Post on 19-Jul-2016
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.1
Escola Politécnica Universidade de São Paulo
Curso de Circuitos Elétricos Volume 1 – Capítulo 1
Conceitos Básicos, Bipolos e Quadripolos
L. Q. Orsini e D. Consonni
Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
CURSO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
Volume 1
1. Conceitos Básicos, Bipolos e Quadripolos
2. Associações de Bipolos e Leis de Kirchhoff
3. A Análise Nodal e suas Variantes; Análise de Malhas
4. Redução de Redes e Aplicações Tecnológicas
de Redes Resistivas
5. Estudo de Redes de Primeira Ordem
6. Estudo de Redes de Segunda Ordem
7. Introdução à Transformação de Laplace
8. Transformação de Laplace e Funções de Rede
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
ENGENHARIA INFORMAÇÃO
ELÉTRICA ENERGIA
A Engenharia Elétrica visa essencialmente prover
materiais, dispositivos
RECURSOS processos físicos e
químicos
MÉTODOS análise e síntese
para promover:
• Produção
• Transmissão
• Distribuição
• Armazenagem
• Transformação
• Processamento
de ENERGIA e INFORMAÇÃO
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Engenharia Elétrica
Aplicações práticas de fenômenos
eletromagnéticos
Eletromagnetismo
- Oersted 1820
- Gauss / Ampère ~ 1825
- Faraday - Henry 1831
- Siemens ~ 1850
- Maxwell 1864
- Hertz 1888
- Landell de Moura 1894
- Marconi 1901
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
tensões e
correntes campos dentro de condutores
interação de campos
Teoria Eletromagnética
Restrições
Leis de Kirchhoff
Teoria das Redes Elétricas
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Eletromag x Circuitos Teoria Clássica de Eletromagnetismo
Equações de Maxwell
Leis que relacionam campos elétricos e magnéticos
grandezas vetoriais
Métodos de solução complicados aproximações
Teoria Clássica de Circuitos
Leis de Kirchhoff
Relações entre tensões e correntes em elementos simples ideais: R L C
grandezas escalares
Métodos de solução bem estabelecidos
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
E x e m p l o s
a) Rede de distribuição de energia Elétrica: 60 Hz
5a harmônica: 300 Hz
λ = = =c
f
3.10
30010 metros
86
Sistema contido em um raio de 10 km
Vale a Teoria dos Circuitos
b) Receptor FM: 100 MHz
λ = =3.10
103 metros
8
8
λ/4 = 0,75 m Dimensões do circuito << 75 cm
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
TABELA DE UNIDADES
SISTEMAS CONSISTENTES
GRANDEZA S.I. A.F. R.F. U.H.F.
Tensão V V V V
Corrente A mA mA mA
Resistência Ω kΩ kΩ kΩ
Condutância S mS mS mS
Capacitância F µF nF pF
Indutância H H mH µH
Tempo s ms µs ns
Freq. angular rad/s krad/s Mrad/s Grad/s
Frequência Hz kHz MHz GHz
T Tera 1012
G Giga 109
M Mega 106
k Quilo 103
m Mili 10-3
µµµµ Micro 10-6
n Nano 10-9
p Pico 10-12
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
SISTEMAS DE UNIDADES CONSISTENTES
GRANDEZA S.I. ÁUDIO FREQ.
RÁDIO FREQ.
Tempo seg mseg µseg
Frequência Hz kHz MHz
Tensão V V V
Corrente A mA mA
Resistência Ω kΩ kΩ
Condutância S mS mS
Capacitância F µF nF
Indutância H H mH
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
MODELAMENTO
Lanterna:
Modelo :
chave
lâmpada
mola
pilhas
capa
R1 Rc
Rllll 3V
Rllll
3V
R1
Rc
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
MODELOSS
TEORIAS
INTERPRETAÇÃO DOS
FENÔMENOS
SÍNTESE PROJETO
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
CIRCUITOS ELÉTRICOS I :
CONCEITOS BÁSICOS: • CARGA ELÉTRICA q (t) :
Múltiplo inteiro de 1,602 . 10-19 coulombs
• CORRENTE ELÉTRICA ATRAVÉS DE UMA SUPERFÍCIE:
- VALOR MÉDIO:
i =
q(t)
t (AMPÈRES)m
∆∆
- VALOR INSTANTÂNEO:
i(t) =
dq(t)
dt ( AMPÈRES )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Carga elétrica
• Conservativa • Quantizada 1,6 . 10-19 C
• Bipolar Atração e Repulsão
• Móvel ou Fixa
• Materiais: CondutoresSemi condutoresIsolantes
−R
S||
T||
Corrente Elétrica ( física ) • Condução lâmpada incandescente • Convecção íons em eletrólitos → luz néon • Difusão semicondutores • Deslocamento dielétricos
i(t) = dq/dt
q t i d q t0t
t
0
b g b g b g= +z τ τ
+
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
CORRENTE ELÉTRICA
Q1 Q2
Sentido de Referência
Q3 Q4
i
Q
t
Q Q Q Q
tm1 2 3 4= = + − + −∆
∆ ∆
+
+
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Contínua CC DC
Ex.: senoidal - Periódica, média nula num período
Alternativa CA AC
Ex.: exponencial
Não-periódica
Ex.: triangular Pulsada
i
t
i
t
i
t
i
t
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
A i
Amperímetro Ideal
curto-circuito
– 3 A 3 A
A A
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
CONCEITO DE TENSÃO ELÉTRICA ( ddp )
a) Circuito elétrico
b) Analogia mecânica
i
B i εεεε R
i
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
d w(t) = v(t) dq(t) d w(t) →→→→ energia ( trabalho ) necessária para separar cargas positivas de cargas negativas ( J ) dq(t) →→→→ quantidade de carga a ser separada ( C ) v(t) →→→→ tensão elétrica ( V )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Tensão Elétrica
Q
Q
E
Q Q
d v = 0 v = Ed
Polaridade de referência
Ele- mento v V
v = Ed v = Ed Q Q
Q Q
Referência de Potencial B
A A
vA vAB = vA - vB
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
FONTES DE TENSÃO
• Ação Química Baterias, Pilhas
• Magnetismo Geradores
• Luz → Fotoeletricidade Célula Solar
• Calor → Termo-eletricidade Par termoelétrico
• Pressão Mecânica → Piezoeletricidade Cristal piezoelétrico
• Fricção
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Volta apresenta a Napoleão e a cientistas franceses sua grande invenção (1799)
A pilha inventada por Alessandro Volta
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
PILHA VOLTAICA
água sulfato de cobre
íons de cobre íons de zinco
corrente de elétrons
Cobre Zinco
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Pilha Seca Alcalina
Células Primárias
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
BIPOLOS ELÉTRICOS
- SÍMBOLOS :
- PROPRIEDADES:
i t i' t , t
v t v t v t , tA B
b g b g
b g b g b g
= ∀
= − ∀
RS|
T|
i A
v
i’
B
i A
v
i’
B
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
i J x dSS
= z r r
v E x db
a= z r r
l
i
dqdt
=
vdwdq
= ( CAMPO POTENCIAL )
AMPERÍMETRO VOLTÍMETRO
i
v
a
b
i i A
V
v
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
I M P O R T A N T E :
AS FLECHAS DE REFERÊNCIA
DE TENSÃO E DE CORRENTE
SÃO -
- REGRAS PARA LIGAR
VOLTÍMETROS E AMPERÍ-
METROS AO CIRCUITO !
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Potência instantânea : p(t) = ( W ) Mas : d w(t) = v(t) . d q(t) e d q(t) = i(t) . dt
p(t) = v(t) . i(t)
d w(t) dt
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
v(t)dw(t)
dq(t)=
- É MEDIDA PELOS VOLTÍMETROS
- POTÊNCIA INSTANTÂNEA:
p(t) = v(t) . i(t) ( WATTS )
- PARA SABER SE A POTÊNCIA
ESTÁ SENDO RECEBIDA OU
FORNECIDA É PRECISO FIXAR
CONVENÇÕES !
( VOLTS )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
CONVENÇÕES
Gerador
Receptor
i A
V v
i
V
i
v
A
V v
i
A
V v
A
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
SENTIDOS DE REFERÊNCIA NOS BIPOLOS
Convenção do Receptor (SPICE)
Convenção do Gerador
i
v
i
v V
A
V
A
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
- CONVENÇÃO DO GERADOR:
v.i > 0 BIPOLO FORNECE
POTÊNCIA
- CONVENÇÃO DO RECEPTOR:
v.i > 0 BIPOLO RECEBE
POTÊNCIA
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
P
1t t
. p t .dt2 1
t
t
1
2=− z b g
CONVENÇÃO DE NOTAÇÃO:
- LETRAS MINÚSCULAS PARA FUNÇÕES DO TEMPO.
- LETRAS MAIÚSCULAS PARA GRANDEZAS INDEPENDENTES DO TEMPO.
- CASO DE v E i PERIÓDICOS COM PERÍODO T :
P
1T
v t . i t . dtT
= z b g b g
( WATTS )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
w t, t p .d0 t
t
0
a f a f= =z τ τ
= z v . i . d
t
t
0
τ τ τb g b g
UNIDADE PRÁTICA DE ENERGIA:
- QUILOWATT – HORA ( kWh )
1 kWh = 3,6 . 106 J
- MEDIDOR DE ENERGIA: CALCULA
p . d
t
t
0
τ τb gz
( JOULES )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
ALGUNS VALORES NUMÉRICOS
CARGA ELÉTRICA
• Carga em uma célula DRAM (quando o bit 1 é
armazenado) 50 fcoulomb
• Carga em um capacitor de potência 5 mcoulomb
• Carga em um raio 3000 coulomb
CORRENTE ELÉTRICA • Corrente de fuga em transistores de CIs fA
• Corrente de sinais em transistores de CIs µA-mA
• Limite de corrente suportada pelo corpo humano
~10mA
• Correntes de alimentação em CIs 100mA-10A
• LED 10mA-100mA
• Lâmpadas e eletrodomésticos pequenos 1A-10A
• Limite de Corrente residencial 20A
• Rede de distribuição residencial 100A
• Rede de distribuição comercial ou industrial 1000A
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
ALGUNS VALORES NUMÉRICOS
TENSÃO ELÉTRICA
• Sinal em uma antena 1µV
• Sinal em um microfone (fonte não-ruidosa) 1µV
• Sinal de áudio (CD player) 100mV
• Tensão de alimentação de um CI 1,8V a 12V
• Bateria de carro 12V
• Rede de distribuição residencial 10kV
• Monitor a cores 10kV
• Sistema de transmissão de potência 100kV
POTÊNCIA • Sinal em um microfone (fonte não-ruidosa) pW
• CIs µW a vários W
• Lâmpada residencial 100W
• Aquecedor elétrico 1kW
• Máximo consumo residencial 25kW
• Sistema de som em show de rock 50kW
• Central transmissora de rádio 100kW
• Sistema de iluminação de show de rock 250kW
• Usina de geração de energia elétrica 1GW
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
PASSIVOS
RESISTORES
CAPACITORES
INDUTORES
ATIVOSGERADORES DE TENSÃO
GERADORES DE CORRENTE
RS|T|
RST
R
S
||||
T
||||
CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RELAÇÃO CORRENTE-TENSÃO:
−−RST
LINEARES
NÃO LINEARES
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
v = r ( i ) i = g ( v )
1 – Linear Fixo Ideal v = R i R ΩΩΩΩ i = G v G S
p vi Ri GvvR
iG
2 22 2
= = = = =
2 – Linear Variável v ( t ) = R ( t ) i ( t ) reostato controle de corrente potenciômetro controle de tensão
3 – Não-linear
i
R v
B A
B
A
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
George Simon Ohm
• Alemão (Erlangen, 1789; Colônia, 1854)
• Físico e Matemático • Professor de Física, Univ.
de Colônia • 1827 Lei de Ohm
(empírica) 22 anos para ser reconhecida
• Pesquisas nas áreas de física molecular, acústica e comunicação telegráfica
Aparato Experimental usado por Ohm
RA
= ρ.l
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
v = r ( i ) i = g ( v ) Controlado por Controlado por corrente tensão
Ex: Diodo ideal Diodo real: i = g(v) = Is ( e
λλλλv – 1 )
i
v
i
v
v
i i
v
curto
aberto
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
1 – Carvão
Valor Potência máxima 1/8 1/4 1/2 1 2 watts
Tolerância 10 % 5 % 1% 0,5 % 0,1 %
ImaxPmax
R=
Tensão Frequência Resistência varia com Umidade Temperatura
2 – Fio Potências mais elevadas
Modelo:
3 – Filme Metálico: Circuitos integrados
Corrente máxima:
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
q ( t ) = C ( v )
1- Linear , Fixo →→→→ Ideal
q = C v
2 - Linear , Variável q ( t) = C ( t ) v ( t )
3 - Não – linear Ex.: q(t) = C ( v ) . v(t)
i
C v i Cdvd t
=
v1C
id t v t 0t
t
0
= +z b gp
12
Cd vd t
2
=
W12
C v v t12
qC
2 20
2
= − =b gd i
i (t) C tdv(t)
d tv (t)
d C t
d t= +( )
( )
0
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Garrafa de Leyden
Universidade de Leyden ( Holanda )
1746
A ↑↑↑↑ d ↓↓↓↓ C ↑↑↑↑ C
Ad
= εεεε
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Valores: µµµµF →→→→ pF
Especificações: Ex.: 100 nF / 500V Tipos: de acordo com o dielétrico •••• cerâmica •••• mylar •••• poliestireno •••• eletrolítico •••• tântalo
Modelo:
tensão de ruptura do dielétrico
C G
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
v1C
id t v 0= +z v1C
id t v 0= −z
v1C
idt v 0= − +z v1C
idt v 0= − −z
i(t)
v(t) v0
i Cdvd t
=
i(t)
v(t) v0
i Cdvd t
= −
i(t)
v(t) v0
i(t)
v(t) v0
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
ψψψψ = L ( i )
1 – Linear , Fixo →→→→ Ideal
vddt
Ld id t
= =ψ
i1L
v d t i t 0t
t
0
= +z b g
p12
Ld id t
2
=
w12
Li12
L i202= −
2 – Linear, Variável ψψψψ = L ( t ) i ( t )
v L tdi(t)dt
i(t)dL(t)
dt= +b g
3 – Não-linear Ex.:
i
v L
ψψψψ = L . i
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Solenóide com espiras bem afastadas, mostrando
as linhas de indução magnética e a sua
concentração no interior da bobina.
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
iL
v dt i 0= +z1 i L
v dt i 0= −z1
i(t)
v(t) i0
i(t)
v(t) i0
v Ldidt
=
i(t)
v(t) i0
i(t)
v(t) i0
v Ldidt
= −
iL
v dt i 0= − +z1
iL
vdt i 0= − −z1
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Tensão Corrente Resistência Condutância Indutância Capacitância Carga elétrica Fluxo magnético Aberto Curto
Carga elétrica Fluxo magnético
Indutância Capacitânciaa
Tensão Corrente
Resistência Condutância
Aberto Curto
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
RESISTOR CAPACITOR INDUTOR
p = R i2
G v2
v2/ R i2/ G
i
L v
i
C v
i
v R G
q = C v ψψψψ = L i
v = Ri v1C
idt v0= +z v Ldidt
=
i = Gv i Cdvdt
= i1L
vdt i0= +z
p Cdvdt
2
= 1
2 p Ldidt
2
= 1
2
w Cv2= 1
2 w Li 2= 1
2
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
p = v i = v2
G
R ( G )
v
i
v(t)
1
-1 t
G
p(t)
t
> 0
w(t)
t
w p dt
t
0
= z λλλλ λλλλb g
i(t)
G
-G t
i = G v
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
i
C v
i Cdvdt
= i(t)
C
-C t1 2 1 0 2
1
t
v(t)
v t1C
i d v t 0t
t
0
b g b g b g= +z λλλλ λλλλ
p(t)
C
-C t1 2
recebe
> 0 < 0
dá
p = v i
1 0 2
C/2
t
w(t)
w12
Cv2=
v(t0) = 0 t0 = 0
W > 0 passivo (convenção receptor)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Gerador Real:
E
ic
E RC
( carga )
Rg
vc
vc
ic
E ideal
real
vc
Rc
E ideal real
es(t)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
FONTES DE ALIMENTAÇÃO AC/DC
Tensão AC Retificação e Filtragem
Tensão DC
a) Terminais disponíveis
b) Tensão positiva em relação ao terra
c) Tensão negativa em relação ao terra
d) Tensão flutuante
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Gerador Real
ic
vc
I ideal
real
ic
Rc
I ideal
real
is(t) is(t) I
ic
I RC
( carga ) Rg vc
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
µµµµ - ganho de tensão rm - transresistência Geradores de Tensão gm - transcondutância ββββ - ganho de corrente
Geradores de Corrente
vc rm ic ic
vc ic ββββ ic gm vc
µµµµvc
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Aplicação dos geradores vinculados
Transistor Bipolar
Símbolo
C - Coletor
E - Emissor
B - Base
Estrutura Física
Modelo em circuitos
rππππ ββββib
ib
ic
E
B
E
C ic = ββββ ib
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
H ( t ) = u-1 ( t ) = 1111( t ) =
H(t)
t
1
0 para t 0
1 para t 0
<
≥RST
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Pulso retangular de duração ττττ f(t) = E [ H(t) – H ( t – ττττ ) ] Pulso senoidal
f(t) E sin2T
. t . H t H tT2m= F
HGIKJ − −
FHGIKJ
LNM
OQP
ππππ b g
E
ττττ 0 t
f(t)
Em
T/2 0 t
f(t)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Função co-senoidal
v
t
v t 115 2cos377t H tb g d i b g=
Função rampa
f (t) = t [ H(t) – H( t – T ) ]
Pulso de radar v(t) = V [ H(t – t0) –
-H(t – t0 – ∆∆∆∆)] sen ωωωω(t-t 0)
Onda quadrada
f t H sent
TH sen
tT
b g = FHGIKJ
FHG
IKJ − − F
HGIKJ
FHG
IKJ
ππππ ππππ
t
E
T
t t0 t0 +∆∆∆∆
+v
–v
1
T 2T -1
t
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
1/ττττ1
Função de Dirac:
A função de Dirac é, de fato, uma função generalizada .
1
ττττi ττττ2 τ1
f i(t)
t
f t
0 para t 0
t0 t
1 para t
ii
i
i
b g =
≤
< ≤
>
RS||
T||
ττττττττ
ττττ
f t
0 para t 0
10 t
0 para t
i'
ii
i
b g =
≤
< ≤
>
RS||
T||
ττττττττ
ττττ
1/ττττi
ττττi ττττ2 τ1
f i’(t)
t
1/ττττ2
δδδδ(t) = lim f i’(t) τi→0
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
PROPRIEDADES DA FUNÇÃO IMPULSIVA
• δ(t) = 0, ∀ t ≠ 0 • δ(t-t 0) = 0, ∀ t ≠ t0
Representações gráficas da função impulsiva:
δ(t) ∞ δ(t-t 0) ∞
0 t 0 t0 t
• δ τ τ( )dt
t= ∀ >
−z 1 01
, t, t 1
• )t(dt
)t(dHδ=
• f t T t dt f T( ). ( ) ( )− =−∞
∞z δ (para f (.) contínua em T)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
f ’ 1
t
( E )
t2 t1
(–E )
E/ττττ f ’ 2
t
(–E )
ττττ
f3 E
1 2 t 3
–E
f ’ 3
t
( 2E )
1 3
(–2E )
2
( 2E )
(–2E )
f ’ 4
3T 2T t
( E )
T
( E ) ( E ) . . .
f1 E
t1 t2 t
E
ττττ t
f2
f4
E
T 2T t 3T
2E 3E
. . .
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
eg(t) = E e
s t E, s reais
s = – σσσσ E > 0, σ > 0
eg(t) = E e – σσσσ t = E e – t/ττττ
σσσσ →→→→ freqüência neperiana ( Np/s )
Para t = ττττ →→→→ eg = E/e
eg
t
E
ττττ 2ττττ 3ττττ
37 % 13,5 %
5 %
ττττσσσσ
= 1 →→→→ constante de tempo ( s )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
EXCITAÇÃO CO-SENOIDAL
• Derivada e Integral → Senóides
Circuito em Regime Permanente Senoidal
• Dispositivos Reais →
geram excitação senoidal
• Soma de senóides de mesma freqüência =
senóide
• Análise de Fourier → ∀ função periódica =
=soma de senóides harmônicas, da forma
fk(t) =A km cos (k ωωωω0t + θθθθk ) (k = 0, 1, 2, …)
Akm = amplitude ou valor máximo ou valor de pico (real e > 0) da k-ésima harmônica ωωωω0 = freqüência angular fundamental (real, rd/s) θθθθk = defasagem (real, o ou rd) fk = freqüência da k-ésima harmônica (real , Hz ou ciclos/s) T = período (real, s) = 1 / f 0 , ωωωω0 = 2ππππ / T
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Retangular ou Cartesiana
Fórmula de Euler : e
j φφφφ = cos φφφφ + j sin φφφφ
Séries de Mac Laurin:
sinx xx3!
x5!
x7!
. . . . . .3 5 7
= − + − +
cosx 1x2!
x4!
x6!
. . . . . .2 4 6
= − + − +
e cosx jsinx 1 jxjx
2!
jx
3!. . . .jx
2 3
= + = + + + +b g b g
j y
j b z
a x φφφφ
z
z = a + j b
z = z e j φφφφ = z φφφφ
Polar
z = z cos φφφφ + j z sin φφφφ = z (cosφφφφ + jsinφφφφ) = = z e j φφφφ
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
e jθθθθ = cosθθθθ + j senθθθθ
Seja B = cosθθθθ + j senθθθθ ou
Integrando : lnB = j θθθθ + C ←←←← constante
Para θθθθ = 0 →→→→ B = 1 →→→→ lnB = 0 ⇒⇒⇒⇒ C = 0 ⇒⇒⇒⇒ B = e jθθθθ
⇒⇒⇒⇒ e j θθθθ = cosθθθθ + j senθθθθ
dBd
sen j cos
j cos + j sen
θθθθθθθθ
==== θθθθ θθθθ
= − +θ
b g
dBd
j Bθθθθ
=
dBB
j d= θθθθ
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Fórmulas de Euler :
e jφφφφ = cos φφφφ + j sen φφφφ
e – jφφφφ = cos φφφφ – j sen φφφφ Forma Cartesiana: z = a + jb
Forma Polar : z = z e j φφφφ
a z cos
b z sen
=
=
RS|T|
φφφφ
φφφφ
z a b
arctg b a
2 2= +=
RS|T| φφφφ
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
1 – Soma e Subtração →→→→ Forma Retangular ou Cartesiana
z1 = a1 + j b1 z2 = a2 + j b2
z1 ±±±± z2 = ( a1 ±±±± a2 ) + j ( b1 ±±±± b2 ) 2 – Multiplicação e Divisão →→→→ Forma Polar z c e1 1
j 1= φφφφ z c e2 2j 2= φφφφ
z z c c e1 2 1 2j 1 2= +( )φφφφ φφφφ
j y
x
z1 + z2 z2
z1
z zcc
e1 21
2
j 1 2= −( )φφφφ φφφφ
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Propriedades :
z = a + j b = z e jφφφφ
z* = a – j b = z e – jφφφφ
z + z* = 2 a = 2 Re ( z )
e jφφφφ = 1
e ±±±± j ππππ = 1 ±±±± ππππ = – 1
e ±±±± j ππππ/2 = 1 ±±±± ππππ/2 = ±±±± j 1
Fórmulas de Moivre :
cos t
12
e ej t j tωωωω ωωωω ωωωω= + −d i sen t
12 j
e ej t j tωωωω ωωωω ωωωω= − −d i
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Coordenadas Retangulares: a, b Coordenadas Polares: r, Φ
Im
Re
z jb
r
a
Φ
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Conjugados
Im
Re
z jb
r
a
Φ
-jb
r
-Φ
z*
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Círculo Unitário
-1= e -j180 = e j180 1 = e j0
Im
Re
ejΦ senΦ
1
cosΦ
Φ
-j = e -j90
j = e j90
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
e –jΦ
Círculo Unitário
1 = e j0 -1= e j180
Im
Re
ejΦ senΦ
1
cosΦ
Φ
-j = e -j90
j = e j90
-cosΦ
sen(-Φ)
1
Φ
Φ
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
Am cos ( ωωωωt + θθθθ ) =
12
A e A e
R e A e
mj t
m* j t
mj t
$ $
$
ωωωω ωωωω
ωωωω
+RS|
T|
−d i
Valor instantâneo do sinal →→→→
Domínio do tempo →→→→
s(t) = Am cos ( ωωωωt + θθθθ ) Fasor associado a sinal senoidal:
$S A e Am
jm= =θθθθ θθθθ
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
CO-SENÓIDES E FASORES
Função co-senoidal no domínio do tempo: y t Y t Ym m( ) cos( ) ,= + > >ω θ ω 0 0
Fasor que a representa:
• Exprimir a função como parte real do complexo:
ℜ = ℜ+e Y e e Y e emj t
mj j t[ ] [ . ]( )ω θ θ ω
• O fasor representativo dessa função será definido por:
$ $ , arg $Y Y e Y Y Ymj
m= = =θ θ
• Notação de Kennely : $Y Ym= ∠θ
ângulo θ pode ser fornecido em graus ou radianos
freqüência ω deve ser dada à parte
o módulo e o ângulo do fasor são, respectivamente, a
amplitude e fase da função co-senoidal
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
CO-SENÓIDES E FASORES
Função co-senoidal representada por fasor: Dados um fasor e sua freqüência, determinar a
correspondente função do tempo :
• Escrever o fasor na forma exponencial:
$Y Y emj= θ
• Adicionar a informação de freqüência :
$ ( )Y e Y ej t
mj tω ω θ= +
• Tomar a parte real desta expressão:
y t e Y e Y tmj t
m( ) [ ] cos( )( )= ℜ = ++ω θ ω θ
O módulo e o ângulo do fasor são,
respectivamente, a amplitude e a defasagem da
função y(t)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
R
i
v
$ $V RI=
C
i
v
v L
i
i v
t
$ $V1
j CI=
ωωωω
i
v
t
$ $V j LI= ωωωω
i
v
t
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
DIAGRAMAS FASORIAIS NOS ELEMENTOS BÁSICOS DE
CIRCUITOS Resistências - corrente e tensão em fase i V R v V = R I I
Indutâncias - corrente atrasada de π / 2 i V L v I V = j ω L I
Capacitâncias - corrente adiantada de π / 2 i I V = -j I /(ω C) C v V
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
I = GV Resistor V = RI
Capacitor I = j ωωωωCV V = – j 1 ωωωωC
I
I = – j 1 ωωωωL
V Indutor V = jωωωωLI
Impedância: Z = V / I Admitância: Y = I / V
Resistor Z = R Y = G
Capacitor Z = 1 jωωωωC
Y = jωωωωC
Indutor Y = 1 jωωωωL
V – I
Z = jωωωωL
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
f(t) = Amsin(ωωωωt + φφφφ) = Amcos (ωωωωt + φφφφ – 90o)
sin a = cos ( a – 90o ) * sin a = cos ( 90o – a ) a = ωωωωt + φφφφ
Co-senóide + DC →→→→
Valor Médio
vAB
t
VAB
t Componente Contínua DC
V1T
v dtAB AB0
T
= z
vab
t Componente incremental AC ( alternativa )
+
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1
– Amp Op µµµµ →→→→ ganho de tensão
– Trafo ideal
– Girador ideal
v1 v2
i1 i2
-µµµµv1
v v
i2 1
1
= −=
RSTµµµµ
0
i1
v1
i2
v2
n1 : n2 v
nn
v
inn
i
22
11
21
21
=
= −
RS||
T||
n1 / n2 = relação de transformação
v1 v2
i2 i1 k v k i
v k i1 2
2 1
== −
RST
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
Escola Politécnica Universidade de São Paulo
Curso de Circuitos Elétricos Volume 1 – Capítulo 2
Associações de Bipolos e Leis de Kirchhoff
L. Q. Orsini e D. Consonni
Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
B6 B1 B2
B3 B4
B5
1
2 3
4
1
B1 B2
B3
B4
B5
B6
2
3
4
B6 B1 B2
B3 B4
B5
1
2 3
4
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
Problema da Ponte de Königsberg (1736)
Topologia
Leonard Euler (1707-1783)
Matemático suíço, produziu cerca de 900 monografias em matemática, música, astronomia, mecânica, ótica, etc...Viveu muito tempo em São Petesburgo (Rússia), protegido pela czarina Catarina, a Grande. Perdeu um olho, e sofreu de cegueira crescente.
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
GRAFOS
Número de nós = nt = 4 Número de Ramos = r = 6 Ramos de árvore = 3 Ramos de ligação = 3 Número de árvores =
nt (nt-2) = 16
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
DEFINIÇÕES DE SUB-GRAFO
• ÁRVORE (de grafo conexo) : sub-grafo
conexo que contém todos os nós + conjunto
de ramos suficiente para interligar os nós ⇒
nenhum percurso fechado.
• LAÇO : qualquer sub-grafo conexo tal que 2
e apenas 2 ramos incidem em cada nó; 2
nós pertencem a cada ramo ⇒ trajetória
fechada.
• CORTE (ou conjunto de corte) (de grafo
conexo) : conjunto de ramos tal que se
todos são removidos, o grafo fica dividido
em 2 partes; se todos são removidos menos
1, o grafo se mantém conexo.
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
TEOREMA BÁSICO DAS ÁRVORES
Grafo Conexo com n t nós e r ramos: • Há um caminho único entre qualquer
par de nós em uma árvore
• n = n t – 1 Ramos de árvores
l = r – n t + 1 Ramos de ligação
• cada ramo de ligação ⇒⇒⇒⇒ um único laço
fundamental
l laços fundamentais
• Cada ramo de árvore ⇒⇒⇒⇒ um único
corte fundamental
n cortes fundamentais
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
Planares Grafos Não-planares
Os grafos não-planares contêm como sub-grafo pelo menos um dos:
GRAFOS DE KURATOVSKY
5 nós 10 ramos
6 nós 9 ramos
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
1a. Lei : Correntes ( nós e cortes )
Gustav Robert Kirchhoff
(1824-1887)
Físico alemão, publicou seu trabalho sobre correntes e tensões elétricas em 1847. Realizou pesquisas com Robert Bunsen, que resultaram na descoberta do césio e do rubídio.
2a. Lei : Tensões ( laços e malhas )
± =∑ j tkk
( ) 0
± =∑ v tkk
( ) 0
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
• Aplicada a um nó:
• Aplicada a um corte:
j 1 j 2
j 3 j 4
– j1 + j2 + j3 – j4 = 0
j1 – j2 – j3 = 0
orientação do corte
j 1 j 2 j 3
n1
n2
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
Simulação com o PSpice
iD
iR iC
iD
iR
iC
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
iC + iR – iD = 0
iD = iC + iR
iD
iC iR
iD
iC
iR
t
t
t
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
Aplicada a laços : llll = no de ramos no laço
v1 – v2 + v3 – v4 + v5 – v6 = 0
± = ∀=∑ v ti
i 1
b gl
0000 t
j1
v1 v2 v3
v4 v5 v6
j2
j3 j4
j5
j6
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
Simulação com o PSpice
eg
vD vR
eg
vD
vR
eg = vR + vD
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
Am cos ( ωωωωt + θθθθ ) =
12
A e A e
R e A e
mj t
m* j t
mj t
$ $
$
ωωωω ωωωω
ωωωω
+RS|
T|
−d i
Valor instantâneo do sinal →→→→
Domínio do tempo →→→→
s(t) = Am cos ( ωωωωt + θθθθ ) Fasor associado a sinal senoidal:
$S A e Am
jm= =θθθθ θθθθ
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
1a Lei K.: em cada nó 2a Lei K.: em um laço
Exemplo: Linha Trifásica
± =∑ $Jk
k
0
± =∑ $Vk
k
0
v1(t) = Vm cos ( ωωωωt – 90o )
v2(t) = Vm cos( ωωωωt + 150o)
v3(t) = Vm cos ( ωωωωt + 30o )
$ $ $V V V 01 2 3+ + =
v2
v1 v3
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
a sin ωωωωt + b cos ωωωωt = c cos (ωωωωt + θθθθ )
= c cos ωωωωt cos θθθθ – c sin ωωωωt sin θθθθ a = – c sin θθθθ b = c cos θθθθ
c a b2 2= +
θθθθ = −FHGIKJarc tg
ab
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
s(t) = A1 cos (ωωωωt + θθθθ1) + A2 cos (ωωωωt + θθθθ2)
+ . . . . + An cos ( ωωωωt + θθθθn )
Então:
$A A1 1 1= θθθθ
$A A2 2 2= θθθθ
$A An n n= θθθθ
$ $ $ $S A A ... . A1 2 n= + + +
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
s(t) = s1(t) + s2(t) + . . . . sn(t)
si(t) sinais senoidais mesma frequência
Se s(t) = s1(t) . s2(t)
$ $ $ $S S S ... . . . S1 2 n= + + +
$ $ $S S . S1 2≠
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
Se: s (t) = A1cos (ωωωωt + θθθθ1) . A2cos (ωωωωt + θθθθ2)
Então:
Lembrar que:
$
$
A A
A A1 1
2 2
=
=
θθθθ
θθθθ1111
2222
$ $ $S A . A1 2≠
cosa .cosb12
cos a b12
cos a b= − + +b g b g
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
Tensão Corrente Resistência Condutância Indutância Capacitância Carga elétrica Fluxo magnético Aberto Curto
Carga elétrica Fluxo magnético
Indutância Capacitânciaa
Tensão Corrente
Resistência Condutância
Aberto Curto
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Escola Politécnica Universidade de São Paulo
Curso de Circuitos Elétricos
Volume 1 – Capítulo 3
Análise Nodal e suas Variantes; Análise de Malhas
L. Q. Orsini e D. Consonni Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
ANÁLISE DE REDES
ANÁLISE NODAL ⇒⇒⇒⇒
1a. Lei de Kirchhoff em NÓS
ANÁLISE DE MALHAS ⇒⇒⇒⇒
2a. Lei de Kirchhoff MALHAS
ANÁLISE DE CORTES ⇒⇒⇒⇒
1a. Lei Kirchhoff CORTES
FUNDAMENTAIS
ANÁLISE DE LAÇOS ⇒⇒⇒⇒
2a. Lei Kirchhoff LAÇOS
FUNDAMENTAIS
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Etapas da Análise Nodal
1.Definir ramos e nós
2.Escolher nó de referência (“terra”)
3.Definir tensões nodais
4.Aplicar a 1a. Lei de Kirchhoff a cada nó,
exceto o de referência
5.Exprimir as correntes de ramo em
função das tensões nodais
6.Ordenar as equações em relação às
tensões nodais
7.Compor a equação matricial
relacionando tensões nodais e excitações
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
ANÁLISE NODAL
Nó Genérico i:
1ª. Lei de Kirchhoff:
– j1 + j2 + ··· – jk = is1 – is2 Relações Constitutivas j / v (Lei de Ohm):
– G1v1 + G2v2 + ··· – Gkvk = is1 – is2 Relações tensões de ramo / tensões nodais: – G1(e1 – ei) + G2(ei – e2) + ··· – Gk(ek – ei) = is1 – is2 Resultado:
– G1e1 – G2e2 + (G1 + G2 + ··· + Gk)ei + ··· – Gkek = is1 – is2
e1
j2
G2 v2 j1 G1
v1
GK
vk
jk
is1 is2
ei
e2
ek
. . .
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Sentidos de Referências (Flechas) de Correntes e Tensões nos Bipolos
São regras para Ligar Amperímetros
e Voltímetros:
i v
B
A B
V
+
+ -
-
v
i
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Exemplo de Análise Nodal
1ª. Lei de Kirchhoff nos nós:
Nó 1 : j1 + j2 – is1 = 0
Nó 2: – j2 + j3 + is2 = 0
Relações Constitutivas j / v e relações tensão de ramo / tensões nodais:
j1 = G1v1 = G1e1
j2 = G2v2 = G2 (e1 – e2)
j3 = G3v3 = G3e2
Resultado: Nó 1 : G1e1 + G2e1 – G2e2 – is1 = 0
Nó 2 : – G2e1 + G2e2 + G3e2 + is2 = 0
Matricialmente: ( )
( )
G G G
G G G
e
e
i
is
s
1 2 2
2 2 3
1
2
1
2
+ −− +LNM
OQPLNMOQP
=LNMOQP
G e t in sn. ( )~ ~
=
is1
1 j2
G2 j1
G1 G3 is2 j3
2
0
v1
v2
v3
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
ANÁLISE NODAL DE REDES RESISTIVAS LINEARES
Equação Geral Gn - Matriz das condutâncias nodais
- vetor das tensões nodais
- vetor das fontes de corrente
Sistema Algébrico Linear
G e t i tn sn. ( ) ( )~ ~
=
e t~( )
i tsn~
( )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Exemplo de Análise Nodal
Equação matricial de análise nodal:
is1 is2
is3
G1 G2 G6
G3
G4 G5 e3 e1 e2
( )
( )
( )
G G G G G
G G G G G
G G G G G
e
e
e
i i
i i
s s
s s
1 3 4 4 3
4 4 5 6 5
3 5 2 3 5
1
2
3
1 3
2 3
0
+ + − −− + + −− − + +
L
N
MMM
O
Q
PPP
L
N
MMM
O
Q
PPP
=
+
−
L
N
MMM
O
Q
PPP
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
ANÁLISE NODAL r tensões e r correntes desconhecidas
• Exprimir r tensões de ramos em função das
(n-1) tensões nodais → 2a Lei de Kirchhoff
(n-1) tensões e r correntes desconhecidas
• Exprimir r correntes de ramos em função das
(n-1) tensões nodais → Lei de Ohm
(n-1) tensões desconhecidas
• Escrever (n-1) equações independentes e
resolver → 1a Lei de Kirchhoff
Quando ramo = fonte de corrente →
r tensões e (r-1) correntes desconhecidas
RESPOSTA
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
ANÁLISE NODAL EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL
- Matriz de admitâncias nodais
Admitâncias:
- vetor dos fasores das tensões nodais
- vetor dos fasores das fontes de
corrente nodais
Sistema de Equações
Algébricas Complexas
Y j E In sn( ). $ $
~ ~
ω =
$
~E
$
~
Isn
Y jn ( )ω
YI
V=
$
$ j Cω
1
j Lω G
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Exemplo de Análise Nodal em RPS
i t t
I
so
so
( ) cos ( )
$
= +
= ∠
10 2 45
10 45
1 2 2
2 0 5 2 0 25 01
2
+ −− + −LNM
OQPLNMOQP =LNMOQP
j j
j j j
E
E
I s
, ,
$
$
$
$ ,
$ ,
E
E
o
o
1
2
6 22 49
6 83 65
= ∠
= ∠
is(t)
1ΩΩΩΩ 1S
2ΩΩΩΩ 0,5S
1F j2
2H 1/j4
E1
^
E2
^
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
ANÁLISE NODAL MODIFICADA
Incógnitas: 1 - Tensões nodais
2 - Correntes nos ramos
tipo impedância : - indutores - geradores ideais de tensão, independentes ou vinculados - correntes controladoras de geradores vinculados Equações:
1a. L. K. nos nós independentes 2a. L. K. nos ramos tipo
impedância
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
ANÁLISE NODAL MODIFICADA
Obtenção das Equações: • Aplicar a 1a. L.K. aos nós
independentes e eliminar as correntes
nos ramos tipo admitância, em função
das tensões nodais
• Aplicar a 2a. L.K. aos ramos tipo
impedância, mantendo suas
correntes como incógnitas
• Ordenar as equações, nos dois tipos
de incógnitas: tensões nodais e
correntes dos ramos tipo impedância
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Análise Nodal Modificada
Redes Resistivas
Equações de 1 a.L.K. :
No. de equações = No. de nós independentes
Equações de 2 a.L.K. :
No. de equações = No. de ramos tipo impedância
G e B i in s. .~ ~ ~
+ =
F e R i es. .~ ~ ~
+ =
G B
F R
e
i
i
en
s
s−LNM
OQPLNMMOQPP
=L
NMMO
QPP
~
~
~
~
1a. L. K
2a. L. K
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Análise Nodal Modificada
(Padrão SPICE)
• Ramos Tipo Impedância
• Ramos Tipo Admitância
V + –
eS
L L + – E
µvC
+ – H rmic
R R
C C
F βic
G gmvc
I is
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Programa Computacional para Análise de Circuitos
• Descrição do Circuito (Entrada)
• Montagem da Matriz de ANM
• Solução do Sistema
• Saída da Solução Desejada
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Ramos Típicos para Análise Computacional C.C. - SPICE
Ramo “R”
(RK ≠≠≠≠ 0)
RK
ei ef
jk
ei ef jk
IG Ramo “I”
+ – ei ef jk
VG Ramo “V”
+
– VCONT
Ramo “F”
ic
ei
ef
jk
ββββic
Ramo “G” ei
ef
jk
gmvc
ec
et
vc
Ramo “H”
+
– VCONT
ic
ei
ef
jk
rmic + –
Ramo “E” ei
ef
jk
µµµµvc
ec
et
vc + –
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Programa PSPICE
Ramos para Análise C.A.
“C”
“L”
ei ef
CK jk LK
ik ei ef
Ramo “C”: Ramo “L”:
( ik é corrente incógnita )
$ ( $ $ )J j C E Ek i f= − ω
$ $ $E E j L Ii f k− − = ω 0
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Análise Nodal em Redes Não-Lineares
Diodos k=1,2
1a. Lei de Kirchhoff nos três nós independentes:
iG G1 G2
D1 D2
e3 e2
e1
iD1 iD2 v2 v1
i I eDk skvk= − ( λ 1)
G e e G e e i
G e e I e
G e e I e
G
se
se
1 1 2 2 1 3
1 2 1 1
2 3 1 2
2
3
1 0
1 0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
− + − =
− + − =
− + − =
λ
λ
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
DUALIDADE
Tensão ↔ Corrente
Resistência (R) ↔ Condutância (G)
Indutância (L) ↔ Capacitância (C)
Carga Elétrica (Q) ↔ Fluxo Magnético (ψ)
Aberto ↔ Curto
Impedância (Z) ↔ Admitância (Y)
Série ↔ Paralelo
Nó ↔ Malha
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
ANÁLISE NODAL ANÁLISE DE MALHAS
Nós Malhas
Nó de Referência Malha Externa
Incógnitas :
tensões nodais correntes de malha
1a. Lei de K. 2a.Lei de K. aos nós não de às malhas, referência exceto externa
Relações i/v Relações v/i nos ramos nos ramos Tensões nos Correntes nos ramos → ramos → tensões nodais correntes de
malhas Fontes de Fontes de
corrente tensão
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
MALHAS DE REDES PLANARES
Malhas internas são laços que não
contém nenhum ramo em seu interior.
- correntes de malha
A cada malha interna se atribui uma
corrente de malha .
malhas internas
malha externa
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
ANÁLISE DE MALHAS
Gráfico Planar
I
II III
1
2 3
4 5
6
i I
i II
i III
malha I : 1,4,5 malha II : 2,5,6 malha III : 3,4,6 malha externa : 1,2,3 Relações corrente de ramo/correntes de malha:
j1 = iI j4 = iI - iIII j2 = iII j5 = iII - iI j3 = iIII j6 = iIII - iII
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
Etapas da Análise de Malhas
1.Definir as malhas da rede planar
2.Atribuir uma corrente de malha a cada
malha independente
4.Aplicar a 2a. Lei de Kirchhoff a cada
malha independente
5.Eliminar as tensões, usando relações
constitutivas v/j
6. Exprimir as correntes de ramo em
função das correntes de malha
7.Ordenar as equações em relação às
correntes de malha
8.Compor a equação matricial
relacionando correntes de malha e
excitações
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
ANÁLISE DE MALHAS DE REDES RESISTIVAS LINEARES
Equação Geral
Rm - Matriz das resistências de malha
- vetor das correntes de malhas
- - vetor das fontes de tensão
Sistema Algébrico Linear
R i t e tm sm. ( ) ( )~ ~
=
~
( )i t
e tsm~
( )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.3
ANÁLISE DE MALHAS RPS
Exemplo
Impedâncias:
3H
j6ΩΩΩΩ
-j0,25ΩΩΩΩ 2F 2ΩΩΩΩ
10∠∠∠∠45454545οοοο
ω = 2 2ΩΩΩΩ 5ΩΩΩΩ $I1$I2 $I3
ZV
I=
$
$
j Lω 1
j Cω
7 5 0
5 7 0 25 2
0 2 2 6
10 45
0
0
1
2
3
−− − −
− +
L
N
MMM
O
Q
PPP
L
N
MMM
O
Q
PPP
∠L
N
MMM
O
Q
PPP
j
j
I
I
I
o
,
$
$
$
=
$
$
$
, ,
, ,
, ,
I
I
I
o
o
o
1
2
3
2 995 41 76
2 120 38 81
0 696 32 75
L
N
MMM
O
Q
PPP
∠∠
∠ −
L
N
MMM
O
Q
PPP
=
R
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
Escola Politécnica Universidade de São Paulo
Curso de Circuitos Elétricos Volume 1 - Capítulo 4
Redução de Redes e
Aplicações Tecnológicas de Redes Resistivas
L. Q. Orsini e D. Consonni Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
ASSOCIAÇÕES SÉRIE Req = R1 + R2 Geq = G1 . G2 G1 + G2
Leq = L 1 + L2
Ceq = C1 . C2 C1 + C2
ASSOCIAÇÕES PARALELO
Req = R1 . R2 R1 + R2 Geq = G1 + G2 Leq = L 1 . L2 L1 + L2 Ceq = C1 + C2
R1 R2
G1 G2
L1 L2
C1 C2
R1
R2
G1
G2
L2
L1
C1
C2
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
L 12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ 24ΩΩΩΩ
12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ
L
12ΩΩΩΩ
12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ
( a ) ( b )
12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ
L 12ΩΩΩΩ 12.24
12 248
+=
( c )
12ΩΩΩΩ
L 12ΩΩΩΩ 20ΩΩΩΩ
( d )
( f )
12ΩΩΩΩ
L 12.20
12 20152+
= L 12152
392
+ = ΩΩΩΩ
( e )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
DIVISÃO DE TENSÃO
v2 = v0 . R2
R1 + R2 = i
DIVISÃO DE CORRENTE
i2 = i0 . G2 = i0 . R1 G1 + G2 R1 + R2 = v
R1
R2 v2 v0
i
G1 G2
i0 i2
v
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
FONTES EQUIVALENTES
v = es – Rs. i i = i s – v / Rp
⇒ v = Rp . i s – Rp . i
es – Rs . i = Rp. i s – Rp . i
válido para ∀∀∀∀v e ∀∀∀∀i SE :
Rp = Rs
Rp.i s = es
is Rp v
i
es v
i Rs
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
µµµµv
R
µµµµv R
R
R
gmv
R gmv R
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
FONTES POTENCIALMENTE DUAIS
FONTES ESTRITAMENTE DUAIS es = is
R = G
is G v
i
es v
i R
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
i
es
Rs
v is
i
Rp v
Rp = Rs es = Rp is
es
Ls
is Lp
d ( is(t) ) dt
Lp = Ls
es(t) = L
es
Cs
is Cp
Cp = Cs
is(t) = C
d ( es(t) ) dt
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
Teorema da Máxima Transferência de Potência
Rs fixo
Potência na carga R L :
pLmax. ocorre para RL = Rs →→→→ condição de carga casada
pv
R
e R
R RLL
s L
s L
= =+
2 2
2
.
( )
pe
RLs
smax .
=2
4 η = =p
pL
total
50%
Rendimento :
v es
Rs
RL
i
is
RL Rs
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
r E = 10V
R = 1
r
Pr
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
Tensão
a’ es
i1
a
d
c
b
i2
i3 es
i1
a
d
c
b
i2
i3
es
es
a’
i1 b
a’
es
a c i2
d i3
es
es
a
b
c d
e
is a
b
c d
e
is
is is
is
Corrente
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
R10
e1
R20 R30
e2 e3
R12
e1
R23
R31
e2 e3
R10 = R12 R31 R∆∆∆∆
R20 = R12 R23 R∆∆∆∆
R30 = R31 R23 R∆∆∆∆
R∆∆∆∆ = R12 + R23 + R31
R12 = R10 R20 RY
R23 = R20 R30 RY
R31 = R30 R10 RY
GY = G10 + G20 + G30
RY = 1 GY
Para R10 = R20 = R30 então Restrela = Rtriângulo 1 3
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
LINEARIDADE
Elemento
Linear
• HOMOGENEIDADE :
K. x(t) →→→→ K. y(t)
• ADITIVIDADE : Então :
Se : x1(t) →→→→ y1(t) x 1(t) + x 2(t) →→→→ x2(t) →→→→ y2(t) y1(t) + y2(t)
CONSEQÜÊNCIAS :
Proporcionalidade entre excitação e resposta
Superposição
K1. x1(t) + K 2. x2(t) →→→→ K1. y1(t) + K 2. y2(t)
x(t) y(t)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
REDE LINEAR VÁRIAS EXCITAÇÕES RESPOSTA = ∑ respostas devidas a cada gerador independente, com os demais desativados Fonte de Tensão = curto-circuito Fonte de Corrente = circuito aberto ATENÇÃO : Nunca inativar gerador vinculado
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
TEOREMAS DE THÉVENIN E DE NORTON
REDE LINEAR FIXA Ro = eo io = eo
io Ro
eo
Ro
v
i
io Ro v
i
R
R
R
v
i
v
i
R
is
es
Req v
i
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
Leon-Charles Thévenin (1857-1927)
Engenheiro telegráfico, oficial e educador francês (École Polytechnique), famoso por seu teorema publicado em 1883. Trabalhou ativamente no estudo e projeto de sistemas telegráficos (incluindo transmissão subterrânea), capacitores cilíndricos e eletromagnetismo.
Edward L. Norton (1898-1983)
Engenheiro elétrico, cientista e inventor americano, da Bell Laboratories. Propôs em 1926, na AT&T, o dual do teorema de Thévenin, para facilitar o projeto de instrumentos de gravação, operados por corrente. Realizou pesquisas nas áreas de circuitos, sistemas acústicos, telefonia e transmissão de dados. Obteve 19 patentes com seus trabalhos.
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
TEOREMAS DE THÉVENIN E DE NORTON
Rede “Morta” = Rede linear inativada
e0 = tensão em aberto produzida pela rede linear entre
os terminais A e B
i0 = corrente de curto produzida pela rede linear entre
os terminais A e B
Rede Linear
Rede
Arbitrária v
i A
B
B
Rede “Morta”
Rede “Morta”
Rede
Arbitrária
Rede
Arbitrária
v
v
i
i
A
A
B e0
i0
Thévenin:
Norton:
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
Aplicação dos Teoremas de
Thévenin e Norton
1- Circuito com Resistores e Geradores independentes:
®Calcular eo ou io com geradores ativados
®Calcular Ro com geradores desativados
2- Circuito com Resistores e Geradores vinculados (nenhum gerador independente)
® eo = io = 0
®Calcular Ro impondo tensão e calculando corrente (ou
vice-versa)
3- Circuito com Resistores e Geradores vinculados e
Geradores independentes
® Calcular eo
® Calcular io
® Calcular Ro = eo / io
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
ATENUADORES RESISTIVOS
• quadripolos resistivos
• tensão de saída vo é uma fração
conhecida da tensão de entrada v i
Tipos de atenuadores resistivos
• Lineares
• Logarítmicos
• Resistência característica constante
v i vo Atenuador
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
ATENUADOR RESISTIVO LINEAR
Atenuação com a chave na
k-ésima posição:
∑
∑
=
===f
ii
k
ii
i
kk
R
R
v
vA
1
1
Rf
Rk
R1
vi
vk
f f-1 k k-1 1
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
ATENUADOR RESISTIVO LOGARÍTMICO
Atenuação em decibéis (dB) com a chave
na k-ésima posição:
v i
vo
R0
R1
Rk
Rn
RF
A dBv
vko
i
( ) .log=FHGIKJ20
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
EXEMPLO DE CÁLCULO DE ATENUADOR LOGARÍTMICO
Atenuação/passo= -6 dB Dados No. passos: n=3 Resistência total: RT = 100kΩ
• Cálculo de N (atenuação por passo):
k=1 A1 = 20 logN=-6 N=0,501
• Cálculo de R0 :
R N RT0 1= −( ) = 49,9 kΩ
• Cálculo das resistências intermediárias:
R NR ii i+ = =1 0 1, ,
R N R k
R NR k1 0
2 1
25
12 53
= == =
RSTΩ
Ω,
• Cálculo de RF :
R R R R R kF T= − + + =( ) ,0 1 2 1257 Ω
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
ATENUADOR DE RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA CONSTANTE
Quadripolos que, terminados pela
resistência característica Rc,
apresentam à entrada a mesma
resistência Rc
Atenuação k = v2 / v1
Resistência característica: RC
RC v1 v2 RC
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.4
EXEMPLO DE CÁLCULO DE ATENUADOR DE RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA CONSTANTE
Atenuador em “T”
• Atenuação: k= 0,1
• Resistência característica: RT = 50 Ω Cálculo dos resistores:
Rk
kR
Rk
kR
S T
p T
= −+
= −+
=
=−
=−
=
1
1
1 0 1
1 0 150 40 91
2
1
0 2
1 0 0150 10 102
.,
,. ,
.,
,. ,
Ω
Ω
v2 v1
RT
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Escola Politécnica Universidade de São Paulo
Curso de Circuitos Elétricos Volume 1 – Capítulo 5
Estudo de Redes de Primeira Ordem
L. Q. Orsini e D. Consonni Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
CIRCUITO LINEAR INVARIANTE NO TEMPO
Modelo Matemático
Equação Diferencial Ordinária Linear e a
Coeficientes Constantes
f(t) = função dada
R
L
C
ENTRADA SAÍDA
f(t) y(t)
aod y
dt
d y
dt
n
n a a yn
n n + + + = f (t)1
1
1
−
− ...
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
F ( x , y , y’, y”, . . . . . y(n) ) = 0
•••• Ordinárias : F ( x , y(x), y’(x), . . . . yn(x) ) = 0 ordem n
•••• Lineares : C0(x) yn(x) + C1(x) yn-1(x) + . . . . + Cn(x) y(x) = f(x)
•••• Coeficientes Constantes : C0(x) = C0 C1(x) = C1 . . . . . Cn(x) = Cn constantes •••• 1a Ordem : A0 y’ + A1 y = f(x)
A0 + A1 y = f(x)
dy dx
Solução : y(x)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
ordinária – ordem 2 não-linear – 4o grau coeficientes constantes
∂∂
= ∂∂ ∂FHGIKJ +
3
3
2 4y
xy
x tx tsin y tb g
derivada parcial ordem 3
2xd ydx
dydx
1y
2
2
2
+FHGIKJ =
ordinária não-linear coeficientes variáveis
d ydx
dydx
2
2
4FHGIKJ =
d ydx
xdydx
y tanx4
4
2
3+FHGIKJ − =
ordinária não-linear coef. variáveis
d ydx
a y sin x+ =
a ∈∈∈∈ RRRR
ordinária – ordem 1 linear coeficientes constantes
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
A0 + A1 x(t) = f(t)
A0 , A1 – coeficientes dependentes dos parâmetros do circuito
t – variável independente →→→→ tempo x(t) – resposta do circuito ( tensão ou corrente ) f(t) – depende da excitação do circuito Forma Padronizada :
x(t) + a x(t) = f(t)
dx dt
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
E. D. O. L. C. C. Completa : E. D. O. L. C. C. Homogênea:
Solução da Equação Completa = Solução Geral da Equação Homogênea
+ Solução Particular da Equação Completa
ad ydt
ad ydt
. . . . a y f t0
n
n 1
n 1
n 1 n+ + + =−
− b g
ad ydt
ad ydt
. . . . a y 00
n
n 1
n 1
n 1 n+ + + =−
−
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
( 1a Ordem )
Solução do P.V.I. :
x(t) tal que : 1 – Satisfaz à equação diferencial
2 – Passa pelo ponto ( x0 , t0 )
&x t ax t f t
x t condição inicial0 0
b g b g b gb g
+ =
= =
RS|T| x
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
( 1a Ordem ) 1 – Determinar raízes da equação característica
s + a = 0 →→→→ s1 = – a
2 – Determinar solução geral da equação homogênea
Sistema Livre f ( . ) = 0
A = constante de integração
x t A ehs t1b g =
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
( 1a Ordem ) 3 – Achar solução particular φφφφ ( t ) da equação completa 4 – Solução da equação completa : x(t) = xh(t) + φφφφ(t) = A e – at + φφφφ(t)
5 – Determinar a constante de integração
x 0
at
0A e t0= +− φφφφ b g
A e tat
0 00= −x φφφφb gc g
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
x(t) =
x t e t0 0a t t0− +− −φφφφ φφφφb g b gb g
1 24444 34444 123
Resposta Transitória Resposta Permanente
x(t) =
x e t e t0a t t
0a t t0 0− − − −+ − +b g b gb g b g
1 24 34 1 244444 344444φφφφ φφφφ
Resposta Livre Resposta Forçada
( Entrada Zero ) ( Estado Zero )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
x t x t e t0 0a t t0b g b g b gb g= − +− −φφφφ φφφφ
1 24444 34444 123
Transitória Permanente
x(t) =
x e e t0a t t a t t0 0− − − −+ − +b g b gb g b g
1 24 34 1 244444 344444φφφφ φφφφt0
Livre Forçada
x(t) =
x e e f d0a t t a t
t
t0
0
− − − −+ zb g b g b g1 24 34
1 24444 34444
λλλλ λλλλ λλλλ
Livre Forçada
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Comportamento Livre
L R
i
i0 vL vR ττττ = L / R
ii0
t
i(t) = i0 e – t/ττττ
vL
–Ri0
t
vL = L di dt
vL(t) = – Ri0 e – t/ττττ
vR
Ri0
t
vR = R i
vR(t) = R i0 e – t/ττττ
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
•••• Respostas Livres : – Exponenciais decrescentes a partir de valor inicial. – Constante de tempo : L / R
•••• Energia inicialmente armazenada no indutor →→→→ Dissipada no resistor
•••• Indutor opõe-se à variação brusca de de corrente →→→→ provoca atraso no tempo para que se estabeleça o equilíbrio.
•••• Aumentar atraso →→→→ Aumentar ττττ →→→→ Aumentar L →→→→ Diminuir R
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Resposta ao Degrau
ττττ = L / R es L
R i
i0 vL vR
es E
t i
E/R
t i0
i(t) = ( i0 – E/R )e – t/ττττ + E R
es(t) = E . H(t)
vR
E
t Ri0
vR(t) = ( Ri0 – E ) e – t/ττττ + E
vL
t
vL(t) = ( E – Ri0 ) e – t/ττττ
E – Ri0
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
i t i E R e E R0
t t 0
b g b g :b g
= − +− −
ττττ1 2444 3444
t
i
i0 t0
i0 – E R
transitório
i
i0
t0 t
i0
E R
t0
i
entrada zero ( livre )
estado zero ( forçada )
i t i eER
1 e0
t t t t0 0
b gb g b g
= + −FHG
IKJ
− − − −ττττ ττττ
t
i
i0
E R
t0
permanente
t
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Resposta ao Pulso
es L
R i es
0 t
E
T
i
t T
E/R
ττττ
i t 1 eER
0 t T
i t 1 eER
e t T
t
T t T
b g c h b g
b g c h b gb g
= − ≤ ≤
= − >
R
S|||
T|||
−
− − −
ττττ
ττττ ττττ
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Resposta ao Impulso
es L
R i
vL vR
es ( ψψψψ )
t
es(t) = ψψψψ δδδδ(t)
i t iL
e0tb g = +
FHG
IKJ
−ψψψψ ττττ
i i0 + ψψψψ/L
t i0
v t R iL
eR 0tb g = +
FHG
IKJ
−ψψψψ ττττ
vL ( ψψψψ )
t –R ( i0 + ψψψψ/L )
t
vR R ( i0 + ψψψψ/L )
v t t
R iL
e
L
0t
b g b g= −
− +FHG
IKJ
−
ψψψψ δδδδ
ψψψψ ττττ
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
•••• Indutor em t = t0 opõe-se à variação de corrente i = i0 •••• Para excitação contínua ( C.C. ) em t →→→→ ∞∞∞∞ indutor vira curto-circuito vL →→→→ 0
•••• Impulso de tensão →→→→ provoca fluxo magnético instantâneo ψψψψ →→→→ produz descontinuidade de corrente no indutor : ψψψψ/L
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Impedância : Z ( j ωωωω ) = R + jωωωωL
i(t) = A e – t/ττττ + ip(t)
•Impor i ( t0 ) = i0
→→→→ Determinar A
es L
R i(t)
~ es(t) = Em cos ( ωωωωt + θθθθ )
$E E em m= jθθθθ
• Resposta Permanente
$ $I1
R j LEm m=
+ ωωωω
• Resposta Completa
$I cos tm ωωωω ψψψψ+b g
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
– Derivada da parte real de um complexo = parte real da derivada – Parte real da soma de complexos = soma das partes reais
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
es(t) = Em cos ( ωωωωt + θθθθ )
Para não haver transitório : Forçada = Permanente se : ψψψψ = 90o
i(t) =
i I cos e I cos t0 m
RL
t
m− + +−
$ $ψψψψ ωωωω ψψψψe j b g1 24444 34444 1 2444 3444
Transitória Permanente
i(t) =
i e I e I cos t0
RL
t
m
RL
t
m
− −
− + +124 34 1 24444444 34444444
$ cos $ψψψψ ωωωω ψψψψb gLivre Forçada
i I cos0 m= $ ψψψψ
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
EXEMPLO
es(t) 3H
6ΩΩΩΩ i(t)
~ es(t) = 12 cos 2t
i ( 0 ) = 2A
i0 = 2 A
i I cos 1 A0 m− =$ ψψψψ
0
2
1
–1
–2
21 3 4 5
t ( seg)
i(t)
i0 →→→→
ip
it
i = it + ip
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
RC paralelo Dual do RL série Equação : 1a Lei de Kirchhoff →→→→
C + = is + v =
Comportamento Livre v(t) = v0 e
– t / ττττ ττττ = RC energia armazenada no capacitor →→→→ dissipada no resistor
ou is R
iR
C iC
v0 v es C
R
v
es = isR
dv dt
v R
dv dt
1 RC
is
C
v
R
iR
C
iC
v0
v
v0
t
iR
t
v0
R
iC t
-v0
R
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Comportamento Forçado Resposta ao Degrau
is(t) = I . H ( t – t0 ) v ( t0 ) = v0
t0 = 0 v ( t ) = R I + A e
– t / ττττ A = v0 – RI
v ( t ) = RI + ( v0 – RI ) e – t / ττττ
Para o circuito série : E = RI v ( t ) = E + ( v0 – E ) e – t / ττττ
es C
R
v(t)
vR
es
E
t
v
v0 t
RIs
vR
t
RIs – v0
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Resposta ao Degrau
is C R v0
iR iC
v
is
I
t
v
v0 t
RI
is = I H ( t )
v = ( v0 – RI ) e – t / ττττ + RI
iR
v0/R t
I
iR = ( – I ) e – t / ττττ + I v0 R
iC
t
( I – v0/R ) iC = ( I – ) e – t / ττττ v0 R
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Resposta ao Impulso
is(t) = Q δδδδ ( t ) ( A, s )
v ( 0+ ) = v ( 0 – ) +
v ( t ) = ( v ( 0 – ) + Q/C ) e – t /ττττ
Excitação Senoidal is(t) = Im cos ( ωωωωt + θθθθ )
RPS:
Q C
$I I em mj= θθθθ
$ $V1
1R
j CIm m=
+ ωωωω
Y jI
V
1R
j Cm
m
ωωωω ωωωωb g = = +$
$
Admitância complexa :
Resposta completa :
v t A e v ttp
V cos tm
b g b gb g
= +−
+
ττττ
ωωωω ψψψψ$
123
impor v ( t0 ) = v0
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Circuito RC
Resposta Completa com Excitação Senoidal
ττττ = 1ms f = 1 kHz v
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Resposta Permanente Senoidal :
Frequência de corte superior:
ωωωωC = =
es C
R
v
ττττ = RC
es
E
t
T Bom integrador
ττττ > > T
v
t
v
t
G1
1 R Cv 2 2 2
= =+
$
$
V
Es ωωωω
1 RC
1 τ
1
ωωωωC ωωωω
Gv
1 2
T
E
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Resposta Permanente Senoidal : Frequência de corte inferior: ωωωωC = =
es
E
t
T Bom diferenciador :
ττττ < < < T
es
C
R v
ττττ = RC
v
t t
GR C
1 R Cv 2 2 2
= =+
$
$
V
Es
ωωωωωωωω
1 RC
1 τ
Gv
1
ωωωωC ωωωω
1 2
E
E
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Circuito RC série
Diferenciador Integrador
ve vs ve vs
ve
vs
vs
vs
ττττ > > > Tp
ττττ ≈≈≈≈ Tp
ττττ < < < Tp
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
I – Constante de Tempo : – Inativar geradores independentes – Determinar resistência “vista” pelo elemento armazenador de energia – Calcular cte de tempo : L/R ou RC
II – Resposta Transitória – Comportamento Livre, Modo Natural A e – t / ττττ
III – Resposta Permanente – Depende da função de excitação IV – Transitória + Permanente – Impor condição inicial →→→→ Determinar A
– Condições iniciais :
t tC curto
L aberto0=RST
tC aberto
L curto= ∞RST
( para excitação contínua )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
I – Função excitação definida por segmen- tos →→→→ Descontinuidades
– Aplicar “receita” para cada segmento
– Ajustar constantes admitindo as condi- ções finais de um segmento como condi- ção inicial para o próximo : ( v em C ou i em L ) II – Circuito modificado por operação de
chaves Idem
OBS.: Chaveamento de indutores ou capacitores →→→→ tensões ou correntes impulsivas →→→→ Estudo por Laplace III – Excitações Impulsivas →→→→ Descontinuidades de tensão em capacitores correntes em indutores
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Excitação : is (t)
Resposta : v(t)
Degrau Impulso
(tabela extraída de “Teoria Básica de Circuitos”, C .A. Desoer, E.S. Kuh, Ed. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1979)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.5
Excitação : es (t)
Resposta : i(t)
Degrau Impulso
(tabela extraída de “Teoria Básica de Circuitos”, C .A. Desoer, E.S.
Kuh, Ed. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1979)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
Escola Politécnica Universidade de São Paulo
Curso de Circuitos Elétricos
Volume 1 – Capítulo 6
Estudo de Redes de Segunda Ordem
L Q. Orsini e D. Consonni
Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
Equação diferencial ordinária, linear, coeficientes constantes, 2a ordem
Sistemas de 2 equações de 1a ordem R , L , C 1 malha ou 1 par de nós Redes R + 2C , R + 2L
Duas condições iniciais
v0 resposta ( t0 )
i0 derivada da resposta ( t0 ) Aplicações : Circuitos sintonizados Filtros passa-banda Modelos de circuitos reais
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
Ciclo de Freqüência ω 0
1=LC
, Ciclo de freqüência:
+++
+++
++
++
- - -
- -
- - -
- -
++
++ - -
- -
i
i
i
i
i
i
v
v
v
v
v
v
ω 0
1=LC
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
Comportamento Livre es = 0 is = 0
Condições iniciais i ( t0 ) , vC ( t0 ) v ( t0 ) , iL ( t0 ) Equação característica
es i R
vC
2a L. K.
L C
Série Paralelo
is iL
G v
1a L. K.
L C
Ldidt
Ri1C
idt es+ + =zd i
dt
RL
didt
1LC
i =1L
dedt
2
2s+ +
Cdvdt
Gv1L
vdt i s+ + =zd vdt
GC
dvdt
1LC
v =1C
didt
2
2s+ +
sRL
s1
LC02 + + =
αααα R 2L
ωωωω 00002222 1 L C
sGC
s1
LC02 + + =
αααα G 2C
ωωωω 00002222 1 L C
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
raízes ou auto-valores ou freqüências complexas próprias •••• s1 ≠≠≠≠ s2 Distintos Solução geral : •••• s1 = s2 Duplos
Solução geral :
s 2 s 02 + + =αααα ωωωω 00002222
s1, 22
02= − ± −αααα αααα ωωωω
A e1s t1 , A e2
s t2
A e A e1s t
2s t1 2+
A e1s t1 , A t e2
s t1
A e A t e1s t
2s t1 1+
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
Comportamento Livre Constantes de integração : para s1 ≠≠≠≠ s2
i ( 0 ) = I1 + I2
L + R i(0) + v(0) = 0 ⇒⇒⇒⇒ = i(0) – i(0) – = s1I 1 + s2I 2
2 equações 2 incógnitas
i t I e I e
ou
i t I e I t e
1s t
2s t
1s t
2s t
1 2
1 1
b g
b g
= +
= +
RS|
T|
d i(0) dt
d i(0) dt
–R L
v(0) L
1
2 –R L
v(0) L
2a Lei K :
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
Constantes de integração : para s1 = s2
2 equações 2 incógnitas
i 0 I
RL
i 0v 0
Ls I I
1
1 1 2
b gb g b g=
− − = +
RS|T|
1
2
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
1 – Circuito Super – Amortecido s1, 2 = – αααα ±±±± ββββ
Solução: ∑∑∑∑ 2 exponenciais decrescentes
s 2 s 0202+ + =αααα ωωωω
s1, 2 = − ± −αααα αααα ωωωω222200002222
α ω202>
R 2LC
>
ββββ αααα ωωωω= −202
i t I e I e1s t
2s t1 2b g = +
i
t
i0
i t e i cosh t sinh tvL
sinh tt0
0b g b g b g b g= −FHG
IKJ −
LNM
OQP
− αααα ββββααααββββ
ββββββββ
ββββ
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
2 – Circuito Oscilatório:
( complexos conjugados )
a) i(t) = Im e – αααα t cos ( ωωωωd t + ψψψψ )
ωωωω ωωωω ααααd 02= − 2s1, 2 = – αααα ±±±± j ωωωωd
R 2LC
<
α ω202< ou
i t I e e I e e1t j t
2t j td db g = +− − −αααα ωωωω αααα ωωωω
I I1 2*=
s1, 2 = − ± −αααα αααα ωωωω222200002222
s 2 s 0202+ + =αααα ωωωω
i t 2Re I e e1j tdb g = −α t ωωωω
I i i1
Lvm 0
2
d0
d0
2
= + +FHG
IKJ
ααααωωωω ωωωω
ψψψψωωωω
ααααωωωω
= +FHG
IKJarc tg
vL i
0
d 0 d
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
b) i(t) = B1 e
– αααα t cos ωωωωd t + B2 e – αααα t sin ωωωωd t
B1 = i0
B iv
L2d
00
d
= − −ααααωωωω ωωωω
T2
dd
= ππππωωωω
t
i e – αααα t
ωωωω ωωωω ααααd 02= − 2
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
a) αααα = 0 ωωωωd = ωωωω0 LC ideal
b) αααα <<< ωωωω0 →→→→ ωωωωd ≈≈≈≈ ωωωω0 circuito altamente oscilatório
Índice de Mérito : Q0 ωωωω0 L / R
i t iCL
v cos t02
02
0b g b g= + +ωωωω ψψψψ
ψψψψ =FHG
IKJarc tg
CL
vi
0
0
i t iCL
v e cos t02
02 t
0b g b g≅ + +−αααα ωωωω ψψψψ
αααα ωωωωαααα
= ⇒ =R2L
Q20
0
Q →→→→ energia armazenada energia dissipada
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
3 – Amortecimento crítico αααα = ωωωω0 ⇒⇒⇒⇒ s1 = s2 = – αααα Solução : i(t) = I1 e
– αααα t + I2 t e – αααα t
Impondo as condições iniciais :
s1, 2 = − ± −αααα αααα ωωωω222200002222
s 2 s 0202+ + =αααα ωωωω
R 2LCC =
i t 1 t i1L
v t e0 0tb g b g= − −
LNM
OQP
−αααα αααα
i
t
i0
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
Comparação das respostas livres dos Circuitos de 2 a ordem
Time
0s 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s 9s 10sI(R1) I(R2) I(R3)
-0.5A
0A
0.5A
1.0A
Oscilatório ou sub-amortecido
Amortecimento crítico
Super-amortecido
F
R1 = 1 ΩΩΩΩ R2 = 2 ΩΩΩΩ R3 = 4 ΩΩΩΩ
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
•••• Resposta livre F C P s1 , s2 •••• s1 , s2 reais Super-amortecido ts grande •••• s1 , s2
Resposta oscilatória amortecida
αααα coeficiente de amortecimento
ωωωωd freqüência angular amortecida
ωωωω0 freqüência angular não-amortecida
Pulso Bidirecional
Tempo de amortecimento: ts
complexos
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
RLC Série RLC Paralelo Q0 = ωωωω0 / 2αααα
Q0 = ωωωω0 L / R Q0 = ωωωω0 C / G Q0 = ωωωω0 RC Q0 = R /ωωωω0 L 1 – Super-amortecido 2 – Amortecimento crítico 3 – Oscilatório ou Sub-amortecido
C G is L C R
es L
αααα G 2C
ωωωω 00002222 1 L C
αααα R 2L
ωωωω 00002222 1 L C
ωωωω ωωωω ααααd 02= − 2
R12
L C<
R R12
L CC= =R R 2 L CC= =
R 2 L C>
R < RC R > RC
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
Resposta Natural 1 – 2 – f(t) = Bm e
- αααα t cos ( ωωωωd t + ψψψψ ) ou ( B1 cos ωωωωd t + B2 sin ωωωωd t ) e
- αααα t
sub-amortecido / oscilatório 3 – f(t) = ( D1 t + D2 ) e
- αααα t
f(t) →→→→ tensão ou corrente
f t A e A e1s t
2s t1 2b g = +
super-amortecido
amortecimento crítico
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
Resposta ao degrau es(t) = E H(t)
Como circuito livre mas com condição inicial = v0 – E
a) Super-amortecido Se i0 = v0 = 0
i(t) = e – αααα t sin h ββββ t b) Oscilatório i0 = v0 = 0
i(t) = e – αααα t sin ( ωωωωd t ) c) Amortecimento crítico i0 = v0 = 0
didt
RL
i1
LCidt
1L
vEL0+ + + =z
didt
RL
i1
LCidt
1L
v E 00+ + + − =z b g
ou t > 0
i(t) e i cosh tb
sinh tv E
Lsinh tt
00= −
FHG
IKJ −
−LNM
OQP
− αααα ββββ αααα ββββββββ
ββββb g
E ββββL
E Lωωωωd
E L
i(t) = t e – αααα t
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
Resposta ao Degrau 1 – 2 – f(t) = fp + Bm e – αααα t cos ( ωωωωd t + ψψψψ ) e – αααα t ou f(t) = fp + ( B1 cos ωωωωd t + B2 sin ωωωωd t ) e
– αααα t oscilatório 3 – f(t) = fp + ( D1t + D2 ) e
– αααα t f(t) →→→→ tensão ou corrente fp →→→→ valor final da resposta desejada
f t f A e A ep 1s t
2s t1 2b g = + +
super-amortecimento
amortecimento crítico
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
RLC Série RLC Paralelo
Resposta ao Impulso
EH(t) C R L i
t →→→→ ∞∞∞∞ vC →→→→ E vR →→→→ 0 vL →→→→ 0
L curto C aberto
i →→→→ 0
I H(t) C R v L
t →→→→ ∞∞∞∞ iC →→→→ 0 iR →→→→ 0 iL →→→→ I
v →→→→ 0
t > 0 →→→→ Comportamento livre
Degrau de corrente no indutor = ψψψψ/L
es(t) = ψψψψ δδδδ(t)
RLC série
Degrau de tensão no capacitor = Q/C
is(t) = Q δδδδ(t)
RLC paralelo
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
CIRCUITO RLC SÉRIE
Excitação Senoidal
Resposta Completa : Transitória + Permanente depende das Fasores, FCP Impedâncias
Oscilatório :
$E = E s ∠ θ
R
L
C
es i(t)
Z jE
IRs( )ω ω
ω= = + j L +
1j C
r
r
i tp ( ) ) = Re ( I ej tr ω
i t tt t( ) cos( ) = A e + A e + I1s
2s
1 2
rω θ φ+ −
i t e t ttd( ) cos( ) cos( ) = I + I1
− + + −α ω θ ω θ φ1
r
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
CIRCUITO RLC PARALELO
Excitação Senoidal
Resposta Completa : Transitória + Permanente depende das Fasores, FCP Admitâncias
Oscilatório :
$I = I s ∠ θ
Y jI
VGs( )ω ω
ω= = + j C +
1j L
r
r
v tp ( ) ) = Re ( V ej tr ω
v t tt t( ) cos( ) = A e + A e + V1s
2s
1 2
rω θ φ+ −
v t e t ttd( ) cos( ) cos( ) = V + V1
− + + −α ω θ ω θ φ1
r
R L C v(t) is
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
Circuito RLC
Transitório com excitação senoidal Oscilatório :
a) ω ωd ≈ 4 b) ω ωd ≈ 0 2,
v t e t ttd( ) cos( ) cos( ) = V + V 1
− + + −α ω θ ω θ φ1
r
a)
b)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
Circuito RLC
Transitório com Excitação Senoidal
ωωωω<ωωωωd
ωωωω≈≈≈≈ωωωωd
ωωωω>ωωωωd
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
Soma de 2 senóides de freqüências
próximas : ω ω1 2≈
Período de Batimento
Resultado: Senóide de freqüência
ω ω1 2
2
+
com Envoltória : Senóide de freqüência
ω ω1 2
2
−
Freqüência de Batimento: ω ω1 2−
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
φφφφ = arc tg [ ( ωωωωL – 1/ωωωωC ) / R ]
Para ωωωω = ωωωω0 = φφφφ = 0 →→→→ e em fase Z = R →→→→ impedância puramente resistiva →→→→ resposta máxima permanente
Z j R j L1
j Cωωωω ωωωω
ωωωωb g = + +
Z R L 1 C2 2= + −ωωωω ωωωωb g
1 LC
$I $V
$max
I
$$
IE
Zs=
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
1a LK : C + Gp v + iL = 0
2a LK : L + Rs iL = v Equação Resultante : + + v = 0 Condições iniciais :
Resposta Permanente : vp(t) = Rs
Gp C L
I
Rs
iL
v
dv dt
diL
dt
d2 v
dt2 L Gp + Rs C LC
dv dt
Rs Gp + 1 LC
2αααα ωωωω0 2
v t vdvdt
1C
i G v0 0t
L0 p 0
0
b g d i= = − +
I Rp
Rs + Rp Resposta Completa :
v t A e A e v t1s t
2s t
p1 2b g b g= + +
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.6
1a LK : C1 =
1a LK: C 2 = – + is + 2αααα + v1 = is
Para is(t) = I H(t) →→→→ resposta permanente:
vp1(t) = I R2
Resposta completa :
R1
C2 is R2
C1 v2
v1
dv1
dt v2 – v1 R1
dv2
dt v1 – v2 R1
v2
R2
d2 v1
dt2 dv1
dt ωωωω0
2
v t A e A e v t1 1- t
2- t
p11 2b g b g= + +αααα αααα
FCP reais negativas !
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Escola Politécnica Universidade de São Paulo
Curso de Circuitos Elétricos
Volume 1 – Capítulo 7
Introdução à Transformação de Laplace
L. Q. Orsini e D. Consonni Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Introdução à Transformada de Laplace
Solução de Circuitos no Domínio do Tempo →→→→
• Equações não-homogêneas → apenas
alguns tipos de excitação
• Redes de ordem mais alta → sistemas
de equações íntegro-diferenciais
• Problema de descontinuidades →
imposição de condições iniciais
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
INTRODUÇÃO À TRANSFORMAÇÃO
DE LAPLACE
Ações da Transformada de
Laplace:
Derivadas →→→→ Multiplicações Integrais →→→→ Divisões
Equações íntegro-diferenciais →→→→ equações algébricas no campo complexo
Solução no Domínio da Freqüência
Complexa
Anti-transformada →→→→ solução da equação diferencial Inclui o problema do valor inicial
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Pierre Simon, marquês de Laplace
• Francês (Normandia, 1749; Paris, 1827)
• Líder em Física-Matemática • Ministro do Interior no império de
Napoleão e marquês na restauração dos Bourbons
• Obra mais importante: Mécanique céleste
• Importante trabalho em astronomia, cálculo integral, equações diferenciais e teoria das probabilidades.
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Transformada de Laplace
f(t) → função real ou complexa
definida em [ 0, ∞ )
ℒ [ f (t) ] =
Transformação Integral
s = σ + j ω (variável complexa, 1/seg)
F(s) = ℒ [ f (t) ]
t →→→→ s
Domínio do tempo → Domínio da freqüência complexa
e f t dtst−∞
−z0 ( )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Funções ℒℒℒℒ- transformáveis
Condições suficientes:
f(t) → contínua e integrável em intervalos
f(t) → ordem exponencial
i.e. se
para 0- < t < ∞ , A, α reais
ou seja, ∃ lim
para algum valor de s0
s0 abcissa de convergência
⇒ a integral é convergente para
Re [s] > Re [s0]
f t A e t( ) . < α
e f ts t− 0 . ( )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Região de Convergência
s0→ abcissa de convergência
⇒ a integral
é convergente para Re [s] > Re [s0]
so
σ = Re[s]
Re[s] > Re[so]
jω
s = σσσσ + jωωωω Plano s
e f t dtst−∞
−z0 ( )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Transformada de Laplace
• ∃∃∃∃ Transformada Bilateral :
• Unilateral → mais apropriada para Circuitos
• Funções não ℒ- transformáveis:
Ex. : , ,
• Funções com impulso ou descontinuidade em t=0 →
Integral inclui, pois é tomada de t=0-
• Anti-transformação :
ℒ-1[F(s)] = f(t)
Unicidade !
−∞
+∞z
eet
et 2
t t
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Transformada de Laplace
ℒ [ f (t) ] =
s = σ + j ω
F(s) = ℒ [ f (t) ]
Linearidade:
ℒ [ c1. f 1 (t) + c2. f 2(t) ] =
c1. F1 (s) + c2. F2 (s)
c1, c2 constantes
e f t dtst−∞
−z0 ( )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Transformada de Laplace de Funções
2 2
2 2
( )
1
1
-
( )
( )
1
cos
( )
at
f t
H t
e
sen t
F s
s
s a
s
st
s
t
ωω
ω
ωω
δ
+
+
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Fórmulas de Euler-Moivre e
Representação Gráfica de Complexos
)e - e (j 2
1 sen
)e e (2
1 cos
sen j cos
j-j
j-j
ΦΦ
ΦΦ
Φ
=Φ
+=Φ
Φ+Φ=je
senj a Φ
Φ
yj
x
ja a e Φ=
cosa Φ
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Teorema da Derivada da
Transformada de Laplace
ℒ [ f (t) ] = F(s) ⇒
ℒ [ t . f (t) ] = - d F(s) d s
Aplicação para a função degrau :
ℒ [ H (t) ] = 1 / s ℒ [ t . H (t) ] = 1 / s2
ℒ [ t2 . H (t) ] = 2 / s3
. . .
ℒ [ tn . H (t) ] = n ! / sn+1
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
t
f(t)
Teorema do Deslocamento
no campo real
ℒ [ f (t) ] = F(s) ⇒
ℒ [ f ( t – a ) ] = e -as . F(s)
t
f(t-a)
a
f t t H t( ) cos ( ) = . ω
F ss
s( ) =
+2 2ω
f t a t a H t a( ) cos ) . ( )− − = ( - ω
F se s
s
as
( ) =+
− . 2 2ω
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Translação no Campo
Complexo
Multiplicação de argumento por constante
Transformada de funções periódicas
ℒ [ e-at . f (t) ] = F(s+a)
ℒ [ f (ωt) ] = 1 . F( s / ω ) ω
ℒ [ f (t) ] = 1
1 0− −z
−
ee f t dt
sT
T st
. ( )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Exemplo de Cálculo com o MATLAB (Tool Kit Symbolic)
» syms a s t w » f=exp(-a*t)*cos(w*t) f = exp(-a*t)*cos(w*t) » L=Laplace(f,t,s) L = (s+a)/((s+a)^2+w^2) » pretty(L) s + a ----------------- (s + a)2 + w2
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Teorema da Derivada
Caso Particular: c.i.q.
ℒ [ f (t) ] = s. F(s) - f (0-)
ℒ [ f (t) ] = s2. F(s) - s.f (0-) - f (0-)
ℒ [ f (n)(t) ] = sn. F(s) - sn-1.f (0-) -
- sn-2. f(0-) - … - f (n-1)(0-)
ℒ [ f (t) ] = s. F(s)
ℒ [ f (n)(t) ] = sn. F(s)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Teorema da Integral
Caso Particular: c.i.q.
ℒ f dF s
s
f d
s
t( )
( ) ( )τ τ
τ τ +
−∞−∞z zL
NMOQP =
−0
ℒ f d
F s
s
t( )
( )τ τ
0−zLNM O
QP=
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Transformada de Laplace
Indutor Fluxo em t=0-
V (s) = ℒ [ v (t) ]
I (s) = ℒ [ i (t) ]
v(t) = L
di(t)
dt
i
L v
V (s) = s L I(s) – L i (0-)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Transformada de Laplace Indutor i(0-)
i
L v
i(t) =
1
L v( ) d -
t
∞z τ τ
V (s) = ℒ [ v (t) ]
I (s) = ℒ [ i (t) ]
I(s) =
1
sL V(s) +
i(0
s- )
I(s) =
1
sL V(s) +
1
sL v( )d
-
0- τ τ∞z
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Transformada de Laplace Capacitor
Carga em t=0-
I (s) = ℒ [ i (t) ]
V (s) = ℒ [ v (t) ]
i(t) = C
dv(t)
dt
I (s) = s C V(s) – C v (0-)
i
C v
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Transformada de Laplace Capacitor v(0-)
v(t) =
1
C i( ) d -
t
∞z τ τ
I (s) = ℒ [ i (t) ]
V (s) = ℒ [ v (t) ]
V(s) =
1
sC I(s) +
v(0
s- )
V(s) =
1
sC I(s) +
1
sC i( )d
-
0- τ τ∞z
i
C v
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Inversão da Transformada de Laplace
Anti-Transformada:
f (t) = ℒ-1 [ F(s) ]
Unicidade : f (t) ↔ F (s)
• Tabelas 1o. Método • Linearidade • Teoremas
2o. Método : Fórmula de inversão
integral sobre a reta s=σ
f (t) 1
2 j F(s) e dsst
- j
+ j=
∞
∞zπ σ
σ
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Inversão da Transformada de Laplace
3o. Método : Anti-transformação
de Funções Racionais
Forma Fatorada: K = fator de escala (ganho) =
zi → zeros (i = 1,2,....m)
pk → pólos simples ou múltiplos (k= 1,2,...n) reais ou complexos
F(s) = N(s)
D(s) =
b s b s b b
a s a s a a0
m1
m-1m-1 m
0n
1n-1
n-1 n
+ + + ++ + + +
...
...
a , b a , b 0i i 0 0∈ ℜ ≠
F(s) = K . s - z
(s - p
i
k
( )
)
i
m
k
n=
=
∏
∏1
1
b
a0
0
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Diagrama de pólos e zeros de Funções Racionais
• um pólo duplo na origem: p1,2 = 0 • dois pólos complexos conjugados: p3,4 = (-1± j 1) • dois zeros simples: z1 = -1; z2 = -2 • fator de escala: K = 10
F(s) = s 3s + 2)
s s + 2s = 10.
(s + 1)(s + 2)
s (s + 1) 1
2
4 3 2 2 2
10
2
.( ++ +
jω
σ
-1
K = 10
-2 0
(2)
j1
-j1 x pólos o zeros (m) multiplicidade
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Anti-transformação de Funções Racionais
Própria : m ≤ n Estritamente própria : m < n a0 = 1 → polinômio D(s) é mônico
Expansão em Frações Parciais: Akj = resíduos – coeficientes a determinar
pk = k-ésimo pólo
mk = multiplicidade do k-ésimo pólo
(m1 + m2 + ...+ mq) = n = grau de D(s)
F(s) = N(s)
D(s) =
b s b s b b
a s a s a a0
m1
m-1m-1 m
0n
1n-1
n-1 n
+ + + ++ + + +
...
...
F(s) = A s - pkj
k=1
q
kj
m
j
k
=∑∑
1
1
( )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Anti-transformação de Funções Racionais
Expansão em Frações Parciais: Anti-transformar termo a termo:
ℒ-1
Derivada da Transformada
Translação no campo complexo
F(s) = A s - pkj
k=1
q
kj
m
j
k
=∑∑
1
1
( )
1
(s - p ) =
t
(j -1)! e
kj
j-1p tk
LNM
OQP
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Contribuição de Pólos Complexos
1o. caso
Resíduo :
Pólo :
2o. caso
Resíduo :
Pólo :
A e + A e = 2 e A ekp t
k* p t
kp tk k
*kℜ
A A ek kj k= φ
p + j k k k= σ ω
2 e A e = 2 A e cos ( t + kp t
kt
k kk kℜ σ ω φ )
A = A + j Ak k'
k"
p + j k k k= σ ω
2 e A e = kp tkℜ
2 e A cos ( t - A sin ( tk tk'
k k"
kσ ω ω) )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Pólos Múltiplos - Exemplo
F(s) = N(s)
(s - p (s - p (s - p
1 2 3) ) )2 3
F(s) = A
( s - p +
A
( s - p +
A
( s - p ) 11
1
21
2
22
22) )
+ A
( s - p ) +
A
( s - p ) +
A
( s - p )31
3
32
32
33
33
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Transformada de Laplace
Exemplo 1
Expansão em Frações Parciais:
A11 = 5 A12 = 10
A2 = 2,5 (-1 + j) A2* = 2,5 (-1 – j)
Anti-transformada:
ou
20 s + 60 s + 40
s + 4 s + 4 s
2
4 3 22
A
s +
A
s +
A
(s + 1 - j) +
A
(s + 1 + j)11 12
22 2
*
5 10 t + 5 2 e cos (t + 135-t o+ )
5 10 t - 5 e cos t + sin t-t+
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Transformada de Laplace
Exemplo 2
Expansão em Frações Parciais:
A1 = 0,5 A2 = 2 A3 = -6,5
Anti-transformada:
s + 5 s + 4 s + 3 s + 1
s + 3 s + 2 s
4 3 2
3 2
s + 2 + A
s +
A
( s + 1 ) +
A
(s + 2) 1 2 3
′ +δ δ(t) 2 (t) + 0,5 + 2 e - 6,5 e-t -2t
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
PROGRAMA DE MATLAB PARA CÁLCULO DE PÓLOS, ZEROS E
RESÍDUOS DE FUNÇÕES RACIONAIS
%arq. polres.m LQO, 08/2005 % Vetor dos coeficientes do numerador: num = [-4 –1 1]; % Vetor dos coeficientes do denominador: den = [1 3 2 0]; % Cálculo dos pólos (p), resíduos (R) e termos em potências de s (k) % (estes últimos no caso de funções não estritamente próprias): [R, p, k] = residue(num, den)
F ss s
s s s( ) = − − +
+ +4 1
3 2
2
3 2
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.7
Decomposição de função racional através do MATLAB
Resultados: >> polres R = -6.5000 2.0000 0.5000 p =
-2 -1 0
k = 1 2
A1 = 0,5 A2 = 2 A3 = -6,5
A
s +
A
( s + 1 ) +
A
(s + 2) 1 2 3
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Escola Politécnica Universidade de São Paulo
Curso de Circuitos Elétricos Volume 1 – Capítulo 8
Transformação de Laplace e Funções de Rede
L. Q. Orsini e D. Consonni
Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
DESCRIÇÃO ENTRADA-SAÍDA DE UM CIRCUITO RLC , LINEAR E
INVARIANTE NO TEMPO
u(t) = entrada ou excitação (causa )
y(t) = saída ou resposta (efeito )
A descrição entrada-saída deste circuito
será uma equação diferencial a
coeficientes constantes, relacionando
u(t) , y(t) e suas derivadas
RLC u(t) y(t)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Respostas dos Circuitos y(t) = Livre + Forçada (entrada (estado zero) zero) c.i.q. y(t) = Transitório + Permanente (tende a zero para t ∞, nos circuitos assintoticamente
estáveis)
y(t) = resposta completa
R u(t) y(t)
excitação resposta
condições iniciais
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Resolução de Circuitos
Modelo matemático equação diferencial
Condições iniciais:
Resolução
Transformada de Laplace
R u(t) y(t)
excitação resposta
y t a y t a y t u tn nn
( ) ( )( ) ( ) ... ( ) ( )+ + + =−1
1
y
y
( )
&( )
0
00
1
−
−
==
αα
y nn
( ) ( )−− −=1
10 α
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Teorema da Derivada:
ℒ [ resposta em ℒ [ resposta em estado zero] entrada zero]
D(s) polinômio característico (mônico !)
ℒ [ y t a y t a y tn nn
( ) ( )( ) ( ) ... ( )+ + +−1
1] =
ℒ [ u ( t ) ]
( ..... ) ( )s a s a s a Y sn nn n+ + + + =−
−11
1 .
U s s a sn n( ) ( ) ...... + + + +− −α α α01
1 1 02
+ + + + +− − −... ( ... )α α αn n na a1 1 2 1 0
Y sU s
D s
p s
D sci( )
( )
( )
( )
( ) = +
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Teorema da Derivada
Caso Particular: c.i.q.
ℒ [ f (t) ] = s. F(s) - f (0-)
ℒ [ f (t) ] = s2. F(s) - s.f (0-) - f (0-)
ℒ [ f (n)(t) ] = sn. F(s) - sn-1.f (0-) -
- sn-2. f(0-) - … - f (n-1)(0-)
ℒ [ f (t) ] = s. F(s)
ℒ [ f (n)(t) ] = sn. F(s)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Função de Rede
ou
R u(t) y(t)
excitação resposta
G sY s
U s( )
( )
( ) =
c.i.q.
G sYsz s
U s( )
( )
( ) =
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
P. V. I. Equações diferenciais lineares a
coeficientes constantes + condições iniciais
(domínio do tempo)
Equações algébricas na variável complexa s
(domínio das freqüências complexas)
Solução do P.V.I. (no domínio Funções de rede do tempo)
ℒℒℒℒ
ℒℒℒℒ----1111 c.i.n.
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
G(s)
FUNÇÃO DE REDE ou
Função de Transferência
ou
Função de Sistema
Resposta Forçada (Estado Zero) ⇒⇒⇒⇒ c.i.n.
ysz (t) = ℒ –1 [ Ysz(s) ]
c.i.n.
e(t) ysz (t)
E(s) Ysz(s)=G(s).E(s) G(s)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
FUNÇÃO DE REDE
Representação gráfica no plano s = σσσσ + jωωωω
-1 -2 -3
-j1
j1
jωωωω
σσσσ (2)
K = 10
F ss s
s s s s( ) = +
+ + + + 10
2
4 3 2
3
6 14 14 5
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Resolução de Circuitos
Modelo matemático
equação íntegro-diferencial
Teorema da Integral:
&( ) ( ) ( ) ( )y t a y t a y d u tt
+ + =−∞z1 2 λ λ
y( )0 0− = α
sY s a Y s
as
Y ss
y d U s
( ) ( )
( ) ( ) ( )
− + +
+ +LNM
OQP
=−∞
−z
α
λ λ
0 1
2
01 1
α −1
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Obtendo Y(s) :
ℒ [ resposta em ℒ [ resposta em estado zero] entrada zero]
Polinômio característico:
Função de Rede:
Y ssU s
s a s a
s a
s a s a( )
( )=+ +
+ −+ +
−2
1 2
0 2 12
1 2
α α
D s s a s a( ) = + +21 2
G ss
s a s a( ) =
+ +21 2
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Teorema da Integral
• Para integral de -∞ a t :
• Para integral de 0- a t :
ℒ f d
F s
s
f d
s
t( )
( ) ( )τ τ
τ τ +
−∞−∞z zL
NMOQP =
−0
ℒ f d
F s
s
t( )
( )τ τ 0−zLNM O
QP =
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Cálculo das Funções de Rede
SÓ PARA REDES LINEARES
INVARIANTES NO TEMPO
Aplicar a transformação de Laplace a uma descrição entrada-saída da rede, com condições iniciais nulas
Tipos de descrição entrada-saída: a- Equação diferencial linear, a coeficientes constantes
b- Equação íntegro-diferencial linear, a coeficientes constantes c- Sistemas de equações diferenciais lineares a coeficientes constantes
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
REPRESENTAÇÃO ENTRADA-SAÍDA
a1 - Por equação diferencial sem derivada no segundo membro:
==++++ −
−
nulas! iniciais condições
)(
)()()()( 1)1(
1)(
tu
tyatyatyaty nnnn
&L
ℒℒℒℒ
FUNÇÃO DE REDE:
nnnn asasas
sG++++
=−
−1
11
1)(
L
EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA:
0)( 11
1 =++++= −−
nnnn asasassD L
PÓLOS DE G(s) = ZEROS DE D(s)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
REPRESENTAÇÃO ENTRADA-SAÍDA
a2 - Por equação diferencial com derivada no segundo membro:
++++=
=++++
−−
−−
nulas! iniciais condições
)()()()(
)()()()(
1)1(
1)(
0
1)1(
1)(
tubtubtubtub
tyatyatyaty
mmmm
nnnn
&L
&L
ℒℒℒℒ
FUNÇÃO DE REDE:
nnnn
mmmm
asasas
bsbsbsbsG
++++++++=
−−
−−
11
1
11
10)(L
L
EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA:
0)( 11
1 =++++= −−
nnnn asasassD L
PÓLOS DE G(s) = ZEROS DE D(s)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
REPRESENTAÇÃO ENTRADA-SAÍDA
b - Por equação íntegro-diferencial:
ℒℒℒℒ
FUNÇÃO DE REDE:
EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA:
&( ) ( ) ( ) ( )y t a y t a y d u tt
+ + =−∞z1 2 λ λ
condições iniciais nulas
G ss
s a s a( ) =
+ +21 2
D s s a s a( ) = + + =21 2 0
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
REPRESENTAÇÃO ENTRADA-SAÍDA
c - Por sistema de equações diferenciais:
Exemplo de 2a. ordem:
=+++=+++
22222212121
12121211111
).().(
).().(
uybDaybDa
uybDaybDa
onde D ≡ d /dt é o operador de derivação. Agora há 4 Funções de Rede : Y1(s) / U1(s) Y1(s) / U2(s) Y2 (s) / U1(s) Y2(s) / U2(s)
A equação característica é:
0)(22222121
12121111 =++++
=bsabsa
bsabsasD
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Procedimento para a obtenção da Função de Rede
1- Escrever a equação do circuito
( relação entrada-saída entre y(t) e u(t) )
- Equação diferencial ordinária
- Equação íntegro-diferencial
- Sistema de equações diferenciais
2- Aplicar Laplace com condições iniciais nulas 3- Resolver com relação a Y(s)
4- Determinar a relação: Y(s) / U(s)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
TEOREMA DO VALOR INICIAL
Se F(s) = ℒ [ f (t) ], vale lim [ s F(s) ] = lim f(t) = f(0+) s→ ∞ t → 0+
TEOREMA DO VALOR FINAL
Se F(s) = ℒ [ f (t) ], vale lim [ s F(s) ] = lim f(t) s→ 0 t → ∞
Nota:
Os dois teoremas são fracos! Só valem se existirem os limites indicados!
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Exemplo dos Teoremas dos valores inicial e final
2
4 3 2
: 0 , 0.05 , 20
3 2( ) :
5 3 2
( ) : 1 0,11.exp( 4,4. ) 0,89.exp( 0,29. ).cos(0,61. )
0,44.exp( 0,29. ). (0,61. )
t
s sY s
s s s s
y t t t t
t sen t
=
+ +=+ + +
= − − − − ++ −
0
1
2
0 5 10 15 20
y(t)
t
y s F ss
( ) lim . ( )0 0+ →∞= = y s F s
s( ) lim . ( )∞ = =
→01
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Exemplo de Circuito Redutível
Em Laplace:
D(s) → polinômio característico D(s) =0 → equação característica
2 elementos armazenadores de energia
1 só pólo :
es R2
R1
C1 C2 v1
v2
C
dv
dtG v C
dv
dtG v1
11 1 2
22 2 0+ − − =
(1a. L.K.)
v v es1 2+ =
(2a. L.K.)
s C G s C G V
V
C v C v
E ss
1 1 2 2 1
2
1 10 2 20
1 1
+ − +LNM
OQPLNMOQP
=−L
NMOQP
( )
( )
D s s C C G G( ) ( )= + + + 1 2 1 2
sG G
C C11 2
1 2
= − ++
( )
( )
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Exemplo de Circuito Degenerado
1a. L. K. :
Em Laplace:
⇒
Para ββββ = 1 e g = 1 ⇒ D(s) = 0
Se Is (s) = 0 ⇒ ∞ soluções
is 1
e1
i1 1 βi1
g.e1
− + + − =g e ede
dt
de
dtis. 1 1
1 1β
( ) ( )1 111− + −L
NMOQP
=β de
dtg e is
( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( )1 1 1 01 1− + − = + − −β β s g E s I s es
E sI s
s g
e
s gs
11
1 1
1 0
1 1( )
( )
[( ) ( )]
( ). ( )
[( ) ( )]=
− + −+ −
− + −−
ββ
β
D s s( ) ( )= −1 β + (1-g)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
FUNÇÃO DE REDE E
RESPOSTA IMPULSIVA
G(s)
δδδδ (t) g(t)
ℒ
⇒ g(t) = resposta impulsiva = ℒ -1[ G(s)]
1 Ysz(s)=G(s).1=G(s) G(s)
U(s) Ysz(s)=G(s).U(s)
c.i.n.
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
INTEGRAL DE CONVOLUÇÃO
Funções f1(t) e f2(t), definidas em (-∞,∞) Convolução : (f1 * f2)( t ) ou f1(t)*f2(t)
f3(t)=f1(t) *f2(t) = ∫ −∞∞−
21
)(.)( λλλ dtff
onde t = variável "externa"
λ = variável "interna", ou de integração
Para funções causais (nulas para t<0) :
f1(t) *f2(t) = ∫ −t dtff 0 21
)(.)( λλλ
Ver : www.jhu.edu/~signals/
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
PROPRIEDADES DA CONVOLUÇÃO a) COMUTATIVA f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t)
b) DISTRIBUTIVA f1 * (f2 + f3) = f1 * f2 + f1 * f3
c) ASSOCIATIVA
(f1 * f2) * f3 = f1 * (f2 * f3) = f1 * f2 * f3
d) ELEMENTO IDENTIDADE δ (t), pois f1(t) * δ (t) = f1(t)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
TRANSFORMADA DE LAPLACE DA CONVOLUÇÃO
Se forem
S1(s)= ℒ [ s1(t )]
S2(s)= ℒ [ s2(t )]
valem:
ℒ [ s1(t ) * s2(t )] = S1(s) . S2(s)
ℒ-1 [ S1(s).S2(s)] = s1(t) * s2(t) A transformação de Laplace transforma
a convolução em produto !
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
RESPOSTA IMPULSIVA
g(t) → Resposta da rede ao impulso
unitário em c.i.n.
g(t) = ℒ–1 [ G (s) ]
Resposta da rede (em c.i.n.) a qualquer excitação u(t) :
y(t) = g ( t ) * u ( t )
ou
y(t) = ℒ –1 [ G (s) . U (s) ]
y(t) →→→→ resposta forçada ou resposta em
estado zero da rede
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
RESPOSTA IMPULSIVA
É a resposta de uma rede excitada por
um impulso unitário, a partir de condições
iniciais nulas:
0 1 2 3
2
0
2
x( )t
0
t
REDE
(c. i. n.)
δδδδ (t) g(t)
g(t) δδδδ (t) ∞
t t
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Resposta Impulsiva de um circuito sub-amortecido (oscilatório)
αααα = 0,1 seg-1 e ωωωω0 = 1 rad/s
g(t) = 1,005.exp(-0,1.t).sen(0,995.t)
0 5 10 15 20 -1
-0.5
0
0.5
1
t
g(t)
circuito sub-amortecido
G ss s
( ).
=+ +
1
0 2 12
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Resposta Impulsiva de um circuito
em amortecimento crítico
αααα = 1 seg-1 e ωωωω0 = 1 rad/s
g(t) = t.exp(-t)
G ss
( )( )
=+1
1 2
0 2 4 6 8 -0.5
-0.25
0
0.25
0.5
g(t)
circuito em amortecimento crítico
t
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Resposta Impulsiva de um transformador ressonante
(4 FCPs complexas)
REDE
(c. i. n.)
δδδδ (t) g(t)
δδδδ (t)
g(t)
Impulso: 10 pcoulomb
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
FUNÇÃO DE REDE
G(s) = Y(s) / U(s) c.i.n.
G(s) = Ysz / U(s)
G(s) = ℒ [ g (t) ]
RESPOSTA IMPULSIVA
y (t) para u(t) = δ (t) c.i.n.
g(t) = ℒ –1 [ G (s) ]
RESPOSTA EM ESTADO ZERO
ysz(t) = g ( t ) * u ( t )
ysz(t) = ℒ –1 [ G (s) . U (s) ]
RESPOSTA COMPLETA
Estado zero (forçada) + Entrada zero (livre) OU
Transitória + Permanente
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
FUNÇÃO DE REDE E
REGIME PERMANENTE SENOIDAL
FUNÇÃO DE REDE : G(s) = Y(s) / U (s) c.i.n.
y(t) = ℒ –1 [ G (s) . U (s) ]
↓
resposta forçada (transitório +
permanente)
U(s) Y(s) = G(s).U(s) G(s)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
FUNÇÃO DE REDE E
REGIME PERMANENTE SENOIDAL
TEOREMA IMPORTANTE:
RPS s →→→→ jωωωω
resposta permanente
G(jωωωω)
$U
$Y
G jY
U( )
$
$ω =
$ ( ). $Y G j U= ω
y t Y e j t( ) Re[ $. ]= ω
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Cálculo da Resposta em Regime
Permanente Senoidal
• Excitação senoidal com freqüência ωωωω
• Todos os transitórios decaem a zero
• Na expressão G(s) = Y(s) / U (s) substituir:
será o fasor da resposta em
R.P.S. do circuito
U s U( ) $ por
Y s Y( ) $ por
G s G j( ) ( ) por ω
$Y
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Função de Rede e
Regime Permanente Senoidal
Função complexa
Pode ser representada por duas curvas:
1- Curva de Resposta em freqüência
2- Curva de Defasagem
G jY
U( )
$
$ω =
M G j( ) ( )ω ω ω= ×
φ ω ω ω( ) arg ( )= ×G j
G j M e j( ) ( ). ( )ω ω φ ω=
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Função de Rede e Regime Permanente Senoidal
Exemplo – Circuito de 2a. ordem
G ss
s s( ) =
+ +2 3 2
G jj
j( )ω ω
ω ω=
− +2 32
Frequency
0Hz 0.5Hz 1.0Hz 1.5Hz 2.0Hz 2.5Hz 3.0Hz1 V(Vs) 2 Vp(Vs)
0V
100mV
200mV
300mV
400mVmódulo
>>-100d
-50d
0d
50d
100ddefasagem
M(ωωωω) e φφφφ(ωωωω)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Função de Rede e Regime Permanente Senoidal
Exemplo - Filtro Passa-Faixa
Frequency
100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz 30KHz 100KHz1 V(4) 2 VP(4)
0V
200mV
400mV
600mVmódulo
>>-800d
-600d
-400d
-200d
0ddefasagem
V(4) VP(4)
M(ωωωω) e φφφφ(ωωωω)
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Função de Rede e Resposta em Freqüência
Filtro Passa-Faixa
Frequency
20mHz 40mHz 70mHz 200mHz 400mHz 700mHz 1.1Hz 2.0Hz 4.0Hz 7.0HzIP(R1)- VP(1)
-100d
-50d
0d
50d
100dfase
SEL>>
I(R1) / V(1)10m
30m
100m
300m
1.0módulo
M(ωωωω)
φφφφ(ωωωω)
ωωωω0
ω 0
11 41= =
LC, rad / s
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Função de Rede e
Regime Permanente
Entrada : es(t) = cos(3t)
Time
15.0s 15.5s 16.0s 16.5s 17.0s 17.5s 18.0s 18.5s 19.0s 19.5s 20.0sV(V1:+)
-1.0V
0V
1.0V
Saída :
Time
15s 16s 17s 18s 19s 20sI(R1)
-400mA
0A
400mA
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Função de Rede e Regime Permanente
Entrada : es(t) = cos(50 t )
Time
15.0s 15.5s 16.0s 16.5s 17.0s 17.5s 18.0s 18.5s 19.0s 19.5s 20.0sV(V1:+)
-1.0V
0V
1.0V
Saída :
Time
15s 16s 17s 18s 19s 20sI(R1)
-400mA
0A
400mA
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Função de Rede e Regime Permanente
Entrada: es(t) = cos(3 t) + cos(50 t )
Time
15.0s 15.5s 16.0s 16.5s 17.0s 17.5s 18.0s 18.5s 19.0s 19.5s 20.0sV(V1:+)
-2.0V
0V
2.0V
Saída :
Time
15s 16s 17s 18s 19s 20sI(R1)
-400mA
0A
400mA
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Função de Rede e Regime Permanente
Exemplo de Circuito de 2a. Ordem
Função de transferência
G sV s
V s
R
sL RsC R
sC R
s( )( )
( )= =
+ ++
1
1
1 11 3
1 3
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Gráficos da Resposta em
Freqüência G(j ω) obtidos com o PSPICE
Frequency
10Hz 30Hz 100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHzV(Vs)
0V
5V
10VVP(Vs)
-100d
0d
100d
SEL>>
f0 160≈ Hz
M(ωωωω)
φφφφ(ωωωω)
f0 f1 f2
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.8
Programa em Matlab para construção dos gráficos de entrada e saída
%arq. resperm.m (30/11/08) t=0:0.0001:0.05; pi=3.1416; v1=10*cos(100*pi*t)+10*cos(320*pi*t)+10*cos(700*pi*t); v2=0.3*cos(100*pi*t+0.5*pi)+10*cos(320*pi*t)+0.6*cos(700*pi*t-pi/2); subplot(2,1,1) plot(t,v1), grid on, title('Tensao de entrada') subplot(2,1,2) grid on plot(t,v2), grid on, title('Tensao de saida')
Entrada : Composição de 3 co-senóides Amplitude : 10V – Frequências: f1, f0 e f2
Saída ≈ co-senóide Amplitude : 10V – Frequência f0
Efeito de Filtragem !