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IT 144 – Hidráulica Aplicada Outubro/2011
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6. ESCOAMENTO EM CONDUTOS FORÇADOS
6.1 Considerações Gerais
Tendo em vista a pressão de funcionamento, os condutos hidráulicos podem se
classificar em:
a) Condutos forçados: nos quais a pressão interna é diferente da pressão atmosférica.
Nesse tipo de conduto, as seções transversais são sempre fechadas e o fluido
circulante as enche completamente. O movimento pode se efetuar em qualquer sentido
do conduto;
b) Condutos livres: nestes, o líquido escoante apresenta superfície livre, na qual atua a
pressão atmosférica. A seção não necessariamente apresenta perímetro fechado e
quando isto ocorre, para satisfazer a condição de superfície livre, a seção transversal
funciona parcialmente cheia. O movimento se faz no sentido decrescente das cotas
topográficas.
6.1.1 Equação de Bernoulli aplicada aos fluidos reais
Na dedução deste teorema, fundamentada na Equação de Euler, foram
consideradas as seguintes hipóteses:
a) o fluido não tem viscosidade;
b) o movimento é permanente;
c) o escoamento se dá ao longo de um tubo de fluxo; e
d) o fluido é incompressível.
A experiência mostra que, em condições reais, o escoamento se afasta do
escoamento ideal. A viscosidade dá origem a tensões de cisalhamento e, portanto,
interfere no processo de escoamento. Em conseqüência, o fluxo só se realiza mediante
uma “perda” de energia, que nada mais é que a transformação de energia mecânica
em calor e trabalho.
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A equação de Bernoulli, quando aplicada a seções distintas da canalização,
fornece a carga total em cada seção. Se o líquido é ideal, a carga ou energia total
permanece constante em todas as seções. Porém, se o líquido é real, para ele se
deslocar da seção 1 para a seção 2 (Figura 71), o mesmo irá consumir energia para
vencer as resistências ao escoamento entre as seções 1 e 2. Portanto, a carga total em
2 será menor do que em 1 e esta diferença é a energia dissipada sob forma de calor.
Como a energia calorífica não tem utilidade no escoamento do líquido, diz-se que esta
parcela é a “perda” de carga ou “perda” de energia, simbolizada comumente por fh . É
possível observar na Figura 71 que, independente da forma como a tubulação se
encontra instalada, sempre haverá dissipação de energia quando o líquido estiver em
movimento.
Analisando as Figuras, além do plano de referência, é possível identificar três
planos:
- PCE � Plano de carga efetivo: é a linha que demarca a continuidade da altura da
carga inicial, através das sucessivas seções de escoamento;
- LP � Linha piezométrica: é aquela que une as extremidades das colunas
piezométricas. Fica acima do conduto de uma distância igual à pressão existente, e é
expressa em altura do líquido. É chamada também de gradiente hidráulico; e
- LE � Linha de energia: é a linha que representa a energia total do fluido. Fica,
portanto, acima da linha piezométrica de uma distância correspondente à energia de
velocidade e se o conduto tiver seção uniforme, ela é paralela à piezométrica. A linha
piezométrica pode subir ou descer, em seções de descontinuidade. A linha de energia
somente desce.
Nas Figuras, f21 hEE =− ou f21 hEE +=
Como zp
g2v
E2
+γ
+= , tem-se que: f22
22
11
21 hz
pg2
vz
pg2
v ++γ
+=+γ
+
que é a equação de Bernoulli aplicada em duas seções quaisquer de um escoamento
de fluido real.
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a
b
c
Figura 71 - Escoamento de um líquido real em um conduto forçado, mostrando a carga
total em duas seções de escoamento: a) tubulação em nível; b) tubulação
em aclive; c) tubulação em declive.
g2v2
1
γ1P
z2
z1
γ2P
g2
v22
hf 1-2
PCE
LE
LP
z2
γ1P
hf 1-2
z1
g2v2
1
γ2P
g2v2
2
PCE
LE
LP
g2v2
1
γ1P
z2 z1
γ2P
g2v2
2
hf 1-2
PCE
LE
LP
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Quando existem peças especiais e trechos com diâmetros diferentes, as linhas de
carga e piezométrica vão se alterar ao longo do conduto. Para traçá-las, basta
conhecer as cargas de posição, pressão e velocidade nos trechos onde há
singularidades na canalização. A instalação esquematizada na Figura 72 ilustra esta
situação.
Figura 72 – Perfil de uma canalização que alimenta o reservatório R2, a partir do
reservatório R1, com uma redução de diâmetro.
Do reservatório R1 para R2 existe uma perda de carga global “ht”, igual à
diferença de nível entre os mesmos. Esta perda de carga é devida à:
ha1 - perda localizada de carga na entrada da canalização;
hf1 - perda contínua de carga no conduto 1 de maior diâmetro;
ha2 - perda localizada de carga na redução do conduto, representada pela
descontinuidade da linha de carga;
hf2 - perda contínua de carga no trecho de diâmetro D2;
ha3 - perda de carga na entrada do reservatório.
Para traçar esta linha de carga é necessário calcular as cargas logo após a
entrada da canalização, imediatamente antes e após a redução de diâmetro e na
entrada do reservatório. Em seguida, bastas traçar estes pontos por retas.
g2V21
g2V22
ha1
ha2
ha3
hf1
hf2 D1
D2
R1
R2
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Exercício: Qual a energia consumida para vencer as resistências ao escoamento em
um trecho do conduto de 100 mm. A pressão no início é de 0,2 MPa e no final 0,15
MPa. A velocidade média de escoamento é de 1,5 m/s. Tomando como referência a
Figura 71 c, considere uma diferença de nível na tubulação de 1 m. Resposta: 6,0 mca
6.1.2 Regimes de movimento
Os hidráulicos do século XVIII já observavam que dependendo das condições
de escoamento, a turbulência era maior ou menor, e consequentemente a perda de
carga. Osborne Reynolds (1842 – 1912) fez uma experiência para tentar caracterizar o
regime de escoamento, que a princípio ele imaginava depender da velocidade de
escoamento (Figura 73). A experiência consistia em fazer o fluido escoar com
diferentes velocidades, para que se pudesse distinguir a velocidade de mudança de
comportamento dos fluidos em escoamento e caracterizar estes regimes. Para
visualizar mudanças, era injetado na tubulação o corante permanganato de potássio,
utilizado como contraste.
Figura 73 – Esquema da experiência de Reynolds
Inicialmente, usando pequenas velocidades, ele observou que o líquido escoava-se
ordenadamente, como se lamínulas do líquido se deslizassem uma em relação às
outras, e a este estado de movimento, ele denominou laminar. Logo que a velocidade
foi sendo aumentada gradativamente, ele observou que o líquido passou a escoar de
forma desordenada, com as trajetórias das partículas se cruzando, sem uma direção
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definida. A este estado de movimento, ele chamou de turbulento ou desordenado. A
Figura 74 apresenta os resultados de testes demonstrando a experiência de Reynolds.
O material completo está disponível no endereço:
http://www.escoladavida.eng.br/mecflubasica/Apostila/Unidade%203/Simulacao%20de
%20Reynolds%20un%203.pdf
a b
Figura 74 – Resultados obtidos em um teste de laboratório: (a) laminar e (b) turbulento.
Tentando repetir a sua experiência, em sentido contrário, começando de uma
velocidade maior (regime turbulento) e, gradativamente reduzindo a velocidade, ele
observou que o fluido passou do regime turbulento para o laminar, porém a velocidade
que ocorreu nesta passagem era menor que aquela em que o regime passou laminar a
turbulento. Ficou, portanto, uma faixa de velocidade onde não se pôde definir com
exatidão qual o regime de escoamento. A esta faixa, chamou de zona de transição.
Ele distinguiu inicialmente também duas velocidades:
• Velocidade crítica superior: é aquela onde ocorre a passagem do regime laminar
para o turbulento.
• Velocidade crítica inferior: é aquela onde ocorre a passagem do regime turbulento
para o laminar.
Repetiu-se a experiência de Reynolds fazendo-a para várias combinações de
diâmetros e fluidos e concluiu-se que não só a velocidade é importante para
caracterizar o regime de escoamento, mas também o diâmetro da canalização e o
fluido escoante. Chegou-se a uma expressão que caracteriza o regime de escoamento:
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ν= DV
Re
em que:
Re = é conhecido como número de Reynolds, adimensional;
V = a velocidade média de escoamento, m s-1;
D = o diâmetro da canalização, m; e
ν = a viscosidade cinética do fluido, m2 s-1 (ν água = 1,02 x 10-6 m2 s-1)
Para definir o regime, basta calcular o número de Reynolds e caracterizá-lo
pelos limites.
Se eR ≤ 2.000 - regime laminar
Se eR ≥ 4.000 - regime turbulento
Se 2.000 < eR < 4.000 - zona de transição
Na zona de transição não se pode determinar com precisão a perda nas canalizações.
De modo geral, por causa da pequena viscosidade da água e pelo fato da
velocidade de escoamento ser sempre superior a 0,4 ou 0,5 m s-1, o regime dos
escoamentos, na prática, é turbulento.
Exercício: Com os dados do exercício anterior, calcule o número de Reynolds
do escoamento, considerando ν água = 1,02 x 10-6 m2 s-1. Resposta: 147.058,82
6.1.3 Perda de carga
A princípio acreditava-se que a perda de energia ao escoamento era resultado
do atrito da massa fluida com as paredes da tubulação. Todavia, essa conceituação é
errônea, pois independente do tipo de escoamento, existe uma camada de velocidade
igual a zero junto às paredes (camada limite), indicando que a massa fluida em
escoamento não atrita com as paredes do conduto. Se chamarmos de ”β” a espessura
dessa camada ou película, a mesma pode ser calculada pela fórmula de Prandtl:
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fRe
D5,32=β
em que f é um fator de atrito e dependente do regime de escoamento e da rugosidade
interna da parede do tubo (ε). Também deve-se definir como rugosidade relativa do
material a razão entre ε e o diâmetro do tubo (Dε
). A Tabela 1 apresenta a rugosidade
dos materiais mais comumente utilizados.
Tabela 1 - Valores da rugosidade média (ε) dos materiais empregados em condutos forçados
Tipo de material ε ( mm )
Ferro fundido novo 0,26 - 1 Ferro fundido enferrujado 1 - 1,5 Ferro fundido incrustado 1,5 - 3 Ferro fundido asfaltado 0,12 - 0,26 Aço laminado novo 0,0015 Aço comercial 0,046 Aço rebitado 0,092 - 9,2 Aço asfaltado 0,04 Aço galvanizado 0,15 Aço soldado liso 0,1 Aço muito corroído 2,0 Aço rebitado, com cabeças cortadas 0,3 Cobre ou vidro 0,0015 Concreto centrifugado 0,07 Cimento alisado 0,3 - 0,8 Cimento bruto 1 - 3 Madeira aplainada 0,2 - 0,9 Madeira não aplainada 1,0 - 2,5 Alvenaria de pedra bruta 8 - 15 Tijolo 5 Plástico 0,06 Alvenaria de pedra regular 1
Pela equação anterior é possível verificar que quanto maior o Re, menor a
espessura da camada limite. Se β for suficiente para cobrir as rugosidades (ε) o
escoamento é dito turbulento de parede lisa. Se β for da mesma ordem de grandeza de
ε, o escoamento passa a ser chamado de turbulento de parede intermediária ou
turbulento de transição. Caso β seja menor que ε, o escoamento é dito turbulento de
parede rugosa ou francamente turbulento.
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É interessante notar que β decresce com aumento de Re. Por isso um tubo pode
se comportar como liso para um fluido e rugoso para outro. Ainda para o mesmo fluido,
pode se comportar como liso nas baixas velocidades e rugoso nas altas velocidades.
Concluindo, pode-se dizer que no regime laminar, a perda de carga deve-se
unicamente à resistência oferecida pela camada mais lenta àquela mais rápida que lhe
é adjacente, ou seja, a energia hidráulica é transformada em trabalho na anulação da
resistência oferecida pelo fluido em escoamento em função da sua viscosidade. A
resistência é função das tensões tangenciais que promovem a transferência da
quantidade de movimento.
No regime turbulento, além do fenômeno descrito acima, existe ainda perda de
energia nos choques moleculares oriundos do movimento desordenado das partículas.
A perda de carga está diretamente relacionada com a turbulência que ocorre
no conduto. Com esta ponderação, é possível imaginar que, em uma tubulação
retilínea, a perda de carga seja menor se comparada com uma tubulação semelhante,
mas com uma série de peças especiais, tais como curvas, cotovelos, etc. As peças
especiais provocam perdas localizadas pela maior turbulência na região da peça, pois
alteram o paralelismo das linhas de corrente.
Para efeito didático vamos separar as perdas localizadas da perda de carga ao
longo de uma canalização retilínea, ou perda contínua de carga.
6.2 Cálculos dos condutos forçados: perda contínua de carga
Desde o século XVIII, os hidráulicos vêm estudando o comportamento dos
fluidos em escoamento. Darcy, hidráulico suíço, e outros concluíram, naquela época,
que a perda de carga ao longo das canalizações era:
- diretamente proporcional ao comprimento do conduto;
- proporcional a uma potência da velocidade;
- inversamente proporcional a uma potência do diâmetro;
- função da natureza das paredes, no caso de regime turbulento;
- independente da pressão sob a qual o líquido escoa; e
- independente da posição da tubulação e do sentido de escoamento.
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Naquela época, surgiram numerosas fórmulas para o dimensionamento das
canalizações. A maioria delas era específica para as condições de trabalho de uma
dada região. Hoje, o número de fórmulas utilizadas é bem menor. Serão abordadas
neste estudo as fórmulas de Hazen-Williams, Flamant e Darcy-Weisbach ou Universal.
6.2.1 Fórmulas práticas
a) Fórmula de Hazen-Williams Essa fórmula talvez seja a mais utilizada nos países de influência americana.
Ela originou-se de um trabalho experimental com grande número de tratamentos
(vários diâmetros, vazões e materiais) e repetições. Ela deve ser utilizada para
escoamento de água à temperatura ambiente, para tubulações com diâmetro maior ou
igual a 2” ou 50 mm e para regime turbulento. Ela possui várias apresentações:
54,063,0 J D C 355,0V = ou 54,063,2 J D C 279,0Q = ou 87,4852,1
852,1
D C
Q646,10J = ou
LD C
Q646,10hf
87,4852,1
852,1=
em que:
V - velocidade, m s-1;
D - diâmetro da canalização, m;
Q - vazão, m3 s-1;
hf – perda contínua de carga, m;
J - perda de carga unitária, m m-1;
C – coeficiente que depende da natureza das paredes e estado de
conservação de suas paredes internas. A Tabela 2 apresenta alguns valores para o
coeficiente C.
b) Fórmula de Flamant A fórmula de Flamant deve ser aplicada também para água à temperatura
ambiente, para instalações domiciliares e tubulações com diâmetro variando de 12,5 a
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100 mm. Inicialmente foram desenvolvidas as equações para ferro fundido e aço
galvanizado. Posteriormente, foi obtido o coeficiente para outros materiais
75,4
75,1
D
QKeJ = ou L
D
QKehf
75,4
75,1=
em que “Ke” assume os seguintes valores:
PVC Ferro fundido e aço novos
Ferro fundido e aço usados
Cimento amianto
Chumbo
0,000824 0,001133 0,0014 0,00095 0,00086
Tabela 2 - Valores do coeficiente C da fórmula de Hazen-Williams
Tipo de conduto C Aço corrugado 60 Aço com juntas “loc-bar”, novas 130 Aço galvanizado 125 Aço rebitado, novo 110 Aço rebitado, usado 85-90 Aço soldado, novo 130 Aço soldado, usado 90-100 Aço soldado com revestimento especial 130 Aço zincado 140-145 Alumínio 140-145 Cimento-amianto 130-140 Concreto, com bom acabamento 130 Concreto, com acabamento comum 120 Ferro fundido, novo 130 Ferro fundido, usado 90-100 Plástico 140-145 PVC rígido 145-150 Vidro 140
c) Fórmula de Darcy-Weisbach ou Universal
Esta fórmula é de uso geral, podendo ser aplicada tanto para escoamento em
regime turbulento quanto para o laminar, e é também utilizada para toda faixa de
diâmetros.
52
2
Dg
Qf8J
π= ou L
Dg
Qf8hf
52
2
π=
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O coeficiente “f” depende do material e estado de conservação das paredes. Na
hipótese de regime laminar, f é independente da rugosidade relativa e é unicamente
função do número de Reynolds:
Re64
f =
No regime turbulento, o valor de f pode ser encontrado pela expressão de
Colebrook e White:
)fRe
51,271,3D(log2-
f
1 +ε
=
A equação anterior pode ser aplicada para três situações distintas:
� escoamento turbulento de parede lisa (104 ≤ Re ≤ 3,6x106): nesta região f depende
de Re e independe de Dε
. Assim, pode-se desprezar da equação anterior o primeiro
termo entre parênteses:
8,0-)f(Relog2f
1 =
� escoamento turbulento de parede intermediária (14 < Dε
Re f < 200): nesta região f
depende de Re e de Dε
. Assim, utiliza-se a fórmula completa de Colebrook e White.
� escoamento de parede rugosa ou francamente turbulento: nesta região f depende de
Dε
e independe de Re. Assim, pode-se desprezar da equação de Colebrook e White, o
segundo termo entre parênteses:
14,1)De
(log2f
1 +=
Para simplificar a solução das equações anteriores, Moody elaborou um
diagrama que recebeu o seu nome (Diagrama de Moddy), conforme apresentado na
Figura 75.
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Figura 75 - Diagrama de Stanton, segundo Moody, para determinação de valores do
coeficiente f, em função do número de Reynolds e da rugosidade relativa.
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d) Análise complementar
Em todas as equações apresentadas, a perda de carga é unitária, ou seja, é a
perda de carga que ocorre em um metro de canalização retilínea. A perda de carga ao
longo de toda a extensão da canalização é dada por:
L.Jh f =
em que L – comprimento total da canalização retilínea, m.
Todas as equações têm muito em comum, principalmente se forem tomadas
aquelas que são apresentadas com o parâmetro vazão. Para simplificar vamos
generalizá-las por:
m
n
D
Q.J β=
em que:
87,4m
85,1nC
641,1085,1
==
=β
Para equação de Hazen-Williams;
75,4m
75,1n
000824,0
===β
Para a equação de Flamant, para condutos de plástico; e
5m
2n
g.
f.82
==
π=β
Para a equação de Darcy-Weisbach.
Exercícios:
- Com base no esquema abaixo, determine a perda de carga na tubulação de
ferro fundido novo, com 500 m de comprimento, diâmetro de 150 mm e que transporta
uma vazão de 25,0 L s-1 (resolver pelas três equações).
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Resposta: a) H-W ���� hf = 7,19 m; b) Flamant ���� hf = 7,30 m; c) D-W ���� hf = 8,5 m
(considerando e = 0,3 mm)
- Em um tubo de diâmetro constante igual a 100 mm, por onde escoa água, há
dois medidores de pressão instalados, distanciados entre si de 125,0 m. Em um
determinado instante, as leituras dos mesmos são iguais a 20 psi (esquerda) e 230 kPa
(direita). Sabendo que o tubo é de ferro fundido (C = 130), determine a vazão que
escoa nesta tubulação, considerando o esquema abaixo:
Resposta: Q = 0,0199 m 3 s-1.
6.3 Cálculos de condutos forçados: perda localizada de carga
A perda localizada de carga é aquela causada por acidentes colocados ou
existentes ao longo da canalização, tais como as peças especiais. Em tubulações com
longo comprimento e poucas peças a turbulência causada por essas passa a ser
desprezível. Porém em condutos com muitas peças e menor comprimento, este tipo de
perda tem uma importância muito grande, como no caso de instalações prediais. Pode-
se desconsiderar as perdas localizadas quando a velocidade da água é pequena, V < 1
m/s, quando o comprimento é maior que 4.000 vezes o diâmetro, e quando existem
poucas peças no conduto.
3,0 m 5,0 m
∆H = 30,0 m
Fonte d´água
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No projeto, as perdas localizadas devem ser somadas à contínua. Considerar
ou não as perdas localizadas é uma atitude que o projetista irá tomar, em face das
condições locais e da experiência do mesmo.
a) Expressão de Borda-Belanger
A expressão que calcula as perdas partiu do teorema de Borda-Berlanger.
g2V
Kha2
=
em que :
ha - perda de carga causada por uma peça especial, m;
K - coeficiente que depende de cada peça e diâmetro, (Tabela 3).
Tabela 3 - Valor do coeficiente K, para cálculos das perdas de carga localizadas, em função do tipo de peça, segundo J. M. Azevedo Neto.
Tipo da peça K Ampliação gradual 0, 30 Bocais 2,75 Crivo 0,75 Curva de 90° 0,40 Curva de 45° 0,20 Entrada normal de canalização 0,50 Junção 0,04 Medidor Venturi 2,50 Redução gradual 0,15 Registro de ângulo, aberto 5,00 Registro de gaveta, aberto 0,20 Registro de globo, aberto 10,00 Saída de canalização 1,00 Tê, passagem direita 0,60 Tê, saída de lado 1,30 Tê, saída bilateral 1,80 Válvula de pé 1,75
Válvula de retenção 2,50 O valor de K depende do regime de escoamento. Para escoamento plenamente
turbulento, eR > 50.000, o valor de K para as peças especiais é praticamente
constante, dependente apenas do tipo de peça.
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b) Método dos comprimentos virtuais
Ao se comparar a perda de carga que ocorre em uma peça especial, pode-se
imaginar que esta perda também seria oriunda de um atrito ao longo de uma
canalização retilínea. Pergunta-se: que comprimento de uma canalização provocaria a
mesma perda? Para saber, basta igualar a equação de perda localizada de carga, com
a perda contínua de carga. Portanto:
Perda contínua: Lg2.D
V.fh
2
f =
Perda localizada: g2
VKh
2=∆
Como um se iguala ao outro, temos:
g2V
KLg2.D
V.fhh
22f =→∆=
Simplificando: DfK
L =
A Tabela 4 contém os valores do comprimento retilíneo, equivalentes a cada
peça especial.
Este método, portanto, consiste em adicionar ao trecho retilíneo real da
canalização, um trecho retilíneo fictício (Lf), gerando um comprimento virtual maior que
o real. Este comprimento virtual (Lv) é o que deve ser usado na fórmula de perda
contínua de carga total.
LLfLv +=
O valor de carga por este procedimento já inclui as perdas localizadas.
c) Método dos diâmetros equivalentes
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Este método é uma particularidade do método anterior. Observando-se o
anterior, nota-se que o comprimento vai depender do diâmetro e de uma relação K/f.
Esta razão depende do número de Reynolds, tal como K e f. Porém, em regimes
plenamente turbulentos, K e f passam a ficar constantes com o número de Reynolds.
Tabela 4 - Comprimento fictício em metros das principais peças especiais, para os diâmetros comerciais mais usados.
Tipo de Peça
Diâmetros comerciais (mm) 50 63 75 100 125 150 200 250 300 350
Curva 90 0,6 0,8 1,0 1,3 1,6 1,9 2,4 3,0 3,6 4,4 Curva 45 0,4 0,5 0,6 0,7 0,9 1,1 1,5 1,8 2,2 2,5
Entr.normal 0,7 0,9 1,1 1,6 2,0 2,5 3,5 4,5 5,5 6,2 Entr. borda 1,5 1,9 2,2 3,2 4,0 5,0 6,0 7,5 9,0 11,0
Reg. gav. ab. 0,4 0,4 0,5 0,7 0,9 1,1 1,4 1,7 2,1 2,4 Reg. gl. ab. 17,0 21,0 26,0 34,0 43,0 51,0 67,0 85,0 102 120
Tê pass. direta 1,1 1,3 1,6 2,1 2,7 3,4 4,3 5,5 6,1 7,3 Tê saída de lado 3,5 4,3 5,2 6,7 8,4 10,0 13,0 16,0 19,0 22,0 Tê saída bilater. 3,5 4,3 5,2 6,7 8,4 10,0 13,0 16,0 19,0 22,0
Válv. pé/cr. 14,0 17,0 20,0 23,0 30,0 39,0 52,0 65,0 78,0 90,0 Saída de canal. 1,5 1,9 2,2 3,2 4,0 5,0 6,0 7,5 9,0 11,0 Válvula retenção 4,2 5,2 6,3 8,4 10,0 13,0 16,0 20,0 24,0 28,0
Portanto a relação K/f fica dependente apenas da rugosidade de cada material.
Em termos práticos e como as perdas localizadas são pequenas em relação às
contínuas, pode-se considerar que K e f constantes. Por conseguinte, o comprimento
fictício a ser adicionado ao comprimento real poderá ser expresso em um número de
diâmetro: nfK = (constante), ou seja, L = n.D, em que n expressa o comprimento
fictício de cada peça em números de diâmetros (Tabela 5).
Nos problemas de condutos forçados, são quatro os elementos hidráulicos:
Q – vazão
V – velocidade de escoamento
J – perda de carga unitária
D – diâmetro da canalização
Na solução dos problemas, têm-se disponível duas equações :
Equação da continuidade:
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V.AQ =
Equação genérica de perda de carga:
m
n
D
QJ β=
Tabela 5 - Diâmetros equivalentes das principais peças especiais
Tipo da peça n° de diâmetros
Ampliação gradual 12 Curva de 90° 30 Curva de 45° 15
Entrada normal 17 Entrada de Borda 35
Junção 30 Redução gradual 6
Registro de gaveta, aberto 8 Registro de globo, aberto 350
Saída de canalização 35 Tê, passagem direta 20
Tê, saída bilateral 65 Válvula de pé com crivo 250
Válvula de retenção 100
A existência de peças especiais, bem como o seu número, além do material
constituinte da tubulação deverá ser de conhecimento prévio do projetista. Nos
problemas práticos, a vazão Q é quase sempre um elemento conhecido. Se for água
que vai ser conduzida, deve-se saber, a priori, a sua utilidade e seu valor. Normalmente
o diâmetro é a variável desconhecida e seu valor deve ser minimizado, pois reflete
diretamente nos custos da canalização. Por outro lado, se o escoamento não é por
gravidade, um menor diâmetro provocará uma maior perda de carga que implicará em
um maior consumo de energia. Valores práticos de velocidade existem e podem
orientar o projetista na definição do melhor diâmetro.
A literatura cita limites e valores de velocidade média recomendados para as
mais diferentes situações:
• água com material em suspensão..........................................V > 0,60 m/s
• para instalações de recalque.......................................0,55 < V < 2,50 m/s
mais usual.......................................1,00 < V < 2,00 m/s
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Exercícios :
- Calcular a perda de carga total (continua + localizada) em um trecho de uma
canalização de alumínio, que conduz 20,0 L s-1 numa extensão de 800 m. O diâmetro
da canalização é de 150 mm e ao longo do trecho tem-se as seguintes peças
especiais, com suas respectivas quantidades:
Curva de 90o 4 Curva de 45o 3
Válvula de retenção 2 Registro de gaveta 2
Resposta: Perda contínua adotando H-W ���� hf = 6,63 m;
Perda localizada ���� a) Borda-Belanger: ∆h = 0,496 m;
b) Comprimentos virtuais: ∆h = 0,314 m;
c) Diametros equivalentes: ∆h = 0,474 m
- Calcule a perda localizada de carga provocada pelo registro parcialmente
fechado, no esquema a seguir (h1 = 1,20 m; h2 = 1,05 m; h3 = 0,35 m; L1 = 1,0 m; L2 =
1,9 m; L3 = 1,3 m).
Resposta: ∆h = 0,22 m
6.4 Condutos Equivalentes
Conceito: Um conduto é equivalente a outro ou a outros quando escoa a mesma
vazão sob a mesma perda de carga total.
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Pode-se ter uma gama de condutos equivalentes, porém se apresentará os
condutos equivalentes em série e em paralelo.
6.4.1. Condutos em série ou misto
São os condutos constituídos por trechos de tubulação, com mais de um
diâmetro diferente, conforme ilustra a Figura 76.
Desconsiderando as perdas localizadas:
3f2f1ff hhhh ++= ...
em que:
fh = a perda de carga total no conduto
1fh = a perda contínua de carga no trecho de diâmetro 1D e comprimento L1 ;
2fh = idem para diâmetro D2 e comprimento L2
3fh = idem para diâmetro 3D e comprimento 3L
Figura 76 - Conduto misto com 2 diâmetros.
Usando a fórmula genérica de perda de carga tem-se:
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3m3
n
32m2
n
21m1
n
1eme
n
e
eme
n
efe3m3
n
3f2m2
n
2f1m1
n
1f
LD
QL
D
QL
D
QL
D
Q
LD
Qh;L
D
Qh;L
D
Qh;L
D
Qh
321
β+β+β=β
β=β=β=β=
Para uma condição de mesma rugosidade,
321e β=β=β=β
E como a vazão deve ser a mesma, condição de ser equivalente, a equação
simplifica-se:
m3
3m
2
2m
1
1m
e
e
D
L
D
L
D
L
D
L++=
que é a expressão que traduz a regra de Dupuit.
A aplicação prática desta regra se faz presente no dimensionamento dos
condutos, e normalmente são encontrados diâmetros não comerciais. Como, por
exemplo, cita-se um caso: D = 133 mm. Se for escolhido o diâmetro comercial 125 mm,
este não irá fornecer a vazão desejada ou a perda ultrapassará o limite de projeto. Se
for escolhido 150 mm, que é o imediatamente superior, a vazão será maior que a de
projeto ou a perda de carga será menor que a projetada. Nesse caso, o problema pode
ser resolvido com a colocação de um registro para aumentar a perda de carga total e
consequentemente reduzir a vazão até o projetado. Porém, esta saída não é a mais
econômica, pois o custo das tubulações cresce exponencialmente com o diâmetro.
Então, a melhor solução técnica e econômica é fazer uma associação em série, ou
seja, colocar um trecho do conduto com o diâmetro comercial imediatamente superior,
e um trecho com o diâmetro comercial imediatamente inferior, de tal forma que este
conduto misto seja equivalente ao projetado. Porém, quais os comprimentos de cada
diâmetro? Suponha que o comprimento total seja L e os comprimentos de cada trecho
sejam 1L e 2L , de tal forma que:
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21 LLL += ;
e que
2f1ff hhh +=
Como genericamente
L.Jh f =
Tem-se
2211 L.JL.JL.J +=
Fazendo
22211
2221
21
L.JL.JL.JL.J
L.J)LL(JL.J
LLL
+−=+−=
−=
Rearranjando
L)JJ(
)JJ(L)JJ(L)JJ(L
12
121122 −
−=→−=−
em que
L2 = comprimento do trecho de diâmetro D2;
J = perda de carga unitária no conduto de diâmetro não comercial;
J1 = perda de carga unitária no conduto de diâmetro comercial D1;
J2 = perda de cara unitária no conduto de diâmetro comercial D2; e
L = o comprimento total da canalização.
Exercícios:
- Com base no esquema da Figura abaixo, considere todos os trechos da
tubulação de mesmo material. Desprezando as perdas localizadas nas mudanças de
diâmetro, pede-se:
a) comprimento equivalente de uma rede de diâmetro único de 40 cm;
b) o diâmetro equivalente para uma canalização de 3600 m de comprimento.
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Respostas: a) L = 4.242,77 m; b) D = 0,3867 m
- Calcule a diferença de nível H, sabendo que a vazão escoada é de 5,0 L s-1, a
tubulação é de ferro fundido (C = 130), os diâmetros D1 e D2 são, respectivamente, 75
e 50 mm, e os comprimentos L1 e L2 são, respectivamente, 30 m e 40 m. Considere
comprimentos fictícios de 1,1 m (entrada de canalização); 0,4 m (redução) e 1,5 m
(saída de canalização);
Resposta: H = 7,05 m.
6.4.2. Condutos em paralelos ou múltiplos
São os condutos que têm as extremidades comuns, ou seja, a pressão no
início de todos é a mesma. Também a pressão no final é comum a todos os condutos.
Observa-se pela Figura 77 que no ponto A, a vazão total Q se divide nas
vazões .QeQ,Q 321 Na extremidade final, ponto B, estas vazões voltam a se somar,
voltando-se novamente à vazão Q, portanto:
321 QQQQ ++=
Pela equação genérica de perda de carga tem-se que:
R1
R2
H
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n1
mf
L.
D.hQ
β=
Figura 77 - Esquema de três condutos em paralelo.
Partindo-se desta equação:
n1
33
m3f
n1
22
m2f
n1
11
m1f
n1
ee
mef
L.
D.h
L.
D.h
L.
D.h
L.
D.h
β+
β+
β=
β
Considerando a mesma rugosidade para todos os condutos e como fh deve
ser igual em todos, condição de ser equivalente, tem-se:
n1
3
nm
3
n1
2
nm
2
n1
1
nm
1
n1
e
nm
e
L
D
L
D
L
D
L
D++=
Se todos os comprimentos forem iguais, a equação acima torna-se:
nm
3nm
2nm
1nm
e DDDD ++=
Generalizando:
.DDk
1in
min
me ∑
==
Sendo K o número de condutos em paralelo. Se também os diâmetros forem iguais a
D:
D.KD
D.KD
mn
e
nm
nm
e
=
=
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A aplicação prática deste tipo de conduto está na expansão de uma área ou de
um projeto hidráulico. Se vai haver expansão, basta projetar o conduto para atender ao
projeto global que deverá ficar em paralelo.
Exercício: A perda de carga entre os pontos A e D no sistema da figura abaixo é de
50,0 m. Sabendo que a vazão no trecho AB é de 25,0 L s-1, e adotando-se a fórmula de
Hazen-Williams, com C = 120 para todos os trechos, calcular: a) as vazões nos trechos
2 e 3; b) o(s) diâmetro(s) comercial(is) e o(s) comprimento(s) correspondente(s) da
tubulação 3, sabendo que os diâmetros disponíveis no mercado são 75, 100, 150, 200
mm. (desprezar as perdas localizadas).
Respostas:
a) Q2 = 0,020 m3 s-1 e Q3 = 0,005 m3 s-1
b) D3 = 0,110 m (não comercial) ���� L1 = 1.011 m (150 mm) e
L2 = 1.369 m (100 mm)
6.5 Sifão
É um conduto fechado que levanta o líquido a uma cota mais alta que aquela da
superfície livre e o descarrega numa cota mais baixa. Para que o sifão funcione é
necessário que se proceda a escorva do mesmo, ou seja, que o ar de seu interior seja
substituído pelo fluido.
Uma vez que no ponto ”b” (Figura 78) ocorre pressão absoluta inferior à
atmosférica, percebe-se que o sifão tem seu funcionamento limitado. Com a diminuição
da pressão em ”b” (maior altura do ponto “b” em relação ao ponto “a”) o fluxo tende a
diminuir.
L1 = 4050 m
D1 = 200 mm
L2 = 3395 m
D2 = 200 mm
L3 = 2380 m
D3 = ?
L4 = 1450 m
D4 = 150 mm A D B C
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A
B
Figura 78 – Sifão trabalhando livre (A) e afogado (B).
Teoricamente, a diferença de nível entre “a” e “b” poderia corresponder ao
valor local da pressão atmosférica; todavia, a pressão de vaporização e as perdas de
energia fazem com que esta altura, na prática, seja inferior à pressão barométrica.
Admitindo-se o caso normal de funcionamento do sifão, em que o tubo esteja
completamente cheio de líquido, formando uma coluna contínua, a aplicação da
equação da energia entre o nível d´água no canal (a) e a saída da tubulação fornece:
g2V
DL
fg2
VK
g2V
h222
++= ou )DL
fK1(g2
Vh
2
++=
Resolvida a equação anterior, pode-se calcular o valor da pressão em b pela
aplicação da equação da energia entre os pontos a e b:
g2
VD´L
fg2
V´Kh
Pg2
V0
22
bb
2
+++γ
+= ou
)D´L
f´K1(g2
Vh
P 2
bb ++−−=γ
onde L´ é a extensão da tubulação até b.
hb
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Observa-se que a pressão efetiva é negativa e diminui com o aumento da altura
hb e da velocidade do escoamento. Se a equação anterior fornecer uma pressão
inferior à pressão de vapor do líquido, evidencia-se a vaporização do mesmo e a vazão
obtida pela equação não corresponde à realidade.
Os tubos utilizados como sifões são geralmente de alumínio, ferro ou plástico,
com diâmetros que variam de ½ a 12 polegadas.
A vazão no sifão depende do diâmetro, do comprimento, do material que
constitui o tubo e da carga sob a qual o sifão está trabalhando. Uma vez escolhido o
tipo de sifão, a vazão dependerá exclusivamente da carga hidraúlica, que deve ser
considerada na condição de descarga livre ou afogada (“h” da Figura 78). A escolha do
diâmetro vai depender da vazão que se deseja medir. A Tabela 6 apresenta a vazão
média de sifões com ¾, 1, 1 ½ , 1 ¾ e 2 polegadas de diâmetro operando sob cargas
que variam de 5 a 50 cm, para sifões de plástico com 1,5 m de comprimento.
A Figura 79 ilustra uma aplicação do sifão no fornecimento de água para os
sulcos de irrigação.
Figura 79 – Aplicação de sifão na irrigação por sulcos.
Exercício: A Figura seguinte representa um sifão que conduz água do reservatório R1
até o ponto B, onde atua a pressão atmosférica. Determinar a vazão escoada e a
pressão no seu ponto mais alto sabendo que a tubulação é de PVC (f = 0,032) e tem
diâmetro de 150 mm. Considere que a ponta da tubulação esteja 0,5 m dentro do
reservatório R1.
Respostas: a) Q = 0,065 m 3.s-1; b) P = - 6,92 mca
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Tabela 6 - Vazão (L s-1) e altura de carga (cm) para diferentes diâmetros de sifão
Carga h (cm)
Vazão (L/s) de sifão com diâmetro de 2” 1 ¾ ” 1 ½ ” 1 ” ¾ ”
4 1,12 0,62 0,48 0,24 0,10 6 1,38 0,77 0,60 0,29 0,13 8 1,59 0,89 0,69 0,34 0,15 10 1,78 1,00 0,78 0,38 0,18 12 1,95 1,10 0,85 0,42 0,20 14 2,11 1,19 0,93 0,45 0,22 16 2,26 1,28 0,99 0,48 0,23 18 2,40 1,36 1,05 0,51 0,25 20 2,53 1,44 1,11 0,54 0,27 22 2,65 1,51 1,17 0,57 0,28 26 2,89 1,65 1,27 0,62 0,31 28 3,00 1,71 1,32 0,64 0,33 30 3,10 1,78 1,37 0,66 0,34 32 3,21 1,84 1,42 0,68 0,35 34 3,31 1,90 1,46 0,71 0,36 36 3,40 1,95 1,51 0,72 0,38 40 3,59 2,06 1,59 0,77 0,40 42 3,68 2,12 1,63 0,78 0,41 44 3,77 2,17 1,67 0,80 0,43 46 3,85 2,22 1,71 0,82 0,44 48 3,93 2,27 1,75 0,84 0,45 50 4,02 2,32 1,79 0,86 0,46
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102
6.6 Perfis de encanamentos
A posição do encanamento em relação à linha de carga tem influência decisiva
no seu funcionamento. No caso geral de escoamento de líquidos, são considerados
dois planos de carga estático: (PCE), referente ao nível de montante e que na Figura
80 coincide com o nível de água do reservatório R1, e o da carga absoluta (PCA)
situado acima do anterior, da altura representativa da pressão atmosférica.
Tendo em vista a posição relativa enunciada, podem ocorrer os casos
apresentados a seguir:
1o Caso - A tubulação AB está inteiramente abaixo da linha de carga efetiva:
Figura 80 – Linhas e planos de carga em uma tubulação.
Na Figura anterior:
LCA = linha de carga absoluta;
LCE = linha de carga efetiva;
Para um ponto E, qualquer ao longo do eixo do conduto, definem-se:
EE4 = carga estática absoluta;
EE3 = carga dinâmica absoluta;
EE2 = carga estática efetiva;
EE1 = carga dinâmica efetiva;
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Tomando como origem das medidas de pressões atmosféricas, vemos que, em
todos os pontos do conduto, tal como E, pE /γ > 0, ou seja, em um piezômetro instalado
neste ponto, a água subiria à altura EE1. Em condutos como este, o escoamento será
normal e podemos ter garantia de vazão para a qual foi calculado. Esta é a situação
que o engenheiro deve preferir, conduzindo seus projetos, sempre que possível, para
situações semelhantes.
2o Caso - A tubulação AB tem seu desenvolvimento segundo a linha de carga MN, isto
é, acompanha a linha de carga efetiva.
Em qualquer ponto, p0 /γ = 0. A água não subirá em piezômetro instalado em
qualquer ponto da tubulação. Mesmo tendo o contorno fechado, o funcionamento é de
conduto livre (Figura 81).
Figura 81 – Tubulação conforme segundo caso.
3o Caso - É mostrado na Figura 82, onde vemos a tubulação AB com trecho EFG
situado acima da linha de carga efetiva, porém abaixo da linha de carga absoluta.
Nesta parte da tubulação, p /γ < 0, ou seja, a pressão é inferior à atmosférica. A
depressão reinante neste trecho torna o ambiente favorável ao desprendimento do ar
em dissolução no fluido circulante e à formação de vapor.
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104
Figura 82 – Tubulação conforme terceiro caso.
A mistura do vapor com o ar tende a acumular-se em F, formando uma bolsa como a
indicada na Figura 83.
Figura 83 – Aparecimento da bolsa de ar na tubulação.
Se esta bolsa gasosa não for removida, poderá crescer até que a pressão no
interior do tubo se iguale à atmosférica. À medida que a bolha cresce, a vazão vai
diminuindo até assumir o valor compatível com a situação criada. A partir deste
momento, o trecho AEF, de comprimento L1, trabalhará cheio, transportando a vazão
Q1 com perda de carga h1=J1L1, sendo MF a linha de carga correspondente (Figura 84).
A partir de F, o fluido circulará à pressão atmosférica, no trecho de comprimento
L2, sem encher o conduto, até o ponto G' , que obtemos traçando G'N paralelo a MF.
Isto significa que, no trecho G', de comprimento L3, o conduto funcionará
completamente cheio, transportando a mesma vazão Q1 com a perda total h3= J1L3.
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105
Figura 84 – Mudança de comportamento da linha de carga.
Em caso de adutoras enterradas, quando, no trecho EFG, a pressão for inferior à
atmosférica, pode ocorrer contaminação da água que circula no interior do conduto, se
houver defeitos nas juntas dos tubos. É um acidente possível nas redes de distribuição
com funcionamento intermitente.
Para contornar os inconvenientes causados por essa situação, podemos dividir o
encanamento em dois trechos. O primeiro, AEF, de comprimento L1 e perda de carga
total h1. O outro, FGB, de comprimento L - L1 e perda de carga total hf - h1. A linha de
carga do primeiro trecho será MF e a do segundo, FN. Como as perdas totais em cada
trecho são diferentes, os diâmetros serão também diferentes, podendo ser interligados
por peça de redução. Em F, será adaptada uma ventosa para permitir a saída dos
gases.
4o Caso - A tubulação corta a linha de carga absoluta, mas fica abaixo do plano de
carga efetivo.
Esta situação é a anterior, em condições piores. A vazão, além de reduzida, é
imprevisível. Os dois trechos, AEF e FGB, podem ser interligados por uma caixa de
passagem localizada em F, com o objetivo de minimizar os inconvenientes decorrentes
da situação.
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Figura 85 – Tubulação conforme quarto caso.
5o Caso - A tubulação tem o trecho EFG acima da linha de carga e do plano de cargas
efetivas, mas abaixo da linha de carga absoluta (Figura 86). Nesta situação o
escoamento só será possível se a tubulação for previamente escorvada e funcionará
como sifão. No trecho EFG, a pressão efetiva é negativa e as condições de
funcionamento são piores do que no caso anterior.
Figura 86 – Tubulação conforme quinto caso.
6o Caso - O trecho EFG do conduto está acima da linha de carga absoluta, mais
abaixo do plano de carga absoluta.
Trata-se de um sifão funcionando nas piores condições possíveis.
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Figura 87 – Tubulação conforme sexto caso.
7o Caso - Temos o trecho EFG acima do plano de carga absoluta.
O escoamento pela ação da gravidade é impossível. A água somente circulará
(Figura 88) se for instalada uma bomba capaz de impulsioná-la acima do ponto em que
o conduto corta o plano de carga efetiva. No próximo capitulo será estudado o
bombeamento ou recalque da água.
Figura 88 – Tubulação conforme sétimo caso.