Post on 28-Feb-2020
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Ementa
1. Noções básicas sobre erros.
2. Zeros reais de funções reais.
3. Resolução de sistemas de equações lineares.
4. Interpolação.
5. Ajuste de curvas.
6. Integração Numérica.
7. Solução numérica de eq. diferenciais ordinárias.
Introdução
➢ Para utilizar eficazmente qualquer ferramenta de soluçãonecessitamos conhecer e entender o problema.
➢ Os computadores tem uma grande utilidade para resolver problemasde engenharia, porém são praticamente ineficientes se nãocompreendemos o funcionamento dos sistemas de engenharia.
A resolução dos diversos problemas, que surgem nas mais
diversas áreas, envolve várias fases.
Fases da Resolução de um Problema
Problema Real
Levantamento de Dados
Construção do Modelo Matemático
Escolha do Método Numérico Adequado
Implementação Computacional
Análise dos Resultados Obtidos
Se necessário: Reformular o Modelo Matemático e/ou Escolher Novo Método Numérico
Fases da Resolução de um Problema
Problema Real
Levantamento de Dados
Construção do Modelo Matemático
Escolha do Método Numérico Adequado
Implementação Computacional
Análise dos Resultados Obtidos
Se necessário: Reformular o Modelo Matemático e/ou Escolher Novo Método Numérico
Um modelo matemático pode ser definido como umaformulação ou uma equação que expresse as característicasessenciais de um sistema físico ou processo, em termosmatemáticos.
Fases da Resolução de um Problema
Problema Real
Levantamento de Dados
Construção do Modelo Matemático
Escolha do Método Numérico Adequado
Implementação Computacional
Análise dos Resultados Obtidos
Se necessário: Reformular o Modelo Matemático e/ou Escolher Novo Método Numérico
Os Métodos Numéricos são técnicas mediante as quais épossível formular problemas matemáticos de tal forma quepossam ser resolvidos usando operações aritméticas(Algoritmo com um número finito de operações).
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Problema Real
Levantamento de Dados
Construção do Modelo Matemático
Escolha do Método Numérico Adequado
Implementação Computacional
Análise dos Resultados Obtidos
Se necessário: Reformular o Modelo Matemático e/ou Escolher Novo Método Numérico
Como necessitamos realizar um número grande de cálculosaritméticos, devemos usar o computador para obter umsolução em um tempo razoável.
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Problema Real
Levantamento de Dados
Construção do Modelo Matemático
Escolha do Método Numérico Adequado
Implementação Computacional
Análise dos Resultados Obtidos
Se necessário: Reformular o Modelo Matemático e/ou Escolher Novo Método Numérico
A análise dos resultados tem como objetivo verificar se osresultados observados correspondem aos esperados, combase em critérios e padrões estipulados.
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Escolha do Método Numérico Adequado
Implementação Computacional
Análise dos Resultados Obtidos
Se necessário: Reformular o Modelo Matemático e/ou Escolher Novo Método Numérico
Não é raro acontecer que os resultados finais estejam distantesdo que se esperaria obter, ainda que todas as fases tenham sidorealizadas corretamente.
Erros
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Problema Real
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Escolha do Método Numérico Adequado
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Análise dos Resultados Obtidos
Se necessário: Reformular o Modelo Matemático e/ou Escolher Novo Método Numérico
Erros na Fase de Modelagem:
❖ Para representar um fenômeno do mundo físico por meio de ummétodo matemático, normalmente, são necessárias váriassimplificações do mundo físico para que se tenha um modelo.
❖ A precisão dos dados de entrada.
Erros
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Problema Real
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Construção do Modelo Matemático
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Implementação Computacional
Análise dos Resultados Obtidos
Se necessário: Reformular o Modelo Matemático e/ou Escolher Novo Método Numérico
Erros na Fase de Resolução:
❖ A forma como os dados são representados no computador(aproximações).
❖ As operações numéricas efetuadas.
Erros
Estudaremos os erros que surgem da representação de números em um
computador e os erros resultantes das operações numéricas efetuadas
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1 Noções básicas sobre Erros
Fenômenos da natureza podem ser descritos através do uso de
modelos matemáticos.
MODELAGEM: é a fase de obtenção de um modelo matemático
que descreve o comportamento do problema que se quer estudar.
RESOLUÇÃO: é a fase de obtenção da solução do modelo
matemático através da aplicação de métodos numéricos.
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1.1 Erros
Para se obter a solução do problema através do modelo matemático,
erros são cometidos nas fases: MODELAGEM e RESOLUÇÃO.
EXEMPLO: Calcular a área da superfície terrestre usando a
formulação A = 4.p.r² .
Resolução: Aproximações (ERROS):
MODELAGEM: a Terra é modelada como uma esfera, uma
idealização de sua forma verdadeira. O raio da Terra é obtido por
medidas empíricas e cálculos prévios.
RESOLUÇÃO: o valor de π requer o truncamento de um processo
infinito; os dados de entrada e os resultados de operações aritméticas
são arredondados pelo computador.
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--Características Físicas:
Diâmetro Equatorial: 12756Km; Diâmetro Polar: 12713Km;
Massa: 5,98x1024 Kg;
Perímetro de Rotação Sideral: 23h 56min 04seg;
Inclinação do Equador Sobre a Órbita: 23o 27’.
--Características Orbitais:
Raio da Órbita, isto é, 1U.A. (unidade astronômica): 149897570Km;
Distância Máxima do Sol: 152100000Km;
Distância Mínima do Sol: 147100000Km;
Período de Revolução Sideral: 365dias 6h 9min 9,5seg;
Velocidade Orbital Média: 29,79Km/seg.
OBS. 1: Características do planeta Terra.
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1.2 Erros Absolutos e Relativos
1.2.1 Erro Absoluto
Geralmente não se conhece o valor exato x . Assim, o que se faz é
obter um limitante superior ou uma estimativa para o módulo do erro
absoluto.
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1.3 Erros de Arredondamento e Truncamento
1.3.1 Erro de Arredondamento
di seja a última casa se di+1<5;
di +1 seja a última casa se di+15.
Exemplo: Arredondar p na quarta casa decimal, sendo que
p = 3,1415926535
di =5 e di+1=9>5
di +1=5+1=6. Logo: p = 3,1416.
Arredondar um número na casa di é desconsiderar as casas
di+ j ( j =1,,) de tal forma que:
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1.3 Erros de Arredondamento e Truncamento
1.3.2 Erro de Truncamento
Truncar um número na casa di é desconsiderar as casas
di+ j ( j =1,,).
Exemplo: Aproximar p truncando na quarta casa decimal, sendo
que p=3,1415926535
Exemplo:
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Exemplo: Considerando no sistema de base 10, b=10, represente
os seguintes números, em aritmética de ponto flutuante:
1.4 Aritmética de Ponto Flutuante
a) 0,34510
b) 31,41510
Obs.: Os números assim representados estão NORMALIZADOS, isto é, a
mantissa é um número entre 0 e 1.
Exemplo: Considerando no sistema binário, b=2, represente o
número 1012 em aritmética de ponto flutuante.
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1.5 Conversão de Bases
1.5.1 Conversão da Base b para a Decimal (b10)
Um número na base b pode ser escrito, na base decimal, como:
Para a conversão, faz-se a operação entre a mantissa do número
normalizado e a base βexp .
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Exemplo: Nos itens a seguir, faça a conversão da base indicada
para a decimal, determinando o valor da variável x .
1.5 Conversão de Bases
a) 10112 = x10
b) 11,012 = x10
c) 403,125 = x10
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1.5.2 Conversão da Base Decimal para a b ( 10b )
1.5 Conversão de Bases
Aplica-se um processo para a parte inteira e um outro para a parte.
a) PARTE INTEIRA ( N ): a.1) N <b N10 = Nb .
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1.5 Conversão de Bases
Exemplo: Converta 5910 para a base 2.
Exemplo: Converta 5910 para a base 3.
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b) PARTE FRACIONÁRIA ( F ):
1.5 Conversão de Bases
◼ O processo consiste em separar o número decimal na parte inteira e na
fracionária.
◼ O método das divisões sucessivas é aplicado a parte inteira, conforme
estudado anteriormente.
◼ Para a parte fracionária aplica-se o método das multiplicações
sucessivas até que se atinja zero.
◼ Para exemplificar, será convertido o número decimal 8,375 em binário.
1.5 Conversão de Bases
◼ Isto equivale a uma dízima periódica. Como exemplo, tem-se:
◼ Observação Importante: existem casos em que o método das
multiplicações sucessivas encontra novamente os números já
multiplicados e o processo entra em um “loop” infinito.
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1.6 Operações de Pontos Flutuantes
1.6.1 Representações
• Precisão dupla: “dobra” a mantissa (2* t );
• O zero em ponto flutuante é em geral representado com o menor
expoente (exp=I ) possível na máquina;
• Ao converter um número para determinada aritmética de ponto
flutuante, emprega-se sempre o arredondamento;
• Não é possível representar todos os números reais em determinada
aritmética de ponto flutuante (reta furada).
OBS. 3: Um exemplo da reta furada é: Considere a aritmética de pontos flutuantes com parâmetros
b=10 e t =3. Tome os números consecutivos 3,57 e 3,58. Existem infinitos números reais entre 3,57 e
3,58 que não podem ser representados nesta aritmética de pontos flutuantes. Por exemplo: 3,571 ou
3,57437.
Exemplo: Representar o ponto flutuante (t=4, b=10, e exp [-4,4]):
Número na base decimal Representação em ponto flutuante
mantissa base
expoente
1532 0,1532 x 104 0,1532 10 4
15,32 0,1532 x 102 0,1532 10 2
0,00255 0,255 x 10-2 0,255 10 -2
10 0,10 x 102 0,10 10 2
0,000002 Underflow Expoente < -4
817235,89 Overflow Expoente > +4
1.6 Operações de Pontos Flutuantes
1.6 Operações de Pontos Flutuantes
OBS.: Deve-se converter os valores para a aritmética de ponto flutuante com 3
algarismos significativos.
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A seguir será mostrada, a precisão das operações numéricasenvolvendo números de ponto flutuante. Para tal, será utilizado umcomputador hipotético com dois dígitos, base dez e expoentee = -5,...,5(t=2, b=10, e exp [-5,5]):
1.6 Operações de Pontos Flutuantes
Quando dois números são somados ou subtraídos, os dígitos donúmero de expoente menor devem ser deslocado de modo a alinharas casa decimais. O resultado é, então, arredondado para 2 dígitospara caber na mantissa de tamanho 2. Isto feito, o expoente éajustado de forma a normalizar a mantissa (d1≠0)
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1.6 Operações de Pontos Flutuantes
Exemplo: Somar 4,32 e 0,064. (t=2, b=10, e exp [-5,5])
Exemplo: Subtrair 371 de 372. (t=2, b=10, e exp [-5,5])
Exemplo: Somar 691 e 2,71. (t=2, b=10, e exp [-5,5])
Exemplo: Multiplicar 1234 por 0,016. (t=2, b=10, e exp [-5,5])
Exemplo: Multiplicar 875 por 3172. (t=2, b=10, e exp [-5,5])
Exemplo: Dividir 0,0064 por 7312. (t=2, b=10, e exp [-5,5])