Cálculo 4

Aula 13

Prof. Gabriel Bádue

O Teorema Fundamental das Integrais de Linha

Motivação

Teoria

TeoriaDefiniçãoUm campo vetorial F é chamado campo vetorial conservativo se for igual aogradiente de uma função escalar, ou seja, se existir uma função f tal que F = f .Nessa situação, f é denominada função potencial de F.

O campo gravitacional 𝐅 𝑥, 𝑦, 𝑧

é conservativo pois 𝛻𝑓 = 𝐅, sendo

TeoriaDefiniçãoSe F for um campo vetorial contínuo com domínio D, dizemos que a integral de linhaC F dr é independente do caminho se C1

F dr = C2F dr para quaisquer dois

caminhos C1 e C2 em D que tenham os mesmos pontos iniciais e finais.

Então, do Teorema Fundamental,

C1f dr = C2

f dr

sendo 𝐶1 e 𝐶2 curvas suaves por partes com mesmo ponto inicial 𝐴 e mesmo pontofinal 𝐵. Assim,

as integrais de linha de campos vetoriais conservativos sãoindependentes do caminho

TeoriaSeja 𝐶 uma curva fechada e C F dr independente do caminho,

C F dr = C1F dr + C2

F dr = C1F dr – –C2

F dr = 0

Agora, considerando que C F dr = 0 e que 𝐶 uma curva fechada, ao definir dois caminhos 𝐶1 e 𝐶2 de 𝐴 em 𝐵, 𝐶 será constituída por 𝐶1 e −𝐶2, e

0 = C F dr = C1F dr + –C2

F dr = C1F dr – C2

F dr

Teoria

TeoriaDefiniçãoUma região simplesmente conexa no plano é uma região conexa por caminhos D tal que toda curva fechada simples em D inclui apenas os pontos que estão em D.

Teoria

Exemplo 1

Determine se 𝐅 é um campo conservativo. Se for, determine uma função 𝑓

tal que 𝐅 = 𝛻𝑓.

a) 𝐅 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 3𝑦 𝐢 + −3𝑥 + 4𝑦 − 8 𝐣

b) 𝐅 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦𝐢 + 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦𝐣

Exemplo 2

Determine uma função 𝑓 tal que 𝐅 = 𝛻𝑓 e calcule 𝐶 𝐅 ∙ 𝑑𝐫, sendo

𝐅 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝐢 + 𝑦2𝐣

e 𝐶 é o arco de parábola 𝑦 = 2𝑥2 de −1,2 a (2,8).