CONJUNTO

Um conjunto se pode entender como uma coleção ou agrupamento bem definido de objetos de qualquer classe. Os objetos que formam um conjunto são chamados membros ou elementos do conjunto.

Exemplo:

Na figura ao lado temos um Conjunto de Pessoas

NOTAÇÃOTodo conjunto se escreve entre chaves { } e se denota mediante letras maiúsculas A, B, C, ..., seus elementos se separam mediante vírgula.

Exemplo:

O conjunto das letras do alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. Se pode escrever assim:

L = {a, b, c, ..., x, y, z}

Exemplo:

A = {a, b, c, d, e} seu cardinal n(A) =

B = {x, x, x, y, y, z} seu cardinal n(B) =

Na teoria de conjuntos não precisa repetir os elementos, por exemplo:O conjunto {x, x, x, y, y, z } simplemente será { x, y, z }.

O número de elementos de um conjunto A chamamos CARDINAL DO CONJUNTO e se representa por n(A).

5

3ÍNDICE

Para indicar que um elemento pertence a um conjunto se usa o símbolo: Se um elemento não pertence a um conjunto se usa o símbolo: Exemplo: Seja M = {2, 4, 6, 8, 10}

2 M 2 pertence ao conjunto M, ou seja, 2 é elemento de M.

5 M 5 não pertence ao conjunto M, ou seja, 5 não é elemento de M. ÍNDICE

I) POR EXTENSÃO

Há duas formas de determinar um conjunto, por Extensão e por Entendimento.

É aquela forma mediante a qual se indica cada um dos elementos do conjunto.

Exemplos:A) O conjunto dos números pares maiores que 5 e menores que 20.

A = { 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 }

ÍNDICE

B) O conjunto de números negativos ímpares maiores que -10.

B = {-9, -7, -5, -3, -1 }

II) POR CONDIÇÃO ou PROPRIEDADE

É aquela forma mediante a qual se dá uma propriedade que caracteriza a todos os elementos do conjunto.

Exemplo:

Se pode entender que o conjunto P está formado pelos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

P = {os números dígitos }

Outra forma de escrever é: P = { x / x = dígito } se lê “P é o conjunto formado pelos elementos x tal que x é um dígito”.

Exemplo:

Expressar por extensão e por condição ou propriedade o conjunto de dias da semana.

Por Extensão: D = {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo }

Por Condição ou Propriedade: D = { x / x = dia da semana }

ÍNDICE

Os diagramas de Venn que se devem ao filósofo inglês John Venn (1834-1883) servem para representar conjuntos de maneira gráfica mediante desenhos ou diagramas que podem ser círculos, retângulos, triângulos ou qualquer curva fechada.

V

aei

o

u(1;3) (7;6)

(2;4) (5;8)

ÍNDICE

A = ou A = { } se lê: “A é o conjunto vazio”

CONJUNTO VAZIO

É um conjunto que não tem elementos, também se chama conjunto nulo. Geralmente se representa pelos símbolos: ou { }

Exemplos:

M = { números maiores que 9 e menores que 5 }

P = { x / }1

0X

CONJUNTO UNITÁRIO

É o conjunto que tem um só elemento.

Exemplo:

F = { x / 2x + 6 = 0 }

CONJUNTO FINITOÉ o conjunto com limitado número de elementos.

Exemplos:

E = { x / x é um número impar positivo menor que 10 }

N = { x / x2 = 4 }

CONJUNTO INFINITOÉ o conjunto com ilimitado número de elementos.

Exemplos:

R = { x / x < 6 } S = { x / x é um número par }

CONJUNTO UNIVERSOÉ um conjunto referencial que contém todos os elementos de uma situação particular, se representa pela letra U

Exemplo:O universo ou conjunto universal

;

de todos os números é o conjunto dos NÚMEROS COMPLEXOS.

ÍNDICE

SUBCONJUNTOUm conjunto A é subconjunto de B, se e somente se, todo elemento de A for também elemento de B.

A está completamente dentro de B.

NOTAÇÃO : A BLemos A está contido em B, A é subconjunto de B.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA :

PROPRIEDADES:

I) Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. A A

II) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

Se o conjunto Vazio não é subconjunto de A, então o conjunto vazio possui pelo menos um elemento diferente do conjunto A. Absurdo, pois o conjunto Vazio não possui elementos. Logo o conjunto Vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

III) A está contido em B ( ) equivale a dizer

que B contém A ( )A B

B ASe A não está contido em B ou A não é subconjunto de B significa que pelo menos um elemento de A não pertence a B. ( )A B

Simbolicamente: A B x A x B

IGUALDADE DE CONJUNTOS

Dos conjuntos são iguais se têm os mesmos elementos.

Exemplo:

A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 }

Resolvendo a equação de cada conjunto se obtém em ambos os casos que x é igual a 3 ou -3, ou seja: A = {-3; 3} y B = {-3; 3}, portanto A = B

Simbolicamente : A = B

CONJUNTO DE CONJUNTOSÉ um conjunto cujos elementos são conjuntos.

Exemplo:

F = { {a}; {b}; {a; b}; {a; b; c} }

Observe que os elementos do conjunto F também são conjuntos.

{a} é um elemento do conjunto F então {a} F

É correto dizer que {b} F ? NÃO

Porque {b} é um elemento do conjunto F, o correto é {b} F

CONJUNTO POTÊNCIAO conjunto potência de um conjunto A denotado por P(A) ou Pot(A) é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.

Exemplo: Seja A = { m, n, p }

Os subconjuntos de A são:

{m}, {n}, {p}, {m,n}, {n,p},{m,p}, {m,n,p}, Φ

Então o conjunto potência de A é:

P(A) = { {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}, Φ }

QUANTOS ELEMENTOS TEM O CONJUNTO POTÊNCIA DE A ?

Observe que o conjunto A tem 3 elementos e seu conjunto potência ou seja P(A) tem 8 elementos.

PROPRIEDADE:

Dado um conjunto A cujo número de elementos é n, então o número de elementos de seu conjunto potência é 2n.Exemplo:

Dado o conjunto B ={ x / x é um número par e5 < x < 15 }. Determinar o cardinal de P(B).

RESPOSTA

Se 5 < x < 15 e é um número par então

B = { 6, 8, 10, 12, 14 }

Observe que o conjunto B tem 5 elementos então:

Card P(B) = 2n

P(B) = 25 = 32

ÍNDICE

UNIÃO DE CONJUNTOSA união de dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que estão em A ou em B (ou em ambos). .

Indicamos esse conjunto por A U B

Exemplo:A = { 2, 3, 4, 5, 8 } e B = { 1, 2, 3, 6, 7}

A U B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

O conjunto “A intersecção B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e pertencem a B.

A B

Exemplo:

A = {2,3,4,5,8}

B = {1,2,3,6,7}

CONJUNTOS DISJUNTOSDois conjuntos são disjuntos quando não têm elementos comuns.

REPRESENTACÃO GRÁFICA :

A B

1

7

5 3

9

2

4

8

6

Como podemos observar os conjuntos A e B não têm elementos comuns, portanto são CONJUNTOS DISJUNTOS

76

556

A B

O conjunto “A menos B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B.

A B

Exemplo:

9

87

3

1

4

2

A – B = { 1, 2, 3, 4}

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {5, 6, 7, 8, 9}

Outro exemplo usando o diagrama de VennOutro exemplo usando o diagrama de Venn

Números Naturais (N) N = {1; 2; 3; 4; 5; ....}

Números Inteiros (Z) Z = {...; -2; -1; 0; 1; 2;....}

Números Racionais (Q) Q = {...; -2; -1; ; 0; ; ; 1; ; 2; ....}

Números Irracionais ( I ) I = {...; ;....}2; 3;

Números Reais ( R )

R = {...; -2; -1; 0; 1; ; 2; 3; ....}2; 3

12

15

12

43

Números Complexos ( C )

C = {...; -2; ; 0; 1; ; 2 + 3i; 3; ....}2; 312

N

ZQ

I

RC

PROPRIEDADES DA UNIÃO DE CONJUNTOS

1. A U A = A

2. A U B = B U A

3. A U Φ = A

4. A U U = U

5. (AUB)UC = AU(BUC)

6. Se A U B = Φ A = Φ e B = Φ

ÍNDICE

EXEMPLOS:

Expressar por extensão os seguintes conjuntos:

A ) 2P x N /x 9 0

B )

C )

D ) T x Q /(3x 4)(x 2) 0

E ) B x I /(3x 4)(x 2) 0

2Q x Z /x 9 0 2F x R /x 9 0

P={3}

Q={-3;3}

F = { }

4T

3

B 2

RESPOSTAS

INDICE

Dado um conjunto universo U e um conjunto A, se chama complemento de A ao conjunto formado por todos os elementos do universo que não pertencem ao conjunto A.Notacão: A’ ou AC

Exemplo:

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} A = {1; 3; 5; 7; 9}e

Simbolicamente: A ' x /x U x A

A’ = U - A

12 3

45

6

78

9

U AA

A’ = {2; 4; 6; 8}

PROPRIEDADES DO COMPLEMENTO

1. (A’)’ = A

2. A U A’ = U

3. A A’ = Φ

4. U’ = Φ

5. Φ’ = U

ÍNDICE

A B

C

A B

CA

B

C

AB

C

[(AB) – C]

[(BC) – A]

[(AC) – B]

U U