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8/3/2019 capitulo_1-isep
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Matemática
Maiores de 23 2010
Marisa Oliveira Susana Nicola Araújo
Maria Hermínia Amorim
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5 Marisa Oliveira, Susana Araújo
1. Operações em IR
1.1 Números inteiros positivos
Neste conjunto a adição é sempre possível pois, se considerarmos dois
números a e b , existe sempre um número natural c que é a soma de a com b . A
multiplicação também é sempre possível.
Quer a adição quer a multiplicação são:
- comutativas : quaisquer que sejam os números naturais a e b
a + b = b + a
a x b = b x a
- associativas: quaisquer que sejam os números naturais a, b e c
(a + b) + c = a + (b + c)
(a.b).c = a.(b.c)
- sendo ainda a multiplicação distributiva em relação à adição
(a + b).c = a.c + b.c
a.(b + c) = a.b + a.c
IR Q Z IN
IN – conjunto dos números naturais = 1, 2,3, ....
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Sendo a e b números naturais, se conseguirmos determinar x , tal que:
b.x = a
é igual a x = a : b, o que é o mesmo que
a
x
b
=
dizemos que x representa o quociente exacto de a por b , onde
a diz-se dividendo;
b diz-se divisor.
Exemplo: 5 = 15 : 3 pois 5 x 3 = 15
Mas a divisão exacta nem sempre é possível no conjunto dos númerosnaturais. Não existe nenhum número natural x , tal que 3.x = 2 .
Para que a divisão exacta se torne possível, é preciso ampliar o conjunto dos
números naturais, acrescentando-lhe os números fraccionários positivos.
No exemplo anterior, o quociente de 2 por 3, que não era possível em IN ,
representa agora o número fraccionário2
3
, em que 2 é o numerador e 3 o
denominador.
1.2 Números inteiros positivos, negativos e o zero
É claro que as propriedades já enunciadas, para a adição e multiplicação,
permanecem válidas ao alargar o conjunto dos números naturais.
1.3 Números inteiros e números fraccionários relativos
Z – conjunto dos números inteiros relativos = }{.. ., 3, 2, 1, 0,1, 2,3, ....− − −
Q – conjunto dos números racionais
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Números racionais são todos aqueles que se podem escrever sob a forma de
fracção x
y
com 0 y ≠ , x e y inteiros. Estes números podem ser representados
por dízimas finitas ou infinitas periódicas.
Repare que duas fracções podem representar o mesmo número, dizendo-se
fracções equivalentes.
Exemplo: 12
6
e8
4
representam o número natural 2.
12
6
e8
4
são fracções equivalentes.
Exemplo : São ainda equivalentes, por exemplo, as fracções2
7
e8
28
. Se
dividirmos ambos os membros da segunda fracção por 4 obtemos
2
7
.
Exemplo: 2
7
é uma fracção irredutível.
Exemplo :8
28
é uma fracção redutível.
Exemplo: 3
5
é maior do que1
5
.7
3
é maior do que4
3
.
Só podemos somar fracções com o mesmo denominador, sendoa b a b
c c c
+
+ =
Dadas duas fracções com o mesmo denominador elas serão
equivalentes se tiverem o mesmo numerador, caso contrário será maior
a que tiver maior numerador.
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Exemplo:
a)5 3 5 3 8
4
2 2 2 2
+
+ = = =
b)3 7 3 7 10 5
4 4 4 4 2
+
+ = = =
Exemplo: 2 1
5 3
+ . Como as fracções não têm o mesmo denominador, teremos
que reduzi-las a um denominador comum. m.m.c. (5,3) = 15
2 2 3 6
5 5 3 15
×
= =
×
1 1 5 5
3 3 5 15
×
= =
×
Logo,2 1 6 5 11
5 3 15 15 15
+ = + =
Para multiplicar fracções, multiplicamos numerador com numerador,
denominador com denominador.
Exemplo:
11 2 11 2 22
7 3 7 3 21
×
× = =
×
A divisão em Q é sempre possível. Dividira
b
porc
d
, é o mesmo que multiplicar
a
b
pelo inverso dec
d
;d
c
.
:
a c a d ad
b d b c bc= × =
Exemplo: 2 7 2 3 6
:
5 3 5 7 35
= × =
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1.4 Números racionais e números irracionais
Números irracionais são todos aqueles que se podem escrever sob a forma de
fracção. Estes representam-se por dízimas infinitas não periódicas.
IR ⊃ Q ⊃ Z ⊃ IN
1.5 Operações com números reais
1.5.1 Adição
a + b com a, b ∈ IR
1) Adicionar um número real com 0, dá o próprio número, pois 0 é o
elemento neutro da adição:
0 + a = a + 0 = a, ∀ a ∈ IR
2) Adicionar os números simétricos a e – a :
(- a) + a = a + (- a) = 0, ∀ a ∈ IR
3) Se as parcelas têm o mesmo sinal:
(+…) + (…+) ou (-…) + (-…)
a soma tem esse mesmo sinal e o seu módulo é igual à soma dos
módulos
4) Se as parcelas têm sinais contrários:
(+…) + (-…) ou (-…) + (+…)
IR – conjunto dos números reais
Nos inteiros positivos
Nos inteiros relativos ( ) Zero
Nos racionais (Q ) Nos inteiros negativos
Nos reais ( IR) Nos
fraccionários – dízimas infinitas periódicas
Nos irracionais – dízimas infinitas não periódicas
(IN)
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O sinal da soma é o da parcela com maior módulo e o módulo da
soma é igual à diferença dos módulos das parcelas.
Exemplo: (+ 5) + (+ 2) = + (5 + 2) = + 7
(- 3) + (- 2) = - (3 + 2) = - 5
(- 4) + (+ 2) = - (4 – 2) = - 2
Porque |- 4| > |2|
(+ 5) + (- 3) = + (5 – 3)= 2
Porque |5| > |-3|
1.5.2 Subtracção
a - b com a, b ∈ IR
Subtrair ao número a o número b é adicionar ao número a o simétrico
de b .
a – b = a + (-b) com a, b ∈ IR
Exemplo: 1 1 14 1 13
7 7
2 2 2 2 2
− = + − = + − = +
1.5.3 Multiplicação
a . b com a, b ∈ IR
1) Qualquer que seja o número a , a.0 = 0.a = 0 , o que traduz que 0 é
o elemento absorvente da multiplicação.
2) O produto tem sinal + se os factores tiverem o mesmo sinal e tem
sinal – se os factores tiverem sinais diferentes.
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Podemos traduzir isto pela tabela seguinte:
. + -
+ + -
- - +
Exemplo:
1.5.4 Divisão
a : b com
a, b ∈ IR e
b ≠ 0
Dividir a por b , não é mais que multiplicar por a o inverso de b .
1
:
a
a b a
b b
= = ×
Exemplos: Calcular:
a)1
2 : 2.3 6
3
1 1 1 1
: 5 .
2 2 5 10
4 7 4 5 20
: .
3 5 3 7 21
= =
= =
= =
1 5
5.
2 2
5 3 5.3 15
.
2 7 2.7 14
2 3.2 6
3.
5 5 5
2 1 2 2
.
3 7 3.7 21
+ + =
− − = + = +
− + = − = −
+ − = − = −
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b)
c)
1.6 Valores aproximados
1.6.1 Dizimas
As dízimas podem ser finitas, infinitas periódicas e infinitas nãoperiódicas
Exemplo: 0,111…. Ou 0,(1) é uma dízima infinita periódica de período 1
1 1 4 1
2 :
3 2 5 2
2 1 4
.2
3 2 5
2 1 8
.
3 2 5
2 8
3 10
2 4
3 5
(5) (3)
10 12
15 15
22
15
× +
= +
= +
= +
= +
= +
=
1 1 2 1 12 1 2
2 4 2
5 3 15 5 3 3 15
1 13 2 2 13 2 30 13 2
2 .
5 3 15 1 15 15 15 15 15
(15 )
17 2 19
15 15 15
− + + = − + +
= − + = − + = − +
= + =
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Exemplo: 0,123123… ou 0,(123) é uma dízima infinita periódica de período
123
Exemplo: 1,15893571973… é uma dízima infinita não periódica (não há
repetição de algarismos ou de sequência de algarismos)
1.6.2 Valores aproximados, erro máximo cometido e valores
exactos
O erro máximo cometido é a diferença entre valor aproximado por excesso pelo
valor aproximado por defeito: 1,415 - 1,414 = 0,001. Neste caso o erro máximo
cometido é uma milésima.
Exemplo: 7 ~ 2, 64575...
O valor aproximado de 7 às milésimas por defeito é 2,645
O valor aproximado de 7 às milésimas por excesso é 2,646
O valor aproximado de 7 às centésimas por excesso é 2,65
O valor aproximado de 7 a menos de uma décima por defeito é 2,6
O valor exacto de 7 é 7
1,414 2 1,415< <
3 casas decimais 3 casasdecimais
Valor exacto
Valor aproximadode 2 , por excessoa menos de 0,001
Valor aproximado de 2 , por defeito a menos de 0,001
3 casasdecimais
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Exemplo: 2 7+ = ?
1, 414 2, 645 2 7 1, 415 2, 646+ < + < +
4, 059 2 7 4, 061< + <
2 7+ = 4,061 é o valor aproximado por excesso a menos de 0,001
2 7+ 0 4,059 é o valor aproximado por defeito a menos de 0,001
O erro máximo cometido é 4,061 – 4,059 = 0,002
1.7 Potências
Regras de Cálculo:
I) .
p q p qa a a
+
=
Exemplo:
a)5 3 5 3 8
2 .2 2 2+
= =
b)
3 4 3 4 7
1 1 1 1
.
2 2 2 2
+
= =
II) ( ). .
p p
a b p
a b=
Na multiplicação de potências, com a mesma base,
mantém-se essa base e somam-se os expoentes.
Na multiplicação de potências, com o mesmo expoente,
multiplicam-se as base e mantém-se esse expoente.
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Exemplo:
a)
3 3 3
1 5 5
.
3 2 6
=
b)
2 2
4 122 2( 3) . ( 4) 16
3 3
− = − = − =
III) : p q p q
a a a−
=
Exemplo:
a)
3 2 3 2
( 4) : ( 4) ( 4) 4
−
− − = − = −
b)
3 2 1
1 1 1 1
:
5 5 5 5
− − = − = −
IV) :
p
pa b
p a
b=
Na divisão de potências, com a mesma base, mantém-se
essa base e subtraem-se os expoentes.
Na divisão de potências, com o mesmo expoente, dividem-
se as base e mantém-se esse expoente.
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Exemplo:
a) 3
3 3
1 13 3( 5) : 5 : ( 5 : 3) ( 15)
3 3
− = − = − = −
b)
4 4 4 4 4 4
5 1 5 1 5 10 5
: : .2
4 2 4 2 4 4 2
= = = =
V) ( )q
p pqa a=
Exemplo:
a) ( )23 6
2 ( 2)− = −
b)
35 15
1 1
2 2
=
Nota:n
a é sempre não negativa se o expoente é par; tem o sinal de a se o
expoente é ímpar; por convenção0
1a = e1
a a= .
Exemplo:
a)3
( 3) 27− = −
Podemos elevar uma potência a outra potência. Para seefectuar este cálculo mantém-se a base comum emultiplicam-se os expoentes respectivos.
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b)2
( 4) 16− = +
c)3
2 8=
d)2
5 25=
Nota:2 2
4 ( 4)− ≠ − pois2
4 (4 4) 16− = − × = − (a base da potência é 4) e
2( 4) ( 4) ( 4) 16− = − × − = +
Se quisermos efectuar a operação2 5
3 : 3 ?
2 23 3 12 5
3 : 35 2 3 3
3 3 .3 3
= = =
Mas por III)2 5 2 5 3
3 : 3 3 3− −
= =
Então1 3
33
3
−
= que se trata de uma potência de expoente negativo.
VI)1 1
n
na
na a
−
= =
, com , 0 ea IR a n IN ∈ ≠ ∈
Exemplo: Transformar em potência de expoente positivo:
a)3 5 3 1 5 2 5 2 5 3
2 .2 : 2 2 : 2 2 : 2 2 2− − − + − − − − +
= = = =
O que significa que uma potência de expoente inteiro
negativo é igual ao inverso da potência de base igual e
expoente simétrico.
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b)
55 5 2 2
1 2 10 1 2 10
: . : .
5 3 3 5 3 3
5 2 5 2
1 3 10 3 10
. . .
5 2 3 10 3
5 2 5 2 3
10 10 10 10
.
3 3 3 3
−− − − −
− − = − −
− − − −
= − − = − −
− −
= − − = − = −
VII) O radical
p
q p qa a= com 0; e
p
a q IN Q
q
> ∈ ∈
Exemplo: Escrever como uma potência de expoente fraccionário:
a)
3
3 22 2=
b)
1
51 15
2 2
=
c)
1
4 47 7=
d)
11133 32 2
2
−−
= =