Post on 17-Apr-2015
COORDENADAS NUM EIXOCOORDENADAS NUM EIXO
Num eixo a posição de um ponto fica Num eixo a posição de um ponto fica definida por um só número.definida por um só número.
AA
0 3 x
A 3A 3
•
O Referencial Cartesiano no O Referencial Cartesiano no PlanoPlano
Eixo das Eixo das AbcissasAbcissas
Eixo das Eixo das OrdenadasOrdenadas
OrigemOrigem
x
y
0
As Coordenadas no PlanoAs Coordenadas no Plano
x
y
0
b
a
P
P (P (aa , b) , b)
O Ponto P tem abcissa O Ponto P tem abcissa aa e ordenada e ordenada bb..
aa e b são as coordenadas do ponto P.e b são as coordenadas do ponto P.
No plano a posição de um ponto fica definida por um par ordenado de números.
SínteseSíntese
A uma dimensãoA uma dimensão A duas dimensõesA duas dimensões
EixoEixo PlanoPlano
A A xx A (a,b)A (a,b)
2A A
z
y
x
0
Referencial Cartesiano no Referencial Cartesiano no EspaçoEspaço
OrigemOrigem
Eixo das Eixo das AbcissasAbcissas
Eixo das Eixo das OrdenadasOrdenadas
Eixo das Eixo das CotasCotas
Os três eixos são perpendiculares dois a dois (referencial ortogonal) e considera-se a mesma unidade de comprimento nos três eixos (referencial monométrico).
Referencial Cartesiano no Referencial Cartesiano no EspaçoEspaço
z
y
x
0
No espaço a posição de um ponto fica definida por um terno ordenado de números.
Referencial Cartesiano no Referencial Cartesiano no EspaçoEspaço
z
y
x
0
AA
AA ( 2,3,0 )( 2,3,0 )
3
2
AA tem:tem:
• Abcissa 2Abcissa 2
• Ordenada 3Ordenada 3
• Cota 0Cota 0
Referencial Cartesiano no Referencial Cartesiano no EspaçoEspaço
z
y
x
0
De um modo geral P (a,b,c)De um modo geral P (a,b,c)
abcissaabcissa
OrdenadaOrdenada
CotaCota
Referencial Cartesiano no Referencial Cartesiano no EspaçoEspaço
Conclusão:Conclusão:
Existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos pontos do espaço e o conjunto dos ternos reais ( ).3
3{ }pontos do espaço R
3 {( , , ) : , , }x y z x y z
z
y
x
0•A3
•-4
B
• 4C A ( 3, 0, 0 )
B ( 0, -4, 0)
CC ( 0, 0, 4 )
Coordenadas de Pontos nos Coordenadas de Pontos nos EixosEixos
AA ( 3, 0, 0 )
BB ( 0, -4, 0)
PLANOS COORDENADOSPLANOS COORDENADOS Os três eixos coordenados OOs três eixos coordenados Ox, x, OOy e y e OOzz definem três planos, perpendiculares entre si:definem três planos, perpendiculares entre si:
- plano plano xxOOyy
- - plano plano yyOOzz
- - plano plano xxOOz z
0
z
x
y
Os planos dividem o espaço em oito Os planos dividem o espaço em oito octantesoctantes..
Os octantesOs octantes
0
z
x
y
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
PLANO xOyPLANO xOy
x
z
yP
Conclusão:
• Todo o ponto deste plano tem cota 0, logo o plano pode ser definido por z = 0.
• O plano xOy (z = 0) é perpendicular a Oz.
Plano z = 55
Condição do Tipo zCondição do Tipo z = k = k
Plano z = 0•
-3 Plano z = -3
z
y
x
0
•
•
Estes planos são perpendiculares ao eixo Oz e Estes planos são perpendiculares ao eixo Oz e paralelos ao plano xOy.paralelos ao plano xOy.
PLANO xOzPLANO xOz
Conclusão:
• Todo o ponto deste plano tem ordenada 0, logo o plano pode ser definido por y = 0.
• O plano xOz (y = 0) é perpendicular a Oy.
z
0
x
P
Plano y = 0
Plano y = -3
Plano y = 4
4
Condição do Tipo yCondição do Tipo y = k = k
-3•
z
y
x
• 0•
Estes planos são perpendiculares ao eixo Oy e Estes planos são perpendiculares ao eixo Oy e paralelos ao plano xOz.paralelos ao plano xOz.
PLANO yOzPLANO yOz
0
z
x
y
P
Conclusão:
• Todo o ponto deste plano tem abcissa 0, logo o plano pode ser definido por x = 0.
• O plano yOz (x = 0) é perpendicular a Ox.
Plano x = 0•
Condição do Tipo Condição do Tipo x = kx = k
Plano x = -3-3•
Plano x = 2
z
y
x
0
•2
Estes planos são perpendiculares ao eixo Ox e Estes planos são perpendiculares ao eixo Ox e paralelos ao plano yOz.paralelos ao plano yOz.
Simetrias em relação a uma rectaSimetrias em relação a uma recta
r
P
P’
P’ é simétrico P em relação a r se:
• PP’ e r são concorrentes;
• PP’ r;
• r é a mediatriz de [ PP’ ]
Simetrias em relação a um planoSimetrias em relação a um plano
P P’
P’ é simétrico do ponto P seP’ é simétrico do ponto P se
• PP’ PP’
• P e P’ são equidistantes deP e P’ são equidistantes de
Simetrias em relação ao plano xOySimetrias em relação ao plano xOyz
x
y
P
P’
P’ é simétrico de P em relação ao plano xOyP’ é simétrico de P em relação ao plano xOy
P (x,y,z) P’ (x,y,-z)
0
z
x
y
Simetrias em relação ao plano xOzSimetrias em relação ao plano xOz
P P’
P’ é simétrico de P em relação ao plano xOzP’ é simétrico de P em relação ao plano xOz
P (x,y,z) P’ (x,-y,z)
P
P’
Simetrias em relação ao plano yOzSimetrias em relação ao plano yOz
0
z
x
y
P’ é simétrico de P em relação ao plano yOzP’ é simétrico de P em relação ao plano yOz
P (x,y,z) P’ (-x,y,z)
Condição do Tipo xCondição do Tipo x = k e y = c = k e y = c
z
y
x
0
•-3
A condição x = k e y = c define uma recta paralela a Oz, ou seja, uma recta perpendicular ao plano xOy.
x = kx = k
y = cy = c
Condição do Tipo yCondição do Tipo y = k e z = c = k e z = c
z
y
x
0
A condição y = k e z = c define uma recta paralela a Ox, ou seja, uma recta perpendicular ao plano yOz.y = ky = k
z = cz = c
Condição do Tipo xCondição do Tipo x = k e z = c = k e z = c
z
y
x
0
A condição x = k e z = c define uma recta paralela a Oy, ou seja, uma recta perpendicular ao plano xOz.
x = kx = k
z = cz = c
Distância entre 2 pontos na rectaDistância entre 2 pontos na recta
a b x
ddPQPQ= |a-b|= |a-b|P P aaQ Q bb
A distância entre P e Q é dada por A distância entre P e Q é dada por ddPQPQ = |a - b| = |a - b|
Distância entre 2 pontos no planoDistância entre 2 pontos no plano
x
y
00
P(P(aa11,,bb11))
Q(Q(aa22,,bb22))
bb11
aa22
PP
R
aa11
bb22
212
21 bbaad PQ 2
Distância entre 2 pontos no espaçoDistância entre 2 pontos no espaço
z
y
x
0
P
Q
P(a1,b1,c1)Q(a2,b2,c2)
R
2212
212
21 ccbbaadPQ
A circunferênciaA circunferência
Circunferência de centro C (a,b) e raio r é o conjunto dos pontos do plano cuja distância a C é igual a r e tem por equação:
2 2 2( ) ( )x a y b r
Superfície esféricaSuperfície esférica
De centro C(xDe centro C(x00,y,y00,z,z00) ) raio Rraio R
P(x,y,z) um ponto da superfície esféricaP(x,y,z) um ponto da superfície esférica
2 2 20 0 0( ) ( ) ( )CP R x x y y z z R
O que é equivalente a
2 2 2 20 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z R
O círculoO círculo
Círculo de centro C (a,b) e raio r é o conjunto dos pontos do plano cuja distância a C é menor ou igual a r e tem por equação:
2 2 2( ) ( )x a y b r
A esferaA esfera
2 2 2 20 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z R
De centro C(xDe centro C(x00,y,y00,z,z00) ) R o raio R o raio
P(x,y,z) um ponto da superfície esférica P(x,y,z) um ponto da superfície esférica ou interior a ela ou interior a ela
Plano MediadorPlano Mediador
A BM
O Plano mediador de um segmento de recta [AB] é o conjunto dos pontos equidistantes de A e de B.