Post on 07-Dec-2014
Curto-Circuitos Simétricos
IV Componentes Simétricos
4.1 Análise por Componentes Simétricos
1918 Dr. Fortescue apresentou um trabalho intitulado:
"Método de Componentes Simétricos aplicado a
solução de circuitos polifásicos",
desde então largamente usado em sistemas
desiquilibrados, CC entre uma e duas fases.
De acordo com o teorema um sistema trifásico
desequilibrado pode ser subtituido por três sistemas
equilibrados de fasores:
Componentes de sequência positiva (+): 3
fasores iguais em módulo, defasados de 120o,
tendo a mesma seq. de fase original (abc);
Componentes de sequência negativa (-): 3
fasores iguais em módulo, defasados de 120o, seq.
de fase oposta a original (abc);
Componentes de sequência zero (0): 3 fasores
iguais em módulo com defasagem de 0o entre si.
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Curto-Circuitos Simétricos
Exemplificando, Va, Vb e Vc podem ser representados
por:
4.2 Operadores
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Curto-Circuitos Simétricos
Operador j
Operador a = 1120o = 1ej2/3 = -0,5 + j0,866
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Curto-Circuitos Simétricos 38
Curto-Circuitos Simétricos
4.3 Comp. Simétricos de Fasores Assimétricos
Va = Va1 + Va2 + Va0 (4.1)
Vb = Vb1 + Vb2 + Vb0 (4.2)
Vc = Vc1 + Vc2 + Vc0 (4.3)
Usando a e as figuras:
Vb1 = a2.Va1 Vc1 = a.Va1 a = 1120o
Vb2 = a.Va2 Vc2 = a2.Va2 a2 = 1240o
Vb0 = Va0 Vc0 = Va0
Substituindo:
Va = Va1 + Va2 + Va0 (4.5)
Vb = a2Va1 + aVa2 + Va0 (4.6)
Vc = aVa1 +a2Va2 + Va0 (4.7)
Matricialmente:
Va 1 1 1 Va0
Vb = 1 a2 a Va1 (4.8)
Vc 1 a a2 Va2
A
1 1 1 1 1 1
A = 1 a2 a A-1 = 1/3 1 a a2
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
1 a a2 1 a2 a
(4.9) (4.10)
Pré-multiplicando (4.8) por A-1:
Va0 1 1 1 Va
Va1 = 1/3 1 a a2 Vb (4.11)
Va2 1 a2 a Vc
Desenvolvendo:
Va0 = 1/3(Va + Vb + Vc) (4.12)
Va1 = 1/3(Va + aVb + a2Vc) (4.13)
Va2 = 1/3(Va + a2Vb + aVc) (4.14)
Os demais valores de Vb0, Vc0, Vb1, Vc1, Vb2 e Vc2 são
obtidos pelas equações anteriores.
Observações importantes:
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
Para circuitos trifásicos equilibrados não há
componente de seqüência zero.
As equações (4.12) ... (4.14) podem ser resolvidas
gráfica ou analiticamente. Quando representam
correntes:
Ia0 = 1/3(Ia + Ib + Ic) (4.15)
Ia1 = 1/3(Ia + aIb + a2Ic) (4.16)
Ia2 = 1/3(Ia + a2Ib + aIc) (4.17)
Num sistema trifásico com condutor neutro:
In = Ia + Ib + Ic Ia0 = 1/3In In = 3Ia0 (4.18)
Quando não há retorno In = 0 correntes de
seqüência 0 são nulos (carga ligada em não tem
corrente de seqüência nula).
4.4 Potência em termos de Componentes Simétricos
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
N = P + jQ = VaIa* + VbIb* + VcIc* (4.19)
(potência em termos de tensão e corrente de fase)
Matricialmente:
N = [ Va Vb Vc ] Ia * = Va T Ia * (4.20)
Ib Vb Ib
Ic Vc Ic
N = VLt.IL* VL = A Va0 IL = A Ia0
Va1 Ia1
Va2 Ia2
Assim:
(4.21)
Da álgebra matricial:
a e a2 conjugados
Assim:
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
[V]T At = A A*
N = [ Va0 Va1 Va2 ] 1 1 1 1 1 1 Ia0 *
1 a2 a 1 a a2 Ia1
1 a a2 1 a2 a Ia2 (4.22)
3 0 0
0 3 0 = 3
0 0 3
N = 3 [ Va0 Va1 Va2 ] Ia0 *
Ia1
Ia2
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
4.5 Componentes Simétricos das Impedâncias
4.5.1 Caso Geral
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
Matricialmente:
Va Zaa Mab Mac Ia
Vb = Mab Zbb Mbc Ib Va = ZaaIa + MabIb + MacIc
Vc Mca Mcb Zcc Ic
[ Vp ] = [ Zpp ] [ Ip]
[ Vc ] = [ Zcc ] [ Ic ]
?
SEL 184 PAE m.o.
VC IC
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Curto-Circuitos Simétricos
Desenvolvendo:
4.5.2 Circuito Equilibrado
Para as três fases equilibradas:
Zaa = Zbb = Zcc = Z Mab = Mba = Mcb = Mbc = Mac = M
Então:
Resolvendo:
[ Zcc ] = (Z + 2M) 0 0 a matriz se
0 (Z - M) 0 DIAGONALIZOU!!!
0 0 (Z - M)
"as quantidades de seqüência não estão acopladas
mutuamente"
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
[ Zcc ] = Z0 0 0 Z0 = Z + 2M
0 Z1 0 Z1 = Z - M
0 0 Z2 Z2 = Z - M
V0 = Z0I0
V1 = Z1I1
V2 = Z2I2
Significado Físico:
Sistemas equilibrados circuitos independentes
de acoplamento;
Z0 = impedância de seqüência 0 (zero);
Z1 = impedância de seqüência (+);
Z2 = impedância de seqüência (-); e
fem. dos geradores é só de seq. (+).
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
Circuitos equivalentes:
Caso a rede seja desequilibrada haverá
acoplamento entre os circuitos.
4.6 Impedância de Seqüência dos Componentes do
Sistema
4.6.1 Linhas Aéreas e Cabos :
Z0 = Z + 2M Z0 > Z1 = Z2
Z1 = Z - M
Z2 = Z - M
4.6.2 Transformadores :
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
Z1 = Z2 deslocamento angular oposto, e
Z0 depende da conexão dos enrolamentos
e forma do núcleo.
Diagrama equivalente de seq. 0 para trafos
com 2 enrolamentos:
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
Exercício
Determine o circuito de seq. 0 do sistema:
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
Transformador de 3 enrolamentos:
Exemplo:
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
4.6.3 Máquinas Rotativas :
Z1 Z2
a) Impedância de seq. (+)
Toma-se o valor subtransitório ou
síncrono (conforme a natureza do
problema).
b) Impedância de seq. (-)
É dada pela média das reatâncias
subtransitórias x''d e x''q:
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
Diagrama do circuito de um gerador em vazio aterrado
através de uma impedância:
Diagrama de Seqüências:
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
* as tensões geradas são apenas de seq. + visto que o
gerador é projetado para fornecer tensões trifásicas.
V Análises de Faltas Assimétricas
5.1 Falta Fase-Terra
grau de incidência: 70%
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
ZO, Z1, Z2: impedâncias do sistema, visto a
partir do ponto de defeito;
Ea, Eb, Ec: tensões equivalentes – f.e.m. de
seq. Positiva.
a) Condições no ponto de falta :
Va = ZfIa Ib = 0 Ic = 0
desprezam-se as correntes de carga.
a1) Correntes:
Ia0 = Ia1 = Ia2 = 1/3 Ia
a2) Tensões:
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
Retomando Va = Zf.Ia
Tirando Ia:
corrente na fase A.
As componentes de corrente serão:
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
Diagrama:
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
5.2 Falta entre duas linhas
grau de incidência: 15%
a) Condições no ponto de falta:
Vb - Vc = ZfIb Ia = 0 Ib = -Ic
a1) Componentes simétricos da corrente:
Ia0 = 0 ( Ib0 = Ic0 = 0) Ia2 = -Ia1
a2) Componentes simétricos das tensões:
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
Analogamente
Usando expressões análogas para Vb e Vc e
partindo de Vb - Vc = IbZf, chegamos a:
A corrente de falta será:
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
Circuito equivalente: o circuito de seqüência 0 (zero)
não é utilizado (não haverá circulação de corrente
de neutro no gerador).
5.3 Falta entre duas linhas e terra
grau de incidência: 10%
a) Condições no ponto de falta:
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
Ia = 0 Vb = Vc = ZfIf Ib + Ic = If
a1) Componentes simétricos da tensão
a2) Componentes simétricos das correntes
Partindo de Vb = Vc = IfZf e fazendo algumas
substituições, chegamos a:
A corrente de falta será: In = Ib + Ic = 3Ia0
Interligação dos circuitos:
SEL 184 PAE m.o.
para Zf = 0
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Curto-Circuitos Simétricos
LIGAÇÕES DOS CIRCUITOS PARA OS VÁRIOS TIPOS DE FALTAS
Falta trifásica
Falta entre duas linhas
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
Falta linha-terra
Falta entre duas
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
linhas-terra
5.4 Defasagem em trafos Y-
Sob condições de equilíbrio – tensões e correntes no
primário e secundário não estão em fase.
Normalmente se faz o cálculo de V e I sem
considerar a defasagem. Se for importante ela
deverá ser considerada posteriormente. Ex: cálculo
das contribuições das máquinas para o curto.
a) Métodos normalizados de designação de terminais
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
Terminal onde a corrente entra na alta tensão: H1
Terminal onde a corrente sai na baixa tensão: X1
Ip e Is estão em fase
Se o sentido de Is fosse oposto Ip e Is estariam defasados
de 180º.
b) Construção do diagrama de tensões para
transformadores trifásicos
Bobinas dispostas paralelamente são acopladas
magneticamente por estarem enroladas no mesmo núcleo.
Y an BC (CB)
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
bn CA (AC)cn AB (BA)
A conclusão anterior também vale para os
componentes simétricos:
Como no caso anterior: Va1 adiantado 300 de VB1
VA1 adiantado 900 de Va1
VA1 jVa1
VB1 jVb1
VC1 jVc1
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
Então: VA2 = -jVa2VB2 = -jVb2 VC2 = -jVc2
o mesmo ocorre para as correntes:
IA1 = jIa1 (SEQ. +)
IA2 = -jIa2 ... (etc...)
Observações:
Essas relações são para as seqüências de fase
descritas. Trocando-se as fases a e c no Y:
VA1 = -jVa1 IA1 = -jIa1
VA2 = +jVa2 IA2 = +jIa2
Os trafos YY e são ligados de maneira que a
defasagem entre as tensões e correntes seja 00 ou
1800.
SEL 184 PAE m.o.
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Curto-Circuitos Simétricos
Ver ex. 13.2, pág. 253, Stevenson.
SEL 184 PAE m.o.
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Exercícios
Anexos
Exercícios
Exercício 1:
Um gerador trifásico de 30 MVA, 13,8 kV, possui uma reatância subtransitória de 15%. Ele alimenta dois motores através de uma LT com dois trafos nas extremidades, conforme diagrama unifilar. Os valores nominais dos motores são 20 e 10 MVA, ambos com 20% de reatância subtransitória. Os trafos trifásicos são ambos de 35 MVA 13,2 - 115Y (kV), com reatância de dispersão de 10%. A reatância em série da LT é 80 . Faça o diagrama de reatâncias com todos os valores em pu. Escolha os valores nominais do gerador como base do circuito do próprio gerador.
Exercícios
SOLUÇÃO
Gerador Síncrono
Base VbaseG = 13,8 kV
Sbase = 30 MVA
X" = 0,15 p.u. já está na própria base
Transformadores 1 e 2
Basevelha VvelhabaseT = 13,2 kV
SvelhabaseT = 35 MVA
Basenova VnovabaseT = 13,8 kV
SnovabaseT = 30 MVA
Obs: quando o valor da reatância de um transformador
é dado em p.u. o valor em p.u. é o mesmo tanto
para o lado de alta ou baixa tensão.
Exercícios
Linha de Transmissão (LM)
Cálculo da tensão base no nível de tensão da linha de
transmissão. Pela relação do transformador T1, tem-
se:
Motores Síncronos 1 e 2
Cálculo da tensão base no nível de tensão do motor
síncrono.
Fazendo a mudança de base:
Diagrama de reatâncias:
Exercícios
Exercício 2:
Fazer o circuito de seq. (0) do diagrama unifilar:
Exercícios
Exercícios
Exercício 3:
Esquematize o circuito de seq. zero para o sistema abaixo.
Considere que as reatâncias de seq. zero dos geradores e
motores valem 0,05 p. u.. Os reatores para a limitação de
corrente valem 2,0 . A reatância de seq. zero da L. T. é de
250 .
Exercícios
Exercício 4:
Desenhe os circuitos de impedância de seqüência negativa e de seqüência zero para o sistema de potência da figura abaixo. Dê os valores de todas as reatâncias em p. u. numa base de 30000 KVA, 6.9 KV no circuito do gerador 1. Assinale os circuitos de maneira correspondente ao diagrama unifilar. Os neutros dos geradores 1 e 2 estão ligados à terra através de reatores limitadores de corrente com reatância de 5%, cada qual tendo como base os valores da máquina à qual estão ligados. Cada gerador possui reatâncias de seqüências negativa e positiva de 15%, respectivamente, com base em seus próprios valores nominais. A reatância de seqüência zero da linha de transmissão é 250 de B a C e 210 de C a E.
1) Seqüência negativa:
Exercícios
2) Seqüência zero:
Exercícios
Exercício 5:
Desenhe os circuitos de seqüência negativa e de seqüência
zero para o sistema de potência da figura abaixo. Escolha
uma base de 50000 KVA, 138 KV na linha de transmissão de
40 e dê as reatâncias em p. u.. A reatância de seqüência
negativa de cada máquina síncrona é igual à respectiva
reatância subtransitória. A reatância de seqüência zero de
cada máquina é de 8% com base nos próprios valores
nominais. Os neutros das máquinas estão ligados à terra
através de reatores cujas reatâncias valem 5%, com base
nos valores nominais das respectivas máquinas. Suponha
que as reatâncias de seqüência zero das linhas de
transmissão valem 300% das respectivas reatâncias de
seqüência positiva.
Exercícios
Exercícios
Exercícios
Exercício 6:
Uma máquina síncrona “A” com tensão de 1 p.u., está
interligada a outra “B”, com a mesma tensão, conforme a
figura. Pede-se a corrente de curto, para um defeito fase-
fase-terra, no ponto “P”.
São dados:
- Reatância (p.u.):
Máquina “A”: x1 = 0,3; x2 = 0,2; x0 = 0,05
Máquina “B”: x1 = 0,25; x2 = 0,15; x0 = 0,03
LT1 e LT2: x1 = x2 = 0,3; x0 = 0,7
T1: x1 = x2 = x0 = 0,12
T2: x1 = x2 = x0 = 0,1
Exercícios
Exercício 7:
Dois geradores trifásicos, de 11 kV e 50 MVA são conectados
em paralelo e alimentam uma subestação através de um
alimentador tendo uma impedância de (0,40 + j0,70) para
seqüências (+) e (-) e (0,70 + j3) para a componente de
seqüência (0).
As reatâncias de seq. (+), (-) e (0) dos geradores são 0,6 ;
0,4 e 0,2 respectivamente.
As máquinas são aterradas através de uma resistência de 0,2
. Calcular a corrente de falta em cada uma das fases e a
tensão entre a terra e o ponto estrela dos geradores, se uma
falta à terra ocorre simultaneamente nas fases “b” e “c” da
subestação.
Exercícios
Exercício 8:
Uma dupla falta à terra ocorre no ponto “B” do sistema.
Determinar o valor simétrico inicial da corrente de falta, das
tensões no ponto de falta e as correntes de falta resultantes
em todas as fases do sistema.
Considerar a contribuição dos motores “M” e “N”.
Exercícios
Exercício 9:
Gerador G: 7500 KVA; 4,16 kV; x” = 10%; x2 = 10%; x0 = 5%
Transformador T:3 trafos monofásicos de 2500 KVA;2400/600 V; xdisp = 10%
Motores:Tensão nominal de 600V; = 89,5% (plena carga, com Unom e fp = 1,0);Potência total de saída dos motores: 6000 HP;x” = 20%; x2 = 20%; x0 = 4% (cada motor);
Carga alimentada no momento de curto fase-terra na baixa tensão do trafo: cada um alimenta uma parte igual de uma carga total de 5000 HP, fp = 85% em atraso e = 88%.Considerar os motores como sendo um único. Pede-se: Os circuitos de seqüência, as correntes entre:
- trafo e falta;- trafo e gerador;- motor e a falta.
OBS: reatores de aterramento dos motores = 2%.
Exercícios
Exercício 10:
Com uma falta à terra no ponto “F” do sistema mostrado,
determinar as tensões através dos enrolamentos do
gerador, do banco de transformadores e a tensão fase-terra
no ponto de falta (F).
Desenhar um diagrama trifásico mostrando a corrente em
cada uma das fases na linha de transmissão, nos terminais
do gerador e nos enrolamentos em do transformador e do
gerador.
Desprezar:
- resistência;
- corrente de excitação no transformador e
- a capacitância da linha.
Sistema:
Exercícios
Dados:
Gerador trifásico – 30 MVA, 13,8 kV
X1 = 35% X2 = 50%
(baseados nos valores nominais do gerador)
Transformador trifásico – 3 unid. monof. de 10 MVA cada.
X1 = X2 = X0 = 10%
Neutro do Y está aterrado com uma reatância de 15.
Linha de transmissão:
L = 25 milhas
X1 = X2 = 0,8 (/milha)
X0 = 2,7 (/milha)
Tensão na LT antes da falta: 115 kV