Correntes com Fricção – Introdução:Simplificação das Equações do Movimento

através de Análise de Escala. As equações

lineares; A Equação da Vorticidade. Soluçoes

aproximadas da Equaçao de Vorticidade;

Modelos de Sverdrup e de Stommel.

Conceitos fundamentais: Vorticidade

planetária, relativa e potencial; Conservação

de Vorticidade.

Vorticidade é a taxa de rotação de um

fluido

Dois tipos de rotação:

1. Relativa (girando ao redor do seu

próprio eixo);

Cisalhamento

Exemplo:

Um vórtice ciclônico de núcleo frio da Corrente do

Brasil tem largura da ordem de 150km, com

velocidade no limite norte de 1.2m/s, no sul de

1.1m/s, no oeste de 1.1m/s e no lado leste de

1.2m/s. Qual é a vórticidade relativa desse “eddy”?

S

N

E

W

Sinal da Vorticidade:

• Sentido anti-horário: Positivo

• Sentido horário: Negativo

Negativo Positivo Zero

2. Vortiticade Planetária

Velocidade angular da Terra = 2 x PI / 1dia

Quem é maior, Vorticidade Relativa ou Vórticidade Planetária?

2. Vortiticade Absoluta:

É a soma da Vorticidade Planetária com a Vorticidade

Relativa

a =

a

2. Vortiticade Potencial: z

x

Produção de vórticidade relativa por estiramento

e/ou compressão de colunas

Como no clássico exemplo da bailarina que aumenta ou diminui sua

velocidade de rotação abrindo ou encolhendo os braços, uma coluna de água

tem sua vórticidade relativa variada em decorrência da compressão ou

estiramento de “tubos de vórtices”.

Conservação

• Qual o significado e importância de Conservação, na

Física?

Na Física, sempre que a quantidade total de alguma

propriedade não muda com o tempo, dizemos que essa

propriedade é conservada.

A formulação matemática das “Leis de Conservação” permitem

o estudo da evolução do sistema.

• Propriedades importantes:

– Energia Total

– Quantidade de Movimento (momentum linear)

– Momentum Angular

– Massa

– Vorticidade

Conservação de Vórticidade

Na ausência de qualquer forçante externo, a vórticidade potencial é

conservada:

d

dt( ) = 0

Nessas condições, se a profundidade D for

constante, então a vórticidade absoluta é

conservada.

Exemplo no mundo real:

Os meandros da Corrente do Brasil

são o resultado de conservação de

Vórticidade Potencial.

Leis básicas usadas em Oceanografia e

classificação de Forças e Movimentos no

mar; A equação da continuidade.

A Lei da Conservação da Quantidade de Movimento

O estudo dos movimementos oceânicos é realizado no domínio da Física

Clássica, onde a equação dinâmica básica é Segunda Lei de Newton, que

expressa a lei da conservação da quantidade de movimento ou momentum

linear, na forma:

Esta equação estabelece que a variação temporal do momentum é determinada

se as forças que atuam no sistema são conhecidas. Assim, a primeira tarefa é

identificar as forças que geram a circulação oceânica.

Forças que atuam nos oceanos

( i) Forças Gravitacional e Rotacional: forças de origens astronômicas e

planetárias, as quais atuam no fluido como um todo. São forças de larga escala;

( ii) Forças termodinâmicas: forças resultantes de gradientes espaciais e temporais

nas distribuições das diversas variáveis termodiâmicas os quais manifestam-se na

forma de, por exemplo, transferência radiativa, aquecimento, esfriamento,

precipitação, evaporação, etc.

(iii) Forças mecânicas: resultantes da ação direta de outros corpos sobre a massa

de água que constitui os oceanos. Exemplos: a tensão de cisalhamento do vento, a

variação da pressão atmosférica, movimentos sísmicos do fundo do oceano e outras

perturbações mecânicas.

Forças que atuam nos oceanos

( iv) Forças internas: resultantes da ação/reação entre diferentes partes do próprio

sistema, tais como pressão e viscosidade. Essas forças, características da dinˆamica

de fluidos, tornam essa parte da física muito mais complicada que a dinâmica de uma

partícula ou de corpos sólidos.

( v) Forças de Contorno: forças geralmente introduzidas na forma de condições de

contorno, por exemplo no fundo e nas fronteiras laterais do oceanos. O fluido

desenvolve camadas de contorno em resposta a esse tipo de forças.

Forças geradoras de correntes:

1. forças externas (exercidas nos contornos do fluído): (a) cisalhamento

do vento (tangencial à superfície do oceano) ; (b) efeitos da forçante

termohalina (convecção, evaporação, etc)

2. forças internas (exercidas nas moléculas de água): (c) campo de

pressão interna (gradiente de pressão); (d) forçante de maré.

Forças desaceleradoras:

1. forças de fricção (difusão de momento);

2. difusão de densidade (não é uma força, mas tem o efeito de alterar o

gradiente de pressão.

Principais forças no estudo da Circulação Oceânica em Grande Escala

fgp = força devido a gradientes de pressão

fcor = “força de Coriolis”

grav = força da gravidade (atração da Terra)

fric = forças de atrito ou fricção

maré = força das marés (orígem astronômica)

= ( fricgravfcorfgp maré+ + + + )

P1 P

2

fgp

1

ρfgp = - Δ P

Δ P

î

ĵ

x

y

Força do Gradiente de Pressão (fgp):

∂p

∂x

1

ρ= - î

Força do Gradiente de Pressão (fgp):

Em três dimensões:

1

ρfgp = - Δ P1

ρ= -∂p

∂x( ∂p

∂x

∂p

∂xî + ĵ + k )

A força de Coriolis recebeu esse nome do matemático e engenheiro

francês Gustave-Gaspard Coriolis que a descreveu em 1835. Trata-

se de uma força aparente, quer dizer, só é vista por um observador

em um sistêma de referência giratório (Não-Inercial).

“Força de Coriolis” (fc):

vfc

.

N

EW

S

f = 2Ωsinθ (parâmetro de Coriolis)

Essa “força” é perpendicular ao

vetor velocidade, à direita no

hemisfério norte e à esquerda no

hemisfério sul.

A “força” de Coriolis por unidae

de massa é dada por:

Ω

fc = f k x v = - fu î + fv ĵ

.

EXEMPLO DO EFEITO DE CORIOLIS

Em oceanografia, as correntes são sempre expressas relativas ao

fundo oceânico - que gira com a Terra - e que só pode ser descrito

corretamente se a força de Coriolis for levada em conta no

equilíbrio de forças.

A força de Coriolis é proporcional à magnitude da velocidade de

fluxo e dirigida perpendicularmente à direção do fluxo. Age à

esquerda do fluxo no hemisfério Sul e à direita no hemisfério Norte.

Um modo um pouco inexato, mas útil para ver porque a direção da

força de Coriolis é diferente nos dois hemisférios é relacionando-a

ao princípio de conservação do momento angular.

Uma partícula de água em repouso na região equatorial tem momento

angular devido à rotação do planeta.

Quando essa partícula é deslocada para as regiões polares ela

conserva o seu momento angular, enquanto a sua distância do eixo

do planeta for reduzida.

Para que o momento angular seja conservado, essa partícula tem que

aumentar sua rotação ao redor do seu eixo, da mesma maneira que

os dançarinos de balé aumentam a taxa de rotação ao puxar os

braços para perto do corpos deles.

A partícula começa girando mais rapidamente que a terra e

consequentemente começa a se deslocar para leste. Isso resulta num

desvio de um caminho direto para a direita no hemisfério Norte e para

a esquerda no hemisfério Sul.

Uma partícula que se desloca em direção ao equador

vinda das regiões de latitudes mais altas aumenta sua

distância do eixo de rotação e, consequentemente

começa a se deslocar para oeste (à direita no

hemisfério Norte e à esquerda no hemisfério Sul).

Coordenadas absolutas Coordenadas em rotação

PS PS

N

W E

S

Movimento inercial

Se uma parcela de água for “empurrada” e

em seguida for deixada à mercê desse

impulso, ela apresentará um certo momento

cuja única força que agirá sobre ela é a

“força de Coriolis” (Fc), na forma de um

“torque”, perpendicularmente à velocidade

em cada instante.

Considerando-se que a aceleração é

produzida pela força de Coriolis (centrípeta),

que tende a desviar a partícula em

movimento para a direita(esquerda) no

hemisfério Norte(Sul), como resultado

teremos essa partícula deslocando-se em

círculos, com período inercial, definido por:

T = 2π/f

Onde f = 2Ωsinϕ é a taxa de rotação em

torno de um eixo vertical local (Vorticidade

Planetária), usualmente denominado de

“Parâmetro de Coriolis”.

v

Fc

Ω - Veloc. angular da Terra

ϕ - Latitude

Fluxo Geostrófico

No interior de oceano, i.e., abaixo dos 100 m de profundidade de e

aproximadamente a 100 km longe da costa, onde as forças de atrito

podem ser negligenciadas, a circulação média (fluxo básico e

estacionário) é determinada pelo equilíbrio entre a força de gradiente de

pressão e a força de Coriolis.

Esse equilíbrio é conhecido como fluxo geostrófico. Nesse tipo de fluxo,

as partículas deslocam-se ao longo das isóbaras (linhas de pressão

constante), com a alta pressão a sua esquerda(direita) no hemisfério

Sul(Norte). Como a pressão a uma dada profundidade é determinada

pelo peso da coluna d’água acima, regiões de alta e baixa pressão são

equivalentes a nível de mar alto e baixo, respectivamente.

Portanto, os fluxos geostróficos estão relacionados à forma da

superfície do mar.

P1 P

2

fgp

Δ P

î

ĵ

x

z

Ajuste geostrófico (Hemisfério Sul)

Ajuste geostrófico (Hemisfério Sul)

î

ĵ

x

z

. . fcfg

p

fgpfc fc

fgp

fc

fgp

fgp

fc

Correntes Equatoriais

Lei da Conservação da Massa

Na ausência de fontes ou sumidoures de matéria, a massa de uma sistema

isolado é constante.

Considerando que massa = densidade X volume, então a lei da

conservação da massa pode ser escrito como conservação de densidadade:

∂(ρ)

∂ t+ v ∙ ρ = 0

A Equação da Continuidade

A água é um fluido

praticamente

incompressível.

Assim, fica como exercício

demonstrar que, assumindo

incompressibilidade, a

conservação da massa

corresponde à Equação da

Continuidade de Volume:

Div = 0

ou

v

∂x

∂u

∂z

∂w

∂y

∂v= 0+ +Div v = 0 para um fluido

incompressível significa que a somatória

dos fluxos entrando e saindo de um

volume constante é igual a zero

IOF1223

Aula04

Interpretação dos termos não-lineares,

cascata de energia; viscosidade

turbulenta. Dinâmica de Ekman

Principais forças no estudo da Circulação Oceânica em Grande Escala

fgp = força devido a gradientes de pressão

fcor = “força de Coriolis”

grav = força da gravidade (atração da Terra)

fric = forças de atrito ou fricção

maré = força das marés (orígem astronômica)

= ( fricgravfcorfgp )/mmaré+ + + + )

Atrito ou Viscosidade em Fluidos

Movimento em escala

molecular

Movimento em escala

macroscópica

50km1μm

Uma questão importante:

Muito embora a viscosidade molecular

seja, em última instância, a

responsável pela dissipação do

momento e energia cinética, seu efeito

direto sobre o movimento em larga

escala é desprezível.

Como pode, ainda assim, a

viscosidade molecular ser importante?

A energia cinética transferida do vento ao

oceano, produzindo movimentos em

grande escala. As interações não-lineares

transferem a energia desde as grandes

escalas até o nível molecular, onde é

finalmente transformada em calor pela

viscosidade molecular.

O conceito da Cascata de Energia

Essa transferência de energia através das interações não-lineares é

denominada “Cascata de Energia”, e constitui mecanismo

fundamental no balanço de forças responsável pelo movimento dos

oceanos.

Viscosidade Turbulenta

Distribuição de Energia Cinética Turbulenta nos oceanos.

Distribuição de

Fitoplâncton e

Zooplâncton são

intimamente

relacionados filamentos

de vorticidade relativa

negativa na camada

eufótica.

Tensões de Reynolds e Viscosidade Turbulenta

Na lista de xercícios No. 1 você vai demonstrar que o efeito da

não- linearidade pode ser parametrizado da seguinte forma:

Dinâmica de Ekman e Ressurgência Costeira

1893 -1896 - Nansen chegou até 86o 14’ N e

deixou seu navio, FRAM, ser aprisionado pelo gelo. Fram preso no gelo

Fridtjof Nansen

Deriva de Ekman

• Nansen notou que o movimento do bloco de

gelo ao qual estava preso o FRAM aconteceu

em uma direção entre 20 – 400 à direita do

vento.

• Nansen imaginou que esse movimento era

devido ao balanço entre fricção, tensão de

cisalhamento do vento e força de Coriolis.

• Ekman fez a matemática…

Deriva de Ekman

Movimento à direita do vento !

Resulting

velocity

Ekman demonstrou que a

deriva do gelo resultou de um

balanço entre: Tensão do

vento, viscosidade turbulenta

vertical e a Força de Coriolis.

Dinâmica de Ekman

Considere as equações do momentum, incluindo os termos

de viscosidade turbulenta:

Aqui estamos considerando a forma dinâmica dos

coeficientes de viscosidade turbulenta (já divididos pela

densidade).

Dinâmica de Ekman

Dinâmica de Ekman

Dinâmica de Ekman

Dinâmica de Ekman

A Camada de Ekman

Correntes oceânicas nos primeiros 150 m do oceano são diretamente afetadas pelo

vento, i.e., transferem momento da atmosfera para o oceano.

O equilíbrio de forças envolve então forças de atrito que causam desvios no fluxo

geostrófico, fazendo com que as parcelas de água cruzem as isóbaras, deslocando-se

de uma região de alta pressão para uma de baixa pressão.

A camada na qual o fluxo é não-geostrófico é conhecida como a camada de Ekman de

superfície. Esse tipo de fluxo é também encontrado na literatura como “fluxo

ageostrófico”.

A direção de deslocamento da parcela de água na camada de Ekman de superfície

varia com a profundidade, formando a espiral de Ekman de superfície. Após

alcançado o estado estacionário, dois resultados destacam-se como os mais

importantes na dinâmica de Ekman (superfície):

(1) O transporte líquido na camada de Ekman é perpendicular à direção do vento,

sendo para à direita(esquerda) no hemisfério Norte(Sul);

(2) A velocidade da corrente na superfície está a 45° à direita(esquerda) da

direção do vento no hemisfério Norte(Sul).

Espiral de Ekman• Ekman encontrou uma

solução exata para a

estrutura da espiral.

• A camada de controle

friccional é denominada

“Camada de Ekman”

(~50m).

• Os detalhes da espiral não

são tão importantes quanto

o seu efeito integrado na

vertical.

Ressurgência Costeira

Análise de Escala

Vamos começcar com as Equações primitivas de “Navier-

Stokes” para o oceano em um planeta esférico, com rotação,

considerando-se apenas a componente z da “Força de

Coriolis” e o atrito parametrizado pelos coeficientes horizontal

e vertical de viscosiade turbulenta:

Para completar o conjunto de 4 equações com 4 variáveis,

consideremos também a Equação da Continuidade de

Volume:

Análise de Escala

Defina as “Escalas Características” do movimento:

U = escala característica de velocidade horizontal;

W = escala earacterística de velocidade;

L = escala característica de comprimento horizontal;

H = escala característica de comprimento vertical;

T = escala característica de tempo;

P = escala característica de pressão;

Considere uma corrente típica no

oceano, na qual a componente do

movimento vertical é muito

inferior à horizontal.

Vamos agora introduzir um conjunto de variáveis não-

dimensionais, de ordem 1, obtidas pela divisão das variáveis por

sua escala característica:

(x', y') = (x, y)/L

(u', v') = (u,v)/U

z'=z/H

w' = w/W

t' = t/T

p' = p/P

Com essas definições podemos escrever:

x = Lx'; y = Ly'; z = z'H; u = u'U; v = v'U; w = w'W;

T = t'T; p = p'P

Cada variável com

“linha” é de O(1),

isto é, seu valor está

entre zero e 1.

Após substituir nas equações cada variável pelo produto de sua

correspondente não-dimensional (') pela escala característica, a

equação da continuidade fica:

Como os valores entre parênteses são todos de O(1), as magnitudes de

cada termos são determinadas por seus coeficientes formados pelas

escalas características. Ou seja:

Onde,

0 ∂u'

∂x'

∂v'

∂y'

∂w'

∂z'= + +

W

H

U

L

U

L

W

H= W=

H

LU W W= U W δ

δ =H

Lé a razão de aspecto do movimento.

Após a “não-dimensionalização”, a componente x da equação do

momentum fica escrita na forma:

onde ω0 é igual a 1/T, ou seja, a escala característica de frequência do

movimento.

Nessa equação nós assumimos que em uma primeira aproximação, o

balanço dominante é o equilíbrio geostrófico, para o qual:

P = ρfLU

Dividindo todos os termos dessa equação por fU, e definindo:

Temos:

Forma não-dimensional da equação do Momentum:

Modelos Lineares da Circulação Oceânica

Em grande escala (escalas das bacias oceânicas), as dimensões

horizontais dos movimentos são da ordem de centenas a milhares de

quilômetros (10⁵ → 10⁶ m), enquanto que a magnitude das

velocidades são da ordem de 10 centímetros por segundo (10⁻1m/s).

Isso implica que:

RO → 0

Como já foi comentado, neste curso estamos interessados em

estudad movimentos com períodos muito mais longos do que

que o período inercial. Isto é, frequências muito menores do que

a frequência inercial:

f → 0

ω0

Modelos Lineares da Circulação Oceânica

Em grande escala, portanto, a forma não-linear das componentes

x e y da equação do movimento ficam reduzidas a:

Reescrevendo-as na forma dimensional temos:

Forma não-dimensional da equação do Momentum:

Para a componente z assumimos a aproximação hidrostática:

∂p

∂z - ρg0 = -

E, fechando o conjunto de 4 equações, temos a equação da

continuidade de volume:

Equações integradas verticalmente.

η

ηB

H

z

z = 0

z = -H

x

Considere a intetgral ds equações do movimento, desde o fundo (z

= - H - ηB) até a supefície (z = η), node ηB e η correspondem à

topografia de fundo e à elevação da superfície.

z = - ( H + ηB)

z = η

( ) dz

Vamos assumir o fundo plano (ηB = 0) e utilizar as definições:

Considerando que os produtos da pressão na superfície pelos

gradientes horizontal da elevação da superfície sejam desprezíveis,

comparados com o primeiro termo do segundo membro, e levando em

conta que o fundo é planto, temos: o

A integral da Equação da continuidade nos dá:

Multiplicando por ρ:

Considerando w w

A forma final das equações integradas fica:

Equação da Vorticidade:

Rotacional da Tensão de Cisalhamento do Vento

Rotacional do transporte integrado

Rotacional da Tensão de Cisalhmento devido ao

atrito de fundo

Adveção meridional de vorticidade planetária;

Vorticidade associada ao Rotacional do vento;

Vorticidade devido a variação espacial do atrito com o fundo

Vorticidade devida a cisalhamento horizontal de velocidade

A equação da vorticidade expressa o balanço entre variação de

vorticidade planetária devido a movimetos na direção norte-sul e as

vorticidades associadas a cisalhamentos laterais do vento, do atrito com o

fundo e da velocidade horizontal.

Interpretação física da Equação da Vorticidade

Modelos Homogênios Lineares da Circulação

Forçada pelo Vento

O “Regime de Sverdrup” é Caracterizado pelo balanço entre a

advecção meridional de vorticidade planetária e a vorticidade

associada com o rotacional da tensão de cisalhamento do

vento

Para resolver este problema,

Sverdrup (1947) assumiu uma

distribuição de vento zonal, dada

por:

O Modelo de Sverdrup (1947)

Substituindo essa expressao na equação referente ao regime

de Sverdrup, temos:

Como esse fluxo integrado verticalmente é horizontalmente

não-divergente:

Por se tratar de um fluxo horizontalmente não-divergente, é

possível definir uma função de corrente ψ, tal que:

A integração dessas duas derivadas entre um ponto qualquer

no interior, x, e o contorno leste, x=L, resulta na seguinte

expresão: 0

O transport no contorno leste é nulo.

O Modelo de Stommel (1949)

Em seu famoso paper, publicado logo após o final da Segunda Guerra Mundial,

Stommel responde pela primeira vez uma questão que há muito tempo intrigava

os estudiosos dos oceanos: Por que as correntes dos lado oeste do oceano são

mais intensas?

Sua hipótese básica foi inserir o atrito no balanço de vorticidade, na forma de

uma “lei de arrasto linear” para o atrito com o fundo.

Considerando a mesma distribuição de vento

adotada por Sverdrup, a equação da vorticidade

em termos da função de corrente pode ser escrita

na forma:

Solução:

Esta solução pode ser reescrita na forma:

Onde: e

westerlies

trades

Nesse caso, as linhas de corrente

apresentam uma assimetria zonal,

com intensificação das correntes

do lado leste do oceano.

No interior o balanço de forças se

resume ao regime de Sverdrup.

Entretanto, em uma estreita

camada próxima à fronteira oeste,

o balanço se resume a:

Solução de Stommel para o Atlântico Norte

A Camada de Contorno Oeste

Solução de Stommel para o Atlântico Norte

O Modelo de Munk; O Modelo viscoso

não-linear de Moore

A forma final das equações integradas fica:

Equação da Vorticidade:

Rotacional da Tensão de Cisalhamento do Vento

Rotacional do transporte integrado

Rotacional da Tensão de Cisalhmento devido ao

atrito de fundo

Adveção meridional de vorticidade planetária;

Vorticidade associada ao Rotacional do vento;

Vorticidade devido a variação espacial do atrito com o fundo

Vorticidade devida a cisalhamento horizontal de velocidade

A equação da vorticidade expressa o balanço entre variação de

vorticidade planetária devido a movimetos na direção norte-sul e as

vorticidades associadas a cisalhamentos laterais do vento, do atrito com o

fundo e da velocidade horizontal.

Interpretação física da Equação da Vorticidade

Modelos Homogêneos Lineares da Circulação

Forçada pelo Vento

A exemplo de Stommel, Munk também inclui o efeito friccional no balanço de

vorticidade. Só que neste caso, ele assumiu que a viscosidade turbulenta

horizontal seria o mecanismo predominante, tendo em vista a existência de uma

camada de contorno oeste com cisalhamento horizontal de correntes.

O Modelo de Munk (1950)

Usando novamente a definição de função de corrente temos:

onde:

Munk usou a mesma distribuição de vento de

Sverdrup e Stommel:

O Modelo de Munk (1950)

Solução:

Oct/2001

Interpretação da Solução de Munk:

Con

tinen

te

Con

tinen

te

Camada de contorno oeste Camada de contorno leste

Interpretação da Solução de Munk:

Figura do paper original de Munk

Como esses modelos se comparam com a realidade?

Desde há muito tempo,

através do conhecimento

associado com as navegações,

já se tinha uma idéia do

padrão geral da Circulação

dos oceanos.

Figuras baseadas em dados de

deriva de navios mostram a

existência dos giros

subtropicais.

Como esses modelos se comparam com a realidade?

Entretanto, ao contrário do padrão

mostrado pelos modelos de Sverdrup,

Stomme e Munk, no mundo real esses

giros subtropicais a apresentam uma

assimetria norte-sul, além da

intensificação oeste.

No mundo real, as correntes são mais

intensas no canto sudoeste, no

hemisfério sul, ou no canto noroeste,

no hemisfério norte.

Voltemos à Análise de Escala:

Temos:

Após dividir a forma não-dimensional da componente x da

equação do momento por fU, e definindo:

Temos três parâmetros importantes:

Número de Rossby (Ro = U/fL): Representando a

importância dos termos não-lineares;

Número de Ekman horizontal (EH

=AH

/ρfL2):

Representando a importância do atrito com o fundo; e

Número de Ekman vertical (EV=A

V/ρfL2):

Importância do atrito lateral.

Podemos definir um quarto:

Número de Reynolds: Re = Ro/EH

= ρUL/AH

Valores típicos no Oceano (em grande escala):

1) Número de Rossby (Ro = U/fL): Representando a

importância dos termos não-lineares;

2) Número de Ekman horizontal (EH

=AH

/ρfL2):

Representando a importância do atrito com o fundo; e

3) Número de Ekman vertical (EV=A

V/ρfL2):

Importância do atrito lateral.

No Interior do oceano, isto é, longe dos contornos, tanto o

número de Rossby quanto os números de Ekman são muito

pequenos, o que levou Sverdrup a desconsiderar os termos

advectivos e de viscosidade no fundo e lateral (balanço de

Sverdrup).

Próximo ao contorno oeste, como o atrito é proporcional à

velocidade, pode-se mostrar que o número de Ekman

horizontal (EH

) é da ordem de 1.2.

Isso implica a necessidade de se considerar os termos de

atrito (Stommel & Munk).

Na camada de contorno oeste, usando valores típicos do oceano:

Re é aproximadamente igual a 2! ou seja, se os efeitos não-

lineares são tão ou até mais importantes que o atrito nas

proximidades da borda oeste do giro.

Durante a década de 50 e o início dos anos 60 do século XX,

vários esforços foram feitos na tentativa de se obter um modelo

incluindo também a não-linearidade. Os principais foram:

- Modelo de Fofonoff (1954)

- Modelo de Charney (1955)

- Modelo de Moore (1963)

Os dois primeiros foram modelos puramente inerciais (sem

viscosidade), enquanto que o do Moore incluia os efeitos viscosos

e não-lineares.

Modelo de Fofonoff (1954)

Considerou o balanço de forças apenas entre termos advectivos,

Coriolis e gradiente de pressão (nenhum tipo de atrito):

O resultado, para o Atlântico

Norte, mostra dois giros

(anticiclônico e ciclônico), com

assimetrias norte-sul. Ou seja,

o giro anticiclônico teria uma

intensificação ao norte.

Modelo de Charney (1955)

Similar ao modelo de Fofonoff, só que com duas camadas

O principal resultado de Charney

foi mostrar que a correne de

contorno oeste (Gulf Stream) se

separa da costa, na latitude de Cape

Hateras, devido ao afloramento da

termoclina nessa região.

Modelo de Moore (1963).

Moore considered both non-linearity and lateral viscosity,

partindo das seguintes equações:

Equação da vorticidade:

Resultado mostra a intensificação no

canto noroeste do Atlântico Norte.

Esta equação estabelece que variações de

vorticidade absoluta ao longo de linhas de

corrente são balanceadas pela vorticidade do

vento e do atrito lateral.