Post on 30-Nov-2018
Minha história (formação, experiência com os calouros
dos cursos de Matemática, a análise de livros didáticos
aprovados pelo MEC)
Primeiro falso “princípio” observado:
Vale para um, vale para dois então vale sempre!
O esforço do MEC
O papel do livro didático
de texto de referência para único referencial
“Não tendo oportunidade e condições para aprimorar sua
formação e não dispondo de outros recursos para desen-
volver as práticas da sala de aula, os professores apóiam
-se quase exclusivamente nos livros didáticos que, muitas
vezes, são de qualidade insatisfatória”. (PCN (1998), p.21-22).
Meu ponto de vista: os cursos de Licenciatura deviam oportuni-
zar a prática de análise de livros didáticos.
Relato dos alunos do Mestrado Profissionalizante em Ensino de
Matemática da UFRGS.
Parece que os cursos de Licenciatura (pelo menos os do sul do
país) não preparam seus alunos para este tipo de trabalho.
Agravante: regularmente o prof. de escola pública é convidado a
escolher livro didático aprovado no PNLD.
Fazer um alerta aos professores de Escola Básica sobre
a realidade que, apesar do esforço do MEC, estamos hoje
enfrentando no país, no que diz respeito a frases encontra-
das em livros didáticos que,
- seja por sua má redação (ambíguas, imprecisas),
- seja pelos erros matemáticos que envolvem,
- seja pela falta de cuidado com o método matemático,
- seja pelo inadequado encaminhamento que dão ao assunto,
são precursoras de “vícios” (relacionados a conteúdos de ma-
temática) que se reconhece em alunos calouros de cursos de
ciências exatas (entre eles, principalmente e mais gravemente,
de matemática)
Objetivo desta palestra:
- É um capítulo do trabalho de dissertação de Rodrigo
Schroeder e faz parte do trabalho de Iniciação Científica
de Julia Domingues. (Implementação de uma seq.did.)
Justificativa para a escolha do tema “funções”
-É fato que o conceito de função foi evoluindo/se expandindo
ao longo do tempo, e algumas frases e nomenclaturas foram
se mantendo. Com isto foram sendo geradas algumas incoe-
rências, em uma quantidade talvez maior do que em outros
conteúdos.
Exemplo: sobre variável dependente e independente:
•função constante: a relação constante entre variáveis é uma
função?
•as chamadas séries temporais (cotação do dólar, índice pluvio-
métrico) obviamente não registram dependência alguma com a
variável tempo.
- Aproveitando a coincidência de neste semestre estar lecionando
uma disciplina para 14 alunos do segundo semestre do curso de
Licenciatura (que ainda não fizeram Cálculo I):
Questão 1 (5 minutos) Complete, da forma mais precisa possí-
vel: Uma função (de um conjunto A em um conjunto B) é .......
Questão 2 Verifique se cada situação abaixo se encaixa como
exemplo de função, segundo a definição de função que você
Apresentou na Questão 1.
i) o dobro de cada número natural
ii) a tabela membros da família de Joana x idade de cada membro
iii) o conjunto dos pontos da curva ao lado (...)
iv) a cotação diária (ao fim do dia) do dólar ao longo do ano 2013
v) a correspondência que associa a cada racional x∈[12, 13] o
denominador da fração irredutível que o representa
vi) o diagrama (...)
Dois objetivos:
1. ver se a ideia de função que os alunos tinham em mente era ampla (ou se resumia a fórmulas)
- “...bijetora, onde cada elemento de A tem mais do que uma ima-
gem em B”;
- “É uma equação com variáveis, cujo resultado é um número real”
(daí a tabela da família não é função porque “não há variáveis”)
- “Não sei definir, mas imagino que seja como uma equação, uma
operação entre os conjuntos”, e, para todos os exemplos “sim”
- Um aluno respondeu com a ideia correta (“regra”), e outro definiu
efetivamente, usando par ordenado... mas (família): “sim, pela
minha definição, mas não há aqui a ideia de transformação de algo
em outra coisa, logo não é função.”
2. mostrar a eles que incoerências do autor consigo mesmo ocor-
rem (caso isto de fato ocorresse!). Algumas das respostas:
Vamos comentar algumas frases/ideias apresentadas em dois
livros didáticos aprovados no PNLD 2012 e compará-las com a
sequência didática por nós elaborada, concentrando-nos nos tó-
picos:
i) motivação para o estudo de função;
i) definição de função;
i) situações de contextualização forçada;
i) gráfico x esboço de gráfico de função;
i) definição de função Afim
i) igualdade de funções
i) ênfase no contradomínio
i) inversibilidade e função inversa.
A ideia de função
Esta ideia pode estar contemplada entre variáveis não nu-
méricas, em tabelas, em relações de causa e efeito, em
séries temporais, em especiais regras (que não necessaria-
mente são fórmulas), em fórmulas. E então, surge a
questão:
como podemos definir função de modo que todas estas
situações se tornem exemplos de função?
i) Como nos LD é motivado o conceito função:
Livro 2: já na motivação leva o aluno a pensar que uma função
só fica legitimada por uma fórmula, e todos os seis exercícios
propostos nesta motivação acabam sempre com uma
solicitação ao aluno de que seja explicitada uma fórmula para o
relacionamento entre as variáveis em questão (apesar de no
seu exemplo 4 apresentar uma série temporal)
Livro 1: “As funções, descrições algébricas da dependência entre
grandezas, podem, também, ser representadas graficamente, (...)”
- leva a crer que funções restringem-se a variáveis numéricas
- usa inadequadamente o termo “algébrica”, pois trabalha
com funções transcendentes
- como primeiro exercício propõe uma tabela que relaciona
estados e suas capitais, perguntando se o nome da capital
é função do nome do estado
Os autores de LD, em geral, não fazem uso da ideia de par
ordenado para definir função (“árida”, “abstrata”?). No entanto,
pecam ao envolver na definição de função termos imprecisos
matematicamente, tais como “lei”, “regra”, “associação”:
- Livro 2: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação
(ou correspondência) que associa a cada elemento de x∈A
um único elemento y∈B recebe o nome de função de A em B.
- Livro 1: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de
A em B é uma regra que indica como associar cada elemento
x ∈ A a um único elemento y ∈ B.
ii) Como nos LD é definido função:
- O que propomos: motivou-se o conceito de função com sete
atividades objetivando não deixar que se instalassem as idéias
de que uma função só fica legitimada quando encontramos uma
fórmula para ela, bem como a unicidade de tal fórmula (quando
ela existe).
Duas destas atividades:
x y
-1 -1
0 0
1 1
a) (...)
b) Você consegue determinar uma regra que
explique como a tabela foi gerada?
c) Existem outras regras que geram essa mesma
tabela?
Suponha que na cidade fictícia de Caxiapólis os índices plu-
viométricos nos 10 primeiros dias de um mês sejam dados
pela seguinte tabela:
Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
mm. 23 14 0 0 3 7 11 0 0 16
a) (...)
b) É possível estabelecer alguma relação entre a quantidade de
chuva que cai e a sequência de dias que vai transcorrendo? Em
outras palavras, existe alguma relação entre as grandezas tempo
(dia do mês) e a quantidade de chuva (em mm)? Justifique.
- Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função de A
em B é um conjunto f de pares ordenados do produto cartesiano
A x B que satisfaz as seguintes condições:
i) para todo x ∈ A existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ f
ii) não existem dois pares ordenados distintos de f com o mes-
mo primeiro elemento .
Nosso objetivo com as sete atividades motivadoras foi também
buscar uma característica comum a todas as situações: o fato
de todas as situações poderem ser representadas/registradas
por meio de pares ordenados (e que tabelas, diagramas, fórmu-
las não são uma característica comum), para então chegarmos à
Definição:
Vantagens desta definição:
- é precisa matematicamente;
- parece que o aluno se sente mais seguro para identificar quan-
do uma dada relação é função, independente de ser numérica ou
não.
Rodrigo: “Esta segurança foi possível ser sentida em uma turma
de primeiro ano do Curso Técnico em Fabricação Mecânica do
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Gran-
de do Sul. (Caxias do Sul)”
iii) Situações de contextualização forçada
Livro 1: Um cabeleireiro cobra R$ 12,00 pelo corte para clientes com
hora marcada e R$ 10,00 sem hora marcada. Ele atende por dia um
número fixo de 6 clientes com hora marcada e um número variável x de clientes sem hora marcada.
a) Escreva a fórmula matemática que fornece a quantia Q arreca-
dada por dia em função do número x. (Resp: Q=72+10x) (...)
A falta de discussão sobre o domínio descontextualiza a discussão,
confirmada pela resposta ao item (a), o que dá margem ao questio-
namento:
É possível que o cabeleireiro atenda, por exemplo, a 1000 clientes
em um único dia? (com duas possíveis respostas: sim e não). É verdade que, talvez, para o estudante, seja imperceptível essa
falta de cuidado... Mas se perguntássemos ao estudante qual se-
ria o número ideal de atendimentos em um dia, já estaríamos opor-
tunizando o conceito de domínio e de domínio contextual.
Livro 2: (situação análoga):
Uma pista de ciclismo tem marcações a cada 500 metros.
Enquanto um ciclista treina para uma prova, o técnico anota seu
desempenho. O resultado pode ser observado na tabela abaixo.
(x) Instante (min)
0
1
2
3
4
5
...
(y) Distância (m) 0
500
1000
1500
2000
2500
...
(...) A fórmula que relaciona y com x é y = 500x.
- Será que o ciclista não irá se cansar nunca?
- Ressalte-se aqui as reticências na tabela acima, que suge-
rem a continuidade eterna do desempenho do ciclista sempre
segundo a fórmula y = 500x!
Existem sim exemplos contextualizados bem enunciados:
Livro 2: Passageiros e preço da passagem:
Para fretar um ônibus de excursão de 40 lugares, paga-se ao
todo R$ 360,00. Essa despesa deverá ser igualmente repartida
entre os participantes.
Para achar a quantidade que cada um deverá desembolsar (y),
(...) número de passageiros (x).
A fórmula que relaciona y com x é y = 360/x (...)
O domínio embutido no enunciado aqui não dá margem a uma
interpretação errada pelo estudante!
iv) Gráfico x esboço de gráfico
Livro 1: “Vamos construir o gráfico da função dada por f(x) = 2x + 1.
Como, neste caso, D = IR, vamos escolher alguns valores arbitrá-
rios de x e determinar y: (...)” (aqui é construída uma tabela com
cinco valores atribuídos à variável independente)
“Agora o gráfico é o conjunto de todos os pontos (x, y), com x real
e y = 2x + 1, resultando na reta da figura abaixo. (...)”
Mais dois exemplos com domínio IR são apresentados e aborda-
dos de maneira análoga. O autor adota, na grande maioria das ve-
zes, a construção por meio de tabela, e a partir dela já “deduz” que
o gráfico é uma reta (ou uma parábola) só pelo fato de os cinco
pontos tabelados parecerem alinhados, sem qualquer discussão
maior (demonstração de que os infinitos pontos que formam o gráfi-
co estão efetivamente alinhados). Ressaltamos que aí criou-se a
chance para o vício de que o aluno, mais adiante, “deduza” que o
gráfico da função dada por f(x) = x^4 é também uma parábola!!
O autor do Livro 2 tornou-se, com o tempo, um pouco mais cuida-
doso: na edição de 2006 a receita apresentada para a construção
de um gráfico envolvia como terceiro passo :
Nenhum dos autores se arrisca a definir gráfico, e nenhum deles
faz distinção entre gráfico e esboço do gráfico, conduta preocupan-
te no que diz respeito à formação matemática do aluno:
Gráfico é o conjunto de todos os pares que formam a função,
E às vezes somos forçados a nos contentarmos com uma caricatu-
ra para o mesmo, o chamado esboço do gráfico da função.
“Ligamos os pontos construídos no passo anterior por meio de
uma curva, que é o próprio gráfico da função.”
Na edição de 2012, trocou pela frase (vaga, mas correta)
“Quando o domínio não é finito, podemos construir uma tabela e
obter alguns pontos do gráfico; entretanto, o gráfico da função se-
rá constituído por infinitos pontos.”
- O que propomos: oportunizar ao aluno situações nas quais
fica evidente que várias informações podem se perder ao se
tentar desenhar o gráfico de uma função no plano cartesiano,
motivando a introdução da nomenclatura esboço de gráfico e
ressaltando a diferença entre gráfico e esboço do gráfico.
Por exemplo, convidar o aluno a refletir sobre representar os
gráficos das funções f:IR IR e g:QIR, dadas por
f(x) = 3x = g(x).
Os esboços possuem diferenças imperceptíveis a olho nú, mas
certamente os gráficos são distintos.
Ressaltamos que nenhum autor faz uso de alguma função cujo
domínio é o conjunto Q dos números racionais.
v) Definição de função Afim
Livro 1: Uma função f: IR IR chama-se função afim quando
existem dois números reais a e b tais que f(x) = ax + b, para todo
x ∈ IR.
Livro 2: Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim,
qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) =
ax + b, em que a e b são números reais dados e a ≠ 0.
- não uniformidade: a ≠ 0; (reta não vertical não necessariamen-
te é gráfico de função afim...);
-“dada por”: então f(x)=(x^3+x)/ (x^2 +1) não é afim!
- domínio para ambos os autores é IR, porém ambos apresen-
tam como exemplos situações contextualizadas que não têm IR
para domínio:
Livro 2: “Antônio Carlos pegou um táxi para ir à casa de sua
namorada que fica a 15 km de distância. O valor cobrado
engloba o preço da parcela fixa (bandeirada) de R$ 4,00 mais
R$ 1,60 por quilômetro rodado.(...)
Para encontrar a fórmula que expressa p(x) em função de x,
fazemos: p(x) = 1,60x + 4,00 que é um exemplo de função
polinomial do 1º grau ou função afim.”
Livro 1: “Um motociclista percorre uma estrada movimentando-se
de acordo com a função s(t)=100t-50, (s(t)=posição) (...)
A função s(t)=100t-50 é uma função afim (...)”
O agravante no Livro 1 é o autor anteriormente afirmar: “... uma
função consta de três componentes: domínio, contradomínio e lei
de correspondência.”
(Ressalto: nenhum dos autores discute o que são funções iguais.)
O que propomos de definição:
Uma função f: IR → IR que pode ser escrita na forma f(x) = ax + b,
onde a e b são constantes reais, é chamada Função Afim.
Uma função f: A → IR, com A IR, que pode ser escrita na forma
f(x) = ax + b, onde a e b são constantes reais, é chamada Função
do tipo Afim.
Nenhum dos autores aborda “Quando é que duas funções são
iguais?”, mas
Livro 1: “... uma função consta de três componentes: domínio,
contra-domínio e lei de correspondência.”
vi) Igualdade de funções
A frase acima sugere que uma função só fica univocamente deter-
minada a partir da terna (domínio, contradomínio, lei), o que impli-
ca que as funções que só diferem pelo contradomínio
f: Z → IR e g: Z → 2Z com com f(x) = 2x = g(x) são distintas.
Para refletir: Será que realmente queremos que as funções f e g,
cujos gráficos são formados exatamente pelos mesmos pares or-
denados, sejam funções diferentes, a tal ponto de, por exemplo,
uma ser inversível e a outra não?
- Voltando às funções f: Z → IR e g: Z → 2 Z com com
f(x)=2x =g(x), se pensamos na essência da ideia de função, diríamos apenas que, qualquer uma delas está associando a cada número inteiro o seu dobro, e ressaltamos que esta maneira de falar e fazer aparecer funções é tão natural quanto os exemplos do táxi ou do ciclista, todos não destacando o contradomínio...
vii) A ênfase dada ao contradomínio
-Ressaltamos que em ambos os livros é definida a função expo-
nencial como uma função f: IR → IR*+ (fazendo repentinamente
voltar à cena o CD, depois de tanto calcarem em "gráficos“, onde
o CD não se faz explícito...)
- Consideramos um mal encaminhamento para FRVR no Ensino
Médio a ênfase dada ao CD.
E é aqui que o que propomos se distancia bastante, eu diria,
do que é normalmente tratado nos LD de EM:
se o objetivo do estudo de funções no EM, a partir de um certo
momento, é estudar FRVR, quando então situações contextuali-
zadas são estudadas sem qualquer menção ao CD, então por
que nesta primeira abordagem de FRVR não considerarmos a-
penas funções da forma f : A → IR onde AIR?
Vantagens:
- coerência com a definição via conjunto de pares ordenados;
- nomenclatura aliviada (sobrejetividade)
- ênfase apenas no domínio e no conjunto imagem
Ao tratarem da função inversa, em ambos os livros são introdu-
zidos antes os conceitos de função injetiva, sobrejetiva e bijeti-
va. Observa-se que esta nomenclatura se deve principalmente à
forma com que os autores definem função inversa.
Livro 1: Dada uma função f: A B, bijetiva, denomina-se fun-
ção inversa de f a função g: B A tal que (...)
O que propomos (em consonância com a definição de função
como conjunto de pares ordenados e com a falta de`ênfase no
CD): motivamos a inversibilidade de uma função a partir da
ideia que os alunos trazem de operação inversa:
viii) Inversibilidade e função inversa.
Com isso, ambos os autores forçam a inversibilidade da função
exponencial, enfatizando o contradomínio (que, repentinamente,
é ressucitado!) f: IR → IR*+
Motivação: crescemos ouvindo falar que a operação “subtrair 3” é
a operação inversa da operação “somar 3”.
Na linguagem de funções: f(x) = x + 3 e g(x) = x – 3.
Com a linguagem de funções, é possível também mostrar que a
ação de subtrair 3 desmancha a ação de somar 3 e vice-versa:
de fato, para um valor a: f g
a → b = f(a) = a +3 → g(b) = b – 3 = a + 3 – 3 = a,
voltando assim ao valor inicial a. Ou seja: g desmancha a ação de f.
Analogamente, para um valor c: g f
c → d = g(c) = c - 3 → f(d) = d + 3 = c - 3 + 3 = c,
voltando assim ao valor inicial c. Logo: f desmancha a ação de g .
Na linguagem de funções dizemos também que duas funções f e
g são inversas uma da outra, se uma desmancha a ação da outra.
Mais adiante, seguindo esta ideia de “desmanchar a ação de uma
função”, reconhece-se que nem sempre desmanchar é possível,
aparecendo aí o conceito e a definição de função injetiva (exclusi-
vamente!) como condição necessária e também suficiente para u-
ma função ser inversível. Então os alunos são convidados a desmanchar a ação da função
f dada por f(x) = 2x + 5 desmanchando, em um primeiro momento,
as operações na ordem adequada, obtendo assim para função
inversa a função g dada por g(x)=(x-5)/2.
Em um segundo momento, quando também nos dedicamos a in-
verter funções mais complexas, usamos a condição de que para
uma função f injetora (e portanto inversível), sua inversa g deve
satisfazer a condição f(g(x))=x. Então,ainda utilizando o exemplo
acima:
f(x) = 2x + 5 x= f(g(x))= 2 g(x) + 5, ou seja, x=2 g(x) + 5
e portanto g(x)=(x-5)/2.
Motivo de surpresa para nós, esta última condição foi mais u-
sada pelos alunos do que imaginávamos.
Acreditamos que isto é devido ao fato de muitos alunos
terem se sentido mais seguros com o que, afinal, se
assemelha a uma receita, principalmente para aquelas
funções que tinham mais operações envolvidas em sua
fórmula.
Convidamos vocês a compararem este procedimento com a
receita usualmente apresentada nos LD para inverter uma
função, onde nada é explicado, por exemplo, a mágica “agora
troque x por y”.
Mais uma vez, à Comissão Organizadora e aos participantes
do Simpósio,...