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Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 109
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RL E RC
Relembre: Bobines e condensadores Capacidade em armazenar energia
OBJECTIVO : Quantificar e caracterizar o comportamento das grandezas tensão e corrente proveniente da libertação de energia a partir destes elementos passivos sobre uma resistência inserido no circuito.
Configurações típicas
Leq R eqIo eq ReqoV+
-C
Nota: Aquando da libertação de energia, não existem fontes associadas aos circuitos.
Correntes e tensões geradas pela energia libertada
Correntes e tensões dependem da natureza do circuito
Resposta natural
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 110
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RL E RC
Resposta natural de um circuito RL
EXEMPLO
t=0i
+
-LRI o R v
Nota: A fonte de corrente é constante (dc) e igual a I.
O interruptor permaneceu fechado por um período de tempo bastante longo.
Antes da abertura do interruptor, apenas existem correntes dc no circuito.
A bobine comporta-se como curto-circuito0=dtdiL
I
OBJECTIVO: Determinar a tensão e a corrente aos terminais da resistência, após a abertura do interruptor (t=0).
Cálculo de v(t) e i(t) para t = 0
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 111
t=0i
+
-LRI o R v
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RL E RC
Resposta natural de um circuito RL (Cont.)
L RI
i +
-v
t=0
Cálculo de i(t) Lei da tensão de Kirchhoff
0=+ RidtdiL
Equação diferencial de 1ª ordem
R e L constantes
dtiLRdt
dtdi −=
Simplificando e dividindo por i
dtLR
idi
−=
dxx
= - RL
dyi t
i t
t
t
o o( )
( )
∫ ∫
Integrando
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 112
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RL E RC
Resposta natural de um circuito RL (Cont.)
∫∫t
t
ti
ti oo
dyLR
- = x
dx
)(
)(
i(to)à corrente no instante inicial (to)
i(t)à corrente no instante (t)
tLR
iti
−=
)0()(
ln i(t) = i (0) e- (R/L)t Com to =0
Considerações importantes:
Não é possível verificar-se uma variação instantânea da corrente numa bobine.
A corrente na bobine antes da abertura do interruptor é igual a I.
Imediatamente após a abertura do interruptor a corrente na bobine mantém o valor.
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 113
Resposta natural de um circuito RL (Cont.)
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RL E RC
ü Considere-se t = 0- , o tempo imediatamente antes da abertura do interruptor.
ü Considere-se t = 0+ , o tempo imediatamente após da abertura do interruptor.
i(0-) = i(0+) = I = Io Ioà Corrente inicial na bobine L RI
i +
-v
Io e i possuem o mesmo sentido
i(t) = Io e- (R/L) t, t ≥ 0
0
i(t)
t
Io
τ
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 114
Resposta natural de um circuito RL (Cont.)
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RL E RC
0
i(t)
t
Io
τ
i(t) = Io e- (R/L) t, t ≥ 0
tI
Itiτ
00)( −=Expressão da corrente
para a taxa de decrescimento inicial
RL=τ Constante de tempo
i(t) = Io e- t/τ, t = 0
Cálculo da tensão, potência e energia
Tensão aos terminais da resistência v = R i = R Io e- (R/L)t = R Io e- t/τ , t = 0
Potência dissipadaRv
Rivip2
2 === p = R Io2 e- 2t/τ , t ≥ 0
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 115
Resposta natural de um circuito RL (Cont.)
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RL E RC
Energia fornecida à resistência
dxe I Rpdx0
/2-2o
0∫∫ ==t
xt
w τ )-(1 2
/220
ττ teRIw −= 0 t)-(1 21 /22
0 ≥= − τteLIw
Nota: É fácil verificar que ao fim de 5τ a corrente apresenta uma fracção desprezável do seu valor inicial. Isto é, a corrente só existe temporariamente no circuito RL.
Resposta transitória
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 116
τ=0.1 seg
τ=0.01 seg
EVOLUÇÃO DA CORRENTE NUM CIRCUITO RL (RESPOSTA NATURAL)
i(t) = Io e- t/τ, t = 0
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 117
t=010A
100Ω10mH
4mH8Ωi
Resposta natural de um circuito RL (Cont.)
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RL E RC
EXEMPLO O interruptor permaneceu na posição a por um período de tempo longo. No instante t=0, este foi movido para a posição b. Determine:
i(t) t = 0.
a b
Para t < 0
10A
100Ω10mH
I0
I0 = 10 A 10mH4mH8Ωi
t = 0
2.86mH8Ωi10A
0 ,10)(3108.2 ≥−= − teti tx
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 118
Resposta natural de um circuito RC
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RL E RC
t = 0
CR
t = 0 +
-
vs
ü Ao fim de um tempo suficientemente longo o condensador comporta-se como um circuito aberto.
+ -
vs
CR
R1
i(t)a b
Qual é o valor da tensão aos terminais do condensador para t < 0?
Nota: Não se pode verificar uma variação instantânea da tensão aos terminais de um condensador
Vc (0+) = Vc(0-) = Vs
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 119
CR
+
-
vs
i(t)
Resposta natural de um circuito RC (Cont.)
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RL E RC
+
-
v(t)
Dedução da expressão da tensão
Uso de nós fictícios Método das tensões nos nós.
0=+Rv
dtdv
C 0, )0()( / ≥= − tevtv RCt
v(0+) = v(0-) = V0 = Vs
τ = RC
Constante de tempo
t
o
0
v(t)
V v(t) = V o e-t/τ
v(t) = V o oVτ t-
τ
Corrente 0,)(
)( /0 ≥== − teR
VRtv
ti t τ
Potência 0,)( /22
0 ≥== − teR
Vvitp t τ
Energia ∫∫ −==t xt
dxeR
Vpdxtw
0
/22
0
0)( τ
0 t),1(21)( /22
0 ≥−= − τteCVtw
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 120
Resposta natural de um circuito RC (Cont.)
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RL E RC
EXEMPLO
15mA
60ΚΩ 20ΚΩ
10KΩ
0.5µF
Determine:
a) Valor inicial de v( t).
b) Constante de tempo.
c) v(t) para t = 0
a) t < 0
Condensador em circuito aberto
Uso do divisor de corrente
i
mAmAKK
Ki 1015
306060
=+
= VKvv 20010x10*20)0()0( 3 === −+−
20ΚΩ0.5µF
t = 0b) τ = RC = 10ms
+
-
V0
c) 0, )0()( / ≥= − tevtv RCt
0, 200)( 100 ≥= − tetv t
Não sei se percebi isto!
t = 0+v(t)
-
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 121
Resposta em degrau de um circuito RL
RESPOSTA EM DEGRAU DE CIRCUITOS RL E RC
Vs
R
L v(t)
t=0
i
+
-
+
-
OBJECTIVO: a) Determinar a expressão para a corrente que circula no circuito para t = 0.
b) Determinar a tensão aos terminais da bobine para t = 0.
Lei da tensão de Kirchhoff
dtdi
LRiVs +=
−
−=
+−=
RV
iLR
LVRi
dtdi ss
dtRV
iLR
dtdtdi s
−
−=
Multiplicando por dt
dtRV
iLR
di s
−
−=
Separando as variáveis
dtLR
RVidi
s
−=
− )/( ∫∫−
=−
tti
Is
dyLR
RVxdx
0
)(
0 )/(
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 122
Resposta em degrau de um circuito RL (Cont.)
RESPOSTA EM DEGRAU DE CIRCUITOS RL E RC
OBJECTIVO: a) Determinar a expressão para a corrente que circula no circuito para t = 0.
b) Determinar a tensão aos terminais da bobine para t = 0.
Resolvendo os integrais:
tLR
)R/V(I)R/V()t(i
lns0
s −=
−− tLR
s
s eRVIRVti )/(
0 )/()/()( −=
−− 0t,e
RV
IRV
)t(i t)L/R(s0
s ≥
−+= −
Não existindo energia inicial na bobine,
0, )( )/( ≥−= − teRV
RV
ti tLRss
τ τ τ ττ2 3 4 5t
i(t)
0
0.632VsR
VsR
VsR
VsR
- e- t/ τi(t) =
VsL
ti(t) =
Após o interruptor ter sido fechado, a corrente evolui de zero até ao valor Vs/R
A taxa de crescimento é determinada pela constante de tempo do circuito (τ = L/R)
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 123
Resposta em degrau de um circuito RL (Cont.)
RESPOSTA EM DEGRAU DE CIRCUITOS RL E RC
OBJECTIVO: a) Determinar a expressão para a corrente que circula no circuito para t = 0.
b) Determinar a tensão aos terminais da bobine para t = 0.
Para um tempo t = τ, após o fecho do interruptor, a corrente terá atingindo cerca de 63% do seu valor
RVe
RV
RVi sss 6321.0 )( 1 ≈−= −τ
Nota: Se a corrente mantivesse o seu crescimento à taxa inicial, a corrente atingiria o seu valor final para o valor τ
Derivando a expressão da corrente
ττ
τ//1 tsts e
LV
eRV
dtdi −− =
−−=
LV
dtdi s=)0(
Taxa inicial de variação de i
Se o crescimento da corrente se verificasse a esta taxa
tLV
ti s=)(
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 124
RESPOSTA EM DEGRAU DE CIRCUITOS RL E RC
Resposta em degrau de um circuito RL (Cont.)
Determinar a tensão aos terminais da bobine para t = 0.
A Tensão aos terminais da bobine é dada por L di/dt
tLRs
tLRs eRIVeRV
ILRLtv )/(
0)/(
0 )( )( −− −=
−
−= Se I0 = 0 0, )( )/( ≥= − teVtv tLR
s
Nota: No instante em que o interruptor é fechado, a tensão na bobine assume o valor Vs – RI0
v(0)=Vs
τ τ τ ττ2 3 4 5t
0
Vs
Vs
Vs
-
e- t/ τ
Vs
v
v =
v = VsRL
t
0.367
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 125
Resposta em degrau de um circuito RL (Cont.)
RESPOSTA EM DEGRAU DE CIRCUITOS RL E RC
Processo alternativo
v(t)
t=0
i
+
-
LRIs I0
Método das tensões nos nós
∫ ++=t
s IvdyLR
vI0 0
1 Derivando em ordem ao tempo
Lv
dtdv
R+= 10
Multiplicando por R e resolvendo em ordem a dv/dt
vLR
dtdv −=
Multiplicando por dt e separando as variáveis
dtLR
vdv −=∫∫
−=ttv
vdy
LR
xdx
0
)(
)0(tLRevtv )/()0()( −=
Tensão inicial aos terminais da bobine 00s v)II(R)0(v =−=
Is – I0
+
-
v0
tLRs eRIVtv )/(
0 )()( −−=
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 126
Resposta em degrau de um circuito RL (Cont.)
RESPOSTA EM DEGRAU DE CIRCUITOS RL E RC
Cálculo da corrente na bobine
∫ +=t
IvdyL
ti0 0
1)( ou
Rtv
Iti s
)()( −=
Substituindo v(t) pela sua expressão
tLRss eRIV
RIti )/(
0 )(1
)( −−−=tLRss eI
RV
RV
ti )/(0 )( −
−−=
tLRss eRV
IRV
ti )/(0 )( −
−+=
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 127
EXEMPLO
Determine: a) iL para t < 0; (b) iL(t) para todo o t após o interruptor ter sido fechado.
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 128
Resposta em degrau de um circuito RC : Cálculo da corrente i(t)
RESPOSTA EM DEGRAU DE CIRCUITOS RL E RC
+
V0
-
+ -
vs
C
R
+
Vc
-i(t)
Lei da tensão de Kirchhofft = 0
∫ ++=t
cs vidyC
RiV0
)0(1 Derivando em
ordem ao tempo
0=+Ci
dtdi
R ou 01
=+ iRCdt
di
De forma semelhante ao verificado para os circuitos RL
RCteiti / )0()( −= Corrente inicial no circuito
RVV
i s 0)0(−
=RCts e
RVV
ti /0 )( −−=
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 129
Resposta em degrau de um circuito RC
RESPOSTA EM DEGRAU DE CIRCUITOS RL E RC
Cálculo da tensão vc(t) aos terminais do condensador
+
V0
-
+ -
vs
C
R
+
Vc
-i(t)
t = 0 RiVtv sc −=)( Substituindo a expressão da corrente
RCtssc eVVVtv /
0 )()( −−+= Se a tensão inicial no condensador for zero
RCts eRV
ti / )( −=
RCtssc eVVtv / )( −−=
i(t)
R
τ τ τ ττ2 3 4 5t
0
Vs
Vs
Vs e- t/ τ0.367
R
Ri(t) =
τ τ τ ττ2 3 4 5t
0
0.632Vs
Vs
Vs- e- t/ τ=
v
Vsvc
c
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 130
Resposta em degrau de um circuito RC
RESPOSTA EM DEGRAU DE CIRCUITOS RL E RC
Processo alternativo
CR
Is
t = 0
+
Vc
-
+
V0
-i(t)
Método das tensões nos nós
scc I
Rv
dtdvC =+ Dividindo por C
CI
RCv
dtdv scc =+
RCtssc eRIVRItv /
0 )()( −−+=
Cálculo da corrente
−
−== − RCt
sc eRIV
RCC
dtdv
Cti /0 )( 1)( RCt
s eRV
Iti /0 )( −
−=
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 131
RESPOSTA NATURAL E EM DEGRAU DE CIRCUITOS RLC
Resposta natural de circuito RLC em paralelo
C RL
OBJECTIVO:
Cálculo das tensões e correntes nos ramos em paralelo, resultantes da libertação de energia armazenada nos elementos L e/ou C.
+
V0
-I0
iR
iciL
Método das tensões nos nós É óbvio
v
∫ =+++t
o dtdv
CIvdyLR
v0
01
Derivando em ordem ao tempo
01
2
2
=++dt
vdC
Lv
dtdv
R
01
2
2
=++LCv
dtdv
RCdtvd
Dividindo por C
Equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 132
RESPOSTA NATURAL E EM DEGRAU DE CIRCUITOS RLC
Resposta natural de circuito RLC em paralelo (Cont.)
01
2
2
=++LCv
dtdv
RCdtvd Qual a solução? steAv = ?
A, s à incógnitas
02 =++ ststst eLCA
eRCAs
eAs
012 =
++
LCRCs
sAe st
Se A = 0 v = 0 ; solução impossível
012 =++
LCRCs
s Condição a verificar
Equação característica
SoluçõesLCRCRC
s1
21
21
2
1 −
+−=
LCRCRCs
12
12
12
2 −
−−=
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 133
RESPOSTA NATURAL E EM DEGRAU DE CIRCUITOS RLC
Resposta natural de circuito RLC em paralelo (Cont.)
LCRCRCs
12
12
12
1 −
+−=
LCRCRCs
12
12
12
2 −
−−=
steAv =
tseAv 1 11 =
tseAv 2 22 =
tsts eAeAtvtvtv 212121 )()()( +=+= Também é solução?
Cálculo das 1ª e 2ª derivadas
tsts esAesAdtdv
212211 +=
tsts esAesAdt
vd21 2
222112
2
+= Substituindo na equação diferencial
01111
22221
211
21 =
+++
++
LCs
RCseA
LCs
RCseA tsts
tsts eAeAtv 2121)( +=
Solução
= 0
= 0
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 134
tsts eAeAtv 2121)( +=
RESPOSTA NATURAL E EM DEGRAU DE CIRCUITOS RLC
Resposta natural de circuito RLC em paralelo (Cont.)
Constantes calculadas por forma a satisfazer as condições iniciais.
Grandezas auxiliares
RC21
=αLC1
0 =ω
20
22 ωαα −−−=s
20
21 ωαα −+−=s
Natureza das raízes s1 e s2
Dependem de α e ω0
220 αω <Se Raízes reais e distintas
Resposta em tensão sobreamortecida
220 αω >Se Raízes complexas e conjugadas
Resposta em tensão sobamortecida
220 αω =Se Raízes reais e iguais
Resposta em tensão com amortecimento crítico
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 135
RESPOSTA NATURAL E EM DEGRAU DE CIRCUITOS RLC
Resposta natural de circuito RLC em paralelo (Cont.)
Cálculo das incógnitas A1 e A2
Resposta sobreamortecida
Valor inicial da tensão (ou corrente) Valor inicial da 1ª derivada da tensão (ou corrente)
Raízes da equação característica: reais e distintas.
tsts eAeAtv 2121)( +=
C RL
+
V0
-I0
iR
iciL
v021)0( VAAv =+= 2211)0( AsAs
dtdv
+=?
Método das tensões nos nós
0)0(00 =++
dtdvCI
RV ou
CI
RCV
dtdv 00)0( −−=
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 136
RESPOSTA NATURAL E EM DEGRAU DE CIRCUITOS RLC
Resposta natural de circuito RLC em paralelo (Cont.)
2211)0( AsAsdtdv
+=
CI
RCV
dtdv 00)0( −−=
221100 AsAs
CI
RCV
+=−− 021)0( VAAv =+=
[ ]12
00201
/)/1(ss
IRVCsVA
−++
=
[ ]12
00102
/)/1(ss
IRVCsVA
−++
=
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 137
7H142 F6Ω
EXEMPLO
Considerando que a energia inicial armazenada no condensador é zero e a energia inicial na bobine é 10A, determine v(t).
Io
)s(5.3RC21 1−==α
s1= -1 (s-1) s2= - 6 (s-1)
Assim,t6
2t
1 eAeA)t(v −− +=
Cálculo de A1 e A2 (Condições iniciais)
v(0) =0 0AA)0(v 21 =+=
21 A6A)0(dtdv −−= s/V 420
C10
C)0(i
C)0(i
C)0(i
)0(dtdv Rc ==+==
84A1 =
84A2 −=
V e84e84)t(v t6t −− −=
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 138
Representação gráfica
V e84e84)t(v t6t −− −=
V e84)t(v t−=
V e84)t(v t6−=
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 139
RESPOSTA NATURAL E EM DEGRAU DE CIRCUITOS RLC
Resposta natural de circuito RLC em paralelo (Cont.)
Resposta sobamortecida Raízes da equação característica: complexas e conjugadas.
)( 2201 αωα −−+−=s
220 αω >
2201 αωα −+−= js
djs ωα +−=1
djs ωα −−=2Frequência de amortecimento
coeficiente de amortecimento
tsts eAeAtv 2121)( +=
tjtj dd eAeAtv )(2
)(1)( ωαωα +−+− +=
tjttjt dd eeAeeAtv ωαωα −−− += 21)(
Usando a identidade de Euler
θθθ sincos je j ±=±
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 140
RESPOSTA NATURAL E EM DEGRAU DE CIRCUITOS RLC
Resposta natural de circuito RLC em paralelo (Cont.)
)sincossincos()( 2211 tjAtAtjAtAetv ddddt ωωωωα −++= −
]sin)(cos)[()( 2121 tAAjtAAetv ddt ωωα −++= −
211 AAB += )( 212 AAjB −=
teBteBtv dt
dt ωω αα sincos )( 21
−− +=
Com,
RC21
=α 220 αωω −=d
Resposta sobamortecida
Cálculo de B1 e B2
Condições iniciais
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 141
RESPOSTA NATURAL E EM DEGRAU DE CIRCUITOS RLC
Resposta natural de circuito RLC em paralelo (Cont.)
Resposta sobamortecida Cálculo de B1 e B2
Valor inicial da 1ª derivada (dv/dt)Valor inicial de v
01)0( VBv ==
tBBetBBedtdv
ddt
ddt ωαωωαω αα sin) (cos) ( 2112 +−−= −−
Para t = 0,
12 )0( BBdtdv
d αω −=C RL
+
V0
-
I0 iR
iciL
v
CI
RCV
dtdv 00)0( −−=
CI
RCV
BBd00
12 −−=−αω
)2(1
0000
02 RIVIRV
CVB
ddd
+=
+−=
ωα
ωωα
teRIVteVtv dt
dd
t ωωα
ω αα sin )2(cos )( 000−− +−=
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 142
RESPOSTA NATURAL E EM DEGRAU DE CIRCUITOS RLC
Resposta natural de circuito RLC em paralelo (Cont.)
Resposta com amortecimento crítico Raízes da equação característica: reais e iguais.
RCss
21
21 −=−== α
220 αω = αω =0
teAAtv α−+= )()( 21teAtv α−= )( 3
E agora?Fácil!
tt eDetDtv αα −− += )( 21
])1[( 21 DDtedtdv t ααα −−= −
Para t = 0 02 V )0( == Dv
RV
C1
- )0( 00
21
+=−= IDD
dtdv
α
RV
C1
- 00
01
+= IVD α
)2( 001 RIVD +−= α
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 143
RESPOSTA NATURAL E EM DEGRAU DE CIRCUITOS RLC
Resposta em degrau de circuito RLC em paralelo
C RL
+
V0
-I0
iR
iciL
vt = 0
I Cálculo das tensões nos ramos em paralelo e/ou das correntes, resultantes da aplicação de uma fonte de valor constante (dc).
OBJECTIVO
Nota: pode ou não existir energia armazenada nos elementos L e/ou C, no instante em que a fonte é aplicada.Cálculo de IL(t)
Por questões de simplicidade considere-se nula a energia inicial armazenada no circuito
Lei da corrente de Kirchhoff
Iiii CRL =++ Idtdv
CRv
iL =++
dtdi
Lv L=
2
2
dtid
Ldtdv L=
Idt
idLC
dtdi
RL
i LLL =++
2
2LCI
LCi
dtdi
RCdtid LLL =++
12
2
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 144
RESPOSTA NATURAL E EM DEGRAU DE CIRCUITOS RLC
Resposta em degrau de circuito RLC em paralelo
Cálculo da tensão Processo de análise alternativo
Idtdv
CRv
iL =++
Representação de IL em função de v.
Idtdv
CRv
dyvL
t=++∫0
1
Derivando em ordem t
01
2
2
=++dt
vdC
dtdv
RLv ou
01
2
2
=++LCv
dtdv
RCdtvd
Solução para v.
Função das raízes da equação característica teBteBtv d
td
t ωω αα sincos )( 21−− +=
tt eDetDtv αα −− += )( 21
tsts eAeAtv 2121)( +=
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 145
RESPOSTA NATURAL E EM DEGRAU DE CIRCUITOS RLC
Resposta em degrau de circuito RLC em paralelo
teBteBtv dt
dt ωω αα sincos )( 21
−− +=
tt eDetDtv αα −− += )( 21tsts eAeAtv 21
21)( +=
Idtdv
CRv
iL =++
tstsL eAeAIti 21 '
2'
1)( ++=
teBteBIti dt
dt
L ωω αα sin cos )( '2
'1
−− ++=
ttL eDetDIti αα −− ++= )( '
2'1
Nota: A1’, A2
’, B1’, B2
’, D1’, D2
’ são constantes arbitrárias,as quais são determinadas a partir de iL(0) e diL(0)/dt.
Componente forçada
Componente de resposta natural
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 146
EXEMPLO
Considere o seguinte circuito. Determine: (a) O valor da resistência R1 de modo que a resposta do circuito seja criticamente amortecida; (b) R2 por forma a que v(0) = 100V; (c) v(t) para t= 1 ms.
αω =0LC1
RC21 = 6
62 10
10x44
C4L
R === − Ω= k 1R1
a)
b)
t ≥ 0
t < 0
+
-
100 V
A1.0k1
100i1 ==
A4.01.05.0i2 =−=
Ω== 2504.0
100R2i1i2
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 147
RESPOSTA NATURAL E EM DEGRAU DE CIRCUITOS RLC
Resposta natural de circuito RLC em série
R L
C Vo+
-
Io
i
OBJECTIVO:
Cálculo da corrente que percorre os elementos do circuito, resultantes da libertação de energia armazenada nos elementos L e/ou C.
Lei da tensão de Kirchhoff
01
0 =+++ ∫t
oVidy
Cdtdi
LRi
Derivando em ordem ao tempo
02
2
=++Ci
dtid
Ldtdi
Rou
02
2
=++LCi
dtdi
LR
dtid
Equação semelhante às verificadas nos circuitos em paralelo
012 =++
LCs
LR
s
Equação característica
LCLR
LR
s1
22
2
2,1 −
±−= 2
02
2,1 ωαα −±−=s
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 148
RESPOSTA NATURAL E EM DEGRAU DE CIRCUITOS RLC
Resposta natural de circuito RLC em série (Cont.)
Frequência de ressonância
coeficiente de amortecimento
1 2
−= segL
Rα
sradLC
/ 1
0 =ωNatureza das raízes s1 e s2
Dependem de α e ω0
220 αω <Se Raízes reais e distintas
Resposta em corrente sobreamortecida
220 αω >Se Raízes complexas e conjugadas
Resposta em corrente sobamortecida
220 αω =Se Raízes reais e iguais
Resposta em corrente com amortecimento crítico
teBteBti dt
dt ωω αα sincos )( 21
−− +=
tt eDetDti αα −− += )( 21
tsts eAeAti 2121)( +=
Cálculo da tensão para cada elemento
Circuitos Eléctricos -Jaime Santos 149
RESPOSTA NATURAL E EM DEGRAU DE CIRCUITOS RLC
Resposta em degrau de circuito RLC em série (Cont.)
R L
C+
-i+-
V vc
v vR L
t =0
Por questões de simplicidade considere-se nula a energia inicial armazenada no circuito
Lei da tensão de Kirchhoff
cvdtdi
LRiV ++=
dtdv
Ci c=2
2
dtvd
Cdtdi c=
LCV
LCv
dtdv
LR
dtvd ccc =++2
2
Dividindo por LC
teBteBVtv dt
dt
c ωω αα sincos )( '2
'1
−− ++=
ttc eDetDVtv αα −− ++= )( '
2'1
tstsc eAeAVtv 21 '
2'
1)( ++=Solução para vc.
Função das raízes da equação característica