaio” do cenário estocástico
Ensaio: evento de observação ou experimentaçãoIncerteza: a observação de um dado resultado é incertaChance: um dado resultado tem uma certa “chance” de ser
observado
ModeloEstocástico:
Associa probabilidades aos resultados observados numcenário estocástico
Probabilidade: medida da incerteza/chance de se observar um resultado
Observação da Variabilidade
CenárioEstocástico:
“Dipositivo” ou “parte da Natureza” que gera resultadosdiferentes a cada observação.
Resultado: o que se observa a cada “ensaio” do cenário estocásticoEnsaio: evento de observação ou experimentação
Incerteza: a observação de um dado resultado é incertaChance: um dado resultado tem uma certa “chance” de ser
observado
ModeloEstocástico:
Associa probabilidades aos resultados observados numcenário estocástico
Probabilidade: medida da incerteza/chance de se observar um resultado
Observação da Variabilidade
CenárioEstocástico:
“Dipositivo” ou “parte da Natureza” que gera resultadosdiferentes a cada observação.
Resultado: o que se observa a cada “ensaio” do cenário estocásticoEnsaio: evento de observação ou experimentação
Incerteza: a observação de um dado resultado é incerta
Chance: um dado resultado tem uma certa “chance” de serobservado
ModeloEstocástico:
Associa probabilidades aos resultados observados numcenário estocástico
Probabilidade: medida da incerteza/chance de se observar um resultado
Observação da Variabilidade
CenárioEstocástico:
“Dipositivo” ou “parte da Natureza” que gera resultadosdiferentes a cada observação.
Resultado: o que se observa a cada “ensaio” do cenário estocásticoEnsaio: evento de observação ou experimentação
Incerteza: a observação de um dado resultado é incertaChance: um dado resultado tem uma certa “chance” de ser
observado
ModeloEstocástico:
Associa probabilidades aos resultados observados numcenário estocástico
Probabilidade: medida da incerteza/chance de se observar um resultado
Observação da Variabilidade
CenárioEstocástico:
“Dipositivo” ou “parte da Natureza” que gera resultadosdiferentes a cada observação.
Resultado: o que se observa a cada “ensaio” do cenário estocásticoEnsaio: evento de observação ou experimentação
Incerteza: a observação de um dado resultado é incertaChance: um dado resultado tem uma certa “chance” de ser
observado
ModeloEstocástico:
Associa probabilidades aos resultados observados numcenário estocástico
Probabilidade: medida da incerteza/chance de se observar um resultado
Observação da Variabilidade
CenárioEstocástico:
“Dipositivo” ou “parte da Natureza” que gera resultadosdiferentes a cada observação.
Resultado: o que se observa a cada “ensaio” do cenário estocásticoEnsaio: evento de observação ou experimentação
Incerteza: a observação de um dado resultado é incertaChance: um dado resultado tem uma certa “chance” de ser
observado
ModeloEstocástico:
Associa probabilidades aos resultados observados numcenário estocástico
Probabilidade: medida da incerteza/chance de se observar um resultado
Modelo para Variabilidade
Modelando aVariabilidade:
O conceito de “curva de probabilidades” vem sendoutilizado na explicação de fenômenos naturais há váriosséculos.Mas foi Karl Pearson que sistematizou esse conceito naforma que entendemos hoje.Na virada dos séculos XIX – XX, seu objetivo era arepresentação matemática da variabilidade dos dadosbiológicos.
Modelo para Variabilidade
Modelando aVariabilidade:
O conceito de “curva de probabilidades” vem sendoutilizado na explicação de fenômenos naturais há váriosséculos.Mas foi Karl Pearson que sistematizou esse conceito naforma que entendemos hoje.Na virada dos séculos XIX – XX, seu objetivo era arepresentação matemática da variabilidade dos dadosbiológicos.
Modelo para Variabilidade
Modelando aVariabilidade: O conceito de “curva de probabilidades” vem sendo
utilizado na explicação de fenômenos naturais há váriosséculos.
Mas foi Karl Pearson que sistematizou esse conceito naforma que entendemos hoje.Na virada dos séculos XIX – XX, seu objetivo era arepresentação matemática da variabilidade dos dadosbiológicos.
Modelo para Variabilidade
Modelando aVariabilidade: O conceito de “curva de probabilidades” vem sendo
utilizado na explicação de fenômenos naturais há váriosséculos.Mas foi Karl Pearson que sistematizou esse conceito naforma que entendemos hoje.
Na virada dos séculos XIX – XX, seu objetivo era arepresentação matemática da variabilidade dos dadosbiológicos.
Modelo para Variabilidade
Modelando aVariabilidade: O conceito de “curva de probabilidades” vem sendo
utilizado na explicação de fenômenos naturais há váriosséculos.Mas foi Karl Pearson que sistematizou esse conceito naforma que entendemos hoje.Na virada dos séculos XIX – XX, seu objetivo era arepresentação matemática da variabilidade dos dadosbiológicos.
Exemplos de Variabilidade
Abundância deEspécies
Sterculia chichaTrichilia clausseniiDiatenopteryx sorbifoliaAlchornea triplinerviaTrichilia elegansCaryota urensNectandra megapotamicaCaesalpinia ferrea var. leiostachyaHymenaea courbarilHolocalyx balansaeCaesalpinia peltophoroidesSchizolobium parahybaMyroxylon peruiferumChrysophyllum gonocarpumCedrela fissilisSavia dyctiocarpaBalfourodendron riedelianumJoannesia princepsCariniana estrellensisAcacia polyphylla
●
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●
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●
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●
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●
10 20 30 40 50 60
Abundância
Exemplos de Variabilidade
Plântulas dePalmiteiro
Número de Plântulas
Pro
babi
lidad
e
0 50 100 150 200 250 300
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
Exemplos de Variabilidade
Área Basalnum
Fragmento
Área Basal (m2/ha)
Pro
babi
lidad
e
0 5 10 15 20 25
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisDiscretas
Os valores possíveis estão no conjunto dosNÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:
finito se for um sub-conjunto dos números interios.infinito contável se todos números interios.
Variáveis obtidas por:
enumeração,contagem.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisDiscretas
Os valores possíveis estão no conjunto dosNÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:
finito se for um sub-conjunto dos números interios.infinito contável se todos números interios.
Variáveis obtidas por:
enumeração,contagem.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisDiscretas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS INTEIROS.
O tamanho do conjunto é:
finito se for um sub-conjunto dos números interios.infinito contável se todos números interios.
Variáveis obtidas por:
enumeração,contagem.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisDiscretas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:
finito se for um sub-conjunto dos números interios.infinito contável se todos números interios.
Variáveis obtidas por:
enumeração,contagem.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisDiscretas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:finito se for um sub-conjunto dos números interios.
infinito contável se todos números interios.
Variáveis obtidas por:
enumeração,contagem.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisDiscretas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:finito se for um sub-conjunto dos números interios.infinito contável se todos números interios.
Variáveis obtidas por:
enumeração,contagem.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisDiscretas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:finito se for um sub-conjunto dos números interios.infinito contável se todos números interios.
Variáveis obtidas por:
enumeração,contagem.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisDiscretas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:finito se for um sub-conjunto dos números interios.infinito contável se todos números interios.
Variáveis obtidas por:enumeração,
contagem.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisDiscretas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:finito se for um sub-conjunto dos números interios.infinito contável se todos números interios.
Variáveis obtidas por:enumeração,contagem.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisContínuas
Os valores possíveis estão no conjunto dosNÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.
Variáveis obtidas por:
medição.
EspaçoAmostral
Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisContínuas
Os valores possíveis estão no conjunto dosNÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.
Variáveis obtidas por:
medição.
EspaçoAmostral
Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisContínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS REAIS.
O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.
Variáveis obtidas por:
medição.
EspaçoAmostral
Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisContínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.
Variáveis obtidas por:
medição.
EspaçoAmostral
Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisContínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.
Variáveis obtidas por:
medição.
EspaçoAmostral
Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisContínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.
Variáveis obtidas por:medição.
EspaçoAmostral
Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisContínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.
Variáveis obtidas por:medição.
EspaçoAmostral
Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisContínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.
Variáveis obtidas por:medição.
EspaçoAmostral Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,
Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisContínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.
Variáveis obtidas por:medição.
EspaçoAmostral Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,
Chama-se o conjunto de valores possíveis de
Espaço Amostral.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisContínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.
Variáveis obtidas por:medição.
EspaçoAmostral Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,
Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.
Exemplos de Espaços Amostrais
V. Discretas
Número de caras no lançamento de duas moedas:
S = {0, 1, 2}
Número de plântulas numa parcela:
S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}
V. Contínuas
Peso de peixe: S = {w} |w ∈ [0,+∞)
Diâmetro de árvores em levantamento com diâmetromínimo de medição de 5 cm:
S = {d} | d ∈ [5,+∞)
Exemplos de Espaços AmostraisV. Discretas
Número de caras no lançamento de duas moedas:
S = {0, 1, 2}
Número de plântulas numa parcela:
S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}
V. Contínuas
Peso de peixe: S = {w} |w ∈ [0,+∞)
Diâmetro de árvores em levantamento com diâmetromínimo de medição de 5 cm:
S = {d} | d ∈ [5,+∞)
Exemplos de Espaços AmostraisV. Discretas
Número de caras no lançamento de duas moedas:
S = {0, 1, 2}
Número de plântulas numa parcela:
S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}
V. Contínuas
Peso de peixe: S = {w} |w ∈ [0,+∞)
Diâmetro de árvores em levantamento com diâmetromínimo de medição de 5 cm:
S = {d} | d ∈ [5,+∞)
Exemplos de Espaços AmostraisV. Discretas
Número de caras no lançamento de duas moedas:
S = {0, 1, 2}
Número de plântulas numa parcela:
S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}
V. Contínuas
Peso de peixe: S = {w} |w ∈ [0,+∞)
Diâmetro de árvores em levantamento com diâmetromínimo de medição de 5 cm:
S = {d} | d ∈ [5,+∞)
Exemplos de Espaços AmostraisV. Discretas
Número de caras no lançamento de duas moedas:
S = {0, 1, 2}
Número de plântulas numa parcela:
S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}
V. Contínuas
Peso de peixe: S = {w} |w ∈ [0,+∞)
Diâmetro de árvores em levantamento com diâmetromínimo de medição de 5 cm:
S = {d} | d ∈ [5,+∞)
Exemplos de Espaços AmostraisV. Discretas
Número de caras no lançamento de duas moedas:
S = {0, 1, 2}
Número de plântulas numa parcela:
S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}
V. ContínuasPeso de peixe: S = {w} |w ∈ [0,+∞)
Diâmetro de árvores em levantamento com diâmetromínimo de medição de 5 cm:
S = {d} | d ∈ [5,+∞)
Exemplos de Espaços AmostraisV. Discretas
Número de caras no lançamento de duas moedas:
S = {0, 1, 2}
Número de plântulas numa parcela:
S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}
V. ContínuasPeso de peixe: S = {w} |w ∈ [0,+∞)
Diâmetro de árvores em levantamento com diâmetromínimo de medição de 5 cm:
S = {d} | d ∈ [5,+∞)
O Modelo Probabilístico
ConfusãoTerminológica
Na literatura estatística (teórica e aplicada) há umagrande confusão na terminologia.
Geralmente o modelo é designado por variável aleatória.Mas uma variável aleatória não é uma variável. Eis oinício da confusão!
Outros nomes que são sinônimos:
função de distribuição,função de densidade,distribuição de probabilidades.
Termo a serusado:
Distribuição de Probabilidades
ou Distribuição EstocásticaTentaremos aderir a esse termo!!
O Modelo Probabilístico
ConfusãoTerminológica
Na literatura estatística (teórica e aplicada) há umagrande confusão na terminologia.
Geralmente o modelo é designado por variável aleatória.Mas uma variável aleatória não é uma variável. Eis oinício da confusão!
Outros nomes que são sinônimos:
função de distribuição,função de densidade,distribuição de probabilidades.
Termo a serusado:
Distribuição de Probabilidades
ou Distribuição EstocásticaTentaremos aderir a esse termo!!
O Modelo Probabilístico
ConfusãoTerminológica
Na literatura estatística (teórica e aplicada) há umagrande confusão na terminologia.Geralmente o modelo é designado por variável aleatória.
Mas uma variável aleatória não é uma variável. Eis oinício da confusão!
Outros nomes que são sinônimos:
função de distribuição,função de densidade,distribuição de probabilidades.
Termo a serusado:
Distribuição de Probabilidades
ou Distribuição EstocásticaTentaremos aderir a esse termo!!
O Modelo Probabilístico
ConfusãoTerminológica
Na literatura estatística (teórica e aplicada) há umagrande confusão na terminologia.Geralmente o modelo é designado por variável aleatória.Mas uma variável aleatória não é uma variável. Eis oinício da confusão!
Outros nomes que são sinônimos:
função de distribuição,função de densidade,distribuição de probabilidades.
Termo a serusado:
Distribuição de Probabilidades
ou Distribuição EstocásticaTentaremos aderir a esse termo!!
O Modelo Probabilístico
ConfusãoTerminológica
Na literatura estatística (teórica e aplicada) há umagrande confusão na terminologia.Geralmente o modelo é designado por variável aleatória.Mas uma variável aleatória não é uma variável. Eis oinício da confusão!
Outros nomes que são sinônimos:
função de distribuição,função de densidade,distribuição de probabilidades.
Termo a serusado:
Distribuição de Probabilidades
ou Distribuição EstocásticaTentaremos aderir a esse termo!!
O Modelo Probabilístico
ConfusãoTerminológica
Na literatura estatística (teórica e aplicada) há umagrande confusão na terminologia.Geralmente o modelo é designado por variável aleatória.Mas uma variável aleatória não é uma variável. Eis oinício da confusão!
Outros nomes que são sinônimos:função de distribuição,
função de densidade,distribuição de probabilidades.
Termo a serusado:
Distribuição de Probabilidades
ou Distribuição EstocásticaTentaremos aderir a esse termo!!
O Modelo Probabilístico
ConfusãoTerminológica
Na literatura estatística (teórica e aplicada) há umagrande confusão na terminologia.Geralmente o modelo é designado por variável aleatória.Mas uma variável aleatória não é uma variável. Eis oinício da confusão!
Outros nomes que são sinônimos:função de distribuição,função de densidade,
distribuição de probabilidades.
Termo a serusado:
Distribuição de Probabilidades
ou Distribuição EstocásticaTentaremos aderir a esse termo!!
O Modelo Probabilístico
ConfusãoTerminológica
Na literatura estatística (teórica e aplicada) há umagrande confusão na terminologia.Geralmente o modelo é designado por variável aleatória.Mas uma variável aleatória não é uma variável. Eis oinício da confusão!
Outros nomes que são sinônimos:função de distribuição,função de densidade,distribuição de probabilidades.
Termo a serusado:
Distribuição de Probabilidades
ou Distribuição EstocásticaTentaremos aderir a esse termo!!
O Modelo Probabilístico
ConfusãoTerminológica
Na literatura estatística (teórica e aplicada) há umagrande confusão na terminologia.Geralmente o modelo é designado por variável aleatória.Mas uma variável aleatória não é uma variável. Eis oinício da confusão!
Outros nomes que são sinônimos:função de distribuição,função de densidade,distribuição de probabilidades.
Termo a serusado:
Distribuição de Probabilidades
ou Distribuição EstocásticaTentaremos aderir a esse termo!!
O Modelo Probabilístico
ConfusãoTerminológica
Na literatura estatística (teórica e aplicada) há umagrande confusão na terminologia.Geralmente o modelo é designado por variável aleatória.Mas uma variável aleatória não é uma variável. Eis oinício da confusão!
Outros nomes que são sinônimos:função de distribuição,função de densidade,distribuição de probabilidades.
Termo a serusado:
Distribuição de Probabilidades
ou Distribuição EstocásticaTentaremos aderir a esse termo!!
O Modelo Probabilístico
ConfusãoTerminológica
Na literatura estatística (teórica e aplicada) há umagrande confusão na terminologia.Geralmente o modelo é designado por variável aleatória.Mas uma variável aleatória não é uma variável. Eis oinício da confusão!
Outros nomes que são sinônimos:função de distribuição,função de densidade,distribuição de probabilidades.
Termo a serusado:
Distribuição de Probabilidadesou Distribuição Estocástica
Tentaremos aderir a esse termo!!
O Modelo Probabilístico
ConfusãoTerminológica
Na literatura estatística (teórica e aplicada) há umagrande confusão na terminologia.Geralmente o modelo é designado por variável aleatória.Mas uma variável aleatória não é uma variável. Eis oinício da confusão!
Outros nomes que são sinônimos:função de distribuição,função de densidade,distribuição de probabilidades.
Termo a serusado:
Distribuição de Probabilidadesou Distribuição EstocásticaTentaremos aderir a esse termo!!
Distribuição de Probabilidades
Função
Uma Distribuição de Probabilidades éuma função matemática.
Esquema
INTERVALO
0
1
x
x
x
1
2
3
N
ix
x4
p
p
p
p
1
2
3
4
i
N
p
AMOSTRALESPACO
x
p
Distribuição de Probabilidades
Função
Uma Distribuição de Probabilidades éuma função matemática.
Esquema
INTERVALO
0
1
x
x
x
1
2
3
N
ix
x4
p
p
p
p
1
2
3
4
i
N
p
AMOSTRALESPACO
x
p
Distribuição de Probabilidades
FunçãoUma Distribuição de Probabilidades éuma função matemática.
Esquema
INTERVALO
0
1
x
x
x
1
2
3
N
ix
x4
p
p
p
p
1
2
3
4
i
N
p
AMOSTRALESPACO
x
p
Distribuição de Probabilidades
FunçãoUma Distribuição de Probabilidades éuma função matemática.
Esquema
INTERVALO
0
1
x
x
x
1
2
3
N
ix
x4
p
p
p
p
1
2
3
4
i
N
p
AMOSTRALESPACO
x
p
Distribuição de Probabilidades
FunçãoMatemática
Para uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:
cada (e todos) elemento do Espaço Amostralcom um número real no intervalo [0, 1].
Probabilidade
Para uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:
cada valor possível da variávelcom uma probabilidade desse valor ser observado.
Distribuição de Probabilidades
FunçãoMatemática
Para uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:
cada (e todos) elemento do Espaço Amostralcom um número real no intervalo [0, 1].
Probabilidade
Para uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:
cada valor possível da variávelcom uma probabilidade desse valor ser observado.
Distribuição de Probabilidades
FunçãoMatemática Para uma variável discreta,
a Distribuição de Probabilidades associa:
cada (e todos) elemento do Espaço Amostralcom um número real no intervalo [0, 1].
Probabilidade
Para uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:
cada valor possível da variávelcom uma probabilidade desse valor ser observado.
Distribuição de Probabilidades
FunçãoMatemática Para uma variável discreta,
a Distribuição de Probabilidades associa:
cada (e todos) elemento do Espaço Amostralcom um número real no intervalo [0, 1].
Probabilidade
Para uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:
cada valor possível da variávelcom uma probabilidade desse valor ser observado.
Distribuição de Probabilidades
FunçãoMatemática Para uma variável discreta,
a Distribuição de Probabilidades associa:cada (e todos) elemento do Espaço Amostral
com um número real no intervalo [0, 1].
Probabilidade
Para uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:
cada valor possível da variávelcom uma probabilidade desse valor ser observado.
Distribuição de Probabilidades
FunçãoMatemática Para uma variável discreta,
a Distribuição de Probabilidades associa:cada (e todos) elemento do Espaço Amostralcom um número real no intervalo [0, 1].
Probabilidade
Para uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:
cada valor possível da variávelcom uma probabilidade desse valor ser observado.
Distribuição de Probabilidades
FunçãoMatemática Para uma variável discreta,
a Distribuição de Probabilidades associa:cada (e todos) elemento do Espaço Amostralcom um número real no intervalo [0, 1].
Probabilidade
Para uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:
cada valor possível da variávelcom uma probabilidade desse valor ser observado.
Distribuição de Probabilidades
FunçãoMatemática Para uma variável discreta,
a Distribuição de Probabilidades associa:cada (e todos) elemento do Espaço Amostralcom um número real no intervalo [0, 1].
ProbabilidadePara uma variável discreta,
a Distribuição de Probabilidades associa:
cada valor possível da variávelcom uma probabilidade desse valor ser observado.
Distribuição de Probabilidades
FunçãoMatemática Para uma variável discreta,
a Distribuição de Probabilidades associa:cada (e todos) elemento do Espaço Amostralcom um número real no intervalo [0, 1].
ProbabilidadePara uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:
cada valor possível da variávelcom uma probabilidade desse valor ser observado.
Distribuição de Probabilidades
FunçãoMatemática Para uma variável discreta,
a Distribuição de Probabilidades associa:cada (e todos) elemento do Espaço Amostralcom um número real no intervalo [0, 1].
ProbabilidadePara uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:cada valor possível da variável
com uma probabilidade desse valor ser observado.
Distribuição de Probabilidades
FunçãoMatemática Para uma variável discreta,
a Distribuição de Probabilidades associa:cada (e todos) elemento do Espaço Amostralcom um número real no intervalo [0, 1].
ProbabilidadePara uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:cada valor possível da variávelcom uma probabilidade desse valor ser observado.
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
Situação
Uma ninhada de 3 filhotes de lobo guará.Cada filhote tem chance de 50% de ser macho.
VariávelDiscreta
X = número de machos na ninhada.
EspaçoAmostral
x ∈ S = {0, 1, 2, 3} ou x = 0, 1, 2, 3
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
Situação
Uma ninhada de 3 filhotes de lobo guará.Cada filhote tem chance de 50% de ser macho.
VariávelDiscreta
X = número de machos na ninhada.
EspaçoAmostral
x ∈ S = {0, 1, 2, 3} ou x = 0, 1, 2, 3
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
SituaçãoUma ninhada de 3 filhotes de lobo guará.
Cada filhote tem chance de 50% de ser macho.
VariávelDiscreta
X = número de machos na ninhada.
EspaçoAmostral
x ∈ S = {0, 1, 2, 3} ou x = 0, 1, 2, 3
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
SituaçãoUma ninhada de 3 filhotes de lobo guará.Cada filhote tem chance de 50% de ser macho.
VariávelDiscreta
X = número de machos na ninhada.
EspaçoAmostral
x ∈ S = {0, 1, 2, 3} ou x = 0, 1, 2, 3
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
SituaçãoUma ninhada de 3 filhotes de lobo guará.Cada filhote tem chance de 50% de ser macho.
VariávelDiscreta
X = número de machos na ninhada.
EspaçoAmostral
x ∈ S = {0, 1, 2, 3} ou x = 0, 1, 2, 3
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
SituaçãoUma ninhada de 3 filhotes de lobo guará.Cada filhote tem chance de 50% de ser macho.
VariávelDiscreta
X = número de machos na ninhada.
EspaçoAmostral
x ∈ S = {0, 1, 2, 3} ou x = 0, 1, 2, 3
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
Função
Função de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):
f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2, 3
Probabilidades
x = 0→ f(0) = P (X = 0) = 18 = 0, 125
x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 38 = 0, 375
x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 38 = 0, 375
x = 3→ f(3) = P (X = 3) = 18 = 0, 125
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
Função
Função de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):
f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2, 3
Probabilidades
x = 0→ f(0) = P (X = 0) = 18 = 0, 125
x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 38 = 0, 375
x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 38 = 0, 375
x = 3→ f(3) = P (X = 3) = 18 = 0, 125
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
FunçãoFunção de densidade probabilística ou
Função de massa probabilística (Rice, 1995):
f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2, 3
Probabilidades
x = 0→ f(0) = P (X = 0) = 18 = 0, 125
x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 38 = 0, 375
x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 38 = 0, 375
x = 3→ f(3) = P (X = 3) = 18 = 0, 125
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
FunçãoFunção de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):
f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2, 3
Probabilidades
x = 0→ f(0) = P (X = 0) = 18 = 0, 125
x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 38 = 0, 375
x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 38 = 0, 375
x = 3→ f(3) = P (X = 3) = 18 = 0, 125
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
FunçãoFunção de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):
f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2, 3
Probabilidades
x = 0→ f(0) = P (X = 0) = 18 = 0, 125
x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 38 = 0, 375
x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 38 = 0, 375
x = 3→ f(3) = P (X = 3) = 18 = 0, 125
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
FunçãoFunção de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):
f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2, 3
Probabilidadesx = 0→ f(0) = P (X = 0) = 1
8 = 0, 125
x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 38 = 0, 375
x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 38 = 0, 375
x = 3→ f(3) = P (X = 3) = 18 = 0, 125
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
FunçãoFunção de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):
f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2, 3
Probabilidadesx = 0→ f(0) = P (X = 0) = 1
8 = 0, 125
x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 38 = 0, 375
x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 38 = 0, 375
x = 3→ f(3) = P (X = 3) = 18 = 0, 125
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
FunçãoFunção de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):
f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2, 3
Probabilidadesx = 0→ f(0) = P (X = 0) = 1
8 = 0, 125
x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 38 = 0, 375
x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 38 = 0, 375
x = 3→ f(3) = P (X = 3) = 18 = 0, 125
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
FunçãoFunção de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):
f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2, 3
Probabilidadesx = 0→ f(0) = P (X = 0) = 1
8 = 0, 125
x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 38 = 0, 375
x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 38 = 0, 375
x = 3→ f(3) = P (X = 3) = 18 = 0, 125
Função de Densidade Probabilística
Função Função de densidade probabilística:
f(x) = P (X = x), x ∈ S (espaço amostral)
Propriedades
Valores no intervalo [0, 1]:
0 ≤ f(x) ≤ 1 para x ∈ S.
A soma das probabilidades é igual a 1:∑x∈S
f(x) = 1.
Função de Densidade Probabilística
Função Função de densidade probabilística:
f(x) = P (X = x), x ∈ S (espaço amostral)
Propriedades
Valores no intervalo [0, 1]:
0 ≤ f(x) ≤ 1 para x ∈ S.
A soma das probabilidades é igual a 1:∑x∈S
f(x) = 1.
Função de Densidade Probabilística
Função Função de densidade probabilística:
f(x) = P (X = x), x ∈ S (espaço amostral)
Propriedades
Valores no intervalo [0, 1]:
0 ≤ f(x) ≤ 1 para x ∈ S.
A soma das probabilidades é igual a 1:∑x∈S
f(x) = 1.
Função de Densidade Probabilística
Função Função de densidade probabilística:
f(x) = P (X = x), x ∈ S (espaço amostral)
PropriedadesValores no intervalo [0, 1]:
0 ≤ f(x) ≤ 1 para x ∈ S.
A soma das probabilidades é igual a 1:∑x∈S
f(x) = 1.
Função de Densidade Probabilística
Função Função de densidade probabilística:
f(x) = P (X = x), x ∈ S (espaço amostral)
PropriedadesValores no intervalo [0, 1]:
0 ≤ f(x) ≤ 1 para x ∈ S.
A soma das probabilidades é igual a 1:∑x∈S
f(x) = 1.
A Soma das Probabildiades no EspaçoAmostral
Exemplo daNinhada
x = 0→ f(0) = P (X = 0) =1
8= 0, 125
x = 1→ f(1) = P (X = 1) =3
8= 0, 375
x = 2→ f(2) = P (X = 2) =3
8= 0, 375
x = 3→ f(3) = P (X = 3) =1
8= 0, 125
3∑x=0
f(x) = (1/8) + (3/8) + (3/8) + (1/8) = 1, 000
A Soma das Probabildiades no EspaçoAmostral
Exemplo daNinhada
x = 0→ f(0) = P (X = 0) =1
8= 0, 125
x = 1→ f(1) = P (X = 1) =3
8= 0, 375
x = 2→ f(2) = P (X = 2) =3
8= 0, 375
x = 3→ f(3) = P (X = 3) =1
8= 0, 125
3∑x=0
f(x) = (1/8) + (3/8) + (3/8) + (1/8) = 1, 000
Gráfico da Função de DensidadeProbabilística
Exemplo daNinhada
0 1 2 3
Número de Machos
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
Gráfico da Função de DensidadeProbabilística
Exemplo daNinhada
0 1 2 3
Número de Machos
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
Função de Distribuição
Outra Função Outra forma de representar a distribuição deprobabilidades é a Função de Distribuição
A Função de Distribuição de x informa a probabilidade“acumulada até x”
F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S
V. Discreta: sequência ordenada (crescente) dex = {x1, x2, . . . , xn, . . .}:
F (xn) =n∑i=0
P (X = xi) =n∑i=0
f(xi), xi ∈ S
Função de Distribuição
Outra Função Outra forma de representar a distribuição deprobabilidades é a Função de Distribuição
A Função de Distribuição de x informa a probabilidade“acumulada até x”
F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S
V. Discreta: sequência ordenada (crescente) dex = {x1, x2, . . . , xn, . . .}:
F (xn) =n∑i=0
P (X = xi) =n∑i=0
f(xi), xi ∈ S
Função de Distribuição
Outra Função Outra forma de representar a distribuição deprobabilidades é a Função de DistribuiçãoA Função de Distribuição de x informa a probabilidade“acumulada até x”
F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S
V. Discreta: sequência ordenada (crescente) dex = {x1, x2, . . . , xn, . . .}:
F (xn) =n∑i=0
P (X = xi) =n∑i=0
f(xi), xi ∈ S
Função de Distribuição
Outra Função Outra forma de representar a distribuição deprobabilidades é a Função de DistribuiçãoA Função de Distribuição de x informa a probabilidade“acumulada até x”
F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S
V. Discreta: sequência ordenada (crescente) dex = {x1, x2, . . . , xn, . . .}:
F (xn) =n∑i=0
P (X = xi) =n∑i=0
f(xi), xi ∈ S
Função de Distribuição
Outra Função Outra forma de representar a distribuição deprobabilidades é a Função de DistribuiçãoA Função de Distribuição de x informa a probabilidade“acumulada até x”
F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S
V. Discreta: sequência ordenada (crescente) dex = {x1, x2, . . . , xn, . . .}:
F (xn) =
n∑i=0
P (X = xi) =
n∑i=0
f(xi), xi ∈ S
Propriedades da Função de Distribuição
Propriedades
Valores no intervalo [0, 1]:
0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.
Função monotonicamente crescente:
x1 < x2 < x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)
Valor unitário para o maior valor no espaço amostral:
F (max{x ∈ S}) = 1
Propriedades da Função de Distribuição
Propriedades
Valores no intervalo [0, 1]:
0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.
Função monotonicamente crescente:
x1 < x2 < x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)
Valor unitário para o maior valor no espaço amostral:
F (max{x ∈ S}) = 1
Propriedades da Função de Distribuição
PropriedadesValores no intervalo [0, 1]:
0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.
Função monotonicamente crescente:
x1 < x2 < x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)
Valor unitário para o maior valor no espaço amostral:
F (max{x ∈ S}) = 1
Propriedades da Função de Distribuição
PropriedadesValores no intervalo [0, 1]:
0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.
Função monotonicamente crescente:
x1 < x2 < x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)
Valor unitário para o maior valor no espaço amostral:
F (max{x ∈ S}) = 1
Propriedades da Função de Distribuição
PropriedadesValores no intervalo [0, 1]:
0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.
Função monotonicamente crescente:
x1 < x2 < x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)
Valor unitário para o maior valor no espaço amostral:
F (max{x ∈ S}) = 1
Gráfico da Função de Distribuição
Exemplo daNinhada
0 1 2 3
Número de Machos
Pro
babi
lidad
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Gráfico da Função de Distribuição
Exemplo daNinhada
0 1 2 3
Número de Machos
Pro
babi
lidad
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Esperança e Variância
Propriedades
Há duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:
Esperança ou Valor EsperadoVariância
Esperança
A esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.Esse “valor médio” depende de como as probabilidadesestão associadas a cada elemento do espaço amostralLogo, o “valor médio” depende da função de densidadeVariável discreta X:
E[X] =∑x∈S
x f(x) =∑x∈S
xP (X = x)
Esperança e Variância
Propriedades
Há duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:
Esperança ou Valor EsperadoVariância
Esperança
A esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.Esse “valor médio” depende de como as probabilidadesestão associadas a cada elemento do espaço amostralLogo, o “valor médio” depende da função de densidadeVariável discreta X:
E[X] =∑x∈S
x f(x) =∑x∈S
xP (X = x)
Esperança e Variância
PropriedadesHá duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:
Esperança ou Valor EsperadoVariância
Esperança
A esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.Esse “valor médio” depende de como as probabilidadesestão associadas a cada elemento do espaço amostralLogo, o “valor médio” depende da função de densidadeVariável discreta X:
E[X] =∑x∈S
x f(x) =∑x∈S
xP (X = x)
Esperança e Variância
PropriedadesHá duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:Esperança ou Valor Esperado
Variância
Esperança
A esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.Esse “valor médio” depende de como as probabilidadesestão associadas a cada elemento do espaço amostralLogo, o “valor médio” depende da função de densidadeVariável discreta X:
E[X] =∑x∈S
x f(x) =∑x∈S
xP (X = x)
Esperança e Variância
PropriedadesHá duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:Esperança ou Valor EsperadoVariância
Esperança
A esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.Esse “valor médio” depende de como as probabilidadesestão associadas a cada elemento do espaço amostralLogo, o “valor médio” depende da função de densidadeVariável discreta X:
E[X] =∑x∈S
x f(x) =∑x∈S
xP (X = x)
Esperança e Variância
PropriedadesHá duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:Esperança ou Valor EsperadoVariância
Esperança
A esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.Esse “valor médio” depende de como as probabilidadesestão associadas a cada elemento do espaço amostralLogo, o “valor médio” depende da função de densidadeVariável discreta X:
E[X] =∑x∈S
x f(x) =∑x∈S
xP (X = x)
Esperança e Variância
PropriedadesHá duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:Esperança ou Valor EsperadoVariância
EsperançaA esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.
Esse “valor médio” depende de como as probabilidadesestão associadas a cada elemento do espaço amostralLogo, o “valor médio” depende da função de densidadeVariável discreta X:
E[X] =∑x∈S
x f(x) =∑x∈S
xP (X = x)
Esperança e Variância
PropriedadesHá duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:Esperança ou Valor EsperadoVariância
EsperançaA esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.Esse “valor médio” depende de como as probabilidadesestão associadas a cada elemento do espaço amostral
Logo, o “valor médio” depende da função de densidadeVariável discreta X:
E[X] =∑x∈S
x f(x) =∑x∈S
xP (X = x)
Esperança e Variância
PropriedadesHá duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:Esperança ou Valor EsperadoVariância
EsperançaA esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.Esse “valor médio” depende de como as probabilidadesestão associadas a cada elemento do espaço amostralLogo, o “valor médio” depende da função de densidade
Variável discreta X:
E[X] =∑x∈S
x f(x) =∑x∈S
xP (X = x)
Esperança e Variância
PropriedadesHá duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:Esperança ou Valor EsperadoVariância
EsperançaA esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.Esse “valor médio” depende de como as probabilidadesestão associadas a cada elemento do espaço amostralLogo, o “valor médio” depende da função de densidadeVariável discreta X:
E[X] =∑x∈S
x f(x) =∑x∈S
xP (X = x)
Esperança e Variância
Variância
A variância pode ser interpretada como a “variância” davariável.Ela é uma medida de dispersão dos valores observadosao redor da esperança.Variável discreta X:
Var[X] =∑x∈S
(x−E[X])2 f(x)
=∑x∈S
(x−E[X])2 P (X = x)
= E[(X −E[X])2]
= E[X2]− (E[X])2
Esperança e Variância
Variância
A variância pode ser interpretada como a “variância” davariável.Ela é uma medida de dispersão dos valores observadosao redor da esperança.Variável discreta X:
Var[X] =∑x∈S
(x−E[X])2 f(x)
=∑x∈S
(x−E[X])2 P (X = x)
= E[(X −E[X])2]
= E[X2]− (E[X])2
Esperança e Variância
VariânciaA variância pode ser interpretada como a “variância” davariável.
Ela é uma medida de dispersão dos valores observadosao redor da esperança.Variável discreta X:
Var[X] =∑x∈S
(x−E[X])2 f(x)
=∑x∈S
(x−E[X])2 P (X = x)
= E[(X −E[X])2]
= E[X2]− (E[X])2
Esperança e Variância
VariânciaA variância pode ser interpretada como a “variância” davariável.Ela é uma medida de dispersão dos valores observadosao redor da esperança.
Variável discreta X:
Var[X] =∑x∈S
(x−E[X])2 f(x)
=∑x∈S
(x−E[X])2 P (X = x)
= E[(X −E[X])2]
= E[X2]− (E[X])2
Esperança e Variância
VariânciaA variância pode ser interpretada como a “variância” davariável.Ela é uma medida de dispersão dos valores observadosao redor da esperança.Variável discreta X:
Var[X] =∑x∈S
(x−E[X])2 f(x)
=∑x∈S
(x−E[X])2 P (X = x)
= E[(X −E[X])2]
= E[X2]− (E[X])2
Exemplo da Ninhada: Número de Machos
Esperança
E[X] =
3∑x=0
x f(x)
= 0(1/8) + 1(3/8) + 2(3/8) + 3(1/8)
= 1, 5
Variância
Var[X] =
3∑x=0
(x−E[X])2 f(x)
= (0− 1, 5)2(1/8) + . . .+ (3− 1, 5)2(1/8)
= 0, 75
Exemplo da Ninhada: Número de Machos
Esperança
E[X] =
3∑x=0
x f(x)
= 0(1/8) + 1(3/8) + 2(3/8) + 3(1/8)
= 1, 5
Variância
Var[X] =
3∑x=0
(x−E[X])2 f(x)
= (0− 1, 5)2(1/8) + . . .+ (3− 1, 5)2(1/8)
= 0, 75
Exemplo da Ninhada: Número de Machos
Esperança
E[X] =
3∑x=0
x f(x)
= 0(1/8) + 1(3/8) + 2(3/8) + 3(1/8)
= 1, 5
Variância
Var[X] =
3∑x=0
(x−E[X])2 f(x)
= (0− 1, 5)2(1/8) + . . .+ (3− 1, 5)2(1/8)
= 0, 75
Exemplo da Ninhada: Variância 2
Variância 2
Var[X] = E[X2]− (E[X])2
E[X] = 1, 5
E[X2] =3∑
x=0
x2 f(x)
= 02(1/8) + 12(3/8) + 22(3/8) + 32(1/8)
= 3
Var[X] = 3− (1, 5)2 = 0, 75
Exemplo da Ninhada: Variância 2
Variância 2
Var[X] = E[X2]− (E[X])2
E[X] = 1, 5
E[X2] =3∑
x=0
x2 f(x)
= 02(1/8) + 12(3/8) + 22(3/8) + 32(1/8)
= 3
Var[X] = 3− (1, 5)2 = 0, 75
Exemplo da Ninhada: Variância 2
Variância 2
Var[X] = E[X2]− (E[X])2
E[X] = 1, 5
E[X2] =
3∑x=0
x2 f(x)
= 02(1/8) + 12(3/8) + 22(3/8) + 32(1/8)
= 3
Var[X] = 3− (1, 5)2 = 0, 75
Distribuição Bernoulli
Ensaio
Bernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.
Variável Binária
Dois resultados possíveis:
fracasso (X = 0): o evento não ocorre.sucesso (X = 1): o evento ocorre.
Parâmetro: a probabilidade de sucesso (p).
Distribuição Bernoulli
Ensaio
Bernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.
Variável Binária
Dois resultados possíveis:
fracasso (X = 0): o evento não ocorre.sucesso (X = 1): o evento ocorre.
Parâmetro: a probabilidade de sucesso (p).
Distribuição Bernoulli
EnsaioBernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.
Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.
Variável Binária
Dois resultados possíveis:
fracasso (X = 0): o evento não ocorre.sucesso (X = 1): o evento ocorre.
Parâmetro: a probabilidade de sucesso (p).
Distribuição Bernoulli
EnsaioBernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.
A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.
Variável Binária
Dois resultados possíveis:
fracasso (X = 0): o evento não ocorre.sucesso (X = 1): o evento ocorre.
Parâmetro: a probabilidade de sucesso (p).
Distribuição Bernoulli
EnsaioBernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.
Variável Binária
Dois resultados possíveis:
fracasso (X = 0): o evento não ocorre.sucesso (X = 1): o evento ocorre.
Parâmetro: a probabilidade de sucesso (p).
Distribuição Bernoulli
EnsaioBernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.
Variável Binária
Dois resultados possíveis:
fracasso (X = 0): o evento não ocorre.sucesso (X = 1): o evento ocorre.
Parâmetro: a probabilidade de sucesso (p).
Distribuição Bernoulli
EnsaioBernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.
Variável BináriaDois resultados possíveis:
fracasso (X = 0): o evento não ocorre.sucesso (X = 1): o evento ocorre.
Parâmetro: a probabilidade de sucesso (p).
Distribuição Bernoulli
EnsaioBernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.
Variável BináriaDois resultados possíveis:fracasso (X = 0): o evento não ocorre.
sucesso (X = 1): o evento ocorre.
Parâmetro: a probabilidade de sucesso (p).
Distribuição Bernoulli
EnsaioBernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.
Variável BináriaDois resultados possíveis:fracasso (X = 0): o evento não ocorre.sucesso (X = 1): o evento ocorre.
Parâmetro: a probabilidade de sucesso (p).
Distribuição Bernoulli
EnsaioBernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.
Variável BináriaDois resultados possíveis:fracasso (X = 0): o evento não ocorre.sucesso (X = 1): o evento ocorre.
Parâmetro: a probabilidade de sucesso (p).
Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal
Descrição Função de Densidade:
f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.
Resultados
Fracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p
Função deDistribuição F (x) = (1− p)1−x, x = 0, 1
Propriedades
Esperança: E[X] = p
Variância: Var[X] = p (1− p)
Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal
Descrição Função de Densidade:
f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.
Resultados
Fracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p
Função deDistribuição F (x) = (1− p)1−x, x = 0, 1
Propriedades
Esperança: E[X] = p
Variância: Var[X] = p (1− p)
Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal
Descrição Função de Densidade:
f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.
Resultados
Fracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p
Função deDistribuição F (x) = (1− p)1−x, x = 0, 1
Propriedades
Esperança: E[X] = p
Variância: Var[X] = p (1− p)
Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal
Descrição Função de Densidade:
f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.
ResultadosFracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)
Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p
Função deDistribuição F (x) = (1− p)1−x, x = 0, 1
Propriedades
Esperança: E[X] = p
Variância: Var[X] = p (1− p)
Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal
Descrição Função de Densidade:
f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.
ResultadosFracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p
Função deDistribuição F (x) = (1− p)1−x, x = 0, 1
Propriedades
Esperança: E[X] = p
Variância: Var[X] = p (1− p)
Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal
Descrição Função de Densidade:
f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.
ResultadosFracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p
Função deDistribuição F (x) = (1− p)1−x, x = 0, 1
Propriedades
Esperança: E[X] = p
Variância: Var[X] = p (1− p)
Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal
Descrição Função de Densidade:
f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.
ResultadosFracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p
Função deDistribuição F (x) = (1− p)1−x, x = 0, 1
Propriedades
Esperança: E[X] = p
Variância: Var[X] = p (1− p)
Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal
Descrição Função de Densidade:
f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.
ResultadosFracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p
Função deDistribuição F (x) = (1− p)1−x, x = 0, 1
Propriedades
Esperança: E[X] = p
Variância: Var[X] = p (1− p)
Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal
Descrição Função de Densidade:
f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.
ResultadosFracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p
Função deDistribuição F (x) = (1− p)1−x, x = 0, 1
PropriedadesEsperança: E[X] = p
Variância: Var[X] = p (1− p)
Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal
Descrição Função de Densidade:
f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.
ResultadosFracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p
Função deDistribuição F (x) = (1− p)1−x, x = 0, 1
PropriedadesEsperança: E[X] = p
Variância: Var[X] = p (1− p)
Exemplo de Distribuição Bernoulli
Situação Uma árvore é selecionada aleatóriamente na floresta.
Variável A árvore está morta?
Não: x = 0
Sim: x = 1
Parâmetro Probabilidade de estar morta: p = 0, 03
Proporção de árvores mortas na floresta
Resultados
Fracasso (árvore viva): f(0) = (1− 0, 03) = 0, 97
Sucesso (árvore morta): f(1) = 0, 03
Propriedades
Esperança: E[X] = 0, 03
Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291
Exemplo de Distribuição Bernoulli
Situação Uma árvore é selecionada aleatóriamente na floresta.
Variável A árvore está morta?
Não: x = 0
Sim: x = 1
Parâmetro Probabilidade de estar morta: p = 0, 03
Proporção de árvores mortas na floresta
Resultados
Fracasso (árvore viva): f(0) = (1− 0, 03) = 0, 97
Sucesso (árvore morta): f(1) = 0, 03
Propriedades
Esperança: E[X] = 0, 03
Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291
Exemplo de Distribuição Bernoulli
Situação Uma árvore é selecionada aleatóriamente na floresta.
Variável A árvore está morta?
Não: x = 0
Sim: x = 1
Parâmetro Probabilidade de estar morta: p = 0, 03
Proporção de árvores mortas na floresta
Resultados
Fracasso (árvore viva): f(0) = (1− 0, 03) = 0, 97
Sucesso (árvore morta): f(1) = 0, 03
Propriedades
Esperança: E[X] = 0, 03
Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291
Exemplo de Distribuição Bernoulli
Situação Uma árvore é selecionada aleatóriamente na floresta.
Variável A árvore está morta?Não: x = 0
Sim: x = 1
Parâmetro Probabilidade de estar morta: p = 0, 03
Proporção de árvores mortas na floresta
Resultados
Fracasso (árvore viva): f(0) = (1− 0, 03) = 0, 97
Sucesso (árvore morta): f(1) = 0, 03
Propriedades
Esperança: E[X] = 0, 03
Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291
Exemplo de Distribuição Bernoulli
Situação Uma árvore é selecionada aleatóriamente na floresta.
Variável A árvore está morta?Não: x = 0
Sim: x = 1
Parâmetro Probabilidade de estar morta: p = 0, 03
Proporção de árvores mortas na floresta
Resultados
Fracasso (árvore viva): f(0) = (1− 0, 03) = 0, 97
Sucesso (árvore morta): f(1) = 0, 03
Propriedades
Esperança: E[X] = 0, 03
Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291
Exemplo de Distribuição Bernoulli
Situação Uma árvore é selecionada aleatóriamente na floresta.
Variável A árvore está morta?Não: x = 0
Sim: x = 1
Parâmetro Probabilidade de estar morta: p = 0, 03
Proporção de árvores mortas na floresta
Resultados
Fracasso (árvore viva): f(0) = (1− 0, 03) = 0, 97
Sucesso (árvore morta): f(1) = 0, 03
Propriedades
Esperança: E[X] = 0, 03
Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291
Exemplo de Distribuição Bernoulli
Situação Uma árvore é selecionada aleatóriamente na floresta.
Variável A árvore está morta?Não: x = 0
Sim: x = 1
Parâmetro Probabilidade de estar morta: p = 0, 03
Proporção de árvores mortas na floresta
Resultados
Fracasso (árvore viva): f(0) = (1− 0, 03) = 0, 97
Sucesso (árvore morta): f(1) = 0, 03
Propriedades
Esperança: E[X] = 0, 03
Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291
Exemplo de Distribuição Bernoulli
Situação Uma árvore é selecionada aleatóriamente na floresta.
Variável A árvore está morta?Não: x = 0
Sim: x = 1
Parâmetro Probabilidade de estar morta: p = 0, 03
Proporção de árvores mortas na floresta
Resultados
Fracasso (árvore viva): f(0) = (1− 0, 03) = 0, 97
Sucesso (árvore morta): f(1) = 0, 03
Propriedades
Esperança: E[X] = 0, 03
Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291
Exemplo de Distribuição Bernoulli
Situação Uma árvore é selecionada aleatóriamente na floresta.
Variável A árvore está morta?Não: x = 0
Sim: x = 1
Parâmetro Probabilidade de estar morta: p = 0, 03
Proporção de árvores mortas na floresta
ResultadosFracasso (árvore viva): f(0) = (1− 0, 03) = 0, 97
Sucesso (árvore morta): f(1) = 0, 03
Propriedades
Esperança: E[X] = 0, 03
Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291
Exemplo de Distribuição Bernoulli
Situação Uma árvore é selecionada aleatóriamente na floresta.
Variável A árvore está morta?Não: x = 0
Sim: x = 1
Parâmetro Probabilidade de estar morta: p = 0, 03
Proporção de árvores mortas na floresta
ResultadosFracasso (árvore viva): f(0) = (1− 0, 03) = 0, 97
Sucesso (árvore morta): f(1) = 0, 03
Propriedades
Esperança: E[X] = 0, 03
Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291
Exemplo de Distribuição Bernoulli
Situação Uma árvore é selecionada aleatóriamente na floresta.
Variável A árvore está morta?Não: x = 0
Sim: x = 1
Parâmetro Probabilidade de estar morta: p = 0, 03
Proporção de árvores mortas na floresta
ResultadosFracasso (árvore viva): f(0) = (1− 0, 03) = 0, 97
Sucesso (árvore morta): f(1) = 0, 03
Propriedades
Esperança: E[X] = 0, 03
Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291
Exemplo de Distribuição Bernoulli
Situação Uma árvore é selecionada aleatóriamente na floresta.
Variável A árvore está morta?Não: x = 0
Sim: x = 1
Parâmetro Probabilidade de estar morta: p = 0, 03
Proporção de árvores mortas na floresta
ResultadosFracasso (árvore viva): f(0) = (1− 0, 03) = 0, 97
Sucesso (árvore morta): f(1) = 0, 03
PropriedadesEsperança: E[X] = 0, 03
Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291
Exemplo de Distribuição Bernoulli
Situação Uma árvore é selecionada aleatóriamente na floresta.
Variável A árvore está morta?Não: x = 0
Sim: x = 1
Parâmetro Probabilidade de estar morta: p = 0, 03
Proporção de árvores mortas na floresta
ResultadosFracasso (árvore viva): f(0) = (1− 0, 03) = 0, 97
Sucesso (árvore morta): f(1) = 0, 03
PropriedadesEsperança: E[X] = 0, 03
Variância: Var[X] = 0, 03 (1− 0, 03) = 0, 0291
Distribuição Binomial
Situação
Uma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: n
Probabilidadeconstante:
Todos ensaios da sére tem a mesma probabilidade desucessoparâmetro prob. de sucesso constante: p
Variável
X = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Distribuição Binomial
Situação
Uma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: n
Probabilidadeconstante:
Todos ensaios da sére tem a mesma probabilidade desucessoparâmetro prob. de sucesso constante: p
Variável
X = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Distribuição Binomial
SituaçãoUma série de n de ensaios Bernoulli independentes
Parâmetro tamanho da série: n
Probabilidadeconstante:
Todos ensaios da sére tem a mesma probabilidade desucessoparâmetro prob. de sucesso constante: p
Variável
X = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Distribuição Binomial
SituaçãoUma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: n
Probabilidadeconstante:
Todos ensaios da sére tem a mesma probabilidade desucessoparâmetro prob. de sucesso constante: p
Variável
X = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Distribuição Binomial
SituaçãoUma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: n
Probabilidadeconstante:
Todos ensaios da sére tem a mesma probabilidade desucessoparâmetro prob. de sucesso constante: p
Variável
X = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Distribuição Binomial
SituaçãoUma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: n
Probabilidadeconstante: Todos ensaios da sére tem a mesma probabilidade de
sucesso
parâmetro prob. de sucesso constante: p
Variável
X = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Distribuição Binomial
SituaçãoUma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: n
Probabilidadeconstante: Todos ensaios da sére tem a mesma probabilidade de
sucessoparâmetro prob. de sucesso constante: p
Variável
X = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Distribuição Binomial
SituaçãoUma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: n
Probabilidadeconstante: Todos ensaios da sére tem a mesma probabilidade de
sucessoparâmetro prob. de sucesso constante: p
Variável
X = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Distribuição Binomial
SituaçãoUma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: n
Probabilidadeconstante: Todos ensaios da sére tem a mesma probabilidade de
sucessoparâmetro prob. de sucesso constante: p
VariávelX = o número de sucessos nos n ensaios
espaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Distribuição Binomial
SituaçãoUma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: n
Probabilidadeconstante: Todos ensaios da sére tem a mesma probabilidade de
sucessoparâmetro prob. de sucesso constante: p
VariávelX = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Distribuição Binomial: Apresentação Formal
Descrição Função de densidade:
f(x) =
(n
x
)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n
Parâmetros
Tamanho da amostra: n (número de ensaios);Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.
Função deDistribuição
F (x) =x∑k=0
(n
k
)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n
Propriedades
Esperança: E[X] = n p
Variância: Var[X] = n p (1− p)
Distribuição Binomial: Apresentação FormalDescrição Função de densidade:
f(x) =
(n
x
)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n
Parâmetros
Tamanho da amostra: n (número de ensaios);Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.
Função deDistribuição
F (x) =x∑k=0
(n
k
)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n
Propriedades
Esperança: E[X] = n p
Variância: Var[X] = n p (1− p)
Distribuição Binomial: Apresentação FormalDescrição Função de densidade:
f(x) =
(n
x
)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n
Parâmetros
Tamanho da amostra: n (número de ensaios);Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.
Função deDistribuição
F (x) =x∑k=0
(n
k
)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n
Propriedades
Esperança: E[X] = n p
Variância: Var[X] = n p (1− p)
Distribuição Binomial: Apresentação FormalDescrição Função de densidade:
f(x) =
(n
x
)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n
ParâmetrosTamanho da amostra: n (número de ensaios);
Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.
Função deDistribuição
F (x) =x∑k=0
(n
k
)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n
Propriedades
Esperança: E[X] = n p
Variância: Var[X] = n p (1− p)
Distribuição Binomial: Apresentação FormalDescrição Função de densidade:
f(x) =
(n
x
)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n
ParâmetrosTamanho da amostra: n (número de ensaios);Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.
Função deDistribuição
F (x) =x∑k=0
(n
k
)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n
Propriedades
Esperança: E[X] = n p
Variância: Var[X] = n p (1− p)
Distribuição Binomial: Apresentação FormalDescrição Função de densidade:
f(x) =
(n
x
)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n
ParâmetrosTamanho da amostra: n (número de ensaios);Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.
Função deDistribuição
F (x) =
x∑k=0
(n
k
)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n
Propriedades
Esperança: E[X] = n p
Variância: Var[X] = n p (1− p)
Distribuição Binomial: Apresentação FormalDescrição Função de densidade:
f(x) =
(n
x
)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n
ParâmetrosTamanho da amostra: n (número de ensaios);Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.
Função deDistribuição
F (x) =
x∑k=0
(n
k
)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n
Propriedades
Esperança: E[X] = n p
Variância: Var[X] = n p (1− p)
Distribuição Binomial: Apresentação FormalDescrição Função de densidade:
f(x) =
(n
x
)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n
ParâmetrosTamanho da amostra: n (número de ensaios);Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.
Função deDistribuição
F (x) =
x∑k=0
(n
k
)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n
PropriedadesEsperança: E[X] = n p
Variância: Var[X] = n p (1− p)
Distribuição Binomial: Apresentação FormalDescrição Função de densidade:
f(x) =
(n
x
)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n
ParâmetrosTamanho da amostra: n (número de ensaios);Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.
Função deDistribuição
F (x) =
x∑k=0
(n
k
)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n
PropriedadesEsperança: E[X] = n p
Variância: Var[X] = n p (1− p)
Exemplo: Distribuição Binomial
Árvores Mortas
Número de árvores mortas numa amostra de 20 (n).Probabilidade de cada árvore estar morta: p = 0,10.
Função dedensidade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
Número de Árvores Mortas
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Exemplo: Distribuição Binomial
Árvores Mortas
Número de árvores mortas numa amostra de 20 (n).Probabilidade de cada árvore estar morta: p = 0,10.
Função dedensidade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
Número de Árvores Mortas
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Exemplo: Distribuição Binomial
Árvores MortasNúmero de árvores mortas numa amostra de 20 (n).
Probabilidade de cada árvore estar morta: p = 0,10.
Função dedensidade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
Número de Árvores Mortas
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Exemplo: Distribuição Binomial
Árvores MortasNúmero de árvores mortas numa amostra de 20 (n).Probabilidade de cada árvore estar morta: p = 0,10.
Função dedensidade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
Número de Árvores Mortas
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Exemplo: Distribuição Binomial
Árvores MortasNúmero de árvores mortas numa amostra de 20 (n).Probabilidade de cada árvore estar morta: p = 0,10.
Função dedensidade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
Número de Árvores Mortas
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Exemplo: Distribuição Binomial — Funçãode Distribuição
Função dedistribuição
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
Número de Árvores Mortas
Pro
babi
lidad
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Propriedades
Número esperado de árvores mortas:n p = 20 (0, 10) = 2.Variância do número de árvores mortas:n p (1− p) = 20 (0, 10)(1− 0, 10) = 1, 8.
Exemplo: Distribuição Binomial — Funçãode Distribuição
Função dedistribuição
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
Número de Árvores Mortas
Pro
babi
lidad
e0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Propriedades
Número esperado de árvores mortas:n p = 20 (0, 10) = 2.Variância do número de árvores mortas:n p (1− p) = 20 (0, 10)(1− 0, 10) = 1, 8.
Exemplo: Distribuição Binomial — Funçãode Distribuição
Função dedistribuição
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
Número de Árvores Mortas
Pro
babi
lidad
e0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Propriedades
Número esperado de árvores mortas:n p = 20 (0, 10) = 2.Variância do número de árvores mortas:n p (1− p) = 20 (0, 10)(1− 0, 10) = 1, 8.
Exemplo: Distribuição Binomial — Funçãode Distribuição
Função dedistribuição
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
Número de Árvores Mortas
Pro
babi
lidad
e0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
PropriedadesNúmero esperado de árvores mortas:n p = 20 (0, 10) = 2.
Variância do número de árvores mortas:n p (1− p) = 20 (0, 10)(1− 0, 10) = 1, 8.
Exemplo: Distribuição Binomial — Funçãode Distribuição
Função dedistribuição
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
Número de Árvores Mortas
Pro
babi
lidad
e0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
PropriedadesNúmero esperado de árvores mortas:n p = 20 (0, 10) = 2.Variância do número de árvores mortas:n p (1− p) = 20 (0, 10)(1− 0, 10) = 1, 8.
Exemplo 2: Distribuição Binomial
Árvores comTortuosidade
Número de árvores com tortuosidade do tronco numaamostra de 20 árvores de Pinus elliottii (n).
Probabilidade de tortuosidade: p = 0,50.
Função dedensidade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
Número de Árvores Tortas
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
Exemplo 2: Distribuição Binomial
Árvores comTortuosidade
Número de árvores com tortuosidade do tronco numaamostra de 20 árvores de Pinus elliottii (n).
Probabilidade de tortuosidade: p = 0,50.
Função dedensidade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
Número de Árvores Tortas
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
Exemplo 2: Distribuição Binomial
Árvores comTortuosidade
Número de árvores com tortuosidade do tronco numaamostra de 20 árvores de Pinus elliottii (n).Probabilidade de tortuosidade: p = 0,50.
Função dedensidade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
Número de Árvores Tortas
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
Exemplo 2: Distribuição Binomial
Árvores comTortuosidade
Número de árvores com tortuosidade do tronco numaamostra de 20 árvores de Pinus elliottii (n).Probabilidade de tortuosidade: p = 0,50.
Função dedensidade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
Número de Árvores Tortas
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
Exemplo 2: Distribuição Binomial (cont.)
Função dedistribuição
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
Número de Árvores Tortas
Pro
babi
lidad
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Propriedades
Número esperado de árvores com tortuosidade: n p = 10
Variância do número de árvores com tortuosidade:n p (1− p) = 5
Exemplo 2: Distribuição Binomial (cont.)
Função dedistribuição
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
Número de Árvores Tortas
Pro
babi
lidad
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Propriedades
Número esperado de árvores com tortuosidade: n p = 10
Variância do número de árvores com tortuosidade:n p (1− p) = 5
Exemplo 2: Distribuição Binomial (cont.)
Função dedistribuição
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
Número de Árvores Tortas
Pro
babi
lidad
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Propriedades
Número esperado de árvores com tortuosidade: n p = 10
Variância do número de árvores com tortuosidade:n p (1− p) = 5
Exemplo 2: Distribuição Binomial (cont.)
Função dedistribuição
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
Número de Árvores Tortas
Pro
babi
lidad
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
PropriedadesNúmero esperado de árvores com tortuosidade: n p = 10
Variância do número de árvores com tortuosidade:n p (1− p) = 5
Exemplo 2: Distribuição Binomial (cont.)
Função dedistribuição
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19
Número de Árvores Tortas
Pro
babi
lidad
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
PropriedadesNúmero esperado de árvores com tortuosidade: n p = 10
Variância do número de árvores com tortuosidade:n p (1− p) = 5
Distribuição Poisson
Situação
É apropriada para a contagem de eventosOs eventos ocorrem de modo completamente aleatórioA contagem é por unidade de tempo e/ou espaço
Caso Limite Surge como um caso limite da distribuição binomial:
O tamanho da amostra (n) tende ao infinito (n→∞).A probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p→ 0).Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.
Nessa situação
a distribuição binomial com parâmetros n e p se convertena distribuição poisson com parâmetro λ
Distribuição Poisson
Situação
É apropriada para a contagem de eventosOs eventos ocorrem de modo completamente aleatórioA contagem é por unidade de tempo e/ou espaço
Caso Limite Surge como um caso limite da distribuição binomial:
O tamanho da amostra (n) tende ao infinito (n→∞).A probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p→ 0).Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.
Nessa situação
a distribuição binomial com parâmetros n e p se convertena distribuição poisson com parâmetro λ
Distribuição Poisson
SituaçãoÉ apropriada para a contagem de eventos
Os eventos ocorrem de modo completamente aleatórioA contagem é por unidade de tempo e/ou espaço
Caso Limite Surge como um caso limite da distribuição binomial:
O tamanho da amostra (n) tende ao infinito (n→∞).A probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p→ 0).Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.
Nessa situação
a distribuição binomial com parâmetros n e p se convertena distribuição poisson com parâmetro λ
Distribuição Poisson
SituaçãoÉ apropriada para a contagem de eventosOs eventos ocorrem de modo completamente aleatório
A contagem é por unidade de tempo e/ou espaço
Caso Limite Surge como um caso limite da distribuição binomial:
O tamanho da amostra (n) tende ao infinito (n→∞).A probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p→ 0).Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.
Nessa situação
a distribuição binomial com parâmetros n e p se convertena distribuição poisson com parâmetro λ
Distribuição Poisson
SituaçãoÉ apropriada para a contagem de eventosOs eventos ocorrem de modo completamente aleatórioA contagem é por unidade de tempo e/ou espaço
Caso Limite Surge como um caso limite da distribuição binomial:
O tamanho da amostra (n) tende ao infinito (n→∞).A probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p→ 0).Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.
Nessa situação
a distribuição binomial com parâmetros n e p se convertena distribuição poisson com parâmetro λ
Distribuição Poisson
SituaçãoÉ apropriada para a contagem de eventosOs eventos ocorrem de modo completamente aleatórioA contagem é por unidade de tempo e/ou espaço
Caso Limite Surge como um caso limite da distribuição binomial:
O tamanho da amostra (n) tende ao infinito (n→∞).A probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p→ 0).Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.
Nessa situação
a distribuição binomial com parâmetros n e p se convertena distribuição poisson com parâmetro λ
Distribuição Poisson
SituaçãoÉ apropriada para a contagem de eventosOs eventos ocorrem de modo completamente aleatórioA contagem é por unidade de tempo e/ou espaço
Caso Limite Surge como um caso limite da distribuição binomial:O tamanho da amostra (n) tende ao infinito (n→∞).
A probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p→ 0).Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.
Nessa situação
a distribuição binomial com parâmetros n e p se convertena distribuição poisson com parâmetro λ
Distribuição Poisson
SituaçãoÉ apropriada para a contagem de eventosOs eventos ocorrem de modo completamente aleatórioA contagem é por unidade de tempo e/ou espaço
Caso Limite Surge como um caso limite da distribuição binomial:O tamanho da amostra (n) tende ao infinito (n→∞).A probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p→ 0).
Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.
Nessa situação
a distribuição binomial com parâmetros n e p se convertena distribuição poisson com parâmetro λ
Distribuição Poisson
SituaçãoÉ apropriada para a contagem de eventosOs eventos ocorrem de modo completamente aleatórioA contagem é por unidade de tempo e/ou espaço
Caso Limite Surge como um caso limite da distribuição binomial:O tamanho da amostra (n) tende ao infinito (n→∞).A probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p→ 0).Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.
Nessa situação
a distribuição binomial com parâmetros n e p se convertena distribuição poisson com parâmetro λ
Distribuição Poisson
SituaçãoÉ apropriada para a contagem de eventosOs eventos ocorrem de modo completamente aleatórioA contagem é por unidade de tempo e/ou espaço
Caso Limite Surge como um caso limite da distribuição binomial:O tamanho da amostra (n) tende ao infinito (n→∞).A probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p→ 0).Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.
Nessa situação
a distribuição binomial com parâmetros n e p se convertena distribuição poisson com parâmetro λ
Distribuição Poisson
SituaçãoÉ apropriada para a contagem de eventosOs eventos ocorrem de modo completamente aleatórioA contagem é por unidade de tempo e/ou espaço
Caso Limite Surge como um caso limite da distribuição binomial:O tamanho da amostra (n) tende ao infinito (n→∞).A probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p→ 0).Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.
Nessa situaçãoa distribuição binomial com parâmetros n e p se converte
na distribuição poisson com parâmetro λ
Distribuição Poisson
SituaçãoÉ apropriada para a contagem de eventosOs eventos ocorrem de modo completamente aleatórioA contagem é por unidade de tempo e/ou espaço
Caso Limite Surge como um caso limite da distribuição binomial:O tamanho da amostra (n) tende ao infinito (n→∞).A probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p→ 0).Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.
Nessa situaçãoa distribuição binomial com parâmetros n e p se convertena distribuição poisson com parâmetro λ
Distribuição Poisson: Apresentação Formal
Função dedensidade f(x) =
λx e−λ
x!, x = 0, 1, 2, . . .
Parâmetro λ: valor esperado da contagem
Função dedistribuição
F (x) =
x∑k=0
λk e−λ
k!, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança: E[X] = λ
Variância: Var[X] = λ
Parâmetro λ = Esperança = Variância
Distribuição Poisson: Apresentação Formal
Função dedensidade f(x) =
λx e−λ
x!, x = 0, 1, 2, . . .
Parâmetro λ: valor esperado da contagem
Função dedistribuição
F (x) =
x∑k=0
λk e−λ
k!, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança: E[X] = λ
Variância: Var[X] = λ
Parâmetro λ = Esperança = Variância
Distribuição Poisson: Apresentação Formal
Função dedensidade f(x) =
λx e−λ
x!, x = 0, 1, 2, . . .
Parâmetro λ: valor esperado da contagem
Função dedistribuição
F (x) =
x∑k=0
λk e−λ
k!, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança: E[X] = λ
Variância: Var[X] = λ
Parâmetro λ = Esperança = Variância
Distribuição Poisson: Apresentação Formal
Função dedensidade f(x) =
λx e−λ
x!, x = 0, 1, 2, . . .
Parâmetro λ: valor esperado da contagem
Função dedistribuição
F (x) =
x∑k=0
λk e−λ
k!, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança: E[X] = λ
Variância: Var[X] = λ
Parâmetro λ = Esperança = Variância
Distribuição Poisson: Apresentação Formal
Função dedensidade f(x) =
λx e−λ
x!, x = 0, 1, 2, . . .
Parâmetro λ: valor esperado da contagem
Função dedistribuição
F (x) =
x∑k=0
λk e−λ
k!, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança: E[X] = λ
Variância: Var[X] = λ
Parâmetro λ = Esperança = Variância
Distribuição Poisson: Apresentação Formal
Função dedensidade f(x) =
λx e−λ
x!, x = 0, 1, 2, . . .
Parâmetro λ: valor esperado da contagem
Função dedistribuição
F (x) =
x∑k=0
λk e−λ
k!, x = 0, 1, 2, . . .
PropriedadesEsperança: E[X] = λ
Variância: Var[X] = λ
Parâmetro λ = Esperança = Variância
Distribuição Poisson: Apresentação Formal
Função dedensidade f(x) =
λx e−λ
x!, x = 0, 1, 2, . . .
Parâmetro λ: valor esperado da contagem
Função dedistribuição
F (x) =
x∑k=0
λk e−λ
k!, x = 0, 1, 2, . . .
PropriedadesEsperança: E[X] = λ
Variância: Var[X] = λ
Parâmetro λ = Esperança = Variância
Distribuição Poisson: Apresentação Formal
Função dedensidade f(x) =
λx e−λ
x!, x = 0, 1, 2, . . .
Parâmetro λ: valor esperado da contagem
Função dedistribuição
F (x) =
x∑k=0
λk e−λ
k!, x = 0, 1, 2, . . .
PropriedadesEsperança: E[X] = λ
Variância: Var[X] = λ
Parâmetro λ = Esperança = Variância
Exemplo de Distribuição Poisson
Situação Número de árvores de Jatobá por hectare:λ = 4, 5 ha−1.
Função dedensidade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Número de Árvores de Jatobá
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
Exemplo de Distribuição Poisson
Situação Número de árvores de Jatobá por hectare:λ = 4, 5 ha−1.
Função dedensidade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Número de Árvores de Jatobá
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
Exemplo de Distribuição Poisson
Situação Número de árvores de Jatobá por hectare:λ = 4, 5 ha−1.
Função dedensidade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Número de Árvores de Jatobá
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
Exemplo de Distribuição Poisson (cont.)
Situação Número de árvores de Jatobá por hectare:λ = 4, 5 ha−1.
Função dedensidade
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
Número de Árvores de Jatobá
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
Exemplo de Distribuição Poisson (cont.)
Situação Número de árvores de Jatobá por hectare:λ = 4, 5 ha−1.
Função dedensidade
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
Número de Árvores de Jatobá
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
Exemplo de Distribuição Poisson (cont.)
Situação Número de árvores de Jatobá por hectare:λ = 4, 5 ha−1.
Função dedensidade
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
Número de Árvores de Jatobá
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
Distribuição Geométrica
Situação Surge de uma série de ensaios Bernoulli independentes
X =número de fracassos até o primeiro sucessop: probabilidade de sucesso permanece constante
Função dedensidade f(x) = p(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Função dedistribuição F (x) = 1− (1− p)x+1, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança:
E[X] =1
p
Variância:Var[X] =
1− pp2
Distribuição GeométricaSituação Surge de uma série de ensaios Bernoulli independentes
X =número de fracassos até o primeiro sucessop: probabilidade de sucesso permanece constante
Função dedensidade f(x) = p(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Função dedistribuição F (x) = 1− (1− p)x+1, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança:
E[X] =1
p
Variância:Var[X] =
1− pp2
Distribuição GeométricaSituação Surge de uma série de ensaios Bernoulli independentes
X =número de fracassos até o primeiro sucesso
p: probabilidade de sucesso permanece constante
Função dedensidade f(x) = p(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Função dedistribuição F (x) = 1− (1− p)x+1, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança:
E[X] =1
p
Variância:Var[X] =
1− pp2
Distribuição GeométricaSituação Surge de uma série de ensaios Bernoulli independentes
X =número de fracassos até o primeiro sucessop: probabilidade de sucesso permanece constante
Função dedensidade f(x) = p(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Função dedistribuição F (x) = 1− (1− p)x+1, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança:
E[X] =1
p
Variância:Var[X] =
1− pp2
Distribuição GeométricaSituação Surge de uma série de ensaios Bernoulli independentes
X =número de fracassos até o primeiro sucessop: probabilidade de sucesso permanece constante
Função dedensidade f(x) = p(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Função dedistribuição F (x) = 1− (1− p)x+1, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança:
E[X] =1
p
Variância:Var[X] =
1− pp2
Distribuição GeométricaSituação Surge de uma série de ensaios Bernoulli independentes
X =número de fracassos até o primeiro sucessop: probabilidade de sucesso permanece constante
Função dedensidade f(x) = p(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Função dedistribuição F (x) = 1− (1− p)x+1, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança:
E[X] =1
p
Variância:Var[X] =
1− pp2
Distribuição GeométricaSituação Surge de uma série de ensaios Bernoulli independentes
X =número de fracassos até o primeiro sucessop: probabilidade de sucesso permanece constante
Função dedensidade f(x) = p(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Função dedistribuição F (x) = 1− (1− p)x+1, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança:
E[X] =1
p
Variância:Var[X] =
1− pp2
Distribuição GeométricaSituação Surge de uma série de ensaios Bernoulli independentes
X =número de fracassos até o primeiro sucessop: probabilidade de sucesso permanece constante
Função dedensidade f(x) = p(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Função dedistribuição F (x) = 1− (1− p)x+1, x = 0, 1, 2, . . .
PropriedadesEsperança:
E[X] =1
p
Variância:Var[X] =
1− pp2
Distribuição GeométricaSituação Surge de uma série de ensaios Bernoulli independentes
X =número de fracassos até o primeiro sucessop: probabilidade de sucesso permanece constante
Função dedensidade f(x) = p(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Função dedistribuição F (x) = 1− (1− p)x+1, x = 0, 1, 2, . . .
PropriedadesEsperança:
E[X] =1
p
Variância:Var[X] =
1− pp2
Distribuição Geométrica: Exemplo 1
Exemplop = 0, 5
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
Número de Fracassos
Pro
babi
lidad
e
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Distribuição Geométrica: Exemplo 2
Exemplop = 0, 1
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
Número de Fracassos
Pro
babi
lidad
e
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Distribuição Binomial Negativa
Situação Surge de uma série de ensaios Bernoulli independentes
Variável X = número de fracassos até o nésimo sucesso
Parâmetros
n: número de sucessosp: probabilidade de sucesso permanece constante
Função dedensidade
f(x) =
(n+ x− 1
x
)pn(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Distribuição Binomial Negativa
Situação Surge de uma série de ensaios Bernoulli independentes
Variável X = número de fracassos até o nésimo sucesso
Parâmetros
n: número de sucessosp: probabilidade de sucesso permanece constante
Função dedensidade
f(x) =
(n+ x− 1
x
)pn(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Distribuição Binomial Negativa
Situação Surge de uma série de ensaios Bernoulli independentes
Variável X = número de fracassos até o nésimo sucesso
Parâmetros
n: número de sucessosp: probabilidade de sucesso permanece constante
Função dedensidade
f(x) =
(n+ x− 1
x
)pn(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Distribuição Binomial Negativa
Situação Surge de uma série de ensaios Bernoulli independentes
Variável X = número de fracassos até o nésimo sucesso
Parâmetros
n: número de sucessosp: probabilidade de sucesso permanece constante
Função dedensidade
f(x) =
(n+ x− 1
x
)pn(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Distribuição Binomial Negativa
Situação Surge de uma série de ensaios Bernoulli independentes
Variável X = número de fracassos até o nésimo sucesso
Parâmetrosn: número de sucessos
p: probabilidade de sucesso permanece constante
Função dedensidade
f(x) =
(n+ x− 1
x
)pn(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Distribuição Binomial Negativa
Situação Surge de uma série de ensaios Bernoulli independentes
Variável X = número de fracassos até o nésimo sucesso
Parâmetrosn: número de sucessosp: probabilidade de sucesso permanece constante
Função dedensidade
f(x) =
(n+ x− 1
x
)pn(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Distribuição Binomial Negativa
Situação Surge de uma série de ensaios Bernoulli independentes
Variável X = número de fracassos até o nésimo sucesso
Parâmetrosn: número de sucessosp: probabilidade de sucesso permanece constante
Função dedensidade
f(x) =
(n+ x− 1
x
)pn(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Distribuição Binomial Negativa (cont.)
Função dedistribuição
F (x) =x∑k=0
(n+ k − 1
k
)pn(1− p)k, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança:
E[X] =n(1− p)
p
Variância:Var[X] =
n(1− p)p2
Distribuição Binomial Negativa (cont.)
Função dedistribuição
F (x) =
x∑k=0
(n+ k − 1
k
)pn(1− p)k, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança:
E[X] =n(1− p)
p
Variância:Var[X] =
n(1− p)p2
Distribuição Binomial Negativa (cont.)
Função dedistribuição
F (x) =
x∑k=0
(n+ k − 1
k
)pn(1− p)k, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança:
E[X] =n(1− p)
p
Variância:Var[X] =
n(1− p)p2
Distribuição Binomial Negativa (cont.)
Função dedistribuição
F (x) =
x∑k=0
(n+ k − 1
k
)pn(1− p)k, x = 0, 1, 2, . . .
PropriedadesEsperança:
E[X] =n(1− p)
p
Variância:Var[X] =
n(1− p)p2
Distribuição Binomial Negativa (cont.)
Função dedistribuição
F (x) =
x∑k=0
(n+ k − 1
k
)pn(1− p)k, x = 0, 1, 2, . . .
PropriedadesEsperança:
E[X] =n(1− p)
p
Variância:Var[X] =
n(1− p)p2
Binomial Negativa × Geométrica
Caso Particular A distribuição geométrica é um caso particular dadistribuição binomial negativa.
O que ocorre se o número de sucessos (n) for igual a 1?Função de densidade quando n = 1:
f(x) =
(n+ x− 1
x
)pn(1− p)x = p(1− p)x
Binomial Negativa × Geométrica
Caso Particular A distribuição geométrica é um caso particular dadistribuição binomial negativa.
O que ocorre se o número de sucessos (n) for igual a 1?Função de densidade quando n = 1:
f(x) =
(n+ x− 1
x
)pn(1− p)x = p(1− p)x
Binomial Negativa × Geométrica
Caso Particular A distribuição geométrica é um caso particular dadistribuição binomial negativa.O que ocorre se o número de sucessos (n) for igual a 1?
Função de densidade quando n = 1:
f(x) =
(n+ x− 1
x
)pn(1− p)x = p(1− p)x
Binomial Negativa × Geométrica
Caso Particular A distribuição geométrica é um caso particular dadistribuição binomial negativa.O que ocorre se o número de sucessos (n) for igual a 1?Função de densidade quando n = 1:
f(x) =
(n+ x− 1
x
)pn(1− p)x = p(1− p)x
Distribuição Binomial Negativa
Exemplo n = 8e p = 0, 5
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
Número de Fracassos
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
Distribuição Binomial Negativa
Exemplo n = 8e p = 0, 24
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
Número de Fracassos
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa
Situação Dados de contagem de eventos agregados
Agregação: variância maior que a médiaExemplos:
número de árvores por parcelanúmero de plântulas por parcelacapturas por armadilha
Parâmetros
valor esperado (contagem média) E[X] = µ
parâmetro de dispersão: k
Relações
n = k ; p =k
k + µ⇐⇒ k = n ; µ =
n(1− p)p
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa
Situação Dados de contagem de eventos agregados
Agregação: variância maior que a médiaExemplos:
número de árvores por parcelanúmero de plântulas por parcelacapturas por armadilha
Parâmetros
valor esperado (contagem média) E[X] = µ
parâmetro de dispersão: k
Relações
n = k ; p =k
k + µ⇐⇒ k = n ; µ =
n(1− p)p
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa
Situação Dados de contagem de eventos agregadosAgregação: variância maior que a média
Exemplos:
número de árvores por parcelanúmero de plântulas por parcelacapturas por armadilha
Parâmetros
valor esperado (contagem média) E[X] = µ
parâmetro de dispersão: k
Relações
n = k ; p =k
k + µ⇐⇒ k = n ; µ =
n(1− p)p
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa
Situação Dados de contagem de eventos agregadosAgregação: variância maior que a médiaExemplos:
número de árvores por parcelanúmero de plântulas por parcelacapturas por armadilha
Parâmetros
valor esperado (contagem média) E[X] = µ
parâmetro de dispersão: k
Relações
n = k ; p =k
k + µ⇐⇒ k = n ; µ =
n(1− p)p
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa
Situação Dados de contagem de eventos agregadosAgregação: variância maior que a médiaExemplos:número de árvores por parcela
número de plântulas por parcelacapturas por armadilha
Parâmetros
valor esperado (contagem média) E[X] = µ
parâmetro de dispersão: k
Relações
n = k ; p =k
k + µ⇐⇒ k = n ; µ =
n(1− p)p
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa
Situação Dados de contagem de eventos agregadosAgregação: variância maior que a médiaExemplos:número de árvores por parcelanúmero de plântulas por parcela
capturas por armadilha
Parâmetros
valor esperado (contagem média) E[X] = µ
parâmetro de dispersão: k
Relações
n = k ; p =k
k + µ⇐⇒ k = n ; µ =
n(1− p)p
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa
Situação Dados de contagem de eventos agregadosAgregação: variância maior que a médiaExemplos:número de árvores por parcelanúmero de plântulas por parcelacapturas por armadilha
Parâmetros
valor esperado (contagem média) E[X] = µ
parâmetro de dispersão: k
Relações
n = k ; p =k
k + µ⇐⇒ k = n ; µ =
n(1− p)p
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa
Situação Dados de contagem de eventos agregadosAgregação: variância maior que a médiaExemplos:número de árvores por parcelanúmero de plântulas por parcelacapturas por armadilha
Parâmetros
valor esperado (contagem média) E[X] = µ
parâmetro de dispersão: k
Relações
n = k ; p =k
k + µ⇐⇒ k = n ; µ =
n(1− p)p
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa
Situação Dados de contagem de eventos agregadosAgregação: variância maior que a médiaExemplos:número de árvores por parcelanúmero de plântulas por parcelacapturas por armadilha
Parâmetrosvalor esperado (contagem média) E[X] = µ
parâmetro de dispersão: k
Relações
n = k ; p =k
k + µ⇐⇒ k = n ; µ =
n(1− p)p
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa
Situação Dados de contagem de eventos agregadosAgregação: variância maior que a médiaExemplos:número de árvores por parcelanúmero de plântulas por parcelacapturas por armadilha
Parâmetrosvalor esperado (contagem média) E[X] = µ
parâmetro de dispersão: k
Relações
n = k ; p =k
k + µ⇐⇒ k = n ; µ =
n(1− p)p
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa
Situação Dados de contagem de eventos agregadosAgregação: variância maior que a médiaExemplos:número de árvores por parcelanúmero de plântulas por parcelacapturas por armadilha
Parâmetrosvalor esperado (contagem média) E[X] = µ
parâmetro de dispersão: k
Relações
n = k ; p =k
k + µ⇐⇒ k = n ; µ =
n(1− p)p
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa (cont.)
Função dedensidade
f(x) =Γ(k + x)
Γ(k)x!
(k
k + µ
)k ( µ
k + µ
)x, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança: E[X] = µ
Variância:
Var[X] =n(1− p)
p2= µ+
µ2
k
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa (cont.)
Função dedensidade
f(x) =Γ(k + x)
Γ(k)x!
(k
k + µ
)k ( µ
k + µ
)x, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança: E[X] = µ
Variância:
Var[X] =n(1− p)
p2= µ+
µ2
k
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa (cont.)
Função dedensidade
f(x) =Γ(k + x)
Γ(k)x!
(k
k + µ
)k ( µ
k + µ
)x, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança: E[X] = µ
Variância:
Var[X] =n(1− p)
p2= µ+
µ2
k
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa (cont.)
Função dedensidade
f(x) =Γ(k + x)
Γ(k)x!
(k
k + µ
)k ( µ
k + µ
)x, x = 0, 1, 2, . . .
PropriedadesEsperança: E[X] = µ
Variância:
Var[X] =n(1− p)
p2= µ+
µ2
k
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa (cont.)
Função dedensidade
f(x) =Γ(k + x)
Γ(k)x!
(k
k + µ
)k ( µ
k + µ
)x, x = 0, 1, 2, . . .
PropriedadesEsperança: E[X] = µ
Variância:
Var[X] =n(1− p)
p2= µ+
µ2
k
Resumo
Distribuições de Probabilidade são funções, poisassociam os valores de uma variável quantitativa comprobabilidadesAs variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:
discretascontínuas
Uma mesma distribuição de probabilidade pode serdefinida por duas funções:
Função de DensidadeFunção de Distribuição
Os parâmetros controlam o comportamento dadistribuição
Resumo
Distribuições de Probabilidade são funções, poisassociam os valores de uma variável quantitativa comprobabilidades
As variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:
discretascontínuas
Uma mesma distribuição de probabilidade pode serdefinida por duas funções:
Função de DensidadeFunção de Distribuição
Os parâmetros controlam o comportamento dadistribuição
Resumo
Distribuições de Probabilidade são funções, poisassociam os valores de uma variável quantitativa comprobabilidadesAs variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:
discretascontínuas
Uma mesma distribuição de probabilidade pode serdefinida por duas funções:
Função de DensidadeFunção de Distribuição
Os parâmetros controlam o comportamento dadistribuição
Resumo
Distribuições de Probabilidade são funções, poisassociam os valores de uma variável quantitativa comprobabilidadesAs variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:discretas
contínuasUma mesma distribuição de probabilidade pode serdefinida por duas funções:
Função de DensidadeFunção de Distribuição
Os parâmetros controlam o comportamento dadistribuição
Resumo
Distribuições de Probabilidade são funções, poisassociam os valores de uma variável quantitativa comprobabilidadesAs variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:discretascontínuas
Uma mesma distribuição de probabilidade pode serdefinida por duas funções:
Função de DensidadeFunção de Distribuição
Os parâmetros controlam o comportamento dadistribuição
Resumo
Distribuições de Probabilidade são funções, poisassociam os valores de uma variável quantitativa comprobabilidadesAs variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:discretascontínuas
Uma mesma distribuição de probabilidade pode serdefinida por duas funções:
Função de DensidadeFunção de Distribuição
Os parâmetros controlam o comportamento dadistribuição
Resumo
Distribuições de Probabilidade são funções, poisassociam os valores de uma variável quantitativa comprobabilidadesAs variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:discretascontínuas
Uma mesma distribuição de probabilidade pode serdefinida por duas funções:Função de Densidade
Função de Distribuição
Os parâmetros controlam o comportamento dadistribuição
Resumo
Distribuições de Probabilidade são funções, poisassociam os valores de uma variável quantitativa comprobabilidadesAs variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:discretascontínuas
Uma mesma distribuição de probabilidade pode serdefinida por duas funções:Função de DensidadeFunção de Distribuição
Os parâmetros controlam o comportamento dadistribuição
Resumo
Distribuições de Probabilidade são funções, poisassociam os valores de uma variável quantitativa comprobabilidadesAs variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:discretascontínuas
Uma mesma distribuição de probabilidade pode serdefinida por duas funções:Função de DensidadeFunção de Distribuição
Os parâmetros controlam o comportamento dadistribuição
Resumo (cont.)
Algumas distribuições são casos especiais de outrasAlgumas distribuições são casos limites de outrasMédia e variância não são parâmetros de todas asdistribuições mas podem ser expressas como funçõesdessesUma mesma distribuição pode ter aplicações muitodiferentes daquela que a originou
Resumo (cont.)
Algumas distribuições são casos especiais de outras
Algumas distribuições são casos limites de outrasMédia e variância não são parâmetros de todas asdistribuições mas podem ser expressas como funçõesdessesUma mesma distribuição pode ter aplicações muitodiferentes daquela que a originou
Resumo (cont.)
Algumas distribuições são casos especiais de outrasAlgumas distribuições são casos limites de outras
Média e variância não são parâmetros de todas asdistribuições mas podem ser expressas como funçõesdessesUma mesma distribuição pode ter aplicações muitodiferentes daquela que a originou
Resumo (cont.)
Algumas distribuições são casos especiais de outrasAlgumas distribuições são casos limites de outrasMédia e variância não são parâmetros de todas asdistribuições mas podem ser expressas como funçõesdesses
Uma mesma distribuição pode ter aplicações muitodiferentes daquela que a originou
Resumo (cont.)
Algumas distribuições são casos especiais de outrasAlgumas distribuições são casos limites de outrasMédia e variância não são parâmetros de todas asdistribuições mas podem ser expressas como funçõesdessesUma mesma distribuição pode ter aplicações muitodiferentes daquela que a originou
Fim! Grato pela Atenção!