CAPÍTULO11

Rolagem,TorqueeMomentoAngular

11-1ROLAGEMCOMOUMACOMBINAÇÃODETRANSLAÇÃOEROTAÇÃO

ObjetivosdoAprendizadoDepoisdelerestemódulo,vocêserácapazde...

11.01Saberqueumarotaçãosuavepodeserconsideradaumacombinaçãodetranslaçãopuraerotaçãopura.

11.02 Conhecer a relação entre a velocidade do centro de massa e a velocidade angular de um objeto que está rolandosuavemente.

Ideias-Chave•SeumarodaderaioRestárolandosuavemente,

vCM=ωR

emquevCMéavelocidadeangulardocentrodemassadarodaeωéavelocidadeangulardarodaemrelaçãoaocentro.

•Tambémépossívelimaginarquearodagira,acadainstante,emtornodopontoPda“estrada”queestáemcontatocomaroda.Avelocidadeangulardarodaemrelaçãoaessepontoéigualàvelocidadedarodaemrelaçãoaocentro.

OqueÉFísica?ComovimosnoCapítulo10, umdos objetivos da física é o estudo das rotações.Entre as aplicaçõesdesseestudo,amaisimportanteétalvezaanálisedarolagemderodaseobjetosquesecomportamcomorodas. Essa aplicação da física vem sendo usada há muito tempo. Assim, por exemplo, quando oshabitantespré-históricosdaIlhadaPáscoamoveramgigantescasestátuasdepedradeumapedreiraparaoutroslugaresdailha,elesasarrastaramsobretoras,quefuncionaramcomoroletes.Maistarde,quandoosamericanoscolonizaramooestenoséculoXIX,transportaramseuspertencesprimeiroemcarroçasedepoisemvagõesde trem.Hojeemdia,gostemosounão,omundoestárepletodecarros,caminhões,motocicletas,bicicletaseoutrosveículossobrerodas.Afísicaeaengenhariadotransportesobrerodassãotãoantigasquealguémpoderiapensarquenada

denovo resta para ser criado.Entretanto, as pranchas de skate e os patins in-line foram inventados elançados recentementenomercadoese tornaramumgrandesucesso.Umtipomodernodecarrinhoderolimã,conhecidocomostreetluge,entrounamodanosEstadosUnidos,eveículosindividuaiscomooSegway (Fig. 11-1) podemmudar a forma como as pessoas semovimentam nas grandes cidades. Asaplicaçõesdafísicadarolagemaindapodemreservarmuitassurpresaserecompensas.Nossopontode

momentoangularinicial,eleprecisarealizarumaprecessãoemvezdesimplesmentetombar.Precessão. Podemos calcular a taxadeprecessãoΩ usando primeiro as Eqs. 11-44 e 11-42 para

obteromóduloded :

Quando varia deumvalor incremental durante um tempo incrementaldt, o eixo e precessamemtornodoeixo z deumângulo incrementaldϕ. (NaFig.11-22c, o ângulodϕ foi exagerado paramaiorclareza.)ComaajudadasEqs.11-43e11-45,descobrimosquedϕédadopor

DividindoessaexpressãopordtefazendoataxadeprecessãoΩigualadϕ/dt,obtemos

Esseresultadoéválidocontantoqueavelocidadeangularωsejaelevada.NotequeΩdiminuiquandoωaumenta.Observe tambémque não haveria precessão se a força gravitacionalM não agisse sobre ogiroscópio;entretanto,comoIéumafunçãolineardeM,asmassasnonumeradoredenominadordaEq.11-46secancelam,ouseja,Ωnãodependedamassadocorpo.AEq.11-46 também é válida quando o eixo do giroscópio faz um ângulo diferente de zero com a

horizontale,portanto,podeseraplicadaaumpiãodebrinquedo.

RevisãoeResumo

CorposemRolagemNocasodeumarodaderaioRrolandosuavemente,

emquevCMéavelocidade lineardocentrodemassadarodaeω éavelocidadeangularda rodaemtornodocentro.ArodapodetambémservistacomoseestivessegirandoinstantaneamenteemtornodopontoPdo“piso”queestáemcontatocomaroda.Avelocidadeangulardarodaemtornodessepontoéigualàvelocidadeangulardarodaemtornodocentro.Umarodaquerolatemumaenergiacinéticadadapor

emqueICMéomomentodeinérciadarodaemrelaçãoaocentrodemassaeMéamassadaroda.Searodaestásendoacelerada,masrolasuavemente,aaceleraçãodocentrodemassa CMestárelacionadaàaceleraçãoangularαemrelaçãoaocentroderotaçãopormeiodaequação

Searodadesceumarampadeânguloθrolandosuavemente,aaceleraçãoaolongodeumeixoxparaleloàrampaédadapor

OTorquecomoumVetorEmtrêsdimensões,otorque éumagrandezavetorialdefinidaemrelaçãoaumpontofixo(emgeral,aorigem)pormeiodaequação

emque éaforçaaplicadaàpartículae éovetorposiçãodapartículaemrelaçãoaopontofixo.Omódulode édadopor

emqueϕéoânguloentre e ,F⊥éacomponentede perpendiculara ,er⊥éobraçodealavancade .Aorientaçãode édadapelaregradamãodireita.

MomentoAngulardeumaPartículaOmomentoangular deumapartículacommomento linear ,massamevelocidadelinear éumagrandezavetorialdefinidaemrelaçãoaumpontofixo(emgeral,aorigem)pormeiodaequação

Omódulode édadopor

emqueϕéoânguloentre e ,p⊥ev⊥ sãoascomponentesde e perpendicularesa ,er⊥éadistânciaperpendicularentreopontofixoeaextensãode .Aorientaçãode édadapelaregradamãodireitaparaprodutosvetoriais.

SegundaLeideNewtonparaRotaçõesAsegundaleideNewtonparaarotaçãodeumapartículapodeserescritanaforma

emque reséotorqueresultantequeagesobreapartículae éomomentoangulardapartícula.

MomentoAngulardeumSistemadePartículasOmomentoangular deumsistemadepartículaséasomavetorialdosmomentosangularesdaspartículas:

Ataxadevariaçãocomotempodomomentoangularéigualaotorqueexternoresultantequeagesobreosistema (a soma vetorial dos torques produzidos pelas interações das partículas do sistema compartículasexternasaosistema):

MomentoAngulardeumCorpoRígidoNocasodeumcorporígidoquegiraemtornodeumeixofixo,acomponentedomomentoangularparalelaaoeixoderotaçãoé

Conservação doMomentoAngular Omomento angular de um sistema permanece constante se otorqueexternoresultantequeagesobreosistemaénulo:

Essaéaleideconservaçãodomomentoangular.

PrecessãodeumGiroscópioUmgiroscópiopoderealizar,emtornodeumeixoverticalquepassapelosuporte,ummovimentodeprecessãoaumataxadadapor

emqueMéamassadogiroscópio,réobraçodealavanca,Iéomomentodeinérciaeωéavelocidadeangulardogiroscópio.

Perguntas1 A Fig. 11-23mostra três partículas demesmamassa emesma velocidade escalar constante que semovemnasorientaçõesindicadaspelosvetoresvelocidade.Ospontosa,b,cedformamumquadrado,comopontoenocentro.Ordeneospontosdeacordocomomódulodomomentoangularresultanteemrelaçãoaospontosdosistemadetrêspartículas,emordemdecrescente.

Figura11-23 Pergunta1.

2AFig.11-24mostraduaspartículas,AeB,nascoordenadas(1m,1m,0)e(1m,0,1m).Sobrecadapartículaagemtrêsforçasnumeradasdemesmomódulo,cadaumaparalelaaumdoseixos.(a)Qualdasforças produz um torque, em relação à origem, paralelo a y? (b) Ordene as forças de acordo com omódulodotorqueemrelaçãoàorigemqueaplicamàspartículas,emordemdecrescente.

Figura11-24 Pergunta2.

3OqueaconteceaoioiôinicialmenteestacionáriodaFig.11-25seépuxado,comoauxíliodacorda,(a)pelaforça 2(cujalinhadeaçãopassapelopontodecontatodoioiôcomamesa,comomostraafigura),(b)pelaforça 1(cujaalinhadeaçãopassaacimadopontodecontato)e(c)pelaforça 3(cujalinhadeaçãopassaàdireitadopontodecontato)?

Figura11-25 Pergunta3.

4Ovetorposição deumapartículaemrelaçãoaumcertopontotemummódulode3m,eaforçaaplicadaàpartículatemummódulode4N.Qualéoânguloentre e seomódulodotorqueassociadoéigual(a)azeroe(b)a12N·m?

5NaFig.11-26,trêsforçasdemesmomódulosãoaplicadasaumapartículalocalizadanaorigem( 1éaplicadaperpendicularmenteaoplanodopapel).Ordeneasforçasdeacordocomosmódulosdotorquequeproduzem(a)emrelaçãoaopontoP1,(b)emrelaçãoaopontoP2e(c)emrelaçãoaopontoP3,emordemdecrescente.

Figura11-26 Pergunta5.

6Omomentoangularℓ(t)deumapartículaemquatrosituaçõesé(1)ℓ=3t+4;(2)ℓ=−6t2;(3)ℓ=2;(4)ℓ=4/t.Emquesituaçãootorqueresultantequeagesobreapartículaé(a)zero,(b)positivoeconstante,(c)negativoecomomódulocrescenteparat>0e(d)negativoecomomódulodecrescenteparat>0?

7Umbesouro-rinoceronteestánabordadeumdiscohorizontalquegiracomoumcarrosselnosentidoanti-horário.Seobesourocaminhaaolongodabordanosentidodarotação,omódulodasgrandezasaseguir(medidasemrelaçãoaoeixoderotação)aumenta,diminui,oupermaneceomesmo(comodiscoaindagirandonosentidoanti-horário):(a)omomentoangulardosistemabesouro-disco,(b)omomentoangular evelocidadeangulardobesouroe (c)omomentoangular evelocidadeangulardodisco? (d)Quaissãoasrespostasseobesourocaminhanosentidoopostoaodarotação?

8AFig.11-27mostraavista superiordeumaplaca retangularquepodegirar comoumcarrossel emtornodocentroO.Tambémsãomostradassetetrajetóriasaolongodasquaisbolinhasdegomademascarpodem ser jogadas (todas com a mesma velocidade escalar e mesma massa) para grudar na placaestacionária. (a)Ordeneas trajetórias,emordemdecrescente,deacordocomavelocidadeangulardaplaca(edagomademascar)apósagomagrudar.(b)Paraquetrajetóriasomomentoangulardaplaca(edagoma)emrelaçãoaopontoOénegativodopontodevistadaFig.11-27?

Figura11-27 Pergunta8.

9AFig.11-28mostraomódulodomomentoangularLdeumarodaemfunçãodo tempo t.Ordeneosquatro intervalos de tempo, indicados por letras, de acordo comomódulodo torqueque age sobre aroda,emordemdecrescente.

Figura11-28 Pergunta9.

10AFig.11-29mostraumapartículasemovendocomvelocidadeconstante ecincopontoscomsuascoordenadasxy.Ordeneospontosdeacordocomomódulodomomentoangulardapartículaemrelaçãoaeles,emordemdecrescente.

Figura11-29 Pergunta10.

11Umabaladecanhãoeumaboladeguderolamparabaixosuavemente,apartirdorepouso,emumarampa.(a)Abaladecanhãochegaàbasedarampaantes,aomesmotempo,oudepoisdaboladegude?(b)Aochegar àbaseda rampa, a energia cinéticade translaçãodabalade canhãoémaior, igual, oumenorqueadaboladegude?

12Umcilindrodelatãoeumcilindrodemadeiratêmomesmoraioeamesmamassa(oquesignificaqueo cilindrodemadeira émais comprido).Osdois cilindros rolam suavementepara baixo emuma

rampa, a partir do repouso. (a) Qual dos dois cilindros chega primeiro à base da rampa? (b) Se ocilindrodemadeiraécortadoparaficarcomomesmocomprimentodocilindrodelatão,eumacavidadeéabertaaolongodoeixocentraldocilindrodelatãoparaquefiquecomamesmamassaqueocilindrodemadeira,qualdosdoiscilindroschegaprimeiroàbasedarampa?

Problemas

.-...Onúmerodepontosindicaograudedificuldadedoproblema.

InformaçõesadicionaisdisponíveisemOCircoVoadordaFísicadeJearlWalker,LTC,RiodeJaneiro,2008.

Módulo11-1RolagemcomoumaCombinaçãodeTranslaçãoeRotação

·1Umcarrosemovea80,0km/hemumaestradaplananosentidopositivodeumeixox.Ospneustêmumdiâmetrode66cm.Emrelaçãoaumamulherqueviajanocarroenanotaçãodosvetoresunitários,determine a velocidade (a) no centro, (b) no alto e (c) na base de cada pneu e o módulo a daaceleração (d)nocentro, (e)noalto e (f)nabasedecadapneu.Em relaçãoaumapessoaparadanoacostamentodaestradaenanotaçãodosvetoresunitários,determineavelocidade (g)nocentro,(h)noaltoe(i)nabasedecadapneueomódulodaaceleraçãoa(j)nocentro,(k)noaltoe(l)nabasedecadapneu.

·2Ospneusdeumautomóvelquesemovea80km/htêm75,0cmdediâmetro.(a)Qualéavelocidadeangulardospneusemrelaçãoaosrespectivoseixos?(b)Seocarroéfreadocomaceleraçãoconstanteeasrodasdescrevem30voltascompletas(semdeslizamento),qualéomódulodaaceleraçãoangulardasrodas?(c)Quedistânciaocarropercorreduranteafrenagem?

Módulo11-2AsForçaseaEnergiaCinéticadaRolagem

·3Umarode140kgrolaemumpisohorizontaldetalformaqueocentrodemassatemumavelocidadede0,150m/s.Qualéotrabalhonecessárioparafazê-loparar?

·4 Uma esfera maciça, homogênea, rola para baixo em uma rampa. (a) Qual deve ser o ângulo deinclinaçãodarampaparaqueaaceleraçãolineardocentrodaesferatenhaummódulode0,10g?(b)Seumblocosematritodeslizasseparabaixonamesmarampa,omódulodaaceleraçãoseriamaior,menorouiguala0,10g?Porquê?

·5Umcarrode1000kgtemquatrorodasde10kg.Quandoocarroestáemmovimento,quefraçãodaenergiacinéticatotalsedeveàrotaçãodasrodasemtornodosrespectivoseixos?Suponhaqueasrodastenhamomesmomomentodeinérciaquediscoshomogêneosdemesmamassaetamanho.Porquenãoéprecisoconheceroraiodasrodas?

··6AFig.11-30mostraavelocidadeescalarvemfunçãodotempotparaumobjetode0,500kge6,00cmderaioquerolasuavementeparabaixoemumarampade30°.Aescaladoeixodasvelocidadesédefinidaporvs=4,0m/s.Qualéomomentodeinérciadoobjeto?

Figura11-30 Problema6.

··7NaFig.11-31,umcilindromaciçocom10cmderaioemassade12kgpartedorepousoerolaparabaixoumadistânciaL=6,0m,semdeslizar,emumtelhadocomumainclinaçãoθ=30°.(a)Qualéavelocidadeangulardocilindroemrelaçãoaoeixocentralaodeixarotelhado?(b)AbordadotelhadoestáaumaalturaH=5,0m.Aquedistânciahorizontaldabordadotelhadoocilindroatingeochão?

Figura11-31 Problema7.

··8AFig.11-32mostraaenergiapotencialU(x)deumabolamaciçaquepoderolaraolongodeumeixox.AescaladoeixoU édefinidaporUs=100J.Abolaéhomogênea, rola suavementeepossuiumamassade0,400kg.Elaéliberadaemx=7,0mquandosemovenosentidonegativodoeixoxcomumaenergiamecânica de 75 J. (a) Se a bola pode chegar ao ponto x = 0m, qual é sua velocidade nesseponto?Senãopode,qualéopontoderetorno?Suponhaque,emvezdisso,abolaestejasemovendonosentidopositivodoeixoxaoserliberadaemx=7,0mcom75J.(b)Seabolapodechegaraopontox=13m,qualésuavelocidadenesseponto?Senãopode,qualéopontoderetorno?

Figura11-32 Problema8.

··9NaFig.11-33,umabolamaciçarolasuavementeapartirdorepouso(começandonaalturaH=6,0m)atédeixarapartehorizontalnofimdapista,aumaalturah=2,0m.AquedistânciahorizontaldopontoAabolatocaochão?

Figura11-33 Problema9.

··10Umaesferaoca,com0,15mderaioemomentodeinérciaI=0,040kg·m2emrelaçãoaumaretaquepassapelocentrodemassa,rolasemdeslizar,subindoumasuperfíciecomumainclinaçãode30°emrelaçãoàhorizontal.Emdeterminadaposiçãoinicial,aenergiacinéticatotaldaesferaé20J.(a)Quantodestaenergiacinéticainicialsedeveàrotação?(b)Qualéavelocidadedocentrodemassadaesferanaposição inicial? Após a esfera ter se deslocado 1,0 m ao longo da superfície inclinada a partir daposiçãoinicial,qualé(c)aenergiacinéticatotale(d)qualéavelocidadedocentrodemassa?

··11NaFig.11-34,umaforçahorizontalconstante demódulo10Néaplicadaaumarodademassa10kgeraio0,30m.Arodarolasuavementenasuperfíciehorizontal,eomódulodaaceleraçãodocentrodemassaé0,60m/s2.(a)Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéaforçadeatritoqueagesobrearoda?(b)Qualéomomentodeinérciadarodaemrelaçãoaoeixoderotação,quepassapelocentrodemassa?

Figura11-34 Problema11.

··12NaFig.11-35,umabolamaciça,de latão,demassa0,280g, rola suavemente ao longodo trilhoquandoéliberadaapartirdorepousonotrechoretilíneo.ApartecirculardotrilhotemumraioR=14,0cmeabolatemumraior≪R.(a)Quantovalehseabolaestánaiminênciadeperdercontatocomotrilhoquandochegaaopontomaisaltodapartecurvadotrilho?Seabolaéliberadaaumaalturah=6,00R,qualé(b)omóduloe(c)qualéaorientaçãodacomponentehorizontaldaforçaqueagesobreabolanopontoQ?

Figura11-35 Problema12.

···13Bolanãohomogênea.NaFig.11-36,umabola,demassaMeraioR,rolasuavemente,apartirdorepouso,descendoumarampaepassandoporumapistacircularcom0,48mderaio.Aalturainicialdabolaéh=0,36m.Napartemaisbaixadacurva,omódulodaforçanormalqueapistaexercesobreabola é 2,00Mg. A bola é formada por uma casca esférica externa homogênea (com uma certa massaespecífica)eumaesferacentral,tambémhomogênea(comumamassaespecíficadiferente).OmomentodeinérciadabolaédadopelaexpressãogeralI=βMR2,masβnãoéiguala0,4,comonocasodeumabolahomogênea.Determineovalordeβ.

Figura11-36 Problema13.

···14NaFig.11-37,umabolapequena,maciça,homogênea,élançadadopontoP,rolasuavementeem

umasuperfíciehorizontal,sobeumarampaechegaaumplatô.Emseguida,deixaoplatôhorizontalmenteparapousaremoutrasuperfíciemaisabaixo,aumadistânciahorizontalddaextremidadedoplatô.Asalturasverticaissãoh1=5,00cmeh2=1,60cm.ComquevelocidadeaboladeveserlançadanopontoPparapousaremd=6,00cm?

Figura11-37 Problema14.

···15 UmjogadordebolichearremessaumaboladeraioR=11cmaolongodeumapista.Abola(Fig.11-38)deslizanapistacomumavelocidadeinicialvCM=8,5m/sevelocidadeangularinicialω0=0.Ocoeficientedeatritocinéticoentreabolaeapistaé0,21.Aforçadeatritocinético kqueagesobrea bola produz uma aceleração linear e uma aceleração angular. Quando a velocidade vCM diminui osuficiente e a velocidade angular ω aumenta o suficiente, a bola para de deslizar e passa a rolarsuavemente.(a)QualéovalordevCMemtermosdeωnesseinstante?Duranteodeslizamento,qualé(b)aaceleraçãolineare(c)qualéaaceleraçãoangulardabola?(d)Porquantotempoaboladesliza?(e)Quedistânciaaboladesliza?(f)Qualéavelocidadelineardabolaquandocomeçaarolarsuavemente?

Figura11-38 Problema15.

···16 Objetocilíndriconãohomogêneo.NaFig.11-39,umobjetocilíndricodemassaMeraioRrolasuavementedescendoumarampa,apartirdorepouso,epassaparaumtrechohorizontaldapista.Emseguida,oobjetosaidapista,pousandonosoloaumadistânciahorizontald=0,506mdofinaldapista.AalturainicialdoobjetoéH=0,90m;aextremidadedapistaestáaumaalturah=0,10m.Oobjetoécomposto por uma camada cilíndrica externa, homogênea (com uma certa massa específica), e umcilindro central, também homogêneo (com umamassa específica diferente).Omomento de inércia doobjeto é dadopela expressãogeral I =βMR2,masβ não é igual a 0,5, comono casode umcilindrohomogêneo.Determineovalordeβ.

Figura11-39 Problema16.

Módulo11-3OIoiô

·17 Umioiôpossuiummomentodeinérciade950g·cm2eumamassade120g.Oraiodoeixoé3,2 mm e a corda tem 120 cm de comprimento. O ioiô rola para baixo, a partir do repouso, até aextremidadedacorda.(a)Qualéomódulodaaceleraçãolineardoioiô?(b)Quantotempooioiôlevaparachegaràextremidadedacorda?Aochegaràextremidadedacorda,(c)qualéavelocidadelinear,(d) qual é a energia cinética de translação, (e) qual é a energia cinética de rotação e (f) qual é avelocidadeangular?

·18 Em1980,naBaíadeSanFrancisco,umgrandeioiôfoisoltodeumguindaste.Oioiôde116kgeraformadopordoisdiscoshomogêneoscom32cmderaio,ligadosporumeixocom3,2cmderaio.Qual foiomódulodaaceleraçãodo ioiô (a)duranteadescidae (b)durantea subida? (c)Qual foi atraçãoda corda? (d)A tração estavapróximado limite de resistênciada corda, 52kN?Suponhaquevocêconstruaumaversãoampliadadoioiô(comamesmaformaeusandoosmesmosmateriais,porémmaior).(e)Omódulodaaceleraçãodoseuioiôduranteaquedaserámaior,menorouoigualaodoioiôdeSanFrancisco?(f)Eatraçãodacorda?

Módulo11-4RevisãodoTorque

·19Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéotorqueresultanteemrelaçãoàorigemaqueestásubmetidaumapulgalocalizadanascoordenadas(0;−4,0m;5,0m)quandoasforças 1=(3,0N) e 2=(–2,0N)agemsobreapulga?

·20Umaameixaestálocalizadanascoordenadas(−2,0m;0;4,0m).Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéotorqueemrelaçãoàorigemaqueestásubmetidaaameixaseessetorquesedeveaumaforçacujaúnicacomponenteé(a)Fx=6,0N,(b)Fx=−6,0N,(c)Fz=6,0N,(d)Fz=−6,0N?

·21Nanotaçãodos vetores unitários, qual é o torque em relação à origema que está submetida umapartícula localizadanascoordenadas (0;−4,0m;3,0m)seesse torquesedeve (a)aumaforça 1 decomponentesF1x=2,0N,F1y=F1z=0,e(b)aumaforça 2decomponentesF2x=0,F2y=2,0N,F2z=4,0N?

··22Umapartículasemoveemumsistemadecoordenadasxyzsobaaçãodeumaforça.Quandoovetorposiçãodapartículaé =(2,00m) –(3,00m) +(2,00m) aforçaé =Fx +(7,00N) –(6,00N) eo torque correspondente em relação à origemé = (4,00N ·m) + (2,00N ·m) – (1,00N ·m) .

DetermineFx.

··23Aforça =(2,0N) –(3,0N) agesobreumapedracujovetorposiçãoé =(0,50m) –(2,0m)em relação à origem. Em termos dos vetores unitários, qual é o torque resultante a que a pedra estásubmetida(a)emrelaçãoàorigeme(b)emrelaçãoaoponto(2,0m;0;−3,0m)?

··24Na notação dos vetores unitários, qual é o torque em relação à origema que está submetido umvidrodepimentalocalizadonascoordenadas(3,0m;−2,0m;4,0m)(a)devidoàforça 1=(3,0N) –(4,0N) +(5,0N) ,(b)devidoàforça 2=(3,0N) –(4,0N) –(5,0N) e(c)devidoàsomavetorialde 1e 2?(d)Repitaoitem(c)paraotorqueemrelaçãoaopontodecoordenadas(3,0m;2,0m;4,0m).

··25Aforça =(–8,0N) +(6,0N) agesobreumapartículacujovetorposiçãoé =(3,0m) +(4,0m). (a) Qual é o torque em relação à origem a que está submetida a partícula, em termos dos vetoresunitários?(b)Qualéoânguloentre e ?

Módulo11-5MomentoAngular

·26No instante daFig.11-40,umapartículaP de 2,0 kg temumvetor posição demódulo 3,0m eânguloθ1=45°eumavelocidade demódulo4,0m/seânguloθ2=30°.Aforça ,demódulo2,0Neânguloθ3=30°,agesobreP.Ostrêsvetoresestãonoplanoxy.Determine,emrelaçãoàorigem,(a)omóduloe(b)aorientaçãodomomentoangulardePe(c)omóduloe(d)aorientaçãodotorquequeagesobreP.

Figura11-40 Problema26.

·27Emcertoinstante,aforça =4,0 Nagesobreumobjetode0,25kgcujovetorposiçãoé =(2,0 –2,0 )ecujovetorvelocidadeé =(–5,0 +5,0 )m/s.Emrelaçãoàorigemenanotaçãodosvetoresunitários,determine(a)omomentoangulardoobjetoe(b)otorquequeagesobreoobjeto.

·28Umobjetode2,0kg,quesecomportacomoumapartícula,semoveemumplanocomcomponentesdevelocidadevx=30m/sevy=60m/saopassarporumpontodecoordenadas(3,0;−4,0)m.Nesseinstante,nanotaçãodosvetoresunitários,qualéomomentoangulardoobjetoemrelação(a)àorigeme(b)aoponto(−2,0;−2,0)m?

·29NoinstantedaFig.11-41,duaspartículassemovememumplanoxy.ApartículaP1temmassade6,5

kgevelocidadev1=2,2m/seestáaumadistânciad1=1,5mdopontoO.ApartículaP2temmassade3,1kgevelocidadev2=3,6m/seestáaumadistânciad2=2,8mdopontoO.(a)Qualéomóduloe(b)qualéaorientaçãodomomentoangularresultantedasduaspartículasemrelaçãoaopontoO?

Figura11-41 Problema29.

··30Noinstanteemqueodeslocamentodeumobjetode2,00kgemrelaçãoàorigemé =(2,00m) +(4,00m) –(3,00m) avelocidadedoobjetoé =–(6,00m/s) +(3,00m/s) +(3,00m/s) eoobjetoestásujeitoaumaforça =(6,00N) –(8,00N) +(4,00N) .Determine(a)aaceleraçãodoobjeto,(b)omomentoangulardoobjetoemrelaçãoàorigem,(c)otorqueemrelaçãoàorigemaqueestásubmetidooobjetoe(d)oânguloentreavelocidadedoobjetoeaforçaqueagesobreele.

··31NaFig.11-42,umabolade0,400kgélançadaverticalmenteparacimacomvelocidadeinicialde40,0m/s.QualéomomentoangulardabolaemrelaçãoaP,umpontoaumadistânciahorizontalde2,00mdopontodelançamento,quandoabolaestá(a)naalturamáximae(b)nametadedocaminhodevoltaaochão?QualéotorqueemrelaçãoaPaqueabolaésubmetidadevidoàforçagravitacionalquandoestá(a)naalturamáximae(b)nametadedocaminhodevoltaaochão?

Figura11-42 Problema31.

Módulo11-6ASegundaLeideNewtonparaRotações

·32Umapartículasofreaaçãodedoistorquesemrelaçãoàorigem: 1temummódulode2,0N·meapontanosentidopositivodoeixox; 2temummódulode4,0N·meapontanosentidonegativodoeixoy.Determined /dt, emque é omomento angular da partícula em relação à origem, em termos dosvetoresunitários.

·33No instante t = 0, uma partícula de 3,0 kg com uma velocidade = (5,0m/s) – (6,0m/s) estápassando pelo ponto x = 3,0m, y = 8,0m.A partícula é puxada por uma força de 7,0N no sentidonegativodoeixox.Determine,emrelaçãoàorigem,(a)omomentoangulardapartícula,(b)otorquequeagesobreapartículae(c)ataxacomaqualomomentoangularestávariando.

·34Umapartículasemoveemumplanoxy,emtornodaorigem,nosentidohorário,dopontodevistadoladopositivodoeixoz.Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéotorquequeagesobreapartículaseomódulodomomentoangulardapartículaemrelaçãoàorigemé(a)4,0kg·m2/s,(b)4,0t2kg·m2/s,(c)4,0kg·m2/se(d)4,0/t2kg·m2/s?

··35Noinstantet,ovetor =4,0t2 –(2,0t+6,0t2) forneceaposiçãodeumapartículade3,0kgemrelaçãoàorigemdeumsistemadecoordenadasxy( estáemmetrosetemsegundos).(a)Escrevaumaexpressão para o torque em relação à origem que age sobre a partícula. (b) O módulo do momentoangulardapartículaemrelaçãoàorigemestáaumentando,diminuindooupermaneceomesmo?

Módulo11-7MomentoAngulardeumCorpoRígido

·36AFig.11-43mostratrêsdiscoshomogêneosacopladosporduascorreias.UmacorreiapassapelasbordasdosdiscosAeC;aoutrapassaporumcubododiscoAepelabordadodiscoB.Ascorreiassemovem suavemente, sem deslizar nas bordas e no cubo. O discoA tem raio R e seu cubo tem raio0,5000R;odiscoBtemraio0,2500R;odiscoCtemraio2,000R.OsdiscosBeCtêmamesmamassaespecífica (massa por unidade de volume) e a mesma espessura. Qual é a razão entre o módulo domomentoangulardodiscoCeomódulodomomentoangulardodiscoB?

Figura11-43 Problema36.

·37NaFig.11-44,trêspartículasdemassam=23gestãopresasatrêsbarrasdecomprimentod=12cmemassa desprezível. O conjunto gira em torno do pontoO com velocidade angularω = 0,85 rad/s.Determine, em relação ao pontoO, (a) omomento de inércia do conjunto, (b) omódulo domomentoangulardapartículadomeioe(c)omódulodomomentoangulardoconjunto.

Figura11-44 Problema37.

·38Umdiscodepolimento,commomentodeinércia1,2×10−3kg·m2,estápresoaumabrocaelétricacujomotorproduzumtorquedemódulo16N·memrelaçãoaoeixocentraldodisco.Como torqueaplicadodurante33ms,qualéomódulo(a)domomentoangulare(b)davelocidadeangulardodisco

emrelaçãoaesseeixo?

·39Omomentoangulardeumvolantecomummomentodeinérciade0,140kg·m2emrelaçãoaoeixocentraldiminuide3,00para0,800kg·m2/sem1,50s.(a)Qualéomódulodotorquemédioemrelaçãoao eixo central que age sobre o volante durante esse período? (b) Supondo uma aceleração angularconstante,dequeânguloovolantegira?(c)Qualéo trabalhorealizadosobreovolante?(d)Qualéapotênciamédiadovolante?

··40Umdiscocomummomentodeinérciade7,00kg·m2giracomoumcarrosselsoboefeitodeumtorquevariáveldadoport=(5,00+2,00t)N·m.Noinstantet=1,00s,omomentoangulardodiscoé5,00kg·m2/s.Qualéomomentoangulardodisconoinstantet=3,00s?

··41AFig.11-45mostraumaestruturarígidaformadaporumaro,deraioRemassam,eumquadradofeito de quatro barras finas, de comprimento R e massa m. A estrutura rígida gira com velocidadeconstanteemtornodeumeixovertical,comumperíododerotaçãode2,5s.SupondoqueR=0,50mem=2,0kg,calcule(a)omomentodeinérciadaestruturaemrelaçãoaoeixoderotaçãoe(b)omomentoangulardaestruturaemrelaçãoaoeixo.

Figura11-45 Problema41.

··42AFig.11-46mostraavariaçãocomo tempodo torque tqueagesobreumdisco inicialmenteemrepousoquepodegirarcomoumcarrosselemtornodocentro.Aescaladoeixotédefinidaports=4,0N·m.Qualéomomentoangulardodiscoemrelaçãoaoeixoderotaçãonoinstante(a)t=7,0se(b)noinstantet=20s?

Figura11-46 Problema42.

Módulo11-8ConservaçãodoMomentoAngular

·43NaFig.11-47,duaspatinadorascom50kgdemassa,quesemovemcomumavelocidadeescalarde1,4m/s,seaproximamemtrajetóriasparalelasseparadaspor3,0m.Umadaspatinadorascarregaumavara comprida, de massa desprezível, segurando-a em uma extremidade, e a outra se agarra à outraextremidade ao passar pela vara, o que faz com que as patinadoras passem a descrever umacircunferência em torno do centro da vara. Suponha que o atrito entre as patinadoras e o gelo sejadesprezível.Determine (a) o raio da circunferência, (b) a velocidade angular das patinadoras e (c) aenergiacinéticadosistemadasduaspatinadoras.Emseguida,aspatinadoraspuxamavaraatéficaremseparadasporumadistânciade1,0m.Nesseinstante,(d)qualéavelocidadeangulardaspatinadorase(e)qualéaenergiacinéticadosistema?(f)Deondevemaenergiacinéticaadicional?

Figura11-47 Problema43.

·44Umabarata,demassa0,17kg,correnosentidoanti-horárionabordadeumdiscocircularderaio15cmemomento de inércia 5,0× 10−3 kg ·m2,montado em um eixo vertical com atrito desprezível.Avelocidade da barata (em relação ao chão) é 2,0 m/s, e o disco gira no sentido horário com umavelocidadeangularω0=2,8rad/s.Abarataencontraumamigalhadepãonabordae,obviamente,para.(a)Qualéavelocidadeangulardodiscodepoisqueabaratapara?Aenergiamecânicaéconservadaquandoabaratapara?

·45Umhomemestádepéemumaplataformaquegira(sematrito)comumavelocidadeangularde1,2rev/s;osbraçosdohomemestãoabertoseeleseguraumtijoloemcadamão.Omomentodeinérciado

sistemaformadopelohomem,ostijoloseaplataformaemrelaçãoaoeixoverticalcentraldaplataformaé6,0kg·m2.Se,aomoverosbraços,ohomemreduzomomentodeinérciadosistemapara2,0kg·m2,determine (a) a novavelocidade angular daplataformae (b) a razão entre a nova energia cinéticadosistemaeaenergiacinéticainicial.(c)Deondevemaenergiacinéticaadicional?

·46Omomentodeinérciadeumaestrelaquesofreumacontraçãoenquantogiraemtornodesimesmacaipara1/3dovalorinicial.Qualéarazãoentreanovaenergiacinéticaderotaçãoeaenergiaantiga?

·47Umapistaémontadaemumagranderodaquepodegirarlivremente,comatritodesprezível,emtornode um eixo vertical (Fig. 11-48). Um trem de brinquedo, demassam, é colocado na pista e, com osistema inicialmente em repouso, a alimentação elétrica do brinquedo é ligada. O trem adquire umavelocidadede0,15m/semrelaçãoàpista.Qualéavelocidadeangulardarodaseesta temmassade1,1meraiode0,43m?(Tratearodacomoumaroedesprezeamassadosraiosedocubodaroda.)

Figura11-48 Problema47.

·48Umabarataestánocentrodeumdiscocircularquegiralivrementecomoumcarrossel,semtorquesexternos.Abaratacaminhaemdireçãoàbordadodisco,cujoraioéR.AFig.11-49mostraavelocidadeangularωdosistemabarata-discoduranteacaminhada.Aescaladoeixoωédefinidaporωa=5,0rad/seωb=6,0rad/s.Qualéarazãoentreomomentodeinérciadoinsetoeomomentodeinérciadodisco,amboscalculadosemrelaçãoaoeixoderotação,quandoabaratachegaàbordadodisco?

Figura11-49 Problema48.

·49Doisdiscosestãomontados(comoumcarrossel)nomesmoeixo,comrolamentosdebaixoatrito,epodemseracopladosegirarcomosefossemumsódisco.Oprimeirodisco,comummomentodeinérciade3,30kg·m2emrelaçãoaoeixocentral,épostoparagirarnosentidoanti-horárioa450rev/min.Osegundodisco,comummomentodeinérciade6,60kg·m2emrelaçãoaoeixocentral,épostoparagirarno sentido anti-horário a 900 rev/min.Em seguida, os discos são acoplados. (a)Qual é a velocidadeangular dos discos após o acoplamento? Se, em vez disso, o segundo disco é posto para girar a 900

rev/minnosentidohorário,qualé(b)avelocidadeangulare(c)qualosentidoderotaçãodosdiscosapósoacoplamento?

·50OrotordeummotorelétricotemummomentodeinérciaIm=2,0×1023kg·m2emrelaçãoaoeixocentral.Omotor éusadoparamudar aorientaçãoda sondaespacialnaqual estámontado.Oeixodomotorcoincidecomoeixocentraldasonda;asondapossuiummomentodeinérciaIp=12kg·m2emrelaçãoaesseeixo.Calculeonúmeroderevoluçõesdorotornecessáriasparafazerasondagirar30°emtornodoeixocentral.

·51Umarodaestágirandolivrementecomumavelocidadeangularde800rev/minemtornodeumeixocujomomentodeinérciaédesprezível.Umasegundaroda,inicialmenteemrepousoecomummomentodeinérciaduasvezesmaiorqueaprimeira,éacopladaàmesmahaste.(a)Qualéavelocidadeangulardacombinaçãoresultantedoeixoeduasrodas?(b)Quefraçãodaenergiacinéticaderotaçãoinicialéperdida?

··52 Uma barata demassam está na borda de um disco homogêneo demassa 4,00m que pode girarlivrementeemtornodocentrocomoumcarrossel.Inicialmente,abarataeodiscogiramjuntoscomumavelocidadeangularde0,260rad/s.Abaratacaminhaatémetadedadistânciaaocentrododisco.(a)Qualé,nesse instante, avelocidadeangulardo sistemabarata-disco? (b)Qual é a razãoK/K0 entre a novaenergiacinéticadosistemaeaenergiacinéticaantiga?(c)Porqueaenergiacinéticavaria?

··53Umabarrafina,homogênea,com0,500mdecomprimentoe4,00kgdemassa,podegiraremumplanohorizontalemtornodeumeixoverticalquepassapelocentrodabarra.Abarraestáemrepousoquandoumabalade3,0gédisparada,noplanoderotação,emdireçãoaumadasextremidades.Vistadecima,atrajetóriadabalafazumânguloθ=60,0°comabarra(Fig.11-50).Seabalasealojanabarraeavelocidadeangulardabarraé10rad/s imediatamenteapósacolisão,qualeraavelocidadedabalaimediatamenteantesdoimpacto?

Figura11-50 Problema53.

··54 A Fig. 11-51mostra a vista, de cima, de um anel que pode girar em torno do centro como umcarrossel.OraioexternoR2é0,800m,oraiointernoR1éR2/2,00,amassaMé8,00kgeamassadacruznocentroédesprezível. Inicialmente,odiscogiracomumavelocidadeangularde8,00rad/s,comumgato, de massam =M/4,00, na borda externa, a uma distância R2 do centro. De quanto o gato vaiaumentaraenergiacinéticadosistemagato-discoserastejaratéabordainterna,deraioR1?

Figura11-51 Problema54.

··55Umdiscodevinil,horizontal,demassa0,10kgeraio0,10m,giralivrementeemtornodeumeixoverticalquepassapelocentrocomumavelocidadeangularde4,7rad/s.Omomentodeinérciadodiscoemrelaçãoaoeixoderotaçãoé5,0×10−4kg·m2.Umpedaçodemassademodelar,demassa0,020kg,caiverticalmenteegrudanabordadodisco.Qualéavelocidadeangulardodiscoimediatamenteapósamassacair?

··56 No salto emdistância, o atleta deixa o solo comummomento angular que tende a girar ocorpoparaafrente.Essarotação,casonãosejacontrolada, impedequeoatletachegueaosolocomaposturacorreta.Oatletaevitaqueelaocorragirandoosbraçosestendidospara“absorver”omomentoangular(Fig.11-18).Em0,700s,umdosbraçosdescreve0,500reveooutrodescreve1,000rev.Tratecadabraçocomoumabarrafina,demassa4,0kgecomprimento0,60m,girandoemtornodeumadasextremidades.Qualéomódulodomomentoangulartotaldosbraçosdoatletaemrelaçãoaumeixoderotaçãocomum,passandopelosombros,noreferencialdoatleta?

··57Umdiscohomogêneo,demassa10meraio3,0r,podegirarlivrementecomoumcarrosselemtornodocentrofixo.Umdiscohomogêneo,menor,demassameraior,estásobreodiscomaior,concêntricocomele.Inicialmente,osdoisdiscosgiramjuntoscomumavelocidadeangularde20rad/s.Emseguida,umapequenaperturbaçãofazcomqueodiscomenordeslizeparaforaemrelaçãoaodiscomaioratéquesuabordafiquepresanabordadodiscomaior.Depoisdisso,osdoisdiscospassamnovamenteagirarjuntos(semquehajanovosdeslizamentos).(a)Qualéavelocidadeangularfinaldosistemaemrelaçãoaocentrododiscomaior?(b)QualéarazãoK/K0entreanovaenergiacinéticadosistemaeaenergiacinéticainicial?

··58 Uma plataforma horizontal na forma de um disco circular gira sem atrito em torno de um eixoverticalquepassapelocentrododisco.Aplataformatemumamassade150kg,umraiode2,0meummomento de inércia de 300 kg ·m2 em relação ao eixo de rotação.Uma estudante de 60 kg caminhalentamente,apartirdabordadaplataforma,emdireçãoaocentro.Seavelocidadeangulardosistemaé1,5 rad/s quando a estudante está na borda, qual é a velocidade angular quando ela está a 0,50mdedistânciadocentro?

··59AFig.11-52éavista,decima,deumabarrafina,homogênea,decomprimento0,800memassaM,

girandohorizontalmentea20,0rad/s,nosentidoanti-horário,emtornodeumeixoquepassapelocentro.Umapartícula,demassaM/3,00, inicialmentepresa aumaextremidadedabarra, é liberadae assumeuma trajetória perpendicular à posição da barra no instante em que a partícula foi liberada. Se avelocidadevpdapartículaé6,00m/smaiorqueavelocidadedabarraimediatamenteapósaliberação,qualéovalordevp?

Figura11-52 Problema59.

··60NaFig.11-53,umabalade1,0gédisparadacontraumblocode0,50kgpresoàextremidadedeumabarranãohomogênea,de0,50kgcom0,60mdecomprimento.Osistemabloco-barra-balapassaagirarnoplanodopapel,emtornodeumeixofixoquepassapelopontoA.Omomentodeinérciadabarraem relação a esse eixo é0,060kg ·m2.Trate o bloco comoumapartícula. (a)Qual é omomentodeinércia do sistemabloco-haste-bala em relação ao eixo que passa pelo pontoA? (b) Se a velocidadeangulardosistemaemrelaçãoaoeixoquepassapelopontoAimediatamenteapósoimpactoé4,5rad/s,qualéavelocidadedabalaimediatamenteantesdoimpacto?

Figura11-53 Problema60.

··61Abarrahomogênea(de0,60mdecomprimentoe1,0kgdemassa)mostradanaFig.11-54giranoplanodopapelemtornodeumeixoquepassaporumadasextremidades,comummomentodeinérciade0,12kg·m2.Quandopassapelaposiçãomaisbaixa,abarracolidecomumabola,demassademodelar,de0,20kg,queficagrudadanaextremidadedabarra.Seavelocidadeangulardabarraimediatamenteantes da colisão é 2,4 rad/s, qual é a velocidade angular do sistema barra-massa de modelarimediatamenteapósacolisão?

Figura11-54 Problema61.

···62 UmtrapezistapretendedarquatrocambalhotasemumintervalodetempoΔt=1,87santesdechegaraocompanheiro.Noprimeiroenoúltimoquartodevolta,elemantémocorpoesticado,comonaFig.11-55, comummomentode inércia Il=19,9kg ·m2 em relação ao centrodemassa (opontodafigura).Norestodosalto,mantémocorponaposiçãogrupada,comummomentodeinérciaI2=3,93kg·m2.Qualdeveseravelocidadeangularω2dotrapezistaquandoestánaposiçãogrupada?

Figura11-55 Problema62.

···63NaFig.11-56,umacriançade30kgestádepénabordadeumcarrosselestacionário,deraio2,0m.Omomentodeinérciadocarrosselemrelaçãoaoeixoderotaçãoé150kg·m2.Acriançaagarraumabola, demassa 1,0 kg, lançada por um colega. Imediatamente antes de ser agarrada, a bola tem umavelocidade demódulo12m/squefazumânguloϕ=37°comumaretatangenteàbordadocarrossel,comomostraafigura.Qualéavelocidadeangulardocarrosselimediatamenteapósacriançaagarrarabola?

Figura11-56 Problema63.

···64 Uma bailarina começa um tour jeté (Fig. 11-19a) com uma velocidade angularωi e ummomentodeinérciaformadoporduaspartes:Iperna=1,44kg·m2dapernaestendida,quefazumânguloθ=90,0°comocorpo,eItronco=0,660kg·m2dorestodocorpo(principalmenteotronco).Quandoestáquaseatingindoaalturamáxima,asduaspernasfazemumânguloθ=30°comocorpo,eavelocidadeangularéωf(Fig.11-19b).SupondoqueItroncopermaneceomesmo,qualéavalordarazãoωf/ωi?

···65 Duas bolas, de 2,00 kg, estão presas às extremidades de uma barra fina, de 50,0 cm decomprimentoemassadesprezível.Abarraestálivreparagirarsematritoemumplanoverticalemtornodeumeixohorizontal quepassapelo centro.Comabarra inicialmentenahorizontal (Fig.11-57), umpedaçodemassademodelarde50,0gcaiemumadasbolas,atingindo-acomumavelocidadede3,00m/seaderindoaela. (a)Qualéavelocidadeangulardosistema imediatamenteapósochoquecomamassa demodelar? (b)Qual é a razão entre a energia cinética do sistema após o choque e a energiacinéticadopedaçodemassademodelar imediatamenteantesdochoque?(c)Dequeânguloosistemagiraantesdepararmomentaneamente?

Figura11-57 Problema65.

···66NaFig.11-58,umpequenoblocode50gdeslizaparabaixoemumasuperfíciecurva,sematrito,apartirdeumaalturah=20cmedepoisadereaumabarrahomogênea,demassa100gecomprimento40cm.AbarragiradeumânguloθemtornodopontoOantesdepararmomentaneamente.Determineθ.

Figura11-58 Problema66.

···67AFig.11-59éumavista,decima,deumabarrafina,homogênea,decomprimento0,600memassaM, girando horizontalmente a 80,0 rad/s no sentido anti-horário em torno de um eixo que passa pelocentro.Umapartícula,demassaM/3,00,quesemovehorizontalmentecomumavelocidadede40,0m/s,choca-se com a barra e fica presa. A trajetória da partícula é perpendicular à barra nomomento dochoque,queocorreaumadistânciaddocentrodabarra.(a)Paraqualvalordedabarraeapartículapermanecememrepousoapósochoque?(b)Emquesentidoabarraeapartículagiramapósochoque,sedémaiorqueovalorcalculadoem(a)?

Figura11-59 Problema67.

Módulo11-9PrecessãodeumGiroscópio

··68Umpiãogiraa30rev/semtornodeumeixoquefazumângulode30°comavertical.Amassadopiãoé0,50kg,omomentodeinérciaemrelaçãoaoeixocentralé5,0×10−4kg·m2eocentrodemassaestáa4,0cmdopontodeapoio.Searotaçãoénosentidohorárioquandoopiãoévistodecima,qualé(a)ataxadeprecessãoe(b)qualéosentidodaprecessãoquandoopiãoévistodecima?

··69Umgiroscópioé formadoporumdiscohomogêneocom50cmde raiomontadonocentrodeumeixo,de11cmdecomprimentoedemassadesprezível.Oeixoestánaposiçãohorizontal,apoiadoemuma das extremidades. Se o disco está girando em torno do eixo a 1000 rev/min, qual é a taxa deprecessão?

ProblemasAdicionais

70Umabolamaciça,homogênea,rolasuavementeemumpisohorizontaledepoiscomeçaasubirumarampacomumainclinaçãode15,0°.Abolaparamomentaneamenteapósterrolado1,50maolongoda

rampa.Qualeraavelocidadeinicial?

71NaFig.11-60,umaforçahorizontalconstante demódulo12Néaplicadaaumcilindromaciço,homogêneo,pormeiodeumalinhadepescarenroladanocilindro.Amassadocilindroé10kg,oraioé0,10meocilindrorolasuavementeemumasuperfíciehorizontal.(a)Qualéomódulodaaceleraçãodocentrodemassadocilindro?(b)Qualéomódulodaaceleraçãoangulardocilindroemrelaçãoaocentrodemassa?(c)Emtermosdosvetoresunitários,qualéaforçadeatritoqueagesobreocilindro?

Figura11-60 Problema71.

72Um cano de paredes finas rola no chão.Qual é a razão entre a energia cinética de translação e aenergiacinéticaderotaçãoemrelaçãoaoeixocentraldocano?

73Umcarrodebrinquedo,de3,0kg,semoveaolongodeumeixoxcomumavelocidadedadapor =–2,0t3 m/s,comtemsegundos.Parat>0,qualé(a)omomentoangular docarroe(b)qualéotorqueτsobreocarro,amboscalculadosemrelaçãoàorigem?Qualéovalor(c)de e(d)de emrelaçãoaoponto(2,0m;5,0m;0)?Qualéovalor(e)de e(f)de emrelaçãoaoponto(2,0m;−5,0m;0)?

74Umarodagiranosentidohorárioemtornodoeixocentralcomummomentoangularde600kg·m2/s.No instante t=0,um torque,demódulo50N·m,éaplicadoà rodapara invertera rotação.Emqueinstantetavelocidadeangulardarodaseanula?

75 Emumparquinho existe umpequeno carrossel com1,20mde raio e 180 kg demassa.O raio degiraçãodocarrossel(vejaoProblema79doCapítulo10)é91,0cm.Umacriançacom44,0kgdemassacorre aumavelocidadede3,00m/s emuma trajetória tangente àbordadocarrossel, inicialmente emrepouso,epulanocarrossel.Desprezeoatritoentreosrolamentoseoeixodocarrossel.Calcule(a)omomentode inérciadocarrosselemrelaçãoaoeixoderotação, (b)omódulodomomentoangulardacriançaemrelaçãoaoeixoderotaçãodocarrossele(c)avelocidadeangulardocarrosseledacriançaapósacriançasaltarnocarrossel.

76Umblocohomogêneo,degranito,emformadelivropossuifacesde20cmpor15cmeumaespessurade1,2cm.Amassaespecífica(massaporunidadedevolume)dogranitoé2,64g/cm3.Oblocogiraemtorno de um eixo perpendicular às faces, situado ameia distância entre o centro e um dos cantos.Omomentoangularemtornodesseeixoé0,104kg·m2/s.Qualéaenergiacinéticaderotaçãodoblocoemtornodesseeixo?

77Duaspartículas,demassa2,90×10−4kgevelocidade5,46m/s,semovememsentidosopostosao

longode retasparalelas separadasporumadistânciade4,20cm. (a)QualéomóduloL domomentoangulardosistemadasduaspartículasemrelaçãoaopontomédiodadistânciaentreasduasretas?(b)OvalordeLmudaseopontoemrelaçãoaoqualécalculadonãoestáameiadistânciaentreasretas?Seosentidodemovimentodeumadaspartículaséinvertido,qualé(c)arespostadoitem(a)e(d)qualéarespostadoitem(b)?

78Umarodacom0,250mderaio,queestásemovendoinicialmentea43,0m/s,rola225matéparar.Calculeomódulo (a)da aceleração linear e (b)da aceleraçãoangularda roda. (c)Seomomentodeinérciadarodaemtornodoeixocentralé0,155kg·m2,calculeomódulodotorqueemrelaçãoaoeixocentraldevidoaoatritosobrearoda.

79AsrodasAeBnaFig.11-61estãoligadasporumacorreiaquenãodesliza.OraiodarodaBé3,00vezesmaiorqueoraiodarodaA.QualéarazãoIA/IBentreosmomentosdeinérciadasduasrodas,seelastêm(a)omesmomomentoangularemrelaçãoaosrespectivoseixoscentraise(b)amesmaenergiacinéticaderotação?

Figura11-61 Problema79.

80Umapartículade2,50kgquesemovehorizontalmenteemumpisocomumavelocidadede (−3,00m/s) sofre uma colisão perfeitamente inelástica com uma partícula de 4,00 kg que se movehorizontalmentenomesmopisocomumavelocidadede(4,50m/s) .Acolisãoocorrenascoordenadas(−0,500m,−0,100m).Apósacolisãoeemtermosdosvetoresunitários,qualéomomentoangulardosistemadasduaspartículasemrelaçãoàorigem?

81Umarodahomogênea,demassa10,0kge raio0,400m,estámontada rigidamenteemumeixoquepassapelocentro(Fig.11-62).Oraiodoeixoé0,200meomomentodeinérciadoconjuntoroda-eixoemrelaçãoaoeixoé0,600kg·m2.Arodaestáinicialmenteemrepousonoaltodeumarampaquefazumânguloθ=30,0°comahorizontal;oeixoestáapoiadonarampa,enquantoarodapenetraemumsulcoaberto na rampa, sem tocá-la. Depois de liberado, o eixo rola para baixo, suavemente e semdeslizamento,aolongodarampa.Depoisqueoconjuntoroda-eixodesce2,00maolongodarampa,(a)qualéaenergiacinéticaderotaçãoe(b)qualaenergiacinéticadetranslaçãodoconjunto?

Figura11-62 Problema81.

82Umabarrahomogêneagiraemumplanohorizontalemtornodeumeixoverticalquepassaporumadasextremidades.Abarratem6,00mdecomprimento,pesa10,0Negiraa240rev/min.Calcule(a)omomentodeinérciadabarraemrelaçãoaoeixoderotaçãoe(b)omódulodomomentoangularemtornodesseeixo.

83Umaesferamaciçacom36,0Ndepesosoberolandoumarampacomumângulode30,0°.Nabasedarampa, o centro de massa da esfera possui uma velocidade de translação de 4,90 m/s. (a) Qual é aenergiacinéticadaesferanabasedarampa?(b)Quedistânciaaesferasobeaolongodarampa?(c)Arespostadoitem(b)dependedamassadaesfera?

84 SuponhaqueoioiônoProblema17,emvezderolarapartirdorepouso,sejaarremessadoparabaixocomumavelocidadeinicialde1,3m/s.(a)Quantotempooioiôlevaparachegaràextremidadedacorda?Nesseinstante,qualéovalor(b)daenergiacinéticatotal,(c)davelocidadelinear,(d)daenergiacinéticadetranslação,(e)davelocidadeangulare(f)daenergiacinéticaderotação?

85Umamenina,demassaM,estádepénabordadeumcarrossel,sematrito,deraioRemomentodeinérciaI,queestáinicialmenteemrepouso.Ameninajogaumapedra,demassam,horizontalmenteemumadireçãotangenteàbordadocarrossel.Avelocidadedapedraemrelaçãoaochãoév.Depoisdisso,qualé(a)avelocidadeangulardocarrossele(b)qualéavelocidadelineardamenina?

86Umcorpo,deraioRemassam, rolasuavementecomvelocidadevemumasuperfíciehorizontaledepoissobeumacolinaatéumaalturamáximah.(a)Seh=3v2/4g,qualéomomentodeinérciadocorpoemrelaçãoaoeixoderotaçãoquepassapelocentrodemassa?(b)Quecorpopodeseresse?