Post on 13-Aug-2020
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Universidade Federal do ABC
Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica
Circuitos Elétricos II
José Azcue, Prof. Dr.
Aplicação da Transformada de Laplace
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Lei de Ohm no domínio de Laplace Se não houver nenhuma energia armazenada no indutor ou capacitor, a relação entre a tensão e a corrente em cada elemento é dado por:
Sendo:
Z(s) = impedância do elemento no domínio da frequência
Impedância do resistor = R []
Impedância do indutor = sL []
Impedância do capacitor = 1/sC []
( ) ( ) ( )V s Z s I s
(Lei de Ohm no domínio de Laplace)
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Lei de Ohm no domínio de Laplace Se não houver nenhuma energia armazenada no indutor ou capacitor, a relação entre a tensão e a corrente em cada elemento é dado por:
(Lei de Ohm no domínio de Laplace)
Sendo:
Y(s) = admitância do elemento no domínio da frequência
Admitância do resistor = G=1/R [S]
Admitância do indutor = 1/sL [S]
Admitância do capacitor = sC [S]
( ) ( ) V( )I s Y s s
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Teoremas
Teorema da Derivada
ℒ𝑑𝑓 𝑡
𝑑𝑡= 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0−)
ℒ 𝑓 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
0−
=𝐹 𝑠
𝑠+ 𝑓 𝜏 𝑑𝜏0−
−∞
𝑠
Teorema da Integral
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Resistor no domínio de Laplace
• No domínio do tempo:
• No domínio da frequência:
sendo: e
R vR(t)
iR(t)
R VR(s)
IR(s)
𝑉𝑅 𝑠 = ℒ{𝑉𝑅(𝑡)} 𝐼𝑅 𝑠 = ℒ{𝐼𝑅(𝑡)}
𝑉𝑅 𝑡 = 𝑅. 𝑖𝑅 (𝑡)
𝑉𝑅 𝑠 = 𝑅. 𝐼𝑅(𝑠)
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Capacitor no domínio de Laplace • No domínio do tempo:
• No domínio da frequência:
sendo: C vC(t)
iC(t)
(Teorema da Derivada)
𝐼𝐶 𝑠 = ℒ{𝑖𝐶(𝑡)}
𝑉𝐶 𝑠 = ℒ{𝑣𝐶(𝑡)}
𝑖𝐶 𝑡 = 𝐶𝑑𝑉𝐶(𝑡)
𝑑𝑡
𝐼𝐶 𝑠 = 𝐶 𝑠𝑉𝐶 𝑠 − 𝑣𝐶(0−)
𝐼𝐶 𝑠 = 𝑠. 𝐶. 𝑉𝐶 𝑠 − 𝐶. 𝑣𝐶(0−)
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Fonte equivalente da condição inicial
Tempo Frequência
𝑖𝐶 𝑡 = 𝐶𝑑𝑉𝐶(𝑡)
𝑑𝑡
𝐼𝐶 𝑠 = 𝑠. 𝐶. 𝑉𝐶 𝑠 − 𝐶. 𝑣𝐶(0−)
𝐼𝐶 𝑠 = 𝑠. 𝐶. 𝑉𝐶 𝑠 − 𝐶. 𝑉0
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Condições iniciais nulas
Tempo Frequência
𝑖𝐶 𝑡 = 𝐶𝑑𝑉𝐶(𝑡)
𝑑𝑡
𝐼𝐶 𝑠 = 𝑠. 𝐶. 𝑉𝐶 𝑠
𝑉0 = 0
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Capacitor no domínio de Laplace
• No domínio do tempo:
• No domínio da frequência:
C vC(t)
iC(t)
Isolando 𝑽𝒄(𝒔), tem-se:
𝑖𝐶 𝑡 = 𝐶𝑑𝑉𝐶(𝑡)
𝑑𝑡
𝐼𝐶 𝑠 = 𝑠. 𝐶. 𝑉𝐶 𝑠 − 𝐶. 𝑣𝐶(0−)
𝑉𝐶 𝑠 =𝐼𝐶𝑠𝐶+𝑉𝐶(0−)
𝑠
𝑉𝐶 𝑠 = ℒ 𝑣𝑐 𝑡 = ℒ1
𝐶 𝑖𝐶 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
−∞
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C - fonte equivalente da condição inicial
Tempo Frequência
𝑉𝐶 𝑡 =1
𝐶 𝑖𝐶 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
−∞
𝑉𝐶 𝑠 =𝐼𝐶𝑠𝐶+𝑉𝐶(0−)
𝑠
𝑉𝐶 𝑠 =𝐼𝐶𝑠𝐶+𝑉0𝑠
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Condição inicial nula
Tempo
Frequência
𝑉𝐶 𝑡 =1
𝐶 𝑖𝐶 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
−∞
𝑉0 = 0
𝑉𝐶 𝑠 =𝐼𝐶𝑠𝐶
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Indutor no domínio de Laplace • No domínio do tempo:
• No domínio da frequência:
(Teorema da Derivada)
sendo: L vL(t)
iL(t)
𝑉𝐿 𝑠 = ℒ{𝑣𝐿(𝑡)}
𝐼𝐿 𝑠 = ℒ{𝑖𝐿(𝑡)}
𝑣𝐿 𝑡 = 𝐿𝑑𝑖𝐿(𝑡)
𝑑𝑡
𝑉𝐿 𝑠 = 𝐿 𝑠𝐼𝐿 𝑠 − 𝑖𝐿(0−)
𝑉𝐿 𝑠 = 𝑠. 𝐿. 𝐼𝐿 𝑠 − 𝐿. 𝑖𝐿(0−)
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L - fonte equivalente da condição inicial
Tempo Frequência
𝑣𝐿 𝑡 = 𝐿𝑑𝑖𝐿(𝑡)
𝑑𝑡 𝑉𝐿 𝑠 = 𝑠. 𝐿. 𝐼𝐿 𝑠 − 𝐿. 𝑖𝐿(0−)
𝑉𝐿 𝑠 = 𝑠. 𝐿. 𝐼𝐿 𝑠 − 𝐿. 𝐼0
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Condição inicial nula
Tempo Frequência
𝑣𝐿 𝑡 = 𝐿𝑑𝑖𝐿(𝑡)
𝑑𝑡
𝑉𝐿 𝑠 = 𝑠. 𝐿. 𝐼𝐿 𝑠
𝑖 0− = 𝐼0 = 0
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Indutor no domínio de Laplace
• No domínio do tempo:
• No domínio da frequência:
L vL(t)
iL(t)
Isolando 𝐈𝑳(𝒔), tem-se:
𝑣𝐿 𝑡 = 𝐿𝑑𝑖𝐿(𝑡)
𝑑𝑡
𝑉𝐿 𝑠 = 𝐿 𝑠𝐼𝐿 𝑠 − 𝑖𝐿(0−)
𝐼𝐿 𝑠 =𝑉𝐿(𝑠)
𝑠. 𝐿+𝑖(0−)
𝑠
𝐼𝐿 𝑠 = ℒ 𝑖𝐿 𝑡 = ℒ1
𝐿 𝑣𝐿 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
−∞
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L - fonte equivalente da condição inicial
Tempo Frequência
𝑖𝐿 𝑡 =1
𝐿 𝑣𝐿 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
−∞
𝐼𝐿 𝑠 =
𝑉𝐿(𝑠)
𝑠. 𝐿+𝑖(0−)
𝑠
𝐼𝐿 𝑠 =𝑉𝐿(𝑠)
𝑠. 𝐿+𝐼𝑜𝑠
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Condição inicial nula
Tempo Frequência
𝑖𝐿 𝑡 =1
𝐿 𝑣𝐿 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
−∞
𝐼𝐿 𝑠 =𝑉𝐿(𝑠)
𝑠. 𝐿
𝐼0 = 0
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Análise de circuitos no domínio de Laplace 1. Transformar o circuito do domínio do tempo para o
domínio da frequência complexa s.
2. Substituir as condições iniciais pelas fontes equivalentes.
3. Resolver o circuito usando análise de malhas, análise nodal, transformação de fontes, superposição ou qualquer outra técnica de análise de circuitos.
4. Efetuar a transformada inversa da resposta de interesse, obtendo a solução no domínio do tempo.
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Análise de circuitos no domínio de Laplace As regras para associações e simplificações valem no
domínio da frequência s. As Leis de Kirchhoff continuam válidas no domínio s, ou
seja:
Todos os métodos de análise podem ser aplicados no domínio de Laplace (para circuitos lineares!).
𝐼 𝑠 = 0 𝑉 𝑠 = 0
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Problema prático 16.1 Determine vo(t) no circuito da Figura abaixo supondo condições
nulas.
Rpta: 40*(1-exp(-2t)-2*t*exp(-2t))*u(t) V
A
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Problema prático 16.1
Vo(t)=40*(1-exp(-2t)-2*t*exp(-2t))*u(t) V v0(t) [V]
tempo [s]
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Problema prático 16.3 A chave na figura abaixo esteve na posição b por muito tempo.
Ela é comutada para a posição a em t=0. Determine v(t) para t>0.
Rpta: v(t)=(Vo-Io*R)*exp(-t/Tau) + Io*R ; para t>0, onde Tau=R*C
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Problema 16.63 Considere o circuito RLC em paralelo da figura abaixo. Determine
v(t) e i(t) dado que v(0)=5 V e i(0)=-2 A.
𝑣 𝑡 = 5𝑒−4𝑡 cos 2𝑡 + 230𝑒−4𝑡 sin 2𝑡 𝑢(𝑡)
i 𝑡 = 4 − 6𝑒−4𝑡 cos 2𝑡 − 11,38𝑒−4𝑡 sin 2𝑡 . 𝑢(𝑡)
Rptas:
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Próxima Aula
Leitura: Cap 14 – livro texto
1. Resposta em frequência.
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Referências
1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. “Fundamentos de
Circuitos Elétricos”, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013.
2. Slides da prof. Denise,
https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-
denise/aulas, acesso em fevereiro de 2018.
3. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol.
1( 2ª Ed. – 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo.
4. CONSONNI, D. “Transparências de Circuitos Elétricos I”, EPUSP.
5. NILSSON, J.W., RIEDEL, S. A. “Circuitos Elétricos”, 8ª Ed.,
Editora Pearson, 2009.