Cupom Cambial

CUPOM CAMBIALCentro Educacional BM&FBOVESPAJosé Augusto Carvalho FilhoJunho 2013

• Motivação

• Racional por trás do Cupom

• Definição

• Convenções de Calendário

• Contrato Futuro de Cupom Cambial

• Interpolação

• Cálculo de Ajuste Diário

• Cupom Limpo versus Cupom Sujo

• FRA de DDI

Motivação

Definição

Motivação

• Negociação de taxa de juros externa em mercado local.

• Como o mercado atendia a tal demanda ?

Compra de Cupom Cambial = Compra Futuro de Dólar + Venda de Futuro de DI

Venda de Cupom Cambial = Venda Futuro de Dólar + Compra de Futuro de DI

Racional

Definição

Racional

Para entender o racional por trás do conceito do cupom, revisemos o conceito de termo de moedas:

Partimos com $1 de moeda local. Supor uma taxa de câmbio S(t) na data t e taxas de juros, local e estrangeira, r e re,

ambas expressas como continuamente compostas. Qual é o valor futuro F(t,T) desta taxa de câmbio numa data T ?

Para responder, basta lembrar que há dois caminhos básicos para obtermos uma taxa futura na data T.

Definição

Racional

Partimos com $1 de moeda local. Supor uma taxa de câmbio S(t) na data t e taxas de juros, local e estrangeira, r e re, ambas expressas como

continuamente compostas. Qual é o valor futuro F(t,T) desta taxa de câmbio numa data T ?

Cenário 1: Compra-se a moeda estrangeira em t e investimos na taxa estrangeira re até a data T.

Cenário 2: Investimos a moeda local à taxa de juros local r e, na data T, compramos a moeda estrangeira ao preço F(t,T).

Definição

Racional

Cenário 1: Compra-se a moeda estrangeira em t e investimos na taxa estrangeira re até a data T.

Nesse cenário, teremos o seguinte valor acumulado:

Definição

Racional

Cenário 2: Investimos a moeda local à taxa de juros local r e, na data T, compramos a moeda estrangeira ao preço F(t,T).

Nesse cenário, teremos o seguinte valor acumulado:

Definição

Racional

A fim que não haja aribragem, os valores obtidos na data T em ambos cenários deverá ser o mesmo:

Definição

Racional

Com esse racional, chegamos a conclusão de que o termo de moedas é dado pela seguinte expressão:

• S(t) é a taxa de câmbio à vista na data t,

• T é o vencimento,

• r é taxa de juros local e

• Re é a taxa de juros estrangeira.

Vale lembrar que assumimos que as taxas de juros eram continuamente compostas. No caso do termo (futuro) de dólar, consideramos que a taxa de juros local é composta com calendário 252 dias úteis e a taxa de juros americana é linear com calendário 360 dias corridos.

Definição

Racional

Com esse racional, chegamos a conclusão de que o termo de moedas é dado pela seguinte expressão:

• S(t) é a taxa de câmbio à vista na data t,

• T é o vencimento,

• r é taxa de juros local e

• Re é a taxa de juros estrangeira.

Portanto, o termo de taxa de câmbio é composto por uma variável de preço do próprio câmbio, como ativo-objeto, mas também pelas taxas de juros local e estrangeira.

Definição

O Cupom cambial é o diferencial entre a taxa de juros interna e a variação cambial, ambas medidas no mesmo período.

Logo, trata-se de uma taxa de juros estrangeira negociada em mercado local.

A representação matemática do cupom parte da definição acima:

Definição

O Cupom cambial é o diferencial entre a taxa de juros interna e a variação

cambial, ambas medidas no mesmo período.

Logo, considerando o câmbio estável, nossa taxa de juros é proporcional ao cupom.

Como não sabemos exatamente quais serão as variações da taxa de juros em moeda local e do câmbio, utiliza-se as taxas futuras de DI e Dólar para calcular o cupom futuro.

Definição

Exemplo:

1. Calcule a taxa do cupom cambial para o vencimento no mês de outubro, sendo dado que a taxa negociada do DI-1 e a cotação do dólar Futuro para o mesmo prazo é de 10% e R$ 2,9, respectivamente, e que a PTAX do dia anterior fechou em 2,65.

Definição

Exemplo:

1. Calcule a taxa do cupom cambial para o vencimento no mês de outubro, sendo dado que a taxa negociada do DI-1 e a cotação do dólar Futuro para o mesmo prazo é de 10% e R$ 2,9, respectivamente, e que a PTAX do dia anterior fechou em 2,65.

DI-1 10,00%Fut-DOL R$2,90 Ptax(t-1) R$2,65 variação Cambial 9,43%

1+cupom 1,005172414cupom 0,52%

Definição

Exemplo:

2. Calcule a taxa do cupom cambial para o prazo de 44 dias corridos dado que o PU do contrato futuro de DI-1 e a cotação do dólar Futuro, ambos para o mesmo prazo, é de R$979.11,3 e R$ 2,6569, respectivamente, e que a PTAX do dia anterior fechou em R$2,6157.

Definição

Exemplo:

2. Calcule a taxa do cupom cambial para o prazo de 44 dias corridos dado que o PU do contrato futuro de DI-1 e a cotação do dólar Futuro, ambos para o mesmo prazo, é de R$979.11,3 e R$ 2,6569, respectivamente, e que a PTAX do dia anterior fechou em R$2,6157.

PU-DI R$97.911,30 Fut-DOL R$2,6569 Ptax(t-1) R$2,6157 Dc 44Fator DI 102,13%variação Cambial 101,58%Cupom 4,50%

Convenção de Calendário

Actual/Actual

• Em ano bissexto, o cupom de pagamento anual tem o

denominador de 366 dias.

• O número de dias entre duas datas é o número de dias corridos.

Obs: “Actual” é equivalente a Dias Corridos, ou número de dias reais

entre duas datas.

30/360 (BACEN)

• É a convenção utilizada no Brasil para títulos indexados à

variação cambial (PTAX800 -cotação USD divulgada pelo

BACEN).

Convenções de Calendário

ACT/360

• O denominador é sempre 360 e o numerador é o número de

dias corridos (“actual days”) entre duas datas.

30/360

• Cada período de cupom tem sempre o mesmo número de dias

(juro acumulado = cupom efetivamente pago).

Dias Úteis/252

• É a convenção utilizada no Brasil para títulos denominados em

BRL (Reais).

Convenções na nas formas de capitalização

• Juros Simples

Linear-360

• Juros Compostos

Exponencial 360

Exponencial-252

Contínua

Juros Simples• Taxa Anual Linear/360

• Cálculo do Fator de Desconto

• r é a taxa

• dc são os dias corridos

Juros Compostos• Taxa Anual Exponencial/252

• r é a taxa

• DU são os dias úteis

Juros Compostos• Taxa Anual Exponencial/360

• r é a taxa

• dc são os dias corridos

Contrato futuro de Cupom Cambial

DefiniçãoFuturo de DDI

fonte: http://goo.gl/JH18l

Definição

Futuro de DDI

• O contrato Futuro de DDI é expresso de forma similar ao futuro de DI, com diferença na capitalização, que considera juros lineares, e calendário de 360 dias corridos.

Definição

Futuro de DDI

O Comprador acredita

que a taxa irá

aumentar.

O Comprador acredita

que o preço irá cair.

O Vendedor acredita

que preço irá subir.

O Vendedor acredita

que a taxa irá

diminuir.

Futuro de DDIO contrato futuro de DDI permite ao investidor se proteger contra ao a variação do cupom cambial.

• Quando há expectativa de que o diferencial entre a variação

da taxa de juros local e a variação cambial aumente, deve-se

comprar DDI.

• Quando há expectativa de que o diferencial entre a variação

da taxa de juros local e a variação cambial diminua, deve-se

vender DDI.

Definição

Exemplo

3. Um fundo de investimentos alfa investiu US$ 10 milhões numa carteira cujo rendimento é atrelado ao DI. Uma desvalorização na moeda local ou uma queda nas taxas de juros locais podem provocar queda no cupom cambial deste investimento. Com os dados abaixo, monte o hedge com futuros de dólar e DI.

Notional (milhões) $10

PU-DI R$97.911,30

Fut-DOL R$2,6569 Ptax(t) R$2,6157

Fator DI 102,13%

variação Cambial 101,58%Cupom (a.a.) 4,50%

Definição

Exemplo

PU-DI R$97.911,30

Fut-DOL R$2,6569 Ptax(t) R$2,6157

Fator DI 102,13%

Resgate1) Investimento Cenário DI 19,25%

Converter USD para BRL $26.157.000 R$26.710.998,40

Definição

Exemplo

PU-DI R$97.911,30

Fut-DOL R$2,6569 Ptax(t) R$2,6157

Fator DI 102,13%

2) Hedge Dólar Liquidação R$2,67

Comprar contratos Futuro de Dólar (US$ 50 Mil cada)

200 R$131.000,00

Definição

Exemplo

PU-DI R$97.911,30

Fut-DOL R$2,6569 Ptax(t) R$2,6157

Fator DI 102,13%

200 R$131.000,00

Vender contrato Futuros de DI 267 R$3.997,72

Definição

Exemplo

PU-DI R$97.911,30

Fut-DOL R$2,6569 Ptax(t) R$2,6157

Fator DI 102,13%

200 R$131.000,00

Total R$26.845.996,12

Definição

Exemplo

PU-DI R$97.911,30

Fut-DOL R$2,6569 Ptax(t) R$2,6157

Fator DI 102,13%

200 R$131.000,00

Total R$26.845.996,12

3) Conversão em Dólares $10.054.680,20

Definição

Exemplo

PU-DI R$97.911,30

Fut-DOL R$2,6569 Ptax(t) R$2,6157

Fator DI 102,13%

200 R$131.000,00

Total R$26.845.996,12

3) Conversão em Dólares $10.054.680,20

4) Rentabilidade em Dólares 4,47%

Definição

Exemplo

PU-DI R$97.911,30

Fut-DOL R$2,6569 Ptax(t) R$2,6157

Fator DI 102,13%

A operação com dólar e DI pode ser realizada

através de um só contrato futuro: futuro de

DDI. Como o risco do fundo é de que a taxa

em dólares caia, basta vender taxa de cupom

(compra PU de DDI) a 4,5% a.a.

Definição

Exemplo

PU-DI R$97.911,30

Fut-DOL R$2,6569 Ptax(t) R$2,6157

Fator DI 102,13%

Definição

Exemplo

PU-DI R$97.911,30

Fut-DOL R$2,6569 Ptax(t) R$2,6157

Fator DI 102,13%

Esse valor deve ser multiplicado pelo valor do ponto (0,5):

Definição

Exemplo

PU-DI R$97.911,30

Fut-DOL R$2,6569 Ptax(t) R$2,6157

Fator DI 102,13%

Com base no valor da exposição, podemos calcular o número de contratos de DDI necessários:

Interpolação

O Objetivo

4 Em geral o mercado tenta observar a ETJ como maior

número de pontos possível.

O Problema...

4 A observação de taxas não ocorre ao longo de todos os

prazos de interesse;4 Alguns pontos da curva possuem liquidez e permitem a

observação da direta das taxa de juros.

A Solução

4 Os demais pontos de interesse (nem sempre observáveis)

devem ser encontrados por um processo específico para o

preenchimento de curvas.

Interpolação

4 Modelos para determinação da curva:4 Não paramétricos:

4 Interpolação;

4 Extrapolação.

4 Paramétricos:4 SuperBell,

4 Nelson-Siegel,

4 Nelson-Siegel e Svenson.

Interpolação

4 Os triângulos vermelhos são aqueles

cujos os valores da função são

conhecidos (observados).

4 A curva em azul será usada como uma

função de interpolação.

4 Portanto, através da interpolação,

podemos encontrar o valor da função

para os pontos de interesse .

4 No caso do mercado de renda fixa, o

valor que queremos obter é a taxa de

juros para os prazos não observados.

Interpolação

4 Linear 4 É o método mais simples de interpolação de taxas de juros.

4 É utilizada uma combinação linear entre os prazos observados;

4 it é taxa procurada.

4 iant é a taxa anterior a it ;

4 Ipost é a taxa posterior a it.

Interpolação

4 Linear 4 Suponha que tenhamos a curva de cupom cambial conforme figura

abaixo. Como podemos estimar as taxas não observadas ?

Vencimento Últ. Preço du01/02/09 7,920 15006/02/0910/02/0921/02/0901/03/09 7,865 18001/04/09 7,805 21010/04/0917/04/0920/04/0901/05/09 7,680 24001/06/09 7,645 27005/06/0912/06/0919/06/0901/07/09 7,595 30001/08/09 7,580 33004/08/0910/08/0914/08/0901/09/09 7,560 36001/10/09 7,550 390

Interpolação

4 Exponencial4 A premissa da interpolação exponencial é de que a taxa forward é

constante ao longo do período de tempo de interesse (intervalo de

vértices não observados).

4 O calendário adotado no mercado de renda fixa brasileiro é do tipo

Exponencial 252. Logo a interpolação exponencial utilizada o

número de dias úteis;

4 it é taxa procurada.

4 iant é a taxa anterior a it ;

4 Ipost é a taxa posterior a it.

Interpolação

Estimando a ETJ

4 Exponencial4 Suponha que tenhamos a curva de taxa de juros conforme figura

abaixo. Como podemos estimar os parâmetros da interpolação

exponencial?

Cálculo do Ajuste

Cálculo do Ajuste Diário1. Ajuste no dia da operação:

• Adt = Ajuste diário na data t em Reais,

• PAt = Preço de Ajuste, calculado e divulgado pela Bolsa, na data t em

Reais,

• POt = Preço da operação em Reais,

• M = Valor do ponto do contrato (no caso do DDI, M=9,5),

• DOLt-1 = PTAX de venda no dia útil anterior à data t,

• N = Número de contratos .

Cálculo do Ajuste Diário2. Ajuste da posição em aberto no dia anterior:

• Adt = Ajuste diário na data t em Reais,

• PAt = Preço de Ajuste, calculado e divulgado pela Bolsa, na data t em

Reais,

• POt = Preço da operação em Reais,

• M = Valor do ponto do contrato (no caso do DDI, M=9,5),

• DOLt-1 = PTAX de venda no dia útil anterior à data t,

• N = Número de contratos,

• Dit-1 = Taxa de DI de 1 dia na data t.

Cálculo do Ajuste Diário1. Ajuste no dia da operação:

2. Ajuste da posição em aberto no dia anterior:

Se positivo, o comprado em PU (vendido em taxa) recebe o ajuste do vendido em PU (comprado em taxa).

Se negativo, o comprado em PU (vendido em taxa) paga o ajuste do vendido em PU (comprado em taxa).

DefiniçãoExemplo5. Um investidor tem expectativa de que o cupom irá cair nos próximos meses. Para

se proteger, ele vendeu 150 contratos de DDI que vencem em 90 dias corridos a uma taxa de 4,28%. Com base nos dados da tabela abaixo, calcule os ajustes diários ao longo dos 4 dias da operação.

DefiniçãoExemplo5. Um investidor tem expectativa de que o cupom irá cair nos próximos meses. Para se proteger, ele vendeu

150 contratos de DDI que vencem em 90 dias corridos a uma taxa de 4,28%. Com base nos dados da tabela abaixo, calcule os ajustes diários ao longo dos 4 dias da operação.

O PU de entrada da operação foi de R$98.941,33.

Dia dc PU de Ajuste Taxa DI (a.d) PTAXPU do dia Anterior Corrigido

Ajuste Diário

Dia 0 90 R$ 2,6645 Dia 1 89 $98.591,83 0,06644% R$ 2,6587 (R$69.843,21)

AD=(PU contrato em t - PU da operação)xMxPTAXt-1xNAD=(98.591,83 - 98.941,33 )x0,5x2,6645x150AD= R$ -R$69.843,21.

Ajuste Diário

Dia 0 90 R$ 2,6645 Dia 1 89 $98.591,83 0,06644% R$ 2,6587 (R$69.843,21)Dia 2 88 $97.392,87 0,06654% R$ 2,6248 R$ 98.872,56 (R$295.053,89)

Dia 2 PU do dia anterior corrigido:=98.591,83 x (1+0,0664%)/(2,6587/2,6645)= R$98.872,56.

AD=(PU contrato em t - PU contrato em t-1 corrigido)xMxPTAXt-1xNAD=(97.392,87 - 98.872,56 )x0,5x2,6587x90AD= -R$295.053,89.

Ajuste Diário

Dia 0 90 R$ 2,6645 Dia 1 89 $98.591,83 0,06644% R$ 2,6587 (R$69.843,21)Dia 2 88 $97.392,87 0,06654% R$ 2,6248 R$ 98.872,56 (R$295.053,89)Dia 3 87 $98.536,73 0,06654% R$ 2,6130 R$ 98.716,37 (R$35.363,93)

AD=(PU contrato em t - PU contrato em t-1 corrigido)xMxPTAXt-1xNAD=(98.536,73 - 98.716,37 )x0,5x2,6248x0,0428AD= -R$35.363,93.

Ajuste Diário

Dia 0 90 R$ 2,6645 Dia 1 89 $98.591,83 0,06644% R$ 2,6587 (R$69.843,21)Dia 2 88 $97.392,87 0,06654% R$ 2,6248 R$ 98.872,56 (R$295.053,89)Dia 3 87 $98.536,73 0,06654% R$ 2,6130 R$ 98.716,37 (R$35.363,93)Dia 4 86 $99.317,41 0,06658% R$ 2,6240 R$ 99.047,57 R$52.881,89

AD=(PU contrato em t - PU contrato em t-1 corrigido)xMxPTAXt-1xNAD=(98.536,73 - 98.716,37 )x0,5x2,6248x0,0428AD= -R$35.363,93.

AD=(PU contrato em t - PU contrato em t-1 corrigido)xMxPTAXt-1xNAD=(99.317,41 - 99.047,57 )x0,5x2,613x98941,33AD= R$52.881,89.

Cupom SujoX

Cupom Limpo

Cupom Sujo x Cupom Limpo No contrato de DDI, a PTAX usada par representar a taxa de câmbio Spot, refere-se ao dia anterior (t-1). Com isso, costuma-se dizer que o cupom negociado é o “cupom sujo”.

Cupom Sujo: Taxa de referência é a PTAX(t-1)

Cupom Limpo: Taxa de referência é a cotação spot S(t) da taxa de câmbio.

Relação entre cupom Sujo e Cupom Limpo:Supondo que queiramos aplicar um Notional (em Reais) em Dólar, usando o cupom limpo. Ao final, o valor esperado de nossa carteira π seria dado pela seguinte expressão:

Relação entre cupom Sujo e Cupom Limpo:Aplicando o mesmo conceito no cupom limpo, teríamos:

Relação entre cupom Sujo e Cupom Limpo:O resultado final de ambas carteiras deve ser o mesmo. Partindo da aproximação de que E[S(T)]≈E[S(T-1)], tem-se:

FRA de DDI

FRA de DDIA fim de evitar o cupom sujo, a bolsa desenvolveu um produto que é uma operação estruturada, que envolve a negociação simultânea de dois futuros de DDI com posições opostas e prazos distintos. Com isso, tem-se o equivalente de um futuro do termo de cupom cambial.

rcc (t1)

rcc (t2)

t0 t1 t2

FRA de DDIA fim de evitar o cupom sujo, a bolsa desenvolveu um produto que é uma operação estruturada, que envolve a negociação simultânea de dois futuros de DDI com posições opostas e prazos distintos. Com isso, tem-se o equivalente de um futuro do termo de cupom cambial.

Com isso, temos um cupom cambial que é iniciado numa data futura T1 com vencimento

na data T2. Além disso, o problema do cupom sujo foi devidamente eliminado.

rcc (t1)

rcc (t2)

t0 t1 t2

• O contrato da bolsa que representa o FRA de DDI é denominado

• Ao escolher o vencimento do FRA, representado por T2, a bolsa

registra automaticamente uma posição inversa no futuro de DDI

(perna curta) de primeiro vencimento em aberto.

• Ao escolher a quantidade q2 de contratos de FRC, a quantidade de

contratos de DDI da perna curta q1 deverá ser ajustada.

Ajuste da quantidade de DDI na perna curta:

ou seja,

Ao ao negociar o valor do FRA de DDI rfrc, representado agora por um

cupom limpo, a bolsa registra a posição do DDI longo de acordo com a

expressão:

DefiniçãoExemplo6. Uma empresa não financeira contrairá uma dívida em dólares dentro de 65 dias

corridos com vencimento em 335 dias corridos. Para se proteger, ele comprou 20 contratos de FRC cujo preço do cupom da perna curta do DDI está cotado a 7,00% Mostre quais operações a Bolsa registrou.

Início da Dívida 65Vencimento da Dívida 335FRA DDI BM&F 7,00%Quantidade de Contratos

DDI 1o Vencimento 13,40%

DDI Curto Posição Vendida

PU 97.637,71

DDI Curto Abertura do contrato de DDI com cupom de 13,40% a.a.PU=(100.000/(1+13,40%x65/360)PU=97.637,71.

PU 97.637,71

DDI Longo Posição Comprada

Taxa 8,38%PU 92.767,42 q2 20

Taxa DDI Longo Taxa calculada de acordo com a taxa do FRA:DDI-2 = [(1+13,40%x65/360)x(1+7,00%x(335 - 65)/360))-1]x360/335.

PU DDI LongoPosição no DDI longo conforme taxa longa auferida:PU=(100.000/(1+08,38%x335/360)PU=97.637,71.

PU 97.637,71 q1 19

DDI Longo Posição Comprada

Taxa 8,38%PU 92.767,42 q2 20

Taxa DDI Longo Taxa calculada de acordo com a taxa do FRA:DDI-2 = [(1+13,40%x65/360)x(1+7,00%x(335 - 65)/360))-1]x360/335.

Quantidade DDI curto Quantidade registrada de acordo com a quantidade do DDI longo:q1=q2/[1+7,00%x(335 - 65)/360].

PU DDI LongoPosição no DDI longo conforme taxa longa auferida:PU=(100.000/(1+08,38%x335/360)PU=97.637,71.

Hull, C. John, Options, Futures and Other Derivatives, 6th Edition.

Bessada, Octavio, Mercado de Derivativos no Brasil.

BM&F, Mercado Futuro de Cupom Cambial, São Paulo, 2007.

Bibliografia

4 http://www.bmfbovespa.com.br

4 http://www.wolframalpha.com

Fontes Eletrônicas

Contatos

augusto.carvalho@sas.com

gugadrum@gmail.com

Prof. Augusto Carvalho

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