Realizado por:

Stalin Coronel

Diego Espinoza

Revisado por:

Mónica Mantilla

La Distribución Normal fue inventada por:

De Moivre

El nombre de Distribución normal fue

aplicado por F. Galton en 1889

Conocida también como Distribución

Gaussiana

La distribución de probabilidad de una variable

aleatoria continua X se llama normal si su

función de densidad es:

),(,2

1)(

22 2/)( xexf x

μ Promedio= esperanza

σ desviación estándar (valor positivo)

),(,2

1)(

22 2/)( xexf x

NOTACIÓN:

X ~ N (μ,σ²)

Función de Distribución:

dxexF x

x22 2/)(

2

1)(

Simetría con respecto a x=μ Asíntotas en:

X=0 y X=1

f(x) F(x)

Esperanza:

E(x)=μ

Varianza:

Var(x)=σ²

Normal estándar (N (0,1))

- μ=0

- σ²=1

),(,2

1)( 2/2

xex x

Función de

densidad

dxex x

x

2/2

2

1)(

Función de

distribución

Ley normal

xxF )(

Fórmula desarrollada por Derenzo

0,

165703

562)35183(exp

2

11

0,5.0

0,

165703

562)35183(exp

2

1

x

x

xx

x

x

x

xx

Tabla de probabilidad acumulada para la

distribución normal estándar

EJERCICIOS RESUELTOS

El perímetro craneal de los hombres, en una ciudad, es

una variable aleatoria de media 60cm y desviación

estándar 2cm.

a) Qué porcentaje de los hombres tienen un perímetro

craneal entre 57 y 64 cm?

9104.00668.09772.0)6457Pr(

)5.1()2(2

6057

2

6064)6457Pr(

)57()64()6457Pr(

)(

2

60

x

x

FFx

xxF

R= 91%

b) Qué perímetro craneal debe tener un hombre para que el

16.6% de sus paisanos “tenga más cabeza que él”?

cmx

x

x

xF

xFxXxX

xX

xxF

94.61

97.02

60

834.0)97.0(

834.02

60

834.0166.01)(

166.0)(1)Pr(1)Pr(

166.0)Pr(

)(

2

60

c) Y cuánto para que el 35.2% tenga menos?

cmx

x

x

xFxX

xX

xxF

24.59

38.02

60

352.0)28.0(

352.02

60

352.0)()Pr(

352.0)Pr(

)(

2

60

Se experimenta con un medicamento que produce

variación en el peso de las personas que lo toman. Pruebas

de laboratorio han demostrado que al cabo de un mes la

variación del peso sigue una distribución Gaussiana de

media 2kg y desviación estándar 1.25kg. Determine la

probabilidad de que una persona:

a) Haya aumentado al menos un kilogramo

7881.02119.01)1Pr(

)8.0(1)1Pr(

25.1

21)1Pr(

)(

)1(1)1Pr(1)1Pr(

25.1

2

x

x

x

xxF

Fxx

b) Haya rebajado de peso

0548.0)0Pr(

)6.1()0Pr(

25.1

20)0Pr(

)(

)0()0Pr(

25.1

2

x

x

x

xxF

Fx

c) Haya aumentado menos de 3kg

7333.00548.07881.0)30Pr(

)6.1()8.0()30Pr(

25.1

20

25.1

23)30Pr(

)(

)0()3()30Pr(

25.1

2

x

x

x

xxF

FFx

En una fábrica de autos un ingeniero está diseñando

autobuses pequeños. Sabe que la estatura de la

población está normalmente distribuida con media

1.70m y varianza σ², con σ=5 cm.

¿Qué altura mínima deberán tener los autobuses para

que no más del 1% de las personas golpee su cabeza con

la parte superior del autobús?

05.0

70.11)Pr(

)(1)Pr(1)Pr(

01.0)Pr(

)(

5

70.1

hhx

hFhxhx

hx

xxF

Sea X { estatura de las personas } .Denominemos h a la

altura mínima para que la probabilidad de que una

persona golpee su cabeza con el techo del autobús

sea del 1 % .

817.1

)33.2*05.0(70.1

33.205.0

70.1

99.001.0105.0

70.1

05.0

70.1101.0

:

h

h

h

h

h

Entonces

Por lo tanto el ingeniero deberá diseñar el autobús

con una altura de 1.82 m

Se tomaron dos exámenes sobre 100 puntos , en el primero

se obtuvo μ1=80 , σ1=4 y en el segundo μ2=65 , σ2=5 .Un

estudiante sacó 84 en el primer examen y 75 en el

segundo.

Comparativamente , ¿en cuál de los exámenes obtuvo mejor

resultado?

Para poder hacer una comparación de cómo le fue al

estudiante en cada examen determinaremos para cada

caso el porcentaje de compañeros que sacaron menor nota

que el estudiante :

8413.014

8084)84()84Pr(

)(

4

80

Fx

xxF

PRIMER EXAMEN :

SEGUNDO EXAMEN :

9772.025

6575)75()75Pr(

)(

5

65

Fx

xxF

Respuesta : Como en el primer examen el porcentaje de

compañeros que obtuvo menor nota es 84.13% y en el segundo

97.72% , tuvo, comparativamente mejor resultado en el segundo

examen aunque la media de la nota haya sido menor.

EJERCICIO PROPUESTO 1

Se sabe que el gasto en cigarrillos es, para los

fumadores, de $.5 diarios por término medio,

y que la desviación estándar es de 0,8 dólares.

Suponiendo que el gasto sigue una distribución

normal, ¿qué proporción de los fumadores

gastan entre 4 y 6,2 dólares diarios?

EJERCICIO PROPUESTO 2

Supongamos que la cantidad de radiación cósmica

a la que una persona está expuesta cuando vuela

en jet por Estados Unidos es una variable

aleatoria que tiene una distribución normal con

una media de 4,35 mrem y una desviación

estándar de 0,59 mrem. ¿cuál es la probabilidad

de que una persona estará expuesta a más de

5.20 mrem de radiación cósmica en un vuelo

como éste?

EJERCICIO PROPUESTO 3

Supongamos que durante los periodos de meditación trascendental la reducción del consumo de oxígeno de una persona es una variable aleatoria que tiene una media de 37.6 cc por minuto y desviación de 4.60c por minuto. Encuentre las probabilidades de que durante un periodo de meditación el consumo de oxígeno de una persona se reducirá por:

a) Al menos 44.5 cc por minuto

b) Cuando mucho 35.00 cc por minuto

c) Cualquier valor entre 30.0 y 40.0 cc por minuto