Post on 25-Jul-2015
Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Curso de Álgebra LinearMatriz de uma Transformação Linear
Prof. Esp.: Thiago VedoVatto
Universidade Federal de Goiás
Campus Jataí
Coordenação de Matemática
24 de novembro de 2011
Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1Parte I
Matriz de uma Transformação Linear
Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
Objetivos da Aula
Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
De�nição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n
respectivamente
. Consideremos uma transformação linear
F : U → V . Dadas as bases B = {u1, . . . , un} de U e
C = {v1, . . . , vm} de V , então cada um dos vetores
F (u1), . . . ,F (un) está em V e consequentemente é combinação
linear da base C:
F (u1) = α11v1 + . . . + αm1vm...
.... . .
...
F (un) = α1nv1 + . . . + αmnvm
Deste modo a matriz m × n sobre R:α11 . . . α1n
.... . .
...
αm1 . . . αmn
é chamada Matriz de F em relação às bases B e C. Usaremos
para indicar essa matriz a notação (F )B,C
Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
De�nição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n
respectivamente. Consideremos uma transformação linear
F : U → V
. Dadas as bases B = {u1, . . . , un} de U e
C = {v1, . . . , vm} de V , então cada um dos vetores
F (u1), . . . ,F (un) está em V e consequentemente é combinação
linear da base C:
F (u1) = α11v1 + . . . + αm1vm...
.... . .
...
F (un) = α1nv1 + . . . + αmnvm
Deste modo a matriz m × n sobre R:α11 . . . α1n
.... . .
...
αm1 . . . αmn
é chamada Matriz de F em relação às bases B e C. Usaremos
para indicar essa matriz a notação (F )B,C
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Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
De�nição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n
respectivamente. Consideremos uma transformação linear
F : U → V . Dadas as bases B = {u1, . . . , un} de U e
C = {v1, . . . , vm} de V
, então cada um dos vetores
F (u1), . . . ,F (un) está em V e consequentemente é combinação
linear da base C:
F (u1) = α11v1 + . . . + αm1vm...
.... . .
...
F (un) = α1nv1 + . . . + αmnvm
Deste modo a matriz m × n sobre R:α11 . . . α1n
.... . .
...
αm1 . . . αmn
é chamada Matriz de F em relação às bases B e C. Usaremos
para indicar essa matriz a notação (F )B,C
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Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
De�nição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n
respectivamente. Consideremos uma transformação linear
F : U → V . Dadas as bases B = {u1, . . . , un} de U e
C = {v1, . . . , vm} de V , então cada um dos vetores
F (u1), . . . ,F (un) está em V e consequentemente é combinação
linear da base C
:
F (u1) = α11v1 + . . . + αm1vm...
.... . .
...
F (un) = α1nv1 + . . . + αmnvm
Deste modo a matriz m × n sobre R:α11 . . . α1n
.... . .
...
αm1 . . . αmn
é chamada Matriz de F em relação às bases B e C. Usaremos
para indicar essa matriz a notação (F )B,C
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ObservaçõesExemplo 1
De�nição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n
respectivamente. Consideremos uma transformação linear
F : U → V . Dadas as bases B = {u1, . . . , un} de U e
C = {v1, . . . , vm} de V , então cada um dos vetores
F (u1), . . . ,F (un) está em V e consequentemente é combinação
linear da base C:
F (u1) = α11v1 + . . . + αm1vm...
.... . .
...
F (un) = α1nv1 + . . . + αmnvm
Deste modo a matriz m × n sobre R:α11 . . . α1n
.... . .
...
αm1 . . . αmn
é chamada Matriz de F em relação às bases B e C. Usaremos
para indicar essa matriz a notação (F )B,C
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Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
De�nição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n
respectivamente. Consideremos uma transformação linear
F : U → V . Dadas as bases B = {u1, . . . , un} de U e
C = {v1, . . . , vm} de V , então cada um dos vetores
F (u1), . . . ,F (un) está em V e consequentemente é combinação
linear da base C:
F (u1) = α11v1 + . . . + αm1vm...
.... . .
...
F (un) = α1nv1 + . . . + αmnvm
Deste modo a matriz m × n sobre R
:α11 . . . α1n
.... . .
...
αm1 . . . αmn
é chamada Matriz de F em relação às bases B e C. Usaremos
para indicar essa matriz a notação (F )B,C
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ObservaçõesExemplo 1
De�nição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n
respectivamente. Consideremos uma transformação linear
F : U → V . Dadas as bases B = {u1, . . . , un} de U e
C = {v1, . . . , vm} de V , então cada um dos vetores
F (u1), . . . ,F (un) está em V e consequentemente é combinação
linear da base C:
F (u1) = α11v1 + . . . + αm1vm...
.... . .
...
F (un) = α1nv1 + . . . + αmnvm
Deste modo a matriz m × n sobre R:α11 . . . α1n
.... . .
...
αm1 . . . αmn
é chamada Matriz de F em relação às bases B e C. Usaremos
para indicar essa matriz a notação (F )B,C
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ObservaçõesExemplo 1
De�nição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n
respectivamente. Consideremos uma transformação linear
F : U → V . Dadas as bases B = {u1, . . . , un} de U e
C = {v1, . . . , vm} de V , então cada um dos vetores
F (u1), . . . ,F (un) está em V e consequentemente é combinação
linear da base C:
F (u1) = α11v1 + . . . + αm1vm...
.... . .
...
F (un) = α1nv1 + . . . + αmnvm
Deste modo a matriz m × n sobre R:α11 . . . α1n
.... . .
...
αm1 . . . αmn
é chamada Matriz de F em relação às bases B e C
. Usaremos
para indicar essa matriz a notação (F )B,C
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ObservaçõesExemplo 1
De�nição
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n
respectivamente. Consideremos uma transformação linear
F : U → V . Dadas as bases B = {u1, . . . , un} de U e
C = {v1, . . . , vm} de V , então cada um dos vetores
F (u1), . . . ,F (un) está em V e consequentemente é combinação
linear da base C:
F (u1) = α11v1 + . . . + αm1vm...
.... . .
...
F (un) = α1nv1 + . . . + αmnvm
Deste modo a matriz m × n sobre R:α11 . . . α1n
.... . .
...
αm1 . . . αmn
é chamada Matriz de F em relação às bases B e C. Usaremos
para indicar essa matriz a notação (F )B,C
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Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
I Se F é um operador linear e considerarmos B=C, então
diremos apenas matriz de F em relação à base B para indicar
a matriz acima de�nida e usaremos a notação (F )B para
representá-la;
I Sempre que não haja dúvidas quanto ao par de bases que
estamos considerando escreveremos apenas (F ) em relação a
esse par de bases.
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ObservaçõesExemplo 1
I Se F é um operador linear e considerarmos B=C, então
diremos apenas matriz de F em relação à base B para indicar
a matriz acima de�nida e usaremos a notação (F )B para
representá-la;
I Sempre que não haja dúvidas quanto ao par de bases que
estamos considerando escreveremos apenas (F ) em relação a
esse par de bases.
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Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear)
Considere F : R3 → R2
F (x , y , z) = (x + y , y + z)
Qual é a matriz de F em relação às bases:
B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} eC = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?
Primeiramente veri�quemos os valores de F (u1), F (u2) e F (u3).
F (1, 2, 3) = (3, 5)
= − 1(1, 0) + 1(4, 5)
F (1, 2, 0) = (3, 2)
=7
5(1, 0) +
2
5(4, 5)
F (1, 0, 0) = (1, 0)
= 1(1, 0) + 0(4, 5)
Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos
vetores da base C .
Deste modo a Matriz da Transformação Linear
F em relação as bases B e C será:
(F )B,C =
(−1 7
51
1 25
0
)
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ObservaçõesExemplo 1
Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear)
Considere F : R3 → R2
F (x , y , z) = (x + y , y + z)
Qual é a matriz de F em relação às bases:
B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} eC = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?
Primeiramente veri�quemos os valores de F (u1), F (u2) e F (u3)
.
F (1, 2, 3) = (3, 5)
= − 1(1, 0) + 1(4, 5)
F (1, 2, 0) = (3, 2)
=7
5(1, 0) +
2
5(4, 5)
F (1, 0, 0) = (1, 0)
= 1(1, 0) + 0(4, 5)
Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos
vetores da base C .
Deste modo a Matriz da Transformação Linear
F em relação as bases B e C será:
(F )B,C =
(−1 7
51
1 25
0
)
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ObservaçõesExemplo 1
Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear)
Considere F : R3 → R2
F (x , y , z) = (x + y , y + z)
Qual é a matriz de F em relação às bases:
B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} eC = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?
Primeiramente veri�quemos os valores de F (u1), F (u2) e F (u3).
F (1, 2, 3) = (3, 5)
= − 1(1, 0) + 1(4, 5)
F (1, 2, 0) = (3, 2)
=7
5(1, 0) +
2
5(4, 5)
F (1, 0, 0) = (1, 0)
= 1(1, 0) + 0(4, 5)
Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos
vetores da base C .
Deste modo a Matriz da Transformação Linear
F em relação as bases B e C será:
(F )B,C =
(−1 7
51
1 25
0
)
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ObservaçõesExemplo 1
Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear)
Considere F : R3 → R2
F (x , y , z) = (x + y , y + z)
Qual é a matriz de F em relação às bases:
B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} eC = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?
Primeiramente veri�quemos os valores de F (u1), F (u2) e F (u3).
F (1, 2, 3) = (3, 5)
= − 1(1, 0) + 1(4, 5)
F (1, 2, 0) = (3, 2)
=7
5(1, 0) +
2
5(4, 5)
F (1, 0, 0) = (1, 0)
= 1(1, 0) + 0(4, 5)
Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos
vetores da base C .
Deste modo a Matriz da Transformação Linear
F em relação as bases B e C será:
(F )B,C =
(−1 7
51
1 25
0
)
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ObservaçõesExemplo 1
Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear)
Considere F : R3 → R2
F (x , y , z) = (x + y , y + z)
Qual é a matriz de F em relação às bases:
B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} eC = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?
Primeiramente veri�quemos os valores de F (u1), F (u2) e F (u3).
F (1, 2, 3) = (3, 5)
= − 1(1, 0) + 1(4, 5)
F (1, 2, 0) = (3, 2)
=7
5(1, 0) +
2
5(4, 5)
F (1, 0, 0) = (1, 0)
= 1(1, 0) + 0(4, 5)
Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos
vetores da base C .
Deste modo a Matriz da Transformação Linear
F em relação as bases B e C será:
(F )B,C =
(−1 7
51
1 25
0
)
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ObservaçõesExemplo 1
Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear)
Considere F : R3 → R2
F (x , y , z) = (x + y , y + z)
Qual é a matriz de F em relação às bases:
B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} eC = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?
Primeiramente veri�quemos os valores de F (u1), F (u2) e F (u3).
F (1, 2, 3) = (3, 5)
= − 1(1, 0) + 1(4, 5)
F (1, 2, 0) = (3, 2)
=7
5(1, 0) +
2
5(4, 5)
F (1, 0, 0) = (1, 0)
= 1(1, 0) + 0(4, 5)
Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos
vetores da base C
.
Deste modo a Matriz da Transformação Linear
F em relação as bases B e C será:
(F )B,C =
(−1 7
51
1 25
0
)
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ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(3, 5) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3
5y = 5
Cuja solução será x = −1 e y = 1.
Logo:
(3, 5) = −1(1, 0) + 1(4, 5)
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ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(3, 5) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3
5y = 5
Cuja solução será x = −1 e y = 1.
Logo:
(3, 5) = −1(1, 0) + 1(4, 5)
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ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(3, 5) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3
5y = 5
Cuja solução será x = −1 e y = 1.
Logo:
(3, 5) = −1(1, 0) + 1(4, 5)
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ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(3, 5) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3
5y = 5
Cuja solução será x = −1 e y = 1.
Logo:
(3, 5) = −1(1, 0) + 1(4, 5)
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ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(3, 5) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3
5y = 5
Cuja solução será x = −1 e y = 1.
Logo:
(3, 5) = −1(1, 0) + 1(4, 5)
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ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(3, 5) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3
5y = 5
Cuja solução será x = −1 e y = 1
.
Logo:
(3, 5) = −1(1, 0) + 1(4, 5)
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ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(3, 5) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3
5y = 5
Cuja solução será x = −1 e y = 1.
Logo:
(3, 5) = −1(1, 0) + 1(4, 5)
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ObservaçõesExemplo 1
Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear)
Considere F : R3 → R2
F (x , y , z) = (x + y , y + z)
Qual é a matriz de F em relação às bases:
B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} eC = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?
Primeiramente veri�quemos os valores de F (u1), F (u2) e F (u3).
F (1, 2, 3) = (3, 5) = − 1(1, 0) + 1(4, 5)
F (1, 2, 0) = (3, 2)
=7
5(1, 0) +
2
5(4, 5)
F (1, 0, 0) = (1, 0)
= 1(1, 0) + 0(4, 5)
Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos
vetores da base C .
Deste modo a Matriz da Transformação Linear
F em relação as bases B e C será:
(F )B,C =
(−1 7
51
1 25
0
)
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ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(3, 2) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3
5y = 2
Cuja solução será x = 75e y = 2
5.
Logo:
(3, 2) =7
5(1, 0) +
2
5(4, 5)
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Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(3, 2) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3
5y = 2
Cuja solução será x = 75e y = 2
5.
Logo:
(3, 2) =7
5(1, 0) +
2
5(4, 5)
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Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(3, 2) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3
5y = 2
Cuja solução será x = 75e y = 2
5.
Logo:
(3, 2) =7
5(1, 0) +
2
5(4, 5)
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Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(3, 2) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3
5y = 2
Cuja solução será x = 75e y = 2
5.
Logo:
(3, 2) =7
5(1, 0) +
2
5(4, 5)
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Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(3, 2) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3
5y = 2
Cuja solução será x = 75e y = 2
5.
Logo:
(3, 2) =7
5(1, 0) +
2
5(4, 5)
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Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(3, 2) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3
5y = 2
Cuja solução será x = 75e y = 2
5
.
Logo:
(3, 2) =7
5(1, 0) +
2
5(4, 5)
Álgebra Linear
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Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(3, 2) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3
5y = 2
Cuja solução será x = 75e y = 2
5.
Logo:
(3, 2) =7
5(1, 0) +
2
5(4, 5)
Álgebra Linear
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Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear)
Considere F : R3 → R2
F (x , y , z) = (x + y , y + z)
Qual é a matriz de F em relação às bases:
B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} eC = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?
Primeiramente veri�quemos os valores de F (u1), F (u2) e F (u3).
F (1, 2, 3) = (3, 5) = − 1(1, 0) + 1(4, 5)
F (1, 2, 0) = (3, 2) =7
5(1, 0) +
2
5(4, 5)
F (1, 0, 0) = (1, 0)
= 1(1, 0) + 0(4, 5)
Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos
vetores da base C .
Deste modo a Matriz da Transformação Linear
F em relação as bases B e C será:
(F )B,C =
(−1 7
51
1 25
0
)
Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(1, 0) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 1
5y = 0
Cuja solução será x = 1 e y = 0.
Logo:
(1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5)
Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(1, 0) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 1
5y = 0
Cuja solução será x = 1 e y = 0.
Logo:
(1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5)
Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(1, 0) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 1
5y = 0
Cuja solução será x = 1 e y = 0.
Logo:
(1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5)
Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(1, 0) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 1
5y = 0
Cuja solução será x = 1 e y = 0.
Logo:
(1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5)
Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(1, 0) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 1
5y = 0
Cuja solução será x = 1 e y = 0.
Logo:
(1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5)
Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(1, 0) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 1
5y = 0
Cuja solução será x = 1 e y = 0
.
Logo:
(1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5)
Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
Para tanto:
(1, 0) = x(1, 0) + y(4, 5)
= (x , 0) + (4y , 5y)
= (x + 4y , 5y)
Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 1
5y = 0
Cuja solução será x = 1 e y = 0.
Logo:
(1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5)
Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear)
Considere F : R3 → R2
F (x , y , z) = (x + y , y + z)
Qual é a matriz de F em relação às bases:
B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} eC = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?
Primeiramente veri�quemos os valores de F (u1), F (u2) e F (u3).
F (1, 2, 3) = (3, 5) = − 1(1, 0) + 1(4, 5)
F (1, 2, 0) = (3, 2) =7
5(1, 0) +
2
5(4, 5)
F (1, 0, 0) = (1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5)
Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos
vetores da base C .
Deste modo a Matriz da Transformação Linear
F em relação as bases B e C será:
(F )B,C =
(−1 7
51
1 25
0
)
Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Matriz de umaTransformaçãoLinear
ObservaçõesExemplo 1
Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear)
Considere F : R3 → R2
F (x , y , z) = (x + y , y + z)
Qual é a matriz de F em relação às bases:
B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} eC = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?
Primeiramente veri�quemos os valores de F (u1), F (u2) e F (u3).
F (1, 2, 3) = (3, 5) = − 1(1, 0) + 1(4, 5)
F (1, 2, 0) = (3, 2) =7
5(1, 0) +
2
5(4, 5)
F (1, 0, 0) = (1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5)
Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos
vetores da base C . Deste modo a Matriz da Transformação Linear
F em relação as bases B e C será:
(F )B,C =
(−1 7
51
1 25
0
)