DEA-Data Envelopment Analysis Marco Aurélio Reis dos Santos marcoaurelioreis@yahoo.com.br.

DEA-Data Envelopment Analysis

Marco Aurélio Reis dos Santos

marcoaurelioreis@yahoo.com.br

SumárioIntrodução

Exemplo de aplicação

Análise Envoltória de Dados

Medidas de Desempenho

Unidades Tomadoras de Decisão (DMU)

Modelo CCR

Análise de Sensibilidade

Modelo BCC

Referências

IntroduçãoObjetivo Desenvolver modelos matemáticos para tratar de

problemas de avaliação de desempenho em organizações produtivas.

Motivação Obtenção de uma medida de eficiência a partir de dados

reais (sem a utilização de fórmulas teóricas) Otimização da utilização dos recursos Apontar o quanto os níveis de insumos ou produtos podem

ser melhorados Apontar quais unidades produtivas são benchmarks

(referências) Servir de subsídio para tomada de decisões multicritério

por meio da avaliação de desempenho das alternativas de ação.

Introdução

OrigemSurgiu a partir do problema abordado na tese de

Ph.D. de Edward Rhodes sob a supervisão de William W. Cooper em 1978

Avaliação do desempenho de Escolas Públicas

Como comparar Eficiências

Desafio Encontrado

EscolasPúblicas

Baseados

Escores aritméticos

Melhoria da auto-estima

Habilidade psicomotora

Nº professores-hora

Tempo gasto pela mãe em leituras com o filho

Medidas distintas

Unidades diferentes de medidas

Solução do DesafioCharnes, Cooper e Rhodes propuseram um

modelo baseado em Programação Linear

Modelo CCR

Sem converter os KPI em uma única unidade de medida

Eficiência

Mais vantagens do Modelo Proposto

Permitiu indicar o quanto cada indicador deveria ser melhorado para que as escolas públicas consideradas ineficientes tornassem eficientes.

Permitiu indicar qual combinação de escolas eficientes serviriam como benchmarks para as escolas consideradas ineficientes.

Suporte para concepção de ações estratégicas em escolas ineficientes

Exemplo de Aplicação

Considera-se uma empresa que para conseguir atender a crescente demanda de um determinado produto dependa do fornecimento de peças de nove fornecedores e que estes noves são os únicos fornecedores para este tipo de peça no mercado. Zé da Logística, respeitado gerente de compras desta empresa, visando obter as melhores condições operacionais para o fornecimento destas peças resolve propor a diretoria da empresa que ela ofereça uma assessoria para alguns destes fornecedores. Mas antes disso, ele resolve avaliar as eficiências relativas de cada um destes noves fornecedores por meio do método DEA.

Zé da Logística considerou os seguintes indicadores de desempenho:Taxa de atendimento do pedido[%]Capacidade de produção do fornecedor [peças]Custo Total=Custo do pedido+Custo de Transporte[$]Lead-time [dias]

Obs.:Notem que os indicadores possuem unidades diferentes de medidas

Taxa de Atendimento

88,00%90,00%

100,00%60,00%

96,00%60,00%

70,00%89,50%

75,00%

0,00% 50,00% 100,00% 150,00%

123456789

Taxa de Atendimento

Taxa deAtendimento

capacidade

35004000

30002000

33004200

55003000

0 2000 4000 6000

123456789

peças

capacidade

R$ 80,00R$ 60,00

R$ 45,00R$ 50,00R$ 50,00

R$ 75,00

R$ 70,00R$ 95,00

R$ 83,00

R$ 0,00 R$ 20,00 R$ 40,00 R$ 60,00 R$ 80,00 R$ 100,00

lead time

0 2 4 6 8

123456789

lead time

Eficiência Técnica Relativa

94,62%100,00%100,00%

61,54%99,23%

80,93%100,00%

91,92%93,26%

0,00% 20,00% 40,00% 60,00% 80,00% 100,00% 120,00%

123456789

Eficiência

Custos

R$ 80,00

R$ 60,00

R$ 45,00

R$ 50,00

R$ 75,00

R$ 70,00

R$ 95,00

R$ 83,00

R$ 55,49

R$ 60,00

R$ 45,00

R$ 48,75

R$ 49,88

R$ 67,93

R$ 70,00

R$ 48,95

R$ 64,79

R$ 0,00 R$ 20,00 R$ 40,00 R$ 60,00 R$ 80,00 R$ 100,00

rneced

Exemplo de Aplicaçãocapacidade

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

rneced

Peças

Taxa de atendimento

88,00%

90,00%

100,00%

60,00%

96,00%

60,00%

70,00%

89,50%

75,00%

93,01%

90,00%

100,00%

97,50%

96,74%

74,14%

70,00%

97,36%

80,42%

0,00% 20,00% 40,00% 60,00% 80,00% 100,00% 120,00%

Benchmarks

69,92%

100,00%

25,00%

32,56%

20,69%

26,36%

52,12%

30,08%

100,00%

75,00%

67,44%

73,64%

79,31%

100,00%

47,88%

0,00% 20,00% 40,00% 60,00% 80,00% 100,00% 120,00%

Fornecedor 7

Fornecedor 3

Fornecedor 2

Capacidade Fornecedor 4(Alvo)=0,25x4000+0,75X3000=3250 peças

Capacidade fornecedor 2

Após a apresentação dos resultados do estudo para diretoria da empresa, os membros da diretoria ficaram intricados como Zé da Logística obteve tais resultados. Evidentemente ele não revelou os detalhes do método utilizado!

Obs.: Os detalhes de como Zé da Logística aplicou o método serão revelados ao longo do curso!

Análise Envoltória de Dados(DEA)

O que é ?É uma técnica que pode ser usada para avaliar o

desempenho de sistemas através do conceito de eficiência relativa

Aplicações mais comuns:Bancos HospitaisUniversidades IndústriasRestaurantes

Medidas de desempenho

Eficácia:Considera apenas o que é produzido, sem levar em

conta o nível em que os recursos são usados para a produção.

Produtividade:É a razão entre o que foi produzido e o que foi gasto

para produzir• (unidades de medida diferentes para cada caso)

Eficiência Técnica:É um conceito relativo. Compara o que foiproduzido, dado os recursos disponíveis,

com o que poderia ter sido (melhor) produzido com os mesmos recursos ou que poderia ter sido economizado em recursos para produzir os mesmos produtos.

Eficiência Técnica: Segundo Pareto-Koopmans (1951), um vetor input-output é tecnicamente eficiente se e somente se:Nenhum dos outpts seja aumentado sem que

nenhum outro output seja reduzido ou algum input necessite ser aumentado.

Nenhum dos inputs seja reduzido sem que algum outro input seja aumentado ou algum output seja reduzido.

Folgas

Eficiência Técnica:

maxadeProdutivid

atual adeProdutividEficiência

Benchmark

Medidas de desempenhoAnálise de eficiência e produtividade:

Na Figura, mostra-se a diferença entre os conceitos de produtividade e eficiência.As unidades B e C são eficientes (uma vez que estão localizadas na fronteira deeficiência).Apenas a unidade C é a mais produtiva.

Existem três formas de uma unidade não eficiente tornar-se eficiente.1. Fixar Produtos (Y)Reduzir os Recursos (X)

2. Fixar Recursos (X)Aumentar os Produtos (Y)

3. Reduzir Recursos (X)Aumentar os Produtos (Y)

Unidades Tomadoras de Decisão

(Decision Making Units)

Transformação pelas DMU

Insumos(inputs)

Produtos(outputs)

Exemplo: Agências Bancárias, Hospitais, Fornecedores, Escolas etc.

Definição das DMU

São unidades produtivas e, para poderem

ser analisadas, devem utilizar os mesmos

insumos e produzir os mesmos produtos; O número de DMU consideradas deve ser

no mínimo duas vezes maior que a soma dos números de produtos e insumos considerados.

Características do DEA

Não necessita que os insumos e produtos sejam transformados em uma única unidade de medida (Exemplo: $, %, Quantidade);

Possibilita a identificação do nível de ineficiência de cada DMU;

Permite a identificação de DMU eficientes que são referências (benchmarks) para aquelas que foram detectadas como ineficientes.

Vantagens do DEA

Lida com modelos de múltiplas entradas & saídas com variadas unidades de medidas (Exemplo: $, %, Quantidade);

As DMU são comparadas diretamente com uma outra DMU ou com uma combinação delas;

Considera a possibilidade de que os outliers não representam apenas desvios em relação ao comportamento médio, mas possam ser possíveis benchmarks

Exemplo do Zé da Logística

Considerando apenas dois indicadoresDMU - Fornecedores

Custo(inputs)

Capacidade(outputs)

DMU Custo

Capacidade Produtiva(Peças)

Produtividade (Peças/R$)

Eficiência Relativa

1 R$ 80,00 3500 43,75 55,68%

2 R$ 60,00 4000 66,67 84,85%

3 R$ 45,00 3000 66,67 84,85%

4 R$ 50,00 2000 40,00 50,91%

5 R$ 50,00 3300 66,00 84,00%

6 R$ 75,00 4200 56,00 71,27%

7 R$ 70,00 5500 78,57 100,00%

8 R$ 95,00 3000 31,58 40,19%

9 R$ 83,00 4400 53,01 67,47%Máxima Produtividade

Benchmark para 1Orientado a input

Modelo CCR

Em que:u é a importância relativa do

output ;v é a importância relativa

do input .

Output virtual

Input virtual

Obs.:Modelo com múltiplas soluções ótimas

Modelo CCR

Se normalizarmos 80v=1 temos v=0,0125; desta forma o modelo se torna linear e passa a ter uma única solução:

Modelo CCR

0,000236;

0,000396

0,000159;

0,000223;

0,000189;

0,000313;

0,000188;

:à sujeito

3500 max 0

0,000159u55,68%ou 0,556818000159,035000 xh

Mínimo Valor

Modelo CCR Alvo:Orientado a input:

.6364,0

;7080556818,0

;55003500

;70 e 5500

então eficiente é 7 fornecedor o Se

então 0 se ;80

então 0 e 3500 Se

803500

minmax

min1min

55,44$min Rx

DMU VirtualBenchmark

Importância do fornecedor 7 como

referência para o fornecedor 1

Modelo CCR

IOxvxvxv

yuyuyuEficiência

xvxvxv

yuyuyu

xvxvxvyuyuyu

Eficiência

/max...

... doNormalizan

......

332211

max33max22max11

332211

Em que:ui é a importância relativa do output i;

yi é o valor do output i;vj é a importância relativa do input j;

xj é o valor do input j;Ow é o Output virtual;

Iw é o Input virtual.

Logo pode-se definir eficiência também como sendo:

Medida Radial de Eficiência Técnica

Coeficiente de utilização de recursos (Debreu, 1951):È uma medida radial que busca a máxima

redução equiproporcional de todos os inputs ou a máxima expansão equiproporcional de todos os outputs.

O uso do coeficiente independe da unidade de medida.

Orientado a input:

min000

então , os fixamos Se

YYoutputs

Em que:h0 é a medida radial de eficiência técnica;Y é o output vitual;

X é o input vitual.

Alvo ou Benchmark

Orientado a output:

max000

então , os fixamos Se

XXinputs

Em que:h0 é a medida radial de eficiência técnica;Y é o output vitual;

X é o input vitual.

Alvo ou Benchmark

Modelo CCR(orientado a input)Generalizando o modelo dos multiplicadores tem-se:

Eficiência=h0

Normalizando-se tem-se:

Modelo CCR(orientado a input)

Folgas

Modelo CCR(orientado a output)

:àsujeito

,0,0 ivju ij

Eficiência=1/h0

Modelo CCR(orientado a output)

Normalizando-se tem-se:

iii xvh

100Min

:àsujeito

jjoj yu

kxvyur

,0,0 ivju ij

jjoj yu

Modelo CCR

Conjunto de Possibilidades de Produção

P(x,y)

Fronteira de EficiênciaY

Modelo CCR

Propriedades de P: As atividades observadas (xj ,yj) (j=1,2,...,n) pertencem a P Se uma atividade (x,y) pertence a P, então a atividade

(kx,ky) pertence a P para k 0. Propriedade dos retornos constante de escala.

Para uma atividade (x,y) em P, qualquer atividade (x’,y’) com x’ x e y’ y esta incluído em P

Qualquer combinação linear das atividades em P pertencem a P

0,,/),( jjjj

jj yyxxyxP

Modelo CCR (orientado input)

Modelo Envelope

0Min h

kikikio ixxh

0 jyyn

.,0 kk

:àsujeito

Primal

Em que:h0 é a medida radial de eficiência técnica;yi é o valor do output i;xj é o valor do input j;k é a importância da DMU k como referência para DMU 0

Modelo CCR (orientado output)

Modelo Envelope

0Max h

kikikio ixx

00 jyyhn

.,0 kk

:àsujeito

Primal

Modelo Envelope

0Min h

kikikiio ixsxh

0 jysyn

kkjkjj

.,0 kk

:àsujeito

Primal

AlvosDMU Virtual Benchmark

Modelo CCR

Teorema das Folgas Complementares

,0 isv ii

,,0 jsu jj

Primal

,0 então0 Se ii vs ,0 então,0 se

Análise de Sensibilidade

;0ou 0 e1Se 0 ji ssh

kikikiio xsx

kkjkjj ysy

.,0 kk

:então

Primal

Pareto

Modelo CCR

Uma DMU é Pareto-Koopmans Eficiente se e somente se:

,0 isi

,,0 js j

Primal

Segunda parte

Custo(inputs)

Capacidade(outputs)

Taxa de atendimento

(outputs)

d09 43,7638 d09+d9A 43,7638+ 27,1975

Eficiência9 = = 0,6167=

Benchmarks

Taxa de Atendimento

Modelo BCC

Conjunto de Possibilidades de Produção

P(x,y)

Fronteira de EficiênciaY

Modelo BCCPropriedades de P: As atividades observadas (xj ,yj) (j=1,2,...,n) pertencem a P Se uma atividade (xj ,yj) (j=1,2,...,n)pertencem a P e j (j=1,2,...,n)

são escalares não negativos tais que , então pertence a P, propriedade dos retornos de

variáveis de escala ou da convexidade

Para uma atividade (x,y) em P, qualquer atividade (x’,y’) com x’ x e y’ y esta incluído em P

Qualquer combinação linear das atividades em P pertencem a PLOGO:

0,1,,/),( jj

jj yyxxyxP

jjj yx ,

Modelo BCC (orientado input)

Modelo Envelope

0Min h

kikikio ixxh

0 jyyn

.,0 kk

:àsujeito

Modelo dos multiplicadores:

Modelo BCC(orientado a input)

Em que:uj é a importância relativa do output i;

u* é o fator de escala;yjk é o valor do output i para DMU k;vi é a importância relativa do input;xjk é o valor do input j para DMU k.

Modelo BCC (orientado output)

Modelo Envelope0Max h

kikikio ixx

00 jyyhn

.,0 kk

:àsujeito Em que:h0 é a medida radial de eficiência técnica;yi é o valor do output i;xj é o valor do input j;k é a importância da DMU k como referência para DMU 0

Modelo BCC(orientado a output)

Modelo dos Multiplicadores:

Em que:uj é a importância relativa do output i;

v* é o fator de escala;yjk é o valor do output i para DMU k;vi é a importância relativa do input;xjk é o valor do input j para DMU k.

Interpretação Gráfica

Interpretação Gráficaoutput’

kayyoutput jkjk ')'(Invariante a translações de outputs

Interpretação Gráfica

Interpretação Gráficaoutput

input’

Invariante a translações de inputskaxxinput ikik ')'(

Custo(inputs)

Capacidade(output)

Taxa de atendimento

(output)

Lead time(inputs)

Eficiência Técnica Relativa

94,62%100,00%100,00%

61,54%99,23%

80,93%100,00%

91,92%93,26%

0,00% 20,00% 40,00% 60,00% 80,00% 100,00% 120,00%

123456789

Eficiência

Custos

R$ 80,00

R$ 60,00

R$ 45,00

R$ 50,00

R$ 75,00

R$ 70,00

R$ 95,00

R$ 83,00

R$ 55,49

R$ 60,00

R$ 45,00

R$ 48,75

R$ 49,88

R$ 67,93

R$ 70,00

R$ 48,95

R$ 64,79

R$ 0,00 R$ 20,00 R$ 40,00 R$ 60,00 R$ 80,00 R$ 100,00

rneced

Taxa de atendimento

88,00%

90,00%

100,00%

60,00%

96,00%

60,00%

70,00%

89,50%

75,00%

93,01%

90,00%

100,00%

97,50%

96,74%

74,14%

70,00%

97,36%

80,42%

0,00% 20,00% 40,00% 60,00% 80,00% 100,00% 120,00%

Exemplo de Aplicaçãocapacidade

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

rneced

Peças

Benchmarks

69,92%

100,00%

25,00%

32,56%

20,69%

26,36%

52,12%

30,08%

100,00%

75,00%

67,44%

73,64%

79,31%

100,00%

47,88%

0,00% 20,00% 40,00% 60,00% 80,00% 100,00% 120,00%

Fornecedor 7

Fornecedor 3

Fornecedor 2

Capacidade Fornecedor 4(Alvo)=0,25x4000+0,75X3000=3250 peças

iii swsw

asujeito

kikikiio ixxsx

1min ,

jyysy j

kkjkjjo

.0 kk (15)

Modelo Aditivo

Modelo Envelope

Modelo Aditivo

Modelo dos Multiplicadores

a sujeito

livrevjwuiwv

kvyuxv

Em que:

uj é a importância relativa do output i;v* é o fator de escala;

yjk é o valor do output i para DMU k;vi é a importância relativa do input;xjk é o valor do input j para DMU k.

SBM (Slack Based Measure of Efficiency)

Medida de Eficiência baseado em Folgas

Fronteira Invertida

Fronteira Invertida:A fronteira invertida é composta pelas DMU

com as piores práticas gerenciais É uma avaliação pessimista troca os

inputs pelos outputs nos modelos originais

Fronteira Invertida

Fronteira Composta

Restrições aos pesos

Restrições Diretas aos Pesos

Regiões de Segurança Tipo I: Método Cone Ratio :

Regiões de Segurança Tipo II

Restrições aos Inputs e Outputs Virtuais

Restrições aos Inputs e Outputs VirtuaisCondições de viabilidade:

Avaliação da Eficiência dos Aeroportos Brasileiros com o Uso da Análise

Envoltória de Dados (DEA)Trabalho Apresentado no XLIII Simpósio Brasileiro de PESQUISA OPERACIONAL (2011);

Níssia Carvalho Rosa Bergiante

Universidade Federal Fluminense – Departamento de Ciência e Tecnologia

Rua Recife s/n, Jardim Bela Vista, 28890-000 Rio das Ostras, RJ, Brazil

nissia.rosa@gmail.com

João Carlos Correia Baptista Soares de Mello

Universidade Federal Fluminense – Departamento de Engenharia de Produção

Rua Passo da Patria, 156 – São Domingos, 24210-240 Niterói, RJ, Brazil

jcsmello@pesquisador.cnpq.br

Respício Antônio do Espírito Santo Jr.

Universidade Federal do Rio de Janeiro – Departamento de Engenharia de Transportes

Av. Athos da Silveira Ramos, 149 - Centro de Tecnologia - Cidade Universitária - Rio de Janeiro – RJ, CEP 21945-970 - Brasil respicio@poli.ufrj.br

Envoltória de Dados (DEA)Desde o anúncio da Copa do mundo de 2014 e das Olimpíadas de 2016, o Brasil encontra-se em foco no cenário mundial. Níssia et al. propõe (2011) uma avaliação de investimentos dos Aeroportos Brasileiros. O estudo aponta a urgente necessidade de revisão de estratégias e políticas de Investimento.

Investimento(inputs)

Demanda (2014)(outputs)

Demanda (2020)(outputs)

Envoltória de Dados (DEA)

Referências

Charnes, A., Cooper, W., W. e Rhodes, E. (1978), Measuring the Efficiency of Making Units. European Journal of Operational Research, 429-444.

Cooper,W. W., Seiford, L. M. e Tone, K.(1951) Data Envelopment Analysis: a comprehensive text with models, applications, references and DEA – solver software, Kluwer Academic Publisher.

Debreu, G., The Coefficient of Resource Utilization. Econometrica, vol. 19, nº 3, 273-292, 1951.

Mello, J. C. C. B. S., Meza, L. A., Gomes, E. G. e Neto, L. B.(2005), Curso de Análise de Envoltória de Dados. In: Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, 37. Gramado. Anais: Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional, 2520-2547.

Thanassoulis, E. (2003), Introduction to the theory and application of data envelopment analysis: a foundation text with integrated software (2), Kluwer Academic Publisher, 1-312, 2003.

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