CONHEÇA HIDROLÂNDIA (UIBAÍ)

CONHEÇA HIDROLÂNDIA (UIBAÍ)

Resolver e classificar o sistema:

Calculemos inicialmente D, Dx , Dy  e  Dz:

Resolver e classificar o sistema:

Determinar m real para que o sistema seja possível e determinado

QUESTÃO EXTRA:

A é uma matriz quadrada de ordem 3 e det A = 2. Nessas condições det (2A) é igual a:

a) 4

b) 7

c) 8

d) 10

e) 16

Vamos usar a propriedade:

Det (2 . A) = 23 . 2

Det (2 . A) = 8 . 2

det A = 16

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Menor Complementar M11

SISTEMAS LINEARES

♫ – 15/05/2008 – ♫

PROFESSOR: Neilton Satel

Capítulo 05. Sistemas Lineares

2.2. Resolução de um Sistema 2 × 2Resolver um sistema linear 2 × 2 significa obter o conjunto

solução do sistema.Os dois métodos mais utilizados para a resolução de um

sistema linear 2 × 2 são o método da substituição e o método da adição.Para exemplificar, vamos resolver o sistema 2 × 2 abaixo

usando os dois métodos citados.                  1o) Método da Substituição:                     Da equação (II), obtemos x = y –1, que substituímos na equação (I)2(y – 1) + 3 · y = 8     5 y = 10     y =2Fazendo y = 2 na equação (I), por exemplo, obtemos:2x + 3 = 8     2x = 2     x = 1Assim: S = {(1, 2)}

2o) Método da Adição:                     

Multiplicamos a equação II por 3 e a adicionamos, membro a membro, com a equação I.                    

     Fazendo x = 1 na equação (I), por exemplo, obtemos:2 · 1 + 3y = 8     y = 2Assim: S = {(1, 2)}

C. Sistema Linear 2 × 2 com infinitas soluçõesQuando uma equação de um sistema linear 2 × 2 puder ser obtida

multiplicando-se a outra por um número real, ao tentarmos resolver esse sistema, chegamos numa igualdade que é sempre verdadeira, independente das incógnitas. Nesse caso, existem infinitos pares ordenados que são soluções do sistema. Exemplo

Note que multiplicando-se a equação (I) por (-2) obtemos a equação (II).Resolvendo o sistema pelo método da substituição temos:

D. Sistema Linear 2 × 2 com nenhuma soluçãoQuando duas equações lineares têm os mesmos coeficientes, porém os

termos independentes são diferentes, dizemos que não existe solução comum para as duas equações, pois substituindo uma na outra, obtemos uma igualdade sempre falsa.

Exemplo:

2x + 3y = 6(I)   e   2x + 3y = 5 (II)substituindo 2x + 3y da equação (I) na equação (II)

obtemos:

Multiplicando-se a equação (I) por 2, obtemos:2x + 4y = 10

que tem os mesmos coeficientes da equação (II), porém os termos independentes são diferentes.

• Sistemas Impossíveis ou Incompatíveis: são os sistemas que não possuem solução alguma.

• Sistemas Possíveis ou Compatíveis: são os sistemas que apresentam pelo menos uma solução.

Os sistemas possíveis são classificados em:

• Sistemas Possíveis Determinados: se possuem uma única solução.

• Sistemas Possíveis Indeterminados: se possuem infinitas soluções.

E. Sistema Linear Homogêneo

Chamamos de sistema linear homogêneo aquele constituído apenas por equações homogêneas, isto é, equações com termo independente nulo.

Exemplo

  

            

ObservaçãoNum sistema homogêneo com n incógnitas, a n-upla (0,

0, 0, ..., 0) sempre é uma solução, chamada solução nula ou solução trivial do sistema.

E. Sistema Linear Homogêneo

Chamamos de sistema linear homogêneo aquele constituído apenas por equações homogêneas, isto é, equações com termo independente nulo.

Exemplo

  

            

ObservaçãoNum sistema homogêneo com n incógnitas, a n-upla (0,

0, 0, ..., 0) sempre é uma solução, chamada solução nula ou solução trivial do sistema.

Regra de Cramer

A regra de Cramer foi desenvolvida pelo matemático suíço Gabriel Cramer (1704 -1752). Ela consiste num método para resolução de sistemas lineares n x n (número de equações igual ao número de incógnitas) com o auxílio de determinantes.

2o) Determinar m real para que o sistema seja possível e determinado.

2o) Determinar m real para que o sistema seja possível e determinado.

             

5. Resolução de um Sistema por Substituição

Resolvemos um sistema linear m × n por substi-tuição, do mesmo modo que fazemos num sistema linear 2 × 2. Assim, observemos os exemplos a seguir.

Exemplo

6. Sistemas Lineares Escalonados

Dizemos que um sistema linear é um sistema escalonado quando:

1o) em cada equação existe pelo menos um coeficiente não-nulo;

2o) o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não-nulo, cresce “da esquerda para a direita, de equação para equação”.

O sistema obtido é impossível, pois a terceira equação nunca será verificada para valores reais de y e z.