Post on 06-Jul-2018
8/17/2019 Diktat an Um
1/82
Kata Pengantar
Alhamdulillãh, puji-pujian bagi Allãh Yang telah menaqdirkan segala
sesuatu dan memberikan hidayah kepada penyusun sehingga tulisan ini
dapat diselesaikan.
Kemudian penyusun menyampaikan terima kasih kepada keluarga,
teman, rekan seprofesi dan semua pihak yang telah memberikan
dukungan selama penyusunan buku ajar Metode Numerik ini.
Materi yang terdapat dalam penyusunan ini kami sesuaikan dengan GBPP
yang selama ini telah berlaku di jurusan teknik mesin Unimal. Dan dalam
penyajiannya, kami berusaha untuk menjelaskan setiap pokok bahasan
disertai dengan contoh-contoh. Dengan demikian mahasiswa diharapkan
lebih mudah memahami setiap materi yang disajikan.
Penulis tidak menutup kemungkinan bahwa tulisan ini masih memiliki
berbagai kekurangan, baik dari segi metode penyampaian maupun
cakupan pembahasan. Menyadari hal ini, maka penulis mengharapkan
saran dan kritik dari setiap pembaca untuk membantu menyempurnakan
tulisan ini.
Semoga buku ajar yang sederhana ini dapat memberikan manfaat praktis
bagi mahasiswa yang mengambil perkuliahan metode numerik dan para
peminat baca secara umum.
Penyusun
Lhokseumawe, Februari 2007
8/17/2019 Diktat an Um
2/82
Daftar Isi
Kata Pengantar ............................................................................................. i
Daftar Isi ................................................................................................... ii
BAB I.
Persamaan Non-Linier ............................................................... 1
I.1. Pendahuluan ................................................................................. 1 I.2. Metode Tertutup ............................................................................ 2
I.2.1.
Metode Bagi Dua ................................................................... 3
I.2.2.
Metode Regula Falsi .............................................................. 6
I.3. Metode Terbuka .......................................................................... 10 I.3.1.
Metode Iterasi Titik Tetap .................................................... 10
I.3.2.
Metode Newton-Raphson .................................................... 13
I.3.3. Metode Secant ..................................................................... 14 I.4. Akar Ganda ................................................................................. 16
BAB II. Sistem Persamaan Linear ....................................................... 20
II.1.
Pendahuluan ............................................................................... 20 II.2. Aturan Cramer ............................................................................. 21
II.3. Metode Eliminasi Gauss ............................................................. 23 II.3.1. Strategi pivoting ................................................................... 25 II.3.2. Penskalaan .......................................................................... 26
II.4. Metode Eliminasi Gauss Jordan ................................................. 27 II.5. Metode Iterasi Gauss Seidel ....................................................... 29
BAB III. Pencocokan Kurva .................................................................. 33 III.1. Pendahuluan ............................................................................... 33 III.2. Interpolasi .................................................................................... 34
III.2.1. Interpolasi Linear ................................................................. 35
III.2.2.
Interpolasi Kuadratik ............................................................ 35
III.2.3.
Interpolasi Lagrange ............................................................ 37
III.2.4. Interpolasi Maju Newton-Gregory ........................................ 39 III.2.5.
Interpolasi Mundur Newton-Gregory.................................... 43
III.2.6. Polinom Newton ................................................................... 44 III.3. Regresi ........................................................................................ 47
BAB IV. Integral ..................................................................................... 55 IV.1. Metode Trapesium ................................................................... 55 IV.2.
Metode Simpson 1/3 ................................................................ 57
IV.3. Metode Simpson 3/8 ................................................................ 59 IV.4. Metode Gauss ......................................................................... 60
IV.4.1.
Integrasi Kuadratur Gauss Dengan Pendekatan 2 Titik ...... 61
IV.4.2.
Integrasi Kuadratur Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik ...... 63
BAB V.
Differensiasi ............................................................................. 66
V.1. Permasalahan Differensiasi Numerik .......................................... 66 V.2. Metode Selisih Maju .................................................................... 67 V.3.
Metode Selisih Tengahan ........................................................... 69
V.4.
Differensiasi Tingkat Tinggi ......................................................... 71
V.5. Differensiasi Untuk Menentukan Titik Puncak Kurva .................. 73
8/17/2019 Diktat an Um
3/82
Persamaan Non-Linier i
Kata Pengantar
Alhamdulillãh, puji-pujian bagi Allãh Yang telah menaqdirkan segala
sesuatu dan memberikan hidayah kepada penyusun sehingga tulisan ini
dapat diselesaikan.
Kemudian penyusun menyampaikan terima kasih kepada keluarga,
teman, rekan seprofesi dan semua pihak yang telah memberikan
dukungan selama penyusunan buku ajar Metode Numerik ini.
Materi yang terdapat dalam penyusunan ini kami sesuaikan dengan GBPP
yang selama ini telah berlaku di jurusan teknik mesin Unimal. Dan dalam
penyajiannya, kami berusaha untuk menjelaskan setiap pokok bahasan
disertai dengan contoh-contoh. Dengan demikian mahasiswa diharapkan
lebih mudah memahami setiap materi yang disajikan.
Penulis tidak menutup kemungkinan bahwa tulisan ini masih memiliki
berbagai kekurangan, baik dari segi metode penyampaian maupun
cakupan pembahasan. Menyadari hal ini, maka penulis mengharapkan
saran dan kritik dari setiap pembaca untuk membantu menyempurnakan
tulisan ini.
Semoga buku ajar yang sederhana ini dapat memberikan manfaat praktis
bagi mahasiswa yang mengambil perkuliahan metode numerik dan para
peminat baca secara umum.
Penyusun
Lhokseumawe, Februari 2007
8/17/2019 Diktat an Um
4/82
Persamaan Non-Linier ii
Daftar Isi
Kata Pengantar ............................................................................................. i
Daftar Isi ................................................................................................... ii
BAB I. Persamaan Non-Linier ............................................................... 1 I.1. Pendahuluan ................................................................................. 1 I.2. Metode Tertutup ............................................................................ 2
I.2.1. Metode Bagi Dua ................................................................... 3 I.2.2. Metode Regula Falsi .............................................................. 6
I.3. Metode Terbuka .......................................................................... 10 I.3.1. Metode Iterasi Titik Tetap .................................................... 10 I.3.2. Metode Newton-Raphson .................................................... 13 I.3.3. Metode Secant ..................................................................... 14
I.4. Akar Ganda ................................................................................. 16
BAB II. Sistem Persamaan Linear ....................................................... 20
II.1. Pendahuluan ............................................................................... 20 II.2. Aturan Cramer ............................................................................. 21 II.3. Metode Eliminasi Gauss ............................................................. 23
II.3.1. Strategi pivoting ................................................................... 25 II.3.2. Penskalaan .......................................................................... 26
II.4. Metode Eliminasi Gauss Jordan ................................................. 27 II.5. Metode Iterasi Gauss Seidel ....................................................... 29
BAB III. Pencocokan Kurva .................................................................. 33 III.1. Pendahuluan ............................................................................... 33 III.2. Interpolasi .................................................................................... 34
III.2.1. Interpolasi Linear ................................................................. 35
III.2.2. Interpolasi Kuadratik ............................................................ 35 III.2.3. Interpolasi Lagrange ............................................................ 37 III.2.4. Interpolasi Maju Newton-Gregory ........................................ 39 III.2.5. Interpolasi Mundur Newton-Gregory.................................... 43 III.2.6. Polinom Newton ................................................................... 44
III.3. Regresi ........................................................................................ 47
BAB IV. Integral ..................................................................................... 55 IV.1. Metode Trapesium ................................................................... 55 IV.2. Metode Simpson 1/3 ................................................................ 57 IV.3. Metode Simpson 3/8 ................................................................ 59 IV.4. Metode Gauss ......................................................................... 60
IV.4.1. Integrasi Kuadratur Gauss Dengan Pendekatan 2 Titik ...... 61
IV.4.2. Integrasi Kuadratur Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik ...... 63
BAB V. Differensiasi ............................................................................. 66 V.1. Permasalahan Differensiasi Numerik .......................................... 66 V.2. Metode Selisih Maju .................................................................... 67 V.3. Metode Selisih Tengahan ........................................................... 69 V.4. Differensiasi Tingkat Tinggi ......................................................... 71 V.5. Differensiasi Untuk Menentukan Titik Puncak Kurva .................. 73
8/17/2019 Diktat an Um
5/82
Persamaan Non-Linier 1
0)( x f
BAB I. Persamaan Non-Linier
I.1. Pendahuluan
Dalam dunia sains dan rekayasa, para ahli sering berhadapan dengan
persoalan mencari solusi persamaan non-linear yan g disebut dengan
akar persamaan (root of equation) atau nilai-nilai nol. Contoh persamaan
non-linier adalah sebagai berikut:
a. 1 4 16 3 3 0
b. 0,
c...
..
3.69 0, 0 1
d. tan tanh2
Persamaan mencari solusi persamaan non-linier dapat dirumuskan secara
singkat sebagai berikut: tentukan nilai x yang memenuhi persamaan yaitu
nilai x = s sedemikian sehingga f(s) sama dengan nol.
Sampai saat ini sudah banyak ditemukan metode pencarian akar. Secara
umum, semua metode pencarian akar tersebut dapat dikelompokkan
menjadi dua.1. Metode Tertutup
Suatu metode yang digunakan untuk mencari akar dalam selang
[a, b]. Dalam selang [a, b] sudah dipastikan berisi minimal satu akar.
Iterasi yang dilakukan untuk mendapatkan akar selalu konvergen
(menuju) ke akar. Jadi dengan menggunakan metode tertutup akan
selalu berhasil menemukan akar persamaan.
2. Metode Terbuka
Pencarian akar tidak memerlukan selang [a, b] yang mengandungakar, tetapi menebak nilai awal akar. Selanjutnya dengan prosedur
iterasi kita akan memperoleh hampiran akar yang baru. Setiap kali
iterasi dilakukan, mungkin saja nilai hampiran akar mendekati akar
8/17/2019 Diktat an Um
6/82
Persamaan Non-Linier 2
x
b
a
b
ba
b
sejati (konvergen), atau mungkin juga menjauhinya (divergen). Jadi
dengan metode terbuka tidak selalu berhasil menemukan akar.
I.2. Metode Tertutup
Seperti telah dijelaskan bahwa metode tertutup memerlukan selang [a, b]
yang mengandung akar. Proses yang dilakukan pada metode ini adalah
mempersempit lebar selang tersebut sehingga diperoleh suatu nilai akar
sejati.
Dalam suatu selang mungkin terdapat satu buah akar atau tidak sama
sekali. Untuk mengetahui kemungkinan tersebut maka perlu dilakukan
pengujian syarat cukup keberadaan akar. Dari gambar berikut dapat
ditunjukkan bahwa:
1. f(a).f(b) < 0 , maka terdapat akar sebanyak bilangan ganjil
(gambar 1.1).
Gambar 1.1 Banyaknya akar ganjil
2. f(a).f(b) > 0, maka terdapat akar sebanyak bilangan genap atau
tidak ada akar sama sekali (gambar 1.2).
Gambar 1.2 Banyaknya akar genap
xb
a
a
ba
a
8/17/2019 Diktat an Um
7/82
8/17/2019 Diktat an Um
8/82
Langkah
Jika hasi
perhitunditetapka
Contoh 1
Tentuka
dua.
Penyeles
Langkah
5: Tentu
deng
lebih
Dima
il perhitun
an dari ln.
.1
akar-aka
aian:
1: Deng
persaa2 = 2
a
kan apak
n meme
kecil dari
a:
= h
NT = n
gan belu
ngkah 1
dari pers
an bantua
maan ters dan b2
Gambar 1
baR
baru
n
n
ah taksir
uhi syar
ilai tolera
arga mutl
ilai toleran
memen
/d 5 sam
maan
n gambar
ebut yaitu= 3.
.3:Grafik pe
(f
u
laman
n baru
t bahwa
si kesala
k aproksi
si yang dit
hi nilai t
pai meme
kita dapa
diantara
yelesaian
) 2 x x
(f
ersamaa
ukup aku
aproksim
an
asi kesal
entukan,
leransiny
nuhi nilai
deng
t melihat
1 = -2 da
a
3
3) 2 x x x
Non-Lini
rat atau
asi kesal
ahan
issal 0,0
, maka u
toleransi
n metode
letak dari
n b1 = -1
NT
r
tidak
ahan
langi
yang
bagi
akar
serta
8/17/2019 Diktat an Um
9/82
Persamaan Non-Linier 5
Cek apakah f(a).f(b) < 0 dengan memasukkan harga taksiran
akar ke fungsinya sebagai berikut:
f(-2) = f(x) = (-2)2 – (-2) – 3 = 3
f(-1) = f(x) = (-1)2 – (-1) – 3 = -1
f( 2) = f(x) = ( 2)2 – ( 2 ) – 3 = -1
f( 3) = f(x) = ( 3)2 – ( 3) – 3 = 3
Cek apakah: f(a1).f(b1) < 0 ; ( 3).(-1) < 0
f(a2).f(b2) < 0 ; (-1).( 3) < 0
Langkah 2: Taksiran pertama harga akar R1 dan R2 ditentukan oleh:
Langkah 3: Buatlah evaluasi untuk menentukan subinterval dimana akar
terletak, sbb:
f(R1) = f(-1,5) = (-1,5)2 – (-1,5) – 3 = 0,75
f(R2) = f(2,5) = ( 2,5 )2 – ( 2,5 ) – 3 = 0,75
Untuk f(a1).f(R1) > 0 akar terletak pada subinterval kedua,
maka a1 = R1 = -1,5 sedangkan b1 tetap = -1.
Untuk f(a2).f(R2) < 0 akar terletak pada subinterval pertama,
maka b2 = R2 = 2,5 sedangkan a2 tetap = 2.
Langka 4: Hitung harga taksiran harga akar baru Rn ditentukan oleh:
Langkah 5: Dengan NT = 0,05 maka
; tidak memenuhi
; tidak memenuhi
2
111
baR 5,1
2
)1(2
5,22
32
2
222
baR
25,12
)1(5,1
2
111
baR
25,22
5,22
2
222
baR
05,02,025,1
)5,1(25,11
a
05,011,025,2
)5,2(25,22
a
8/17/2019 Diktat an Um
10/82
Persamaan Non-Linier 6
a
1a
2a
1a
2a
1a
2a
3)( 2 x x x f
Karena kedua harga akar tidak memenuhi syarat nilai
toleransi, maka langkah 1 s/d 5 diulangi (di-iterasi) hingga nilai
toleransi dipenuhi, sebagai mana tabulasi berikut:
Tabel 1.1: Iterasi Metode bagi dua
Iterasi Langkah 1 Rn lama
Langkah 2
Langkah 3 Rn baru
Langkah 4
1
a1 = -2
b 1 = -1
a2 = 2
b2 = 3
R1 = -1,5
R2 = 2,5
a1 = -1,5
b 1 = -1
a2 = 2
b2 = 2,5
R1 = -1,25
R2 = 2,25
= 0,2
= 0,11
2
a1 = -1,5
b 1 = -1
a2 = 2
b2 = 2,5
R1 = -1,25
R2 = 2,25
a1 = -1,5
b 1 = -1,25
a2 = 2,25
b2 = 2,5
R1 = -1,375
R2 = 2,375
= 0,09
= 0,052
3
a1 = -1,5
b 1 = -1,25
a2 = 2,25
b2 = 2,5
R1 = -1,375
R2 = 2,375
a1 = -1,375
b 1 = -1,25
a2 = 2,25
b2 = 2,375
R1 = -1,313
R2 = 2,313
= 0,047
= 0,027
Dari table diatas terlihat bahwa pada iterasi ketiga, nilai toleransinya lebih
kecil dari yang ditetapkan. Sehingga akar persamaan
adalah x1 = -1,313 dan x2 = 2.313.
I.2.2. Metode Regula Falsi
Metode Regula Falsi adalah suatu metode pencarian akar yang dilakukan
dengan membuat garis lurus yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan
(b, f(b)). Perpotongan garis tersebut dengan sumbu x merupakan taksiran
akar persamaan. Garis lurus tadi seolah-olah berlaku menggantikan kurva
f(x) dan memberikan posisi palsu pada akar.
Metode Regula Falsi memiliki konvergensi yang lebih cepat dibandingkan
dengan metode bagi dua.
8/17/2019 Diktat an Um
11/82
Persamaan Non-Linier 7
x = a
x = b
Interpolasi ke-1Interpolasi ke-
perkiraan ke-1perkiraan ke-2perkiraan ke-3
Akar sejati (R )
)()(
)()(
af bf
abf baf R
Gambar 1.4: Metode posisi salah
Bila selang [a, b] yang mengandung akar, maka fungsi linear yang
melewati (a, f(a)) dan (b, f(b)) adalah:
(1.2)
atau solusi untuk x:
(1.3)
Posisi xR dimana garis berpotongan dengan aksis x, diperoleh dengan
menjadikan y = 0. Sehingga persamaan 1.4 menjadi:(1.4)
Adapun prosedur penyelesaian Metoda Regula falsi adalah sbb:
Langkah 1: Masukkan nilai taksiran akar terendah a dan tertinggi b yang
memungkinkan pada selang tersebut terdapat fungsi yang
berubah tanda. Hal ini dapat diperiksa dengan f(a)f(b) < 0.
Langkah 2: Taksiran akar R diperoleh dengan:(1.5)
Langkah 3: Buat evaluasi berikut untuk menentukan sub-interval dimana
akar terletak.
)()()(
)( a x ab
af bf af y R
)()()(
af y af bf
aba x R
)()(
)()()(
)()( af bf
abf baf af
af bf
abaR
8/17/2019 Diktat an Um
12/82
Persamaan Non-Linier 8
a. Jika f(a).f(Rn) < 0, akar terletak pada sub-interval
pertama, maka b diganti dengan Rn (b = Rn) kemudian
lanjutkan ke langkah 4.
b. Jika f(a).f(Rn) > 0, akar terletak pada sub-interval kedua,
maka a diganti dengan Rn (a = Rn) kemudian lanjutkan ke
langkah 4.
c. Jika f(a).f(Rn) = 0, akar = Rn kemudian lanjutkan ke
langkah 4.
Langkah 4: Hitung harga akar baru Rn:
Langkah 5: Tentukan apakah taksiran baru cukup akurat atau tidakdengan memenuhi syarat bahwa aproksimasi kesalahan
lebih kecil dari nilai toleransi kesalahan
Dimana:
|∈|
(1.6)
= harga mutlak aproksimasi kesalahan
NT = nilai toleransi yang ditentukan, missal 0,05
Jika hasil perhitungan belum memenuhi nilai toleransinya, maka ulangi
perhitungan dari langkah 1 s/d 5 sampai memenuhi nilai toleransi yang
ditetapkan.
Contoh 1.2:
Tentukan harga akar persamaan dengan menggunakan
Metode Regula falsi.
Penyelesaian:
Langkah 1: Sama halnya dengan contoh 1.2, aksiran akar terletak padaa1 = -2 dan b1 = -1 serta a2 = 2 dan b2 = 3.
Langkah 2: Taksiran akar R1 dan R2 diperoleh dengan:
)()(
)()(
af bf
abf baf R n
NT a
3)( 2 x x x f
25,131
)3)(1()1(21
R
25,2)1(3
)1(3)3(22
R
8/17/2019 Diktat an Um
13/82
Persamaan Non-Linier 9
Langkah 3: Buat evaluasi berikut untuk menentukan sub-interval dimana
akar terletak.
f(R1) = f(-1,25) = (-1,25)2 – (-1,25) – 3 = -0,1875
f(R2) = f(2,25) = ( 2,25 )2 – ( 2,25 ) – 3 = -0,1875
Untuk f(a1).f(R1) < 0 akar terletak pada subinterval pertama,
maka b1 = R1 = -1,25 sedangkan a1 tetap = -2.
Untuk f(a2).f(R2) > 0 akar terletak pada subinterval kedua,
maka a2 = R2 = 2,25 sedangkan b2 tetap = 3.
Langkah 4: Hitung harga akar baru Rn:
Langkah 5: Dengan NT = 0,05 maka
; memenuhi
; memenuhi
Karena kedua akar memenuhi syarat nilai toleransi, maka akarnya adalah
x1 = -1,294 dan x2 = 2,294.
Bila kita bandingkan dengan metode Bagi dua maka, metode Regula falsi,
memiliki kecepatan konvergensi yang lebih tinggi. Hal ini ditunjukkan
dengan jumlah proses iterasi yang lebih sedikit pada metoda Regula falsi.
294,131875,0
)3)(25,1()1875,0(21
R
294,2)1875,0(3
)1875,0(3)3(25,22
R
05,0034,0294,1
)25,1(294,11
a
05,001,0294,2
)25,2(294,22
a
8/17/2019 Diktat an Um
14/82
8/17/2019 Diktat an Um
15/82
Persamaan Non-Linier 11
I.
Dalam hal ini,
Maka prosedur iterasinya adalah Ambil nilai
dugaan awal x 0 = 4.
Tabel 1.1: Iterasi persamaan g(x) =
r xr
0. 4
1. 3,316625 0,683375
2. 3,103748 0,212877
3. 3,034385 0,0693621
4. 3,011440 0,0229455
5. 3,003811 0,0076291
6. 3,001270 0,0025409
7. 3,000423 0,0008467
8. 3,000141 0,0002822
9. 3,000047 9,404E-05
10. 3,000016 3,136E-05
11. 3,000005 1,045E-05
12. 3,000002 3,484E-06
13. 3,000001 1,161E-06
14. 3,000000 4,301E-08
II.
Dalam hal ini, g(x) = 3/(x-2). Prosedur iterasinya adalah :xr+1 =
3/(x-2). Ambil nilai dugaan awal x 0 = 4.
3)2( x x
32 x x
322 x x
)32()( x x g
)32(1 x x r
0322 x x
)2/(3 x x
)32( x
r r xx
1
8/17/2019 Diktat an Um
16/82
Persamaan Non-Linier 12
Tabel 1.2: Iterasi persamaan g(x) = 3/( x-2)
r xr
0. 4,000000 -
1. 1,500000 2,500000
2. -6,000000 7,500000
3. -0,375000 5,625000
4. -1,263158 0,888158
5. -0,919355 0,343803
6. -1,027624 0,108269
7. -0,990876 0,036748
8. -1,003051 0,012175
9. -0,998984 0,004067
10. -1,000339 0,001355
11. -0,999887 0,000452
12. -1,000038 0,000051
13. -0,999987 0,000050
14. -1,000004 0,000017
15. -0,999999 0,000006
16. -1,000000 0,000002
17. -1,000000 0,000001
III.
Prosedur iterasinya adalah
Ambil nilai dugaan awal x 0 = 4.
Tabel 1.3: Persamaan
r xr
0. 4 -
1. 6,500000 2,5000002. 19,625000 13,125000
3. 191,070313 171,445312
4. 18252,432159 18061,361847
5. …
2/)3(2
r x x
0322 x x
r r xx 1
2/)3(2
1 r r x x
r r xx 1
2( ) ( 3) / 2
r g x x
8/17/2019 Diktat an Um
17/82
Persamaan Non-Linier 13
xxrxr+1
Garis singgung kurva di xr dengan gradien f ’(xr )
y = f(xr )
I.3.2. Metode Newton-Raphson
Diantara metode pencarian akar, metode Newton-Raphson adalah yang
paling terkenal dan banyak digunakan. Hal ini dikarenakan konvergensi
metode ini paling cepat diantara metode lain.
Pada gambar 1.5, jika tebakan awal xi, sebuah garis ditarik dari titik [f(xi),
xi] hingga memotong sumbu x di xr+1 biasanya menunjukkan perbaikan
harga taksiran akar.
Gambar 1.5: Tafsiran Geometri metode Newton-Rapson
Gradien garis singgung di xr adalah
(1.8)
atau
(1.9)
sehingga prosedur iterasinya adalah:
; (1.10)
contoh 1.4
Tentukan harga akar persamaan f(x) = x 2 - x - 3 dengan metode Newton-
Raphson.
Penyelesaian:
Iterasi pertama (I = 1) untuk akar pertama (x1 = 3):
1
' 0)()(
r r
r r
x x
x f
x
y x f m
1
' 0)()(
r r
r r
x x
x f x f
1r
r r '
r
f ( x ) x x
f ( x )
0' r f ( x )
8/17/2019 Diktat an Um
18/82
Persamaan Non-Linier 14
xrxr+1 xr-1
y = g(x)
f(x) = x 2 - x – 3 : f(-3) = (-3)2 – (-3) – 3 = 9
f ’(x) = 2x - 1 : f ’(-3) = 2(-3) – 1 = -7
dengan NT = 0,05 maka,
; tidak memenuhi
Kemudian dilanjutkan dengan iterasi berikutnya hingga lebih kecil dari
harga NT, sebagai mana pada table berikut:
Tabel 1.4: Hasil perhitungan dengan metode Newton-Raphson
Akar pertama Akar kedua
Iterasi, r xr |εa| % Iterasi, r xr |εa| %
1 -3 - 1 2 -
2 -1,714 75 2 2,333 14,3
3 -1,341 27,8 3 2,303 1,3
4 -1,303 2,9 4 2,303 0
Pada hasil tabulasi terlihat bahwa akar-akarnya adalah x1 = -1,303 dan
x2 = 2,303.
I.3.3. Metode Secant
Pada beberapa kasus, penggunaan metode Newton-Rapson dihadapkan
pada kesukaran dalam mengevaluasi turunan suatu persamaan. Untuk
menghadapi keadaan yang demikian maka turunan fungsi dapat didekati
dengan cara menggantikannya dalam bentuk lain yang ekivalen.
Modifikasi metode Newton-Raphson ini dinamakan dengan metode
secant . Dari gambar 1.5 dapat ditentukan gradien dari f’ (x) sebagai
berikut:
7141
7
931 ,
)(
)('
r
r r r
x f
x f x x
0507507141
371411 ,,
,
)( ,a
Gambar 1.6: Metode Secant
8/17/2019 Diktat an Um
19/82
Persamaan Non-Linier 15
(1.11)
Subtitusikan persamaan 1.11 kedalam persamaan Newton-Raphson:
(1.12)
sehingga diperoleh:
(1.13)
Formula secant memerlukan dua harga taksiran akar x0 dan x1.
Contoh 1.5:Hitunglah akar f(x) = ex – 5x2 dengan metode secant. Gunakan ε = 0,0001.
Tebakan awal akar adalah x-1 = 0,5 dan x0 = 1.
Penyelesaian:
> 0,0001(tidak memenuhi)
maka dilanjutkan dengan iterasi kedua:
> 0,0001 (tidak memenuhi)
1
1
r r
r r r
x x
x f x f
BC
AC
x
y x f
)()()('
) x ( f
) x ( f x x
r
'
r r r 1
) x ( f ) x ( f
) x x )( x ( f x x
r r
r r r r r
1
11
399050550250
1 , ),( e ),( f ) x ( f ,
2822151 210 , )( e )( f ) x ( f
5703990282
5013990
110
10001 , ),( ,
),( ,
) x ( f ) x ( f
) x x )( x ( f
x x
74120570
1570,
,
,a
2822151 210 , )( e )( f ) x ( f
597028221260
15701260570
01
01112 ,
),( ,
),( ,,
) x ( f ) x ( f
) x x )( x ( f x x
014505970
5705970,
,
,,a
126057055702570
1 , ),( e ),( f ) x ( f ,
8/17/2019 Diktat an Um
20/82
Persamaan Non-Linier 16
begitu seterusnya hingga galat memenuhi nilai toleransi yang telah
ditetapkan, sebagai mana terlihat pada table berikut:
Tabel 1.5: Hasil perhitungan dengan
metode Secanti Xr ε = |xr+1-xr |
0 0.5
1 1
2 0,574376 0,74102
3 0,596731 0,037462
4 0,605533 0,014537
5 0,605265 0,000443
6 0,605267 3,66E-06
Pada tabel terlihat bahwa akarnya adalah x = 0,605267.
I.4. Akar Ganda
Akar ganda terjadi bila kurva fungsi menyinggung sumbu-x, misalnya:
memiliki akar ganda dua di x = 1.
Pada gambar dapat dilihat bahwa kurva menyinggung sumbu-x di sekitar
x = 1.
Gambar 1.7: Contoh akar ganda yang menyinggung sumbu x
Akar-akar ganda memiliki kendala-kendala sebagai berikut:
1. Fungsi tidak berubah tanda pada akar ganda sehingga metode bagi
dua dan metode tertutup lainnya tidak dapat digunakan.
2. Kenyataan bahwa tidak hanya f(x) tetapi juga f ’(x) menuju nol pada
akar, dimana pada metode Newton-Raphson dan secant
-1,4
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0 1 2 3 4
3 25 7 3 ( 3)( 1)( 1) x x x x x x
8/17/2019 Diktat an Um
21/82
Persamaan Non-Linier 17
mengandung turunan fungsi f(x) dalam penyebut masing-masing
formula.
Untuk mengatasi masalah tersebut dilakukan suatu modifikasi yang
diusulkan oleh Raltson dan Robinowitz terhadap formulasi berikut:
(1.14)
dengan m adalah bilangan multiplikasi akar, misalnya:
- akar tunggal, m = 1
- akar ganda dua, m = 2
- akar ganda tiga, m = 3 dan seterusnya.
Penggunaan persamaan diatas tidak memuaskan karena kita perlu tahu
terlebih dahulu bilangan multiplikasi akar. Disamping itu, untuk x dekatakar ganda, nilai f(x) » 0 dan juga nilai f ’(x) » 0, yang dapat mengakibatkan
pembagian dengan nol.
Maka didefinisikan
′
selanjutnya,
dimana:
sehingga
atau
(1.15)
1 '
( )
( )
r r r
r
f x x x m
f x
1 '( )( )
r r r
r
u x x xu x
'
' ' '' ' 2 '''
' ( )
( ) ' 2 ' 2
( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )( )
[ ( )] [ ( )]
f x
f x
f x f x f x f x f x f x f xu x
f x f x
'
( )
( )
1 ' 2 ''
' 2
[ ( )] ( ) ( )
[ ( )]
r
r
f x
f x
r r
r r r
r
x x f x f x f x
f x
'
1 ' 2 ''
( ) ( )
[ ( )] ( ) ( )
r r
r r
r r r
f x f x x x
f x f x f x
8/17/2019 Diktat an Um
22/82
Persamaan Non-Linier 18
contoh:
Hitung akar dengan metode Newton-Raphson
baku dan metode Newton-Raphson yang telah diperbaiki. Tebakan awal
x0 = 0.
Penyelesaian:
Dengan metode Newton-Raphson baku
Dengan metode Newton-Raphson yang telah dimodifikasi:
Tabel iterasinya adalah sebagai berikut:Tabel 1.6: Iterasi akar ganda
Newton-Rapson baku Newton Rapson modifikasi
r xr r xr 0 0 1,105263
1 0,4285714 1 1,003082
2 0,6857143 2 1,000002
3 0,8328654 3 1
4 0,9133299
5 0,9557833
6 0,9776551
7 0,9887662
8 0,9943674
Terlihat bahwa dengan menggunakan Metode Newton-Rapson yang
dimodifikasi memiliki iterasi yang lebih sedikit.
3 2( ) 5 7 3 f x x x x
3 2( ) 5 7 3 f x x x x
' 2( ) 3 10 7 f x x x
''( ) 6 10 f x x
3 2
1 25 7 3
3 10 7
r r r r
r
r r
x x x x x x x
3 2 2
1 2 2 3 2
( 5 7 3)(3 10 7)
(3 10 7) (6 10)( 5 7 3)
r r r r r
r
r r r r r r
x x x x x x
x x x x x x
8/17/2019 Diktat an Um
23/82
Persamaan Non-Linier 19
Tugas:
1.
Tentukan akar persamaan diatas dengan metode:
a. Bagi dua
b. Regula falsi
c. Newton-Raphson
d. Secant
dimana NT = 2%
2.
Tentukan akar persamaan diatas dengan metode:
a. Bagi dua
b. Regula falsi
c. Newton-Raphson
d. Secant
dimana NT = 2%
3.
Tentukan akar persamaan diatas dengan metode:
a. Bagi dua
b. Regula falsi
c. Newton-Raphson
d. Secant
dimana NT = 2%
2( ) 0,8459 1, 75 2, 625 y x x x
2( ) 5, 78 11, 4504 y x x x
2( ) 1, 75 2, 625
x y x e x
8/17/2019 Diktat an Um
24/82
Sistem Persamaan Linear 2
BAB II. Sistem Persamaan Linear
II.1. PendahuluanPembahasan utama pada bab ini adalah mempelajari metode komputasi
dasar untuk menyelesaikan suatu persamaan linear. Suatu persamaan
linear dapat terdiri dari beberapa persamaan yang penyelesaiannya
dilakukan secara serempak. Berbeda dengan bab sebelumnya, masalah
yang diselesaikan adalah akar-akar dari satu persamaan saja.
Bentuk umum dari persamaan linear adalah sebagai berikut:
a11 x 1 + a12 x 2 + a13 x 3 + …+ a1n x n = c 1
. . . . .
. . . . .
(2.1)
dimana a adalah koefisien, c adalah konstanta dan x adalah variable.
Dengan menggunakan perkalian matriks, kita dapat menulis persamaan
nnn sebagai persamaan matriks:
(2.2)
dimana:
A = [aij] adalah matriks berukuran n x n
x = [xij] adalah matriks berukuran n x 1
b = [b j] adalah matriks berukuran n x 1 (disebut juga vektor kolom)
yaitu:
(2.3)
22323222221 c x a... x a x a x a nn
nnnnnnn c x a... x a x a x a 332211
b Ax
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
n
n
n n n nn
a a a ... aa a a ... a
. . . . .
a a a ... a
1
2
n
bb
.
b
1
2
n
x x
.
x
8/17/2019 Diktat an Um
25/82
Sistem Persamaan Linear 21
Metode komputasi yang digunakan dalam penyelesaian system
persamaan aljabar linear adalah:
1. Aturan Cramer
2. Metode Eliminasi Gauss
3. Metode Gauss Jordan
4. Metode Gauss Seidel
II.2. Aturan Cramer
Aturan Cramer merupakan suatu metode pemecahan permasalahan
sistem persamaan linear simultan berjumlah kecil dengan jumlah variable
bebas (x) ≤ 3. Setiap variable yang akan dicari, diperoleh dari pembagian
dua buah determinan. Terhadap determinan pembilang pada kolom yang
akan dicari variabelnya, diisi dengan konstanta c1, c2, … cn. Misalkan
suatu permasalahan system persamaan linear simultan sebagai berikut:
a11 x 1 + a12 x 2 + a13 x 3 = c 1
a21 x 1 + a22 x 2 + a23 x 3 = c 1
a31 x 1 + a32 x 2 + a33 x 3 = c 3
maka matriks koefisien adalah:
[A] =
(2.4)
determinan dari [A] adalah:
(2.5)
(2.6)
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
n
n
n n n nn
a a a ... a
a a a ... a
. . . . .
a a a ... a
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11aa
aaa
aa
aaa
aa
aaaD
8/17/2019 Diktat an Um
26/82
Sistem Persamaan Linear 22
23313321
3331
2321 aaaaaa
aa
22313221
3231
2221aaaa
aa
aa
dimana minor-minornya adalah sebagai berikut:
kemudian untuk pembilang, kolom determinan yang tidak diketahui
variabelnya dingganti dengan koefisien c1, c2 dan c3. Misalkan kita
mencari x1, x2, x3:
Contoh 2.1:
Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan permasalahan berikut:
0,3 x 1 + 0,52x 2 + x 3 = -0,01
0,5 x 1 + x 2 + 1,9x 3 = 0,67
0,1 x 1 + 0,3 x 2 + 0,5x 3 = -0,44Penyelesaian:
minor-minornya adalah:
23323322
3332
2322aaaa
aa
aa
D
aac
aac aac
x 33323
23222
13121
1 D
c aa
c aa
c aa
x 33231
22221
11211
3 D
ac a
ac aac a
x 33331
23221
13111
2
503010
91150
152030
,,,
,,
,,
D
07091305015030
911,,.,,.
,,
,
060911050505010
9150,,.,,.,
,,
,,
0501101503010
150,.,.,
,,
,
8/17/2019 Diktat an Um
27/82
Sistem Persamaan Linear 23
sehingga harga determinan-nya adalah:
Kemudian harga x1, x2, x3 dapat ditentukan dengan:
II.3. Metode Eliminasi Gauss
Prinsip dasar metode ini adalah merubah bentuk matriks dari suatu
persamaan liniear simultan menjadi menjadi bentuk matriks segitiga atas
seperti persamaan berikut ini:
= (2.7)
maka solusinya dapat dihitung dengan teknik subtitusi mundur (backward
substitution):
00220050106052007030 , ),( ),( , ),( ,D
91400220
032780
00220
503010
911670
1520010
1 ,,
,
,
,,,
,,
,,
x
52900220
06490
00220
501010
9167050
101030
2 ,,
,
,
,,,
,,,
,,
x
81900220
043560
00220
103010670150
01052030
3 ,,
,
,
,,,,,
,,,
x
11 12 13 1
22 23 2
33 3
0
0 0
0 0 0
n
n
n
nn
a a a a
a a a
a a
a
1
2
3
n
x
x
x
x
1
2
3
n
b
b
b
b
nn n n n n nna x b x b / a
1 1
1 1 1 1 1 1
1 1
n n ,n nn ,n n n ,n n n n
n ,n
b a x a x a x b x
a
2 2 1 1 2
2 2 2 2 1 1 2 2 2
2 2
n n ,n n n ,n n
n ,n n n ,n n n ,n n n n
n ,n
b a x a x a x a x a x b x
a
dst.
8/17/2019 Diktat an Um
28/82
Sistem Persamaan Linear 24
sehingga persamaan umumnya dapat dibentuk menjadi:
, k = n-1, n-2, …,1 dan akk ≠ 0 (2.8)
Contoh 2.2: Selesaikan persamaan-persaman dibawah ini dengan metode
eliminasi Gauss.
2x1 + x2 – 3x3 = -1
-x1 + 3x2+ 2x3 = 12
3x1 + x2 – 3x3 = 0
Penyelesaian:
Persamaan diatas disusun dalam bentuk matriks, sbb:2 1 -3 -1
-1 3 2 12
3 1 -3 0
Eliminasi dilakukan dengan mengalikan baris pertama dengan -1/2 dan
melakukan pengurangan baris kedua dengan baris pertama. Kemudian
baris pertama dikalikan dengan 3/2 dan melakukan pengurangan baris
ketiga dengan baris pertama.
2 1 -3 -10 7/2 1/2 23/2
0 -1/2 3/2 3/2
Eliminasi dilanjutkan dengan mengalikan baris kedua dengan -1/7 dan
dikurangi dengan baris ketiga.
2 1 -3 -1
0 7/2 1/2 23/2
0 0 11/7 22/7
Dan ini adalah akhir dari proses eliminasi. Kemudian dilakukan subtitusi
mundur yang dimulai dari baris terakhir, sbb:
(11/7)x3 = 22/7
x3 = 2
Kemudian persamaan baris kedua:
1
n
k kj j
j k
k
kk
b a x
x
a
8/17/2019 Diktat an Um
29/82
8/17/2019 Diktat an Um
30/82
Sistem Persamaan Linear 26
1 2 1 2
R2 – 3R1 0 0 -3 3
R3 – 2R1 0 4 2 2
Setelah operasi pertama, elemen a22 yang akan menjadi pivot pada
operasi berikutnya berharga nol. Oleh karena itu, baris 2 dipertukarkan
dengan baris ketiga sehingga elemen a22 = 4 ≠ 0.
1 2 1 2
R2
↑↓ 0 4 2 2
R3 0 0 -3 3
II.3.2. Penskalaan
Penskalaan adalah cara lain yang dilakukan untuk mengurangi galat
pembulatan pada system persamaan linier. Penskalaan dilakukan bila
terdapat perbedaan koefisien yang mencolok. Cara yang dilakukan adalah
dengan membagi setiap baris persamaan dengan nilai mutlak koefisien
terbesar diruas kiri. Sehingga nilai keofisien maksimum menjadi 1. Cara
seperti ini disebut dengan menormalkan system persamaan linier.
Contoh 2.4:
Selesaikan system persamaan linier berikut sampai 3 angka decimaldengan menggunakan eliminasi Gauss yang menerapkan penskalaan dan
tanpa penskalaan:
Penyelesaian:
Dengan tanpa penskalaan:
Solusinya adalah: x 1 = 1,00 x 2 = 0 (salah)
1 2
1 2
2 100000 100000
2
x x
x x
2 12 100000 100000 1 / 2 2 100000 100000
1 1 2 0 50000 50000
R R
8/17/2019 Diktat an Um
31/82
Sistem Persamaan Linear 27
Dengan penskalaan:
solusinya, x 1 = 1,00 x 2 = 1,00 (benar)
II.4. Metode Eliminasi Gauss Jordan
Metode eliminasi Gauss Jordan merupakan variasi dari metode eliminasi
Gauss. Matriks dari persamaan diubah menjadi bentuk matriks identitas I.
Solusi dari variable-variabelnya dapat langsung diperoleh dari vector
kolom b, tanpa melakukan subtitusi mundur.
A x = b → I x = b’
Dari persamaan 2.9, matriks identitas dibentuk dengan melakukaneliminasi mundur (backward elimination). Proses tersebut dilakukan
pertama sekali dengan membagi baris terakhir dengan , sehingga
berbentuk:
0 0 0 …
dimana:
Koefisien ke-n dari tiap baris kecuali baris terakhir dieliminasi dengan
melakukan pengurangan baris ke-i dengan hasil kali baris terakhir dan
koefisien ke-n:
(2.9)
1 2
1 2
1 2
1 2
2 100000 100000 :100000
2 :1
0, 00002 1
2
x x
x x
x x
x x
1 20, 00002 1 1 1 1 2 1 1 2
1 1 2 0, 00002 1 1 0 1 1, 00
:
R R
1( n )
n,na
nna
1 1 ( n ) ( n )nn nn nna a / a
11 12 13
22 23
33
0
0 0
0 0 0
0 0 0 1
a a a
a a
a
8/17/2019 Diktat an Um
32/82
Sistem Persamaan Linear 28
dimana:
(2.10)
Kemudian dijadikan acuan dalam melakukan
eliminasi, begitu seterusnya.
contoh 2.5:
Selesaikan persoalan pada contoh 2.1 dengan metode eleminasi Gauss
Jordan.
Penyelesaian:
Dari bentuk matriks:
2 1 -3 -1
0 7/2 1/2 23/2
0 0 11/7 22/7
eiminasi dilanjutkan dengan membagi baris ketiga dengan 11/7. Baris
kedua dikurangi hasil kali baris ketiga dengan ½ , dan baris pertama
dikurangi hasil kali baris ketiga dengan -3:
2 1 0 5
0 7/2 0 21/2
0 0 1 2
Kemudian baris kedua dijadikan basis eleminasi dengan membagi baris
kedua dengan 7/2. Baris pertama dikurangi hasil kali baris kedua dengan
1.
2 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 2
Selanjutnya baris pertama dibagi dengan 2.
1 0 0 1
0 1 0 3
0 0 1 2
Maka variable x adalah: x1 = 2, x2 = 3 dan x3 = 1.
1 1( i ) ( i )in nnin ina a a a
2
1 1 1
( n )
i ,( n- ) i ,( n ) i ,( n )a a / a
8/17/2019 Diktat an Um
33/82
Sistem Persamaan Linear 29
II.5. Metode Iterasi Gauss Seidel
Metode eleminasi Gauss maupun Gauss Jordan melibatkan banyak galat
pembulatan sehingga dapat menyebabkan hasil yang diperoleh jauh dari
hasil yang sebenarnya. Untuk mengatasi hal tersebut, maka metode
iterasi pada persamaan linear dapat juga digunakan untuk menyelesaikan
system persamaan linear. Dengan menggunakan metode ini, galat
pembulatan dapat diperkecil dengan semakin kecilnya toleransi galat yang
kita tetapkan.
Misal ada sekumpulan n persamaan:
Dengan syarat diagonal matriks akk ≠ 0, k = 1, 2, 3, …, n, maka
persamaan iterasinya dapat ditulis sebagai:
(2.11)
dengan k = 0, 1, 2, …
Langkah-langkah iterasi Gauss-Siedel:
1. Asumsikan x2 = x3 =…=xn = 0, sehingga dapat diperoleh x1 =
2. Hasil dari x1 dimasukkan kedalam persamaan berikutnya untuk
mendapatkan harga x2. Dimana x3 = x4 =….=xn = 0, sehingga
x2 =
3. Cara yang sama terus dilakukan hingga diperoleh nilai xn untuk
iterasi pertama.
A x b
1
11
b
a
2 21 1
11
1( )b a x
a
1 1 12 2 11
11
k ( k )( k ) n nb a x ... a x x
a
1 2 21 1 23 3 22
22
k ( k ) ( k )( k ) n nb a x a x ... a x x
a
1 1 1 2 2 1 1
k ( k ) ( k )( k ) n n n nn n
n
nn
b a x a x ... a x x
a
8/17/2019 Diktat an Um
34/82
Sistem Persamaan Linear 3
4. Iterasi berikutnya dilakukan berdasarkan harga yang diperoleh dari
iterasi sebelumnya. Proses iterasi dihentikan berdasarkan galat
relative:
(2.12)
untuk semua i = 1, 2, 3, …, n
Contoh 2.6:Selesaikan persamaan simultan berikut:
27 x + 6 y – z = 85 (1a) 6 x + 15 y + 2 z = 72 (1b)
x + y + 54 z = 110 (1c)
Penyelesaian:Persamaan diatas dapat diubah menjadi:
(2a)
(2b)
(2c)
Iterasi pertama:
1. Asumsikan y =z = 0, sehingga dari persamaan (2a) diperoleh:
2. Nilai x1 dimasukkan kedalam persamaan (2b) untuk mendapatkan y1
dengan menganggap z = 0.
3. Masukkan nilai x1 dan y1 kedalam persamaan (2c) untuk mendapatkan
nilai z1:
Iterasi kedua:
1
1
( k ) ( k )i i
( k )
i
x x
x
1(85 6 )
27 x y z
1(72 6 2 )
15 y x z
1(110 )
54 z x y
1
1(85) 3,15
27 x
1
1[72 6(3,15)] 3,54
15 y
1
1(110 3,15 3,54) 1,91
54 z
2
1(85 6(3,54) 1,91) 2,43
27 x
2
1[72 6(3,15) 2(1,91)] 3,57
15 y
2
1(110 2,43 3,57) 1,926
54 z
8/17/2019 Diktat an Um
35/82
Sistem Persamaan Linear 31
Iterasi selanjutnya ditabelkan sebagai berikut:
Tabel 2.1: Iterasi Gauss-Siedel
Iterasi x y z
1 3,15 3,54 1,91
2 2,43 2,57 1,926
3 2,423 3,574 1,926
4 2,425 3,573 1,926
5 2,425 3,573 1,926
Hasil dari perhitungan adalah:
X = 2,425 y = 3,573 z = 1,926
8/17/2019 Diktat an Um
36/82
8/17/2019 Diktat an Um
37/82
Pencocokan Kurva 33
BAB III. Pencocokan Kurva
III.1. Pendahuluan
Data dari suatu pengukuran atau pengamatan, ditampilkan dalam bentuk
diskrit. Artinya data tidak dapat ditampilkan kontinyu (terus-menerus tak
berhingga). Namun demikian data mengikuti pola tertentu (trend) yang
memiliki fungsi linier atau non-linier.
Masalah yang cukup sering muncul dengan data adalah menentukan nilai
antara titik-titik diskrit tersebut dengan tidak melakukan pengukuran lagi.
Salah satu solusinya adalah mencari fungsi yang mencocokkan (fit) titik-
titik data. Pendekatan seperti ini dinamakan pencocokan kurva (curvefitting).
Pencocokan kurva dibedakan atas dua metode:
1. Interpolasi.
Bila data diketahui memiliki ketelitian yang tinggi, maka pencocokan
kurva dibuat melalui setiap titik data tersebut. Metode seperti ini
disebut dengan interpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi.
Pencocokan kurva yang dilakukan dengan polinom sehingga
dinamakan interpolasi polinom.
Gambar 3.1: Kurva interpolasi
2. Regresi.
Data dari suatu hasil mengukuran biasanya bersifat fluktuatif atau galat
yang cukup berarti. Hal ini dapat disebabkan oleh kesalahan
pembacaan alat ukur, ketelitian system pengukuran atau sifat system
0
5
10
15
20
25
0 0,5 1 1,5
8/17/2019 Diktat an Um
38/82
Pencocokan Kurva 34
yang diukur. Karena data tersebut tidak teliti, maka kurva yang
mencocokkan titik data itu tidak perlu melalui semua titik. Jadi kurva
yang dibentuk mengikuti trend dari sebaran data.
a b
Gambar 3.2: a. Pencocokan kurva linier
b. Pencocokan kurva non-linier
III.2. Interpolasi
Sering kita menghadapi suatu fakta harus menaksir harga diantara titik-
titik data yang telah tepat. Interpolasi adalah suatu cara yang dilakukan
untuk mendapatkan harga diantara titik-titik data tersebut. Berbagai
bentuk interpolasi dapat dilakukan antara lain dengan polynomial, fungsi
spline, fungsi rotasional, atau deret Fourier dan lain-lain. Interpolasi
polynomial merupakan satu diantara bahasan yang paling mendasardalam metode numerik karena banyak dari metode interpolasi didasari
pada interpolasi polynomial.
Gambar 3.3: Interpolasi Linier
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
5
6
7
0 2 4 6 8 10
p1(x)
x x1 x0
y0
y1
p(x)
f(x)
8/17/2019 Diktat an Um
39/82
Pencocokan Kurva 35
III.2.1. Interpolasi Linear
Interpolasi linier adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis
lurus seperti pada gambar 3.3.. Misal diberikan dua buah titik, (x0, y0) dan
(x1, y1). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaangaris lurus yang berbentuk:
(3.1)
Koefisien a0 dan a1 dicari dengan mensubtitusikan (x0, y0) dan (x1, y1)
kedalam persamaan 3.1, diperoleh persamaan linier:
Kemudian melakukan eleminasi, didapatkan:
(3.2)
dan(3.3)
Subtitusikan kedua persamaan diatas kedalam persamaan 3.1 untuk
mendapatkan:
(3.4)
Kemudian dengan manipulasi aljabar diubah menjadi:
(3.5)
Contoh 3.1:
Harga eksak ln (9,0) = 2,1972, ln (9,5) = 2,2513, Tentukan ln (9,2) dengan
interpolasi linier.
Penyelesaian:
Kesalahan ε = 2,2192 - 2,2188 = 0,0004.
III.2.2. Interpolasi Kuadratik
Pada contoh diatas kurva didekati dengan sebuah garis lurus, sehingga
taksiran harga interpolasi memiliki kemungkinan galat yang besar. Untuk
1 0 1( ) p x a a x
0 0 1 0
1 0 1 1
y a a x
y a a x
1 01
1 0
y ya x x
1 0 0 10
1 0
x y x ya
x x
1 01 0 0 1
1
1 0 1 0
( ) y y x x y x y
p x x x x x
1 01 0 0
1 0
( )( ) ( )
( )
y y p x y x x
x x
1
(2,2513 2,1972)(9, 2) 2,1972 (9, 2 9, 0) 2, 2188
(9,5 9,0)
p
8/17/2019 Diktat an Um
40/82
Pencocokan Kurva 36
mengatasi hal tersebut, sebuah strategi untuk memperbaiki harga taksiran
dilakukan dengan menggunakan lengkungan kedalam garis yang
menghubungkan titik-titik data. Metode ini disebut dengan metode
interpolasi kuadratik.
Misal diberikan tiga buah titik data, (x0, y0), (x1, y1), dan (x2, y2). Polinom
yang menginterpolasi ketiga titik tersebut berbentuk:
(3.6)
Gambar 3.4: Interpolasi Kuadratik
Polinom p2 (x) ditentukan dengan cara berikut:- Subtitusikan (xi, yi) kedalam persamaan 3.6, I = 0, 1, 2. Dari sini
diperoleh tiga buah persamaan dengan tiga buah parameter yang tidak
diketahui, yaitu a0, a1, a2
Hitung a0, a1, a2 dengan metode eliminasi.
Contoh 3.2:
Harga eksak ln (8,0) = 2,0794, ln (9,0) = 2,1972, ln (9,5) = 2,2513,
Tentukan ln (9,2) dengan interpolasi kuadratik.
y
x
(x1, y1)
(x2, y2)(x0, y0)
2
2 0 1 2( ) p x a a x a x
2
0 1 0 2 0 0
2
0 1 1 2 1 1
2
0 1 2 2 2 2
a a x a x y
a a x a x y
a a x a x y
8/17/2019 Diktat an Um
41/82
Pencocokan Kurva 37
Penyelesaian:
dengan menggunakan metode eliminasi gauss menghasilkan a0 = 0,6762,
a1 = 0,2266, a2 = -0,0064. Maka polinom kuadratiknya adalah:
dengan memasukkan harga x = 9,2 diperoleh:
Gambar 3.5: Posisi p(x) untuk x = 9,2
III.2.3. Interpolasi Lagrange
Interpolasi polynomial dapat ditampilkan dalam berbagai bentuk sebagai
alternativ dalam menyelesaikan masalah numerik. Salah satunya adalah
interpolasi polynomial Lagrange.
Sebagaimana diketahui bahwa polinomial orde N yang melewati N+1 titik-
titik data dapat dituliskan dalam bentuk deret pangkat sebagai berikut:
(3.7)
dimana ai adalah koefisien yang tidak diketahui. Pencocokan (fitting) deret
pangkat terhadap N+1 titik-titik data memberikan sebuah bentuk
persamaan linier sebagai berikut:
2,05
2,1
2,15
2,2
2,25
2,3
7,5 8 8,5 9 9,5 10
(9.2 , 2.2192)
2
0 1 2
2
0 1 22
0 1 2
8, 0 8, 0 2, 0794
9, 0 9, 0 2,1972
9, 5 9, 5 2, 2513
a a a
a a a
a a a
2
2 ( ) 0, 6762 0, 2266 0, 0064 p x x x
2
0 1 2( ) N
N N P x a a x a x a x L
8/17/2019 Diktat an Um
42/82
Pencocokan Kurva 38
(3.8)
Ide dasar dari formulasi Lagrange adalah perkalian faktor-faktor sebagai
berikut:
(3.9)
Fungsi adalah polynomial orde ke N dari x, dan menjadi nol pada
x = x1, x2, …,xN. Bila dibagi dengan , maka menghasilkan:
(3.10)
persamaan diatas akan menjadi satu untuk x = x0 dan nol untuk x = x1,
x = x2, … ,x = xN. Dalam bentuk yang sama kita dapat menuliskan
persamaan 3.8 menjadi:
(3.11)
dimana pembilang tidak termasuk (x - xi) dan penyebut tidak termasuk
(xi – xi). Bila kita melakukan perkalian , …, dengan y 0 ,
y 1,…, y N , berturut-turut dan menjumlahkan seluruhnya, maka sumasinya
adalah polinomial orde N dan sama dengan yi untuk masing-masing i = 0
hingga i = N.
Formula interpolasi Lagrange orde N dapat ditulis sebagai berikut:
(3.12)
0 1 2( ) ( )( )...( )
N V x x x x x x x
0V
0 ( )V x 0 0( )V x
1 20
0 1 0 2 0
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
N
N
x x x x x xV x
x x x x x x
0 1
0 1
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
N i
i i i N
x x x x x xV x
x x x x x x
0 ( ),V x 1( )V x ( ) N V x
1 20
0 1 0 2 0
0 21
1 0 1 2 1
0 1 1
0 1 1
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
N N
N
N
N
N N
N N N N
x x x x x xP x y
x x x x x x
x x x x x x y
x x x x x x
x x x x x x y
x x x x x x
2
0 0 1 0 2 0 0
2
1 0 1 1 2 1 1
2
0 1 2
N
N
N
N
N
N N N N N
y a a x a x a x
y a a x a x a x
y a a x a x a x
L
L
M
L
⋯⋯
⋯
⋮
8/17/2019 Diktat an Um
43/82
Pencocokan Kurva 39
Contoh 3.3:
Densitas dari sodium untuk tiga keadaan temperature adalah sebagai
berikut:
Tabel 3.1:
i Temperatur (Ti) Densitas (i)
0 94 0C 929 kg/m3
1 205 902
2 371 860
Tentukan densitas untuk T = 251 0C dengan menggunakan interpolasi
Lagrange.
Penyelesaian:
Karena jumlah titik-titik data ada tiga, maka orde formula Lagrange adalahN = 2. Interpolasi Lagrange menjadi:
kg/m3
III.2.4. Interpolasi Maju Newton-Gregory
Interpolasi dengan menggunakan polinom Lagrange kurang disukai dalam
praktek karena alasan berikut:
1. Jumlah komputasi yang besar dalam sekali interpolasi.
2. Interpolasi untuk nilai x yang lain membutuhkan jumlah komputasi
yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang
dapat digunakan.3. Bila jumlah data meningkat atau menurun, hasil komputasi
sebelumnya tidak dapat digunakan.
4. Evaluasi kesalahan tidak mudah.
Dengan polinom Newton, polinom yang dibentuk seblumnya dapat dipakai
untuk membuat polinom derajat yang lebih tinggi.
2
( 205)( 371)( ) (929)
(94 205)(94 371)
( 94)( 371)(902)
(205 94)(205 371)
( 94)( 205)(860)
(371 94)(371 205)
T T P T
T T
T T
2 (251) 890, 5P
8/17/2019 Diktat an Um
44/82
Pencocokan Kurva 4
Kita asumsikan bahwa absis titik data memiliki jarak yang sama dengan
interval h. Untuk mengevaluasi formula interpolasi Newton, maka perlu
didefinisikan tabulasi selisih maju (forward difference) dengan:
D0f i = f i (orde ke nol selisih maju) (3.13)
D1f i = f i+1 - f i (orde ke satu selisih maju) (3.14)
D2f i = D
1f i+1 – D1f i (orde ke dua selisih maju) (3.15)
D3f i = D
2f i+1 – D2f i (orde ke tiga selisih maju) (3.16)
Dkf i = D
k-1f i+1 – Dk-1f i (orde ke k selisih maju) (3.17)
Apabila ditabulasikan, selisih maju adalah sebagai berikut:
Tabel 3.2: Selisih maju
i f iD f
i D f
i D f
i D f
i D f
i
0 f 0 D f 0 D f 0 D f 0 D f 0 D f 0
1 f 1 D f 1 D f 1 D f 1 D f 1
2 f 2 D f 2 D 2 i D f 2
3 f 3 D f 3 D f 3
4 f 4 D f 4
5 f 5
Kolom pertama adalah indeks dari titik data, kolom kedua adalah ordinat
data. Kolom ketiga adalah selisih orde pertama, yang diperoleh dari kolom
kedua. Kolom ke-empat adalah selisih orde kedua yang diperoleh dari
kolom sebelumnya dan seterusnya. Kemudian koefisien binomial adalah
sebagai beikut:
⋮
10s
1
ss
1( 1)
2 2!
ss s
1( 1)( 2)
3 3!
ss s s
8/17/2019 Diktat an Um
45/82
Pencocokan Kurva 41
dimana s adalah koordinat lokal yang didefinisikan dengan s = (x – x 0)/h.
Formula interpolasi Newton yang melalui k+1 titik-titik data, f 0, f 1, f 2, …,f k
ditulis dengan:
∑ ∆ (3.18)Persamaan 3.18 adalah polynomial orde k karena adalah suatu
polynomial orde n, dan orde tertinggi adalah k. Persamaan 3.18 bila
dijadikan sama dengan f 0 , f 1 , f 2 , …,f k pada x = x0 , x1 , …,xk adalah sebagai
berikut:
s = 0:
s = 1:
s = 2:
⋮ s = k: (3.19)
Contoh 3.4:
Diperoleh data sebagai berikut:
Tabel 3.3: Data
i 0 1 2 3 4 5 6
x 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3
g(x) 0,9975 0,97763 0,93847 0,8812 0,80752 0,71962 0,62009
Tentukan nilai g(x) hingga orde ke 4 selisih maju untuk x = 0,23.
Penyelesaian:Buat tabulasi selisih maju sebagai berikut:
1( 1)( 2) ( 1)
!
ss s s s n
n n
L
s
n
0 0 0( ) ( 0)g x g x f
1 0 0 0 1( ) ( )g x g x h f f f
2
2 0 0 0 0 2( ) ( 2 ) 2g x g x h f f f f
2
0 0 0 0
( 1)( ) ( ) ...
2k k
k k g x g x kh f k f f f
8/17/2019 Diktat an Um
46/82
Pencocokan Kurva 42
Tabel 3.4: Hasil selisih maju
i xi f i D1f i D
2f i D3f i D
4f i D5f i D
6f i
0 0,1 0,9975 -0,01987 -0,01929 0,00118 0,00052 -3E-05 -6E-05
1 0,3 0,97763 -0,03916 -0,01811 0,0017 0,00049 -9E-05
2 0,5 0,93847 -0,05727 -0,01641 0,00219 0,0004
3 0,7 0,8812 -0,07368 -0,01422 0,002594 0,9 0,80752 -0,0879 -0,01163
5 1,1 0,71962 -0,09953
6 1,3 0,62009
Gunakan formulasi interpolasi Newton:
Bila orde interpolasi ditingkatkan maka nilai hampiran akan mendekati nilai
sebenarnya, sebagaimana yang tampak pada gambar berikut:
Gambar 3.6: Perbandingan orde interpolasi Maju Newton-Gregory
0,58
0,63
0,68
0,73
0,78
0,83
0,88
0,93
0,98
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
Mendekati nilai eksak
orde 6
orde 5
orde 4
orde 3
orde 2
orde 1
2 3 4
0 0 0
( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)( )
2! 3! 4!
s s s s s s s s sg x f f s f f f
0 0,23 0,1 0,650, 2
x xs
h
0,65(0, 65 1)(0, 23) 0,99750 0,01987 0,65 0,01929
2!
0, 65(0,65 1)(0,65 2)0,00118
3!
0,65(0, 65 1)(0, 65 2)(0, 65 3)0,00052
4!
g
8/17/2019 Diktat an Um
47/82
Pencocokan Kurva 43
III.2.5. Interpolasi Mundur Newton-Gregory
Polinomial interpolasi mundur Newton-Gregory dibentuk dari tabel selisih
mundur. Polinom ini sering digunakan pada perhitungan nilai turunan
(derivative) secara numerik. Titik-titik yang digunakan berjarak sama yaitu:x0, x1, .., xn. Selisih mundur ditulis sebagai berikut:
Ñ 0f i = f i (orde ke nol selisih mundur)
Ñ 1f i = f i – f i -1 (orde ke satu selisih mundur)
Ñ 2f i = Ñ
1f i – Ñ 1f i -1 (orde ke dua selisih mundur)
Ñ 3f i = Ñ
2f i – Ñ 2f i -1 (orde ke tiga selisih mundur)
⋮ Ñ
kf i = Ñ k-1f i – Ñ
k-1f i -1 (orde ke k selisih mundur)
Kemudian koefisien binomial dalam interpolasi mundur Newton adalah
sebagai beikut:
⋮
1 1! 1 2⋯ 1
Interpolasi Newton mundur yang dicocokkan dengan titik-titk data pada x =
x j, x = x j - 1, x = x j – 2, …, dan x = x j – k ditulis sebagai berikut:
∑ , 0 (3.20)dimana s adalah koordinat local yang didefinisikan dengan s = (x –x j)/h
11
0
s
1
ss
1 1( 1)
2 2!
ss s
2 1( 1)( 2)
3 3!
ss s s
8/17/2019 Diktat an Um
48/82
Pencocokan Kurva 44
contoh 3.5:
Dari contoh, tentukan nilai g(x) dengan interpolasi mundur Newton pada
titik-titik data i = 0, 1, 2 untuk x = 0,23.
Penyelesaian:
Tabel 3.5: Hasil selisih mundur
i xi f i Ñ1f i Ñ
2f i Ñ 3f i Ñ
4f i Ñ 5f i Ñ
6f i
0 0,1 0,9975
1 0,3 0,97763 -0,01987
2 0,5 0,93847 -0,03916 -0,01929
3 0,7 0,8812 -0,05727 -0,01811 0,00118
4 0,9 0,80752 -0,07368 -0,01641 0,0017 0,00052
5 1,1 0,71962 -0,0879 -0,01422 0,00219 0,00049 -3E-05
6 1,3 0,62009 -0,09953 -0,01163 0,00259 0,0004 -9E-05 -6E-05
∑ 2 0
dimana:
III.2.6. Polinom Newton
Interpolasi Newton-gregory yang dibahas sebelumnya dibatasi pada titik-
titik data yang berjarak sama. Ada kalanya dibutuhkan interpolasi
terhadap titik data yang berjarak tidak sama. Interpolasi Newton dapat
digunakan untuk menghadapi kebutuhan yang seperti itu.
Tinjau kembali persamaan 3.5:
Bentuk persamaan ini diubah menjadi:
(3.21)
dimana:
a0 = y0 = f(x0)
2
2 2 6
1( 1)
2 f s f s s f
2( ) / (0, 23 0, 5) / 0, 2 -1, 35s x x h
0,01163(0, 23) 0,62009 0,09953(-1,35) (-1,35)(-1,35 1)
2g
1 01 0 0
1 0
( )( ) ( )
( )
y y p x y x x
x x
1 0 1 0( ) ( ) p x a a x x
8/17/2019 Diktat an Um
49/82
Pencocokan Kurva 45
dan
(3.22)
Persamaan 3.22 ini merupakan bentuk selisih terbagi (devided difference).
Berdasarkan bentuk polinom linier persamaan 3.5, maka persamaan
polinom kuadratik dapat ditulis menjadi:
(3.23)
(3.24)
Dan seterusnya polinom Newton dapat dibentuk dengan cara rekursif
sebagai berikut: …
… ⋯
Nilai konstanta a0, a1, a2, …, an merupakan nilai selisih terbagi, dengan
nilai masing-masing:
dimana:
1 0 1 01
1 0 1 0
( ) ( ) y y f x f xa
x x x x
2 0 1 0 2 0 1( ) ( ) ( )( ) p x a a x x a x x x x
2 1 2 0 1( ) ( ) ( )( ) p x p x a x x x x
3 2 3 0 1 2
0 1 0 2 0 1 3 0 1 2
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
p x p x a x x x x x x
a a x x a x x x x a x x x x x x
0 0
1 1 0
2 2 1 0
1 1 0
,
, ,
, , , ,n n n
a f x
a f x x
a f x x x
a f x x x x
M
L
⋮
1 1 1 2 0
1 1 0
0
( ) ( ),
, ,, ,
, , , ,, , ,
i j
i j
i j
i j j k
i j k
i k
n n n n
n n
n
f x f x f x x
x x
f x x f x x f x x x x x
f x x x f x x x f x x x x
x x
M
L LL
⋮
⋯ ⋯ ⋯
8/17/2019 Diktat an Um
50/82
Pencocokan Kurva 46
Dengan demikian polinom Newton lengkap dapat ditulis sebagai berikut:
Nilai selisih terbagi dapat dibentuk dengan menggunakan table yang
disebut dengan table selisih terbagi, sebagai berikut:
Tabel 3.5: Selisih terbagi
,,,⋯, ,,⋯ ,,,⋯,
Contoh 3.6: Bentuk selisih terbagi dari data berikut:
Tabel 3.6: Data
i xi f i
0 0,1 0,99750
1 0,2 0,99002
2 0,4 0,96040
3 0,7 0,88120
4 1,0 0,76520
5 1,2 0,67113
6 1,3 0,62009
Kemudian tuliskan rumus interpolasi menggunakan selisih terbagi pada
titik i = 0 hingga 6.
1 0
0,1
1 0
f f f
x x
1,2 0,1
0,1,2
2 0
f f f
x x
0 1 0 0 2 1 0 0 1
1 1 0 0 1 1
( ) ( ) , ( ) , , ( )( )
, , , ( )( ) ( )
n
n n n
p x f x f x x x x f x x x x x x x
f x x x x x x x x x x
M
L L⋯ ⋯
x0 f 0
x1 f 1
x2 f 2
xn f n
2 11,2
2 1
f f f x x
2,3 1,2
1,2,3
3 1
f f f x x
3 22,3
3 2
f f f
x x
3,4 2,3
2,3,4
4 2
f f f
x x
1, 1
1
n nn n
n n
f f f
x x
8/17/2019 Diktat an Um
51/82
Pencocokan Kurva 47
Penyelesaian:
Tabel 3.7: Hasil selisih terbagi
i xi f i f i, i+1 f i,…,i+2 f i,…,i+3 f i,…,i+4 f i,…,i+5 f i,…,i+6
0 0,1 0,9975 -0,0748 -0,24433 0,02089 0,01478 -0,00239 0,00129
1 0,2 0,99002 -0,1481 -0,2318 0,03419 0,01215 -0,00085
2 0,4 0,9604 -0,264 -0,20444 0,04635 0,01122
3 0,7 0,8812 -0,38667 -0,16737 0,05644
4 1 0,7652 -0,47035 -0,1335
5 1,2 0,67113 -0,5104
6 1,3 0,62009
III.3. Regresi
Untuk mencocokan kurva terhadap titik-titik data yang memiliki ketelitian
yang rendah dapat dilakukan dengan metode regresi. Kurva yang
terbentuk tidak melewati titik-titik data secara persis tetapi mengikuti
kecendrungan dari sebaran data.
Misalkan kita menginginkan untuk mendapatkan fungsi linier yangmencocoki data pada tabel 3.1 dengan deviasi terhadap titik-titik data
yang minimal. Fungsi linier yang diperoleh dalam metode ini disebut
regresi linier.
Tabel 3.8 Data dari suatupengukuran
i x y
1 0,1 0,61
2 0,2 0,92
3 0,3 0,99
4 0,4 1,52
5 0,5 1,47
6 0,6 2,03
0,1,...,5 ( ) 0,9975 0,0748( 0,1) 0,24433( 0,1)( 0,2)
0,02089( 0,1)( 0,2)( 0,4)
0,01478( 0,1)( 0,2)( 0,4)( 0,7)
0,00239( 0,1)( 0, 2)( 0, 4)( 0, 7)( 1)
0,00129( 0,1)( 0,2)( 0,4)( 0,7)(
p x x x x
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
1)( 1,2) x
8/17/2019 Diktat an Um
52/82
Pencocokan Kurva 48
Gambar 3.7 : Kurva regresi dari data hasil pengukuran
Fungsi linier dapat ditulis dengan:
(3.25)
yang mencocokan data sedemikian hingga deviasinya:(3.26)
Total kuadrat deviasi persamaan diatas adalah:
(3.27)
Agar minimum, maka:
(3.28)
(3.29)setelah dibagi dengan -2 dapat ditulis dalam bentuk matrik:
(3.30)
dimana:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8
( ) ( ) i i ir y f x y a bx
2 2
1
( ) ( )
n n
i i
i i
R r y a bx
2 ( ) 0i i
R y a bx
a
2 ( ) 0i i i
R x y a bx
b
1,1 1,2 1
2,1 2,2 2
A A Z a
A A Z b
1,1
1,2
1
2,1
2
2,2
2
( )
i
i
i
i
i i
A n
A x
Z y
A x
A x
Z x y
( ) f x a bx
8/17/2019 Diktat an Um
53/82
Pencocokan Kurva 49
(3.31)
dimana:
Contoh 3.7:
Tentukan regresi linier untuk data pada table berikut
i xi yi xi2
xiyi
1 0,1 0,61 0,01 0,061
2 0,4 0,92 0,16 0,368
3 0,5 0,99 0,25 0,495
4 0,7 1,52 0,49 1,064
5 0,7 1,47 0,49 1,0296 0,9 2,03 0,81 1,827
Total 3,3 7,54 2,21 4,844
A1,1 = n = 6, A1,2 = 3,3 Z 1 = 7,54
A2,1 = 3,3, A2,2 = 2,21 Z 1 = 4,844
Dengan menggunakan persamaan 3.33:
solusinya adalah:
a = 0,2862 b = 1,7645
regresinya linier adalah:
g(x) = 0,2862 + 1,7645 x
Titik-titik data diplot pada gambar berikut:
Gambar 3.8: Pencocokan kurva data tabel 3.1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
y = 0,2862 + 1,7645x
2,2 1 2,1 2
1,1 2 2,1 1
A Z A Z a
d
A Z A Z b
d
1,1 2,2 1,2 2 ,1d A A A A
6 3,3 7,54
3,3 2, 21 4,844
a
b
8/17/2019 Diktat an Um
54/82
Pencocokan Kurva 5
Deviasi dari pencocokan kurva terlihat pada table berikut:
i x y y = a + bx Deviasi
1 0,1 0,61 0,46265 0,14735
2 0,4 0,92 0,992 -0,072
3 0,5 0,99 1,16845 -0,17845
4 0,7 1,52 1,52135 -0,001355 0,7 1,47 1,52135 -0,05135
6 0,9 2,03 1,87425 0,15575
Metode regresi linier dapat diterapkan untuk pencocokan fungsi non-linier.
Misalkan kita akan mencocokkan data dengan fungsi:
(3.32)
dimana C dan b adalah konstanta yang akan dicari.
Dengan mengubah persamaan diatas kedalam bentuk logaritmik, maka:
ln(y) = ln(C) + b ln(x)
dengan definisi:
Y = ln(y) X = ln(x) a = ln(C)
Persamaan regresi liniernya adalah:
Y = a + bx
Lakukan pengubahan (xi, yi) menjadi (ln(xi), ln(xi)), lalu hitung a dan b
dengan cara regresi linier. Dari persamaan a = ln(C), kita menghitung nilai:
C = ea
Subtitusikan nilai b dan C kedalam persamaan pangkat y = Cxb
Contoh 3.8:
Cocokkan data berikut dengan fungsi y = Cxb
i xi yi1 0,15 4,4964
2 0,4 5,1284
3 0,6 5,6931
4 1,01 6,2884
5 1,5 7,0989
6 2,2 7,5507
7 2,4 7,5106
8 2,7 8,0756
9 2,9 7,8708
10 3,5 8,2403
11 3,8 8,5303
12 4,4 8,7394
b y Cx
8/17/2019 Diktat an Um
55/82
Pencocokan Kurva 51
13 4,6 8,9981
14 5,1 9,1450
15 6,6 9,5070
16 7,6 9,9115
Gambar 3.9: Titik-titik data
Penyelesaian:
Konversikan xi, yi kedalam ln(xi), ln(yi) sebagai berikut:
i ln(xi) ln(yi)
1 -1,8971 1,5033
2 -0,9163 1,6348
3 -0,5108 1,7393
4 0,0100 1,8387
5 0,4055 1,9599
6 0,7885 2,0216
7 0,8755 2,0163
8 0,9933 2,0888
9 1,0647 2,063210 1,2528 2,1090
11 1,3350 2,1436
12 1,4816 2,1678
13 1,5261 2,1970
14 1,6292 2,2132
15 1,8871 2,2520
16 2,0281 2,2937
Dengan metode regresi linier, kita dapatkan:
Y = 1,8588 + 0,2093 x
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8
8/17/2019 Diktat an Um
56/82
Pencocokan Kurva 52
Gambar 3.10: Titik-titik data dan pencocokan kurva
atau
ln(C) = 1,8588, b = 0,2093
Oleh karena itu kurva pada koordinat x-y menjadi:
Y(x) = (6,4160)x0,2093
dimana: C = e1,8588 = 6,4160
Untuk melakukan linierisasi terhadap fungsi yang lain dapat dilakukan
sebagaimana contoh berikut:
Lakukan linierisasi sebagai berikut:
definisikan:
Y = 1/y
a = 1/C
b = d/C
X = 1/x
Persamaan regresi liniernya:
Y = a + bx
Lakukan pengubahan (xi, yi) menjadi (1/(xi), 1/(xi)), lalu hitung a dan b
dengan cara regresi linier.
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
-2 -1 0 1 2
ln(Y)
ln(x)
Y = 1,8588 + 0,2093x
Cx y
d x
1 1 1d
y C x C
8/17/2019 Diktat an Um
57/82
Pencocokan Kurva 53
Dari persamaan a = 1/C, kita dapat menghitung nilai C = 1/a.
Dari persamaan b = d/C, kita dapat menghitung d = bC
Subtitusikan d dan C kedalam persamaan y = Cx/(d+x).
8/17/2019 Diktat an Um
58/82
Pencocokan Kurva 54
Tugas:
1. Diberikan pasangan nilai x dan f(x), sebagai berikut:
x 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3
f(x) 0,003 0,067 0,148 0,248 0,370 0,518 0,697
a. Berapa derajat polinomyang dengan tepat melalui ketujuh titik data
tersebut.
b. Berapa derajat polinom yang terbaik untuk menginterpolasi ketujuh
titik data tersebut.
c. Dengan derajqt terbaik yang anda nyatakan dalam jawaban (b),
tentukan nilai fungsi di x = 0,58 dengan polinom interpolasi:
i. Lagrange
ii. Newton
iii. Newton-Gregory maju
iv. Newton-Gregory mundur
2. Tentukan fungsi linier yang mencocokkan titik-titik data berikut dengan
metode regresi:
x 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
y 2,0 3,2 4,1 4,9 5,9
3. Diberikan titik-titik data sebagai berikut:
x 1 2 3 4 5
y 0,6 0,9 4,3 7,6 12,6
a. Cocokkan titik-titik di tabel masing-masin dengan fungsi f(x) = Cebx
dan f(x) = Cxb.
b. Hitung deviasi = yi – f(xi)
8/17/2019 Diktat an Um
59/82
8/17/2019 Diktat an Um
60/82
Integral 56
Luas trapesium ke-i (Li) adalah :
(4.1)
Dan luas keseluruhan dihitung dengan menjumlahkan luas dari semua
bagian trapesium.
(4.2)
sehingga diperoleh :(4.3)
dimana:
h = (b - a)/N
Contoh 4.1:
Sebuah kurva yang diputar terhadap sumbu x seperti pada gambarmerupakan fungsi dari f(x) = 1 + (x/2)2 , 0OxO2.Hitung volume dengan
menggunakan metode trapesium untuk N =2, 4 , 8, 16, 32, 64 dan 128.
Penyelesaian:
Gambar 4.3: Volume yang terbentuk dari rotasi kurva
-14
0
14
0 2
iiii
iiii
x f f L
atau
x x f x f L
.2
1
.
2
1
1
1
1
0
( )b
ia
i
I f x L
1
1 0 1 2 1
0
1( ) 2 2 ... 2
2 2
nb
i i n na
i
h I f x h f f f f f f f
8/17/2019 Diktat an Um
61/82
Integral 57
Dimana
Perhitungan untuk N = 2 dan 4 adalah sebagai berikut:
N = 2: h = 2/2 = 1
N = 4: h = 2/4 = 0,5
Hasil perhitungan untuk nilai N berikutnya ditabelkan sebagai berikut:
N h Ih Eh
2 1 12,7627 -1,0341
4 0,5 11,9895 -0,2609
8 0,25 11,7940 -0,0654
16 0,125 11,7949 -0,0163
32 0,0625 11,7326 -0,0040
64 0,03125 11,7296 -0,0010
128 0,015625 11,7298 -0,0002
Nilai exact = 11,7286
IV.2. Metode Simpson 1/3
Metode integrasi Simpson merupakan pengembangan metode integrasi
trapezoida, hanya saja daerah pembaginya bukan berupa trapesium tetapi
berupa dua buah trapesium dengan menggunakan pembobot berat di titik
tengahnya seperti telihat pada gambar berikut ini. Atau dengan kata lain
metode ini adalah metode rata-rata dengan pembobot kuadrat.
2
0
( ) I f x dx
2
( ) 12
x f x
1
(0) 2 (1) (2) 0, 5 1 2(1, 5625) 42
12,7627
I f f f
;
0,5
(0) 2 ( 0, 5) 2 (1) 2 (1, 5) (2) 11, 98952
I f f f f f ;
8/17/2019 Diktat an Um
62/82
Integral 58
Gambar 4.4: Dua buah trapesium dengan pembobot berat di titik tengah
Bila menggunakan trapesium luas bangun di atas adalah :
(4.4)
Pemakaian aturan simpson dimana bobot fi sebagai titik tengah dikalikan
dengan 2 untuk menghitung luas bangun diatas dapat dituliskan dengan:
(4.5)
Perhatikan gambar berikut:
Gambar 4.5: Segmen trapesium dengan pembobot berat di titik tengah
Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi
fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:
(4.6)
atau dapat dituliskan dengan:
xi xi+1 xi-1
f(xi+1)
f(xi-1)
f(xi)
a b
x0 x1 x2 x3 xnxn-1xn-2x4 x5
…f(x0)
f(x1)f(x2)
f(xn-1)f(xn)
1 1 1 122 2 2
i i i i i i i
h h h I f f f f f f f
1 1 1 12 2 43 3 3
i i i i i i i
h h h I f f f f f f f
0 1 1 2 2 3 3 4
2 1 1
2 2 2 2 ...3 3 3 3
2 23 3
n n n n
h h h h I f f f f f f f f
h h f f f f
8/17/2019 Diktat an Um
63/82
Integral 59
4∑ 2 ∑ (4.7)
Contoh 4.2:
Hitung dengan h=0.1
Dengan menggunakan tabel diperoleh :
x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
f(x) 0 0,002 0,016 0,054 0,128 0,25 0,432 0,686 1,024 1,458 2
Dan aturan simpson dapat dituliskan dengan :
Dibandingkan dengan hasil perhitungan kalkulus, maka kesalahannya
sangat kecil.
IV.3. Metode Simpson 3/8
Metode Simpson 3/8 diperoleh dengan mengintegralkan formula
interpolasi polinomial orde ketiga. Batas [a, b] dibagi kedalam 3 bagian
dan ditulis dengan:
dimana:
Penggunaan metode Simpson mensyaratkan jumlah selang n harus
kelipatan 3.
1
0
32 dx x
5,015
3
1,0
2)458,1)(4()024,1)(2(...)128,0)(2()054,0)(4()016,0)(2()002,0)(4(03
1,0
L
1 3
0 1 21 3,6,9
3,6,9,...
3( ) [ 3 3 ]
8
n nb
na
i i
i
I f x dx h f f f f
( ) / , ( )n i
h b a n f f a ih
8/17/2019 Diktat an Um
64/82
Integral 6
Contoh 4.3:
Dari contoh 4.2, gunakan metode Simpson 3/8.
Penyelesaian:
N = 3:
Interval h = 2/3
N = 9Interval h = 2/9
IV.4. Metode Gauss
Metode integrasi Gauss merupakan metode yang tidak menggunakan
pembagian area yang banyak, tetapi memanfaatkan titik berat dan
pembobot integrasi. Metode ini secara komputasi memiliki banyak
keuntungan karena mempunyai kecepatan yang tinggi hal ini ditunjukkan
dengan jumlah pembaginya yang kecil dan dengan jumlah pembagi yang
relatif kecil mempunyai kesalahan yang sama dengan metode lain dengan
jumlah pembagi yang besar. Metode integrasi Gauss dapat dijelaskan
sebagai berikut:
2 82 43 3 33
2 2 223
3( )[ (0) 3 ( ) 3 ( ) ( )]
8
3( ) [1 3(1,111) 3(1,444) (2) ]
8
11,548
I f f f f
2 6 82 49 9 9 99
16 189 9
2 2 223
2 2
3( )[ (0) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 3 ( )
8
3 ( ) ( )]
3( ) [1 3(1,012) 3(1,049) 2(1,111) 3 (1,198)
8
3(1,790) (2) ]
11,723
I f f f f f
f f
f
L
L
8/17/2019 Diktat an Um
65/82
Integral 61
Untuk luas daerah ke i, mempunyai luas:
Pertama yang harus dilakukan adalah mengubah range x=[xi-1,xi]=[a,b]
pada integrasi di atas menjadi u=[-1,1] dengan menggunakan:
atau
sehingga bentuk integral dapat dituliskan menjadi:
dimana:
Dari bentuk ini, dapat diambil sejumlah titik pendekatan yang digunakan
sebagai titik acuan dalam integrasi kuadratur gauss sebagai berikut:
untuk menentukan nilai Li dapat digunakan persamaan polinom Legendre:
Dan untuk menentukan nilai Ai digunakan pembobot sebagai berikut:
IV.4.1. Integrasi Kuadratur Gauss Dengan Pendekatan 2 TitikMetode ini menggunakan formulasi integrasi:
Untuk menghasilkan metode ini diambil n = 2 pada persamaan polinom
Legendre, sehingga diperoleh:
i
i
x
x
i dx x f L
1
)(
ab
ab xu
)(2 )(2
1
2
1abuab x
1
1
)( duug Li
)()()(21)( 2
121 abuab f abug
1
1 1
)()(n
iii g Aduug
)()1()(121
)(
)(
1)(
21
1
0
uPmuuPmm
uP
uuP
uP
mmm
2'2 )()1(2
ini
i
P A
)()()( 1100
1
1
g Ag Aduug
8/17/2019 Diktat an Um
66/82
Integral 62
Akar-akar dari persamaan polinomial di atas adalah jadi diperoleh:
dan
Nilai A0 dan A1 dapat dicari dengan:
dan
Sehingga model dari integrasi kuadratur gauss dengan pendekatan 2 titik
dapat dituliskan dengan:
Contoh 4.4:Hitung integral :
Pertama yang harus dilakukan adalah menghitung u, dengan:
dan
Dengan demikian diperoleh fungsi g(u):
2
1
2
31.1.14
2
1)(
2
2 uuuuP
1
3
0
1
3
1
1
3
0
21
11 (3)
3
A
1
2
111 (3)3
A
3
1
3
1)(
1
1
ggduug
12
0 I x dx