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PEA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ENERGIA E AUTOMAÇÃO ELÉTRICAS
PEA-3311 Laboratório de Conversão Eletromecânica de Energia
ELETROÍMÃ 2
Resumo Teórico
2016
Introdução
O objetivo desta experiência é analisar e equacionar a produção de conjugados em dispositivos
eletromecânicos de rotação. Conforme foi visto em teoria, há várias formas possíveis para o cálculo
de forças em dispositivos eletromagnéticos, mas em equipamentos eletromecânicos, o uso do
princípio da conservação de energia é extremamente útil e simples em problemas que envolvam
forças. Nesta experiência vamos realizar o equacionamento para dispositivos de rotação, a fim de
calcular conjugados (também denominados torques).
O Princípio de Conservação de Energia em Equipamentos de Rotação
Em um equipamento que realiza conversão eletromecânica de energia, baseado em campo magnético,
deve-se computar para o balanço de energia:
1. A energia mecânica
2. A energia elétrica
3. A energia armazenada na forma de campo magnético
4. As perdas
Assim, a aplicação do Princípio de Conservação de Energia em um equipamento de rotação pode ser
posto na seguinte forma:
perdasSistemadoMagnética
EnergiadeVariação
sistemapelofornecida
MecânicaEnergia
fontepelafornecida
ElétricaEnergia
(1.1)
É usual que se assuma, sem perda de generalidade, que o único tipo de perda existente é a perda joule.
Desta forma, a expressão (1.1) para um intervalo de tempo infinitesimal dt, pode ser colocada na
forma:
dtIrdWdWdWJ
JJmagmecelet 2 (1.2)
Em que:
eletdW é a energia elétrica introduzida no sistema no intervalo de tempo dt;
mecdW é a energia mecânica cedida pelo sistema no intervalo de tempo dt;
magdW é a variação de energia magnética armazenada no intervalo de tempo dt;
dtIrJ
JJ 2 é o somatório das perdas joule em todos os enrolamentos do dispositivo no intervalo de
tempo dt.
Para a análise de um dispositivo rotativo que realiza conversão eletromecânica de energia, torna-se
necessário detalhar cada uma das parcelas de (1.2). Apenas para facilitar o entendimento, vamos
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dividir este detalhamento em duas partes. Em um primeiro momento, o equacionamento será aplicado
a um sistema de rotação, que possua uma única bobina. A segunda etapa é a aplicação do Princípio a
um sistema de rotação que tenha duas bobinas.
Princípio de Conservação de Energia aplicado a um Sistema de Rotação Simplesmente Excitado
O dispositivo a ser analisado neste item é mostrado em corte na Figura 1. Ele é um sistema de rotação,
cuja parte fixa é denominada estator e cuja parte móvel é chamada rotor. A bobina está alojada no
estator do dispositivo. Usa-se material ferromagnético na construção tanto do rotor e como do estator.
A este tipo de construção, dá-se o nome de Máquina de Polos Salientes. A característica básica destes
equipamentos é que o estator é cilíndrico ao passo que o rotor não o é.
q
EstatorRotor
Bobina
Figura 1 O Sistema Rotativo
Apenas para melhor entendimento, o sistema rotativo da Figura 1 é mostrado em duas partes e em
perspectiva na Figura 2. A bobina está mais detalhada e se aproxima de dispositivos reais.
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Estator e suas bobinas em perspectiva Rotor em perspectiva
Figura 2 Estator e Rotor em perspectiva: sistema rotativo de polos salientes
Alguns pontos importantes:
o Tente esboçar as linhas de campo da Fig. 1. Ao se usar a regra da mão direita, você perceberá
que as linhas de campo magnético “entram” na superfície do estator em sua parte superior e
“saem” da superfície do estator na parte inferior, para qualquer ângulo q. Por convenção, uma
superfície em que as linhas de campo “saem” é denominada Polo Norte e uma outra em que as
linhas “entram” é denominada Polo Sul. Assim, no caso em análise, tem-se que a parte
superior do estator será um Polo Sul e a parte inferior do estator um Polo Norte. O dispositivo
em análise possui, portanto, dois polos magnéticos.
o Imagine que a bobina alojada no estator da Figura 1 estivesse no espaço livre, sem presença
de material ferromagnético. Nesta condição, as maiores intensidades de campo magnético
produzido por esta bobina seriam encontradas em uma linha vertical, que se situa a meia
distância entre os condutores que formam a bobina. Esta linha é denominada a linha de ação
da bobina, ou seja, ela, por si só, tenta impor campo segundo esta linha.
o Para entender, de forma meramente qualitativa, o comportamento deste dispositivo, basta
analisar a Figura 3, que mostra duas situações limites: o rotor alinhado com o campo
produzido com o estator e o rotor deslocado de 90º do campo do estator;
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θ= 0°
θ 90°
(a) Rotor Alinhado com o
Campo do Estator (q 0
ou 180
(b) Rotor Desalinhado de 90º
do Campo do Estator (u de 270
Figura 3 Duas situações limites
A primeira questão a ser analisada é: como varia a relutância que a indução magnética (ou fluxo
magnético) produzido pela bobina do estator percebe nas situações das Figuras 1, 3(a) e 3(b)? Tem-se
um fato: a linha de ação da bobina sempre será vertical. Ao se admitir que a corrente na bobina do
estator é fixa em todas as condições definidas nas Figuras 1 e 3, então é possível concluir que o fluxo
será máximo na condição de rotor alinhado (q 0º e 180º) e mínimo na condição de rotor totalmente
desalinhado (q 90º e 270º). Este mesmo fluxo alcançará um valor intermediário, caso o rotor esteja
em uma posição, como aquela mostrada na Figura 1 (tente esboçar as linhas de campo para confirmar
esta afirmação).
A segunda questão a ser colocada é: o rotor tende a se posicionar em qual das três posições? Na
experiência anterior, analisou-se um dispositivo de translação, que buscava alcançar a mínima
relutância e máximo fluxo. Esta tendência se repete para este dispositivo de rotação. Desta forma, o
sistema rotativo em análise busca a posição mostrada na Figura 3(a), em que o rotor está na posição
vertical, porque a relutância do circuito magnético da bobina será mínima e, portanto, o fluxo será
máximo.
Um ponto importante: se a corrente e o número de espiras são fixas e o fluxo concatenado com a
bobina do estator varia com a posição do rotor, então a relutância do circuito magnético da bobina do
estator varia com a posição angular q e, por consequência, a indutância própria desta bobina também
se modifica com a posição do rotor.
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Quando q vale zero ou 180º (ver Figura 3(a)), tem-se relutância mínima e, portanto, máxima
indutância (Lmax=
). Já para a posição em que q vale 90º ou º270q (ver Figura 3(b)), o valor da
relutância é máximo e o valor da indutância da bobina do estator é mínimo (Lmin
). Tem-se,
portanto, um comportamento periódico da indutância e da relutância.
Em equipamentos eletromecânicos de geometria similar àquela apresentada na Figura 1, é bastante
usual que a indutância da bobina do estator, siga a seguinte lei de formação1:
qq 2cos22
)( minmaxminmax LLLLL
(2.1)
O gráfico da expressão (2.1), mostrado na Figura 4, permite um melhor entendimento da variação da
indutância com a posição. Note que uma indutância própria sempre terá valores positivos.
Figura 4 Indutância Própria em função da Posição do Rotor
A análise qualitativa do dispositivo conduziu a uma possível forma de variação da indutância com a
posição. Assim, é possível partir para o cálculo do torque (ou conjugado) desenvolvido neste
equipamento, através da aplicação do Princípio da Conservação de Energia.
A análise será realizada em um intervalo de tempo infinitesimal dt em que o rotor sofre um
deslocamento dq . É necessário calcular novamente a energia elétrica introduzida, as perdas, a
variação de energia magnética armazenada no campo magnético e a energia mecânica fornecida, tal
qual feito para o eletroímã de translação. Para a determinação do valor do conjugado desenvolvido
pelo dispositivo, torna-se necessário detalhar cada uma das parcelas de energia envolvidas no
processo de conversão:
dttitvdWelet )()( (2.2)
1 Para se alcançar esta lei de formação, basta que o projetista do equipamento busque durante a fase de projeto uma
distribuição senoidal de induções ao longo do entreferro.
360 Ângulo ( º )
Indutância Própria
0 45 90 135 180 225 270 315 0
Lmin
Lmax
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qd)t(CdWmec (2.3)
Perdas joule = dtrI 2 (2.4)
Se o fluxo concatenado com a bobina vale (t) = N(t), sabe-se de Circuitos Elétricos que:
dt
dNtir
dt
dtirtetirtv
)()()()()( (2.5)
e portanto a equação (2.2) pode ser colocada na forma:
dttridtidWelet )()( 2 (2.6)
Apenas para simplificar a obtenção da expressão da variação da energia magnética adota-se mais uma
hipótese: o circuito magnético do sistema em análise é linear.
(x,t) = N(t) = L(x) i(t) (2.7)
Tal qual no eletroímã de translação, a variação da energia magnética armazenada pode ser expressa
na forma:
iddWmag2
1
(2.8)
Inserindo em (1.2) as equações (2.2), (2.3), (2.5) e (2.8), tem-se:
dt)t(rid)t(Cd)t(i2
1dt)t(rid)t(i 22 q (2.9)
o que resulta em
1 1 ( ( ) ( ))( ) ( ) ( )
2 2
d d L x i tC i t i t
dx dx
q (2.10)
E se o deslocamento dq é realizado com corrente constante:
21 d(L(x)i(t)) 1 dL(θ)C(θ)= i(t)× = i (t)×
2 dx 2 dθ (2.11)
Note que o conjugado atua no sentido de aumento da indutância da bobina, ou seja, tenta fazer com
que a relutância seja diminuída e que o fluxo seja incrementado.
Ao se agrupar as equações (2.1) e (2.11) tem-se:
qq 2sen2
LL)t(i)t,(C minmax2
(2.12)
que é mostrada no gráfico da Figura 5.
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Figura 5 Conjugado em função da Posição
A Figura 5 torna explícita a existência de quatro posições em que o conjugado que atua sobre o rotor
é nulo, ou seja, o dispositivo alcança equilíbrio. Em º0q e em º180q , o rotor está na posição de
mínima relutância. Já em º90q e em º270q a relutância é máxima. Note que:
o em º0q e em º180q , ao se deslocar o rotor no sentido positivo, o sistema apresenta
conjugado negativo, ou seja, tende a retornar ao ponto inicial. Se o deslocamento for negativo,
então o conjugado é positivo e novamente retorna-se ao ponto inicial.
o em º90q e em º270q , ao se deslocar o rotor no sentido positivo, o sistema apresenta
conjugado positivo, ou seja, o sistema não tende a retornar ao ponto inicial. A mesma
conclusão é válida, quando o deslocamento for negativo. O sistema tende a se deslocar
naturalmente para a posição º0q ou º180q .
Portanto, na condição de mínima relutância (0º ou 180º) o sistema alcança um ponto de equilíbrio
estável. Já na condição de máxima relutância (90º ou 270º) o equilíbrio é instável.
Princípio de Conservação de Energia aplicado a um Sistema Rotativo duplamente energizado.
O dispositivo a ser analisado neste item é mostrado esquematicamente em corte na Figura 6. Ele
também é um sistema de rotação, tal qual o da Figura 1, mas que apresenta particularidades
importantes:
o uma das bobinas está alojada no estator e a outra no rotor;
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o o valor do entreferro é constante e o rotor cilíndrico. A este tipo construtivo de equipamento,
dá-se o nome de Máquina de Polos Lisos.
Figura 6 Dispositivo de Polos Lisos
Apenas para melhor entendimento, o sistema rotativo da Figura 6 é mostrado em duas partes e em
perspectiva na Figura 7. As bobinas estão mais detalhadas e se assemelham a dispositivos reais.
Estator e suas bobinas em perspectiva Rotor em perspectiva
Figura 7 Estator e Rotor em perspectiva: sistema rotativo de polos lisos
Antes da aplicação do Principio da Conservação de Energia para este dispositivo, é interessante
salientar algumas propriedades particulares deste equipamento:
I2
Rotor
I2
I1
I1
Estator
θ
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a. Admita que a corrente que circula no bobina do estator (I1)2 seja nula. Se a corrente que
circula na bobina do rotor (I2) for diferente de zero, qualquer que seja a posição q do rotor, o
fluxo concatenado com a bobina do rotor será sempre o mesmo.
b. Admita que a corrente que circula no bobina do rotor (I2) seja nula. Se a corrente que circula
na bobina do estator (I1) for diferente de zero, qualquer que seja a posição q do rotor, o fluxo
concatenado com a bobina do estator será sempre o mesmo.
c. Tanto no caso a), como no caso b) não há uma posição em que o rotor seja colocado, que
implique fluxo máximo ou mínimo, tal qual no dispositivo analisado no item anterior. A
relutância do circuito magnético nos dois casos é sempre constante, porque a relação entre
força magnetomotriz e fluxo é fixa, qualquer que seja a posição do rotor. Como não há
variação da relutância do circuito magnético das duas bobinas, então a indutância própria das
bobinas será constante.
d. Pode-se concluir que neste dispositivo, ao se energizar apenas uma bobina, não se obtém
conjugado em qualquer posição do rotor. Motivo: não há direção preferencial de fluxo.
e. Tudo se altera quando se impõe corrente em ambas as bobinas. O campo magnético produzido
pela bobina do rotor, que vai interagir com o campo magnético produzido pela bobina do
estator. A tendência do sistema é pelo alinhamento destes dois campos, o que corresponde à
posição q do rotor igual a zero, na Figura 6. O sistema passa a produzir conjugado para
qualquer posição em que os campos estejam desalinhados, ou seja, o conjugado será diferente
de zero para qualquer posição, a menos de q =0º (campos alinhados) e q =180º (campos em
oposição).
f. As bobinas possuem acoplamento magnético e uma forma de medir este acoplamento é
através do conceito de mútua indutância, já visto na primeira experiência. Na condição em
que q é igual a 0º, tem-se acoplamento máximo. Caso o rotor seja colocado na posição
180ºq , então a mútua é máxima (em módulo), mas de valor negativo. Na posição em que q
é igual a 90º ou 270º o fluxo mútuo entre as bobinas do estator e do rotor será nulo. Tente, na
figura 8, esboçar linhas de campo para esta posição. Esta análise qualitativa sugere que a
variação da mútua indutância com a posição seja da forma M(q) = Mmaxcos(q)
2 É extremamente comum para este tipo de dispositivo adotar a seguinte convenção: todas as grandezas associadas à
bobina situada no estator terão índice 1. Já as grandezas associadas ao rotor terão índice 2.
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I2
Rotor
I2
I1
I1
Estator
I2
Rotor
I2
I1
I1
Estator
(a) q = 0º (b) q = 180º
I2
Rotor
I2
I1
I1
Estator
I2
Rotor
I2
I1
I1
Estator
(c) q =90º (d) q =270º
Figura 8 Dispositivo de polos lisos em 4 posições
Para se aplicar o Princípio da Conservação de Energia a este equipamento, deve-se detalhar cada uma
das parcelas de energia envolvidas no processo de conversão. Adotando-se a convenção que todas as
grandezas associadas à bobina situada no estator terão índice 1 e que todas as grandezas associadas ao
rotor terão índice 2.
dttitvdttitvdWelet )()()()( 2211 (2.12)
qdtCdWmec )( (2.13)
Perdas joule = dtIrdtIr 222
211 (2.14)
Tanto para a bobina 1 como para a bobina 2 pode-se afirmar que:
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dt
dNtir
dt
dtirtetirtv
)()()()()(
e portanto a equação (2.13) pode ser colocada na forma:
dttirdtidttirdtidWelet )()()()(2
22222
1111 (2.15)
O fluxo concatenado com a bobina 1 vale 1(q,t) = N11(q,t) e para a bobina 2 vale 2(q,t) = N22(q,t).
Pode-se expressar o fluxo concatenado a partir de indutâncias próprias e mútuas, na forma:
)()()()(),(),( 211111 tiMtiLtNt qqqq (2.16)
)()()()(),(),( 221222 tiLtiMtNt qqqq (2.17)
Ao se estender a expressão (2.8), que dá a variação da energia magnética para um enrolamento, para
dois enrolamentos, obtém-se:
2211 )()(2
1 dtidtidWmag (2.18)
A forma pela qual o problema está equacionado é genérica até o momento. Para a obtenção da
solução deste caso particular, deve-se lembrar que:
o as indutâncias próprias são constantes, independem da posição q , conforme concluiu-se na
análise qualitativa, ou seja 021 dLdL
o tal qual no item 2.1, admite-se que i1(t) e i2(t) se mantenham constantes durante o intervalo dt
em que se faz um deslocamento dq no rotor, ou seja, 021 didi , desta forma.
Isto faz com que:
dMitidWmag 21 )( (2.19)
dttirdMtitidttirdMtitidWelet )()()()()()(2
22122
1121 (2.20)
Assim, a partir de (2.13), (2.14), (2.19) e (2.20), obtém-se uma expressão para o torque desenvolvido:
q
d
dMtititC
)()()(),( 21 (2.21)
Ainda na análise qualitativa do dispositivo, notou-se a variação da mútua é periódica e que uma
possível forma de variação da mútua com a posição é M(q) = Mmaxcos(q), logo:
)sen(M)t(i)t(i)t,(C max21 qq (2.22)
Admitindo-se i1(t) e i2(t) constantes e diferentes de zero, a equação (2.22) toma a forma gráfica da
Figura 9.
Neste gráfico pode-se constatar que:
o se o rotor está posicionado em q =0º (campos alinhados) e q =180º (campos em oposição)
então a mútua é máxima e o torque é nulo. Note que para q =0º tem-se equilíbrio estável, ao
passo que em q = 180º existe equilíbrio instável.
o já nas posições q =90º e q =270º tem-se mútua nula e torque máximo.
Configura-se então, de forma matemática, a idéia física de alinhamento de campo, vista anteriormente.
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Figura 9 Mútua Indutância e Conjugado em função do ângulo q
Fica ainda uma questão importante: como seria o equacionamento caso o dispositivo tivesse
saliências tanto no rotor como no estator e bobinas no estator e no rotor? A obtenção da expressão
(2.23) é certamente um pouco mais trabalhosa do ponto de vista matemático, mas pode-se demonstrar
que3:
q
q
q
q
q
d
dMtiti
d
dLti
d
dLtitC
)()()(
)()(
2
1)()(
2
1),( 21
222
121 (2.23)
Um exemplo de uso da expressão (2.23) é em geradores elétricos de hidroelétricas. Neste caso é usual
a construção de um dispositivo com polos salientes no rotor, mas com enrolamentos no rotor e no
estator. A equação (2.23) é utilizada para o cálculo do torque neste equipamento, mas deve-se realçar
que a sua segunda parcela será nula. Neste caso há produção de conjugado devido à variação de duas
indutâncias distintas.
Denomina-se conjugado de relutância aos termos do tipo q
q
d
dLti
j
j
)()(
2
1 2 e reserva-se o termo
conjugado de mútua para a parcela q
q
d
dMtiti
)()()( 21 .
3 Para o leitor interessado, sugere-se o livro “Eletromecânica”, de autoria de Aurio Gilberto Falcone. Nele a dedução é
realizada em sua forma completa.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 -Mmax
-Cmax
0
Cmax
Mmax
ângulo (º)
Conjugado Mútua
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Número de polos em dispositivos eletromecânicos
Os dispositivos analisados no item 2 sempre possuíam dois polos magnéticos. No entanto é bastante
usual que alguns dispositivos eletromecânicos sejam construídos com um número de polos superior a
dois.
Para o entendimento de um dispositivo que possui mais do que 2 polos, basta analisar a Figura 10,
que mostra um corte transversal de um dispositivo de polos lisos de quatro polos. Neste equipamento
na superfície do estator há duas bobinas (AA’ e BB’). Elas produzem 4 polos (2 polos norte e 2 polos
sul) na superfície do estator. Faça um esboço das linhas de campo e para isto use a regra da mão
direita. Admita que o rotor seja um cilindro de material ferromagnético de alta permeabilidade
magnética.
Figura 10 Um equipamento de quatro polos
Pode-se aplicar diretamente o equacionamento dos itens 2.2 e 2.3 para um dispositivo como este? A
resposta é não, porque:
o No primeiro de dois polos, o polo norte se distribuía continuamente por 180º ao longo do
estator (ou rotor). O polo sul também se distribuía continuamente por 180º, completando
assim uma volta (360º).
o No dispositivo de quatro polos, nota-se que o polo norte ocupa 180º ao longo do estator (ou
rotor), mas de forma descontínua (90º + 90º). Vale o mesmo para o polo sul que também
ocupa 180º de forma descontínua ao longo do estator (ou rotor).
A
A’
B’
B
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o A bobina no primeiro dispositivo ocupava 180º e no segundo 90º. Logo, ao se calcular o fluxo
magnético em um dispositivo de mais de que dois polos, deve-se pensar em um fluxo
magnético por polo.
No entanto, há semelhanças no comportamento de dispositivos de 2 e 4 polos. A Figura 11 mostra
que um dispositivo de 4 polos em duas posições. Note que na primeira posição (à esquerda) o rotor
está colocado em uma posição de mínima relutância (faça o esboço de linhas de campo). Já na figura
à direita, o rotor impõe às bobinas uma posição de máxima relutância (faça o esboço de linhas de
campo). Note que o rotor alterou sua posição em 45º. Em um dispositivo de dois polos, viu-se que a
posição de relutância máxima difere da posição de relutância mínima em 90º.
(a) (b)
Figura 11 Dispositivo de 4 polos em duas posições distintas
Pode-se concluir que o dispositivo da Figura 11 possui 4 posições de relutância mínima e 4 de
relutância máxima. Desta forma, um dispositivo com 4 polos possui 4 posições em que a indutância
própria do estator é máxima e 4 em que é mínima. Sabe-se que dispositivos de 2 polos possuem 2
posições de indutância mínima e 2 de máxima. Pode-se então estender a expressão da variação da
indutância com a posição para um dispositivo de quatro polos, na forma:
qq 22cos22
)( minmaxminmax
LLLL
L (3.1)
Caso o dispositivo possuísse quatro polos e fosse de polos lisos, entre uma posição de mútua máxima
e uma posição em que a mútua nula o rotor deveria também se deslocar de 45º, ou seja,
M(q) = Mmaxcos(2 x q) (3.2)
Note que a expressão (3.1) difere da expressão (2.13) apenas do fator 2, que é exatamente o número
de pares de polos do dispositivo. Vale a mesma observação para a expressão (3.2).