Dipolo CurtoProf. Nilton Cesar de

Oliveira Borges

Uma vez que se pode considerar que qualquer antena linear consiste de um grande número de

condutores bem pequenos ligados em série, desse modo é importante analisar primeiramente

as propriedades de radiação de condutores curtos.

Dipolo Curto

L

-q

+q

I

Dipolo CurtoSeu equivalente elétrico

• Utilizando o potencial vetorial A,

dvrJA

4

dvrJA

4

dzdydx

rJA ..

4

dydxJrdzA .

4

I

rdzA

4

dzrIA

4

Considerando que a secção do fio é de área constante temos: Área da secção do

fio

Corrente I

• Como estamos interessados no campo distante. O sinal que chega no ponto P é de um sinal que foi gerado em um instante anterior, ou seja o sinal chega retardado em P.

• Esse retardo é igual a distancia do ponto P da origem dividido pela velocidade de propagação.

• Considerando a distancia do ponto P igual a r e velocidade da luz igual a “c” , temos que o tempo de retardo será de “r/c”.

Desse modo o sinal que medimos em P no tempo t, foi gerado na verdade em um tempo anterior t’, sendo:

t’= t - r/c

t igual ao tempo presente que recebemos o sinal

t’ é o tempo que ele foi gerado

r é a distancia da origem ao ponto P. c é a velocidade da luz

• Admitindo que a corrente obedeça a seguinte função:

Onde:

I é a corrente instantânea

I0 é a corrente máxima

ω= freqüência da onda

crtj

eII

0

Em seguida faremos duas considerações para o calculo do campo que

serão utilizados no cálculo do potêncial A

Considerando um dipolo onde (L<<), e que nos extremos existem duas placas que proporcionam um carregamento capacitivo, a corrente I, conseqüentemente é praticamente constante em todo o dipolo.

I

Primeira consideração

Z

Y

P

S1

S2

r

S

L

d

dz

Se a distancia do ponto P for bem maior que o tamanho do dipolo L, pode-se considerar que S=r constante para todo o dipolo, sendo a diferença de fase entre os extremos do fio podem desprezadas.

Segunda consideração

Retomando a equação do pontencial A.

dzsIA

4

dzsIA

L

Lz

2

24

2

24

.L

Lz dz

rIA

2º consideração: troca-se s por r que sai da integral por ser considerado aproximadamente constante em relação a z.

1º consideração: I é cte em relação a z e sai da integral

rLIAz

4

Substituindo I por:

crtj

eII

0

rπ4eμLIA

r/ct0

z

s

LIAz

4

Temos:

O potencial escalar V é dado por:

dvs

VL

L

2

24

1

dv = elemento volumétrica infinitesimal. = constante volumétrica do espaço livre É a densidade volumétrica

é também retardada por (t-r/c), sendo:

crtje

0

Devido ao efeito capacitivo as cargas do dipolo estarem confinadas aos extremos, temos o

potencial dado por:

2141

sq

sqV

Vamos agora encontrar o valor de q em função de I:

dtIqdtdqI

dtIq dteIq crtj

0

se

crtjeII

0

Então

Integrando, temos:

crtjejIq

0

Substituindo o valor de q na equação do potencial temos:

21

0

21

4 Se

Se

jIV

cStj

cStj

2141

sq

sqV

S1

S2

r

Z

Y

L

cos2L

cos2L

P Ponto distante

cos2

e cos2 21

LrSLrS

Observando a figura acima e sabendo que a distancia do ponto P é muito maior que L do dipolo temos:

d

Podemos então reescrever a função potencial como:

cos2

cos2

4

cos2

cos2

0

Lr

eLr

ej

IV

c

Lrtj

c

Lrtj

Tirando o mínimo temos:

22

cos2

cos2

0

cos2

cos2

cos2

4

Lr

LreLre

jIV

c

Lrtj

c

Lrtj

Como r>>L , podemos apenas considerar o termo r2 no denominador, reduzindo a expressão em:

2

cos2

cos2

0cos2

cos2

4

11

r

LreLre

jI

V

c

Lrtj

c

Lrtj

2

cos2

cos2

0

cos2

cos2

4

11

r

LreLre

jIV

c

Lrtj

c

Lrtj

c

Lrtj

e

1cos2

cos

2cL

crtj

e

Sabendo que:

cos

2cL

crtj

e

cos

2cLj

crtjee

O numerador da expressão entre parênteses do potencial ficará:

cos2

cos2

cos2

cos2 LreeLree c

Ljcrtj

cLj

crtj

2

cos2

cos2

0

cos2

cos2

4 r

LreLre

jeI

V

cL

jcL

j

cr

tj

A expressão do potencial ficará:

Utilizando a identidade de Euler: sen)cos( je j

A expressão do potencial pode ser escrita como:

cos22

cossen2coscoscos

22cossen

2coscos

4 20 Lr

cLj

cLLr

cLj

cL

rjeIV

crtj

cf e 2 f

c2

c2

2 f

c2

c2

coscos

2coscos Lc

L

Utilizando a relação acima temos:

cossen

2cossen Lc

Le

Como >>L então:

1coscos

L

coscosen LLs

1coscos

L

coscosen LLs

Utilizando as relações acima na formula de potencial teremos:

cos22

cossen2coscoscos

22cossen

2coscos

4 20 Lr

cLj

cLLr

cLj

cL

rjeIV

crtj

cos22

cos1cos22

cos14 2

0 Lrc

LjLrc

Ljrj

eIV

cr

tj

cos22

cos1cos22

cos14 2

0 Lrc

LjLrc

Ljrj

eIVcrtj

Para simplificarmos a expressão acima chamaremos de:

cos2

;;2cosb;1 Ldrcc

Lja

A expressão dentro dos colchetes se tornam:

dcbadcba

bdbcadacbdbcadac bcad 22

cLjrL

2cos2cos

22

A expressão dentro do colchetes pode ser escrita como:

cLjrL

rjeI

Vcr

tj

2cos2cos

22

4 20

cjrL

rjeI

Vcr

tj

1cos4 2

0

Colocando L.cosθ em evidência a expressão fica como:

Passando 1/jωr2 para dentro do parênteses e multiplicando por c/c resulta em:

rrjc

ceLIV

crtj

14cos

20

Temos agora então o potencial escalar V e o potencial vetorial A em função de I.

rrjc

ceLIV

crtj

14cos

20

rπ4eμLIA

r/ct0

z

Agora temos que calcular os campos E e H.

As relações entre os potenciais escalares e vetoriais com as equação de Maxell são:

AH

VAjE

1

VAjE

O Campo Elétrico em coordenadas polares é dado por :  aEaEaEE rr

aV

raV

ra

rVV r

sen11

O divergente em coordenadas polares do potencial escalar é dado por:

Desse modo as componentes do campo elétrico utilizando a relação ficam:

aVr

AjE

Vr

AjErVAjE rr

sen1

1

O potencial vetor A em coordenadas polares é dado por:

aAaAaAA rr

aVr

AjE

Vr

AjErVAjE rr

sen1

1

Na expressão do potencial escalar, é visto que este não tem dependência de Φ, logo δV/δΦ=0, sendo AΦ, também igual a 0 logo EΦ=0.

È sabido que A só tem componente em Z logo AΦ=0 e as outras componente são dadas por:

aAaAaAA rr Tendo o vetor A em coordenadas polares sendo:

coszr AA

senzAA

AzAr

Az

A

1

V

rAjE

rVAjE rr

Substituindo: coszr AA senzAA e

nas expressões acima temos:

Vr

AjE

rVAjE

z

zr

1sen

cos

320 11

2cos

rjcreLIE

crtj

r

3220 11

4sen

rjcrrcjeLI

Ecr

tj

Expressões dos campos E no dipolo curto

rr

rAAr

r1aArA

sen1

r1aAsenA

senr1aA

Analisando o campo magnético temos:

Rotacional do potencial A em coordenadas esféricas

Multiplicando “ar” por “r” em cima e em baixo e colocando alguns termos em evidência nos outros vetores temos:

rr

2rAAr

r1aAsenrA

senr1aArsenAr

senr1aA

rr

2rAAr

r1aAsenrA

senr1aArsenAr

senr1aA

Sendo AΦ=0 o primeiro e quarto temos são 0.

0

rr

2rAAr

r1aA

senr1aAr

senr1aA

coszr AA senzAA É sabido que:

Conseqüentemente Ar e AΘ não dependem de Φ, logo o 1º e 3º termo também são zero, logo a equação se torna:

;

rAAr

r1aA

rAAr

r1aA

Tendo que:

aAArr

1A1H r

Fazendo as operações e as devidas simplificações temos que o módulo de H é:

2

crtj

0

r1

crj

4esenLIH

Para o campo distante, no caso do campo Elétrico as componentes 1/r2 e 1/r3 se tornam desprezíveis, e no caso campo Magnético a componente 1/r2

também se torna desprezível, restando então:

crj

4esenLIH

crtj

0

rcj

4esenLIE 2

crtj

0

Desse modo para o campo distante teremos:

rc4esenLIjE 2

crtj

0

rc4esenLIjH

crtj

0

A impedância do espaço livre é dado pela relação:

rc4esenLIj

rc4esenLIj

HE

crtj

0

2

crtj

0

c1

HE

120 ou 377HE

O vetor de Poyinting médio é dado por:

HERe21P

Na equação anterior do campo distante temos:

HE

HE Desse modo:

H.ERe21Pr

H.ERe

21Pr

H.HRe

21Pr

2

R H21P

2222

crtj2

2220

2

R rc4esenLI

21P

ce c

rtj

Chamando:

2222

crtj2

2220

2

R rc4esenLI

21P

Temos:

22

2220

2

R rsenLI

321P

3

8LI321W 2

220

2

Se a pontência W é:

d.d.senr21HdsPW 22

R

2

0 0

32

220

2

ddsenLI321W

12

LIW22

02

12

LIW22

02

É sabido que a potência é dada por: RIW 2

Sendo “I” igual a corrente eficaz

Se a potência W é a potencia média gerada através de uma esfera que envolve o dipolo, e se as ´perdas são nulas ,então, R é a Resistência de Radiação, logo:

R

2I

12LI 2

022

02

R

6L22

R

6L22

R

6

Lc

22

R

6

Lff2 2

2

R

6

L4 22

R

6L4 22

Se: 120

R6

L412022

RL802

2