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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Universidade Federal do ABC
Aula 6 Geração de Grades
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Grade de pontos discretos
• A abordagem de diferenças finitas apresentada até agora, que exige que os cálculos sejam feitos sobre um arranjo de pontos de grade discretos.
• A disposição destes pontos discretos ao longo do campo de fluxo é simplesmente chamado de uma grade.
• A determinação de uma grade adequada para o fluxo sobre ou através de uma dada forma geométrica é um problema complexo.
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Geração da grade
• A questão da geração de grade é uma consideração importante em CFD: o tipo de grade escolhida para um dado problema pode ajudar ou prejudicar a solução numérica.
• A geração de grade torna-se uma atividade por si só.
• É assunto de numerosas conferências especiais, bem como vários livros.
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Conversão de grades
• A abordagem de diferenças finitas exige uma grade uniforme.
• Não temos uma forma direta para resolver numericamente as equações de fluxo que regulam mais de uma grade não uniforme dentro do contexto de um método diferenças finitas.
• Em vez disso, a grade não uniforme deve (de alguma forma) ser convertida em uma grade uniforme, retangular.
• As equações diferenciais parciais devem ser reformuladas de modo a aplicarem-se nesta grade retangular transformada.
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Problema...
• Alguns problemas reais não permitem que sejam aplicadas as equações de diferenças finitas diretamente.
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Exemplo
• Deseja-se calcular o fluxo sobre um aerofólio.
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Questões
1. Alguns pontos da grade caem dentro do aerofólio, onde eles estão completamente fora do fluxo.
• Quais são os valores das propriedades de fluxo que atribuiremos a estes pontos?
2. Existem poucos, se algum, os pontos da grade que caem sobre a superfície do perfil aerodinâmico. Isto não é bom, porque a superfície do perfil aerodinâmico é uma condição de contorno vital para a determinação da forma e, consequentemente, a superfície do perfil aerodinâmico deve ser clara e claramente vista pela solução numérica.
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A grid adequada
• Aqui vemos uma grade não uniforme curvilínea que é literalmente desenhada em torno do aerofólio.
• Os pontos a, b, e c, no plano físico correspondem aos pontos a, b, e c no plano computacional.
Plano físico
Plano computacional
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Transformação de coordenadas
• A transformação deve ser definida de tal forma que exista uma correspondência um-para-um entre a grade retangular e a grade física.
• As equações de diferenciais finitas são resolvidas por um método de diferença finita realizado no espaço computacional.
• O resultado é diretamente levado de volta ao plano físico, através da correspondência de um-para-um dos pontos da grade.
• As equações governantes são resolvidas no espaço computacional, que deve ser expresso em termos das variáveis x variáveis e h, em vez de x e y.
• As equações que governam o fluxo devem ser transformadas a partir de (x, y) para (x, h) como as novas variáveis independentes.
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Ações relativas a grades
1. Obter as transformações das coordenadas e das equações.
2. Gerar a grade.
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Transformação das variáveis
• Por simplicidade vamos começar com um fluxo fora do regime, com variáveis independentes x, y e t.
• As variáveis independentes do espaço físico (x,y,t) serão transformadas em (x,h,t), onde
)(
),,(
),,(
t
tyx
tyx
tt
hh
xx
A “Transformação”
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...e as derivadas?
• Usando a regra da cadeia:
• Os subscritos são adicionados para enfatizar que as variáveis são mantidas constantes na diferenciação parcial.
• Em nossas expressões posteriores, os subscritos serão descartados, no entanto, é sempre útil mantê-los em mente.
tytytyty xxxx ,,,,,,,
t
t
h
h
x
x hxtxth
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d/dx e d/dy
• Assim, para o espaço temos
xxx
h
h
x
x
yyy
h
h
x
x
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d/dt
• E para o tempo
ou
yxyxyxyx tttt ,,,,,,,
t
t
h
h
x
x hxtxth
tttt
t
t
h
h
x
x
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A métrica da transformação
• Os termos correspondem à métrica da transformação.
yxyx
hhxxe,,
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A segunda derivada
Seja
A segunda derivada em x vale:
txxA
h
h
x
x
txxx
A
x
h
h
x
x2
2
h
hh
hx
xx
x xxxxxx
2
2
22
2
2
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
A segunda derivada
Chamando e lembrando que
De modo similar
xx xxB
2
xxx
h
h
x
x
xxB
h
xh
x
x
2
2
2
xxxxC
h
h
x
hxhh 2
222
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
A segunda derivada
• Substituindo na equação original e rearranjando os termos, teremos
xxx
xxxx
xh
xh
h
h
x
x
h
h
x
x
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
A segunda derivada
• Seguindo o mesmo processo para y, teremos
yyy
yyyy
xh
xh
h
h
x
x
h
h
x
x
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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A segunda derivada
• E para a segunda derivada mista,
yxyxyx
yxyxyxyx
hxxh
hx
hh
h
xx
x
h
h
x
x
2
2
2
2
2222
2
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Exemplo 1
• Obter a equação de Laplace em (x,y,t) transformada para o espaço (x,h,t),
Equação de Laplace:
02
2
2
2
yx
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Exemplo 1: resolução
xxxxxxx
xh
xh
h
h
x
x
h
h
x
x
22
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
yyyyyyy
xh
xh
h
h
x
x
h
h
x
x
22
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Somando, igualando a zero, rearranjando e agrupando, chega-se a
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
2
222
2
2
yxyx
yyxxyxyx
hh
h
xx
x
xhxh
hx
hh
h
xx
x
02
2
2
2
yx
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
A transformação inversa
• Também se faz necessária a transformação do espaço computacional para o espaço físico.
• As variáveis independentes do espaço computacional (x,h,t) serão transformadas em (x,y,t):
)(
),,(
),,(
t
thx
thx
tt
yy
xx
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A transformação inversa
• Consideremos a componente u da velocidade. Sua derivada no espaço físico vale:
• Levando para o espaço computacional, teremos
dyy
udx
x
udu
hhh
xxx
d
y
dy
u
d
x
dx
uu
d
y
dy
u
d
x
dx
uu
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
A transformação inversa
• Considerando um sistema linear,
• usando o método de Cramer, podemos escrever
hhh
xxx
d
y
dy
u
d
x
dx
uu
d
y
dy
u
d
x
dx
uu
hh
xx
hh
xx
d
yxd
yx
d
yud
yu
x
u
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O jacobiano
O denominador da última expressão é o jacobiano determinante, denotado por
hh
xx
hx
d
yxd
yx
yxJ
),(
),(
O Jacobiano é a matriz de todos as derivadas parciais de primeira ordem de um vetor ou de função com valor escalar com respeito a outro vector.
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A transformação inversa
Com esta nova notação, teremos
e
Estas fórmulas expressam as derivadas das variáveis do fluxo no espaço físico em termos das derivadas das variáveis do fluxo no espaço computacional.
xhhx
yuyu
Jx
u 1
hxxh
xuxu
Jy
u 1
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Generalizando
• As transformações inversas genéricas ficam
xhhx
yy
Jx
1
hxxh
xx
Jy
1
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Relações envolvendo jacobianos
J
d
yxd
yx
d
y
d
y
xx
hh
xx
hx
hx
xx
hhhh
xx
x
d
y
x
d
y
J
dyx
dyx 1
x
h
h
x
x
h
h
x
d
x
Jdy
d
x
Jy
d
y
Jdx
d
y
Jx
1
1
1
1
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
VERSÃO TRANSFORMADA DAS EQUAÇÕES DE CFD
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Forma robusta das equações
Pergunta: dada uma equação do tipo
Podemos obter
?
0
y
G
x
F
t
U
0111
hx
GF
t
U
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Forma robusta das equações transformadas
Passo 1: aplicamos as equações de transformação.
0
y
G
y
G
x
F
x
F
t
U h
h
x
x
h
h
x
x
0
y
G
x
F
t
U
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Forma robusta das equações transformadas
Passo 2: multiplicamos pelo jacobiano.
0
y
GJ
y
GJ
x
FJ
x
FJ
t
UJ
h
h
x
x
h
h
x
x
0
y
G
y
G
x
F
x
F
t
U h
h
x
x
h
h
x
x
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Forma robusta das equações transformadas
Calculamos o operador
xJF
F
xJ
xJF x
xx
x
x
x )/(
xJF
xJF
x
FJ
x
xx
xx
x
)/(
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Forma robusta das equações transformadas
De forma similar, para h teremos
E, para G:
xJF
xJF
x
FJ
h
hh
hh
h
)/(
yJG
yJG
y
GJ
x
xx
xx
x
)/(
yJG
yJG
y
GJ
h
hh
hh
h
)/(
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Forma robusta das equações transformadas
Substituindo e fatorando, chega-se a
0
yJ
yJG
xJ
xJF
yJG
xJF
yJG
xJF
t
UJ
h
h
x
x
h
h
x
x
hh
h
xx
x 0
0
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Forma robusta das equações transformadas
Lembrando que
Então
e
022
xhhxxhhx
h
h
x
x
yyyy
xJ
xJ
x
h
h
x
d
y
Jdxd
y
Jx
1e
1
022
xhhxxhhx
h
h
x
x
xxxx
yJ
yJ
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Forma robusta das equações transformadas
Finalmente, temos
onde
0111
hx
GF
t
U
yJG
xJFG
yJG
xJFF
JUU
hh
xx
1
1
1
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
GERAÇÃO ALGÉBRICA DE GRADE ELÍPTICA EM DOMÍNIOS DE BLOCOS ESTRUTURADOS
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Introdução
• A maioria das técnicas de solução de equações diferenciais parciais busca uma aproximação com a verdadeira solução em grades.
• Estas grades têm de satisfazer certos requisitos no que diz respeito à sua geometria, bem como a sua topologia.
• O tipo de grade escolhida tem grande influência sobre a qualidade dos resultados obtidos.
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Classificação de malhas
Malha estruturada - Caracterizada por conectividade regular. - Restringe as escolhas de elementos para quadriláteros em 2D ou em hexaedros em 3D. Malha não estruturada - Caracterizada pela conectividade irregular. - Os requisitos de armazenamento para uma malha não estruturada pode ser substancialmente maior. - Bom para geometria complexa.
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Malha estruturada
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Malha não estruturada
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Métodos para geração de grade estruturada
Método algébrico - Mais fácil para a geração de malhas. - “Propagação de canto” - “Quebra” das linhas de grade. - Serve como grade inicial para a geração de grade elíptica. Método Elíptico - Produz as grades melhor possível no sentido de suavidade e rede de distribuição de ponto. - Pode ser utilizado com função de controle (Poisson) ou sem função de controle (Laplace).
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Método algébrico: equações de geração de grade
• Sistema de equações de Laplace (membranas)
Desvantagem: não fornece qualquer controle sobre a distribuição de pontos internos.
02
02
111222
111222
hhxhxx
hhxhxx
yayaya
xaxaxa
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Método elíptico: equações de geração de grade
• Sistema de equações de Laplace (membranas)
Desvantagem: não fornece qualquer controle sobre a distribuição de pontos internos.
02
02
111222
111222
hhxhxx
hhxhxx
yayaya
xaxaxa
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Método elíptico: equações de geração de grade
• Sistema de equações de Poisson
Desvantagem: não fornece qualquer controle sobre a distribuição de pontos internos.
hxhhxhxx
hxhhxhxx
yPaPaPayPaPaPayayaya
xPaPaPaxPaPaPaxaxaxa
)2()2(2
)2()2(2
2
2211
2
1212
2
1122
1
2211
1
1212
1
1122111222
2
2211
2
1212
2
1122
1
2211
1
1212
1
1122111222
Sistema original de Laplace
Funções de controle
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Método
1. Definir os pontos das bordas.
2. Criar um grid inicial (algébrico).
3. Aplicar interativamente o método de Laplace ou Poisson.
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Método
Para Laplace:
com condições de contorno de Dirichlet a discretização fica
4
1,1,,1,1
,
jijijiji
ji
xxxxx
0x
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Programa exemplo
//---------------------------------------------------------------------------
// executa um passo no sentido da solução
float dgrid()
{
int i,j;
float xm,ym,erro,mm;
float xx[MAXDIM][MAXDIM];
float yy[MAXDIM][MAXDIM];
mm = 0; erro = 0;
for(i=1;i<(n-1);i++)
for(j=1;j<(m-1);j++) {
xm = (xx[i-1][j] + xx[i+1][j] + xx[i][j-1] + xx[i][j+1])/4;
ym = (yy[i-1][j] + yy[i+1][j] + yy[i][j-1] + yy[i][j+1])/4;
erro += sqr(x[i][j] - xm) + sqr(y[i][j] - ym);
mm += 1.0;
x[i][j] = xm;
y[i][j] = ym;
}
erro = sqrt(erro) / mm;
return erro;
}
4
1,1,,1,1
,
jijijiji
ji
xxxxx