CSD2: Modelagem 1

CSD2 - Modelagem

Controle de Sistemas Dinâmicos

Prof. Adolfo BauchspiessENE/UnB

(Material de aula Complementar, adaptado parcialmente de Nise – Eng. de Sist. de Controle)

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Fig. 2.1 a. Representação em diagrama de blocos de um sistema; b. representação em diagrama de blocos de uma interconexão de subsistemas

Entrada

Entrada Saída

Saída

Sistema

Subsistema Subsistema Subsistema

Nota: A notação, r(t), para a entrada significa entrada de referência.A notação, c(t), para a saída significa variável controlada.

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Tabela 2.1 Transformadas de Laplace

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Tabela 2.2Teoremas daTransformada de Laplace

TeoremaItem no. Nome

Definição

Teorema da linearidade

Teorema da linearidade

Teorema do deslocamentode freqüência

Teorema do retardo

Teorema da escala

Teorema da derivação

Teorema da derivação

Teorema da derivação

Teorema da integração

Teorema do valor final1

Teorema do valor inicial2

1Para que este teorema forneça resultados finitos corretos, todas as raízes do denominador de F(s)devem ter parte real negativa e nenhuma delas pode estar situada na origem.2Para que este teorema seja válido, f (t) deve ser contínua ou ter, no máximo, uma descontinuidade em degrau em t = 0 (isto é, não pode apresentar impulsos ou suas derivadas em t = 0)

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Função de TransferênciaSistema Dinâmico Linear:Equação diferencial de ordem n, 1inear e invariante no tempo

Laplace

C(s) por relação algébrica

c(t) por convolução

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Exemplo: Função de Transferência

obter a resposta, c(t), a uma entrada, r(t) = u(t),

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Tabela 2.3Relações Tensão-corrente, Tensão-carga, e Impedâncias de capacitores, resistores e indutores

Indutor

Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste livro: n( t ) = V (volts), i( t ) = A (ampères),q( t ) = Q (coulombs), C = F (farads), R = W (ohms), G = (mhos), L = H (henries)

:

W

Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-cargaImpedânciaZ(s) = V(s)/I(s)

AdmitânciaY(s) = I(s)/V(s)

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Fig. 2.3Circuito RLC

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Fig. 2.4Diagrama de blocos de um circuito elétrico RLC série

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Fig. 2.5Circuito transformado no domínio de Laplace

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Fig. 2.6a. Circuito elétricocom duas malhas;b. circuito elétricocom duas malhas transformado no domínio de Laplace;c. diagrama de blocos

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Ao longo da Malha 1, onde circula I1(s),

Ao longo da Malha 2, onde circula I2(s),

A V. Intermediária I1(s) deve ser eliminada:

Pela regra de Cramer(ou qualquer outro método para resolver sistemas de equações)

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2 malhas

3 malhas(só topologia das eqs.)

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Fig. 2.7Diagrama de blocos do circuito da Fig. 2.6

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Fig. 2.8Circuito transformadopronto para análise nodal

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Fig. 2.9Circuito elétrico de três malhas

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Fig. 2.10a. Amplificador operacional;b. esquema de um amplificadoroperacional inversor de sinal;c. amplificador operacional inversorde sinal configurado para implementaruma função de transferência.Usualmente, o ganho A do amplificador é omitido.

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Fig. 2.11Circuito do amplificador operacional inversor de sinal para o Exemplo 2.14

5,60,1

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Fig. 2.12Circuito geral do amplificadoroperacional não-inversor

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Fig. 2.13Circuito do amplificador operacional não-inversor para o Exemplo 2.15

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Tabela 2.4Relações força-velocidade, força-deslocamento, e impedância de translação de molas, amortecedores emassas

Componente Força-velocidade

Força-deslocamento

ImpedânciaZm(s)=F(s)/X(s)

Mola

Amortecedor viscoso

Massa

Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste livro: f ( t ) = N (newtons), x( t ) = m (metros), n( t ) = m/s (metros/segundo), K =N/ m (newtons/metro), f n = N.s/ m (newton-segundo/ metro), M =kg (quilogramas = newton.segundo2 / metro).

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Fig. 2.15a. Sistema massa, mola e amortecedor; b. diagrama de blocos

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Fig. 2.16a. Diagrama de corpo livre do sistema massa, mola e amortecedor;b. diagrama de corpo livre transformado no domínio de Laplace

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Lei de Newton para somar e igualar a zero todas as forças mostradas sobre a massa:Entrada: f(t) , Saída:x(t) , Não existem V. Intermediárias.

Transformada de Laplace, supondo nulas todas as condições iniciais,

Resolvendo para obter a função de transferência resulta

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Fig. 2.17a. Sistema mecânico em translação com dois graus de liberdade;b. diagrama de blocos

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Fig. 2.18a. Forças atuando sobre M1 devidas somente ao movimento de M1;b. forças atuando sobre M1 devidas somente ao movimento de M2;c. todas as forças atuando sobre M1

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Fig. 2.19a. Forças atuando sobre M2 devidas somente ao movimento de M2;b. forças atuando sobre M2 devidas somente ao movimento de M1;c. todas as forças atuando sobre M2

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Tabela 2.5Relações torque-velocidade angular, torque-deslocamento angular, e impedância derotação de molas, amortecedores viscosos e inércia

Mola

Amortecedor viscoso

ComponenteTorque -velocidadeangular

Torque -deslocamentoangular

Impedância

Zm(s) = T(s) / q(s)

Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste livro: T ( t ) = N.m (newton.metro), Q( t ) = rad (radianos), w( t ) = rad/s (radianos /segundo), K =N.m /rad (newton.metro / radiano), D n = N.m.s/ rad (newton.metro.segundo/ radiano), J =kg.m2

(quilograma.metro2 = newton.metro.segundo2 / radiano).

Inércia

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Fig. 2.22a. Sistema físico; b. esquema; c. diagrama de blocos

Mancal Mancal Torção

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Fig. 2.23a. Torques sobreJ1 devidossomente ao movimento de J1;b. torques sobreJ1 devidossomente ao movimento de J2;c. diagrama finalde corpo livrepara J1

Sentido Sentido Sentido

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Sentido Sentido Sentido

Fig. 2.24a. Torques sobreJ2 devidossomente ao movimento de J2;b. torques sobreJ2 devidossomente ao movimento de J1;c. diagrama finalde corpo livrepara J2

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Fig. 2.27Sistema de engrenagens

Engrenagem acionadora de entrada, G1

Engrenagem acionada desaída,G2

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Fig. 2.28Funções de transferência a. entre deslocamentos angulares de engrenagens sem perdas eb. entre torques de engrenagens sem perdas

Mesmo percurso linear

Conserv. Energia (~F.d)

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Fig. 2.29a. Sistema emrotação acionadopor engrenagens;b. sistema equivalente referidoà saída após reflexão do torque de entrada;c. sistema equivalente referido à entrada após reflexão das impedâncias

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Fig. 2.30a. Sistema mecânico em rotação com engrenagens;b. sistema depois de referir torques e impedâncias ao eixo de saída;c. diagrama de blocos

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Fig. 2.31Trem de engrenagens

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Fig. 2.32a. Sistema usando um trem de engrenagens;b. sistema equivalente referido à entrada;c. diagrama de blocos

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Fig. 2.34Braço robótico de simulador de vôo da NASA com componentesdo sistema de controle eletromecânico

© Debra Lex.

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Fig. 2.35Motor CC:a. esquema;b. diagrama de blocos

Campoconstante

Circuitoda armadura

Como a armadura está girando no interiorde um campo magnético,surge uma tensão induzida proporcional à velocidade,

Chamamos vb(t) de força contra-eletromotriz (fcem);

Kb constante de fcem;dθm(t)/dt = ωm(t) é a velocidade angular do motor.Aplicando a transformada de Laplace, obtemos

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Fig. 2.36Carregamento mecânico típico equivalente deum motor

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Fig. 2.37Motor CC acionando uma carga mecânica em rotação

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Fig. 2.38Curvas de torque-velocidade tendo como parâmetro a tensão de armadura ea

em vazioVelocidade

Tbloq

Tbloq= Torque com rotor bloqueado

Torq

ue

Considerando que os sinais são constantes, podemos escrever:

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Fig. 2.39a. Motor CC e carga;b. curva torque-velocidade;c. diagrama de blocos

Campo fixo

Velocidade (rad/s)

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Fig. 2.40Sistema eletromecânico para oExercício de Avaliação 2.11

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Fig. 2.41Desenvolvimento deum análogo série:a. sistema mecânico;b. representação elétrica desejada;c. análogo série;d. parâmetros para oanálogo série

massa indutor

amortecimento viscoso

fonte (tensão)

Corrente (malha) =velocidade

força aplicada

mola