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DRAFT
CONCURSO PETROBRAS
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JR - ELETRÔNICA
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JR - ELÉTRICA
ENGENHEIRO(A) DE AUTOMAÇÃO JR
Questões Resolvidas
Controle Linear
QUESTÕES RETIRADAS DE PROVAS DA BANCA CESGRANRIO
Eng. Roni Gabriel Rigoniwww.concursopetrobraseng.com.br
DRAFTIntrodução
Para a utilização deste material é recomendado que o leitor já tenha estudado todo o conteúdo
referente a Controle Linear Contínuo e Discreto, como consta no edital do concurso. Por este motivo,
não é explicado detalhadamente cada método, teorema ou definição utilizados durante as resoluções.
Porém fazemos questão de sempre deixar explícito qual método/teorema/definição está sendo utilizado,
para o leitor poder cunsultá-lo na bibliografia que preferir.
Não será dado nenhum tipo de assistência pós-venda para compradores deste material, ou
seja, qualquer dúvida referente às resoluções deve ser sanada por iniciativa própria do comprador, seja
consultando docentes da área ou a bibliografia. Apenas serão considerados casos em que o leitor
encontrar algum erro (conceitual ou de digitação) e desejar informar ao autor tal erro a fim de ser
corrigido.
O autor deste material não tem nenhum tipo de vínculo com a empresa CESGRANRIO, e as
resoluções aqui apresentadas são de autoria exclusiva de Roni Gabriel Rigoni, formado pela Univer-
sidade Federal de Santa Catarina e atualmente Engenheiro de Automação da Petrobras Transportes -
Transpetro.
Este material é de uso exclusivo do Comprador Cód. T34TRJ59YNKS. Sendo vedada, por
quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se
o infrator à resposabilização civil e criminal.
Faça um bom uso do material, e que ele possa ser muito útil na conquista da sua vaga.
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Capıtulo 1Controle Linear
1.1 Controle Linear Contínuo - Básico
Questão 1(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2008)
11ENGENHEIRO JÚNIOR - ÁREA: AUTOMAÇÃO
(A)3s4s
2s14s202
2
(B)
20s14s2
3s4s2
2
(C)3s4s
20s14s22
2
(D)
20s14s2
1s4s32
2
(E)1s4s3
2s14s202
2
)t(y3dt
)t(dy4
dt
)t(yd)t(u20
dt
)t(du14
dt
)t(ud2
2
2
2
2
36Um determinado sistema físico pode ser modelado através da seguinte equação diferencial ordinária:
onde u(t) e y(t) representam, respectivamente, os sinais de entrada e de saída do sistema. A função de transferência )s(U
)s(Y)s(G
deste sistema é
37Um sistema dinâmico em malha fechada pode ser modelado sob a forma de espaço de estado através das seguintesequações:
As posições dos pólos no plano s da função de transferência deste sistema são(A) s
1 = 2 e s
2 = 3 (B) s
1 = 1 e s
2 = 3
(C) s1 = 1 e s2 = 2 (D) s1 = 2 e s2 = 4(E) s
1 = 3 e s
2 = 5
38Os CLPs da Figura 1 estão conectados numa rede do tipo mestre-escravo. O CLP mestre M realiza uma varredura cíclica atodos os CLPs escravos Ei (i =1..n) para realizar o intercâmbio de dados. A comunicação por rede permite que os CLPscompartilhem variáveis. O ciclo de varredura da rede é independente do ciclo de varredura interno dos CLPs, este composto portrês etapas: (i) atualização da memória de entrada e saída local; (ii) atualização da memória de dados referentes à rede; e (iii)execução do programa de aplicação do usuário. Na etapa (ii), os dados recebidos por uma comunicação de rede são atualizadosna memória interna e os dados referentes aos outros CLPs são repassados para transmissão. O intercâmbio de dados entrediferentes estações escravas Ei é feito por intermédio do CLP mestre M.
Numa comunicação escravo-escravo, ilustrada na Figura 2, o CLP E1 recebe um estímulo na entrada correspondente ao pontoX11, que atualiza o ponto C01 do CLP M e que, conseqüentemente, provoca uma modificação no ponto C21 do CLP E2.Considere que os tempos de varredura dos CLPs M, E1 e E2 sejam todos de 50ms, que o tempo requerido para completar atransmissão na rede seja de 20ms, e desconsidere o tempo necessário para a percepção de um estímulo na entrada de umCLP. O tempo mínimo, em milissegundos, em que um sinal conectado à entrada correspondente ao ponto X11 deve permane-cer num determinado estado para que este seja percebido no ponto C21 é(A) 320 (B) 340 (C) 370 (D) 390 (E) 420
)t(x
)t(x02)t(y
)t(u3
1
)t(x
)t(x
01
65
)t(x
)t(x
2
1
2
1
2
1
código no CLP M:
| C01 C21 ||---| |---( )---|| |....
código no CLP E1:
| X11 C01 ||---| |---( )---|| |....
código no CLP E2:
| C21 ||---| |--- ... || |....
Figura 2Instância de comunicação entre
estações Escravo-EscravoFigura 1
CLPs interconectados em rede
CLP M CLP E1 CLP EnCLP E2
(A)
(C)
(E)
(B)
(D)
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Resolução:
Aplicando a Transformada de Laplace, temos:
2s2U(s) + 14sU(s) + 20U(s) = s2Y (s) + 4sY (s) + 3Y (s)
U(s)[2s2 + 14s+ 20
]= Y (s)
[s2 + 4s+ 3
]Y (s)
U(s)= G(s) =
2s2 + 14s+ 20
s2 + 4s+ 3
Alternativa (C)
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Questão 2(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2006)
PROVA 35 - ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO8
27
A figura acima mostra uma fonte de tensão contínua alimen-tando um circuito RC. Com o capacitor descarregado, a chavefecha-se no instante inicial, isto é, em t=0. A expressãomatemática do tempo total (t), contado a partir do instanteinicial até o capacitor se carregar com 1/5 da tensão dafonte, é:
(A) RC,20
(B)
3
5
2ln
RC
(C) ( )20,lnRC
(D)
5
3
2ln
RC
(E) RC,60
28Considere a figura abaixo.
A chave S, no circuito, encontrava-se aberta por um longotempo, tendo o circuito alcançado o regime permanente.Imediatamente após fechar a chave S, o valor da corrente I1,em ampères, será:(A) 0,75 (B) 1,00(C) 1,25 (D) 1,50(E) 2,00
R
E+
C R
12 V
2 mH
3 mFS
4
5 20
I1
+
29Uma planta industrial pode ser modelada através de umaFunção de Transferência G(s) racional e contínua, de terceiraordem, estritamente própria e estável. Com relação a G(s),é correto afirmar que:(A) possui três pólos localizados no semiplano s da direita.(B) possui pelo menos um zero localizado no infinito.(C) o seu grau relativo é zero.(D) possui dois zeros localizados sobre o eixo imaginário no
plano s.(E) todos os pólos estão localizados sobre o eixo real nega-
tivo.
30
A figura acima mostra um sinal oriundo de uma descarga decapacitor, cuja expressão é dada por:
( )( )
<=≥= α−
00
0
tparatf
tparaAetf t
onde A e α são constantes positivas. A expressão da Trans-formada de Fourier deste sinal é:
(A) ( )ω+α
ω=ωj
AF
(B) ( )ω+α
=ωj
AF
(C) ( )ω−α
=ωj
AF
(D) ( )22 ω+α
=ω AF
(E) ( )22 ω+α
=ω AF
f(t)
0 t
A
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Resolução:
Supondo que a Função de Transferência da planta seja G(s) = N(s)D(s)
. Da
teoria de controle sabemos que:
• Se grau[D(s)] ≥ grau[N(s)]→ G(s) é uma FT própria.
• Se grau[D(s)] > grau[N(s)]→ G(s) é uma FT estritamente própria.
Como a G(s) em questão é estritamente própria, sabemos que existem mais
pólos do que zeros nesta FT. Consequentemente pelo menos um pólo vai para
infinito na nossa análise de Lugar das Raízes, ou seja, há pelo menos um zero no
infinito.
Alternativa (B)
Analisando as outras alternativas:
(A) Falso, pois deste modo a planta seria instável.
(C) Falso, como grau[D(s)] > grau[N(s)], o grau relativo é no minimo 1.
(D) Falso, pois nesse caso a estabilidade estaria condicionada.
(E) Falso, os pólos podem estar em qualquer parte do semiplano complexo es-
querdo.
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Questão 3(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2006)
PROVA 35 - ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO9
31Num circuito elétrico, o sinal de tensão v(t), causal, é repre-sentado matematicamente pela expressão no domínio deLaplace:
( )204
20102 ++
+=ss
ssV
Esta tensão tem a sua expressão no domínio do tempo,
para 0≥t , dada por:
(A) ( ) ( )tcosetv t 410 2−=
(B) ( ) ( )tsenetv t 410 2−=
(C) ( )
π+= −
4420 2 tsenetv t
(D) ( ) ( )tcosetv t 2010 4−=
(E) ( ) ( )tsenetv t 2010 4−=
32Considere a tabela abaixo:
Cinco processos, nomeados A, B, C, D e E, chegam quasesimultaneamente a um processador para serem executados.Consideram-se desprezíveis as diferenças entre os temposde chegada dos processos, porém a ordem de chegada estáindicada na tabela. Os tempos de execução estimados dosprocessos são mostrados na tabela e o processador segueum algoritmo de escalonamento por ordem de chegada ecom fatia de tempo de 1s. O tempo médio de resposta aosprocessos, em segundos, é:(A) 3,0(B) 9,6(C) 10,0(D) 10,2(E) 12,0
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
5
3
1
2
4
Tempo estimado deexecução (s)
Ordem de ChegadaProcesso
33
Um sistema tem a sua entrada x(t) relacionada com a saída
y(t), através da seguinte equação diferencial:
( )txdt
dy
dt
yd105
2
2
=+
Considerando todas as condições iniciais nulas e aplicando,
neste sistema, uma realimentação de saída, com a lei de
controle dada por ( ) ( ) ( )trtKytx +−= , a expressão da
Função de Transferência relacionando a saída Y(s) e a
entrada de referência R(s) é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) ( )
( ) ( )25 10
Y s K
R s s K s K=
+ + +
Kss
K
sR
sY
1052
KsssR
sY
105
102
KsssR
sY
105
102
Kss
K
sR
sY
105
102
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PROVA 35 - ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO9
31Num circuito elétrico, o sinal de tensão v(t), causal, é repre-sentado matematicamente pela expressão no domínio deLaplace:
( )204
20102 ++
+=ss
ssV
Esta tensão tem a sua expressão no domínio do tempo,
para 0≥t , dada por:
(A) ( ) ( )tcosetv t 410 2−=
(B) ( ) ( )tsenetv t 410 2−=
(C) ( )
π+= −
4420 2 tsenetv t
(D) ( ) ( )tcosetv t 2010 4−=
(E) ( ) ( )tsenetv t 2010 4−=
32Considere a tabela abaixo:
Cinco processos, nomeados A, B, C, D e E, chegam quasesimultaneamente a um processador para serem executados.Consideram-se desprezíveis as diferenças entre os temposde chegada dos processos, porém a ordem de chegada estáindicada na tabela. Os tempos de execução estimados dosprocessos são mostrados na tabela e o processador segueum algoritmo de escalonamento por ordem de chegada ecom fatia de tempo de 1s. O tempo médio de resposta aosprocessos, em segundos, é:(A) 3,0(B) 9,6(C) 10,0(D) 10,2(E) 12,0
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
5
3
1
2
4
Tempo estimado deexecução (s)
Ordem de ChegadaProcesso
33
Um sistema tem a sua entrada x(t) relacionada com a saída
y(t), através da seguinte equação diferencial:
( )txdt
dy
dt
yd105
2
2
=+
Considerando todas as condições iniciais nulas e aplicando,
neste sistema, uma realimentação de saída, com a lei de
controle dada por ( ) ( ) ( )trtKytx +−= , a expressão da
Função de Transferência relacionando a saída Y(s) e a
entrada de referência R(s) é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) ( )
( ) ( )25 10
Y s K
R s s K s K=
+ + +
Kss
K
sR
sY
1052
KsssR
sY
105
102
KsssR
sY
105
102
Kss
K
sR
sY
105
102
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Resolução:
Substituindo a lei de controle x(t) = −Ky(t) + r(t) em d2ydt2
+ 5dydt
= 10x(t)
temos:
d2y
dt2+ 5
dy
dt= 10(−Ky(t) + r(t))
d2y
dt2+ 5
dy
dt+ 10Ky(t) = 10r(t)
Aplicando a Transformada de Laplace nesta equação encontramos:
s2Y (s) + 5sY (s) + 10KY (s) = 10R(s)
Y (s)[s2 + 5s+ 10K] = 10R(t)
Y (s)
R(s)=
10
s2 + 5s+ 10K
Alternativa (C)
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Questão 4(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/2)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
7
23
O modelo discreto de um sistema, em malha aberta, é representado pela função de transferência .
A figura acima mostra o esboço do lugar das raízes, no plano Z, para esse sistema, em malha fechada, com realimentação
de saída e com o ganho variando no intervalo . O circulo unitário está traçado com linha pontilhada. O valor
do ganho K, para que o sistema em malha fechada esteja no limiar da instabilidade, é
(A) 5,0 (B) 2,5 (C) 1,0 (D) 0,5 (E) 0,25
24
Um sistema de 2a ordem é dado pela sua função de transferência . Sabe-se que o tempo de subida,
medido sobre a curva de resposta ao degrau aplicado nesse sistema, é dado por , onde
• é a razão de amortecimento; e
• ωn é a frequência natural não amortecida.
Para discretizar esse sistema e aplicar um controle digital, o período de amostragem deve ser tal que ocorram 10 amostras
durante o tempo de subida. O valor aproximado desse período é
(A) (B)
(C) (D)
(E)
Resolução:
Comparando o sistema em questão com a representação padrão para sis-
temas de segunda ordem:
G(s) =64
s2 + 8s+ 64=
Kω2n
s2 + 2ζωn + ω2n
De onde tiramos:
ω2n = 64
ωn = 8
2ζωn = 8
ζ =8
2× 8
ζ = 0, 5
Então podemos calcular o valor de φ como segue:
φ = arccos(ζ) = arccos(0, 5) =π
3rad
Agora basta substituirmos os valores na equação dada e encontrarmos o valor do
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tempo de subida TR:
TR =π − φ
ωn√
1− ζ2=
π − π3
8√
1− 0, 52
TR =2π3
8√
75100
=2π
24√
25100× 3
TR =π
12× 510
√3
=π√
3
18
Para termos 10 amostragem durante o tempo de subita, temos que ter T = TR10
,
logo:
T =TR10
=1
10× π√
3
18
T =π√
3
180 Alternativa (B)
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Questão 5(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/2)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
8
Considere as informações a seguir para responder às questões de nos 25 e 26.
O controle de atitude de um satélite em órbita consiste em ajustar, automaticamente, o ângulo de seu eixo, de modo
a direcionar sua antena para a região desejada na superfície da Terra. O modelo simplificado desse sistema consta
de um sinal de entrada, que é o torque τ(t), e de um sinal de saída, que é o ângulo θ(t). Considerando o vetor de
estado definido com , posição angular e , a velocidade angular, obtém-se
o seguinte modelo em espaço de estado.
e
25Aplicando uma realimentação de estado, com a lei de controle dada por , o valor do vetor
de ganhos K, que conduz os polos em malha fechada para as posições −2 e −3, é
(A) [5 6] (B) [2 3] (C) [6 5] (D) [−5 −6] (E) [−2 −3]
26Discretizando este modelo, pelo método ZOH, com o período de amostragem T, obtém-se o modelo discreto dado por:
e A matriz Φ é
(A) (B) (C) (D) (E)
27
O gráfico da figura acima corresponde à resposta ao degrau unitário aplicado na entrada de um sistema de 2a ordem, cuja
função de transferência é . Com base nos dados da figura, os polos desse sistema são complexos,
conjugados e iguais a
(A) (B) (C) (D) (E)
Resolução:
Primeiramente calculamos o ganho estático do sistema(K), baseando-nos
pelo gráfico, sabendo que a entrada foi um degrau unitário (U(s) = 1s):
K =∆Y
∆X=
0, 25− 0
1− 0=
1
4
Agora aplicamos o Teorema do Valor Final (TVF) sobre G(s):
lims→0
sG(s)U(s) = K
lims→0
(s× 16
s2 + 8s+ b× 1
s
)=
1
416
b=
1
4
b = 64
Portanto a equação característica é s2 +8s+64 = 0, e os pólos são as raízes desta
equação:
s1,2 =−8±
√64− 4× 64
2
s1,2 =−8± 8
√1− 4
2
s1,2 = −4± j4√
3
Alternativa (D)
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Questão 6(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/2)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
9
28
O diagrama em blocos da figura acima mostra um sistema
em malha fechada, onde U(s) é o sinal de entrada e Y(s),
o sinal de saída. O valor do ganho K, para que os polos
da função de transferência sejam complexos, con-
jugados e com parte real igual −6,5, é
(A) 20 (B) 15(C) 8 (D) 3(E) 1
29Nas redes de computadores Ethernet, os servidores utilizam um serviço que permite a alocação dinâmica de endereços IPs. O servidor seleciona um endereço IP a partir do pool de endereços disponíveis, atribuindo um endereço ao cliente e acrescentando uma entrada no banco de dados dinâmico. Essa situação normalmente acontece quando um host muda de uma rede para outra ou é conectado e desconectado de uma rede, como no caso de um provedor de serviços. Nesse esquema, endereços IP são fornecidos de forma temporária por um período de tempo limitado. Esse serviço é conhecido pela sigla (A) DNS (B) SSH(C) NAT(D) WINS (E) DHCP
30A figura abaixo mostra um conector usado para conectar o cabo de fibra óptica aos dispositivos de rede.
Ele utiliza um sistema de travamento de baioneta, mais confiável que o sistema conhecido como empurra/puxa. Esse conector é conhecido pela sigla (A) ST (B) SC(C) MT-RJ (D) SMA(E) VF-45
31Uma sub-rede de computadores foi implementada com acesso à Internet, sendo configurada por meio da notação CIDR, com o IP 192.227.75.160/28. A máscara que essa sub-rede está utilizando e seu endereço de broadcasting são, respectivamente,(A) 255.255.255.224 e 192.227.75.175 (B) 255.255.255.224 e 192.227.75.191(C) 255.255.255.240 e 192.227.75.255(D) 255.255.255.240 e 192.227.75.191 (E) 255.255.255.240 e 192.227.75.175
32Observe a figura abaixo. Ela indica dois esquemas de codificação digital, utilizados em redes de computadores.
• Em I, a codificação mantém um pulso de voltagem constante pela duração de um tempo de bit. Os dados em si são codificados como a presença ou ausência de uma transição de sinal no início do tempo de bit. Uma transição no início de um tempo de bit denota um 1 binário, enquanto que nenhuma transição indica um 0 binário. Essa codificação é utilizada em conexões ISDN de baixa velocidade.
• Em II, existe uma transição no meio de cada perío-do de bit. A transição de meio de bit serve como um mecanismo de sincronização e também como dados. Uma transição de alto para baixo representa 0, en-quanto uma transição de baixo para alto representa 1. Essa codificação é utilizada em LANs Ethernet.
As codificações I e II são conhecidas, respectivamente, como (A) NRZ-I e Manchester Diferencial. (B) NRZ-I e Manchester. (C) NRZ-I e NRZ-L. (D) NRZ-L e Manchester.(E) NRZ-L e Manchester Diferencial.
Resolução:
Utilizando álgebra de blocos, podemos reescrever o diagrama de blocos
como segue:
+
15,0 +s
K
12,0
11
+
+
s
)(sU )(sY
-
E também podemos reescrever a primeira Função de Transferência:
1 +1
0, 2s+ 1=
0, 2s+ 2
0, 2s+ 1
Agora podemos então achar a função de transferência Y (s)U(s)
:
Y (s)
U(s)=
0,2s+20,2s+1
× K0,5s+1
1 + 0,2s+20,2s+1
× K0,5s+1
Y (s)
U(s)=
(0, 2s+ 2)K
(0, 2s+ 1)(0, 5s+ 1) + (0, 2s+ 2)K
Agora finalmente podemos identificar a equação característica de Y (s)U(s)
:
(0, 2s+ 1)(0, 5s+ 1) + (0, 2s+ 2)K = 0
s2 + (7 + 2K)s+ (10 + 20K) = 0
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Pelo teorema de báskara, igualamos a parte real dos pólos a −6, 5:
−(7 + 2K)
2= −6, 5
7 + 2K = 13
2K = 6
K = 3
Alternativa (D)
Material de uso exclusivo do Comprador Cód. T34TRJ59YNKS. Sendo vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a suareprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Questão 7(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/2)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
10
33A resposta de um sistema linear à aplicação de um im-pulso δ(t) (delta de Dirac) é dada por h(t) = Aδ(t − t0), onde A e t0 são constantes positivas. Admitindo-se que este sistema tenha como entrada um sinal senoidal defi-nido por x(t) = B cos(2 π f 0t ), o espectro do sinal de saída, correspondente a essa entrada, é dado pela expressão
(A) (ej2πf t0 + e-j2πf t
0)
(B) ABcos(2πf t0)
(C) δ(f )cos(2πf t0)
(D) [δ(f -f0) + δ(f +f0)]e-j2πf t0
(E) δ(f -f0)cos(2πf t0)
34
Deseja-se transmitir, digitalmente, um sinal de vídeo cujo
espectro é limitado à faixa de 0 a 4 MHz. Na conversão
A/D desse sinal, utilizam-se um amostrador que opera na
taxa de Nyquist e um codificador que gera na saída, para
cada amostra na sua entrada, uma palavra binária de
comprimento fixo igual a 12 bits. Para que a interferência
entre símbolos (IES) no receptor seja desprezível, admite-
-se que a largura de banda do canal deve ser, no mínimo,
igual a , onde Ts é o intervalo de sinalização na saída
do modulador, ou, em outras palavras, o intervalo entre
símbolos (sinais) gerados pelo modulador.
Dispondo-se de um canal com largura de banda de 25 MHz,
o método de modulação que atende à condição para que
a IES seja desprezível é o
(A) BPSK
(B) QPSK
(C) FSK-2
(D) PSK-8
(E) QAM-16
35Considere um sistema de segunda ordem com a seguinte função de transferência:
A partir da análise de estabilidade e de desempenho, afirma-se que G(s) é(A) estável, com a frequência natural amortecida igual a
6, e o sistema é subamortecido.(B) estável, com o coeficiente de amortecimento igual a 1,
e o sistema é criticamente amortecido. (C) estável, com o coeficiente de amortecimento igual a 3,
e o sistema é superamortecido.(D) instável, com a frequência natural não amortecida
igual a 3, e o sistema é subamortecido.(E) instável, com frequência natural não amortecida igual
a 6, e o sistema é criticamente amortecido.
36Para análise de estabilidade em sistemas lineares, conside-
re a função de transferência de um sistema em malha fecha-
da, dada por , onde
a constante . Para garantir a estabilidade desse
sistema, o intervalo de variação de k deve ser
(A) 0 < k < 2 (B) 1 < k < 2
(C) k > − 2 (D) k > − 1
(E) k > 0
37Em um determinado processo industrial, sabe-se que a temperatura de uma de suas etapas varia entre 10 ºC e 50 ºC. O instrumento de medição usado para medir essa temperatura possui sua faixa de medida de −50 ºC a 50 ºC, com uma zona morta de 1%. Diante do exposto, afirma-se que o instrumento de medição(A) não apresentará variações de temperaturas inferiores
ou iguais a 0,5 ºC.(B) não apresentará variações de temperaturas inferiores
ou iguais a 1 ºC.(C) não é adequado para a medição na qual é empregado,
visto que pode apresentar distorções na medição da temperatura se a mesma estiver entre 49 ºC e 50 ºC.
(D) mede, embora sem confiabilidade na precisão, tempe-raturas variando em até 0,5 ºC além de sua faixa de medida nominal.
(E) mede, embora sem confiabilidade na precisão, tem-peraturas variando em até 1 ºC além de sua faixa de medida nominal.
Resolução:
Primeiro calculamos os pólos do sistema, que são as raízes da equação
característica s2 + 6s+ 9 = 0:
s =−6±
√62 − 4× 9
2
Logo s1 = s2 = −3, e como ambos pólos estão no semiplano complexo esquerdo,
o sistema é estável. Agora comparamos a função de transferência dada com a
forma padrão de uma função de transferência de segunda ordem:
G(s) =9
s2 + 6s+ 9=
Kω2n
s2 + 2ξωns+ ω2n
De onde tiramos:
ω2n = 9
ωn = 3
2ξωn = 6
ξ =6
2× 3
ξ = 1
Portanto o sistema é estável, com frequência natural não amortecida igual a 3
(ωn = 3), e criticamente amortecido (ξ = 1).
Alternativa (B)
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Questão 8(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/2)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
10
33A resposta de um sistema linear à aplicação de um im-pulso δ(t) (delta de Dirac) é dada por h(t) = Aδ(t − t0), onde A e t0 são constantes positivas. Admitindo-se que este sistema tenha como entrada um sinal senoidal defi-nido por x(t) = B cos(2 π f 0t ), o espectro do sinal de saída, correspondente a essa entrada, é dado pela expressão
(A) (ej2πf t0 + e-j2πf t
0)
(B) ABcos(2πf t0)
(C) δ(f )cos(2πf t0)
(D) [δ(f -f0) + δ(f +f0)]e-j2πf t0
(E) δ(f -f0)cos(2πf t0)
34
Deseja-se transmitir, digitalmente, um sinal de vídeo cujo
espectro é limitado à faixa de 0 a 4 MHz. Na conversão
A/D desse sinal, utilizam-se um amostrador que opera na
taxa de Nyquist e um codificador que gera na saída, para
cada amostra na sua entrada, uma palavra binária de
comprimento fixo igual a 12 bits. Para que a interferência
entre símbolos (IES) no receptor seja desprezível, admite-
-se que a largura de banda do canal deve ser, no mínimo,
igual a , onde Ts é o intervalo de sinalização na saída
do modulador, ou, em outras palavras, o intervalo entre
símbolos (sinais) gerados pelo modulador.
Dispondo-se de um canal com largura de banda de 25 MHz,
o método de modulação que atende à condição para que
a IES seja desprezível é o
(A) BPSK
(B) QPSK
(C) FSK-2
(D) PSK-8
(E) QAM-16
35Considere um sistema de segunda ordem com a seguinte função de transferência:
A partir da análise de estabilidade e de desempenho, afirma-se que G(s) é(A) estável, com a frequência natural amortecida igual a
6, e o sistema é subamortecido.(B) estável, com o coeficiente de amortecimento igual a 1,
e o sistema é criticamente amortecido. (C) estável, com o coeficiente de amortecimento igual a 3,
e o sistema é superamortecido.(D) instável, com a frequência natural não amortecida
igual a 3, e o sistema é subamortecido.(E) instável, com frequência natural não amortecida igual
a 6, e o sistema é criticamente amortecido.
36Para análise de estabilidade em sistemas lineares, conside-
re a função de transferência de um sistema em malha fecha-
da, dada por , onde
a constante . Para garantir a estabilidade desse
sistema, o intervalo de variação de k deve ser
(A) 0 < k < 2 (B) 1 < k < 2
(C) k > − 2 (D) k > − 1
(E) k > 0
37Em um determinado processo industrial, sabe-se que a temperatura de uma de suas etapas varia entre 10 ºC e 50 ºC. O instrumento de medição usado para medir essa temperatura possui sua faixa de medida de −50 ºC a 50 ºC, com uma zona morta de 1%. Diante do exposto, afirma-se que o instrumento de medição(A) não apresentará variações de temperaturas inferiores
ou iguais a 0,5 ºC.(B) não apresentará variações de temperaturas inferiores
ou iguais a 1 ºC.(C) não é adequado para a medição na qual é empregado,
visto que pode apresentar distorções na medição da temperatura se a mesma estiver entre 49 ºC e 50 ºC.
(D) mede, embora sem confiabilidade na precisão, tempe-raturas variando em até 0,5 ºC além de sua faixa de medida nominal.
(E) mede, embora sem confiabilidade na precisão, tem-peraturas variando em até 1 ºC além de sua faixa de medida nominal.
Resolução:
Aplicamos o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz na equação carac-
terística s5 + s4 + 4s3 + 2s2 + 3s+ k − 1:
s5 1 4 3
s4 1 2 (k − 1)
s3 2 (4− k) 0
s2 k2
(k − 1) 0
s1 (−k + 4k) 0
s0 (k − 1)
Para não haver mudanças de sinal na primeira coluna, na linha de s2 temos que
ter:
k
2> 0
k > 0 (1.1)
Na linha de s1 temos que ter:
(−k +4
k) > 0
k2 < 4
−2 <k < 2 (1.2)
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E por último, na linha de s0:
k − 1 > 0
k > 1 (1.3)
Portanto, os valores de k que satisfazem 1.1, 1.2 e 1.3 são:
1 < k < 2
Alternativa (B)
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Questão 9(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/1)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
15
43Seja um sistema linear e invariante no tempo definido peloseu modelo em espaço de estados:
A função de transferência Y(s)/U(s) é
(A) 2
s 2,5
s 1,5 s 3,5
(B) 2
s 3,5
s 1,5 s 2,5
(C) 2
s 2,5
s 3,5 s 1,5
(D) 2
s 1,5
s 3,5 s 2,5
(E) 2
s 1,5
s 3,5 s 1,5
44
O diagrama em blocos da figura acima mostra um sistemalinear, de 2a ordem, composto de dois integradores,somadores e ganhos. A entrada é u(t) e a saída y(t).A função de transferência deste sistema é:
(A)
2
Y s 5s
U s s 3s 2
(B)
2
Y s 5
U s s 3s 2
(C)
2
Y s 5s 1
U s s 3s 2
(D)
2
Y s 5s 1
U s s 3s 2
(E)
2
Y s s 5
U s s 3s 2
1 1
2 2
1
2
x x3 1 1u
x x2 1,5 4
xy 1 0
x
+ +u(t)
3
5
y(t)
2
45
Considere o pulso p(t) mostrado na figura acima. A Trans-formada de Fourier deste pulso é dada pela seguinte ex-pressão:
2
K sen2
P
O valor da constante K é:(A) 4(B) – j4(C) j4(D) 2(E) j2
46
Considere o sinal periódico v(t) mostrado na figura acima.Os pulsos têm amplitude A, largura e se repetem comperíodo T em segundos.Com base nesses dados, analise as afirmativas a seguir.
I - O valor médio de v(t) é zero.II - Os coeficientes da série complexa de Fourier são
grandezas reais.
III - Os harmônicos de ordem par serão nulos se 2T
.
É(São) correta(s) a(s) afirmativa(s)(A) I, apenas.(B) I e II, apenas.(C) I e III, apenas.(D) II e III, apenas.(E) I, II e III.
p(t)
1
1
t1 1
T
v(t)
A
- 0 -A
t
T
Resolução:
Para simplificar, primeiramente chamaremos o sinal entre os dois inte-
gradores de x(t), logo fica fácil achar uma expressão para x(t):
x(t) =
∫[u(t)− 3x(t)− 2
∫x(t)]
x(t) = u(t)− 3x(t)− 2
∫x(t)
x(t) = u(t)− 3x(t)− 2x(t)
Aplicando a Transformada de Laplace temos:
s2X(s) + 3sX(s) + 2X(s) = sU(s)
X(s)[s2 + 3s+ 2] = sU(s) (1.4)
Agora, analisando o diagrama novamente, podemos encontrar uma expressão
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para y(t), em função de x(t):
y(t) = 5x(t) +
∫x(t)
y(t) = 5x(t) + x(t)
Aplicando a Transformada de Laplace:
sY (s) = 5sX(s) +X(s)
X(s) =s
5s+ 1Y (s) (1.5)
Agora basta substituirmos a equação 1.5 na equação 1.4:
Y (s)s
5s+ 1[s2 + 3s+ 2] = sU(s)
Y (s)
U(s)=
5s+ 1
s2 + 3s+ 2 Alternativa (D)
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Questão 10(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/1)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
16
47Um sinal discreto e causal é representado por umasequência x(n) que, no domínio da variável z, é represen-tada pela função:
2
2
5z 7zX z
z 3z 2
Os três primeiros valores da sequência x(n), ou seja, x(0),x(1) e x(2), respectivamente, são(A) 0, 5 e 8(B) 0, 8 e 14(C) 5, 7 e 14(D) 5, 8 e 14(E) 8, 14 e 26
48
O diagrama em blocos da figura acima mostra um filtrodigital, tendo X(z) como entrada e Y(z) como saída. A ex-
pressão da função de transferência
Y zH z
X z é
(A) 2
2
z 3z 2H z
z 3z 8
(B)
2
2
z 3z 8H z
5z 3z 2
(C) 2
2
2z 3z 5H z
z 3z 8
(D)
2
2
3z 2z 5H z
z 8z 3
(E) 2
2
5z 3z 2H z
z 3z 8
X(z)5
3
2z
-1
Y(z)
-8
-3
z-1
z-1
z-1
++
+
49Um sinal de 3 MHz de banda será transmitido por meio deum cabo coaxial, cuja atenuação, nesta faixa de frequência,é de 4 dB/km. A potência do transmissor é de 10 W e oreceptor tem sensibilidade de recepção de 100 W, ou seja,abaixo desta potência o receptor não detecta o sinal. Combase nesses dados, qual a distância máxima em linha reta,medida em km, em que o receptor deve ser instalado paraque ocorra a recepção do sinal?(A) 5,0(B) 6,5(C) 9,0(D) 12,5(E) 24,0
Considere os dados a seguir, para responder às ques-tões de nos 50 e 51.
Um sistema linear apresenta a seguinte configuração emmalha fechada:
Aplicando um impulso unitário na entrada deste sistema, osinal y(t) de saída será da forma:
t-sy(t) = Me sen( t)
50Considerando que = 4 rad/s, o valor do ganho K é:(A) 85(B) 50(C) 45(D) 41(E) 25
51O valor da constante M na expressão da resposta y(t) emfunção do ganho K é:
(A) 1
(B)K
K 25
(C)K
K 25
(D) K
(E)1
K
R(s) K Y(s)s(s+10)
Resolução:
A resolução desta questão é bem direta. Do diagrama de blocos tiramos
que:
Y (z) = [−3z−1Y (z)− 8z−2Y (z)] + [5X(z) + 3z−1X(z) + 2z−2X(z)]
Y (z)(1 + 3z−1 + 8z−2) = X(z)(5 + 3z−1 + 2z−2)
Y (z)
X(z)=
5 + 3z−1 + 2z−2
1 + 3z−1 + 8z−2× z2
z2
Y (z)
X(z)= H(z) =
5z2 + 3z + 2
z2 + 3z + 8
Alternativa (E)
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Questão 11(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/1)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
16
47Um sinal discreto e causal é representado por umasequência x(n) que, no domínio da variável z, é represen-tada pela função:
2
2
5z 7zX z
z 3z 2
Os três primeiros valores da sequência x(n), ou seja, x(0),x(1) e x(2), respectivamente, são(A) 0, 5 e 8(B) 0, 8 e 14(C) 5, 7 e 14(D) 5, 8 e 14(E) 8, 14 e 26
48
O diagrama em blocos da figura acima mostra um filtrodigital, tendo X(z) como entrada e Y(z) como saída. A ex-
pressão da função de transferência
Y zH z
X z é
(A) 2
2
z 3z 2H z
z 3z 8
(B)
2
2
z 3z 8H z
5z 3z 2
(C) 2
2
2z 3z 5H z
z 3z 8
(D)
2
2
3z 2z 5H z
z 8z 3
(E) 2
2
5z 3z 2H z
z 3z 8
X(z)5
3
2z
-1
Y(z)
-8
-3
z-1
z-1
z-1
++
+
49Um sinal de 3 MHz de banda será transmitido por meio deum cabo coaxial, cuja atenuação, nesta faixa de frequência,é de 4 dB/km. A potência do transmissor é de 10 W e oreceptor tem sensibilidade de recepção de 100 W, ou seja,abaixo desta potência o receptor não detecta o sinal. Combase nesses dados, qual a distância máxima em linha reta,medida em km, em que o receptor deve ser instalado paraque ocorra a recepção do sinal?(A) 5,0(B) 6,5(C) 9,0(D) 12,5(E) 24,0
Considere os dados a seguir, para responder às ques-tões de nos 50 e 51.
Um sistema linear apresenta a seguinte configuração emmalha fechada:
Aplicando um impulso unitário na entrada deste sistema, osinal y(t) de saída será da forma:
t-sy(t) = Me sen( t)
50Considerando que = 4 rad/s, o valor do ganho K é:(A) 85(B) 50(C) 45(D) 41(E) 25
51O valor da constante M na expressão da resposta y(t) emfunção do ganho K é:
(A) 1
(B)K
K 25
(C)K
K 25
(D) K
(E)1
K
R(s) K Y(s)s(s+10)
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16
47Um sinal discreto e causal é representado por umasequência x(n) que, no domínio da variável z, é represen-tada pela função:
2
2
5z 7zX z
z 3z 2
Os três primeiros valores da sequência x(n), ou seja, x(0),x(1) e x(2), respectivamente, são(A) 0, 5 e 8(B) 0, 8 e 14(C) 5, 7 e 14(D) 5, 8 e 14(E) 8, 14 e 26
48
O diagrama em blocos da figura acima mostra um filtrodigital, tendo X(z) como entrada e Y(z) como saída. A ex-
pressão da função de transferência
Y zH z
X z é
(A) 2
2
z 3z 2H z
z 3z 8
(B)
2
2
z 3z 8H z
5z 3z 2
(C) 2
2
2z 3z 5H z
z 3z 8
(D)
2
2
3z 2z 5H z
z 8z 3
(E) 2
2
5z 3z 2H z
z 3z 8
X(z)5
3
2z
-1
Y(z)
-8
-3
z-1
z-1
z-1
++
+
49Um sinal de 3 MHz de banda será transmitido por meio deum cabo coaxial, cuja atenuação, nesta faixa de frequência,é de 4 dB/km. A potência do transmissor é de 10 W e oreceptor tem sensibilidade de recepção de 100 W, ou seja,abaixo desta potência o receptor não detecta o sinal. Combase nesses dados, qual a distância máxima em linha reta,medida em km, em que o receptor deve ser instalado paraque ocorra a recepção do sinal?(A) 5,0(B) 6,5(C) 9,0(D) 12,5(E) 24,0
Considere os dados a seguir, para responder às ques-tões de nos 50 e 51.
Um sistema linear apresenta a seguinte configuração emmalha fechada:
Aplicando um impulso unitário na entrada deste sistema, osinal y(t) de saída será da forma:
t-sy(t) = Me sen( t)
50Considerando que = 4 rad/s, o valor do ganho K é:(A) 85(B) 50(C) 45(D) 41(E) 25
51O valor da constante M na expressão da resposta y(t) emfunção do ganho K é:
(A) 1
(B)K
K 25
(C)K
K 25
(D) K
(E)1
K
R(s) K Y(s)s(s+10)
Resolução:
Primeiramente achamos a equação de Malha Fechada do sistema (Y (s)R(s)
), ou
seja:
Y (s)
R(s)=
K
s(s+ 10) +K=
K
s2 + 10s+K(1.6)
Porém sabemos que a resposta de um sistema a uma entrada impulsiva é igual à
anti-transformada de Laplace da função de transferência. Ou seja, se aplicarmos a
Transformada de Laplace à saída apresentada (devido a uma entrada impulsiva),
o resultado deve ser igual à função de transferência 1.6. Então, sabendo que a
Transformada de Laplace da saída é dada por:
Me−σt sin(ωt)L=⇒M
ω
(s+ σ)2 + ω2(1.7)
Agora devemos deixar a equação 1.6 na mesma forma da equação 1.7, para isso
precisamos de um pequeno trabalho algébrico:
K
s2 + 10s+K=
K
(s+ 5)2 + (K − 25)︸ ︷︷ ︸ω2
(1.8)
Logo, se ω2 = K − 25, então ω =√
(K − 25). Então podemos finalmente reorgani-
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zar a FT 1.8 para ficar igual à equação 1.6, como segue:
K
(s+ 5)2 + (K − 25)=
[K√
K − 25
]︸ ︷︷ ︸
M
×
ω︷ ︸︸ ︷√K − 25
(s+ 5)2 + (K − 25)︸ ︷︷ ︸ω2
(1.9)
Como foi dado que ω = 4rad/s, podemos calcular o valor de K como segue:
ω2 = K − 25
42 = K − 25
K = 16 + 25 = 41
Alternativa (D)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
16
47Um sinal discreto e causal é representado por umasequência x(n) que, no domínio da variável z, é represen-tada pela função:
2
2
5z 7zX z
z 3z 2
Os três primeiros valores da sequência x(n), ou seja, x(0),x(1) e x(2), respectivamente, são(A) 0, 5 e 8(B) 0, 8 e 14(C) 5, 7 e 14(D) 5, 8 e 14(E) 8, 14 e 26
48
O diagrama em blocos da figura acima mostra um filtrodigital, tendo X(z) como entrada e Y(z) como saída. A ex-
pressão da função de transferência
Y zH z
X z é
(A) 2
2
z 3z 2H z
z 3z 8
(B)
2
2
z 3z 8H z
5z 3z 2
(C) 2
2
2z 3z 5H z
z 3z 8
(D)
2
2
3z 2z 5H z
z 8z 3
(E) 2
2
5z 3z 2H z
z 3z 8
X(z)5
3
2z
-1
Y(z)
-8
-3
z-1
z-1
z-1
++
+
49Um sinal de 3 MHz de banda será transmitido por meio deum cabo coaxial, cuja atenuação, nesta faixa de frequência,é de 4 dB/km. A potência do transmissor é de 10 W e oreceptor tem sensibilidade de recepção de 100 W, ou seja,abaixo desta potência o receptor não detecta o sinal. Combase nesses dados, qual a distância máxima em linha reta,medida em km, em que o receptor deve ser instalado paraque ocorra a recepção do sinal?(A) 5,0(B) 6,5(C) 9,0(D) 12,5(E) 24,0
Considere os dados a seguir, para responder às ques-tões de nos 50 e 51.
Um sistema linear apresenta a seguinte configuração emmalha fechada:
Aplicando um impulso unitário na entrada deste sistema, osinal y(t) de saída será da forma:
t-sy(t) = Me sen( t)
50Considerando que = 4 rad/s, o valor do ganho K é:(A) 85(B) 50(C) 45(D) 41(E) 25
51O valor da constante M na expressão da resposta y(t) emfunção do ganho K é:
(A) 1
(B)K
K 25
(C)K
K 25
(D) K
(E)1
K
R(s) K Y(s)s(s+10)
Resolução:
Como indicado na equação 1.9, tiramos diretamente que:
M =K√
K − 25 Alternativa (C)
Material de uso exclusivo do Comprador Cód. T34TRJ59YNKS. Sendo vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a suareprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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9YNKS
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Questão 12(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/1)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
18
56
Um sistema linear com função de transferência
2
3H s =
s + 4s 5 está submetido a uma malha de con-
trole, conforme indicado no diagrama de blocos acima, em
que K1 e K2 são ganhos (constantes reais). As
especificações para o sistema em malha fechada são:
- frequência natural não amortecida de 2 rad/s;
- erro de estado estacionário nulo para a resposta ao de-
grau em r(t).
Os valores de K1 e K2 que atendem às especificações são,
respectivamente,
(A)5 3
e3 2
(B)7 3
e3 5
(C)3 2
e5 3
(D) 2 7
e3 3
(E)3 3
e2 5
r(s)K1
u(s)H(s)
y(s)
K2
++
_
57
O Grafcet da figura acima é tipicamente utilizado no con-trole de sistemas de fabricação sequenciais. As entradassão os sinais binários P e L. A notação X indica a detecçãoda borda de subida do sinal binário X, isto é, a passagemdo nível lógico 0 para o nível lógico 1. Considerando queem t = 0 apenas a etapa 1 estava ativa e que as entradasse comportaram de 0 a 13 s, conforme indicado nos gráfi-cos, as etapas ativas em t = 13 s são:(A) 1 e 4(B) 1, 3 e 4(C) 2 e 3(D) 2, 3 e 4(E) 2, 3 e 5
( P).L
PL
1
2 3
4
5
P
P
0 1 3 6 8 9 11 12 13
0
1L
0 2 3 4 5 7 10 13
0
1P
8 Tempo [s]
Tempo [s]
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
18
56
Um sistema linear com função de transferência
2
3H s =
s + 4s 5 está submetido a uma malha de con-
trole, conforme indicado no diagrama de blocos acima, em
que K1 e K2 são ganhos (constantes reais). As
especificações para o sistema em malha fechada são:
- frequência natural não amortecida de 2 rad/s;
- erro de estado estacionário nulo para a resposta ao de-
grau em r(t).
Os valores de K1 e K2 que atendem às especificações são,
respectivamente,
(A)5 3
e3 2
(B)7 3
e3 5
(C)3 2
e5 3
(D) 2 7
e3 3
(E)3 3
e2 5
r(s)K1
u(s)H(s)
y(s)
K2
++
_
57
O Grafcet da figura acima é tipicamente utilizado no con-trole de sistemas de fabricação sequenciais. As entradassão os sinais binários P e L. A notação X indica a detecçãoda borda de subida do sinal binário X, isto é, a passagemdo nível lógico 0 para o nível lógico 1. Considerando queem t = 0 apenas a etapa 1 estava ativa e que as entradasse comportaram de 0 a 13 s, conforme indicado nos gráfi-cos, as etapas ativas em t = 13 s são:(A) 1 e 4(B) 1, 3 e 4(C) 2 e 3(D) 2, 3 e 4(E) 2, 3 e 5
( P).L
PL
1
2 3
4
5
P
P
0 1 3 6 8 9 11 12 13
0
1L
0 2 3 4 5 7 10 13
0
1P
8 Tempo [s]
Tempo [s]
Resolução:
Primeiramente achamos a FTMF:
Y (s)
R(s)=
K1H(s)
1 +K2H(s)
Y (s)
R(s)=
K13
s2+4s−5
1 +K23
s2+4s−5
Y (s)
R(s)=
3K1
s2 + 4s+ (3K2 − 5)
Agora comparamos esta FT com uma FT padrão de segunda ordem:
Y (s)
R(s)=
3K1
s2 + 4s+ (3K2 − 5)=
Kω2n
s2 + 2ξωns+ ω2n
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De onde tiramos que:
ω2n = 3K2 − 5
(√
2)2 = 3K2 − 5
K2 =7
3
Para um erro estacionário nulo a uma entrada degrau temos que ter Y (s)R(s)
= 1
quando U(s) = 1s
e s→ 0. Ou seja, pelo Teorema do Valor Final:
lims→0
(sY (s)
R(s)× 1
s
)=
3K1
3K2 − 5= 1
3K1 = 3K2 − 5
3K1 = 37
3− 5
K1 =2
3 Alternativa (D)
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Questão 13(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Termoaçu 2008/1)
7ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR (ELETRÔNICA)
(A) )DC(ABY (B) )DC()BA(Y
(C) )BA(CDY (D) CD)BA(Y
(E) )DC(ABY
26
Um 7485, cuja pinagem está indicada na figura acima, éusado para comparar 2 números de 4 bits sem sinal (0 a 15).Para usá-lo como comparador de 2 números com sinal(-8 a +7), onde os números negativos são representadosem complemento 2, três opções são apresentadas:
I - trocar os bits mais significativos A3 por B3 e vice-versade cada um dos números de 4 bits antes de ligá-los aocomparador;
II - passar por um inversor o bit mais significativo de cadanúmero de 4 bits antes de ligá-los ao comparador;
III - passar por um inversor as saídas A>B e A<B.
Está(ão) correta(s) APENAS a(s) opção(ões)(A) I (B) II(C) III (D) I e II(E) II e III
27
No circuito da figura acima, considera-se que o capacitor e oindutor estão inicialmente descarregados. A chave é fechadano tempo t=0s e, neste instante, uma medida de corrente ( I0 )é feita no amperímetro (AMP). Com a chave fechada até ocircuito atingir o regime permanente, outra medida de cor-rente ( Iss ) é feita. Os valores, em A, das medidas I0 e Iss ,respectivamente, são(A) 0,0 e 1,2(B) 0,0 e 1,5(C) 0,3 e 0,0(D) 0,4 e 1,2(E) 2,0 e 3,0
28
O circuito CMOS da figura acima implementa a função lógica
Para responder às questões 29 e 30, considere o sistemaem Malha Fechada, com realimentação unitária desaída, mostrado na figura.
Para um determinado valor de K positivo, dois dos pólosestarão sobre o eixo imaginário e o sistema entra emoscilação.
29Com base nos dados apresentados, a oscilação ocorre parao valor de K igual a(A) 2500 (B) 1850 (C) 1200 (D) 500 (E) 100
30Com base nos dados apresentados, a freqüência angular deoscilação, em rad/s, é(A) 5 (B) 10 (C) 20 (D) 50 (E) 100
50
50 0,05 F
AMP
120 V+
+
-
-
10
0,2 h
10121315911141234
A<BA=BA>B
A0A1A2A3B0B1B2B3A<BiA=BiA>Bi
7485
765
+VDD +VDD
QPB
QPA
QNBQNA
QND
QNC
QPC QPDBC D
C
Y
D
B A
A
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7ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR (ELETRÔNICA)
(A) )DC(ABY (B) )DC()BA(Y
(C) )BA(CDY (D) CD)BA(Y
(E) )DC(ABY
26
Um 7485, cuja pinagem está indicada na figura acima, éusado para comparar 2 números de 4 bits sem sinal (0 a 15).Para usá-lo como comparador de 2 números com sinal(-8 a +7), onde os números negativos são representadosem complemento 2, três opções são apresentadas:
I - trocar os bits mais significativos A3 por B3 e vice-versade cada um dos números de 4 bits antes de ligá-los aocomparador;
II - passar por um inversor o bit mais significativo de cadanúmero de 4 bits antes de ligá-los ao comparador;
III - passar por um inversor as saídas A>B e A<B.
Está(ão) correta(s) APENAS a(s) opção(ões)(A) I (B) II(C) III (D) I e II(E) II e III
27
No circuito da figura acima, considera-se que o capacitor e oindutor estão inicialmente descarregados. A chave é fechadano tempo t=0s e, neste instante, uma medida de corrente ( I0 )é feita no amperímetro (AMP). Com a chave fechada até ocircuito atingir o regime permanente, outra medida de cor-rente ( Iss ) é feita. Os valores, em A, das medidas I0 e Iss ,respectivamente, são(A) 0,0 e 1,2(B) 0,0 e 1,5(C) 0,3 e 0,0(D) 0,4 e 1,2(E) 2,0 e 3,0
28
O circuito CMOS da figura acima implementa a função lógica
Para responder às questões 29 e 30, considere o sistemaem Malha Fechada, com realimentação unitária desaída, mostrado na figura.
Para um determinado valor de K positivo, dois dos pólosestarão sobre o eixo imaginário e o sistema entra emoscilação.
29Com base nos dados apresentados, a oscilação ocorre parao valor de K igual a(A) 2500 (B) 1850 (C) 1200 (D) 500 (E) 100
30Com base nos dados apresentados, a freqüência angular deoscilação, em rad/s, é(A) 5 (B) 10 (C) 20 (D) 50 (E) 100
50
50 0,05 F
AMP
120 V+
+
-
-
10
0,2 h
10121315911141234
A<BA=BA>B
A0A1A2A3B0B1B2B3A<BiA=BiA>Bi
7485
765
+VDD +VDD
QPB
QPA
QNBQNA
QND
QNC
QPC QPDBC D
C
Y
D
B A
A
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Resolução:
Encontrar o valor de K que provoca oscilação é o mesmo que achar o lim-
ite de instabilidade do sistema. Para isso podemos utilizar o método de Routh-
Hurwitz, ou podemos utilizar o fato dos pólos estarem robre o eixo imaginário e
igualar os pólos do sistema a pólos puramente complexos. Para diversificar, nesta
questão escolheremos o segundo método. Logo, ter os dois pólos sobre o eixo
imaginário implica em s = ±jω, logo:
s(s+ 5)(s+ 20) +K = 0
s3 + 25s2 + 100s+K = 0
(jω)3 + 25(jω)2 + 100(jω) +K = 0
−jω3 − 25ω2 + 100jω +K = 0 (1.10)
Para a equação 1.10 ser igual a zero, tanto a parte real como a imaginária devem
ser zero. Igualando a parte imaginária da equação 1.10 a zero temos:
(100ω − ω3)j = 0
ω(100− ω2) = 0
ω = 0 ou ω = ±10
Como o valor de ω deve positivo e não nulo, temos ω = 10.
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Igualando a parte real da equação 1.10 a zero temos:
K − 25ω2 = 0
K = 25ω2
K = 25× 102
K = 2500
Alternativa (A)
7ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR (ELETRÔNICA)
(A) )DC(ABY (B) )DC()BA(Y
(C) )BA(CDY (D) CD)BA(Y
(E) )DC(ABY
26
Um 7485, cuja pinagem está indicada na figura acima, éusado para comparar 2 números de 4 bits sem sinal (0 a 15).Para usá-lo como comparador de 2 números com sinal(-8 a +7), onde os números negativos são representadosem complemento 2, três opções são apresentadas:
I - trocar os bits mais significativos A3 por B3 e vice-versade cada um dos números de 4 bits antes de ligá-los aocomparador;
II - passar por um inversor o bit mais significativo de cadanúmero de 4 bits antes de ligá-los ao comparador;
III - passar por um inversor as saídas A>B e A<B.
Está(ão) correta(s) APENAS a(s) opção(ões)(A) I (B) II(C) III (D) I e II(E) II e III
27
No circuito da figura acima, considera-se que o capacitor e oindutor estão inicialmente descarregados. A chave é fechadano tempo t=0s e, neste instante, uma medida de corrente ( I0 )é feita no amperímetro (AMP). Com a chave fechada até ocircuito atingir o regime permanente, outra medida de cor-rente ( Iss ) é feita. Os valores, em A, das medidas I0 e Iss ,respectivamente, são(A) 0,0 e 1,2(B) 0,0 e 1,5(C) 0,3 e 0,0(D) 0,4 e 1,2(E) 2,0 e 3,0
28
O circuito CMOS da figura acima implementa a função lógica
Para responder às questões 29 e 30, considere o sistemaem Malha Fechada, com realimentação unitária desaída, mostrado na figura.
Para um determinado valor de K positivo, dois dos pólosestarão sobre o eixo imaginário e o sistema entra emoscilação.
29Com base nos dados apresentados, a oscilação ocorre parao valor de K igual a(A) 2500 (B) 1850 (C) 1200 (D) 500 (E) 100
30Com base nos dados apresentados, a freqüência angular deoscilação, em rad/s, é(A) 5 (B) 10 (C) 20 (D) 50 (E) 100
50
50 0,05 F
AMP
120 V+
+
-
-
10
0,2 h
10121315911141234
A<BA=BA>B
A0A1A2A3B0B1B2B3A<BiA=BiA>Bi
7485
765
+VDD +VDD
QPB
QPA
QNBQNA
QND
QNC
QPC QPDBC D
C
Y
D
B A
A
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Resolução:
O valor da frequência angular de oscilação já foi encontrado no cálculo da
questão anterior, sendo ω = 10rad/s.
Alternativa (B)
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Questão 14(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Refap 2007)
8Engenheiro de Equipamentos Júnior - Eletrônica
(A)
2
VV
KE
D4 2
(B)VV
EK
D4 2
(C)12
1V
VKE
4D
(D)1
2 2V
VKE
D
(E)VV
KE
4D2
+
+
STRAIN GAUGEATIVO
Resistência R + R
SAÍDAV
AlimentaçãoV
F
F
D
R
R
STRAIN GAUGEDE COMPENSAÇÃO
Resistência R
27
Dois strain gauges, conectados em um circuito em ponte,são utilizados para a medida da força longitudinal de traçãosobre uma barra de aço cilíndrica, conforme indicado na figu-ra. O circuito em ponte é ajustado de tal forma que, quandonão há esforço longitudinal na barra, a tensão de saída é nula.Considerando que o diâmetro da barra é D, o Módulo de Youngdo aço é E, os strain gauges possuem fator gauge K, a ten-são de alimentação é V e a tensão de saída é ∆V, a expres-são para a força de tração na barra será:
28Uma linguagem descritiva de hardware é hoje uma ferramentaimportante para o desenvolvimento de circuitos integrados.Dentre as mais populares, destaca-se a VHDL. Assinale aafirmativa INCORRETA relacionada com essa linguagem deprogramação.(A) A linguagem VHDL possui interface de alto nível com a
eletrônica.(B) A linguagem VHDL possui portabilidade na indústria.(C) O processamento em VHDL é descrito de forma
seqüencial.(D) Um componente é descrito em VHDL, baseado em sua
arquitetura estrutural ou comportamental.(E) Um código escrito em VHDL pode ser testado em circui-
tos FPGA durante a fase de desenvolvimento.
24
A figura acima apresenta um circuito elétrico operando emregime permanente com a chave S1 fechada. Em determina-do instante, a chave S1 é aberta. Imediatamente após esseinstante, a corrente IC, em ampères, que atravessa o capacitorde 1 mF no circuito, aproximadamente, será:(A) 0,01 (B) 0,02(C) 0,05 (D) 0,08(E) 0,10
25Considere um sistema, com entrada u(t) e saída y(t), cujafunção de transferência é dada por:
4 10
Y s KG s
U s s s s
Fecha-se a malha, com realimentação de saída do tipou(t) = -y(t) + r(t), onde r(t) é uma entrada de referência. Combase nesses dados, qual o valor de K para que dois dos pólosdo sistema, em malha fechada, sejam imaginários puros?(A) 40 (B) 100(C) 340 (D) 560(E) 820
26
Para implementar o diagrama de estados da figura acima,com 2 flip-flops tipo D, a lógica de menor hardware da entradaD
B do flip-flop mais significativo é:
(A) V3.QB+ Q
A(B) V3.Q
B.Q
A+Q
A
(C) V3 + QA
(D) V1. QB. Q
A + V2.Q
A
(E) V1. QB+ Q
B.Q
A
10
10
+
40
20
-5V
S1
40mF1
mF2
mH5cI
00
V1
V2
V1
V2V3
V301
11 10
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Resolução:
Primeiramente devemos encontrar a Função de Transferência de Malha
Fechada (FTMF) do sistema:
G(s) =Y (s)
U(s)=
Ks(s+4)(s+10)
1 + Ks(s+4)(s+10)
=K
s(s+ 4)(s+ 10) +K
=K
s3 + 14s2 + 40s+K
Para que dois pólos do sistema sejam imaginários puros, estes devem ser do tipo
s = jω e devem satisfazer a equação característica, logo:
s3 + 14s2 + 40s+K = 0
(jω)3 + 14(jω)2 + 40(jω) +K = 0
−ω3j − 14ω2 + 40ωj +K = 0
(40ω − ω3)j + (K − 14ω2) = 0
Igualando a parte imaginária a zero temos:
40ω − ω3 = 0
ω(40− ω2) = 0
ω2 = 40 ou ω = 0
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Agora igualamos a parte real a zero, e utilizamos o valor não nulo de ω:
K − 14ω2 = 0
K − 14× 40 = 0
K = 560
Alternativa (D)
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Questão 15(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Refap 2007)
10Engenheiro de Equipamentos Júnior - Eletrônica
V1 B(K)
X(K) V1/A(K,K)
V1 B(K 1)
X(K 1) V1/ A(K,K)
V1 B(K 1)
X(K 1) V1/ A(K,K)
V1 B(K)
X(K-1) A(K+1,K+1)/V1
V1 B(K 1)
X(K) A(K,K)/V1
36Para calcular a solução de um sistema de equações linea-
res, um programador escreveu um algoritmo. Os coeficien-
tes numéricos das variáveis x1, x
2, ... x
n encontram-se arma-
zenados na matriz A e os termos independentes, no vetor B,
de acordo com:
Considera-se que a matriz A esteja triangularizada e que seus
elementos na diagonal sejam diferentes de zero. No algoritmo,
o vetor X armazena os valores calculados para x1, x2, ..., xn e
a variável N contém o número inteiro n de equações. A seguir,
apresenta-se parte do algoritmo escrito pelo programador.
Recebe A, B, NX(N)Para K de N - 1 até 1 (variando -1) 1
Para L de K+1 até N (variando +1)
Fim do para 2
Fim do para
As linhas que preenchem corretamente as lacunas 1 e 2 do
algoritmo acima, respectivamente, são:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
11 12 1 1 1
22 2 2 20
0 0
n
n
nn n n
Matriz A Vetor B
a a a x b
a a x b
a x b
B(N)/A(N,N)
V1 V1 (A(K,L) * X(L))
37Considere as afirmativas a seguir, a respeito do significadodas letras, segundo a norma ISA S5.1, quando estas apare-cem como indicadoras da função na identificação de um ins-trumento (2º grupo de letras).
I – A, I e T representam funções passivas ou de informação.II – C, Y e Z representam funções ativas ou de saída.III – M, L e H são letras modificadoras.IV – S representa um elemento primário ou sensor.V – K representa uma estação de controle.
As afirmativas corretas são apenas:(A) I, II e III(B) I, III e IV(C) II, III e IV(D) II, III e V(E) II, IV e V
38
A figura acima apresenta a resposta ao degrau unitário paraum determinado processo. A função de transferência que re-presenta o processo é:
(A) 2
0,1 s + 0,5G s =
s + 0,6s + 0,05
(B) 2
0,5 s 0,5G s =
s + 0,6s + 0,05
(C) 2
0,5 s + 0,5G s =
s + 0,6s + 0,05
(D) 2
0,5 s 0,5G s =
s + 0,2s + 0,05
(E) 2
0,1 s 0,5G s =
s + 0,2s + 0,05
7
6
5
4
3
2
1
0
10 10 20 30 40 50 60
Tempo [s]
Saí
day
(t)
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10Engenheiro de Equipamentos Júnior - Eletrônica
V1 B(K)
X(K) V1/A(K,K)
V1 B(K 1)
X(K 1) V1/ A(K,K)
V1 B(K 1)
X(K 1) V1/ A(K,K)
V1 B(K)
X(K-1) A(K+1,K+1)/V1
V1 B(K 1)
X(K) A(K,K)/V1
36Para calcular a solução de um sistema de equações linea-
res, um programador escreveu um algoritmo. Os coeficien-
tes numéricos das variáveis x1, x
2, ... x
n encontram-se arma-
zenados na matriz A e os termos independentes, no vetor B,
de acordo com:
Considera-se que a matriz A esteja triangularizada e que seus
elementos na diagonal sejam diferentes de zero. No algoritmo,
o vetor X armazena os valores calculados para x1, x2, ..., xn e
a variável N contém o número inteiro n de equações. A seguir,
apresenta-se parte do algoritmo escrito pelo programador.
Recebe A, B, NX(N)Para K de N - 1 até 1 (variando -1) 1
Para L de K+1 até N (variando +1)
Fim do para 2
Fim do para
As linhas que preenchem corretamente as lacunas 1 e 2 do
algoritmo acima, respectivamente, são:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
11 12 1 1 1
22 2 2 20
0 0
n
n
nn n n
Matriz A Vetor B
a a a x b
a a x b
a x b
B(N)/A(N,N)
V1 V1 (A(K,L) * X(L))
37Considere as afirmativas a seguir, a respeito do significadodas letras, segundo a norma ISA S5.1, quando estas apare-cem como indicadoras da função na identificação de um ins-trumento (2º grupo de letras).
I – A, I e T representam funções passivas ou de informação.II – C, Y e Z representam funções ativas ou de saída.III – M, L e H são letras modificadoras.IV – S representa um elemento primário ou sensor.V – K representa uma estação de controle.
As afirmativas corretas são apenas:(A) I, II e III(B) I, III e IV(C) II, III e IV(D) II, III e V(E) II, IV e V
38
A figura acima apresenta a resposta ao degrau unitário paraum determinado processo. A função de transferência que re-presenta o processo é:
(A) 2
0,1 s + 0,5G s =
s + 0,6s + 0,05
(B) 2
0,5 s 0,5G s =
s + 0,6s + 0,05
(C) 2
0,5 s + 0,5G s =
s + 0,6s + 0,05
(D) 2
0,5 s 0,5G s =
s + 0,2s + 0,05
(E) 2
0,1 s 0,5G s =
s + 0,2s + 0,05
7
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3
2
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0
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Tempo [s]
Saí
day
(t)
www.pciconcursos.com.brResolução:
Para quem está treinado, esta questão é extremamente fácil de ser re-
solvida. Primeiramente observamos o ganho estático do sistema, pelo gráfico:
K =∆y(t)
∆u(t)
K =yf − yiuf − ui
=5− 0
1− 0= 5
Agora observamos qual das alternativas possuem ganho estático igual a 5. Rapi-
damente obeservamos que só nos restam as alternativas (C) e (D). Conferindo:
Alternativa (C) lims→0
(s× 0, 5(s+ 0, 5)
s2 + 0, 6s+ 0, 05× 1
s
)= 5
Alternativa (D) lims→0
(s× −0, 5(s− 0, 5)
s2 + 0, 2s+ 0, 05× 1
s
)= 5
Do mesmo modo, vemos que o ganho estático da alternativa (A) é igual a 1, da (B)
é -5 e da (E) é 1.
Agora, para decidirmos entre as alternativas (C) ou (D), observamos novamente
o gráfico. Como em t = 0 a derivada da saída é negativa (há aquela pequena
"voltinha"com concavidade para cima), sabemos que o sistema é de fase não-
mínima, ou seja, possui um zero no semiplano complexo direito. Logo, a alternativa
correta é a (D), pois possui ganho estático igual a 5 e um zero em s = 0, 5.
Alternativa (D)
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Questão 16(Eng. de Equipamentos Jr Elétrica - Petrobras 2010/2)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELÉTRICA
15
59
A figura acima mostra um diagrama em blocos, no domínio de Laplace, contendo um bloco de retardo, um somador e um integrador. Aplicando um impulso unitário δ(t) na entrada, a forma de onda da saída h(t) é
(A) (B)
(C) (D)
(E)
60Um sistema linear, causal e de segunda ordem é representado pela seguinte função de Transferência:
Esse sistema opera com razão de amortecimento 0,7 e frequência natural não amortecida de 15 rad/s. Quando alimentado por um degrau unitário em sua entrada, a saída, em regime permanente, atinge o valor 0,4. Os valores de a e K, respectivamente, são(A) 42 e 180(B) 21 e 90 (C) 21 e 15(D) 10,5 e 90(E) 10,5 e 45
Resolução:
A expressão no domínio de Laplace do diagrama de blocos dado é facil-
mente deduzida:
H(s) = U(s)[1
s− e−τs
s]
Porém, sabemos que a entrada é um impulso unitário, ou seja, u(t) = δ(t), logo
U(s) é 1.
H(s) = 1× [1
s− e−τs
s] =
1
s− 1
s× e−τs
Sabemos que uma translação no tempo igual a τ segundos equivale a uma
multiplicação por e−τs no domínio de Laplace, ou seja: e−τs → δ(t − τ). Logo,
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sabendo que 1s
no domínio de Laplace equivale a um degrau (D(t)) no domínio do
tempo, a expressão:
H(s) =1
s− 1
s× e−τs
No domínio do tempo fica:
h(t) = D(t)−D(t)δ(t− τ)
h(t) = D(t)−D(t− τ)
Ou seja, h(t) será um degrau unitário de t = 0 até t = τ , quando então
subtrai-se um degrau também unitário, zerando a saída. A alternativa que mostra
este comportamento da saída é a alternativa (A).
Alternativa (A)
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Questão 17(Eng. de Equipamentos Jr Elétrica - Petrobras 2010/2)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELÉTRICA
15
59
A figura acima mostra um diagrama em blocos, no domínio de Laplace, contendo um bloco de retardo, um somador e um integrador. Aplicando um impulso unitário δ(t) na entrada, a forma de onda da saída h(t) é
(A) (B)
(C) (D)
(E)
60Um sistema linear, causal e de segunda ordem é representado pela seguinte função de Transferência:
Esse sistema opera com razão de amortecimento 0,7 e frequência natural não amortecida de 15 rad/s. Quando alimentado por um degrau unitário em sua entrada, a saída, em regime permanente, atinge o valor 0,4. Os valores de a e K, respectivamente, são(A) 42 e 180(B) 21 e 90 (C) 21 e 15(D) 10,5 e 90(E) 10,5 e 45
Resolução:
Primeiramente comparamos a função de transferência dada com uma FT
de segunda ordem padrão:
G(s) =K
s2 + as+ b=
K2ω2n
s2 + 2ξωns+ ω2n
O enunciado nos informa que a frequência natural não amortecida é: ωn = 15rad/s,
então podemos encontrar b diretamente da comparação acima:
b = ω2n = 152 = 225
Também nos foi dado que ξ = 0, 7, então podemos achar o valor de a:
a = 2ξωn = 2× 0, 7× 15 = 21
Em regime permanente, o valor da saída para um degrau unitário deve ser igual a
0,4, então aplicamos o Teorema do Valor Final para achar o valor de K:
lims→0
(s× K
s2 + as+ b× 1
s
)=K
b= 0, 4
K = 0, 4× b
K = 0, 4× 225 = 90
Portanto a = 21 e K = 90.
Alternativa (B)
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Questão 18(Eng. de Equipamentos Jr Elétrica - Petrobras 2010/1)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELÉTRICA
4
7Considere a seguinte equação diferencial ordinária
2
2
d y(t) dy(t)+2 +10 y(t)=10
dtdt
com as condições iniciais y(0) = 0 e t=0
dy(t)=0
dt.
A solução dessa equação para t 0 é
(A) -3t 1y(t)=1- e [sen(3t)+ cos(3t)]
8
(B) -3t 1y(t)=1- e [sen(t)+ cos(t)]
6
(C) -2t 1y(t)=1- e [ sen(3t)+cos(3t)]
3
(D) -t 1y(t)=1- e [ sen(4t)+cos(4t)]
2
(E) -t 1y(t)=1- e [sen(3t)+ cos(3t)]
3
8Um engenheiro, após equacionar um determinado proble-ma, organizou as equações sob a forma matricial e reali-zou operações elementares com as linhas e colunas dasmatrizes, o que levou ao seguinte sistema:
1
2
3
4
5
x6 2 4 2 1 6
x0 4 5 1 1 1
x0 0 2 1 3 13
x0 0 0 1 1 1
x0 0 0 1 2 3
O valor da variável x3 é(A) - 2(B) 1(C) 3(D) 4(E) 5
9Considere a seguinte matriz:
x 1 2 4
0 1 3 9M
1 1 5 25
0 1 8 64
Sabendo-se que o determinante de M é 120, o valor de x é(A) 12 (B) 8 (C) 5 (D) 3 (E) 1
10Considere os espaços vetoriais assim representados:
1
2
3
x
X x
x
,
1
2
yY
ye
1
2
3
z
Z z
z
• A matriz M opera a transformação linear de X em Y, ouseja, Y = TL [X]
• A matriz N opera a transformação linear de Y em Z, ouseja, Z = TL [Y]
• TL - indica uma transformação linear.
Supondo a existência de uma matriz P que opera a trans-formação linear de Z em X, ou seja, X = TL [Z], esta matrizé calculada por(A) P = M N (B) P = N M(C) P = M-1 N-1 (D) P = [N M]-1
(E) P = [M N]-1
11Um sistema linear apresenta a seguinte configuração emmalha fechada, no domínio de Laplace.
( )10+ss
KR(s) Y(s)+
_
No domínio do tempo, aplicando um degrau unitário na en-trada deste sistema, a saída y(t), em regime permanente,tende para
(A) 1 (B) K
(C)1
K(D) 10
(E)1
10
Resolução:
Primeiramente achamos a FTMF:
Y (s)
R(s)=
Ks(s+10)
1 + Ks(s+10)
Y (s)
R(s)=
K
s(s+ 10) +K
Agora aplicamos o Teorema do Valor Final, considerando a entrada como sendo
um degrau unitário:
lims→0
(s× K
s(s+ 10) +K× 1
s
)= 1
Ou seja, a resposta em regime permanente será um degrau unitário.
Observe que esta resposta já era esperada, não precisaria fazer nenhuma conta
nesta questão. Pois, como a planta já é integradora, ela seguirá degraus de entrada
com erro nulo.
Alternativa (A)
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Questão 19(Eng. Eletrônica Eletrobrás - Eletronuclear 2010)
ENGENHEIRO(A)ELETRÔNICA
16
E L E T R O N U C L E A R
53
A figura acima mostra a resposta a um degrau de amplitude 2, aplicado em t=0s, à entrada de um sistema de primeiraordem com atraso. A função de transferência desse sistema é
(A) 1,5s2e
s 0,4
(B) 0,67s1,2e
s 2,5
(C)
1,5s1,2e
s 0,4
(D)
0,67s3e
s 2,5
(E) 1,5s3e
s 1
54Um atuador mecânico gera uma força [N], função de uma corrente elétrica [A]. A corrente elétrica é limitada entre 0 e 2A,e a força, entre 5 e +5 N. Um ensaio em laboratório levantou a curva não linear dada pela expressão
f = 4i3 10i2 + 5
Linearizando a curva para pequenas variações no entorno do ponto de corrente io = 1 A, obtém-se a seguinte relação linear:(A) f = 10i + 4(B) f = 10i + 7(C) f = 8i + 5(D) f = 8i + 7(E) f = 8i + 7
55Um sistema linear de 2a ordem é dado pela função de transferência, que liga a saída Y(s) à entrada U(s), dada pelaseguinte expressão:
2
Y s 60
U s s 18s 225
Aplicando-se um impulso na entrada, o sinal senoidal de saída oscilará de forma amortecida exponencialmente e comfrequência angular, em rad/s, de(A) 9 (B) 10 (C) 12 (D) 15 (E) 18
6
5
4
3
2
1
10
Sa
ída
Tempo [s]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 16
Resolução:
O atraso de um sistema aparece na forma e−Ls na função de transferência,
onde L é o atraso. Ou seja, o tempo que o sistema demora para responder após
a mudança da entrada, é chamado de atraso. Observando o gráfico, como a
mudança na entrada ocorreu em t = 0 (já que a entrada é um degrau), percebe-
mos que o sistema apresenta um atraso de resposta de 1,5 segundos, logo o
termo que deve aparecer multiplicando a FT do sistema é e−1,5s. Isso exclui as
alternativas (B) e (D).
Agora analisamos o ganho estático do sistema. Segundo o gráfico, encontramos:
K =∆y(t)
∆u(t)=yf − yiuf − ui
=6− 0
2− 0= 3
Logo, percebemos que a alternativa (A) também está excluída, pois esta
apresenta ganho estático igual a 5. Sobrando na nossa análise apenas as
alternativas (C) e (E).
Para decidirmos entre essas duas alternativas, estimamos o valor do pólo do
sistema. Sabemos que em um sistema de primeira ordem o pólo será s = −1τ
,
onde τ é a constante de tempo do sistema. Como a saída apresenta 0,63% do
seu valor máximo no tempo t = 4s, temos:
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τ = 4− 1, 5 = 2, 5s
Logo o pólo do sistema será:
s =−1
τ=−1
2, 5= −0, 4
Agora que já sabemos que L = 1, 5, K = 3 e o pólo é s = −0, 4, a única
alternativa possível é a letra (C).
Alternativa (C)
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Questão 20(Eng. Eletrônica Eletrobrás - Eletronuclear 2010)
ENGENHEIRO(A)ELETRÔNICA
16
E L E T R O N U C L E A R
53
A figura acima mostra a resposta a um degrau de amplitude 2, aplicado em t=0s, à entrada de um sistema de primeiraordem com atraso. A função de transferência desse sistema é
(A) 1,5s2e
s 0,4
(B) 0,67s1,2e
s 2,5
(C)
1,5s1,2e
s 0,4
(D)
0,67s3e
s 2,5
(E) 1,5s3e
s 1
54Um atuador mecânico gera uma força [N], função de uma corrente elétrica [A]. A corrente elétrica é limitada entre 0 e 2A,e a força, entre 5 e +5 N. Um ensaio em laboratório levantou a curva não linear dada pela expressão
f = 4i3 10i2 + 5
Linearizando a curva para pequenas variações no entorno do ponto de corrente io = 1 A, obtém-se a seguinte relação linear:(A) f = 10i + 4(B) f = 10i + 7(C) f = 8i + 5(D) f = 8i + 7(E) f = 8i + 7
55Um sistema linear de 2a ordem é dado pela função de transferência, que liga a saída Y(s) à entrada U(s), dada pelaseguinte expressão:
2
Y s 60
U s s 18s 225
Aplicando-se um impulso na entrada, o sinal senoidal de saída oscilará de forma amortecida exponencialmente e comfrequência angular, em rad/s, de(A) 9 (B) 10 (C) 12 (D) 15 (E) 18
6
5
4
3
2
1
10
Sa
ída
Tempo [s]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 16
Resolução:
A frequência natural amortecida ωd é dada em função da frequência natural
não amortecida ωn, e do coeficiente de amortecimento ξ, segundo a expressão:
ωd = ωn√
1− ξ2
Então basta encontrarmos ωn e ξ. Para isso comparamos a FT dada com uma FT
de um sistema de segunda ordem padrão:
60
s2 + 18s+ 225=
Kω2n
s2 + 2ξωns+ ω2n
De onde tiramos:
ω2n = 225 → ωn = 15
E também:
2ξωn = 18 → ξ =9
15= 0, 6
Agora podemos calculdar diretamente ωd:
ωd = ωn√
1− ξ2
ωd = 15√
1− 0, 62
ωd = 15√
1− 0, 36
ωd = 15√
0, 64
ωd = 15× 0, 8 = 12
Alternativa (C)
Material de uso exclusivo do Comprador Cód. T34TRJ59YNKS. Sendo vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a suareprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Questão 21(Profissional Jr Eng. Eletrônica - Petrobras Distr. 2008)
11PROFISSIONAL JÚNIOR
FORMAÇÃO: ENGENHARIA ELETRÔNICA
37A dinâmica de um atuador robótico do tipo moto-redutoradmite a seguinte aproximação linear:
Onde: J é o momento de inércia do sistema, C é o coefici-ente de atrito,T
m é o torque e é a posição angular, função
do tempo
=ddt
e = ddt
22
Aplica-se uma lei de controle com realimentação do tipo:
T =K ( ) Km p r d
onde r é a posição angular de referência, Kp e K
d são
ganhos constantes.Para atender às exigências do projeto, o sistema em malhafechada deve posicionar pólos complexos com razão de
amortecimento = 0,8 e freqüência natural não amor-
tecida n = 10 rad/s. As expressões de Kp e K
d são:
(A)p d
100JK e K 100J 1,8C
C
(B)p dK 100C e K 18C J
(C)p dK 120J e K 180C
(D) p dK 100J e K 16J C
(E) p d
100K e K 18J C
J
38Uma determinada planta industrial apresenta o comporta-mento dinâmico semelhante ao de um modelo linear desegunda ordem, quando submetida à aplicação de um de-grau em sua entrada. Observa-se na saída da planta que aresposta possui uma ultrapassagem máxima de 25% e al-gumas poucas oscilações amortecidas até alcançar o valorde regime permanente. Neste caso, o comportamento daplanta é(A) superamortecido, e os pólos do modelo estão localiza-
dos sobre o semi-eixo real negativo.(B) criticamente amortecido, e os pólos do modelo estão
localizados no semiplano s direito.(C) subamortecido, e os pólos do modelo estão localizados
sobre o semi-eixo real negativo.(D) subamortecido, e os pólos do modelo são complexos con-
jugados e estão localizados no semiplano s esquerdo.(E) subamortecido, e os pólos do modelo estão localizados
sobre o eixo imaginário, simetricamente posicionadosem relação à origem.
39
A figura acima apresenta o diagrama do lugar das raízes,
para o ganho K > 0, de uma planta de terceira ordem,
realimentada por um compensador de primeira ordem.
Considerando 1 , 2 valores reais positivos tais que 1 > 2 > 0,
é correto afirmar, a partir do diagrama, que a planta em
malha
(A) aberta é estável.
(B) fechada somente é estável na faixa de ganho 0 K> >1 .
(C) fechada somente é estável na faixa de ganho K > 1 .
(D) fechada somente é estável na faixa de ganho K> >12 .
(E) fechada é estável para todo valor de ganho K > 0.
40
No modelo de um atuador robótico, o torque T(t), em N.m,
é uma função não linear que depende de uma corrente elé-
trica i(t), em A, cuja relação é dada por:
T(t) = 5[i(t)]2 + 2i(t)-24
Para pequenas variações de corrente no ponto de opera-
ção em que o torque é nulo, a expressão linearizada do
torque TL(t) é:
(A) 22i(t) - 44
(B) -22i(t) + 44
(C) 14i(t) - 28
(D) 7i(t) - 14
(E) 22i(t) + 30
J +C =T m
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Resolução:
Primeiramentr aplicamos a lei de controle na expressão da dinânima do at-
uador, como segue:
Jθ + Cθ = Tm
Jθ + Cθ = Kp(θr − θ)−Kdθ
J θ + (C +Kd)θ +Kpθ = Kpθr
Agora aplicamos a Transformada de Laplace:
Θ(s)[Js2 + (C +Kd)s+Kp] = KpΘr(s)
Θ(s)
Θr(s)=
KpJ
s2 + (C+Kd)J
s+ KpJ
(1.11)
Agora comparamos a função de transferência 1.11 com um função de transferên-
Material de uso exclusivo do Comprador Cód. T34TRJ59YNKS. Sendo vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a suareprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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cia de segunda ordem padrão:
KpJ
s2 + (C+Kd)J
s+ KpJ
=Kω2
n
s2 + 2ξωns+ ω2n
Como ωn = 10rad/s, temos:
ω2n =
Kp
J
Kp = ω2nJ
Kp = 102J
E como ξ = 0, 8:
2ξωn =(C +Kd)
J
Kd = (2ξωn)J − C
Kd = (2× 0, 8× 10)J − C
Kd = 16J − C
Alternativa (D)
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Questão 22(Profissional Jr Eng. Eletrônica - Petrobras Distr. 2008)
11PROFISSIONAL JÚNIOR
FORMAÇÃO: ENGENHARIA ELETRÔNICA
37A dinâmica de um atuador robótico do tipo moto-redutoradmite a seguinte aproximação linear:
Onde: J é o momento de inércia do sistema, C é o coefici-ente de atrito,T
m é o torque e é a posição angular, função
do tempo
=ddt
e = ddt
22
Aplica-se uma lei de controle com realimentação do tipo:
T =K ( ) Km p r d
onde r é a posição angular de referência, Kp e K
d são
ganhos constantes.Para atender às exigências do projeto, o sistema em malhafechada deve posicionar pólos complexos com razão de
amortecimento = 0,8 e freqüência natural não amor-
tecida n = 10 rad/s. As expressões de Kp e K
d são:
(A)p d
100JK e K 100J 1,8C
C
(B)p dK 100C e K 18C J
(C)p dK 120J e K 180C
(D) p dK 100J e K 16J C
(E) p d
100K e K 18J C
J
38Uma determinada planta industrial apresenta o comporta-mento dinâmico semelhante ao de um modelo linear desegunda ordem, quando submetida à aplicação de um de-grau em sua entrada. Observa-se na saída da planta que aresposta possui uma ultrapassagem máxima de 25% e al-gumas poucas oscilações amortecidas até alcançar o valorde regime permanente. Neste caso, o comportamento daplanta é(A) superamortecido, e os pólos do modelo estão localiza-
dos sobre o semi-eixo real negativo.(B) criticamente amortecido, e os pólos do modelo estão
localizados no semiplano s direito.(C) subamortecido, e os pólos do modelo estão localizados
sobre o semi-eixo real negativo.(D) subamortecido, e os pólos do modelo são complexos con-
jugados e estão localizados no semiplano s esquerdo.(E) subamortecido, e os pólos do modelo estão localizados
sobre o eixo imaginário, simetricamente posicionadosem relação à origem.
39
A figura acima apresenta o diagrama do lugar das raízes,
para o ganho K > 0, de uma planta de terceira ordem,
realimentada por um compensador de primeira ordem.
Considerando 1 , 2 valores reais positivos tais que 1 > 2 > 0,
é correto afirmar, a partir do diagrama, que a planta em
malha
(A) aberta é estável.
(B) fechada somente é estável na faixa de ganho 0 K> >1 .
(C) fechada somente é estável na faixa de ganho K > 1 .
(D) fechada somente é estável na faixa de ganho K> >12 .
(E) fechada é estável para todo valor de ganho K > 0.
40
No modelo de um atuador robótico, o torque T(t), em N.m,
é uma função não linear que depende de uma corrente elé-
trica i(t), em A, cuja relação é dada por:
T(t) = 5[i(t)]2 + 2i(t)-24
Para pequenas variações de corrente no ponto de opera-
ção em que o torque é nulo, a expressão linearizada do
torque TL(t) é:
(A) 22i(t) - 44
(B) -22i(t) + 44
(C) 14i(t) - 28
(D) 7i(t) - 14
(E) 22i(t) + 30
J +C =T m
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Resolução:
Como o enunciado da questão deixa claro que o sistema apresenta um
sobressinal e algumas oscilações amortecidas, fica claro que se trata de um
sistema subamortecido estável, ou seja, com pólos complexos no semiplano
s esquerdo. Logo a alternativa correta é a letra (D).
Isso fica claro quando observamos a equação característica de um sistema padrão
de segunda ordem:
s2 + 2ξωns+ ω2n = 0
Cujos pólos são:
p = −ξωn ± (√
1− ξ2)j
Dependendo do valor de ξ, classificamos o sistema em quatro grupos:
I) ξ = 0: Sistema não amortecido (pólos sobre o eixo imaginário)
II) 0 < ξ < 1: Sistema subamortecido (Pólos complexos conjugados)
III) ξ = 1: Sistema criticamente amortecido (Pólos reais iguais)
IV) ξ > 1: Sistema superamortecido (Pólos reais diferentes)
Alternativa (D)
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Questão 23(Profissional Jr Eng. Eletrônica - Petrobras Distr. 2008)
11PROFISSIONAL JÚNIOR
FORMAÇÃO: ENGENHARIA ELETRÔNICA
37A dinâmica de um atuador robótico do tipo moto-redutoradmite a seguinte aproximação linear:
Onde: J é o momento de inércia do sistema, C é o coefici-ente de atrito,T
m é o torque e é a posição angular, função
do tempo
=ddt
e = ddt
22
Aplica-se uma lei de controle com realimentação do tipo:
T =K ( ) Km p r d
onde r é a posição angular de referência, Kp e K
d são
ganhos constantes.Para atender às exigências do projeto, o sistema em malhafechada deve posicionar pólos complexos com razão de
amortecimento = 0,8 e freqüência natural não amor-
tecida n = 10 rad/s. As expressões de Kp e K
d são:
(A)p d
100JK e K 100J 1,8C
C
(B)p dK 100C e K 18C J
(C)p dK 120J e K 180C
(D) p dK 100J e K 16J C
(E) p d
100K e K 18J C
J
38Uma determinada planta industrial apresenta o comporta-mento dinâmico semelhante ao de um modelo linear desegunda ordem, quando submetida à aplicação de um de-grau em sua entrada. Observa-se na saída da planta que aresposta possui uma ultrapassagem máxima de 25% e al-gumas poucas oscilações amortecidas até alcançar o valorde regime permanente. Neste caso, o comportamento daplanta é(A) superamortecido, e os pólos do modelo estão localiza-
dos sobre o semi-eixo real negativo.(B) criticamente amortecido, e os pólos do modelo estão
localizados no semiplano s direito.(C) subamortecido, e os pólos do modelo estão localizados
sobre o semi-eixo real negativo.(D) subamortecido, e os pólos do modelo são complexos con-
jugados e estão localizados no semiplano s esquerdo.(E) subamortecido, e os pólos do modelo estão localizados
sobre o eixo imaginário, simetricamente posicionadosem relação à origem.
39
A figura acima apresenta o diagrama do lugar das raízes,
para o ganho K > 0, de uma planta de terceira ordem,
realimentada por um compensador de primeira ordem.
Considerando 1 , 2 valores reais positivos tais que 1 > 2 > 0,
é correto afirmar, a partir do diagrama, que a planta em
malha
(A) aberta é estável.
(B) fechada somente é estável na faixa de ganho 0 K> >1 .
(C) fechada somente é estável na faixa de ganho K > 1 .
(D) fechada somente é estável na faixa de ganho K> >12 .
(E) fechada é estável para todo valor de ganho K > 0.
40
No modelo de um atuador robótico, o torque T(t), em N.m,
é uma função não linear que depende de uma corrente elé-
trica i(t), em A, cuja relação é dada por:
T(t) = 5[i(t)]2 + 2i(t)-24
Para pequenas variações de corrente no ponto de opera-
ção em que o torque é nulo, a expressão linearizada do
torque TL(t) é:
(A) 22i(t) - 44
(B) -22i(t) + 44
(C) 14i(t) - 28
(D) 7i(t) - 14
(E) 22i(t) + 30
J +C =T m
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Resolução:
Primeiramente achamos o valor da corrente para o torque nulo:
T (t) = 5[i(t)]2 + 2i(t)− 24
0 = 5[i(t)]2 + 2i(t)− 24
Cujas raízes são:
i1 = 2, 0 ou i2 = −2, 4
Abandonamos o resultado negativo e concluimos que a corrente no ponto de
operação é i0 = 2, 0A. Agora utilizamos a fórmula de Taylor para aproximar a
função, cuja forma geral é:
F (x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)
Que no nosso caso ficaria:
TL(t) = T (i0) + T ′(i0)(i(t)− i0)
TL(t) = 0 + [10i0 + 2](i(t)− i0)
TL(t) = 0 + [10× 2 + 2](i(t)− 2)
TL(t) = 22i(t)− 44
Alternativa (A)
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Questão 24(Profissional Jr Eng. Eletrônica - Petrobras Distr. 2008)
17PROFISSIONAL JÚNIOR
FORMAÇÃO: ENGENHARIA ELETRÔNICA
62
Um Disk-driver magnético requer um motor para posicionar a cabeça de leitura do disco, cujo sistema é modelado pela
função
10G s
s s 1 onde =0,25 segundo. Considerando um compensador do tipo
K
H ss 8
e usando a
estrutura de realimentação mostrada na figura, qual o valor do ganho K no limiar para a instabilidade?
(A) 5,6 (B) 8,2 (C) 38,4 (D) 384,0 (E) 820,0
63
Analisando o Diagrama de Bode da função de transferência em malha aberta de um sistema de 3a ordem com fase mínimaapresentado acima, pode-se afirmar que a margem de(A) ganho do sistema é 75 dB, portanto, o sistema em malha fechada é estável.(B) fase é 15°, portanto, o sistema em malha fechada é instável.(C) fase é -75° e a margem de ganho é -30 dB, portanto, o sistema em malha fechada é estável.(D) fase é -75° e a margem de ganho é 30 dB, portanto, o sistema em malha fechada é instável.(E) fase é 75° e a margem de ganho é 30 dB, portanto, o sistema em malha fechada é estável.
++
-
G(s)H(s)R(s) C(s)
Diagrama de Bode
Freqüência (rad/s)
Magnitu
de
(dB
)F
ase
(gra
us)
30 dB
75
50
50
100
15090
135
180
225
270
10 2 10 1 100 101 102
0
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Resolução:
A função de transferência de malha fechada será:
C(s)
R(s)=
H(s)G(s)
1 +H(s)G(s)
C(s)
R(s)=
10τK
s(τs+ 1)(s+ 8) + 10τK
Cuja equação característica, para τ = 0, 25 é:
s(τs+ 1)(s+ 8) + 10τK = 0
τs3 + 8τs2 + s2 + 8s+ 10τK = 0
s3 + 12s2 + 32s+ 10K = 0 (1.12)
Agora aplicamos o Teorema de Routh-Hurwitz na EC 1.12:
s3 1 32
s2 12 10K
s1 12×32−10K12
0
s0 10K 0
Da primeira coluna da linha de s0 tiramos que:
10K > 0
K > 0
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Da primeira coluna da linha de s1 tiramos que:
12× 32− 10K
12> 0
12× 32− 10K > 0
K <32× 12
10
K < 38, 4
Alternativa (C)
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Questão 25(Eng. Processamento Jr - Petrobras 2010/1 )
ENGENHEIRO(A) DE PROCESSAMENTO JÚNIOR3
7Constatou-se que uma variável de processo em malhafechada ap resen tava e levadas sob re levações(ou overshoots) em resposta a distúrbios ou mudançasno seu set-point. Diagnosticou-se que a causa dessecomportamento era sintonia inadequada do controlador,que era um PI, com função de transferência dada por
C cI
1G (s) K 1
s
, tal que Kc é o ganho do controlador
(adimensional) e I é o tempo integral (com unidade detempo). Dentre as alterações de sintonia apresentadasabaixo, a resposta em malha fechada com o PI se tornarámenos oscilatória devido a:(A) diminuição de Kc e de I.(B) diminuição de Kc e aumento de I.(C) aumento de Kc, mantendo-se I fixo.(D) aumento de Kc e de I.(E) aumento de Kc e diminuição de I.
8Seja um sistema em malha fechada com um controlador P,cuja função de transferência em malha fechada é
2
Y(s) 4
L(s) s 2s 2
, em variáveis-desvio. Se
3L(s)
s e se
o set-point for mantido constante, o offset, definido como oerro permanente entre o set-point e o valor final da variávelcontrolada, será(A) 0(B) 3(C) 6(D) 12(E)
9Considere um ciclo de potência a vapor simples em que:
• o fluido de trabalho passa por seus vários componentessem irreversibilidades;
• não existe queda de pressão por atrito na caldeira e nocondensador e o fluido de trabalho fluirá através dessescomponentes a pressão constante;
• não existem irreversibilidades e transferência de calorcom as vizinhanças;
• os processos, através da turbina e através da bomba,são isentrópicos.
Trata-se de um ciclo(A) regenerativo. (B) de Carnot.(C) de reaquecimento. (D) supercrítico.(E) ideal de Rankine.
10Quando um fluido escoa através de uma restrição, comoum orifício, uma válvula parcialmente fechada ou umtampão poroso, sem qualquer variação apreciável deenergia cinética ou potencial, e na ausência de transferênciade calor, realiza-se um processo(A) isotérmico.(B) isentálpico.(C) isentrópico.(D) isobárico.(E) isocórico.
11Em relação à pressão de vapor de um líquido, é INCOR-RETO afirmar que(A) a pressão de vapor de um líquido aumenta linearmente
com o aumento da temperatura.(B) a curva de pressão de vapor relaciona pressão a
temperatura, sendo que, em qualquer ponto acima dacurva, existem duas fases, líquido e vapor.
(C) a pressão de vapor pode ser estimada por meio deequações empíricas.
(D) a Equação de Clapeyron estabelece uma relaçãotermodinâmica entre pressão de vapor e entalpia devaporização de uma substância pura.
(E) um líquido puro entra em ebulição, em dada tempera-tura, quando sua pressão de vapor é igual à pressão àqual está submetido.
12Um gás com comportamento ideal é comprimidoisotermicamente do estado caracterizado por pressão evolume molar iguais a p1 e V1 para outro cujos valores sãop2 e V2. Qual a variação de energia interna ocorrida entreos estados 1 e 2, em J/mol? (T = temperatura absoluta eR = constante dos gases)
(A) p2.V1 – p1.V2
(B) p1.V2 – p2.V1
(C) 0
(D) R.T
(E) p2.V1
RTp1.V2
Resolução:
Para o candidato resolver esta questão, basta ter um pouco de familiaridade
com sintonia de controladores PI, não precisando efetuar cálculo algum para
chegar a uma resposta.
Na estrutura de PI apresentada, vemos que Kc é o ganho proporcional ao erro, ou
seja, quanto maior for o erro instantâneo, maior será a ação de controle devido a
esta parcela proporcional. Dado que o objetivo é diminuir as oscilações, é acon-
selhável diminuir Kc, deixando o controlador mais conservador (e provavelmente
mais lento).
Sabemos que uma ação integral muito grande em um PI provavelmente causará
mais oscilação. No PI apresentado o ganho integral é igual KcτI
, ou seja, se
desejamos diminuiar as oscilações temos que diminuir este ganho integral, que
pode ser feito aumentando τI e/ou diminuindo Kc.
Logo, a alternativa correta é a letra (B).
Obs.: Tente resolver esta questão baseando-se unicamente no Lugar das
Raízes. É uma boa alternativa.
Alternativa (B)
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Questão 26(Eng. Processamento Jr - Petrobras 2010/1 )
ENGENHEIRO(A) DE PROCESSAMENTO JÚNIOR5
19Um dado sistema em malha fechada apresenta a seguinteequação característica (EC):
4 s3 + 8 s2 + 5 s + 5 = 0.
O Arranjo de Routh abaixo foi construído para analisar aestabilidade desse sistema.
Mesmo sem o cálculo explícito das raízes, o Critério deEstabilidade de Routh leva a afirmar que, para esse siste-ma, há(A) um par de raízes no semiplano direito e uma raiz no
semiplano esquerdo de s.(B) uma raiz no semiplano esquerdo e um par de raízes
sobre o eixo imaginário.(C) uma raiz no semiplano direito e um par de raízes no
semiplano esquerdo de s.(D) três raízes no semiplano direito de s.(E) três raízes no semiplano esquerdo de s.
20Seja o diagrama de blocos para um processo em malhafechada com um controlador P exibido a seguir.
Para degraus em L(t), afirma-se que, em malha fechadacom o controlador P (Kc>0), a resposta Y(t) será(A) mais rápida e menos sensível ao distúrbio que em
malha aberta.(B) mais rápida e mais sensível ao distúrbio que em malha
aberta.(C) mais lenta e mais sensível ao distúrbio que em malha
aberta(D) mais lenta e menos sensível ao distúrbio que em
malha aberta.(E) tão rápida e tão sensível quanto em malha aberta.
Linha1234
48
2,55
55
Ysp Kc
L(s)
Y(s)
24s + 1
14s + 1
+ +
+
21Um refrigerador ideal opera em um Ciclo de Carnot,
sendo constituído por duas etapas isotérmicas nas quais
calor FQ é absorvido no nível mais baixo de temperatura
TF , e calor QQ é rejeitado no nível mais alto de tempera-
tura TQ, e por duas etapas adiabáticas. O ciclo requer a
adição de uma quantidade líquida de trabalho ao sistema.
Considerando-se esses dados, o coeficiente de
performance desse refrigerador é dado por
(A) Q
Q F
T
T T
(B) Q F
F
T T
T
(C) Q F
Q
T T
T
(D) Q F
F
T T
T
(E) F
Q F
T
T T
22Ponto de trabalho é o ponto da curva característica de umabomba, no qual essa bomba irá operar quando instaladaem uma tubulação. Esse ponto fornece a carga repassadapela bomba ao líquido em escoamento e a vazão deoperação desse líquido naquela tubulação. Para modifi-car-se o ponto de trabalho, analise as ações a seguir.
I - Fechar parcialmente uma válvula instalada na linha.II - Mudar a pressão no reservatório para onde o fluido
está sendo bombeado.III - Instalar a bomba em um nível mais baixo.IV - Aumentar a rotação do rotor da bomba.
São corretas APENAS as ações(A) I e II.(B) I e IV.(C) II e III.(D) III e IV.(E) I, II e IV.
Resolução:
Primeiramente observamos a Equação Característica. Como ela não apre-
senta nenhum coeficiente igual a zero e também não há mudança de sinal dentre
os coeficientes, não podemos conluir de antemão que o sistema é instável. Por
isso partimos para a análise do Arranjo de Routh apresentado.
Sabemos do Critério de Routh-Hurtwitz que "o número de mudanças de sinal na
primeira coluna do arranho é igual ao número de pólos no semiplano s direito".
Logo, como não há nenhuma mudança de sinal na primeira coluna do ar-
ranjo, concluimos que não há nenhum pólo no semiplano s direito. Ou seja,
o sistema é estável, com três raízes no semiplano s esquerdo.
Alternativa (E)
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Questão 27(Eng. Processamento Jr - Petrobras 2010/1 )
ENGENHEIRO(A) DE PROCESSAMENTO JÚNIOR5
19Um dado sistema em malha fechada apresenta a seguinteequação característica (EC):
4 s3 + 8 s2 + 5 s + 5 = 0.
O Arranjo de Routh abaixo foi construído para analisar aestabilidade desse sistema.
Mesmo sem o cálculo explícito das raízes, o Critério deEstabilidade de Routh leva a afirmar que, para esse siste-ma, há(A) um par de raízes no semiplano direito e uma raiz no
semiplano esquerdo de s.(B) uma raiz no semiplano esquerdo e um par de raízes
sobre o eixo imaginário.(C) uma raiz no semiplano direito e um par de raízes no
semiplano esquerdo de s.(D) três raízes no semiplano direito de s.(E) três raízes no semiplano esquerdo de s.
20Seja o diagrama de blocos para um processo em malhafechada com um controlador P exibido a seguir.
Para degraus em L(t), afirma-se que, em malha fechadacom o controlador P (Kc>0), a resposta Y(t) será(A) mais rápida e menos sensível ao distúrbio que em
malha aberta.(B) mais rápida e mais sensível ao distúrbio que em malha
aberta.(C) mais lenta e mais sensível ao distúrbio que em malha
aberta(D) mais lenta e menos sensível ao distúrbio que em
malha aberta.(E) tão rápida e tão sensível quanto em malha aberta.
Linha1234
48
2,55
55
Ysp Kc
L(s)
Y(s)
24s + 1
14s + 1
+ +
+
21Um refrigerador ideal opera em um Ciclo de Carnot,
sendo constituído por duas etapas isotérmicas nas quais
calor FQ é absorvido no nível mais baixo de temperatura
TF , e calor QQ é rejeitado no nível mais alto de tempera-
tura TQ, e por duas etapas adiabáticas. O ciclo requer a
adição de uma quantidade líquida de trabalho ao sistema.
Considerando-se esses dados, o coeficiente de
performance desse refrigerador é dado por
(A) Q
Q F
T
T T
(B) Q F
F
T T
T
(C) Q F
Q
T T
T
(D) Q F
F
T T
T
(E) F
Q F
T
T T
22Ponto de trabalho é o ponto da curva característica de umabomba, no qual essa bomba irá operar quando instaladaem uma tubulação. Esse ponto fornece a carga repassadapela bomba ao líquido em escoamento e a vazão deoperação desse líquido naquela tubulação. Para modifi-car-se o ponto de trabalho, analise as ações a seguir.
I - Fechar parcialmente uma válvula instalada na linha.II - Mudar a pressão no reservatório para onde o fluido
está sendo bombeado.III - Instalar a bomba em um nível mais baixo.IV - Aumentar a rotação do rotor da bomba.
São corretas APENAS as ações(A) I e II.(B) I e IV.(C) II e III.(D) III e IV.(E) I, II e IV.
Resolução:
Primeiramente vamos analisar o tempo de resposta do sistema em malha
aberta(MA) e em malha fechada(MF). Sabemos que um sistema de primeira
ordem no formato padrão é dado por:
G(s) =K
τs+ 1
Sendo τ a constante de tempo do sistema.
Logo percebemos que a função de transferência(FT) da planta, 14s+1
, já está no
formato padrão, então diretamente tiramos que τMA = 4.
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Agora achamos a FT de MF em busca do τMF :
Y (s)
YSP (s)=
Kc4s+1
1 + Kc4s+1
Y (s)
YSP (s)=
Kc
4s+ (1 +Kc)
Y (s)
YSP (s)=
Kc1+Kc
41+Kc
s+ 1
Ou seja, τMF = 41+Kc
.
Como Kc > 0, fica claro que τMF < τMA. Ou seja, em malha fechada a resposta
do sistema à refência é mais rápida.
Agora vamos analisar a questão da rejeição de perturbação (L(t)). Para o
sistema em MA, temos que:
Y (s)
L(s)MA
=2
4s+ 1
Onde vemos que, para uma entrada degrau em L(t), o ganho estático será igual a
2 (ou seja, KLMA= 2). Logo um degrau unitário em L(t) causa na saída Y (t) um
degrau de amplitude 2.
Para o sistema em MF temos:
Y (s)
L(s)MF
=2
4s+1
1 + Kc4s+1
Y (s)
L(s)MF
=2
4s+ (1 +Kc)
Y (s)
L(s)MF
=2
1+Kc4
1+Kcs+ 1
Onde vemos que o ganho estático KLMFé igual a 2
1+Kc. Como sabemos que
Kc > 0, fica claro que KLMF< KLMA
, ou seja, o sistema em Malha Fechada é
menos sensível à perturbação L(t).
Alternativa (A)
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Questão 28(Eng. Processamento Jr - Petrobras 2010/1 )
ENGENHEIRO(A) DE PROCESSAMENTO JÚNIOR7
28No projeto de trocadores de calor, dois métodos podemser adotados: o método da média logarítmica da diferençade temperatura (MLDT) e o método da efetividade-NUT.Com relação a esses dois métodos, analise as afirmativasa seguir.
I - Para que o trocador seja viável economicamente, asua efetividade deve ser maior do que 2.
II - Quanto maior o número de unidades de transferên-cia, maior é a área de um trocador.
III - O cálculo da média logarítmica da diferença detemperatura é o mesmo, independente do tipo detrocador de calor e da orientação das correntes(contracorrente ou cocorrente).
IV - Se as temperaturas das correntes fria e quente esti-verem em graus Celsius, a MLDT será dada tam-bém em graus Celsius, tendo-se de adicionar 273,15para transformá-la em Kelvin.
V - Devem-se preferir trocadores que operem emcontracorrente, visto que a área requerida de trocatérmica é menor, para uma mesma quantidade decalor trocado.
Está correto APENAS o que se afirma em(A) II e V.(B) III e IV.(C) I, II, e III.(D) I, IV e V.(E) II, III e V.
29Um processo apresenta uma função de transferência de1a ordem entre sua saída Y(s) e sua entrada U(s), expres-sas em variáveis-desvio. Admitindo-se que uma perturba-ção do tipo degrau unitário foi aplicada em U, em t = 0, aconstante de tempo p pode ser obtida pelo intervalo detempo decorrido entre t = 0 e um valor definido de tempoposterior. Esse tempo posterior corresponde ao momentopara o qual a saída Y(t)(A) começou a responder.(B) sofreu aproximadamente 63% da variação total até o
estado estacionário final.(C) sofreu aproximadamente 87% da variação total até o
estado estacionário final.(D) sofreu aproximadamente 99% da variação total até o
estado estacionário final.(E) alcançou ±5% do seu estacionário final e nele perma-
neceu.
30
1
1G (s)
s 1
e 2
2G (s)
5s 1
foram conectados conforme
mostrado abaixo.
A função de transferênciaY(s)
G(s)U(s)
, representada no
diagrama de blocos acima, apresenta polinômios em s, nonumerador e no denominador, de ordens, respectivamente,(A) 0 e 1(B) 0 e 2(C) 1 e 1(D) 1 e 2(E) 2 e 2
31Ao processo de combustão do etanol em um reator foramadicionados 20% de oxigênio em excesso, garantindo,dessa forma, a completa combustão desse compostoorgânico. Sabendo-se que foram introduzidos 100 kmol deetanol como carga do reator, conclui-se que, na reaçãoenvolvida no processo,(A) foram consumidos 120 kmol de oxigênio.(B) foram consumidos 360 kmol de oxigênio.(C) foram produzidos 100 kmol de gás carbônico.(D) foram produzidos 120 kmol de água.(E) a quantidade (kmol) de gás carbônico produzido é
igual à de oxigênio consumido.
32O gás de cozinha apresenta composição aproximada de50% de propano e 50% de butano. Devido a problemasoperacionais durante a produção, foi encontrada umamistura constituída de 52% de propano e 48% de butano,ambos expressos em % de quantidade de matéria. Qualé a composição mássica aproximada dessa mistura?(A) 38,2% propano e 61,8% butano.(B) 45,1% propano e 54,9% butano.(C) 49,5% propano e 50,5% butano.(D) 50,0% propano e 50,0% butano.(E) 52,0% propano e 48,0% butano.
G (s)2
Y(s)
+
+U(s)
G (s)1
Resolução:
Admitindo um sistema de primeira ordem na forma padrão:
Y (s)
U(s)=
K
τs+ 1
Sabendo que a entrada é um degrau (U(s) = 1s):
Y (s)
U(s)=
K
τs+ 1
Y (s) =K
τs+ 1× U(s)
Y (s) =K
τs+ 1× 1
s
Fazendo a anti-transformada de Laplace da equação acima chegamos a:
y(t) = K(1− e−tτ )
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Para sabermos a amplitude de y(t) após τ segundos, basta fazermos t = τ :
y(τ) = K(1− e−ττ )
y(τ) = K(1− e−1)
y(τ) = K(1− 0.3678)
y(τ) = K(0.6322)
y(τ) ≈ 0, 63K
Ou seja, para um entrada unitária, após τ segundos, o valor da saída será igual
a aproximadamente 63% do valor de regime permanente. Com a notação que
utilizamos aqui: y(∞) = K → y(τ) = 0, 63K.
Alternativa (B)
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Questão 29(Eng. Processamento Jr - Petrobras 2010/1 )
ENGENHEIRO(A) DE PROCESSAMENTO JÚNIOR7
28No projeto de trocadores de calor, dois métodos podemser adotados: o método da média logarítmica da diferençade temperatura (MLDT) e o método da efetividade-NUT.Com relação a esses dois métodos, analise as afirmativasa seguir.
I - Para que o trocador seja viável economicamente, asua efetividade deve ser maior do que 2.
II - Quanto maior o número de unidades de transferên-cia, maior é a área de um trocador.
III - O cálculo da média logarítmica da diferença detemperatura é o mesmo, independente do tipo detrocador de calor e da orientação das correntes(contracorrente ou cocorrente).
IV - Se as temperaturas das correntes fria e quente esti-verem em graus Celsius, a MLDT será dada tam-bém em graus Celsius, tendo-se de adicionar 273,15para transformá-la em Kelvin.
V - Devem-se preferir trocadores que operem emcontracorrente, visto que a área requerida de trocatérmica é menor, para uma mesma quantidade decalor trocado.
Está correto APENAS o que se afirma em(A) II e V.(B) III e IV.(C) I, II, e III.(D) I, IV e V.(E) II, III e V.
29Um processo apresenta uma função de transferência de1a ordem entre sua saída Y(s) e sua entrada U(s), expres-sas em variáveis-desvio. Admitindo-se que uma perturba-ção do tipo degrau unitário foi aplicada em U, em t = 0, aconstante de tempo p pode ser obtida pelo intervalo detempo decorrido entre t = 0 e um valor definido de tempoposterior. Esse tempo posterior corresponde ao momentopara o qual a saída Y(t)(A) começou a responder.(B) sofreu aproximadamente 63% da variação total até o
estado estacionário final.(C) sofreu aproximadamente 87% da variação total até o
estado estacionário final.(D) sofreu aproximadamente 99% da variação total até o
estado estacionário final.(E) alcançou ±5% do seu estacionário final e nele perma-
neceu.
30
1
1G (s)
s 1
e 2
2G (s)
5s 1
foram conectados conforme
mostrado abaixo.
A função de transferênciaY(s)
G(s)U(s)
, representada no
diagrama de blocos acima, apresenta polinômios em s, nonumerador e no denominador, de ordens, respectivamente,(A) 0 e 1(B) 0 e 2(C) 1 e 1(D) 1 e 2(E) 2 e 2
31Ao processo de combustão do etanol em um reator foramadicionados 20% de oxigênio em excesso, garantindo,dessa forma, a completa combustão desse compostoorgânico. Sabendo-se que foram introduzidos 100 kmol deetanol como carga do reator, conclui-se que, na reaçãoenvolvida no processo,(A) foram consumidos 120 kmol de oxigênio.(B) foram consumidos 360 kmol de oxigênio.(C) foram produzidos 100 kmol de gás carbônico.(D) foram produzidos 120 kmol de água.(E) a quantidade (kmol) de gás carbônico produzido é
igual à de oxigênio consumido.
32O gás de cozinha apresenta composição aproximada de50% de propano e 50% de butano. Devido a problemasoperacionais durante a produção, foi encontrada umamistura constituída de 52% de propano e 48% de butano,ambos expressos em % de quantidade de matéria. Qualé a composição mássica aproximada dessa mistura?(A) 38,2% propano e 61,8% butano.(B) 45,1% propano e 54,9% butano.(C) 49,5% propano e 50,5% butano.(D) 50,0% propano e 50,0% butano.(E) 52,0% propano e 48,0% butano.
G (s)2
Y(s)
+
+U(s)
G (s)1
Resolução:
Da álgebra de blocos tiramos que:
Y (s)
U(s)= G1(s) +G2(s)
Y (s)
U(s)=
1
s+ 1+
2
5s+ 1
Y (s)
U(s)=
(5s+ 1) + 2(s+ 1)
(s+ 1)(5s+ 1)
Y (s)
U(s)=
7s+ 3
5s2 + 6s+ 1
Logo, vemos que Y (s)U(s)
tem numerador de ordem 1 e denominador de ordem 2.
Alternativa (D)
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Questão 30(Eng. Processamento Jr - Petrobras 2010/1 )
ENGENHEIRO(A) DE PROCESSAMENTO JÚNIOR11
49Quando submetido a um degrau unitário, em t = 0, na suaentrada U(t), um dado sistema apresentou a resposta Y(t)mostrada na figura abaixo.
Se esse sistema apresenta função de tranferência
2
Y(s) 2
U(s) s 2 s 1
, conclui-se, com base na resposta
exibida ao degrau, que
(A) < 0
(B) = 0
(C) 0 < < 1
(D) =1
(E) > 1
50100 mol/h de uma mistura amônia-ar, considerada ideal,
contendo 15% em volume de amônia, entram em uma
coluna de absorção em contracorrente para serem trata-
dos com água de modo a recuperar 95% da amônia.
A relação solvente líquido / solvente gasoso é 2. A razão
molar de amônia no produto líquido e a vazão do solvente,
em mol/h, são, respectivamente,
(A) 0,009 e 85
(B) 0,077 e 85
(C) 0,084 e 170
(D) 0,084 e 200
(E) 0,850 e 100
1.4
1.2
1
0.8Y
(t)
0.6
0.4
t
0.2
00 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
51Um extrator recebe 100 kg/h de uma solução aquosa com2% de soluto. Essa solução deve aparecer no rafinado com1% de soluto. O solvente empregado e a água podem serconsiderados imiscíveis. A constante de equilibrio é4 (kg soluto / kg solvente) / (kg soluto / kg água). Aproximan-do-se a fração 98/0,99 para 99, o valor aproximado da va-zão necessária de solvente, em kg/h, deve corresponder a(A) 21(B) 22(C) 23(D) 24(E) 25
52Um reator de volume conhecido contém 100 mol de umgás ideal a uma pressão de 105 Pa e a uma temperaturaT1. Se, nessas condições, a variação de entropia com ovolume para esse gás vale 100 J.m.K−1, e se a constanteuniversal dos gases pode ser considerada igual a8,3 J.mol−1. K−1, a temperatura T1 do reator, em K, é de(A) 100(B) 200(C) 273(D) 1.000(E) 2.000
53Definindo-se (Cp) e (Cv) como as capacidades caloríficasmolares de um gás ideal, a pressão e volume constantes,respectivamente, e () como a razão entre essas capaci-dades caloríficas p v( C / C ) , a equação que expressa otrabalho (W) de expansão de um gás ideal em um sistemafechado é dada por
(A) 2 2 1 1P V P V
1
(B) 1 1 2 2P V P V
1
(C) 2 2 1 1
1
P V P V
(D)
2 2 1 1P V P V
1
(E) 2 2 1 1
p
P V P V
C
Resolução:
Como podemos observar, a função de transferência Y (s)U(s)
= 2s2+2ξs+1
já está
no formato padrão (onde ωn = 1), logo ξ corresponde ao coeficiente de amorteci-
mento.
Como a resposta do sistema apresentou oscilações e então estabilizou, sabemos
que o sistema possui pólos complexos conjugados no semiplano s esquerdo,
logo 0 < ξ < 1 e o sistema é subamortecido.
Alternativa (C)
Material de uso exclusivo do Comprador Cód. T34TRJ59YNKS. Sendo vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a suareprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Questão 31(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2011)
ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO7
27Em um sistema de controle em malha fechada, a planta é o elemento que possui a(s) variável(eis)(A) manipulada(s)(B) medida(s)(C) erro(D) a ser(em) controlada(s)(E) de referência
28
A Função de Transferência de Malha Aberta (FTMA) da estrutura de controle mostrada na figura acima é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 29 a 31.
A função de transferência no domínio de Laplace de um sistema linear é dada por
onde Y(s) é a variável de saída e R(s), a variável de entrada. Nos três itens a seguir, considere as condições iniciais NULAS.
29O valor da resposta em regime permanente desse siste-ma, para uma entrada tipo degrau unitário, é
(A) K
(B)
(C)
(D)
(E)
30Para uma entrada degrau unitário, a saída desse siste-ma atinge a condição de regime permanente num tempo aproximadamente igual a(A) 2 τ(B) 5 τ(C) 20 τ(D) 2 K(E) 5 K
31O valor inicial, em t = 0, do sinal de saída desse sistema, quando se aplica um impulso unitário na entrada, é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
32Um ruído de alta frequência, em sistemas de monitora-mento ou controle, que corrompe um sinal, pode ser ate-nuado por um filtro(A) passa-tudo(B) passa-alta(C) passa-baixa(D) passa-não-passa(E) passa-passa
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 33 e 34.
O acelerômetro é um componente eletromecânico que pode ser empregado em diferentes aplicações de enge-nharia, entre elas, nos sistemas de controle em malha fechada.
33No caso de sistemas de controle, o acelerômetro é insta-lado no subsistema de(A) atuação(B) geração do sinal erro(C) instrumentação(D) manipulação(E) referência
Resolução:
ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO7
27Em um sistema de controle em malha fechada, a planta é o elemento que possui a(s) variável(eis)(A) manipulada(s)(B) medida(s)(C) erro(D) a ser(em) controlada(s)(E) de referência
28
A Função de Transferência de Malha Aberta (FTMA) da estrutura de controle mostrada na figura acima é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 29 a 31.
A função de transferência no domínio de Laplace de um sistema linear é dada por
onde Y(s) é a variável de saída e R(s), a variável de entrada. Nos três itens a seguir, considere as condições iniciais NULAS.
29O valor da resposta em regime permanente desse siste-ma, para uma entrada tipo degrau unitário, é
(A) K
(B)
(C)
(D)
(E)
30Para uma entrada degrau unitário, a saída desse siste-ma atinge a condição de regime permanente num tempo aproximadamente igual a(A) 2 τ(B) 5 τ(C) 20 τ(D) 2 K(E) 5 K
31O valor inicial, em t = 0, do sinal de saída desse sistema, quando se aplica um impulso unitário na entrada, é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
32Um ruído de alta frequência, em sistemas de monitora-mento ou controle, que corrompe um sinal, pode ser ate-nuado por um filtro(A) passa-tudo(B) passa-alta(C) passa-baixa(D) passa-não-passa(E) passa-passa
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 33 e 34.
O acelerômetro é um componente eletromecânico que pode ser empregado em diferentes aplicações de enge-nharia, entre elas, nos sistemas de controle em malha fechada.
33No caso de sistemas de controle, o acelerômetro é insta-lado no subsistema de(A) atuação(B) geração do sinal erro(C) instrumentação(D) manipulação(E) referência
B(s)
E(s)
Dado um sistema realimentado como o do diagrama apresentado, a função de
transferência de Malha Aberta corresponde à relação entre o sinal de realimen-
tação (que chamaremos de B(s)) e o sinal de erro (que chamaremos de E(s)),
ou seja:
FTMA =B(s)
E(s)=E(s)C(s)G(s)H(s)
E(s)
= C(s)G(s)H(s)
Alternativa (B)
Material de uso exclusivo do Comprador Cód. T34TRJ59YNKS. Sendo vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a suareprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Questão 32(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2011)
ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO7
27Em um sistema de controle em malha fechada, a planta é o elemento que possui a(s) variável(eis)(A) manipulada(s)(B) medida(s)(C) erro(D) a ser(em) controlada(s)(E) de referência
28
A Função de Transferência de Malha Aberta (FTMA) da estrutura de controle mostrada na figura acima é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 29 a 31.
A função de transferência no domínio de Laplace de um sistema linear é dada por
onde Y(s) é a variável de saída e R(s), a variável de entrada. Nos três itens a seguir, considere as condições iniciais NULAS.
29 O valor da resposta em regime permanente desse siste-ma, para uma entrada tipo degrau unitário, é
(A) K
(B)
(C)
(D)
(E)
30Para uma entrada degrau unitário, a saída desse siste-ma atinge a condição de regime permanente num tempo aproximadamente igual a(A) 2 τ(B) 5 τ(C) 20 τ(D) 2 K(E) 5 K
31O valor inicial, em t = 0, do sinal de saída desse sistema, quando se aplica um impulso unitário na entrada, é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
32Um ruído de alta frequência, em sistemas de monitora-mento ou controle, que corrompe um sinal, pode ser ate-nuado por um filtro(A) passa-tudo(B) passa-alta(C) passa-baixa(D) passa-não-passa(E) passa-passa
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 33 e 34.
O acelerômetro é um componente eletromecânico que pode ser empregado em diferentes aplicações de enge-nharia, entre elas, nos sistemas de controle em malha fechada.
33No caso de sistemas de controle, o acelerômetro é insta-lado no subsistema de(A) atuação(B) geração do sinal erro(C) instrumentação(D) manipulação(E) referência
Resolução:
Aplicando o Teorema do Valor Final para uma entrada degrau temos:
y(∞) = lims→0
(s× K
τs+ 1× 1
s
)= K
Alternativa (A)
ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO7
27Em um sistema de controle em malha fechada, a planta é o elemento que possui a(s) variável(eis)(A) manipulada(s)(B) medida(s)(C) erro(D) a ser(em) controlada(s)(E) de referência
28
A Função de Transferência de Malha Aberta (FTMA) da estrutura de controle mostrada na figura acima é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 29 a 31.
A função de transferência no domínio de Laplace de um sistema linear é dada por
onde Y(s) é a variável de saída e R(s), a variável de entrada. Nos três itens a seguir, considere as condições iniciais NULAS.
29 O valor da resposta em regime permanente desse siste-ma, para uma entrada tipo degrau unitário, é
(A) K
(B)
(C)
(D)
(E)
30Para uma entrada degrau unitário, a saída desse siste-ma atinge a condição de regime permanente num tempo aproximadamente igual a(A) 2 τ(B) 5 τ(C) 20 τ(D) 2 K(E) 5 K
31O valor inicial, em t = 0, do sinal de saída desse sistema, quando se aplica um impulso unitário na entrada, é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
32Um ruído de alta frequência, em sistemas de monitora-mento ou controle, que corrompe um sinal, pode ser ate-nuado por um filtro(A) passa-tudo(B) passa-alta(C) passa-baixa(D) passa-não-passa(E) passa-passa
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 33 e 34.
O acelerômetro é um componente eletromecânico que pode ser empregado em diferentes aplicações de enge-nharia, entre elas, nos sistemas de controle em malha fechada.
33No caso de sistemas de controle, o acelerômetro é insta-lado no subsistema de(A) atuação(B) geração do sinal erro(C) instrumentação(D) manipulação(E) referência
Resolução:
Sabendo que a entrada é um degrau unitário (R(s) = 1s):
Y (s)
R(s)=
K
τs+ 1
Y (s) =K
τs+ 1×R(s)
Material de uso exclusivo do Comprador Cód. T34TRJ59YNKS. Sendo vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a suareprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Y (s) =K
τs+ 1× 1
s
Fazendo a anti-transformada de Laplace da equação acima chegamos a:
y(t) = K(1− e−tτ )
Para sabermos a amplitude de y(t) após 5τ segundos, basta fazermos t = 5τ :
y(5τ) = K(1− e−5ττ )
y(5τ) = K(1− e−5)
y(5τ) ≈ 0.993K
y(5τ) ≈ 0.993y(∞)
Ou seja, vemos que o valor de regime permanente é atingido muito proxi-
mamente a t = 5τ .
Alternativa (B)
ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO7
27Em um sistema de controle em malha fechada, a planta é o elemento que possui a(s) variável(eis)(A) manipulada(s)(B) medida(s)(C) erro(D) a ser(em) controlada(s)(E) de referência
28
A Função de Transferência de Malha Aberta (FTMA) da estrutura de controle mostrada na figura acima é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 29 a 31.
A função de transferência no domínio de Laplace de um sistema linear é dada por
onde Y(s) é a variável de saída e R(s), a variável de entrada. Nos três itens a seguir, considere as condições iniciais NULAS.
29 O valor da resposta em regime permanente desse siste-ma, para uma entrada tipo degrau unitário, é
(A) K
(B)
(C)
(D)
(E)
30Para uma entrada degrau unitário, a saída desse siste-ma atinge a condição de regime permanente num tempo aproximadamente igual a(A) 2 τ(B) 5 τ(C) 20 τ(D) 2 K(E) 5 K
31
O valor inicial, em t = 0, do sinal de saída desse sistema, quando se aplica um impulso unitário na entrada, é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
32Um ruído de alta frequência, em sistemas de monitora-mento ou controle, que corrompe um sinal, pode ser ate-nuado por um filtro(A) passa-tudo(B) passa-alta(C) passa-baixa(D) passa-não-passa(E) passa-passa
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 33 e 34.
O acelerômetro é um componente eletromecânico que pode ser empregado em diferentes aplicações de enge-nharia, entre elas, nos sistemas de controle em malha fechada.
33No caso de sistemas de controle, o acelerômetro é insta-lado no subsistema de(A) atuação(B) geração do sinal erro(C) instrumentação(D) manipulação(E) referência
Resolução:
Sabendo que a entrada é um impulso unitário, ou seja R(s) = 1 temos:
Y (s)
R(s)=
K
τs+ 1
Y (s) =K
τs+ 1× 1
Y (s) =Kτ
s+ 1τ
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A anti-transformada de Laplace da equação acima resulta então em:
y(t) =K
τe
−tτ
Para sabermos o valor inicial da saída y(t) basta fazermos t = 0 na equação
acima:
y(0) =K
τe0
y(0) =K
τ Alternativa (A)
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Questão 33(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2011)
ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO 8
34 A sensibilidade de um acelerômetro piezelétrico é dada em(A) mV/m(B) mV/ms(C) pC/ms(D) pC/ms−2
(E) V/ms−3
35
A figura acima mostra o gráfico que corresponde a um sinal periódico de tensão medido na tela de um osciloscó-pio. Aplicando-se esse sinal de tensão sobre um resistor de 100 Ω, a potência média, em W, dissipada no resistor é (A) 1,50(B) 5,60(C) 10,50(D) 15,25(E) 25,40
36
Considere o sistema de controle configurado na figura acima, onde a planta G(s) é INSTÁVEL, e deseja-se es-tabilizá-la e controlá-la com ajuda de um compensador do tipo H(s). Usa-se a técnica de cancelamento de polos da planta para reduzir a ordem do sistema.O engenheiro projetista achou, em seu cálculo, o ganho K = 125. Assim, os polos do sistema em malha fechada estarão posicionados em (A) -2 + j5(B) -2 + j8(C) -2 + j4(D) -1 e -8(E) -2 e -6
37
No circuito da figura acima, deseja-se inserir um resistor de 20 kΩ entre os pontos a e b do circuito.Para que o resistor seja especificado, que potência, em mW, esse resistor dissipará ao ser inserido? (A) 12,0(B) 10,5(C) 9,8(D) 5,0(E) 1,8
38
O pulso retangular da Figura 1 tem seu espectro de fre-quência, em módulo, mostrado na Figura 2. Com base nos dados mostrados na figura, o valor de μ, em segundos, é(A) 10(B) 8(C) 6(D) 4(E) 2
Resolução:
A Função de Transferência de Malha Fechada do sistema dado será:
Y (s)
R(s)=
G(s)H(s)
1 +G(s)H(s)
Y (s)
R(s)=
K(s+ 8)
(s2 − 64)(s+ 12) +K(s+ 8)
Y (s)
R(s)=
K(s+ 8)
(s+ 8)(s− 8)(s+ 12) +K(s+ 8)
Y (s)
R(s)=
K
(s− 8)(s+ 12) +K
Sabendo que K = 125, basta então acharmos as raízes da equação característica:
(s− 8)(s+ 12) + 125 = 0
s2 + 4s+ 29 = 0
s = −2± 5j
Alternativa (A)
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Questão 34(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2011)
ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO15
BLOCO 3
56Um sinal senoidal é expresso da seguinte forma:
x(t) = 6sen(10t) + 8cos(10t)Este mesmo sinal pode ser expresso nesta outra forma:
x(t) = Asen(10t + θ)A tangente do ângulo θ é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
57Um sinal v(t) é expresso, no domínio de Laplace, por
No domínio do tempo, quando t tende para infinito, o sinal v(t) tende para um valor estacionário, constante e igual a(A) 240(B) 180(C) 60(D) 12(E) 9
58Um sistema de controle utiliza um sensor eletromagnético não linear que converte uma corrente elétrica i em força F. A função não linear, que converte corrente [A] em força [N], é
F(i) = 5i2 - 18i
Deseja-se linearizar essa função no ponto nominal de cor-rente i0 = -4, obtendo-se para este ponto de operação, a função linear
FL(i) = K1i + K2
Os valores de K1 e K2, respectivamente, são(A) -58 e -80(B) -58 e 80(C) -35 e 120(D) -35 e 12(E) -78 e -160
59
Considere z uma variável complexa que se apresenta de-composta na forma z = x + jy, x e y números reais. O gráfico acima mostra o plano complexo e a figura de um círculo centrado em z = 2 e de raio igual a 3.O lugar geométrico da região sombreada, não incluindo a borda (circunferência), é expresso por(A) Iz − 2I = 3 (B) Iz + 2I < 3(C) IzI < 9(D) x2 + y2 < 9(E) x2 + y2 −4x < 5
60Considere que x(t) é um sinal que evolui no domínio do tem-
po de acordo com a equação diferencial linear represen-
tada por , onde e .
Considerando e , a solução dessa equa-
ção, válida unicamente para , é expressa por
(A) 2et - e2t
(B) 4e−4t - 5e−5t
(C) 5e−4t - 4e−5t
(D) 5(e−4t - e−5t)(E) 10(e−5t - e−4t)
61Um sistema linear é representado em Espaço de Estados pelas equações:
e
Os polos desse sistema são(A) -3 e -3(B) -3 e -5(C) -2 e -1(D) -2 e -3(E) -1 e -4
Resolução:
Aplicando o Teorema do Valor Final para uma entrada impulso unitário
temos:
v(∞) = lims→0
(s× 180(s2 + 5s+ 4)
(s3 + 9s2 + 20s)(s+ 3)× 1
)v(∞) = lim
s→0
(× 180(s3 + 5s2 + 4s)
s4 + 12s3 + 47s2 + 60s
)
Porém, como esse limite resulta em 00, vamos aplicar o Teorema de
L’Hopital (derivar numerador e denominador):
v(∞) = lims→0
(180(3s2 + 10s+ 4)
4s3 + 36s2 + 94s+ 60
)v(∞) =
180× 4
60
v(∞) = 12
Alternativa (D)
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Questão 35(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2011)
ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO15
BLOCO 3
56Um sinal senoidal é expresso da seguinte forma:
x(t) = 6sen(10t) + 8cos(10t)Este mesmo sinal pode ser expresso nesta outra forma:
x(t) = Asen(10t + θ)A tangente do ângulo θ é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
57Um sinal v(t) é expresso, no domínio de Laplace, por
No domínio do tempo, quando t tende para infinito, o sinal v(t) tende para um valor estacionário, constante e igual a(A) 240(B) 180(C) 60(D) 12(E) 9
58Um sistema de controle utiliza um sensor eletromagnético não linear que converte uma corrente elétrica i em força F. A função não linear, que converte corrente [A] em força [N], é
F(i) = 5i2 - 18i
Deseja-se linearizar essa função no ponto nominal de cor-rente i0 = -4, obtendo-se para este ponto de operação, a função linear
FL(i) = K1i + K2
Os valores de K1 e K2, respectivamente, são(A) -58 e -80(B) -58 e 80(C) -35 e 120(D) -35 e 12(E) -78 e -160
59
Considere z uma variável complexa que se apresenta de-composta na forma z = x + jy, x e y números reais. O gráfico acima mostra o plano complexo e a figura de um círculo centrado em z = 2 e de raio igual a 3.O lugar geométrico da região sombreada, não incluindo a borda (circunferência), é expresso por(A) Iz − 2I = 3 (B) Iz + 2I < 3(C) IzI < 9(D) x2 + y2 < 9(E) x2 + y2 −4x < 5
60Considere que x(t) é um sinal que evolui no domínio do tem-
po de acordo com a equação diferencial linear represen-
tada por , onde e .
Considerando e , a solução dessa equa-
ção, válida unicamente para , é expressa por
(A) 2et - e2t
(B) 4e−4t - 5e−5t
(C) 5e−4t - 4e−5t
(D) 5(e−4t - e−5t)(E) 10(e−5t - e−4t)
61Um sistema linear é representado em Espaço de Estados pelas equações:
e
Os polos desse sistema são(A) -3 e -3(B) -3 e -5(C) -2 e -1(D) -2 e -3(E) -1 e -4
Resolução:
A forma geral da aproximação linear de Taylor é:
F (x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)
Sabendo que o ponto de operação é i0 = −4, a aproximação para nosso
caso ficará:
FL(i) = F (i0) + F ′(i0)(i(t)− i0)
FL(i) = (5i20 − 18i0) + [10i0 − 18](i(t)− i0)
FL(i) = (5(−4)2 − 18(−4)) + [10(−4)− 18](i(t)− (−4))
FL(i) = 152− 58(i(t) + 4)
FL(i) = −58︸︷︷︸K1
i(t)−80︸︷︷︸K2 Alternativa (A)
Material de uso exclusivo do Comprador Cód. T34TRJ59YNKS. Sendo vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a suareprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Questão 36(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2011)
ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO17
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 65 e 66.
O diagrama em blocos da figura acima mostra uma confi-
guração em malha fechada. Sabe-se que ,
e K é uma constante positiva.
65 A Função de Transferência que relaciona Y(s) com R(s) é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
66O valor de K que garante os polos em malha fechada po-sicionados em -10, (-2,5 + j2,5 ) e (-2,5 - j2,5 ) é(A) 10,2(B) 8,4(C) 6,2(D) 5,0(E) 1,2
67O polinômio do denominador da função de transferência de um sistema em malha fechada é dado por
s3 + 9s2 + 23s + 15 + KVariando K positivamente a partir de K = 0, o valor de K a partir do qual o sistema vai para a instabilidade é
(A) 235(B) 192 (C) 185(D) 150(E) 120
68Um sistema discreto tem como entrada r(n) e saída y(n),
que se relacionam pelas equações de diferenças
A função de Transferência do sistema é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
69O modelo em função de transferência de um sistema linear
contínuo é dado por
Para esse sistema, foi obtido um modelo equivalente discre-
to, com zero order hold, usando um período de amostragem
de 10 ms. Considere que, para uma entrada degrau unitário,
o tempo de acomodação (settling time) da resposta é cal-
culado por , onde ς é a razão de amortecimento,
e ωn é a frequência natural não amortecida do sistema
contínuo.
Supondo que o sistema discretizado tenha o mesmo de-
sempenho que o sistema contínuo, aproximadamente,
quantas amostras levará o sistema discreto para atingir o
estado estacionário, partindo do instante inicial?
(A) 250(B) 150(C) 100(D) 80(E) 50
Resolução:
A Função de Transferência de Malha Fechada deste sistema será:
Y (s)
R(s)=
G(s)
1 +G(s)K×H(s)
Y (s)
R(s)=
5s(s+5)
1 + 5s(s+5)
×K× 10
s+ 10
Y (s)
R(s)=
5× 10
s(s+ 5)(s+ 10) + (s+ 10)5K
Y (s)
R(s)=
50
s3 + 15s2 + (50 + 5K)s+ 50K
Alternativa (C)
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Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 65 e 66.
O diagrama em blocos da figura acima mostra uma confi-
guração em malha fechada. Sabe-se que ,
e K é uma constante positiva.
65 A Função de Transferência que relaciona Y(s) com R(s) é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
66O valor de K que garante os polos em malha fechada po-sicionados em -10, (-2,5 + j2,5 ) e (-2,5 - j2,5 ) é(A) 10,2(B) 8,4(C) 6,2(D) 5,0(E) 1,2
67O polinômio do denominador da função de transferência de um sistema em malha fechada é dado por
s3 + 9s2 + 23s + 15 + KVariando K positivamente a partir de K = 0, o valor de K a partir do qual o sistema vai para a instabilidade é
(A) 235(B) 192 (C) 185(D) 150(E) 120
68Um sistema discreto tem como entrada r(n) e saída y(n),
que se relacionam pelas equações de diferenças
A função de Transferência do sistema é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
69O modelo em função de transferência de um sistema linear
contínuo é dado por
Para esse sistema, foi obtido um modelo equivalente discre-
to, com zero order hold, usando um período de amostragem
de 10 ms. Considere que, para uma entrada degrau unitário,
o tempo de acomodação (settling time) da resposta é cal-
culado por , onde ς é a razão de amortecimento,
e ωn é a frequência natural não amortecida do sistema
contínuo.
Supondo que o sistema discretizado tenha o mesmo de-
sempenho que o sistema contínuo, aproximadamente,
quantas amostras levará o sistema discreto para atingir o
estado estacionário, partindo do instante inicial?
(A) 250(B) 150(C) 100(D) 80(E) 50
Resolução:
Primeiramente encontraremos a equação característica desejada e depois
a compararemos com a equação característica encontrada na questão anterior. A
equação caracterísca desejada será:
(s+ 10)(s+ 2, 5− j2, 5√
5)(s+ 2, 5 + j2, 5√
5) = 0
(s+ 10)((s+ 2, 5)2 − (j2, 5√
5)2) = 0
(s+ 10)(s2 + 5s+ 2, 52 + 2, 52 × 5) = 0
s3 + 5s2 + 6× 2, 52s+ 10s2 + 50s+ 10× 6× 2, 52 = 0
s3 + 15s2 + (50 + 6× 2, 52)s+ 60× 2, 52 = 0
Igualando a equação acima com a equação característica obtida na questão
anterior (s3 + 15s2 + (50 + 5K)s+ 50K = 0), devemos ter:
50K = 60× 2, 52
K =6× 2, 52
5
K = 7, 5
50 + 5K = 50 + 6× 2, 52
5K = 37.5
K = 7, 5
Observe que esta resposta (K = 7, 5) não aparece nas alternativas, por este
motivo esta questão foi anulada.
Resposta: 7,5
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Questão 37(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2011)
ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO17
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 65 e 66.
O diagrama em blocos da figura acima mostra uma confi-
guração em malha fechada. Sabe-se que ,
e K é uma constante positiva.
65 A Função de Transferência que relaciona Y(s) com R(s) é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
66O valor de K que garante os polos em malha fechada po-sicionados em -10, (-2,5 + j2,5 ) e (-2,5 - j2,5 ) é(A) 10,2(B) 8,4(C) 6,2(D) 5,0(E) 1,2
67O polinômio do denominador da função de transferência de um sistema em malha fechada é dado por
s3 + 9s2 + 23s + 15 + KVariando K positivamente a partir de K = 0, o valor de K a partir do qual o sistema vai para a instabilidade é
(A) 235(B) 192 (C) 185(D) 150(E) 120
68Um sistema discreto tem como entrada r(n) e saída y(n),
que se relacionam pelas equações de diferenças
A função de Transferência do sistema é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
69O modelo em função de transferência de um sistema linear
contínuo é dado por
Para esse sistema, foi obtido um modelo equivalente discre-
to, com zero order hold, usando um período de amostragem
de 10 ms. Considere que, para uma entrada degrau unitário,
o tempo de acomodação (settling time) da resposta é cal-
culado por , onde ς é a razão de amortecimento,
e ωn é a frequência natural não amortecida do sistema
contínuo.
Supondo que o sistema discretizado tenha o mesmo de-
sempenho que o sistema contínuo, aproximadamente,
quantas amostras levará o sistema discreto para atingir o
estado estacionário, partindo do instante inicial?
(A) 250(B) 150(C) 100(D) 80(E) 50
Resolução:
Basta aplicarmos o Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz na equação
característica s3 + 9s2 + 23s+ 15 +K = 0:
s3 1 23
s2 9 (15 +K)
s1 9×23−15−K9
0
s0 (15 +K) 0
Da primeira coluna da linha s0 temos que ter:
15 +K > 0 → K > −15
Da primeira coluna da linha s1 temos que ter:
9× 23− 15−K9
> 0
9× 23− 15 +K > 0
K < 9× 23− 15
K < 192
Alternativa (B)
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Questão 38(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2011)
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Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 65 e 66.
O diagrama em blocos da figura acima mostra uma confi-
guração em malha fechada. Sabe-se que ,
e K é uma constante positiva.
65 A Função de Transferência que relaciona Y(s) com R(s) é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
66O valor de K que garante os polos em malha fechada po-sicionados em -10, (-2,5 + j2,5 ) e (-2,5 - j2,5 ) é(A) 10,2(B) 8,4(C) 6,2(D) 5,0(E) 1,2
67O polinômio do denominador da função de transferência de um sistema em malha fechada é dado por
s3 + 9s2 + 23s + 15 + KVariando K positivamente a partir de K = 0, o valor de K a partir do qual o sistema vai para a instabilidade é
(A) 235(B) 192 (C) 185(D) 150(E) 120
68Um sistema discreto tem como entrada r(n) e saída y(n),
que se relacionam pelas equações de diferenças
A função de Transferência do sistema é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
69O modelo em função de transferência de um sistema linear
contínuo é dado por
Para esse sistema, foi obtido um modelo equivalente discre-
to, com zero order hold, usando um período de amostragem
de 10 ms. Considere que, para uma entrada degrau unitário,
o tempo de acomodação (settling time) da resposta é cal-
culado por , onde ς é a razão de amortecimento,
e ωn é a frequência natural não amortecida do sistema
contínuo.
Supondo que o sistema discretizado tenha o mesmo de-
sempenho que o sistema contínuo, aproximadamente,
quantas amostras levará o sistema discreto para atingir o
estado estacionário, partindo do instante inicial?
(A) 250 (B) 150 (C) 100 (D) 80 (E) 50
Resolução:
Comparando a função de transferência dada com a forma padrão de uma
função de transferência de segunda ordem:
G(s) =100
s2 + 10s+ 100=
Kω2n
s2 + 2ζωns+ ω2n
De onde tiramos diretamente que:
2ζωn = 10 → ζωn = 5
Logo o tempo de acomodação TS será igual a:
TS =5
ζωn=
5
5= 1s
Sabendo que o tempo de amostragem é igual a 10ms, o número de amostra-
gens até o sistema ficar estacionário será:
N =TS
10ms=
1
10× 10−3= 100
Alternativa (C)
Material de uso exclusivo do Comprador Cód. T34TRJ59YNKS. Sendo vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a suareprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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Questão 39(Eng. Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2011)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
7
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
BLOCO 1
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 21 e 22.
A figura acima mostra o sinal periódico ν(t), formado por uma sequência de pulsos retangulares, de amplitude A, largura μ, separados por um período T.
21A expressão do valor médio desse sinal é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
22Calculando o coeficiente complexo da série de Fou-
rier, através da integral onde
obtém-se , o valor do duty
cicle, definido pela relação , é
(A) 0,2
(B) 0,3
(C) 0,4
(D) 0,5
(E) 0,8
23Sobre os tipos de ruídos que influenciam os sinais presen-tes nos Sistemas de Comunicações, considere as afirma-tivas a seguir.
I - O ruído térmico é gerado pelo movimento randômi-co de partículas eletricamente carregadas (elétrons) nos meios de condução.
II - O ruído branco é o tipo que apresenta a amplitude do seu espectro de frequência distribuído de forma randômica na faixa de frequência do canal de transmissão.
III - O ruído impulsivo é uma ocorrência irregular de pulsos ou estalos de curta duração e de amplitude relativamente grande presente nos sinais que trafegam nos sistemas de comunicações.
Está correto APENAS o que se afirma em(A) I(B) II(C) III(D) I e III(E) II e III
24
Um sistema linear e contínuo apresenta a equação dife-rencial do seu modelo em espaço de estados, referida à entrada u(t), dada por
onde o vetor de estados é definido por .Esse sistema tem três polos reais, cujos valores são: (A) −1, −1 e −2(B) 0, −2 e −3(C) 0, −1 e −3(D) 0, 1 e −12(E) 1, −6 e −12
25Um sistema de controle linear e contínuo, com realimenta-
ção de saída, apresenta uma estrutura de compensação
na malha direta, em série com a planta, cuja função de
transferência é .
Esse compensador é do tipo(A) PD(B) P I (C) P I D(D) Lead - Leg(E) Avanço de fase
Resolução:
Como o controlador está em série com a planta, temos que H(s) = U(s)E(s)
sendo U(s) o sinal de controle e E(s) o erro (referência menos sinal medido).
Agora, analisamos a equação dada:
H(s) =U(s)
E(s)= Kp
(1 +
1
Tis
)U(s)
E(s)= Kp +
Kp
Ti
1
s
U(s) = KpE(s) +
(Kp
Ti
)E(s)
s
Como podemos ver, o sinal de controle U(s) tem uma parcela proporcional
ao erro (KpE(s)) e outra parcela proporcional à integral do erro ((KpTi
)E(s)s
). Logo,
o controlador em questão é um Proporcional Integral - PI.
Alternativa (B)
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Questão 40(Eng. Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2011)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
8
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 26 e 27.
O diagrama em blocos acima mostra o modelo simplificado de um motor DC. A saída é a velocidade angular [rad/s] repre-sentada pelo sinal Ω(s), e as entradas são: tensão na armadura V(s) e torque de carga T(s). Com base nesse diagrama:
26Aplicando o princípio da superposição, qual a função de transferência que liga a tensão da armadura V(s) à velocidade angular Ω(s)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
27Aplicando o princípio da superposição, qual a função de transferência que liga o torque de carga T(s) à velocidade angular Ω(s)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Resolução:
Ω(s)
V (s)=
5K(s+8)
1(s+3)
1 + 5K(s+8)
1(s+3)
Ω(s)
V (s)=
5K
(s+ 8)(s+ 3) + 5K
Ω(s)
V (s)=
5K
s2 + 11s+ 24 + 5K
Alternativa (C)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
8
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 26 e 27.
O diagrama em blocos acima mostra o modelo simplificado de um motor DC. A saída é a velocidade angular [rad/s] repre-sentada pelo sinal Ω(s), e as entradas são: tensão na armadura V(s) e torque de carga T(s). Com base nesse diagrama:
26Aplicando o princípio da superposição, qual a função de transferência que liga a tensão da armadura V(s) à velocidade angular Ω(s)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
27
Aplicando o princípio da superposição, qual a função de transferência que liga o torque de carga T(s) à velocidade angular Ω(s)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
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Resolução:
Ω(s)
T (s)=
1(s+3)
1 + 5K(s+8)
1(s+3)
Ω(s)
T (s)=
s+ 8
(s+ 8)(s+ 3) + 5K
Ω(s)
T (s)=
s+ 8
s2 + 11s+ 24 + 5K
Alternativa (A)
Material de uso exclusivo do Comprador Cód. T34TRJ59YNKS. Sendo vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a suareprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
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1.2 Controle Linear Contínuo - Lugar das Raízes
Questão 41(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/1)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
17
52Um sistema linear e discreto é modelado em espaço deestado com as seguintes equações:
Este sistema é não controlável nos pontos de uma reta doplano a x b, cuja equação é dada por:
a = Mb + N
As constantes M e N são, respectivamente,
(A)2
2e
(B)2
2e
(C)2
2 2e
(D) e
(E)2
2e
Considere a figura e os dados abaixo para responderàs questões de nos 53 a 55.
A figura ilustra uma planta industrial controlada por meiode um compensador H(s). O modelo da planta está repre-sentado na figura por sua função de transferência.
( ) ) )( (0 1
1X k X k u ka b
( ) [ ] ( )1 0y k X k=
53Se for utilizado um compensador estático, isto é, H(s) = K,com K > 0, então a planta(A) não poderá ser estabilizada, tendo em vista que a fun-
ção de transferência da planta apresenta um par depolos no semiplano s direito.
(B) não poderá ser estabilizada, pois mesmo variando-seo ganho K do compensador, ainda restarão polos demalha fechada no semiplano s direito.
(C) poderá ser estabilizada para qualquer valor de ganhoK positivo.
(D) poderá ser estabilizada a partir de certo valor de ganhoK positivo, tendo em vista que a função de transferên-cia de malha aberta possui grau relativo 1 e apresentaum zero no semieixo real negativo do plano s.
(E) poderá ser estabilizada, tendo em vista que, a partir decerto valor de ganho K positivo, os polos de malha fecha-da seguirão duas assintotas no semiplano s esquerdo.
54Para estabilizar a planta e fazer com que o lugar das raízes(root locus) passe em s = - 3, o compensador utilizado de-verá ser:
(A) K(s 2)
(s 9)
(B)
K(s 5)
(s 13)
(C)K(s 15)
(s 3,5)
(D)
K(s -15)
(s -2)
(E)K(s+10)
(s+15)
55
Considere que tenha sido utilizado o compensador
5(s 10)H(s)
s
. Com relação à capacidade da saída y(t)
de o sistema em malha fechada rastrear os sinais aplica-
dos em u(t), caso seja aplicado um sinal do tipo
(A) degrau em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo aentrada u(t).
(B) degrau em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro cons-tante a entrada em u(t).
(C) degrau em u(t), a saída y(t) não conseguirá rastrear aentrada em u(t).
(D) rampa em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo aentrada em u(t).
(E) parábola em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nuloa entrada em u(t).
u(t) y(t)
CompensadorH(s)
Planta2(s 4)
(s 6s + 13)2
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
17
52Um sistema linear e discreto é modelado em espaço deestado com as seguintes equações:
Este sistema é não controlável nos pontos de uma reta doplano a x b, cuja equação é dada por:
a = Mb + N
As constantes M e N são, respectivamente,
(A)2
2e
(B)2
2e
(C)2
2 2e
(D) e
(E)2
2e
Considere a figura e os dados abaixo para responderàs questões de nos 53 a 55.
A figura ilustra uma planta industrial controlada por meiode um compensador H(s). O modelo da planta está repre-sentado na figura por sua função de transferência.
( ) ) )( (0 1
1X k X k u ka b
( ) [ ] ( )1 0y k X k=
53Se for utilizado um compensador estático, isto é, H(s) = K,com K > 0, então a planta(A) não poderá ser estabilizada, tendo em vista que a fun-
ção de transferência da planta apresenta um par depolos no semiplano s direito.
(B) não poderá ser estabilizada, pois mesmo variando-seo ganho K do compensador, ainda restarão polos demalha fechada no semiplano s direito.
(C) poderá ser estabilizada para qualquer valor de ganhoK positivo.
(D) poderá ser estabilizada a partir de certo valor de ganhoK positivo, tendo em vista que a função de transferên-cia de malha aberta possui grau relativo 1 e apresentaum zero no semieixo real negativo do plano s.
(E) poderá ser estabilizada, tendo em vista que, a partir decerto valor de ganho K positivo, os polos de malha fecha-da seguirão duas assintotas no semiplano s esquerdo.
54Para estabilizar a planta e fazer com que o lugar das raízes(root locus) passe em s = - 3, o compensador utilizado de-verá ser:
(A) K(s 2)
(s 9)
(B)
K(s 5)
(s 13)
(C)K(s 15)
(s 3,5)
(D)
K(s -15)
(s -2)
(E)K(s+10)
(s+15)
55
Considere que tenha sido utilizado o compensador
5(s 10)H(s)
s
. Com relação à capacidade da saída y(t)
de o sistema em malha fechada rastrear os sinais aplica-
dos em u(t), caso seja aplicado um sinal do tipo
(A) degrau em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo aentrada u(t).
(B) degrau em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro cons-tante a entrada em u(t).
(C) degrau em u(t), a saída y(t) não conseguirá rastrear aentrada em u(t).
(D) rampa em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo aentrada em u(t).
(E) parábola em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nuloa entrada em u(t).
u(t) y(t)
CompensadorH(s)
Planta2(s 4)
(s 6s + 13)2
Resolução:
Achando a Função de Transferência de Malha Fechada (FTMF) para H(s) =
K temos:
Y (s)
U(s)=
2(s+ 4)
s2 − 6s+ 13 + 2K(s+ 4)=
2(s+ 4)
s2 + (2K − 6)s+ (13 + 8K)
Agora aplicamos o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz para a equação
característica s2 + (2K − 6)s+ (13 + 8K):
s2 1 (13 + 8K)
s1 (2K − 6) 0
s0 (13 + 8K)
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Logo, para o sistema ser estável temos que ter:
2K − 6 > 0→ K > 3
e também:
13 + 8K > 0→ K > −13
8
Ou seja, para satisfazer as duas inequações K > 3 .
Alternativa (D)
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17
52Um sistema linear e discreto é modelado em espaço deestado com as seguintes equações:
Este sistema é não controlável nos pontos de uma reta doplano a x b, cuja equação é dada por:
a = Mb + N
As constantes M e N são, respectivamente,
(A)2
2e
(B)2
2e
(C)2
2 2e
(D) e
(E)2
2e
Considere a figura e os dados abaixo para responderàs questões de nos 53 a 55.
A figura ilustra uma planta industrial controlada por meiode um compensador H(s). O modelo da planta está repre-sentado na figura por sua função de transferência.
( ) ) )( (0 1
1X k X k u ka b
( ) [ ] ( )1 0y k X k=
53Se for utilizado um compensador estático, isto é, H(s) = K,com K > 0, então a planta(A) não poderá ser estabilizada, tendo em vista que a fun-
ção de transferência da planta apresenta um par depolos no semiplano s direito.
(B) não poderá ser estabilizada, pois mesmo variando-seo ganho K do compensador, ainda restarão polos demalha fechada no semiplano s direito.
(C) poderá ser estabilizada para qualquer valor de ganhoK positivo.
(D) poderá ser estabilizada a partir de certo valor de ganhoK positivo, tendo em vista que a função de transferên-cia de malha aberta possui grau relativo 1 e apresentaum zero no semieixo real negativo do plano s.
(E) poderá ser estabilizada, tendo em vista que, a partir decerto valor de ganho K positivo, os polos de malha fecha-da seguirão duas assintotas no semiplano s esquerdo.
54Para estabilizar a planta e fazer com que o lugar das raízes(root locus) passe em s = - 3, o compensador utilizado de-verá ser:
(A) K(s 2)
(s 9)
(B)
K(s 5)
(s 13)
(C)K(s 15)
(s 3,5)
(D)
K(s -15)
(s -2)
(E)K(s+10)
(s+15)
55
Considere que tenha sido utilizado o compensador
5(s 10)H(s)
s
. Com relação à capacidade da saída y(t)
de o sistema em malha fechada rastrear os sinais aplica-
dos em u(t), caso seja aplicado um sinal do tipo
(A) degrau em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo aentrada u(t).
(B) degrau em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro cons-tante a entrada em u(t).
(C) degrau em u(t), a saída y(t) não conseguirá rastrear aentrada em u(t).
(D) rampa em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo aentrada em u(t).
(E) parábola em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nuloa entrada em u(t).
u(t) y(t)
CompensadorH(s)
Planta2(s 4)
(s 6s + 13)2
Resolução:
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8Lugar das Raizes para H(s)=K
Eixo Real
Eix
o Im
ag
ina
rio
K = 3
K = 3
Obs.: Na resolução desta questão eu assumo que o leitor domina as téc-
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nicas para esboçar o lugar das raízes de um sistema. Para detalhes, consultar a
bibliografia.
Na figura acima vemos o diagrama do Lugar das Raízes para H(s) = K, como
proposto na questão anterior. Podemos ver assinalado na figura a posição dos
pólos para K = 3, ou seja, para este valor de K vemos que os pólos estão sobre o
eixo imaginário, logo o sistema está no limite da estabilidade (como comprovamos
na questão anterior). Neste caso vemos que um pólo vai ao encontro do zero em
s = −4 e o outro pólo vai para o infinito a medida que aumentamos o valor de K.
O jeito mais simples de fazer o Lugar das Raízes passar por s = −3 como pede
a questão, é fazendo com que o controlador insira um zero à direita de s = −4, e
um pólo afastado da origem. A única alternativa que adiciona um zero à direita de
s = −3 é a alternativa A. Para verificar, abaixo está traçado o Lugar das Raízes
para H(s) = K(s+2)(s+9)
:
-15 -10 -5 0 5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Lugar das Raizes para H(s) = K(s+2)/(s+9)
Eixo Real
Eix
o Im
ag
ina
rio
-2-4-9
Alternativa (A)
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17
52Um sistema linear e discreto é modelado em espaço deestado com as seguintes equações:
Este sistema é não controlável nos pontos de uma reta doplano a x b, cuja equação é dada por:
a = Mb + N
As constantes M e N são, respectivamente,
(A)2
2e
(B)2
2e
(C)2
2 2e
(D) e
(E)2
2e
Considere a figura e os dados abaixo para responderàs questões de nos 53 a 55.
A figura ilustra uma planta industrial controlada por meiode um compensador H(s). O modelo da planta está repre-sentado na figura por sua função de transferência.
( ) ) )( (0 1
1X k X k u ka b
( ) [ ] ( )1 0y k X k=
53Se for utilizado um compensador estático, isto é, H(s) = K,com K > 0, então a planta(A) não poderá ser estabilizada, tendo em vista que a fun-
ção de transferência da planta apresenta um par depolos no semiplano s direito.
(B) não poderá ser estabilizada, pois mesmo variando-seo ganho K do compensador, ainda restarão polos demalha fechada no semiplano s direito.
(C) poderá ser estabilizada para qualquer valor de ganhoK positivo.
(D) poderá ser estabilizada a partir de certo valor de ganhoK positivo, tendo em vista que a função de transferên-cia de malha aberta possui grau relativo 1 e apresentaum zero no semieixo real negativo do plano s.
(E) poderá ser estabilizada, tendo em vista que, a partir decerto valor de ganho K positivo, os polos de malha fecha-da seguirão duas assintotas no semiplano s esquerdo.
54Para estabilizar a planta e fazer com que o lugar das raízes(root locus) passe em s = - 3, o compensador utilizado de-verá ser:
(A) K(s 2)
(s 9)
(B)
K(s 5)
(s 13)
(C)K(s 15)
(s 3,5)
(D)
K(s -15)
(s -2)
(E)K(s+10)
(s+15)
55
Considere que tenha sido utilizado o compensador
5(s 10)H(s)
s
. Com relação à capacidade da saída y(t)
de o sistema em malha fechada rastrear os sinais aplica-
dos em u(t), caso seja aplicado um sinal do tipo
(A) degrau em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo aentrada u(t).
(B) degrau em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro cons-tante a entrada em u(t).
(C) degrau em u(t), a saída y(t) não conseguirá rastrear aentrada em u(t).
(D) rampa em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo aentrada em u(t).
(E) parábola em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nuloa entrada em u(t).
u(t) y(t)
CompensadorH(s)
Planta2(s 4)
(s 6s + 13)2
Resolução:
Sendo a função de transferência da planta G(s), e o controlador
H(s) = 5(s+10)s
, a função de transferência do erro E(s) é:
E(s) =1
1 +G(s)H(s)
Assumindo que a entrada é um degrau (U(s) = 1s), podemos achar o valor
do erro em regime permanente utilizando o Teorema do Valor Final, como segue:
e(∞) = lims→0
sE(s)× U(s)
e(∞) = lims→0
(s
1
1 +G(s)H(s)× U(s)
)e(∞) = lim
s→0
(s
1
1 +G(s)5(s+10)s
× 1
s
)
e(∞) = lims→0
(s
1 +G(s)5(s+ 10)
)e(∞) = 0
Ou seja, provamos que o controlador H(s) = 5(s+10)s
é capaz de fazer a saída y(t)
rastrear degraus de entrada com erro nulo.
Alternativa (A)
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Questão 42(Eng. de Termelétrica Jr Eletrônica - Termoceará 2009)
ENGENHEIRO(A) DE TERMELÉTRICA JÚNIOR (ELETRÔNICA)8
TERMOCEARÁ LTDA.
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
26
No circuito da figura acima, o Diodo Zener é consideradoideal e opera, em sua região ativa, com tensão nominal de16 V. Qual o valor do resistor R, em k, para que a corren-te no Zener seja de 2 mA?(A) 40 (B) 35 (C) 15 (D) 10 (E) 5
27
A figura acima ilustra o circuito digital que relaciona o sinalF com os sinais binários de entrada X, Y e Z. De acordocom o circuito, a expressão booleana mais simplificada deF em função de X, Y e Z é
(A) ZYXZXF += (B) ZYXZXF +=
(C) ZYXZXF += (D) ZYXZXF +=
(E) ZYXZXF +=
28
Quando o circuito ilustrado na figura acima estiver no esta-do QBQA = 00, com Y = 1, os flip-flops B e A executarão,respectivamente, as operações de(A) set e reset. (B) set e hold.(C) reset e reset. (D) reset e toggle.(E) toggle e reset.
R60 V
+
_
15 k
+
_5 V
X
Y
Z
F
29
No circuito da figura acima, a tensão do Circuito Equivalentede Thevenin, dada em volts e calculada entre os pontos X eY, é:(A) 210 (B) 180(C) 160 (D) 120(E) 80
30
A figura acima apresenta um circuito elétrico com fontesde corrente contínua. O capacitor encontra-se operandoem regime permanente. A ddp, em volts, entre os terminaisX e Y do capacitor é, aproximadamente,(A) 2,3 (B) 3,0 (C) 4,8 (D) 6,2 (E) 9,5
31
Considere o sistema de controle em malha fechada ilus-trado na figura acima, onde K > 0 representa o ganho a serajustado no compensador. Pelo compensador adotado elevando-se em conta o diagrama do lugar das raízes (rootlocus) desse sistema, conclui-se que o sistema será(A) estável para qualquer valor de K > 0.(B) estável, mas somente para K > 10.(C) estável, mas somente para K > 30.(D) estável, mas somente para 10 > K > 50.(E) instável para qualquer valor de K > 0.
QJ
CLK
K
QB
QJ
K
QA
Y
B
A
120 V
300 150
2A 150
X
Y
+
_
+ +
_ _20 V 9 V
2mF4 4 2 2
10 10
6 6
YX
Planta
u(t) y(t)
Compensador
10
(s 2) (s + 1)
K(s 1)(s + 3)
+
Resolução:
Ao esboçarmos o Lugar das Raízes para esta estrutura de controle (se você
não sabe como esboçá-lo, procure na bibliografia sugerida), encontramos:
−3 −2 −1 0 1 2 3−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10Lugar das raizes
Eixo Real
Eix
o Im
agin
ario
Como podemos perceber, independente do ganho K, o pólo instável do
sistema nunca se deslocará para o semiplano esquerdo, pois este vai ao encontro
do zero em s = 1. Ou seja, este sistema será sempre instável, independente do
ganho K.
Alternativa (E)
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Questão 43(Eng. Jr Áreas Elétrica e Eletrônica - Transpetro 2006)
PROVA 37 - ENGENHEIRO(A) JÚNIORÁREAS ELÉTRICA E ELETRÔNICA
7
RTS
LA
LB
LC
C2
C2
C3 C2
C3
C1
C3
C1
C2
C1
C2 C3C1
C2 C3C1S1
S2
S3
26
A figura apresenta o circuito elétrico de comando de três máqui-nas trifásicas acionadas por intermédio dos contatores C1, C2 eC3. As chaves S1, S2 e S3 são do tipo sem retenção. Comrelação a este circuito, considere as seguintes afirmações:
I - As lâmpadas LA e LB podem acender simultaneamen-te, sendo que nessa condição as máquinas comanda-das pelos contatores C2 e C3 deverão estar desligadas.
II - A lâmpada LC somente acende quando a máquina co-mandada pelo contator C1 entra em operação.
III - As máquinas não podem funcionar simultaneamente.IV - Ao ser acionada a chave S, todas as máquinas são
desenergizadas e, após a chave S retornar à sua posi-ção de repouso, as lâmpadas LA e LB acendem.
V - Ao ser acionada a chave S1, as máquinas comandadaspelos contatores C2 e C3 são desenergizadas e as lâm-padas LA, LB e LC se acendem.
São verdadeiras as afirmações:(A) I e II, apenas. (B) II, III e V, apenas.(C) I, III e V, apenas. (D) II, III, IV e V, apenas.(E) I, II, III, IV e V.
27As componentes de seqüência negativa de um sistematrifásico equilibrado consistem de três fasores iguais emmódulo e:(A) 120º defasados entre si, com a mesma seqüência de
fase dos fasores originais.(B) 120º defasados entre si, com uma seqüência de fase
inversa à dos fasores originais.(C) com a mesma defasagem e a mesma seqüência de fase
dos fasores originais.(D) com defasagem nula entre si.(E) com uma defasagem diferente dos fasores originais, mas
com uma seqüência de fase inversa.
28Um determinado circuito monofásico que alimenta um motorelétrico, cujo esquema de aterramento adotado é o TN-C,tem o seu neutro rompido. A máxima tensão que pode existirentre a carcaça do motor e o terra é igual a:(A) tensão entre fase e neutro.(B) tensão entre duas fases.(C) zero.(D) tensão entre neutro e terra.(E) duas vezes a tensão entre fase e neutro.
29
O gráfico mostrado na figura acima ilustra o diagrama doLugar das Raízes de um sistema de 3ª ordem, com trêspólos, nenhum zero finito e com realimentação de saída.Com base nas informações contidas no gráfico, o valor do
ganho 0K ≥ que posiciona os pólos de malha fechada no
limiar da instabilidade é:(A) 40 (B) 64 (C) 120 (D) 160 (E) 240
30De acordo com a Primeira Lei da Termodinâmica, com rela-ção às transformações isotérmicas de um gás ideal, é corre-to afirmar que o(a):(A) calor trocado pelo gás com o meio exterior é igual ao
trabalho realizado no mesmo processo.(B) quantidade de calor recebida é maior que o trabalho rea-
lizado.(C) variação da energia interna do gás é igual à quantidade
de calor trocada com o meio exterior.(D) temperatura final do gás é sempre maior que a inicial.(E) pressão do gás permanece constante durante toda a
transformação.
Imag
Real08 2
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Resolução:
Pelo diagrama do Lugar das Raízes identificamos os três pólos do sistema:
s1 = −8, s2 = −2 e s3 = 0. Com estes dados podemos encontrar a equação
característica do sistema, como segue
(s− s1)(s− s2)(s− s3) +K = 0
(s+ 8)(s+ 2)s+K = 0
s3 + 10s2 + 16s+K = 0
No limiar da instabilidade, os dois pólos da direita do Lugar das Raízes estarão
sobre o eixo imaginário. E os valores dos pólos nesta posição estão identificados
no diagrama como sendo s = ±4j. Fazendo-se s = 4j e substituindo na equação
característica temos:
s3 + 10s2 + 16s+K = 0
(4j)3 + 10(4j)2 + 16(4j) +K = 0
−64j − 160 + 64j +K = 0
K = 160
Alternativa (D)
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Questão 44(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Termoaçu 2008/1)
9ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR (ELETRÔNICA)
(A)
1,400,32
1,000,20(B)
0,600,80
1,000,20
(C)
0,600,80
1,000,20(D)
6,008,00
5,002,00
(E)
0,800,60
0,251,00
34Considere um sistema elétrico que tem tve como tensãode entrada, que tem tv1 e tv2 como tensões medidasinternamente e cuja resposta depende das seguintesequações:
onde
Considerando-se um vetor de estados
2
1
x
xtX , onde
11 vx e 22 vx , a matriz A do modelo em espaço de
estado dado por tuBtXAtX é
35Um sistema eletrônico não linear tem uma resposta emtensão tal que eleva ao quadrado o valor do sinal de entrada.Ao entrar com uma onda senoidal pura de freqüência f, asaída será um sinal composto de(A) uma senóide de freqüência f, sem nível DC(B) uma senóide de freqüência f, com nível DC(C) uma senóide de freqüência 2f, com nível DC(D) duas senóides de freqüências f e 2f, sem níveis DC(E) duas senóides de freqüências f e 2f, com níveis DC
36A Instrumentação está ligada ao estudo, desenvolvimento eaplicação de instrumentos eletrônicos que têm como funçãobásica a medição de alguma grandeza física ou elétrica.Portanto, ela é utilizada em diversas áreas da ciência e daengenharia. Neste contexto, é INCORRETO afirmar que(A) exatidão refere-se a medidas livres de erro, ou ao grau
de conformidade entre o objeto medido e o padrão.(B) linearidade em medidas está relacionada com a avalia-
ção do comportamento da variável de saída em relação àvariável de entrada.
(C) repetibilidade é a consistência de uma medição quandoos valores do objeto medido são distintos em diferentestentativas.
(D) resolução é o grau de divisão que o instrumento permiteobter, medido em partes identificáveis.
(E) tempo de resposta indica o quão rapidamente o sistemade medição reage a mudanças na variável de entrada.
37
No sistema de controle da figura acima, com K real não
negativo, o lugar das raízes passa em
(A) -2 e as assíntotas possuem ângulos ±36, ±108 e 180°.
(B) -1,5 e as assíntotas possuem ângulos ±45°, ±135° e
180°.
(C) -0,5 e as assíntotas possuem ângulos ±60° e 180°.
(D) 0,5 e o ponto de encontro das assíntotas é -1.
(E) ±j e o ponto de encontro das assíntotas é -1,25.
38Um encoder digital é um sensor utilizado em instrumentação
para medir diretamente a posição ou o deslocamento
angular de um equipamento. O encoder pode ser encontrado
em tornos CNC, manipuladores robóticos, dentre outros.
Suponha um encoder digital conectado a um conversor D/A,
ambos com resolução de 8 bits. Considere ainda que a saída
do conversor D/A utilizado é na forma de corrente, e que esta
varie de 0mA para a entrada binária 000000002 e de 2mA
para a entrada binária 111111112. A saída do conversor D/A
é conectada a um amplificador operacional, conforme pode
ser visto no diagrama a seguir.
Sendo a saída do encoder a palavra binária = 110101102,
a leitura do encoder, em graus, e a tensão de saída do
sistema, em volts, são, respectivamente,
(A) 75 e 4,18
(B) 270 e 2,98
(C) 290 e 3,14
(D) 301 e 4,18
(E) 315 e 2,98
ENCODERDIGITAL
CONVERSORD/A VSAÍDA
SAÍDA0 A 2mA
2,5K
(8 bits) -+
tv4tv6tv8v10
0tv5tv2tv5
e212
211
dt
dvtv
dt
dvtv
22
11
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Resolução:
Nesta questão utilizaremos técnicas para esboçar o Lugar das Raízes de
um sistema. Primeiramente observamos o Número de Pólos(Np) e o Número de
Zeros(Nz) da função da transferência, e vemos que:Np = 5
Nz = 0
Agora utilizamos a seguinte expressão para calcular os ângulos das cinco assín-
totas:
φ =2i+ 1
Np −Nz
× 180
Para i = 0 temos:
φ(i=0) =0 + 1
5− 0× 180
φ(i=0) = ±36
Para i = 1 temos:
φ(i=1) =2 + 1
5− 0× 180
φ(i=1) = ±108
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Para i = 2 temos:
φ(i=2) =4 + 1
5− 0× 180
φ(i=2) = 108
Como o número de assíntotas deve ser igual a Np − Nz = 5, já obtivemos as
cinco assíntotas, sendo elas: ±36, ±108 e 180. Com isso já identificamos que a
resposta correta é a alternativa (A).
Como o sistema apresenta cinco pólos, sendo dois complexos conjugados, dois
na origem e um em s = −1, percebemos que todo o eixo real à esquerda de -1
pertence ao lugar das raízes, logo -2 pertence ao lugar das raízes, como afirma a
alternativa (A).
Para resolver esta questão não é necessário traçar o Lugar das Raízes, porém se
você o esboçar, ele deve ficar semelhante ao que segue:
Lugar das Raizes
Eixo Real
Eix
o Im
agin
ario
−10 −5 0 5−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
-1
Alternativa (A)
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Questão 45(Eng. Eletrônica Eletrobrás - Eletronuclear 2010)
ENGENHEIRO(A)ELETRÔNICA
17
E L E T R O N U C L E A R
56
Uma planta com função de transferência 1
G(s)s 1
está sujeita à malha de realimentação unitária indicada na figura
acima, em que s 5C(s)
s 1
é um compensador e K é um ganho real positivo. Sobre o lugar das raízes do sistema em
malha fechada, fazendo K variar de 0 até infinito, afirma-se que
I - o ponto s = 0,5 está no lugar das raízes;
II - o ponto s 5 2 6 é o ponto em que o lugar das raízes deixa o eixo real;
III - as assíntotas do lugar das raízes possuem ângulos ±45º e ±135º;
IV - o lugar das raízes cruza o eixo imaginário em s = ±j;
V - o valor do ganho K, quando o lugar das raízes cruza o eixo imaginário, é 1/5.
Estão corretas APENAS as afirmativas(A) I, II e V.(B) I, III e IV.(C) I, III e V.(D) II, III e IV.(E) II, IV e V.
57Considere um medidor de vazão do tipo placa de orifício, em uma tubulação onde o fluido é considerado incompressível ea aceleração da gravidade é aproximada para 10m/s2. A área do orifício é 5x102m2, o coeficiente funcional da placa é 0,6,a massa específica do fluido é 400kg/m3 e a vazão é 1,8x102 m3/s. Qual a pressão diferencial entre os pontos a montantee a jusante da placa, em Pa?(A) 0,9(B) 1,8(C) 3,6(D) 7,2(E) 10,5
58O acessório para válvulas de controle cuja função é permitir a manipulação da válvula de forma manual e independente dosinal de controle é o(a)(A) volante.(B) solenoide.(C) posicionador.(D) transmissor de posição.(E) chave limite.
K C(s) G(s)+
_
Resolução:
Nesta questão faremos todos os passos necessários para traçarmos o
Lugar das Raízes deste sistema, então analisaremos os itens.
Primeiramente, percebemos que G(s) adiciona um pólo em s = 1, enquanto C(s)
adiciona um pólo em s = −1 e um zero em s = −5. Com isso já sabemos que a
região do eixo real entre -1 e 1, assim como a região a esquerda de -5 pertencem
ao lugar das raízes, pois nessas regiões o número de pólos menos o número de
zeros a direita são ímpares.
Neste caso já é óbvio que a única assíntota será em 180, porém conferimos
fazendo:
φi=0 =2i+ 1
Np −Nz× 180 =
0 + 1
2− 1× 180 = 180
Agora vamos achar os pontos em que o Lugar das Raízes sai/entra do/no
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eixo real:
d
ds
[1
C(s)G(s)
]= 0
d
ds
[(s+ 1)(s− 1)
s+ 5
]= 0
d
ds
[(s2 − 1)(s+ 5)−1
]= 0
2s
s+ 5− s2 − 1
(s+ 5)2= 0
2s2 + 10s− s2 + 1
(s+ 5)2= 0
s2 + 10s+ 1 = 0
Cujas raízes são : s1 = −5 + 2√
6 e s2 = −5− 2√
6
Agora vamos achar o(s) ponto(s) onde o Lugar das Raízes cruza o eixo
imaginário, assim como o valor de K neste ponto. Para isso achamos a FT de
malha fechada do sistema:
Y (s)
U(s)=
KC(s)G(s)
1 +KC(s)G(s)
Y (s)
U(s)=
K(s+ 5)
(s+ 1)(s− 1) +K(s+ 5)
Y (s)
U(s)=
K(s+ 5)
s2 +Ks+ (5K − 1)
No eixo imaginário os pólos serão do tipo s = ±jω, logo substituimos este
valor de s na equação característica encontrada, e igualamos a zero:
s2 +Ks+ (5K − 1) = 0
(jω)2 +K(jω) + (5K − 1) = 0
jKω + (5K − ω2 − 1) = 0 (1.13)
Igualando a parte imaginária da equação 1.13 a zero, temos:
Kω = 0 → ω = 0
Ou seja, o lugar das raízes cruza o eixo imaginário na origem. E o valor de K
neste ponto é encontrado igualando a parte real de 1.13 a zero:
5K − ω2 − 1 = 0 → K =1
5
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Ao traçarmos o Lugar das Raízes, ele deverá ficar semelhante a:
−12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1)
Real Axis
Imag
Axi
s
-1 +1-5
-5-2v6 -5+2v6
_
Agora finalmente podemos analisar os itens propostos:
I - Verdadeiro. Pois 0,5 está entre -1 e +1.
II - Verdadeiro. O RL deixa o eixo real em −5 + 2√
6 e volta a ele em −5− 2√
6.
III - Falso. A única assíntota é de 180.
IV - Falso. O RL cruza o eixo imaginário na origem.
V - Verdadeiro. Como calculado.
Alternativa (A)
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Questão 46(Profissional Jr Eng. Eletrônica - Petrobras Distr. 2008)
11PROFISSIONAL JÚNIOR
FORMAÇÃO: ENGENHARIA ELETRÔNICA
37A dinâmica de um atuador robótico do tipo moto-redutoradmite a seguinte aproximação linear:
Onde: J é o momento de inércia do sistema, C é o coefici-ente de atrito,T
m é o torque e é a posição angular, função
do tempo
=ddt
e = ddt
22
Aplica-se uma lei de controle com realimentação do tipo:
T =K ( ) Km p r d
onde r é a posição angular de referência, Kp e K
d são
ganhos constantes.Para atender às exigências do projeto, o sistema em malhafechada deve posicionar pólos complexos com razão de
amortecimento = 0,8 e freqüência natural não amor-
tecida n = 10 rad/s. As expressões de Kp e K
d são:
(A)p d
100JK e K 100J 1,8C
C
(B)p dK 100C e K 18C J
(C)p dK 120J e K 180C
(D) p dK 100J e K 16J C
(E) p d
100K e K 18J C
J
38Uma determinada planta industrial apresenta o comporta-mento dinâmico semelhante ao de um modelo linear desegunda ordem, quando submetida à aplicação de um de-grau em sua entrada. Observa-se na saída da planta que aresposta possui uma ultrapassagem máxima de 25% e al-gumas poucas oscilações amortecidas até alcançar o valorde regime permanente. Neste caso, o comportamento daplanta é(A) superamortecido, e os pólos do modelo estão localiza-
dos sobre o semi-eixo real negativo.(B) criticamente amortecido, e os pólos do modelo estão
localizados no semiplano s direito.(C) subamortecido, e os pólos do modelo estão localizados
sobre o semi-eixo real negativo.(D) subamortecido, e os pólos do modelo são complexos con-
jugados e estão localizados no semiplano s esquerdo.(E) subamortecido, e os pólos do modelo estão localizados
sobre o eixo imaginário, simetricamente posicionadosem relação à origem.
39
A figura acima apresenta o diagrama do lugar das raízes,
para o ganho K > 0, de uma planta de terceira ordem,
realimentada por um compensador de primeira ordem.
Considerando 1 , 2 valores reais positivos tais que 1 > 2 > 0,
é correto afirmar, a partir do diagrama, que a planta em
malha
(A) aberta é estável.
(B) fechada somente é estável na faixa de ganho 0 K> >1 .
(C) fechada somente é estável na faixa de ganho K > 1 .
(D) fechada somente é estável na faixa de ganho K> >12 .
(E) fechada é estável para todo valor de ganho K > 0.
40
No modelo de um atuador robótico, o torque T(t), em N.m,
é uma função não linear que depende de uma corrente elé-
trica i(t), em A, cuja relação é dada por:
T(t) = 5[i(t)]2 + 2i(t)-24
Para pequenas variações de corrente no ponto de opera-
ção em que o torque é nulo, a expressão linearizada do
torque TL(t) é:
(A) 22i(t) - 44
(B) -22i(t) + 44
(C) 14i(t) - 28
(D) 7i(t) - 14
(E) 22i(t) + 30
J +C =T m
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Resolução:
Pelo diagrama do Lugar das Raízes, fica visível que o sistema em Malha
Aberta apresenta dois pólos no semiplano s direito, logo é instável em malha
aberta. Desse modo já eliminamos as alternativas (A), (B) e (E), lembrando que
quando K = 0 o sistema está em malha aberta.
Olhando atentamente para o Lugar das Raízes percebemos que todos os pólos
do sistema estão no semiplano s esquerdo durante um intervalo do valor de K, já
que para K = 0 há dois pólos instáveis, e quando K é muito grande, estes pólos
voltam a ser instáveis (eles voltam para o semiplano s direito).
Logo este intervalo de K onde o sistema é estável pode ser representado por
λ2 ≤ K ≤ λ1, desde que λ1 > λ2 > 0, como assegura o enunciado. Portanto a
alternativa correta é a letra (D). Alternativa (D)
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Questão 47(Eng. de Equipamentos Pleno Eletrônica - Petrobras 2006)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS PLENOELETRÔNICA
8
27Uma planta eletromecânica não linear utiliza um eletroímã
como atuador, gerando uma força função da corrente elétri-
ca. Um ensaio de laboratório levantou a seguinte expressão
da força, em N, em função da corrente, em A.
Linearizando a curva para pequenas variações no entorno
do ponto de corrente i0 = 5A, obtém-se a seguinte relação
linear: . Os valores de M e B são, respectivamente:
(A) 120 e 5
(B) 120 e 43
(C) 95 e 43
(D) 43 e −95
(E) 43 e −120
28A dinâmica de um satélite, em relação a um dos seus eixos
de rotação, pode ser aproximada pela função de transferên-
cia (G), relacionando a posição angular (Θ) e o torque de
posicionamento (T).
Considere a malha de controle abaixo.
Um regulador C(s) que estabiliza o posicionamento do saté-lite é do tipo:(A) P(B) I(C) “Lag”ou atrasador de fase(D) PI(E) PD
29Arredondamentos em sistemas digitais introduzem não-linearidades que podem levar à dinâmica conhecida comociclo-limite.
Para ilustrar este fato, considere um sistema que apresenta asituação descrita pela seguinte equação recorrente discreta:
onde Q(y) é a função que arredonda o número real y para ointeiro mais próximo. Este sistema apresenta:(A) apenas um ciclo limite de amplitude 2.(B) apenas um ciclo limite de amplitude 1.(C) apenas um ciclo limite de amplitude 0,8.(D) dois ciclos limites, um de amplitude 1 e outro de amplitude 2.(E) nenhum ciclo limite e y
k converge sempre para o valor
zero.
30Observe a figura a seguir.
Um circuito digital contém uma memória de 256 posiçõesque armazena amostras para a geração de uma forma deonda senoidal. Sabe-se que as 256 posições correspondema exatamente 1 período da senóide e que todas as amostrassão varridas no processo de conversão.A taxa de amostragem do conversor D/A, em amostras porsegundo, de acordo com a escala de tempo usada noosciloscópio da figura, é:(A) 2048(B) 512(C) 256(D) 128(E) 19
Obs.: Note o aliasing no canal 2.
y = Q( 0,8y ) k Nk+1 k com
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Resolução:
Como a planta apresenta dois pólos na origem (G(s) = 1s2
), é lógico que
um controlador apenas proporcional não estabilizará o sistema, visto que no lugar
das raízes para este caso (C(s) = K) teremos um pólo indo para +∞ e outro indo
para −∞, sobre o eixo imaginário:
−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5Lugar das Raizes
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Para estabilizarmos este sistema, devemos "puxar"o lugar das raízes para
o semiplano complexo esquerdo, e para isso devemos adicionar um zero neste
semiplano. Deste modo, nosso lugar das raízes ficarará semelhante a:
−4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5Lugar das Raizes
Eixo Real
Eix
o Im
agin
ario
Sabemos que um PD corresponde a um controlador no formato C(s) =
Kd(1 + Tds), ou seja, este controlador adiciona um zero ao lugar das raízes, sendo
este zero igual a s = −1Td
. Portanto, a alternativa correta é a letra (E).
Controladores P ou I (alternativas (A) e (B)) não movem os dois pólos de G(s) de
cima do eixo imaginário, logo não estabilizam o sistema. Os controladores Lag e PI
(alternativas (C) e (D)) servem para melhorar a resposta em regime permanente,
o que piora a estabilidade, como o leitor pode verificar.
Alternativa (E)
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1.3 Controle Linear Discreto
Questão 48(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/2)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
6
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
BLOCO 1
21
A figura acima mostra dois sinais, na forma de pulsos limitados no tempo. Considere que a transformada de Fourier de v(t) é dada pela expressão, na forma polar, V(ω)=|V(ω)|e
jφ(ω). Com base nas propriedades da transformada de Fourier e considerando as semelhanças e simetrias entre os dois pulsos, a expressão da transformada de w(t) é
(A) W(ω) = 2|V(ω)| (B) W(ω) = 2|V(ω)|cos[φ(ω)]
(C) W(ω) = j2|V(ω)|sen[φ(ω)] (D) W(ω) = j2|V(ω)|cos[φ(ω)]
(E) W(ω) = 2|V(ω)|sen[φ(ω)]
22
Um sistema discreto de 2a ordem é composto por dois polos complexos, conjugados, que estão representados no diagra-ma de polos e zeros da figura acima. O círculo unitário está traçado com linha pontilhada. A resposta ao impulso desse sistema gera um sinal, discreto, senoidal amortecido e que oscila na frequência de 25π rad/s. Nessas condições, o período de amostragem, em ms, usado na discretização desse sistema, é(A) 5,0(B) 10,0(C) 12,0(D) 15,5(E) 20,2
Resolução:
Sendo s = σ+ jω um pólo contínuo genérico, T o período de amostragem e
z o pólo discreto mapeado de s, sabemos que:
z = esT
z = e(σ+jω)T
z = e(σT+jωT )
z = eσT ejωT (1.14)
Também sabemos que da equação 1.14 podemos tirar o módulo e a fase do pólo,
sendo:
|z| = eσT
φ(z) = ωT
Do diagrama de pólos e zeros podemos achar o valor da fase φ(z), fazendo-se
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φ(z) = tan(0,50,5
) = π4, e dado que ω = 25πrad/s, temos:
φ(z) = ωTπ
4= 25πT
T =1
100= 10ms
Alternativa (B)
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Questão 49(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/2)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
7
23
O modelo discreto de um sistema, em malha aberta, é representado pela função de transferência .
A figura acima mostra o esboço do lugar das raízes, no plano Z, para esse sistema, em malha fechada, com realimentação
de saída e com o ganho variando no intervalo . O circulo unitário está traçado com linha pontilhada. O valor
do ganho K, para que o sistema em malha fechada esteja no limiar da instabilidade, é
(A) 5,0 (B) 2,5 (C) 1,0 (D) 0,5 (E) 0,25
24
Um sistema de 2a ordem é dado pela sua função de transferência . Sabe-se que o tempo de subida,
medido sobre a curva de resposta ao degrau aplicado nesse sistema, é dado por , onde
• é a razão de amortecimento; e
• ωn é a frequência natural não amortecida.
Para discretizar esse sistema e aplicar um controle digital, o período de amostragem deve ser tal que ocorram 10 amostras
durante o tempo de subida. O valor aproximado desse período é
(A) (B)
(C) (D)
(E)
Resolução:
Aplicando um ganho K na realimentação de saída deste sistema obtemos a
função de transferência de malha fechada:
GMF (s) =K(z + 1)
z2 − 1, 5z + 0, 5 +Kz +K
De onde tiramos a Equação Característica: z2 + (K − 1, 5)z + (0, 5 + K) = 0.
Aplicando o Critério de Jury temos:
1 (K-1,5) (0,5+K)
(0,5+K) (K-1,5) 1
Da última coluna tiramos que∣∣∣ (0,5+K)
1
∣∣∣ < 1 para o sistema ser estável, ou seja,
K < 0, 5.
Como visto pelo Lugar das Raízes do sistema, uma vez que os pólos saem do
círculo unitário, estes não voltam para o mesmo. Deste modo, podemos parar
nossa análise e concluir que para o sistema ser estável devemos ter 0 < K < 0, 5.
Alternativa (D)
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Questão 50(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/1)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
16
47Um sinal discreto e causal é representado por umasequência x(n) que, no domínio da variável z, é represen-tada pela função:
2
2
5z 7zX z
z 3z 2
Os três primeiros valores da sequência x(n), ou seja, x(0),x(1) e x(2), respectivamente, são(A) 0, 5 e 8(B) 0, 8 e 14(C) 5, 7 e 14(D) 5, 8 e 14(E) 8, 14 e 26
48
O diagrama em blocos da figura acima mostra um filtrodigital, tendo X(z) como entrada e Y(z) como saída. A ex-
pressão da função de transferência
Y zH z
X z é
(A) 2
2
z 3z 2H z
z 3z 8
(B)
2
2
z 3z 8H z
5z 3z 2
(C) 2
2
2z 3z 5H z
z 3z 8
(D)
2
2
3z 2z 5H z
z 8z 3
(E) 2
2
5z 3z 2H z
z 3z 8
X(z)5
3
2z
-1
Y(z)
-8
-3
z-1
z-1
z-1
++
+
49Um sinal de 3 MHz de banda será transmitido por meio deum cabo coaxial, cuja atenuação, nesta faixa de frequência,é de 4 dB/km. A potência do transmissor é de 10 W e oreceptor tem sensibilidade de recepção de 100 W, ou seja,abaixo desta potência o receptor não detecta o sinal. Combase nesses dados, qual a distância máxima em linha reta,medida em km, em que o receptor deve ser instalado paraque ocorra a recepção do sinal?(A) 5,0(B) 6,5(C) 9,0(D) 12,5(E) 24,0
Considere os dados a seguir, para responder às ques-tões de nos 50 e 51.
Um sistema linear apresenta a seguinte configuração emmalha fechada:
Aplicando um impulso unitário na entrada deste sistema, osinal y(t) de saída será da forma:
t-sy(t) = Me sen( t)
50Considerando que = 4 rad/s, o valor do ganho K é:(A) 85(B) 50(C) 45(D) 41(E) 25
51O valor da constante M na expressão da resposta y(t) emfunção do ganho K é:
(A) 1
(B)K
K 25
(C)K
K 25
(D) K
(E)1
K
R(s) K Y(s)s(s+10)
Resolução:
A maneira mais simples de resolvermos uma questão deste tipo é execu-
tando uma divisão polinomial entre o numerador e denominador da função de
transferência, como segue:
(5z2 − 7z )÷ (z2 − 3z + 2) = 5 + 8z−1 + 14z−2 + . . .
−5z2 + 15z − 10
0 + 8z − 10−8z + 24− 16z−1
0 + 14− 16z−1
−14 + 42z−1 − 28z−2
0 + 26z−1 − 28z−2
...
Como desejamos apenas os três primeiros valores, podemos parar a divisão neste
ponto. Logo:
X(z) = 5 + 8z−1 + 14z−2 + . . . (1.15)
Da definição de Transformada Z temos:
X(z) =∞∑k=0
x(k)z−k = x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 + ... (1.16)
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Comparando as equações 1.15 e 1.16, tiramos diretamente que:
x(0) = 5
x(1) = 8
x(2) = 14
Alternativa (D)
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Questão 51(Eng. Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2011)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
9
28
O gráfico acima mostra a curva de módulo do diagrama
de BODE da função de transferência .
Com base nesse gráfico, o valor do ganho K é(A) 100(B) 80(C) 60(D) 50(E) 30
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 29 e 30.
O modelo de um sistema linear, discreto e causal, é repre-sentado pela seguinte função de transferência:
29As primeiras três amostras da resposta ao impulso desse sistema, g(0), g(1) e g(2), são
(A) 0, 2 e 3(B) 0, 2 e 8(C) 1, 2 e 3(D) 1, 5 e 6(E) 2, 3 e 5
30A expressão da resposta ao impulso desse sistema, válida apenas para n 0, é
(A) g(n) = (2)n (B) g(n) = 1 + (2)n (C) g(n) = (2)n + (3)n (D) g(n) = 2 − (2)n (E) g(n) = 2 (2)n−1 −1
31
O diagrama em bloco acima mostra o modelo de um sistema linear, discreto e causal, no domínio da variável complexa z. A função de transferência que relaciona a saída com a entrada é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
32Um sistema de controle discreto, com realimentação
de saída, apresenta uma estrutura de compensação
na malha direta, em série com a planta, cuja função de
transferência do compensador é .
Trata-se do tipo compensador
(A) de Avanço de Fase(B) de Atraso de Fase(C) Derivativo(D) Proporcional Integral(E) P I D
Resolução:
Resolveremos esta questão do mesmo modo que a anterior, por ser muito
mais simples e rápida que uma solução por frações parciais e posteriormente por
um anti-transformada Z. Portanto, vamos executar a divisão polinomial:
(2z2 − 3z )÷ (z2 − 3z + 2) = 2 + 3z−1 + 5z−2 + . . .
−2z2 + 6z − 4
0 + 3z − 4−3z + 9− 6z−1
0 + 5− 6z−1
−5 + 15z−1 − 10z−2
0 + 9z−1 − 10z−2
...
Como desejamos apenas os três primeiros valores, podemos parar a divisão neste
ponto. Logo:
G(z) = 2︸︷︷︸g(0)
+ 3︸︷︷︸g(1)
z−1 + 5︸︷︷︸g(2)
z−2 + . . . (1.17)
Alternativa (E)
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ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
9
28
O gráfico acima mostra a curva de módulo do diagrama
de BODE da função de transferência .
Com base nesse gráfico, o valor do ganho K é(A) 100(B) 80(C) 60(D) 50(E) 30
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 29 e 30.
O modelo de um sistema linear, discreto e causal, é repre-sentado pela seguinte função de transferência:
29As primeiras três amostras da resposta ao impulso desse sistema, g(0), g(1) e g(2), são
(A) 0, 2 e 3(B) 0, 2 e 8(C) 1, 2 e 3(D) 1, 5 e 6(E) 2, 3 e 5
30A expressão da resposta ao impulso desse sistema, válida apenas para n 0, é
(A) g(n) = (2)n (B) g(n) = 1 + (2)n (C) g(n) = (2)n + (3)n (D) g(n) = 2 − (2)n (E) g(n) = 2 (2)n−1 −1
31
O diagrama em bloco acima mostra o modelo de um sistema linear, discreto e causal, no domínio da variável complexa z. A função de transferência que relaciona a saída com a entrada é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
32Um sistema de controle discreto, com realimentação
de saída, apresenta uma estrutura de compensação
na malha direta, em série com a planta, cuja função de
transferência do compensador é .
Trata-se do tipo compensador
(A) de Avanço de Fase(B) de Atraso de Fase(C) Derivativo(D) Proporcional Integral(E) P I D
Resolução:
O método da divisão polinomial utilizado na questão anterior, apesar se ser
muito mais prático que os outros métodos para resolver este tipo de questão, não
nos fornece a anti-transformada Z da função de transferência. Porém isso não
é problema em provas de multipla escolha, pois já temos as possíveis soluções
nas alternativas. Logo, basta testarmos qual das alternativas que nos fornece os
valores corretos de g(0), g(1) e g(2). Ao analisarmos, vemos que a alternativa
correta é a letra (B) (g(n) = 1 + 2n), pois:
g(0) = 1 + 20 = 1
g(1) = 1 + 21 = 3
g(2) = 1 + 22 = 5
Se tivéssemos duas alternativas que fornecessem o mesmo resultado para
estes três primeiros valores (o que é muito improvável), bastava continuar a divisão
da questão anterior para mais um ou dois termos, e então voltar nesta questão para
conferir os resultados.
O método “mais correto” (mas menos esperto) para resolver esta questão
seria:
1. Efetuar uma divisão polinomial para diminuir o grau do numerador.
2. Aplicar o método de Frações Parciais.
3. Aplicar a Anti-Transformada Z.
Para treinar, o leitor poderia resolver estas duas questões por este método
e conferir os resultados.
Alternativa (B)
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Questão 52(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Termoaçu 2008/1)
11ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR (ELETRÔNICA)
(A) 1z2z
1zzX
2
(B) 1z
zzX
(C) 1z
zzX
2
2
(D) 1z
zzX
2
(E) 1z2z
zzX
2
2
44Um processador possui o barramento de dados externo de16 bits. Num programa, ele executa duas instruções de lei-tura na memória, guardando a informação num registrador.Sabe-se que:
na primeira instrução, o endereço de memória é 00346he o registrador é de 16 bits;na segunda instrução, o endereço de memória é 00345he o registrador é de 32 bits.
Portanto, o número de ciclos de barramento gastos em cadauma das instruções é(A) 1 para a primeira instrução e 2 para a segunda instrução(B) 1 para a primeira instrução e 3 para a segunda instrução(C) 2 para a primeira instrução e 2 para a segunda instrução(D) 2 para a primeira instrução e 3 para a segunda instrução(E) 2 para a primeira instrução e 4 para a segunda instrução
45Um sinal discreto e causal é formado por uma seqüênciainfinita, cuja expressão é
x(n) = [1,0,1,0,1,0,...] para n = 0,1,2,3...e x(n) = 0 para n < 0
A expressão da Transformada Z de x(n) é
46
Considere a função
0t/p0
0t/pAetf
t
, onde A e são
constantes positivas.
Sendo a Transformada de Fourier de f(t) calculada pela
fórmula
dtetfF tj , a expressão de F(0) é
(A) A (B) A (C) (D) A (E)
2
2A
47Tratando-se de uma comunicação serial segundo o padrãoRS-232C, pode-se afirmar:
I - É mais provável acontecer um erro de recepção no bitmenos significativo do que no mais significativo.
II - O erro de quadro temporal acumulado devido à diferençaentre os relógios de recepção e transmissão é zeradono start bit.
III - A tolerância na diferença entre os relógios de recepçãoe transmissão está na casa dos 0,5 %.
É(São) verdadeira(s) APENAS a(s) afirmativa(s)(A) I(B) II
(C) III(D) I e II(E) II e III
48Um protocolo é um conjunto de regras e convenções, bemdefinidas, necessárias à comunicação. Desse modo,
(A) o protocolo TCP espera que os segmentos recebidossejam confirmados pela máquina de destino, paragarantir a entrega dos dados, sendo que, se a recepçãonão for confirmada dentro de um intervalo de tempo, amáquina na origem retransmite o segmento não confir-mado.
(B) o protocolo TCP tem como uma de suas responsabili-dades atribuir o endereço IP para todas as máquinasque pertencem a uma determinada rede.
(C) o IP é um protocolo de transporte orientado à conexãoque confirma o recebimento dos datagramas entre aorigem e o destino e entre as máquinas intermediárias,
garantindo, assim, a entrega, o controle de fluxo e aordenação dos dados.
(D) o UDP presta um serviço orientado à conexão, isto é,quando um segmento (PDU do UDP) é recebido, identi-fica-se a que conexão está associado.
(E) os protocolos da camada de aplicação utilizam os servi-
ços oferecidos pelos protocolos da camada de rede para
enviar e receber dados através da rede.
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Resolução:
Da definição de Transformada Z temos:
X(z) =∞∑n=0
x(n)z−n
X(z) = x(0)z0 + x(1)z−1 + x(2)z−2 + x(3)z−3 + x(4)z−4 + ...
X(z) = 1 + 0× z−1 + 1× z−2 + 0× z−3 + 1× z−4 + ...
X(z) = 1 + z−2 + z−4 + ...
Logo percebemos que X(z) é um Progressão Geométrica de primeito termo igual
a 1 (a1 = 1) e razão igual a z−2 (q = z−2). É sabido que o somatório de uma PG é
dado por:
S =a1
1− qNo nosso caso então teremos:
X(z) =a1
1− q=
1
1− z−2=
1
1− z−2× z2
z2=
z2
z2 − 1 Alternativa (C)
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Questão 53(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2011)
ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO 16
62
O determinante da matriz é
(A) 8(B) 12(C) 15(D) 24(E) 36
63A famosa sequência de Fibonacci pode ser definida como o sinal x(n), discreto, causal e infinito, cujas primeiras amostras são
A sua lei de formação para pode ser expressa como x(n + 2) = x(n + 1) + x(n).
Aplicando a Transformada Z no sinal x(n), resulta a expressão
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
64Costuma-se aproximar a variável complexa z, usada em sistemas discretos (digitais), pela variável também complexa w
para sistemas contínuos, através da relação de transformação , onde T (real positivo) é o período de amostragem
usado na discretização do sinal contínuo.
Sabe-se que a região de estabilidade para sistemas contínuos é o SPE, ou seja, o Semiplano da Esquerda do plano com-
plexo da variável w, que pode ser definida por Re[w] < 0.
O lugar geométrico, no plano da variável z, dos pontos em que Re[w] < 0, é a região interior ao círculo de raio igual a
(A) 1 e centro na origem
(B) e centro no ponto
(C) e centro na origem
(D) 1 e centro no ponto (1, 0)
(E) 2 e centro no ponto (0, 1)
Resolução:
Aplicando a Transformada Z na lei de formação x(n+ 2) = x(n+ 1) + x(n) e
percebendo que x(0) = x(1) = 1 (ou seja, as condições iniciais não são nulas)
temos:
z2(X(z)− x(0)− x(1)z−1) = z(X(z)− x(0)) +X(z)
z2(X(z)− 1− 1z−1) = z(X(z)− 1) +X(z)
X(z)z2 − z2 − z = X(z)z − z +X(z)
X(z)(z2 − z − 1) = z2
X(z) =z2
z2 − z − 1 Alternativa (E)
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Questão 54(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2011)
ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO 16
62
O determinante da matriz é
(A) 8(B) 12(C) 15(D) 24(E) 36
63A famosa sequência de Fibonacci pode ser definida como o sinal x(n), discreto, causal e infinito, cujas primeiras amostras são
A sua lei de formação para pode ser expressa como x(n + 2) = x(n + 1) + x(n).
Aplicando a Transformada Z no sinal x(n), resulta a expressão
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
64Costuma-se aproximar a variável complexa z, usada em sistemas discretos (digitais), pela variável também complexa w
para sistemas contínuos, através da relação de transformação , onde T (real positivo) é o período de amostragem
usado na discretização do sinal contínuo.
Sabe-se que a região de estabilidade para sistemas contínuos é o SPE, ou seja, o Semiplano da Esquerda do plano com-
plexo da variável w, que pode ser definida por Re[w] < 0.
O lugar geométrico, no plano da variável z, dos pontos em que Re[w] < 0, é a região interior ao círculo de raio igual a
(A) 1 e centro na origem
(B) e centro no ponto
(C) e centro na origem
(D) 1 e centro no ponto (1, 0)
(E) 2 e centro no ponto (0, 1)
Resolução:
A aproximação w = z−1Tz
é chamada de aproximação por Backward Dif-ferences. Para analisarmos o que esta aproximação representa em questão de
estabilidade faremos um pequeno trabalho algébrico:
w =z − 1
Tz
Tzw = z − 1
z(Tw − 1) = −1
z =1
Tw − 1
z =1
Tw − 1+
1
2− 1
2
z =1
2+
2− (1− Tw)
2(1− Tw)
z =1
2+
1
2
(Tw + 1)
(1− Tw)
z − 1
2=
1
2
(T (jω) + 1)
(1− T (jω))∣∣∣∣z − 1
2
∣∣∣∣ =1
2
∣∣∣∣(T (jω) + 1)
(1− T (jω))
∣∣∣∣∣∣∣∣z − 1
2
∣∣∣∣ =1
2× 1
Perceba que a equação acima representa o interior de um círculo centrado
em (12, 0) e de raio igual a 1
2. Alternativa (B)
Material de uso exclusivo do Comprador Cód. T34TRJ59YNKS. Sendo vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a suareprodução, cópia, divulgação e distribuição. Sujeitando-se o infrator à resposabilização civil e criminal.
T34TRJ5
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T34TRJ5
9YNKS
T34TRJ5
9YNKS
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Questão 55(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2011)
ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO17
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 65 e 66.
O diagrama em blocos da figura acima mostra uma confi-
guração em malha fechada. Sabe-se que ,
e K é uma constante positiva.
65 A Função de Transferência que relaciona Y(s) com R(s) é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
66O valor de K que garante os polos em malha fechada po-sicionados em -10, (-2,5 + j2,5 ) e (-2,5 - j2,5 ) é(A) 10,2(B) 8,4(C) 6,2(D) 5,0(E) 1,2
67O polinômio do denominador da função de transferência de um sistema em malha fechada é dado por
s3 + 9s2 + 23s + 15 + KVariando K positivamente a partir de K = 0, o valor de K a partir do qual o sistema vai para a instabilidade é
(A) 235(B) 192 (C) 185(D) 150(E) 120
68Um sistema discreto tem como entrada r(n) e saída y(n),
que se relacionam pelas equações de diferenças
A função de Transferência do sistema é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
69O modelo em função de transferência de um sistema linear
contínuo é dado por
Para esse sistema, foi obtido um modelo equivalente discre-
to, com zero order hold, usando um período de amostragem
de 10 ms. Considere que, para uma entrada degrau unitário,
o tempo de acomodação (settling time) da resposta é cal-
culado por , onde ς é a razão de amortecimento,
e ωn é a frequência natural não amortecida do sistema
contínuo.
Supondo que o sistema discretizado tenha o mesmo de-
sempenho que o sistema contínuo, aproximadamente,
quantas amostras levará o sistema discreto para atingir o
estado estacionário, partindo do instante inicial?
(A) 250(B) 150(C) 100(D) 80(E) 50
Resolução:
Aplicando a Transformada Z na equação x(n)− 0, 5x(n− 1) = r(n) temos:
X(z)− 0, 5z−1X(z) = R(z) (1.18)
Fazendo o mesmo para a equação y(n)− 0, 8y(n− 1) = x(n) temos:
Y (z)− 0, 8z−1Y (z) = X(z) (1.19)
Substituindo a equação 1.19 em 1.18 temos:
X(z)− 0, 5z−1X(z) = R(z)
X(z)(1− 0, 5z−1) = R(z)
(Y (z)− 0, 8z−1Y (z))(1− 0, 5z−1) = R(z)
Y (z)(1− 0, 8z−1)(1− 0, 5z−1) = R(z)
Y (z)(1− 1, 3z−1 + 0, 4z−2) = R(z)
Y (z)
R(z)=
1
1− 1, 3z−1 + 0, 4z−2
Y (z)
R(z)=
z2
z2 − 1, 3z + 0, 4
Alternativa (E)
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Questão 56(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2011)
ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO 18
70
A equação recursiva a seguir gera a sequência causal y(n).
A expressão de y(n) para n 0 é
(A) y(n) = 5n
(B) y(n) = 5n-1
(C) y(n) = 5-n
(D) y(n) = 5n - 2n
(E) y(n) = 3(5)n
RASCUNHO
RASCUNHO
Resolução:
Primeiramente, para acharmos o valor de y(0) utilizamos a equação para
n = 0:
y(n)− 5y(n− 1) = 1
y(0)− 5y(0− 1) = 1
y(0)− 5× 0 = 1
y(0) = 1
Vemos então que a condição inicial não é nula. Aplicando a Transformada
Z na equação para n ≥ 0 temos:
y(n)− 5y(n− 1) = 0
y(n+ 1)− 5y(n) = 0
z(Y (z)− y(0))− 5Y (z) = 0
z(Y (z)− 1)− 5Y (z) = 0
Y (z)z − z − 5Y (z) = 0
Y (z) =z
z − 5(1.20)
Quando aplicamos a Transformada Z na equação para n > 0 e utilizarmos
o valor de y(0), automaticamente encontrando a expressão para n ≥ 0. Agora,
fazendo a anti-transformada Z de 1.20 obtemos finalmente:
y(n) = 5n
Alternativa (A)
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Questão 57(Eng. Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2011)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
9
28
O gráfico acima mostra a curva de módulo do diagrama
de BODE da função de transferência .
Com base nesse gráfico, o valor do ganho K é(A) 100(B) 80(C) 60(D) 50(E) 30
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 29 e 30.
O modelo de um sistema linear, discreto e causal, é repre-sentado pela seguinte função de transferência:
29As primeiras três amostras da resposta ao impulso desse sistema, g(0), g(1) e g(2), são
(A) 0, 2 e 3(B) 0, 2 e 8(C) 1, 2 e 3(D) 1, 5 e 6(E) 2, 3 e 5
30A expressão da resposta ao impulso desse sistema, válida apenas para n 0, é
(A) g(n) = (2)n (B) g(n) = 1 + (2)n (C) g(n) = (2)n + (3)n (D) g(n) = 2 − (2)n (E) g(n) = 2 (2)n−1 −1
31
O diagrama em bloco acima mostra o modelo de um sistema linear, discreto e causal, no domínio da variável complexa z. A função de transferência que relaciona a saída com a entrada é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
32Um sistema de controle discreto, com realimentação
de saída, apresenta uma estrutura de compensação
na malha direta, em série com a planta, cuja função de
transferência do compensador é .
Trata-se do tipo compensador
(A) de Avanço de Fase(B) de Atraso de Fase(C) Derivativo(D) Proporcional Integral(E) P I D
Resolução:
Vamos resolver este problema em duas partes. Primeiro vamos calcular
a função de transferência H(z) do ramo realimentado (positivamente) da parte
inferior do diagrama:
H(z) =1
1− az−1=
z
z − a
Agora podemos encontrar Y (z)U(z)
:
Y (z) = bU(z) +H(z)U(z)
Y (z) = (b+H(z))U(z)
Y (z)
U(z)= b+
z
z − aY (z)
U(z)=b(z − a) + z
z − aY (z)
U(z)=
(b+ 1)z − abz − a Alternativa (E)
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Questão 58(Eng. Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2011)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
9
28
O gráfico acima mostra a curva de módulo do diagrama
de BODE da função de transferência .
Com base nesse gráfico, o valor do ganho K é(A) 100(B) 80(C) 60(D) 50(E) 30
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 29 e 30.
O modelo de um sistema linear, discreto e causal, é repre-sentado pela seguinte função de transferência:
29As primeiras três amostras da resposta ao impulso desse sistema, g(0), g(1) e g(2), são
(A) 0, 2 e 3(B) 0, 2 e 8(C) 1, 2 e 3(D) 1, 5 e 6(E) 2, 3 e 5
30A expressão da resposta ao impulso desse sistema, válida apenas para n 0, é
(A) g(n) = (2)n (B) g(n) = 1 + (2)n (C) g(n) = (2)n + (3)n (D) g(n) = 2 − (2)n (E) g(n) = 2 (2)n−1 −1
31
O diagrama em bloco acima mostra o modelo de um sistema linear, discreto e causal, no domínio da variável complexa z. A função de transferência que relaciona a saída com a entrada é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
32Um sistema de controle discreto, com realimentação
de saída, apresenta uma estrutura de compensação
na malha direta, em série com a planta, cuja função de
transferência do compensador é .
Trata-se do tipo compensador
(A) de Avanço de Fase(B) de Atraso de Fase(C) Derivativo(D) Proporcional Integral(E) P I D
Resolução:
Sabemos que controladores integradores discretos devem apresentar o
termo (z − 1) no denominador da função de transferência (assim como os inte-
gradores contínuos devem apresentar o termo s no denominador), como isso não
é observado na função de transferência apresentada, podemos descartar as al-
ternativas (D) e (E). Analogamente, controladores derivativos devem apresentar o
termo (z − 1) no numerador, como não é o caso, podemos descartar também a
alternativa (C). Portanto sabemos que trata-se de um controlador de Avanço ou
Atraso de Fase.
A forma geral de controladores Avanço/Atraso de Fase discreto é:
C(z) = Kz − αz − β
Sendo que quando tivermos:
• α > β : Avanço de Fase
• α < β : Atraso de Fase
No nosso caso α = 0, 9 e β = 0, 7, ou seja, α > β e então temos um
controlado de Avanço de Fase.
Alternativa (A)
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1.4 Controle Linear - Espaço de Estados
Questão 59(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2008)
9ENGENHEIRO JÚNIOR - ÁREA: AUTOMAÇÃO
12 V
20
40 40
10 30
7 V
2 mH 1 mH
5 F
IS
S1
dfs(N,Adj)Para u de 1 até N
cor[u] branco
b[u] 0Fim-ParaPara u de 1 até N
Se cor[u] = brancodfs_visit(u)
Fim-SeFim-Para
Fim
dfs-visit(u)
cor[u] cinzaPara v de 1 até N
Se (Adj(u,v) = 1) e (cor[v] = branco)
b[v] udfs_visit(v)
Fim-SeFim-Para
cor[u] pretoFim
r(t)
A, B
K
My(t)X(t)u(t)
C
30
A figura acima apresenta um circuito de corrente contínuafuncionando em regime permanente com a chave S1 aberta.Em determinado instante, a chave S1 é fechada. Imediata-mente em seguida, o módulo da corrente I
S, em ampères,
que atravessa a chave S1, é, aproximadamente,(A) 0,8 (B) 0,7(C) 0,6 (D) 0,5(E) 0,4
31
A figura acima apresenta o diagrama de um sistema de con-trole cujas equações sob a forma de espaço de estado são:
X(t)=AX(t)+Bu(t)y(t)=CX(t) com a lei de controle u(t)= KX(t)+Mr(t)
onde
68
10A
B =
01
C = 10 0 e
K = 6 3
Quando uma entrada r(t) do tipo degrau for aplicada, qual ovalor do ganho M para que o erro de estado estacionário sejaNULO ?(A) 5,00 (B) 3,65(C) 2,48 (D) 1,40(E) 0,80
32Um conjunto x(n) de 400 amostras resultou da discretizaçãode um sinal com período de amostragem de 0,1 ms. Usan-do-se o algoritmo FFT (Fast Fourier Transform) com umajanela de 512 amostras, foi calculada a Transformada Dis-creta de Fourier da seqüência x(n) e obteve-se a seqüênciaX(k), onde k representa a freqüência discreta. A que freqüên-cia, em Hz, corresponde a amostra X(k) para k=64?(A) 420 (B) 640(C) 1250 (D) 2240(E) 3200
33O seguinte pseudocódigo é uma forma simplificada do
algoritmo de busca depht first num grafo direcionado. O pro-
cedimento principal dfs(N,Adj) recebe como entrada o
inteiro N e a matriz Adj, de dimensões NxN. Adj(u,v) repre-
senta o elemento da linha u e coluna v da matriz Adj. O
procedimento dfs(N,Adj) faz a chamada recursiva do pro-
cedimento dfs-visit(u), onde u é um inteiro de 1 a N.
Ao término dos dois procedimentos, os vetores cor e b,
indexados pelos inteiros u de 1 até N, são preenchidos de
acordo com a regra de busca prevista no algoritmo.
O resultado do vetor b após a aplicação do procedimento
principal para N=6
e Adj =
100000
110000
000010
001000
000100
000110
é
(A) b = [3 5 4 0 2 0]
(B) b = [2 1 4 2 5 6]
(C) b = [2 1 3 0 5 4]
(D) b = [0 1 2 3 0 5]
(E) b = [0 1 0 5 2 3]
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Resolução:
Substituindo a lei de controle u(t) = −KX(t)+Mr(t) na equação de estados
do sistema:
X(t) = AX(t) +Bu(t)
= AX(t) +B(−KX(t) +Mr(t))
= AX(t)−BKX(t) +BMr(t)
= (A−BK)X(t) +BMr(t)
Substituindo as matrizes dadas temos:[x1
x2
]=
([0 1
−8 −6
]−
[0
1
] [6 3
])[x1(t)x2(t)
]+
[0
1
]Mr(t)[
x1
x2
]=
([0 1
−8 −6
]−
[0 0
6 3
])[x1(t)
x2(t)
]+
[0
1
]Mr(t)[
x1
x2
]=
[0 1
−14 −9
][x1(t)
x2(t)
]+
[0
1
]Mr(t)
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Na condição de estados estacionários, temos que x1(t) e x2(t) são con-
stantes (chamaremos então de x10 e x20) e x1(t) e x2(t) são nulos. Além disso, o
enunciado afirma que a entrada r(t) é um degrau, ou seja, r(t) = 1. Logo:[0
0
]=
[0 1
−14 −9
][x10
x20
]+
[0
1
]M.1
De onde tiramos o sistema de equações:0 = x20 + 0
0 = −14x10 − 9x20 +M
Que resulta em x10 = M14
e x20 = 0. Como o erro deve ser nulo para o
sistema cujos estados estão estacionários, temos que ter y(t) = r(t) = 1, ou seja:
y = CX
y =[10 0
] [x10x20
]1 = 10x10
x10 =1
10
Como x10 = M14
, temos:
x10 =M
141
10=M
14
M =14
10
M = 1, 4
Alternativa (D)
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Questão 60(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2008)
11ENGENHEIRO JÚNIOR - ÁREA: AUTOMAÇÃO
(A)3s4s
2s14s202
2
(B)
20s14s2
3s4s2
2
(C)3s4s
20s14s22
2
(D)
20s14s2
1s4s32
2
(E)1s4s3
2s14s202
2
)t(y3dt
)t(dy4
dt
)t(yd)t(u20
dt
)t(du14
dt
)t(ud2
2
2
2
2
36Um determinado sistema físico pode ser modelado através da seguinte equação diferencial ordinária:
onde u(t) e y(t) representam, respectivamente, os sinais de entrada e de saída do sistema. A função de transferência )s(U
)s(Y)s(G
deste sistema é
37Um sistema dinâmico em malha fechada pode ser modelado sob a forma de espaço de estado através das seguintesequações:
As posições dos pólos no plano s da função de transferência deste sistema são(A) s
1 = 2 e s
2 = 3 (B) s
1 = 1 e s
2 = 3
(C) s1 = 1 e s2 = 2 (D) s1 = 2 e s2 = 4(E) s
1 = 3 e s
2 = 5
38Os CLPs da Figura 1 estão conectados numa rede do tipo mestre-escravo. O CLP mestre M realiza uma varredura cíclica atodos os CLPs escravos Ei (i =1..n) para realizar o intercâmbio de dados. A comunicação por rede permite que os CLPscompartilhem variáveis. O ciclo de varredura da rede é independente do ciclo de varredura interno dos CLPs, este composto portrês etapas: (i) atualização da memória de entrada e saída local; (ii) atualização da memória de dados referentes à rede; e (iii)execução do programa de aplicação do usuário. Na etapa (ii), os dados recebidos por uma comunicação de rede são atualizadosna memória interna e os dados referentes aos outros CLPs são repassados para transmissão. O intercâmbio de dados entrediferentes estações escravas Ei é feito por intermédio do CLP mestre M.
Numa comunicação escravo-escravo, ilustrada na Figura 2, o CLP E1 recebe um estímulo na entrada correspondente ao pontoX11, que atualiza o ponto C01 do CLP M e que, conseqüentemente, provoca uma modificação no ponto C21 do CLP E2.Considere que os tempos de varredura dos CLPs M, E1 e E2 sejam todos de 50ms, que o tempo requerido para completar atransmissão na rede seja de 20ms, e desconsidere o tempo necessário para a percepção de um estímulo na entrada de umCLP. O tempo mínimo, em milissegundos, em que um sinal conectado à entrada correspondente ao ponto X11 deve permane-cer num determinado estado para que este seja percebido no ponto C21 é(A) 320 (B) 340 (C) 370 (D) 390 (E) 420
)t(x
)t(x02)t(y
)t(u3
1
)t(x
)t(x
01
65
)t(x
)t(x
2
1
2
1
2
1
código no CLP M:
| C01 C21 ||---| |---( )---|| |....
código no CLP E1:
| X11 C01 ||---| |---( )---|| |....
código no CLP E2:
| C21 ||---| |--- ... || |....
Figura 2Instância de comunicação entre
estações Escravo-EscravoFigura 1
CLPs interconectados em rede
CLP M CLP E1 CLP EnCLP E2
(A)
(C)
(E)
(B)
(D)
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Resolução:
Como o sistema já está na forma X(t) = AX(t) + Bu(t), basta calcular-
mos os autovalores de A, que estes serão os pólos da função de transferência.
Portanto:
det(sI − A) = 0
det
(s
[1 0
0 1
]−
[−5 6
−1 0
])= 0
det
([5 + s −6
1 s
])= 0
s2 + 5s+ 6 = 0
De onde tiramos s1 = −2 e
s2 = −3 .
Alternativa (A)
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Questão 61(Eng. Jr Áreas Elétrica e Eletrônica - Transpetro 2006)
PROVA 37 - ENGENHEIRO(A) JÚNIORÁREAS ELÉTRICA E ELETRÔNICA
8
31
O circuito RLC da figura é visto como um sistema elétrico
cuja entrada é a tensão ei(t) e a saída a tensão eo(t). É de-
signado o seguinte vetor de estados:
O modelo deste sistema em espaço de estado será repre-sentado pela seguinte equação de estado:
As expressões de a e b, em função dos componentes, são,respectivamente:
(A) LC1
eLR
(B) LCeRC
(C)LC
eRL
(D)LR
eLC1
(E) LCeR
32Um gás sofre uma transformação adiabática quando:
(A) está contido em um recipiente lacrado de volume constante.
(B) a pressão se mantém constante durante todo o processo.
(C) a variação da energia interna do gás é maior em módulo
que o trabalho realizado na transformação.
(D) está contido no interior de um recipiente termicamente
isolado do ambiente externo.
(E) ocorrem expansões e compressões suficientemente len-
tas, de maneira que as trocas de calor com o ambiente
externo possam ser desprezadas.
R L
C
+ +
dt
detetx
tetxonde
x
xtx o
o2
o1
2
1
33O homem vem utilizando os diversos recursos energéticosao longo de sua evolução, sem ter tido a preocupação com omeio ambiente ou com o esgotamento desses recursos. Nosdias atuais, a questão ambiental caminha lado a lado com aquestão energética, a fim de otimizar a utilização da energiae diminuir a agressão ao meio ambiente. A respeito dessatemática, considere as seguintes afirmações:
I - a utilização da energia solar é limpa em todo o seu processo;II - o protocolo de Kioto, que regula as obrigações para pro-
teção do meio ambiente, foi assinado por todos os prin-cipais países do mundo;
III - as fontes alternativas de energia tendem a ter uma par-ticipação maior no balanço energético mundial.
A(s) afirmação(ões) correta(s) é(são) apenas:(A) I (B) II(C) III (D) I e II(E) II e III
34As termelétricas a gás natural, por diversas razões, vêm setornando uma opção interessante para os investidores naárea da energia. Entretanto, os investimentos no setor, pelainciativa privada, não foram o esperado. A respeito dessatemática, considere as seguintes afirmações:
I - O livre mercado de energia dificulta a inserção dastermelétricas para o novo modelo competitivo, tendo emvista que o custo da energia das hidrelétricas em opera-ção são menores.
II – Uma cota específica de geração térmica poderia viabilizaros investimentos da iniciativa privada nesse setor.
III – Uma garantia no custo do gás natural poderia incentivaros investimentos nesse tipo de geração.
A(s) afirmação(ões) correta(s) é(são) apenas:(A) I (B) II(C) I e III (D) II e III(E) I, II e III
35O sistema tarifário de energia elétrica segue um conjunto denormas e regulamentos, a fim de se estabelecer o preço daenergia elétrica para os diversos tipos de consumidores. Aresponsabilidade pela regulamentação das tarifas é:(A) do Ministério de Minas e Energia - MME.(B) da ELETROBRÁS.(C) da Agência Nacional de Energia Elétrica - ANEEL.(D) da Câmara de Comercialização de Energia Elétrica - CCEE.(E) das Concessionárias de Energia Elétrica.
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Resolução:
Primeiramente determinamos a corrente i(t) do circuito:
i(t) = CdVcdt
= Cde0(t)
dt= Cx2(t)
Agora que temos uma expressão para i(t), podemos fechar a malha:
ei(t)−Ri(t)− Ldi(t)
dt− e0(t)︸︷︷︸
x1(t)
= 0
ei(t)−R(Cx2(t))− LCx2(t)− x1(t) = 0
x2(t) = − 1
LCx1(t)−
R
Lx2(t) +
1
LCe1(t) (1.21)
Do modelo apresentado:[x1(t)
x2(t)
]=
[0 1
−a −b
][x1(t)
x2(t)
]+
[0
a
]ei(t)
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Tiramos:
x2(t) = −ax1(t)− bx2(t) + ae1(t) (1.22)
Logo, comparando 1.22 com 1.21 encontramos:
a =1
LC
b =R
L Alternativa (D)
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Questão 62(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/2)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
8
Considere as informações a seguir para responder às questões de nos 25 e 26.
O controle de atitude de um satélite em órbita consiste em ajustar, automaticamente, o ângulo de seu eixo, de modo
a direcionar sua antena para a região desejada na superfície da Terra. O modelo simplificado desse sistema consta
de um sinal de entrada, que é o torque τ(t), e de um sinal de saída, que é o ângulo θ(t). Considerando o vetor de
estado definido com , posição angular e , a velocidade angular, obtém-se
o seguinte modelo em espaço de estado.
e
25Aplicando uma realimentação de estado, com a lei de controle dada por , o valor do vetor
de ganhos K, que conduz os polos em malha fechada para as posições −2 e −3, é
(A) [5 6] (B) [2 3] (C) [6 5] (D) [−5 −6] (E) [−2 −3]
26Discretizando este modelo, pelo método ZOH, com o período de amostragem T, obtém-se o modelo discreto dado por:
e A matriz Φ é
(A) (B) (C) (D) (E)
27
O gráfico da figura acima corresponde à resposta ao degrau unitário aplicado na entrada de um sistema de 2a ordem, cuja
função de transferência é . Com base nos dados da figura, os polos desse sistema são complexos,
conjugados e iguais a
(A) (B) (C) (D) (E)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
8
Considere as informações a seguir para responder às questões de nos 25 e 26.
O controle de atitude de um satélite em órbita consiste em ajustar, automaticamente, o ângulo de seu eixo, de modo
a direcionar sua antena para a região desejada na superfície da Terra. O modelo simplificado desse sistema consta
de um sinal de entrada, que é o torque τ(t), e de um sinal de saída, que é o ângulo θ(t). Considerando o vetor de
estado definido com , posição angular e , a velocidade angular, obtém-se
o seguinte modelo em espaço de estado.
e
25Aplicando uma realimentação de estado, com a lei de controle dada por , o valor do vetor
de ganhos K, que conduz os polos em malha fechada para as posições −2 e −3, é
(A) [5 6] (B) [2 3] (C) [6 5] (D) [−5 −6] (E) [−2 −3]
26Discretizando este modelo, pelo método ZOH, com o período de amostragem T, obtém-se o modelo discreto dado por:
e A matriz Φ é
(A) (B) (C) (D) (E)
27
O gráfico da figura acima corresponde à resposta ao degrau unitário aplicado na entrada de um sistema de 2a ordem, cuja
função de transferência é . Com base nos dados da figura, os polos desse sistema são complexos,
conjugados e iguais a
(A) (B) (C) (D) (E)
Resolução:
A fim de encontrarmos a equação característica em função de K1 e K2,
desenvolvemos a expressão:
x(t) = Ax(t) +Bτ(t)
x(t) = Ax(t) +B(−Kx(t))
Agora aplicamos a Transformada de Laplace:
sX(s) = AX(s)−BKX(s)
(sI − A+BK)X(s) = 0
Então podemos encontrar a equação característica:
det(sI − A+BK) = 0
det
(s
[1 0
0 1
]−
[0 1
0 0
]+
[0
1
] [k1 k2
])= 0
det
([s −1
0 s
]+
[0 0
k1 k2
])= 0
det
([s −1
k1 (s+ k2)
])= 0
s2 + k2s+ k1 = 0 (1.23)
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Agora que encontramos a Equação Característica 1.23 em função de k1 e k2, mon-
tamos a Equação Característica Desejada (com pólos s1 = −2 e s2 = −3):
(s− s1)(s− s2) = 0
(s+ 2)(s+ 3) = 0
s2 + 5s+ 6 = 0 (1.24)
Comparando as equações características 1.23 e 1.24, concluimos então que k1 = 6
e k2 = 5, ou seja, K =[6 5
].
Alternativa (C)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
8
Considere as informações a seguir para responder às questões de nos 25 e 26.
O controle de atitude de um satélite em órbita consiste em ajustar, automaticamente, o ângulo de seu eixo, de modo
a direcionar sua antena para a região desejada na superfície da Terra. O modelo simplificado desse sistema consta
de um sinal de entrada, que é o torque τ(t), e de um sinal de saída, que é o ângulo θ(t). Considerando o vetor de
estado definido com , posição angular e , a velocidade angular, obtém-se
o seguinte modelo em espaço de estado.
e
25Aplicando uma realimentação de estado, com a lei de controle dada por , o valor do vetor
de ganhos K, que conduz os polos em malha fechada para as posições −2 e −3, é
(A) [5 6] (B) [2 3] (C) [6 5] (D) [−5 −6] (E) [−2 −3]
26Discretizando este modelo, pelo método ZOH, com o período de amostragem T, obtém-se o modelo discreto dado por:
e A matriz Φ é
(A) (B) (C) (D) (E)
27
O gráfico da figura acima corresponde à resposta ao degrau unitário aplicado na entrada de um sistema de 2a ordem, cuja
função de transferência é . Com base nos dados da figura, os polos desse sistema são complexos,
conjugados e iguais a
(A) (B) (C) (D) (E)
Resolução:
Para a discretização pelo método ZOH, encontramos as matrizes Φ, Γ e φ
como segue: Φ = I + ATφ
Γ = φTB
φ = I + AT2!
+ A2T 2
3!+ ...
Então calculamos primeiro φ:
φ =
[1 0
0 1
]+
[0 1
0 0
]T
2+
[0 1
0 0
][0 1
0 0
]T 2
6︸ ︷︷ ︸Zero
+0 + 0...
φ =
[1 T
2
0 1
]
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Agora podemos encontrar Φ como segue:
Φ = I + ATφ
Φ =
[1 0
0 1
]+
[0 1
0 0
][1 T
2
0 1
]T
Φ =
[1 0
0 1
]+
[0 T
0 0
]
Φ =
[1 T
0 1
] Alternativa (A)
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Questão 63(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/1)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
15
43Seja um sistema linear e invariante no tempo definido peloseu modelo em espaço de estados:
A função de transferência Y(s)/U(s) é
(A) 2
s 2,5
s 1,5 s 3,5
(B) 2
s 3,5
s 1,5 s 2,5
(C) 2
s 2,5
s 3,5 s 1,5
(D) 2
s 1,5
s 3,5 s 2,5
(E) 2
s 1,5
s 3,5 s 1,5
44
O diagrama em blocos da figura acima mostra um sistemalinear, de 2a ordem, composto de dois integradores,somadores e ganhos. A entrada é u(t) e a saída y(t).A função de transferência deste sistema é:
(A)
2
Y s 5s
U s s 3s 2
(B)
2
Y s 5
U s s 3s 2
(C)
2
Y s 5s 1
U s s 3s 2
(D)
2
Y s 5s 1
U s s 3s 2
(E)
2
Y s s 5
U s s 3s 2
1 1
2 2
1
2
x x3 1 1u
x x2 1,5 4
xy 1 0
x
+ +u(t)
3
5
y(t)
2
45
Considere o pulso p(t) mostrado na figura acima. A Trans-formada de Fourier deste pulso é dada pela seguinte ex-pressão:
2
K sen2
P
O valor da constante K é:(A) 4(B) – j4(C) j4(D) 2(E) j2
46
Considere o sinal periódico v(t) mostrado na figura acima.Os pulsos têm amplitude A, largura e se repetem comperíodo T em segundos.Com base nesses dados, analise as afirmativas a seguir.
I - O valor médio de v(t) é zero.II - Os coeficientes da série complexa de Fourier são
grandezas reais.
III - Os harmônicos de ordem par serão nulos se 2T
.
É(São) correta(s) a(s) afirmativa(s)(A) I, apenas.(B) I e II, apenas.(C) I e III, apenas.(D) II e III, apenas.(E) I, II e III.
p(t)
1
1
t1 1
T
v(t)
A
- 0 -A
t
T
Resolução:
Para encontrarmos a função de Y (s)U(s)
a partir de um modelo de espaço de
estados, temos que calcular:
Y (s)
U(s)= C(sI − A)−1B
Porém imediatamente percebemos que isso dará muito trabalho, e consumirá
muito tempo em uma prova de concurso. Por este motivo é melhor tentarmos
primeiro calcular apenas a equação característica da função de transferência
(que é bem mais simples), e então veremos se é mesmo necessário calcular toda
a expressão supracitada. Então, para calcular a EC fazemos:
det(sI − A) = 0
det
(s
[1 0
0 1
]−
[−3 1
−2 1, 5
])= 0
det
([(s+ 3) −1
2 (s− 1, 5)
])= 0
s2 + 1, 5s− 2, 5 = 0
Alternativa (B)
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Questão 64(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/1)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
17
52Um sistema linear e discreto é modelado em espaço deestado com as seguintes equações:
Este sistema é não controlável nos pontos de uma reta doplano a x b, cuja equação é dada por:
a = Mb + N
As constantes M e N são, respectivamente,
(A)2
2e
(B)2
2e
(C)2
2 2e
(D) e
(E)2
2e
Considere a figura e os dados abaixo para responderàs questões de nos 53 a 55.
A figura ilustra uma planta industrial controlada por meiode um compensador H(s). O modelo da planta está repre-sentado na figura por sua função de transferência.
( ) ) )( (0 1
1X k X k u ka b
( ) [ ] ( )1 0y k X k=
53Se for utilizado um compensador estático, isto é, H(s) = K,com K > 0, então a planta(A) não poderá ser estabilizada, tendo em vista que a fun-
ção de transferência da planta apresenta um par depolos no semiplano s direito.
(B) não poderá ser estabilizada, pois mesmo variando-seo ganho K do compensador, ainda restarão polos demalha fechada no semiplano s direito.
(C) poderá ser estabilizada para qualquer valor de ganhoK positivo.
(D) poderá ser estabilizada a partir de certo valor de ganhoK positivo, tendo em vista que a função de transferên-cia de malha aberta possui grau relativo 1 e apresentaum zero no semieixo real negativo do plano s.
(E) poderá ser estabilizada, tendo em vista que, a partir decerto valor de ganho K positivo, os polos de malha fecha-da seguirão duas assintotas no semiplano s esquerdo.
54Para estabilizar a planta e fazer com que o lugar das raízes(root locus) passe em s = - 3, o compensador utilizado de-verá ser:
(A) K(s 2)
(s 9)
(B)
K(s 5)
(s 13)
(C)K(s 15)
(s 3,5)
(D)
K(s -15)
(s -2)
(E)K(s+10)
(s+15)
55
Considere que tenha sido utilizado o compensador
5(s 10)H(s)
s
. Com relação à capacidade da saída y(t)
de o sistema em malha fechada rastrear os sinais aplica-
dos em u(t), caso seja aplicado um sinal do tipo
(A) degrau em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo aentrada u(t).
(B) degrau em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro cons-tante a entrada em u(t).
(C) degrau em u(t), a saída y(t) não conseguirá rastrear aentrada em u(t).
(D) rampa em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo aentrada em u(t).
(E) parábola em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nuloa entrada em u(t).
u(t) y(t)
CompensadorH(s)
Planta2(s 4)
(s 6s + 13)2ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR
ELETRÔNICA
17
52Um sistema linear e discreto é modelado em espaço deestado com as seguintes equações:
Este sistema é não controlável nos pontos de uma reta doplano a x b, cuja equação é dada por:
a = Mb + N
As constantes M e N são, respectivamente,
(A)2
2e
(B)2
2e
(C)2
2 2e
(D) e
(E)2
2e
Considere a figura e os dados abaixo para responderàs questões de nos 53 a 55.
A figura ilustra uma planta industrial controlada por meiode um compensador H(s). O modelo da planta está repre-sentado na figura por sua função de transferência.
( ) ) )( (0 1
1X k X k u ka b
( ) [ ] ( )1 0y k X k=
53Se for utilizado um compensador estático, isto é, H(s) = K,com K > 0, então a planta(A) não poderá ser estabilizada, tendo em vista que a fun-
ção de transferência da planta apresenta um par depolos no semiplano s direito.
(B) não poderá ser estabilizada, pois mesmo variando-seo ganho K do compensador, ainda restarão polos demalha fechada no semiplano s direito.
(C) poderá ser estabilizada para qualquer valor de ganhoK positivo.
(D) poderá ser estabilizada a partir de certo valor de ganhoK positivo, tendo em vista que a função de transferên-cia de malha aberta possui grau relativo 1 e apresentaum zero no semieixo real negativo do plano s.
(E) poderá ser estabilizada, tendo em vista que, a partir decerto valor de ganho K positivo, os polos de malha fecha-da seguirão duas assintotas no semiplano s esquerdo.
54Para estabilizar a planta e fazer com que o lugar das raízes(root locus) passe em s = - 3, o compensador utilizado de-verá ser:
(A) K(s 2)
(s 9)
(B)
K(s 5)
(s 13)
(C)K(s 15)
(s 3,5)
(D)
K(s -15)
(s -2)
(E)K(s+10)
(s+15)
55
Considere que tenha sido utilizado o compensador
5(s 10)H(s)
s
. Com relação à capacidade da saída y(t)
de o sistema em malha fechada rastrear os sinais aplica-
dos em u(t), caso seja aplicado um sinal do tipo
(A) degrau em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo aentrada u(t).
(B) degrau em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro cons-tante a entrada em u(t).
(C) degrau em u(t), a saída y(t) não conseguirá rastrear aentrada em u(t).
(D) rampa em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nulo aentrada em u(t).
(E) parábola em u(t), a saída y(t) irá rastrear com erro nuloa entrada em u(t).
u(t) y(t)
CompensadorH(s)
Planta2(s 4)
(s 6s + 13)2
Resolução:
Um sistema é Não-Controlável se a matriz de controlabilidade (Co) deste
sistema for não-inversível, ou seja, se det(Co) = 0.
Para um sistema de ordem n representado no espaço de estados, sabemos que a
matriz de controlabilidade é dada por:
Co = [B AB A2B . . . An−1B]
Como nesta questão o sistema é de segunda ordem (n = 2), temos que:
Co = [B AB]
Co =
[(α
β
) (0 1
a b
)×
(α
β
)]
Co =
[α β
β (αa+ βb)
]
E para o sistema ser Não-Controlável temos:
det(Co) = 0
α(αa+ βb)− β2 = 0
α2a+ αβb− β2 = 0
a = −βαb+
β2
α2(1.25)
Comparando a equação 1.25 com a equação dada (a = Mb + N ), tiramos que
M = −βα
e N = β2
α2 . Alternativa (E)
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Questão 65(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Termoaçu 2008/1)
ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR (ELETRÔNICA)8
31
Considerando os diagramas de Bode de módulo e de fase para um determinado sistema linear, a função de transferência H(s)do sistema é
32Considere o sistema linear abaixo, descrito por seu modeloem espaço de estados.
Os pólos do sistema são(A) -1 e 2,5(B) -2 e 1(C) -3 e 1,5(D) -1,5 e 3(E) -2,5 e 1
33Um circuito oscilador gera uma onda-quadrada de 10 MHz
com 50% de ciclo ativo e sem nível DC. Para obter-se uma
senóide de 30 MHz a partir deste sinal gerado e usando
apenas um filtro, é estritamente necessário que este filtro
seja um
(A) passa-altas que rejeite 10 MHz e passe 30 MHz
(B) passa-altas que rejeite 20 MHz e passe 30 MHz
(C) passa-baixas que rejeite 40 MHz e passe 30 MHz
(D) passa-banda que rejeite 20 MHz e 40 MHz e passe
30 MHz
(E) passa-banda que rejeite 10 MHz e 50 MHz e passe
30 MHz
(A)000.10s50s
)1s(000.1002
(B)
000.10s200s
)1s(000.102
(C)000.10s200s
)1s(000.102
(D)
000.10s50s
)1s(000.1002
(E)000.10s200s
)1s(000.12
Freqüência [rad/s]
Freqüência [rad/s]
Mód
ulo
(dB)
Fase
(gra
us)
www.pciconcursos.com.brResolução:
Como o sistema já está na representação padrão de Espaço de Estados
(x = Ax+B e y = Cx), os pólos do sistema são iguais aos autovalores de A, logo:
det(sI − A) = 0
det
(s
[1 0
0 1
]−
[−3 1
−2 1, 5
])= 0
det
([(s+ 3) −1
2 (s− 1, 5)
])= 0
(s+ 3)(s− 1, 5) + 2 = 0
s2 + 1, 5s− 2, 5 = 0
De onde tiramos
s1 = −2, 5 e s2 = 1
Alternativa (E)
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Questão 66(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Termoaçu 2008/1)
9ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR (ELETRÔNICA)
(A)
1,400,32
1,000,20(B)
0,600,80
1,000,20
(C)
0,600,80
1,000,20(D)
6,008,00
5,002,00
(E)
0,800,60
0,251,00
34Considere um sistema elétrico que tem tve como tensãode entrada, que tem tv1 e tv2 como tensões medidasinternamente e cuja resposta depende das seguintesequações:
onde
Considerando-se um vetor de estados
2
1
x
xtX , onde
11 vx e 22 vx , a matriz A do modelo em espaço de
estado dado por tuBtXAtX é
35Um sistema eletrônico não linear tem uma resposta emtensão tal que eleva ao quadrado o valor do sinal de entrada.Ao entrar com uma onda senoidal pura de freqüência f, asaída será um sinal composto de(A) uma senóide de freqüência f, sem nível DC(B) uma senóide de freqüência f, com nível DC(C) uma senóide de freqüência 2f, com nível DC(D) duas senóides de freqüências f e 2f, sem níveis DC(E) duas senóides de freqüências f e 2f, com níveis DC
36A Instrumentação está ligada ao estudo, desenvolvimento eaplicação de instrumentos eletrônicos que têm como funçãobásica a medição de alguma grandeza física ou elétrica.Portanto, ela é utilizada em diversas áreas da ciência e daengenharia. Neste contexto, é INCORRETO afirmar que(A) exatidão refere-se a medidas livres de erro, ou ao grau
de conformidade entre o objeto medido e o padrão.(B) linearidade em medidas está relacionada com a avalia-
ção do comportamento da variável de saída em relação àvariável de entrada.
(C) repetibilidade é a consistência de uma medição quandoos valores do objeto medido são distintos em diferentestentativas.
(D) resolução é o grau de divisão que o instrumento permiteobter, medido em partes identificáveis.
(E) tempo de resposta indica o quão rapidamente o sistemade medição reage a mudanças na variável de entrada.
37
No sistema de controle da figura acima, com K real não
negativo, o lugar das raízes passa em
(A) -2 e as assíntotas possuem ângulos ±36, ±108 e 180°.
(B) -1,5 e as assíntotas possuem ângulos ±45°, ±135° e
180°.
(C) -0,5 e as assíntotas possuem ângulos ±60° e 180°.
(D) 0,5 e o ponto de encontro das assíntotas é -1.
(E) ±j e o ponto de encontro das assíntotas é -1,25.
38Um encoder digital é um sensor utilizado em instrumentação
para medir diretamente a posição ou o deslocamento
angular de um equipamento. O encoder pode ser encontrado
em tornos CNC, manipuladores robóticos, dentre outros.
Suponha um encoder digital conectado a um conversor D/A,
ambos com resolução de 8 bits. Considere ainda que a saída
do conversor D/A utilizado é na forma de corrente, e que esta
varie de 0mA para a entrada binária 000000002 e de 2mA
para a entrada binária 111111112. A saída do conversor D/A
é conectada a um amplificador operacional, conforme pode
ser visto no diagrama a seguir.
Sendo a saída do encoder a palavra binária = 110101102,
a leitura do encoder, em graus, e a tensão de saída do
sistema, em volts, são, respectivamente,
(A) 75 e 4,18
(B) 270 e 2,98
(C) 290 e 3,14
(D) 301 e 4,18
(E) 315 e 2,98
ENCODERDIGITAL
CONVERSORD/A VSAÍDA
SAÍDA0 A 2mA
2,5K
(8 bits) -+
tv4tv6tv8v10
0tv5tv2tv5
e212
211
dt
dvtv
dt
dvtv
22
11
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Resolução:
Esta questão é basicamente apenas um trabalho algébrico. Já que x1 = v1,
x2 = v2 e u = ve, basta deixarmos as duas equações dadas no seguinte formato:
v1 = f(v1, v2, ve)
v2 = f(v1, v2, ve)
E então teremos um sistema na forma X(t) = AX(t) + Bu(t). Ao analisarmos o
sistema:
5v1(t) + 2v1(t) + 5v2(t) = 0 (1.26)
10v2(t)− 8v1(t) + 6v2(t) = 4ve(t) (1.27)
Percebemos que a equação 1.26 já está no formato desejado, bastando apenas
passar v1(t) e v2(t) para o lado direito da igualdade. Na equação 1.27 precisamos
primeiro substituir o termo v1(t), para sobrar apenas termos em função de v1, v2 e
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ve. Logo:
5v1(t) + 2v1(t) + 5v2(t) = 0
v1(t) = −0, 4v1(t)− v2(t) (1.28)
x1(t) = −0, 4x1(t)− x2(t) (1.29)
Substituindo a equação 1.28 em 1.27 temos:
10v2(t)− 8v1(t) + 6v2(t) = 4ve(t)
10v2(t)− 8(−0, 4v1(t)− v2(t)) + 6v2(t) = 4ve(t)
10v2(t) + 3, 2v1(t) + 8v2(t) + 6v2(t) = 4ve(t)
v2(t) = −0, 32v1(t)− 1, 4v2(t) + 4ve(t)
x2(t) = −0, 32x1(t)− 1, 4x2(t) + 4u(t) (1.30)
Como agora já temos expressões para x1(t) e x2(t) em função das variáveis de
estado desejadas (equações 1.29 e 1.30), podemos representar o sistema de
forma matricial: x1(t) = −0, 4x1(t)− x2(t)
x2(t) = −0, 32x1(t)− 1, 4x2(t) + 4u(t)
[x1(t)
x2(t)
]︸ ︷︷ ︸X(t)
=
[−0, 40 −1, 00
−0, 32 −1, 40
]︸ ︷︷ ︸
A
[x1(t)
x2(t)
]︸ ︷︷ ︸X(t)
+
[0
4
]︸︷︷︸B
u(t)
Atenção: A alternativa apresentada como correta no gabarito é a letra (A),
porém vemos que o primeiro valor da matriz A é −0, 40 e não −0, 20 como apre-
sentado. Este foi um erro de digitação dos elaboradores da prova.
Alternativa (A)
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Questão 67(Eng. de Termelétrica Jr Eletrônica - Termoceará 2009)
ENGENHEIRO(A) DE TERMELÉTRICA JÚNIOR (ELETRÔNICA)9
TERMOCEARÁ LTDA.
32Considere o modelo de um sistema linear dado pela se-guinte representação em espaço de estado:
Os polos deste sistema são:(A) 5,0 e 1,0 (B) 2,0 e 4,0(C) - 2,0 e - 4,0 (D) - 5,0 e -1,0(E) -11,0 e 5,0
33Considere a arquitetura implementada a seguir.
entity CONTADOR isport (CLK, EN, CLR, LOAD, UP: in std_logic;
D: in std_logic_vector (3 downto 0); Q: out std_logic_vector (3 downto 0));
end CONTADOR;
architecture comportamento of CONTADOR issignal CONT: std_logic_vector (3 downto 0);begin process (CLK) begin if (CLK’event and CLK = ‘1’) then if (CLR = ‘1’) then CONT <= “0000”; elsif (LOAD = ‘1’) then CONT <= D; elsif (EN = ‘1’ and UP = ‘1’ and
CONT = “1001”) then CONT <= “0000”; elsif (EN = ‘1’ and UP = ‘1’) then CONT <= CONT + “0001”; elsif (EN = ‘1’ and UP = ‘0’ and
CONT = “0000”) then CONT <= “1001”; elsif (EN = ‘1’ and UP = ‘0’) then CONT <= CONT - “0001”; end if; end if;end process;Q <= CONT;
end comportamento;
Esta arquitetura se refere a um contador do tipo(A) binário, crescente e com clear assíncrono.(B) binário, crescente-decrescente e com clear assíncrono.(C) binário, crescente-decrescente e com clear síncrono.(D) BCD, crescente-decrescente e com clear assíncrono.(E) BCD, crescente-decrescente e com clear síncrono.
ARx
1,4 k
X Y
C
1,5 V
+ -
Z
Régua milimetrada
34
Deseja-se efetuar a medida de uma resistência desconhe-cida (Rx), improvisando-se o processo mostrado na figuraacima. Usa-se uma pilha de 1,5 V alimentando um pedaçode fio resistivo homogêneo de 50 cm esticado ao lado deuma régua milimetrada (segmento XY). Um cursor C man-tém contato com o fio resistivo e o amperímetro A indica apresença de corrente entre os pontos Z e C. O métodoconsiste em deslocar o cursor sobre o fio resistivo até zerara corrente no amperímetro. Feita a experiência, verificou-se que a distância YC foi de 35 cm. O valor de Rx, em , é:(A) 150 (B) 200 (C) 300 (D) 600 (E) 700
35Com relação à arquitetura PC padrão, é INCORRETO afir-mar que(A) a memória virtual é o resultado do processo de
segmentação realizado pelo sistema operacional.(B) o PCI de 33 MHz e 32 bits tem uma banda de comuni-
cação maior que a do USB 2.0.(C) o termo on die é atribuído ao cache integrado no mes-
mo substrato semicondutor do núcleo da CPU.(D) os periféricos de menor velocidade são acessados pre-
ferencialmente pela Ponte Sul.(E) os relógios de operação do core do processador e do
FSB normalmente são diferentes.
36Um sinal de tensão, obtido através de um sensor analógico,tem duração total de 10 s. Este sinal foi digitalizado comuma certa taxa de amostragem e quantizado em 16 bitspor amostra. Os dados obtidos na digitalização ocuparamum espaço em memória de 5 Mbytes. Qual foi a taxa deamostragem, em kHz, usada na conversão A/D (Analógica/Digital)?(A) 1.000 (B) 250(C) 100 (D) 85(E) 60
11 60 1
1 5 0
1 15
X t X t u t
y t X t
Resolução:
Como o sistema já está na representação padrão de espaço de estados,
basta acharmos os autovalores de A, que estes serão os pólos do sistema. Logo:
det(sI − A) = 0
det
(s
[1 0
0 1
]−
[−11 −60
1 5
])= 0
det
([(s+ 11) 60
−1 (s− 5)
])= 0
(s+ 11)(s− 5) + 60 = 0
s2 + 6s+ 5 = 0
De onde tiramos
s1 = −5 e s2 = −1
Alternativa (D)
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Questão 68(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2011)
ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO15
BLOCO 3
56Um sinal senoidal é expresso da seguinte forma:
x(t) = 6sen(10t) + 8cos(10t)Este mesmo sinal pode ser expresso nesta outra forma:
x(t) = Asen(10t + θ)A tangente do ângulo θ é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
57Um sinal v(t) é expresso, no domínio de Laplace, por
No domínio do tempo, quando t tende para infinito, o sinal v(t) tende para um valor estacionário, constante e igual a(A) 240(B) 180(C) 60(D) 12(E) 9
58Um sistema de controle utiliza um sensor eletromagnético não linear que converte uma corrente elétrica i em força F. A função não linear, que converte corrente [A] em força [N], é
F(i) = 5i2 - 18i
Deseja-se linearizar essa função no ponto nominal de cor-rente i0 = -4, obtendo-se para este ponto de operação, a função linear
FL(i) = K1i + K2
Os valores de K1 e K2, respectivamente, são(A) -58 e -80(B) -58 e 80(C) -35 e 120(D) -35 e 12(E) -78 e -160
59
Considere z uma variável complexa que se apresenta de-composta na forma z = x + jy, x e y números reais. O gráfico acima mostra o plano complexo e a figura de um círculo centrado em z = 2 e de raio igual a 3.O lugar geométrico da região sombreada, não incluindo a borda (circunferência), é expresso por(A) Iz − 2I = 3 (B) Iz + 2I < 3(C) IzI < 9(D) x2 + y2 < 9(E) x2 + y2 −4x < 5
60Considere que x(t) é um sinal que evolui no domínio do tem-
po de acordo com a equação diferencial linear represen-
tada por , onde e .
Considerando e , a solução dessa equa-
ção, válida unicamente para , é expressa por
(A) 2et - e2t
(B) 4e−4t - 5e−5t
(C) 5e−4t - 4e−5t
(D) 5(e−4t - e−5t)(E) 10(e−5t - e−4t)
61Um sistema linear é representado em Espaço de Estados pelas equações:
e
Os polos desse sistema são(A) -3 e -3(B) -3 e -5(C) -2 e -1(D) -2 e -3(E) -1 e -4
Resolução:
Como o sistema já está na forma X(t) = AX(t) + Bu(t), basta calcular-
mos os autovalores de A, que estes serão os pólos da função de transferência.
Portanto:
det(sI − A) = 0
det
(s
[1 0
0 1
]−
[−4 2
−1 −1
])= 0
det
([s+ 4 −2
1 s+ 1
])= 0
(s+ 4)(s+ 1) + 2 = 0
s2 + 5s+ 6 = 0
Cujas raízes (que correspondem aos polos) são: s = −2 e s = −3.
Alternativa (D)
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Questão 69(Eng. Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2011)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
7
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
BLOCO 1
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 21 e 22.
A figura acima mostra o sinal periódico ν(t), formado por uma sequência de pulsos retangulares, de amplitude A, largura μ, separados por um período T.
21A expressão do valor médio desse sinal é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
22Calculando o coeficiente complexo da série de Fou-
rier, através da integral onde
obtém-se , o valor do duty
cicle, definido pela relação , é
(A) 0,2
(B) 0,3
(C) 0,4
(D) 0,5
(E) 0,8
23Sobre os tipos de ruídos que influenciam os sinais presen-tes nos Sistemas de Comunicações, considere as afirma-tivas a seguir.
I - O ruído térmico é gerado pelo movimento randômi-co de partículas eletricamente carregadas (elétrons) nos meios de condução.
II - O ruído branco é o tipo que apresenta a amplitude do seu espectro de frequência distribuído de forma randômica na faixa de frequência do canal de transmissão.
III - O ruído impulsivo é uma ocorrência irregular de pulsos ou estalos de curta duração e de amplitude relativamente grande presente nos sinais que trafegam nos sistemas de comunicações.
Está correto APENAS o que se afirma em(A) I(B) II(C) III(D) I e III(E) II e III
24
Um sistema linear e contínuo apresenta a equação dife-rencial do seu modelo em espaço de estados, referida à entrada u(t), dada por
onde o vetor de estados é definido por .Esse sistema tem três polos reais, cujos valores são: (A) −1, −1 e −2(B) 0, −2 e −3(C) 0, −1 e −3(D) 0, 1 e −12(E) 1, −6 e −12
25Um sistema de controle linear e contínuo, com realimenta-
ção de saída, apresenta uma estrutura de compensação
na malha direta, em série com a planta, cuja função de
transferência é .
Esse compensador é do tipo(A) PD(B) P I (C) P I D(D) Lead - Leg(E) Avanço de fase
Resolução:
Como o sistema já está na forma X(t) = AX(t) + Bu(t), basta calcular-
mos os autovalores de A, que estes serão os pólos da função de transferência.
Portanto:
det(sI − A) = 0
det
s
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−
0 0 −1
0 1 1
0 −12 −6
= 0
det
s 0 1
0 (s− 1) −1
0 12 (s+ 6)
= 0
s(s− 1)(s+ 6) + 12s = 0
s((s− 1)(s+ 6) + 12) = 0
s(s2 + 5s+ 6) = 0
s(s+ 3)(s+ 2) = 0
Cujas raízes são: s = 0, s = −3 e s = −2.
Alternativa (B)
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1.5 Controle Linear - Domínio da Frequência
Questão 70(Eng. de Automação Jr - Transpetro 2006)
PROVA 35 - ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO13
38
As figuras apresentam os diagramas de Bode para a função de transferência em malha aberta de um determinado sistema
físico. A margem de ganho, em dB, e a margem de fase, em graus, valem, respectivamente:
(A) 80 e 100
(B) 20 e 140
(C) 70 e 60
(D) 40 e 80
(E) 60 e 120
Módulo (dB)
Diagrama de Bode
Freq.(rad/s)
Freq.(rad/s)
Fase (graus)
102-
101-
100
101
101
102-
101- 10
010
1
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Resolução:
Da teoria de controle sabemos que, pelo Diagrama de Bode, a
frequência(ω1) onde o gráfico de Fase vale −180 determina a margem de ganho.
Também sabemos que a frequência(ω2) onde o gráfico de Módulo vale 0dB deter-
mina a margem de fase.
Do diagrama de bode então tiramos que ω1 = 3rad/s e ω2 = 0, 1rad/s. Agora
calculamos o a margem de ganho(MG) e margem de fase(MF ):
MG = 0− ganho(ω1) = 0− (−40) = 40
MF = fase(ω2) + 180 = −100 + 180 = 80
Alternativa (D)
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Questão 71(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/1)
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14
30
180
20
90
0
0
-20
-90
0,01
0,01
0,1
0,1
1
1
10
10
100
100
Módulo
[dB
]F
ase
[Gra
us]
Frequência [rad/s]
H j( )dB
40
101 100 1 10 01 2 [ ]rad/s
41
A figura acima mostra diagramas de Bode em amplitude para uma função de transferência arbitraria H(s) de 2ª ordem. Astrês curvas foram obtidas pela variação de um dado parâmetro do sistema. Sobre este diagrama, considere as seguintesafirmativas:
I - a curva que apresenta o pico máximo tem a menor razão de amortecimento;II - a amplitude de 0 dB ocorre na frequência de 100 rad/s, para todas as curvas;III - o sistema, cujo diagrama apresenta o pico máximo, tem os pólos sobre o eixo imaginário;IV - a Função de Transferência obedece ao seguinte limite:
0lim
s[H(s)] = 40, para todas as curvas.
É(São) correta(s) APENAS a(s) afirmativa(s)(A) I e II. (B) II e III. (C) III e IV. (D) I, II e III. (E) I , II e IV.
42
Considere os diagramas de Bode em Módulo e Fase, mostrados nas figuras acima. A função de transferência, cuja respos-ta em frequência mais se aproxima do diagrama, é
(A) 2
s 1
s 0,5s 1
(B) 2
s 1
s 2s 10
(C)
2
10 s 1
s 2s 1
(D)
2
10 s 1
s 0,5s 1
(E) 2
10
s 0,5s 1
Resolução:
I - Verdadeiro. Quanto maior o pico, menor a razão de amortecimento.
II - Verdadeiro. Como foi dito que o sistema é de segunda ordem, então a
queda do módulo no diagrama de Bode ocorre na razão de -40dB/década.
Logo, se na frequência de 10rad/s o módulo valia 40dB, na frequência de
100rad/s (uma década depois) este valerá 0dB.
III - Falso. Para um sistema que possui pólos sobre o eixo imaginário, o valor do
pico no diagrama de Bode de módulo tente a infinito.
IV - Falso. lims→0[H(s)] = 40dB, e não 40.
Alternativa (A)
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Questão 72(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2010/1)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
14
30
180
20
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0
0
-20
-90
0,01
0,01
0,1
0,1
1
1
10
10
100
100
Módulo
[dB
]F
ase
[Gra
us]
Frequência [rad/s]
H j( )dB
40
101 100 1 10 01 2 [ ]rad/s
41
A figura acima mostra diagramas de Bode em amplitude para uma função de transferência arbitraria H(s) de 2ª ordem. Astrês curvas foram obtidas pela variação de um dado parâmetro do sistema. Sobre este diagrama, considere as seguintesafirmativas:
I - a curva que apresenta o pico máximo tem a menor razão de amortecimento;II - a amplitude de 0 dB ocorre na frequência de 100 rad/s, para todas as curvas;III - o sistema, cujo diagrama apresenta o pico máximo, tem os pólos sobre o eixo imaginário;IV - a Função de Transferência obedece ao seguinte limite:
0lim
s[H(s)] = 40, para todas as curvas.
É(São) correta(s) APENAS a(s) afirmativa(s)(A) I e II. (B) II e III. (C) III e IV. (D) I, II e III. (E) I , II e IV.
42
Considere os diagramas de Bode em Módulo e Fase, mostrados nas figuras acima. A função de transferência, cuja respos-ta em frequência mais se aproxima do diagrama, é
(A) 2
s 1
s 0,5s 1
(B) 2
s 1
s 2s 10
(C)
2
10 s 1
s 2s 1
(D)
2
10 s 1
s 0,5s 1
(E) 2
10
s 0,5s 1
Resolução:
Primeiramente analisamos o diagrama de fase. Como podemos ver, este
varia de 180 a −90, ou seja, há uma variação de ∆φ = −270. Como sabemos
que cada pólo do sistema contribui com −90 no diagrama de fase, cada zero no
semiplano esquerdo contribui com +90 e cada zero no semiplano direito (fase não
mínima) contrinui com −90, concluímos que este sistema é de terceira ordem ou é
de segunda ordem com fase não mínima. Como todas as opções são de sistemas
de segunda ordem, só nos resta concluir que o sistema é mesmo de segunda or-
dem com fase não mínima, ou seja, alternativas B ou D.
Agora voltamo-nos ao diagrama de módulo para calcular o ganho estático do sis-
tema. Quando ω → 0, o ganho do sistema tende ao ganho estático (K). Logo
20Log|K| = 20
|K| = 10
Agora, dentre as alternativas B e D, a única que possui |K| = 10 é a alternativa D.
Alternativa (D)
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Questão 73(Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - Termoaçu 2008/1)
ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR (ELETRÔNICA)8
31
Considerando os diagramas de Bode de módulo e de fase para um determinado sistema linear, a função de transferência H(s)do sistema é
32Considere o sistema linear abaixo, descrito por seu modeloem espaço de estados.
Os pólos do sistema são(A) -1 e 2,5(B) -2 e 1(C) -3 e 1,5(D) -1,5 e 3(E) -2,5 e 1
33Um circuito oscilador gera uma onda-quadrada de 10 MHz
com 50% de ciclo ativo e sem nível DC. Para obter-se uma
senóide de 30 MHz a partir deste sinal gerado e usando
apenas um filtro, é estritamente necessário que este filtro
seja um
(A) passa-altas que rejeite 10 MHz e passe 30 MHz
(B) passa-altas que rejeite 20 MHz e passe 30 MHz
(C) passa-baixas que rejeite 40 MHz e passe 30 MHz
(D) passa-banda que rejeite 20 MHz e 40 MHz e passe
30 MHz
(E) passa-banda que rejeite 10 MHz e 50 MHz e passe
30 MHz
(A)000.10s50s
)1s(000.1002
(B)
000.10s200s
)1s(000.102
(C)000.10s200s
)1s(000.102
(D)
000.10s50s
)1s(000.1002
(E)000.10s200s
)1s(000.12
Freqüência [rad/s]
Freqüência [rad/s]
Mód
ulo
(dB)
Fase
(gra
us)
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Resolução:
Primeiramente observamos o gráfico de Bode de Fase. Nele percebemos
que há uma variação de fase de −270 (−90 − 180 = −270), logo sabemos que a
função de transferência do sistema é de terceira ordem ou é de segunda ordem
com fase não-mínima (um zero no semiplano complexo direito). Como todas as
alternativas possuem sistemas de segunda ordem, sabemos então que H(s) deve
ser de fase não-mínima, o que nos deixa apenas com as alternativas (A) e (C).
Para decidir entre estas duas alternativas, analisamos o ganho estático pelo
gráfico de Bode de Módulo. O valor do ganho quando ω → 0 representa o ganho
estático do sistema, logo:
20 log |K| = 20
|K| = 10
Agora verificamos qual alternativa, (A) ou (C), possui ganho estático igual a ±10.
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Aplicando o Teorema do Valor Final fica fácil ver que a alternativa correta é a letra
(A). Conferindo:
K = lims→0
(s
100.000(s− 1)
s2 + 50s+ 10.000× 1
s
)= −10
Fazendo o mesmo para a alternativa (C) chegamos a K = −1, que não é o valor
correto.
Alternativa (A)
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Questão 74(Profissional Jr Eng. Eletrônica - Petrobras Distr. 2008)
17PROFISSIONAL JÚNIOR
FORMAÇÃO: ENGENHARIA ELETRÔNICA
62
Um Disk-driver magnético requer um motor para posicionar a cabeça de leitura do disco, cujo sistema é modelado pela
função
10G s
s s 1 onde =0,25 segundo. Considerando um compensador do tipo
K
H ss 8
e usando a
estrutura de realimentação mostrada na figura, qual o valor do ganho K no limiar para a instabilidade?
(A) 5,6 (B) 8,2 (C) 38,4 (D) 384,0 (E) 820,0
63
Analisando o Diagrama de Bode da função de transferência em malha aberta de um sistema de 3a ordem com fase mínimaapresentado acima, pode-se afirmar que a margem de(A) ganho do sistema é 75 dB, portanto, o sistema em malha fechada é estável.(B) fase é 15°, portanto, o sistema em malha fechada é instável.(C) fase é -75° e a margem de ganho é -30 dB, portanto, o sistema em malha fechada é estável.(D) fase é -75° e a margem de ganho é 30 dB, portanto, o sistema em malha fechada é instável.(E) fase é 75° e a margem de ganho é 30 dB, portanto, o sistema em malha fechada é estável.
++
-
G(s)H(s)R(s) C(s)
Diagrama de Bode
Freqüência (rad/s)
Magnitu
de
(dB
)F
ase
(gra
us)
30 dB
75
50
50
100
15090
135
180
225
270
10 2 10 1 100 101 102
0
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_Resolução:
Sabemos que uma margem de ganho e uma margem de fase positivas
representam um sistema estável em malha fechada. Também sabemos que uma
Margem de Ganho assinalada abaixo de 0db é positiva, e acima é negativa.
Uma Margem de Fase assinalada acima de -180 é positiva, e abaixo é nega-
tiva.
Com isso concluimos que tanto a margem de ganho como a margem de
fase assinaladas no diagrama de Bode apresentado são positivas(MF = +75 e
MG = +30dB), e por isso o sistema é estável em malha fechada.
Alternativa (E)
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Questão 75(Eng. Equipamentos Jr Eletrônica - Petrobras 2011)
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIORELETRÔNICA
9
28
O gráfico acima mostra a curva de módulo do diagrama
de BODE da função de transferência .
Com base nesse gráfico, o valor do ganho K é(A) 100(B) 80(C) 60(D) 50(E) 30
Considere o enunciado a seguir para responder às questões de nos 29 e 30.
O modelo de um sistema linear, discreto e causal, é repre-sentado pela seguinte função de transferência:
29As primeiras três amostras da resposta ao impulso desse sistema, g(0), g(1) e g(2), são
(A) 0, 2 e 3(B) 0, 2 e 8(C) 1, 2 e 3(D) 1, 5 e 6(E) 2, 3 e 5
30A expressão da resposta ao impulso desse sistema, válida apenas para n 0, é
(A) g(n) = (2)n (B) g(n) = 1 + (2)n (C) g(n) = (2)n + (3)n (D) g(n) = 2 − (2)n (E) g(n) = 2 (2)n−1 −1
31
O diagrama em bloco acima mostra o modelo de um sistema linear, discreto e causal, no domínio da variável complexa z. A função de transferência que relaciona a saída com a entrada é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
32Um sistema de controle discreto, com realimentação
de saída, apresenta uma estrutura de compensação
na malha direta, em série com a planta, cuja função de
transferência do compensador é .
Trata-se do tipo compensador
(A) de Avanço de Fase(B) de Atraso de Fase(C) Derivativo(D) Proporcional Integral(E) P I D
Resolução:
Sabemos que quando ω → 0 a saída do sistema tende ao valor de regime
permanente. Portanto, primeiro vamos aplicar o Teorema do Valor Final na função
de transferência do sistema para sabermos seu valor de rp:
y(∞) = lims→0
(s× K
s2 + 5s+ 6× 1
s
)y(∞) =
K
6
Agora, pelo diagrama de módulo de Bode, observamos que o valor de
regime permanente corresponde a 20dB (valor do módulo quando ω → 0), logo:
20Log
∣∣∣∣K6∣∣∣∣ = 20
Log
∣∣∣∣K6∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣K6∣∣∣∣ = 101
|K| = 60
Alternativa (C)
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