Post on 07-Feb-2018
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CONTEÚDOS
QUESTÕES
INTERDISCIPLINARES
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Razões trigonométricas
Sen a = cateto oposto hipotenusa
Cos a = cateto adjacente hipotenusa
tan a = Sen a = cateto oposto Cos a cateto adjacente
a
Cateto adjacente
Cate
to o
post
o
• Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos. Daí, temos:
• Em todo triângulo, a soma dos ângulos internos é igual a 180º. Daí, temos:
Ops, Bichão!!!
222 cba
º180
• Quando a soma das medidas de dois ângulos é 90º, eles são chamados complementares. Daí, temos:
º90
()
(= (90º - )
c
b
a
C
A B
1)º90(.
1
)º90(
1
tgtg
ou
tgtg
ou
tgtg
()
(= (90º - )
c
b
a
C
A B
)º90(
Note que:
a
cCos
a
bSen
)º90(
)º90(
a
bCos
a
cSen
)º90(
)º90(
SenCos
CosSen
Euclides de Alexandria foi um dos maiores
matemáticos da Antiguidade, que viveu por volta
do século III a.C, na Grecia.
Sua obra Os elementos tornou-se muito
famosa. Trata-se de proposições que hoje são
conhecidas como Lei dos Cossenos.
No século VII viveu um matemático hindu
Bramagupta. Na obra sobre astronomia que ele
escreveu no ano 628, dois, dos 21 capítulos, são
dedicados à matemática, em especial a Lei dos
Senos.
Na obra de Bramagupta, a Lei dos Senos,
em linguagem atual, é assim escrita:
Em um triângulo qualquer, a razão entre
a medida de um lado e o seno do ângulo
oposto a esse lado é constante.
Assim, se a, b e c são as medidas dos
lados de um triângulo ABC e Â, ^B e ^C são
ângulos respectivamente opostos a esses lados.
Daí temos:
CSen
c
BSen
b
ASen
a
ˆˆˆ
b a
c
Demonstração: Tomemos um triângulo acutângulo ABC, de altura AH, relativa ao lado BC, como mostra a figura a seguir.
B C
A
a
H
Observando o triângulo AHB, podemos escrever:
c b
B C
A
a
H
)(ˆ.ˆ IBsencAHc
AHBSen
No triângulo AHC, temos:
)(ˆ.ˆ IICsenbAHb
AHCSen
De (I) e (II), temos:
c b
B C
A
a
H
CSen
c
BSen
b
ou
CsenbBsenc
ˆˆ
ˆ.ˆ.
Traçando a altura BK, relativa
ao lado AC, obtemos os
triângulos BAK e BCK. b
)(. IIISenÂcBKc
BKÂsen
No triângulo BAK temos:
b
)(ˆ.ˆ IVCSenaBKa
BKCsen
No triângulo BCK, temos:
Daí, temos:
CSen
c
SenÂ
a
Portanto:
ˆˆ CSen
c
BSen
b
SenÂ
a
Se Ligue, Bichão!!!
Se o triângulo ABC utilizado fosse
obtusângulo ou retângulo, teríamos chegado à
mesma expressão. Então, usamos a lei dos
senos:
Quando são dados dois ângulos e o lado
oposto a um destes ângulos;
Quando são dados dois lados e um ângulo
que não seja o formado pelos lados.
01-R) Qual é a distância entre as duas
árvores?
01-RESOLUÇÃO:
º45
500
º120 SenSen
d
º45
500.º120
Sen
Send
01-RESOLUÇÃO:
: temos,2
2 45ºSen
2
2
500.2
3
d
e 2
3 120ºSen Como
metros 612,5 d
2
500 . 2,45 d
2
500.6 d
500.2
2 .
2
3 d
02-R - Os ângulos de um triângulo medem x,
2x e 3x. O menor dos lados mede 5 cm.
Quanto mede o lado maior?
RESOLUÇÃO:
a 5 cm
B A
C
º30
º18032
x
xxx
º90º30
5
Sen
a
Sen
1
2
1
5 a
101
2.
1
5 aa
Sejam a, b e c as medidas dos lados de um
triângulo não-retângulo e , e as medidas dos
ângulos respectivamente opostos aos lados.
b h
A m H
a
c B
C
Demonstração:
b h
A m H
a
c B
C
Observando a figura, temos:
No triângulo CHB:
)()( 222 Imcha
No triângulo CHB:
)(222 IImhb
Demonstração:
De (I) e (II):
)(..2
)(
222
2222
IIImccba
mcmba
Retornando ao
triângulo CHA, temos:
)(Cos . b m
seja,ou ,
IV
b
mCos
Substituindo IV em III,
temos:
Coscbcba ...2222
Observe no triângulo que
e são ângulos
suplementares, e é
obtuso. Logo, Cos = -
Cos . Daí, temos:
Coscbcba ...2222
Observe no triângulo que e são ângulos
suplementares, e é obtuso. Logo, Cos = - Cos
. Daí, temos:
Ops, Bichão!!!
Se o triângulo ABC utilizado fosse acutângulo ou
retângulo, chegaríamos às mesmas conclusões.
Usamos a lei dos cossenos:
• Quando são dados dois lados do triângulo e o
ângulo por eles formado.
• Quando são dados os três lados do triângulo.
Conhecendo dois lados de um triângulo e o
ângulo que eles formam, podemos calcular a área
desse triângulo aplicando a lei das áreas.
A área de um triângulo qualquer é igual ao
semi-produto das medidas de dois de seus lados
pelo seno do ângulo formado por eles.
Note que:
Sejam a, b e c as medidas dos lados de um
triângulo ABC, e Â, e os ângulos
respectivamente opostos a esses lados. A área S
desse triângulo é dada por:
CSenbaS ˆ...2
1 BSencaÂSencb ˆ...
2
1...
2
1
Demonstração:
Considere o triângulo obtusângulo ABC da
figura, cuja área é dada por:
B C
Pelo triângulo ACD, temos:
b
hÂSen )º180(
Como Sen (180º - Â) = Sen Â, podemos escrever:
ÂSenbhb
hÂSen .
b h
D
C
A B
a
Â
c
180º - Â
Substituindo o valor de h em (I), obtemos:
ÂSencbS ..2
1
h
D
C
A B
a
Â
c
180º - Â
1. Introdução
Equivalência: rd = 180o
A
B Arco AB
O
Ângulo central
Dois pontos quaisquer de uma circunferência, divide essa circunferência em duas partes, cada uma delas chama-se arco de circunferência.
Todo ângulo que tem o vértice coincidente com o centro de uma circunferência é denominado ângulo central.
A cada arco de circunferência corresponde um ângulo central.
Ops, Bichão!!!
A medida do ângulo central é igual à medida do arco correspondente.
A
B Arco AB
O
Ângulo central
As unidades mais usadas para medir arcos e ângulos são o grau e o radiano.
Ops, Bichão!!!
O grau (º) corresponde 1/360º da circunferência na qual está o arco a ser medido.
Submúltiplos do grau:
• O minuto (´); 1º = 60´
• O segundo (´´) 1´ = 60´´
raiodomedida
ABarcodoocomprimentABmed )(
radr
2
: temosr, raio do medida e
AB arco do ocompriment , (AB) med
:que Note
etc. 2,3
a igual é medida essa que se-subtende
etc, ,2 igual ,3 a igual é arco um de
medida a que escreve se quando Assim,
radianos. em expressas medidas
nas rad do omissão a comum muito É
raio. do valor do teindependen
rad,2 mede inteira voltade arco O
!!Bichão! ligue, Se
radrad
versa.- vicee radianos para
graus, em dada arco, um de medida ar transforma
podemos simples, trêsde regra uma o Utilizand
. a
emcorrespond 180º:quedizer podemos então,ou
,2ou 360º mede nciacircunferê Uma
!!Bichão! Ops,
rad
rad
01. (UFRN-2010) - Dois garotos
estavam conversando ao lado de uma
piscina, nas posições A e B, como
ilustra a figura ao lado. O garoto que
estava na posição A observou que o
ângulo CÂB era de 90º e que as
distâncias BD e AD eram de 1m e 2m,
respectivamente. Sabendo que o
garoto da posição B gostava de
estudar geometria, o da posição A
desafiou-o a dizer qual era a largura da
piscina. A resposta, correta, do garoto
da posição B deveria ser:
A)4 m B) 5 m C) 3 m D) 2 m
02. (UFSCar-2007) - Os satélites de comunicação são
posicionados em sincronismo com a Terra, o que
significa dizer que cada satélite fica sempre sobre o
mesmo ponto da superfície da Terra. Considere um
satélite cujo raio da órbita seja igual a 7 vezes o raio da
Terra. Na figura, P e Q representam duas cidades na
Terra, separadas pela maior distância possível em que
um sinal pode ser enviado e recebido, em linha reta,A
por esse satélite.
Se r é a medida do raio da Terra, para ir de P até Q, passando pelo satélite, o sinal percorrerá, em linha reta, a distância de:
36A) r
37B) r
38C) r
311D) r
03. (UNICAMP-2011) - Quando um carro não se move di
retamente na direção do radar, é preciso fazer uma
correção da velocidade medida pelo aparelho (Vm) para
obter a velocidade real do veículo (Vr). Essa correção
pode ser calculada a partir da fórmula Vm = Vr . cos (α) ,
em que α é o ângulo formado entre a direção de tráfego
da rua e o segmento de reta que liga o radar ao ponto da
via que ele mira. Suponha que o radar tenha sido
instalado a uma distância de 50 m do centro da faixa na
qual o carro trafegava, e tenha detectado a velocidade do
carro quando este estava a 130 m de distância, como
mostra a figura abaixo.
Se o radar detectou que o
carro trafegava a 72 km/h,
sua velocidade real era igual
a
A) 66,5 km/h.
B) 78 km/h.
C) 36 3 km/h.
D) 144 / 3 km/h.
04. (UFRN-2009) - Para medir a altura de uma
árvore, da qual não podia aproximar-se, um
ambientalista colocou, a certa distância dessa
árvore, um cavalete de 1 m de altura e observou
seu ponto mais alto, segundo um ângulo de 300.
Aproximando-se mais 10 m, observou o mesmo
ponto segundo um ângulo de 450, conforme a
figura abaixo.
Com esse procedimento, o ambientalista obteve
como resultado que a altura da árvore era de:
A) 5 3 +15
B) 5 3 + 5
C) 5 3 + 6
D) 5 3 + 16
05. (UFRN-2006) - Na figura abaixo, o triângulo
BCD é eqüilátero e AB = BC. Sabendo-se que o
comprimento da viga AE é igual a 10 m, pode-se
afirmar que a altura h da extremidade E mede:
06. (UFRN-2008) - A casa central de uma fazenda
situa-se a 9 km, contados ao longo de um caminho
perpendicular à estrada reta que limita a fazenda.
Na beira da estrada e a uma distância de 15 km
da casa central, o fazendeiro construiu uma casa
para seu filho. O fazendeiro agora quer construir,
na beira da mesma estrada, um escritório que
fique igualmente distanciado da casa do filho e da
casa central.
A distância comum deverá ser:
A) entre 8 e 9 km
B) entre 11 e 12 km
C) entre 12 e 13 km
D) entre 9 e 10 km
06. (UFRN-2006) - O relógio ao
lado está marcando 2h30min.
Passadas duas horas e quinze
minutos, a medida do menor
ângulo formado pelos ponteiros
do relógio será:
A) 127,5º
B) 105º
C) 112,5º
D) 120º
07. (UFSM-2006) – No último pleito, o horário de
encerramento das votações, segundo determinação
do TSE para todo o Estado do Rio Grande do Sul,
foi às 17 horas. Passados 5 minutos do
encerramento, o menor ângulo entre os ponteiros
do relógio era de:
A) 123º
B) 122º30’
C) 122º
D) 120º30’
09. (UFVC-2010) - Quantos graus têm o arco
descrito pelos ponteiros de um relógio, quando eles se encontram pela primeira vez após as 14 horas? A) 5º 27’ B) 5º 37’ C) 5º 40’ D) 5º 45’
10. (UFVC-2009) – Determine a medida do arco
descrito pelos ponteiros de um relógio, quando eles se
encontram pela primeira vez após as 17 horas?
A) 13º 38’ para o ponteiro menor e 163º38’ para o
ponteiro menor.
B) 23º 28’ para o ponteiro menor e 263º38’ para o
ponteiro menor.
C) 43º 38’ para o ponteiro menor e 263º38’ para o
ponteiro menor.
D) 53º 38’ para o ponteiro menor e 163º38’ para o
ponteiro menor.
11. (UFVC-2009) - O Sr. Trigonométrico um dos
maiores professores da historiografia da literatura
Matemática, nas suas horas vagas costuma
passar o seu tempo em um salão de beleza. Certo
dia ao embelezar-se em sua casa de frente ao
espelho plano S, vertical e de costas para uma
planta com altura igual a 6,0 m, quis medir o
comprimento do espelho para que possa ver a
imagem completa da planta. Qual deve ser o
mínimo comprimento desse espelho? Observe a
ilustração abaixo.
6,0 m 3,0 m
12. (UNISSINOS-2006) - O esquema abaixo
representa uma casa em construção, com um
telhado de 20º de “caimento”. Sabendo-se que o
telhado mede 6 m em cada lado e que, até a laje
do teto, a casa tem 3 m de altura, o ponto mais
alto da casa se encontra a uma altura de: (sen 20º
0,34; cos 20º 0,94; tg 20º 0,36)
a) 9 m
b) 8,6 m
c) 7,64 m
d) 5,04 m
OBS: AS QUESTÕES FORAM EXTRAÍDAS DOS SEGUINTES SITES: www.fuvest.br link: provas www.comperve.ufrn.br link:provas www.ufscar.br www.unicamp.br