Capítulo 1: Vetores

Aula 1

�Discussões iniciais; �Discussões iniciais;

�Noção intuitiva e definições;

�Notações.

Noção intuitiva� Existem grandezas, chamadas escalares, que são caracterizadas por um número (e a correspondente unidade): 20m² de área, 4m de comprimento, 7kg de massa, ...

� Outras no entanto, requerem mais do que isso. Por exemplo, para caracterizarmos uma força ou uma velocidade, precisamos dar a direção, a intensidade (ou módulo) e o sentido. Tais grandezas são chamadas de vetoriais.

� Exemplos:velocidade, aceleração, momento, torque, peso, campo magnético, etc.

Segmento orientado

Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos,o primeiro chamado origem do segmento, o segundo chamado deextremidade.

O segmento orientado de origem A e extremidade B será representado

Definições

O segmento orientado de origem A e extremidade B será representadopor AB e, geometricamente, indicado por uma seta que caracterizavisualmente o sentido do segmento.

Direção e sentido

Dois segmentos orientados não nulos AB e CD tem a mesma direção se asretas suportes desses segmentos são paralelos

Definições

ou coincidentes

Segmentos equipolentes

Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm amesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

Definições

Se os segmentos AB e CD não pertencem à mesma reta, para que AB sejaequipolente a CD é necessário que AB//CD e AC//BD, ou seja, ABCD deveser um paralelogramo.

Propriedades da equipolência

� Reflexiva: AB ~ CD

� Simétrica: Se AB ~ CD, então CD ~ AB

� Transitiva: Se AB ~ CD e CD ~ EF, então AB ~ EF

Definições

� Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB ~ CD.

� Se AB ~ CD, então AC ~ BD e temos um caso particular da propriedade simétrica, em que o quadrilátero ABCD é um paralelogramo.

Definições

Definição 1:

Definição 2:

Definições

Imagem geométrica ou representante de um vetor

Notações

ou em negrito.

a, b, c, ... u, v, w ...

Notação - continuação

Definições

Módulo ou Norma ( )

Vetor nulo ( )Vetor nulo ( )

Vetor unitário

Definições

Versor

Exemplo ...

Definições

Vetor oposto

Proposição

É dado um vetor u qualquer. Escolhido arbitrariamente um pontoP, existe um segmento orientado representando u com origem P, isto é,existe um ponto B tal que u = PB. Tal representação é única.

Vetores colineares

Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção. Sãocolineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesmareta ou a retas paralelas, conforme as figuras.

Definições

Vetores coplanares

Se os vetores não nulos u, v e w possuem representantes AB, CD e EFpertencentes a um mesmo plano π , diz-se que eles são coplanares.

Definições

Dois vetores u e v são sempre coplanares, pois podemos sempre tomarum ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantesde u e v pertencendo a um plano π que passa por este ponto.

� 3 vetores podem ser ou não coplanares

Definições

Definições

Vetores equiversos e contraversos

Dois vetores paralelos são equiversos se de mesmo sentido. Se de sentidos contrários, são contraversos

Exemplo ...

Capítulo 1: Vetores

Aula 2

�Operações com vetores;

�Multiplicação de escalar por vetor;

�Ângulo entre vetores;

� Exemplos e exercícios.

Operação de vetores

Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e BC.

Adição ou soma

Os pontos A e C determinam um vetor s que é, por definição, a soma dosvetores u e v, ou seja, s = u + v.

Adição de vetores

� Comutativa: u + v = v + u

� Associativa: (u + v) + w = u + (v + w) � Demonstre!

Propriedades

�Nulidade: Existe só um vetor nulo 0 tal que para todo o vetor v se tem:

v + 0 = 0 + v = v

� Oposto: Qualquer que seja o vetor v, existe um só vetor –v tal que v + (-v) = -v + v = 0

� Lei do cancelamento: u + v = u + w = v + w.

Demonstração Subtração de vetores

Chama-se diferença de 2 vetores u e v, e se representa por d = u – v, ao vetor u + (-v).

Dados 2 vetores u e v, representados pelos segmentos orientadosAB e AC, respectivamente, é construído o paralelogramo ABDC.

� A soma s = u + v é representada pelo segmento orientado AD.� A soma s = u + v é representada pelo segmento orientado AD.

�A diferença d = u – v é representada pelo segmento orientado CB.

Graficamente, o vetor soma é o segmento orientado que fechaa poligonal, tendo por origem, a origem do primeiro vetor e porextremidade , a extremidade do último vetor.

Operação de vetores

b) Sob a forma de triplas: Dados os vetores

a) Regra do Paralelogramo:

Conseqüências:

Exemplos

Exemplos Multiplicação por escalar

Multiplicação por escalar Multiplicação por escalar

Propriedades

Ângulo entre 2 vetores Ângulo entre 2 vetores

Exemplos ...

Exercícios Exercícios

Exercícios Exercícios

Lista 1 :>)

Capítulo 1: Vetores

Aula 3

� Combinação linear;� Combinação linear;

�Linearmente dependente e independente;

�Bases;

� Exemplos e exercícios.

Combinação Linear

a) Teoremaa) Teorema

Combinação Linear

b) Coplanariedade de vetores representados por triplas

Vetores LD e LI

Definições :

� Uma seqüência (v) é linearmente dependente se v = 0 e linearmenteindependente se v ≠ 0.

� Um par ordenado (u,v) é linearmente dependente se u e v são paralelos. Casocontrário, (u,v) é linearmente independente.

� Uma tripla ordenada (u,v,w) é linearmente dependente se u, v e w são paralelosa um mesmo plano. Caso contrário, (u,v,w) é linearmente independente.

� Se n > 3, qualquer seqüência de n vetores é linearmente dependente.

Vetores LD e LIExemplos

a) duplas:

b) triplas:

Exercícios

:>0 ... Resolver depois

Exercícios

Solução exercício 2:

AB = α AC + β ADB – A = α (C – A) + β (D – A)(– 8 , – 1 , 3 ) = α (– 4 , – 6 , – 2 ) + β (– 1 , 4 , 3 )

– 8 = – 4 α – β β = 8 – 4 α β = 8 – 4 (3/2)– 8 = – 4 α – β–1 = – 6 α + 4β

3 = – 2 α + 3β

β = 8 – 4 α

3 = – 2 α + 3( 8 – 4 α )2 α + 12 α = 24 – 314 α = 21

α = 3/2

β = 8 – 4 (3/2)β = 2

Logo, os pontos A, B, C e D são coplanares .

Exercícios

Exercícios lista 1 :>)

Expressão cartesiana

Expressão cartesiana Expressão cartesiana

Logo, e são Linearmentedependentes.

Exemplos ...

Exercícios Exercícios

4x – 4 = 4 x = 2

ExercícioResolução exercício 4:

AC = α ABC – A = α ( B – A )( 4 , – 12 , 8 ) = α ( x – 1 , y + 1 , 2 )

α ( x – 1 ) = 44y + 4 = – 12 y = – 4

4x – 4 = 4 x = 2 α ( x – 1 ) = 4α ( y + 1 ) = – 12

2 α = 8 α = 4

Exercícios

Exercícios

Exercícios Lista :>)

BasesChama-se base de V³ toda tripla ordenada linearmente independente

E = ( e1, e2, e3 ).

Sendo E = ( e1, e2, e3 ) uma base, todo vetor u é gerado por e1, e2, e3 ,ou seja, existem escalares a1, a2, a3 tais que

u = a1e1 + a2e2 + a3e3

Diz-se que a1 é a primeira coordenada de u na base E, a2 é a segundacoordenada de u na base E e a3 é a terceira coordenada de u na base E.

Bases Bases

Exemplos

Solução:

1)

Exemplos2)

Solução:

Exercícios Capítulo 1: Vetores

Aula 4

� Produto escalar;

�Produto vetorial;

�Produto misto;

� Exemplos e exercícios.

Produto escalarDefinição

Sinal do produto interno

Exemplos ...

Produto escalarNulidade do produto escalar

Módulo de um vetor

Exemplos ...

Produto escalarVersor de um vetor

Exemplos ...

Distância entre dois pontos

Em coordenadas, temos que

ou . Assim a distância entre 2 pontos A(x1, y1, z1) e

B(x2, y2, z2) é definida por:

e portanto, .

Exemplos ...

Produto escalarÂngulo de dois vetores

Condição de ortogonalidade

Dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar deles é nulo.

Exemplos ...

Produto escalarPropriedades:

Exemplo:

Produto escalar

Produto escalarProjeção de um vetor

Produto escalar

sendo essa a projeção da componente escalar de v em u.

No entanto, a projeção ortogonal de v na direção de u necessita ainda sermultiplicada pelo versor de u, representado por u*, resultando:

Exemplo :

Produto escalar

Exercícios ...

Produto escalarExpressão Cartesiana do produto escalar

Produto escalar Exemplo

Exercícios Exercícios

Exercícios lista ...

Produto vetoriala)

b)

Produto vetorial

c)

Produto vetoriald)

Produto vetoriale)

Produto vetorialf)

Exemplos ...

Produto vetorial

Produto Vetorial

g) Expressão Cartesiana do produto vetorial

Produto Vetorial

Tal expressão pode ser escrita usando o determinante, na Tal expressão pode ser escrita usando o determinante, na forma:

Exemplos ...

Exercícios ...

Exercícios Exercícios

Produto Misto

a) Definição:

b) Nulidade do produto misto:

Produto Mistoc) Interpretação geométrica:

Produto Misto

Exemplo ...

Produto MistoConvenção de sinais:

Produto Misto Produto Mistod) Volume do tetraedro:

Produto Mistoe) Propriedades:

Produto Misto

Duplo Produto vetorial

Exemplo ...

Exercícios

Exercícios Exercícios

Capítulo 2: Retas e planos em R³

Aula 5

� Coordenadas Cartesianas;

�Equações da reta;

�Exemplos e exercícios.

95

Coordenadas Cartesianas

1. Sistema Cartesiano Ortogonal

96

Coordenadas Cartesianas

97

Coordenadas Cartesianas

Particularidades:

98

Equações da reta

99

Equações da reta

Exemplo ...

100

Equações da reta

Exemplo ...

101

Equações da reta

102

Equações da reta

Exemplo ...103

Equações da reta

104

Equações da reta

105

Equações da reta

106

Equações da reta

Exemplo:

107

Equações da retaSolução:

108

Exercícios

109

Exercícios

110

Exercícios

111

Capítulo 2: Retas e planos em R³

Aula 6

� Posições relativas a retas;

�Paralelismo e ortogonalidade;

�Condição de coplanariedade;

�Exemplos e exercícios.

112

Posições relativas entre 2 retas

a) Coplanares e paralelas

b) Coplanares e concorrentes

Exemplo ...

Exemplo ...

113

Posições relativas entre 2 retas

c) Reversas

Exemplo ...

114

Paralelismo e ortogonalidade

a) Condição de paralelismo

115

Paralelismo e ortogonalidadeb) Condição de ortogonalidade

Observação

116

Condição de coplanariedade

Exemplo ...

117

Exercícios

118

Exercícios

119

Exercícios

120

Capítulo 2: Retas e planos em R³

Aula 7

� Equação geral do plano;

�Casos especiais;

� Equação segmentária do plano;

�Exemplos e exercícios.

121

Equação geral do plano

A) O plano é gerado por um ponto e dois vetores.

(1)

122

Equação geral do plano

B) O plano é individualizado por dois pontos e um vetor.

(2)

123

Equação geral do plano

B) O plano é formado por 3 pontos não colineares.

(3)

124

Equação geral do plano

A resolução de cada determinante apresentado por (1), (2)ou (3) conduz a uma equação linear de 3 variáveis:

ax + by + cz + d = 0

denominada equação geral do plano.

Exemplo ...

125

Exercícios

126

Casos especiais

1.° caso.

127

Casos especiais2.° caso.

128

Casos especiais3.° caso.

129

Casos especiais

4.° caso.

Continua ...

130

Casos especiais

131

Casos especiais

132

Casos especiais - Exemplo

133

Intersecção do plano com os eixos coordenados

Exemplo ...

134

Exemplo

135

Equação segmentária do plano

(1)

136

Equação segmentária do plano

(2)

Substituindo (1) em (2) obtemos:

Exemplo ...

137

Exemplo

138

Exercícios

139

Capítulo 2: Retas e planos em R³

Aula 8

�Vetor normal;

�Paralelismo e ortogonalidade

� Exemplos e exercícios.

140

Vetor normalEquação do plano que passa por um ponto e é ortogonal a um vetor.

Demonstração:

141

Vetor normal

Exemplo ...142

Exemplo

Exercícios

143

Paralelismo e ortogonalidade

144

Paralelismo e ortogonalidade

145

Paralelismo e ortogonalidade

146

Exercícios complementares

147

Exercícios

148

Exercícios

A figura abaixo representa um galpão, na qual os númeroscorrespondem as suas dimensões. Pergunta-se

149

Exercícios

150

Exercícios

151

Exercícios

152

Capítulo 2: Retas e planos em R³

Aula 9

� Distâncias entre ponto e reta;

�Distâncias entre ponto e plano;

�Distâncias entre duas retas;

�Ângulo entre planos;

� Exemplos e exercícios.

153

Distância entre ponto e reta

154Exemplo ...

Distância de um ponto a reta

Exemplo ...

155

Distância entre ponto e plano

Exemplo ...156

Distância entre duas retas

157

Distância entre duas retas

Exemplo ...158

Ângulo entre planos

159

Exercícios

160

Exercícios

161

Capítulo 3: Cônicas

Aula 10

� Parábola;

�Definições;

�Forma reduzida;

�Exemplos e exercícios.

162

Cônicas

163

Parábola

164

ParábolaEquação canônica para V = 0 (origem)

165

Parábola

166

Parábola

167

Parábola

Observação:

168

ParábolaEquação canônica para V = ( X0 , Y0 )

169

Parábola

170

Parábola

171

ParábolaAplicações:

172

Parábola

173

Parábola

174

Parábola

175

Exemplo

176

Exercícios

177

Exercícios

178

Capítulo 3: Cônicas

Aula 11

� Elipse;

�Definições;

�Forma reduzida;

�Exemplos e exercícios.

179

Elipse

Definição:

180

ElipseEquação na forma reduzida com centro em (0,0):

181

Elipse

.

Observação: Se a forma canônica é dada por:

senão,

Exemplo ...

182

ElipseExcentricidade:

183

ElipseEquação canônica cujo centro está em ( X0 , Y0 )

184

Elipse

185

Elipse Aplicações:

186

Elipse

187

Exercícios

188

Exercícios

189

Exercícios

190

Exercícios

191

Exercícios

192

Capítulo 3: Cônicas

Aula 12

� Hipérbole;

�Definições;

�Forma reduzida;

�Exemplos e exercícios.

193

Hipérbole

Definição:

194

Hipérbole

Elementos:

195

Hipérbole

Excentricidade:

196

HipérboleEquação canônica com hipérbole centrada na origem

197

HipérboleEquação canônica com hipérbole centrada na origem

Observação:

198

Hipérbole

Identificação de uma hipérbole com centro na origem

Exemplo:

199

Exemplo:

HipérboleEquação canônica com hipérbole centrada em (Xo,Yo)

200

Hipérbole

201

Hipérbole

Aplicações:

202

Hipérbole

203

d) Na construção de usinas atômicas, barrasretilíneas se cruzam para obter estruturasextremamente forte, uma vez que podemosmostrar que o hiperbolóide de uma folha geradopela rotação de uma hipérbole em torno do seueixo transverso é também gerado por uma reta , ouseja pode ser considerado como sendo formadopor uma união de retas (superfície regrada).

Exercícios

204

ExercíciosResp 1.:

205

Exercícios

206

Exercícios Complementares

207

Exercícios Complementares

208

Exercícios complementares

209

Capítulo 3: Quádricas

Aula 13

�Definições gerais;

�Identificação;

�Gráficos e equações;

�Esfera, (Parabol,Elips,Hiperbol)-óide;

�Exemplos e exercícios.

210

Quádricas

1. Definição:

2. Exemplos:

211

Quádricas

212

Gráficos

3. Equações de Curvas em R3:

213

Esfera

Exemplos ...214

Elipsóide

Para esboçar o gráfico das quádricas é útil determinar a intersecçãoda superfície com planos paralelos aos planos coordenados. Essas curvas sãodenominadas traços (ou secções transversais) da superfície.

A figura abaixo mostra como representar no esboço alguns traçospara indicar a forma da superfície. Essa superfície é chamada elipsóide, vistoque todos os seus traços são elipses. Note a simetria em relação a cada planoque todos os seus traços são elipses. Note a simetria em relação a cada planocoordenado; isto é reflexo do fato de só aparecerem potências positivas de x,y e z.

Gráfico gerado usando a seguinte equação:

215

Elipsóide

Exemplo: Utilize traços para fazer o esboço da quádrica com equação

216

Parabolóide

Exemplo: Utilize traços para esboçar a superfície z= 4x² + y².

Impondo x = 0, obtemos z = y², de forma que no plano yz aintersecção da superfície é uma parábola.

Se tomarmos x = k (uma cte), obteremos z = y² + 4k². Istosignifica que se deslocarmos o gráfico para um plano paralelo ao plano yzsignifica que se deslocarmos o gráfico para um plano paralelo ao plano yzobteremos uma nova parábola com concavidade voltada para cima.

Da mesma forma, tomando y = k, o traço é z = 4x² + k², quecorresponde novamente a uma parábola com concavidade para cima.

Impondo z = k, obteremos os traços horizontais 4x² + y² = k,que reconhecemos como uma família de elipses.

217

ParabolóideSabendo a forma dos traços podemos esboçar a figura abaixo.

Pelo fato de os traços serem parábolas e elipses, a quádrica édenominada parabolóide elíptico.

218

HiperbolóideExemplo: Esboce a superfície z = y² - x²

Os traços nos planos verticais x = k são parábolas z = y² – x² comconcavidade voltada para cima.

Os traços em y = k são parábolas z = -x² + k², com concavidade voltadapara baixo.

Os traços horizontais são y² – x² = k, uma família de hipérboles.Os traços horizontais são y² – x² = k, uma família de hipérboles.

Na figura abaixo desenhamos esses traços e mostramos como eles aparecemquando colocados nos planos corretos na figura do próximo slide.

219

HiperbolóideOs traços movidos para suas posições nos planos corretos geram os gráficos.

Os 3 gráficos juntos formam a superfície z = y² – x², um parabolóide hiperbólico.

220

Equações

A idéia de usar os traços para desenhar a superfície é empregada em

programas que fazem gráficos tridimensionais. Na maioria desses

programas os traços nos planos verticais x = k e y = k são apresentados

para valores de k igualmente espaçados, e partes do gráfico sãopara valores de k igualmente espaçados, e partes do gráfico são

eliminadas utilizando-se a técnica de remover linhas escondidas.

A tabela a seguir mostra gráficos de computador de seis quádricas

básicas na forma padrão. Todas as superfícies são simétricas em relação

ao eixo z. Se uma quádrica é simétrica em relação a um eixo diferente,

sua equação se modifica de modo apropriado.

221 222

EquaçõesComo identificar a superfície quádrica?

As equações das sup. quádricas tem certas características que tornampossível identificar as quádricas que são deduzidas dessas equações porreflexões.

Essas características identificatórias, mostradas na tabela, sãobaseadas em escrever a equação da sup. quádrica de tal forma que todos ostermos variáveis estejam no lado esquerdo e que haja um 1 ou 0 no ladotermos variáveis estejam no lado esquerdo e que haja um 1 ou 0 no ladodireito.

223

ExercíciosVerifique a veracidade das assertivas a seguir:

224

Exercícios

225

Exercícios

226

Exercícios

227

Capítulo 4: Sist. de Eq. Lineares

Aula 14

�Introdução;

�Eliminação de Gauss;

�Formas escalonadas;

�Exemplos e exercícios.

228