CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 19 de julho de 2013.

CAPÍTULO 5CAPÍTULO 5

OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICAOTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

19 de julho de 2013

REVISÃO DE CAPÍTULOS ANTERIORES

ENGENHARIA DE PROCESSOS

Seqüência de etapas responsáveis pela transformação de uma matéria prima num produto de interesse industrial.

Conceito abrangente: inclui todas as transformações químicas espontâneas, por ação de catalisadores ou de microrganismos.

PROCESSO ???

Aplicável aos 4 Cursos da Escola de Química

Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos

ENGENHARIA DE PROCESSOS

O conjunto de ações desenvolvidas

DesdeA decisão de se produzir um determinado produto químico

AtéUm plano bem definido para a construção e a operação da instalação industrial.

É um conjunto numeroso e diversificado de ações !!!

1.1 PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS

ANÁLISE SÍNTESE

SELEÇÃO DA ROTA QUÍMICA

PROJETO

(a) escolha de um equipamento para cada tarefa.(b) definição da fluxograma do processo.

(a) previsão do desempenho do processo.(b) avaliação do desempenho do processo.

Esse conjunto compreende três sub-conjuntos que interagem:

SELEÇÃO DAROTA QUÍMICA

Investigar mercado para o produto

Investigar reagentesplausíveis

Investigar a disponibilidade

das matérias primas

Definir as condições das reações e

identificar os sub-produtos gerados

SÍNTESE

Estabelecer o número e o tipo

dos reatores

Definir o número e o tipo dos

separadores

Definir o número e o tipo de

trocadores de calor

Estabelecer malhas de controle

Definir o fluxograma do

processo

ANÁLISE

Calcular o consumo de utilidades

Calcular a vazão das correntes

intermediárias

Calcular as dimensões dos equipamentos

Calcular o consumo dos insumos

Calcular o consumo de matéria prima

Avaliar a lucratividadedo processo

O PROJETO DE PROCESSOS É CARACTERIZADO PELA

MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES

Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma de um processo

Reator demistura

Reator tubular

Coluna de destilaçãosimples

Coluna de destilaçãoextrativa

Aquecedor

Resfriador

Trocador deIntegração

A Síntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausíveis em busca do melhor.

Um problema com multiplicidade de soluções

MULTIPLICIDADE NA SÍNTESE

DSRT RAA,B A,P

DSRT A,P

RT RAA,B A,P

RT A,P

Aqui, na Síntese, as soluções são fluxogramas

EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!!

Modelo1. Q* (xo

* - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q* (x1 - x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0

Balanço de Informação: V = 8, N = 4, C = 2, M = 0 G = 2 (otimização)Variáveis de Projeto: x1, x2

MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE

rafinado

x1 kgAB/kg A ?

W1 kg B/h ?

y1 kg AB/kg B ?extrato

W1 kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/h

W2 kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/hx2 kgAB/kgA ?

W2 kg B/h ?

rafinado

Q* = 10.000 kgA/hxo

*= 0,02 kg AB/kg A1 2

alimentação

Cada par (x1,x2) é uma solução fisicamente viável

101214161820

MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE

infinidade de soluções viáveis

Aqui, na Análise, as soluções são pares de valores x1,x2

A multiplicidade de soluções de um problema conduz ao conceito de

Otimização.

Multiplicidade de Soluções

Exige a busca da Otimização

Solução Ótima

através de

Fonte da complexidademultiplicidade de soluções nos três níveis

Nível Tecnológico: determinação da melhor rota química.

Nível Paramétrico (Análise): determinação das dimensões ótimas de equipamentos e correntes.

Nível Estrutural (Síntese): determinação do fluxograma ótimo.

ESTE CAPÍTULO !!!

Otimização Tecnológica

Otimização Estrutural

Otimização Paramétrica

O Projeto de Processos pode ser identificado como um problema complexo de otimização

COMO RESOLVER?

INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL

ÁRVORE DE ESTADOS

Nível TecnológicoSeleção de uma Rota

Fluxograma ?Dimensões ?

Nível EstruturalSíntese de um

FluxogramaDimensões ? Lucro?

Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma

Dimensionamentodos Equipamentos

e das Correntes. Lucro.

RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?

Busca Orientada por Árvore de Estados

D+E P+FD,E P,F

A+B P+CA,B P,C

1 PAB Cx

P3DE Fx

x o = 3x*

xx o = 4x*

xx o = 6x*

x o = 5x*

D+E P+FD,E P,F

P3DE Fx

Nível TecnológicoSeleção de uma Rota

Fluxograma ?Dimensões ?

Nível EstruturalSíntese de um

FluxogramaDimensões ? Lucro?

Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma

Dimensionamentodos Equipamentos

e das Correntes. Lucro.

Reagentes: D,E. Fluxograma: 3. Valor de x: 4 demais dimensões.

RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?

Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada

Vantagem

Varre todas as soluções sem repetições

sem omitir a ótima

Desvantagem

Explosão Combinatória(outros métodos)

Solução Ótima:

INÍCIO DO CAPÍTULO 5

ORGANIZAÇÃO DA DISCIPLINA

OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

INTRODUÇÃO GERAL

INTRODUÇÃO À

SÍNTESE DE PROCESSOS

SÍNTESE DE

SISTEMAS DE SEPARAÇÃO

SÍNTESE

SÍNTESE DE

SISTEMAS DE

INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA

AVALIAÇÃOECONÔMICAPRELIMINAR

INTRODUÇÃO À

ANÁLISE DE PROCESSOS

ESTRATÉGIAS

DE CÁLCULO

ANÁLISE

FINALIDADE DO CAPÍTULO

Apresentar (a) conceitos básicos de Otimização, (b) o método analítico (c) dois métodos numéricos simples (d) aplicações em processos químicos.

Estudo mais completo de Otimização

EQE 002 OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA

Relembrando o Processo Ilustrativo

Fluxograma do ProcessoDimensionamento: condições conhecidas + metas de projeto

W10 T*

W13 T13 W11

W3 x13

T3 f13 f23

T4 f14 f24

W12 T*

W14 T*

f12 f32

EXTRATOR

Extrato

Rafinado

EVAPORADOR

CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR

Alimentação Produto

Benzeno

Água Água

W15 T15

Dimensionamento

INCÓGNITAS PARÂMETROS

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

Vd,Ae,Ac,Ar

W4,W6,W8,W11,W14

MODELOFÍSICO

VARIÁVEIS ESPECIFICADAS

W1x11,x14

T1,T2,T5,T6,T7,T8,T9,T10,T11,T12,T14, r,

G = 0(solução única)

Resultado do Dimensionamento

W6 =8.615 kg/hT*

6 = 150 oC

W10 =36.345 kg/hT*

10 = 80 oC

W13 = 36.345 kg/hT13 = 25 oC

W11 = 59.969 kg/hT*

11 = 15 oCW8 = 228.101 kg/hT*

8 = 15 oC

W*1 = 100.000 kg/h

x*11 = 0,002

T*1 = 25 oC

f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h

W7 = 8.615 kg/hT*

7 = 150 oC

W5 = 36.345 kg/hT*

5 = 80 oC

W3 = 37.544 kg/hx13 = 0,002

T3 = 25 oCf13 = 120 kg/hf23 = 37.424 kg/h

W4 = 1.200 kg/hx*

14 = 0,1

T4 = 80 oCf14 = 120 kg/hf24 = 1.080 kg/h

W12 = 59.969 kg/hT*

12 = 30 oCW12 = 228.101 kg/hT*

12 = 30 oC

W14 = 1.080 kg/hT*

14 = 25 oC

W2 = 99.880 kg/hx12 = 0,0008

T2 = 25 oCf12 = 80 kg/hf32 = 99.800 kg/h

EXTRATOR

Extrato

Rafinado

EVAPORADOR

Vd = 11.859 l

*= 0,0833 h

r* = 0,60

Ae = 124 m2

Ac = 119 m2

Ar = 361 m2

W15 = 37.425 kg/hT13 = 25 oC

Dimensionamento

incógnitas

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

Vd,Ae,Ac,Ar

variáveis de projeto

r,T9,T12OTIMIZAÇÃO

W4,W6,W8,W11,W14

MODELOFÍSICO

variáveis especificadas

W1x11,x14

T1,T2,T5,T6,T7,T8,T10,T11,T14,

r, T9, T12

Omitindo r, T9 e T12 na lista deMetas de Projeto

PARÂMETROS

G > 0Otimização

Resultado da Otimização(r, T9, T12)

W6 =5.857 kg/hT*

6 = 150 oC

W10 =24.670 kg/hT*

10 = 80 oCW13 = 24.670 kg/hT13 = 25 oC

W11 = 48.604 kg/hT*

11 = 15 oCW8 = 78.395 kg/hT*

8 = 15 oC

W*1 = 100.000 kg/h

x*11 = 0,002

T*1 = 25 oC

f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h

W7 = 5.857 kg/hT*

7 = 150 oC

W5 = 24.670 kg/hT*

5 = 80 oC

W3 = 25.682 kg/hx13 = 0,004

T3 = 25 oCf13 = 101 kg/hf23 = 25.581 kg/h

W4 = 1.012 kg/hx*

14 = 0,1

T4 = 80 oCf14 = 101 kg/hf24 = 911 kg/h

W12 = 48.604 kg/hT*

12 = 27 oCW9 = 78.395 kg/hT*

9 = 44 oC

W14 = 911 kg/hT*

14 = 25 oC

W2 = 99.898 kg/hx12 = 0,001

T2 = 25 oCf12 = 98 kg/hf32 = 99.800 kg/h

EXTRATOR

Extrato

Rafinado

EVAPORADOR

Vd = 10.742 l

*= 0,0833 h

r = 0,506

Ae = 84 m2

Ac = 95 m2Ar = 238 m2

W15 = 25.581 kg/hT13 = 25 oC

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

ESTRATÉGIAS

DE CÁLCULO

INTRODUÇÃO À

ANÁLISE DE PROCESSOS

OTIMIZAÇÃO

Resumo da Análise de ProcessosCorrespondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais

OTIMIZAÇÃOMODELO

ECONÔMICO

Variáveis Especificadas

Variáveis de Projeto

Parâmetros Econômicos

ParâmetrosFísicos MODELO

FÍSICODimensões Calculadas Lucro

Resolver Problema

Otimizar Processo

Calcular Lucro

DimensionarExtrator

DimensionarEvaporador

DimensionarCondensador

DimensionarResfriador

DimensionarMisturador

SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

FIM DA REVISÃO

5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.1 Conceito de Otimização

Campo da Matemática dedicado ao desenvolvimento de

métodos de busca da solução ótima de um problema

OTIMIZAÇÃO

Ação de buscar a solução ótima de um problema

Palavra com dois significados:

Todo problema de Otimização encerra um conflito.

Comentário

A solução ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes

A vazão ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes

L,R,C$/a

Lo=15,6

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

W kg/hWo = 1.973,6

L = R - C

Exemplo

No extrator, a vazão de solvente afeta o Lucro de forma conflitante.

- aumenta o consumo de solvente. Logo, aumenta o Custo operacional.

- aumenta a recuperação de soluto. Logo, aumenta a Receita.

Com o aumento da vazão:

Até à vazão ótima, a Receita cresce mais rapidamente e o Lucro aumenta. Após a vazão ótima, o Custo cresce mais rapidamente e o Lucro diminui.

W kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

(extrato)

x kgB/kgA

EXTRATOR

B: benzeno (solvente)

A : água

AB: ácido benzóico (soluto)

Vazão ótima Lucro máximo

ORIGEM DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO

Do Capítulo 2: na resolução de qualquer problema:

Graus de Liberdade G = V - N - EV : número de variáveisN : número de equaçõesE: número de variáveis especificadas (E = C + M)

C = condições conhecidas M = metas de projeto

Em problemas de dimensionamento, ocorre uma das três situações:

- metas inconsistentes ou em excesso G 0 solução impossível

paralelas

- metas estritamente suficientes G = 0 solução única

- metas insuficientes G > 0infinidade de soluções viáveis

coincidentes

Solução ótima?

Exemplo simples: dimensionamento de um extrator

W kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x = 0,01 kgAB/kgAEXTRATOR

A : água

Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 1

G = 0 (solução única)

y = 0,04; W = 2.500 kg/h

(a) Dimensionamento com x = 0,01 kgAB/kgA como meta

Metas incompatíveis na (Eq.2): o valor de y compatível com x = 0,01 é 0,04.

W kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y = 0,03 kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x = 0,01 kgAB/kgAEXTRATOR

A : água

solução impossível!

(b) Dimensionamento com x = 0,01 kgAB/kgA e y = 0,03 kgAB/kgB como metas.

Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 2G = - 1 (metas em excesso)

Identidade!

paralelas

W kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x kgB/kgAEXTRATOR

A : água

Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0

G = 1 (infinidade de soluções)

(c) Dimensionamento com insuficiência de metas

coincidentes

Solução ótima?

Insuficiência de metas gera Graus de Liberdade Otimização

EM RESUMO

Insuficiência de metas gera graus de liberdade

Graus de liberdade geram multiplicidade de soluções

A multiplicidade de soluções exige a busca da solução ótima

A busca de solução ótima se dá por um processo de otimização

5.1 Conceito de Otimização

5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.

5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização

5.2.1 Variáveis de Decisão (ou Variáveis Manipuladas)

5.2.2 Critério

5.2.3 Função Objetivo

5.2.4 Restrições

5.2.5 Região Viável

5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos, qualquerque seja a sua área de aplicação.

5.2.2 Critério

5.2.4 Restrições

Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos qualquerque seja a sua área de aplicação.

5.2.1 Variáveis de Decisão (ou Variáveis Manipuladas)

São as variáveis manipuladas pelo método de otimização durante a busca da solução ótima.

Na Engenharia de Processos são chamadas de Variáveis de Projeto.

Resultam da liberdade conferida ao projetista pela insuficiência de metas de projeto

INCÓGNITAS

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

VARIÁVEIS DE PROJETO

r,T9,T

12OTIMIZAÇÃO

MODELO

FÍSICO

VARIÁVEIS ESPECIFICADAS

O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até o Lucro alcançar o seu valor máximo.

coincidentes

Metas insuficientes, incógnitas em excessoSistema consistente indeterminado

(infinidade de soluções)

G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1

Há que se escolher uma solução

Para se obter uma das soluções, é preciso especificar uma das 4 incógnitas.

O critério de escolha se baseia na minimização do esforço computacional e foi abordado no Capítulo 3

(Algoritmo de Ordenação de Equações).

o projetista tem a liberdade de escolher essa incógnita. Por exemplo: x7 (variável de projeto).

G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1

x7m0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

A cada valor de x7p

corresponde uma solução viável x1, x2, x3 e um valor para o Lucro.

Se a variável for contínua, haverá umainfinidade de soluções viáveis (indeterminado).

Sem imposições, o projetista também tem a liberdade de escolher o valor da variável de projeto.

Qualquer outro valoratribuído como metaproduziria uma soluçãopior do que a ótima.

Ele deve escolher o valor que corresponde ao Lucro Máximo (solução ótima).

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

7xpx7m

Ou seja, em problemas indeterminados, o projetista tem a oportunidade de apresentar a Solução Ótima !

coincidentes

As variáveis de projeto são escolhidas dentre as não-especificadas.

Modelo Matemático

1. Q (xo - x) - W y = 0

2. y - k x = 0

Balanço de Informação

V = 5, N = 2, C = 2, G = 1

(candidatas: x, y, W)

W kg B/h

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x kgB/kgA

Exemplo: otimização do extrator

W? x? y?

L,R,C$/a

Lo=15,6

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

W kg/hWo = 1.973,6

L = R - C

0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,0200

L,R,C$/a

x kgAB/kg A

xo = 0, 01118

Lo = 15,6

Variável de Projeto: W1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

Variável de Projeto: x1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

A solução ótima independe da variável de projeto escolhida

Wo = 1.972,3

xo = 0,01118 yo = 0,04472Lo = 15,6 $/h

xo = 0,01118 yo = 0,04472Wo = 1.972,3 Lo = 15,6 $/h

O Algoritmo de Ordenação de Equações conduz à escolha acertada

Escolha feliz !Ciclo aberto por x (o mesmo p/ y)Sequência de cálculo acíclica:2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y

Variável de Projeto: x1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

Variável de Projeto: W1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

Escolha infeliz !Sequência de cálculo cíclicaOtimização com cálculo iterativo

Mas a escolha afeta o esforço computacional envolvido na otimização

5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)

5.2.3 Restrições

São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,independentemente da área de aplicação.

Devem ser identificados e analisados antes de se iniciar a resolução doproblema

5.2.2 Critério

A busca da solução ótima tem que ser norteada por um critério.

O critério mais comum é econômico

5.2.2 Critério

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Maximização do Lucro

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Minimização do Custo(produção fixa Receita constante)

Outros critérios adotados: segurança e controlabilidade.

A solução ótima segundo um critério pode não ser a ótima segundo umoutro critério. Por exemplo: a solução mais econômica pode não ser a

mais segura. E vice-versa.

Dois ou mais critérios podem ser utilizados simultaneamente com pesosdiferentes (otimização com objetivos múltiplos)

5.2.2 Critério

5.2.5 Restrições

(c ) Convexidade: côncava ou convexa.

É a expressão matemática do critério de otimização descrita em termos das variáveis físicas do problema.

A sua caracterização é fundamental para a resolução do problema de otimização.

(a) Continuidade: contínua, contínua com descontinuidade na derivada, descontínua ou discreta.

Pode ser classificada quanto à:

(b) Modalidade: unimodal, multimodal.

Pode assumir formas das mais simples às mais complexas.

5.2.3 Função Objetivo(a) Continuidade

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

Função Contínua0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Função Contínua comdescontinuidade na derivada

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

Função Descontínua0 2 4 6 8 10

xFunção Discreta

Os parâmetros da função dependem da

faixa de x

A função só existe para valores inteiros de x

5.2.3 Função Objetivo(b) Modalidade

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

Função Unimodal em 1 Dimensão Função Unimodal em 2 Dimensões

-1,0-0,8-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

-1,0-0,8

-0,6-0,4

-0,20,00,20,40,60,81,0

Função Bimodal em 1 Dimensão

1 2 3 4 5 6

Função Bimodal em 2 Dimensões

-2,0-1,5

-1,0-0,5

0,00,5

1,01,5

2,02,5

Incerteza quanto ao ótimo global

C, E: máximos locaisA: máximo global

B, D: mínimos locaisF: mínimo global

B: mínimo localF: mínimo globalC: ponto de sela

Função côncava: o valor dado pela função é superior ao dado pela reta. y[(1-a) x1 + a x2] > (1-a) y(x1) + a y(x2)

5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções univariáveis)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

xx1 x2(1-a)x1+ ax2

y[(1-a) x1 + a x2]

(1-a) y(x1) + a y(x2)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

xx1 x2(1-a)x1+ ax2

y[(1-a) x1 + a x2]

(1-a) y(x1) + a y(x2)

limite inferior para o máximo

Função convexa: o valor dado pela função é inferior ao dado pela reta: y[(1-a) x1 + a x2] < (1-a) y(x1) + a y(x2)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

(1-a)x1+ ax2

y[(1-a) x1 + a x2]

(1-a) y(x1) + a y(x2)

limite superior para o mínimo

Concavidade (negativa) e Convexidade (positiva) de funções univariáveis podem ser determinadas pelo sinal da segunda derivada

da função no ponto extremo.

5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções multivariáveis)

Para funções multivariáveis, a convexidade encontra-se relacionada aos seus

Valores Característicos

Equação Característica

que são as raízes da sua

H(x) = f

Matriz Hessiana:

- = 0det

Equação Característica:

Os Valores Característicos são as raízes desta equação.

2 – (f11 + f22) + (f11f22 – f12f22) = 0

Para uma função qualquer de duas variáveis

Ilustração com Funções Quadráticas (simetria)

5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções multivariáveis)

f(x) = bo + b1 x1 + b2 x2 + b11 x12 + b22 x2

2 + b12 x1 x2

Assumem formas diversas em função dos valores dos coeficientes

-1,0-0,8-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

-1,0-0,8

-0,6-0,4

-0,20,00,20,40,60,81,0

X1-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0

-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2

0,00,2

0,40,6

0,81,0

-1,0-0,8

-0,6-0,4

-0,20,0

0,20,4

0,60,8

-1,0-0,8-0,6

-0,4-0,2

0,00,2

0,40,6

0,81,0-1,0

-0,8-0,6

-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0

-0,80-0,50

-0,80-1,1

-1,7-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

estritamente convexa

convexa

estritamente côncava

côncava

ponto de sela

2H ( x ) f ( x )

> 0 , 2

> 0 positiva definida

1 > 0 ,

2 = 0 positiva semi-definida

< 0, 2

< 0 negativa definida

< 0, 2

= 0 negativa semi-definida

> 0 , 2

< 0 indefinida

1 > 0 : 2 > 0

1 > 0 : 2 = 0

1 < 0 : 2 < 0

1 < 0 : 2 = 0 1 < 0 : 2 < 0

UMA FUNÇÃO NÃO-QUADRÁTICA

Modelo Físico:1. Q* (xo

* - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q* (x1 - x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0

Balanço de Informação: V = 8, N = 4, C = 2, M = 0 G = 2 (otimização)

rafinado

x1 kgAB/kg A ?

W1 kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/h

W2 kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/hx2 kgAB/kgA ?

W2 kg B/h ?

rafinado

Q* = 10.000 kgA/hxo

*= 0,02 kg AB/kg A1 2

alimentação

Dimensionamento de 2 extratores em série

101214161820

baL ---=

Exemplo de Função Não-Quadrática(Lucro de 2 extratores em série)

Função Bimodal em 2 Dimensões

-2,0-1,5

-1,0-0,5

0,00,5

1,01,5

2,02,5

Ponto C : x1 = 0,6 : x2 = 1,4 : f = 3,3 1 = 7 : 2 = -2,3

Ponto A: x1 = -1 : x2 = 1 : f = 01 = 10,6 : 2 = 3,4

Ponto B: x1 = 2 : x2 = 4 : f = 1.5 1 = 37 : 2 = 1

5.2.1 Variáveis de Decisão

5.2.2 Critério

5.2.4 Restrições

5.2.3 Restrições

São os limites impostos pelas leis naturais às variáveis do processo.

(b) restrições de desigualdade: g (x) 0 São os limites impostos às Variáveis de Projeto

(a) restrições de igualdade : h(x) = 0 São as equações do próprio modelo matemático.

Há dois tipos de restrições:

Min f(x) Função Objetivo x Variável de Projetos.a.: g(x) 0 Restrições de desigualdade h(x) = 0 Restrições de Igualdade

Enunciado Formal de um Problema de Otimização

Max L(x) = R - Cs.a.:

W kg B/h

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x kgB/kgA

h1 (x) = Q (xo - x) - W y = 0h2 (x) = y - k x = 0

g(x) = x - xo 0

Exemplo: otimização do extrator

A presença de restrições pode alterar a solução de um problema

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,80,6

h(x) = 0

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

h x x( ) ,x 12

22 0 25 0

5.2.3 Restrições (a) Restrições de Igualdade (solução sobre a curva)

Solução Irrestrita: ASolução Restrita : B

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

2,0 0,4

h(x) = 0

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

h x x( ) , ( ) ,x 2 122 1 1 0 1 0

Solução Irrestrita: ASolução Restrita : BC é um máximo local

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,80,6

h2(x) = 0

h1(x)=0

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

h x x1 12

22 0 25 0( ) ,x

h x x2 12

22 0 25 0( ) ,x Solução Irrestrita: A

Solução Restrita : B (restrições compatíveis)

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,80,6

h2(x) = 0h1(x)=0

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

h x x1 12

22 0 25 0( ) ,x

h x x2 1 2 1 0( )x Solução irrestrita: ASolução restrita: impossível( restrições incompatíveis)

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

g x x1 12

22 0 25 0( ) ,x = + -

5.2.3 Restrições (b) Restrições de Desigualdade (fronteira e interior de regiões)

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

Solução irrestrita: ASolução restrita : B

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,80,6

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,80,6

g x x1 12

22 0 25 0( ) ,x = + -

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

Solução irrestrita: ASolução restrita : A

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,40,6

g (x)2

g (x)1

g x x1 12

22 1 0( )x

g x x2 12

22 4 0( )x

g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0

Solução irrestrita : ASolução restrita : B

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

g x x1 12

22 1 0( )x

g x x2 12

22 4 0( )x

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,40,6

g (x)1

g (x)2C

g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0

Solução irrestrita: ASolução restrita : C

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,40,6

g (x)1

g (x) 2

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

g x x2 12

22 4 0( )x

g x x1 12

22 1 0( )x

g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0

Solução irrestrita: ASolução restrita : A

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,40,6

g (x)1

g (x)2

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

g x x1 12

22 1 0( )x

g x x2 12

22 4 0( )x

g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0

Solução impossívelRestrições incompatíveis

5.2.2 Critério

5.2.4 Restrições

h(x) = 0

g(x) 0

Busca restrita ao interior da elipse (restrição de desigualdade g(x) 0) que se encontra sobre o plano (restrição de igualdade h(x) = 0)

Região do espaço delimitada pelas restrições de igualdade e de desigualdade à qual se restringe a busca da solução ótima.

Max f(x)s.a.: h(x) = 0 g(x) 0

Exemplo: encontrar o aluno de maior CR neste piso, nesta sala

Região ConvexaQualquer par de pontos pode ser unido por uma reta totalmente contida na região.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

g (x)1

g (x)2

g (x) 3

g x x1 12 2

222 2 4 0( ) ( ) ( )x

g x x x2 12

22 4 0( )

g (x) (x 2) x 4 03 12 2

5.2.4 Região Viável Convexidade

A convexidade garante a convergência dos métodos de otimização

Região Não - ConvexaA reta que une A e B não

permanece contida na região

g (x) x x 4 01 12

2 1 2g (x) x (x 2) 4 02 2= + - -

g x x x3 12

221 1 0( ) ( )

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

g (x)1

g (x)2

g (x)3

5.2.4 Região Viável Convexidade

É o maior desafio da otimização

A não-convexidade não garante a convergência dos métodos de otimização

101214161820

Restrições podem ser lineares:x1 – 0,02 0x2 – x1 0

5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável

5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.

5.3 Localização da Solução Ótima

Pontos estacionários, descontinuidades das derivadas e fronteiras do intervalo.

Máximos (M) e Mínimos (m) locais e globais

Localização de valores extremos na faixa x1 x x2

0 5 10 15 20

5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima

5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.

5.4 Problemas e Métodos de Otimização

(a) Quanto ao número de variáveis: - Univariáveis ou Multivariáveis(b) Quanto à presença de restrições: - Irrestritos ou Restritos

5.4 PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO

(b) Quanto ao tipo de informação utilizada: - Diretos: utilizam apenas o valor da função objetivo. - Indiretos: utilizam, também, os valores das suas derivadas.

À luz dos conceitos apresentados os problemas de otimização podemser classificados:

(a) Quanto à natureza: - Analítico: localiza os pontos estacionários pelo cálculo das derivadas da função objetivo. - Numéricos: buscam os pontos estacionários por tentativas.

Os métodos de resolução podem ser classificados:

5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização

5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis

5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.

ATENÇÃO PARA O ROTEIRO DA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA

W kg B/h

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x kgB/kgA

Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0 (k = 4)

Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (otimização)

Avaliação Econômica:L = R - CR = pAB W yC = pB WpAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB

5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.1 Problemas univariáveis

Exemplo: dimensionamento do extrator

2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y

Sequência de Cálculo

Restrições de Igualdade !!!

1 * * *2 * *

1 x x o2 x o

Equações ordenadas

Variável de Projeto : x

Incorporando as Restrições de Igualdade ordenadasà Função Objetivo

(viável em problemas simples)

Função Objetivo: L = R - C = pAB W y - pB W

x 2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y

L = pAB W y - pB Wy, W

LL = a - b x - c/x

a = Q (pAB xo + pB / k) = 105

b = pAB Q = 4.000

c = pB Q xo / k = 0,5

0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,0220

L,R,C$/a

x kgAB/kg A

xo =0, 01118

Lo = 15,6

Busca do ponto estacionário:

yo = 0,04472 kg AB/kg B; Wo = 1.972,3 kgB/h; Ro = 35,3 $/h; Co = 19,7 $/h; Lo = 15,6 $/h

Solução completa do problema:

L = a - b x - c/x

co= - + = = =2

0 0 01118,

Q = 10.000 kgA/h

x = 0,02 kgAB/kgAo

kgB/hW2

kgAB/kgBy2

kgAB/kgB

kgAB/kgAkgAB/kgA

5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.2 Problemas multivariáveis

Modelo Matemático1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0

Avaliação EconômicaL = R - CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB

Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)

Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série

5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.2 Problemas multivariáveis

Modelo Matemático1. Q (xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0

W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 * * *2 * * 3 * * * *4 * *

W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 o x x2 x o 3 x o x x4 x o

Equações Ordenadas2. y1 = k x1

4. y2 = k x2

3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2

1. W1 = Q (xo - x1)/ y1

Ordenação

Variáveis de Projeto: x1 e x2

Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo L

Buscando o ponto estacionário:

Solução completa:y1

o = 0,05428 kgAB/kgB; W1o = 1.184 kgB/h

y2o = 0,03684 kgAB/kgB; W2

o = 1.184 kgB/hCo = 23,68 $/h; Ro = 43,15 $/h; Lo = 19,47 $/h

L = a – b/x1– cx2 – d x1/x2

L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0

L/x2 = - c + dx1/x22 = 0

x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357

x2o = (d/b) x1

2 = 0,00921

L = R – CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)

2. y1 = k x1

4. y2 = k x2

3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2

1. W1 = Q (xo - x1)/ y1

101214161820

ALERTA!

Q = 10.000 kgA/h

xo = 0,02 kgAB/kgA

W1 = 1.184 kgB/h

W2 = 1.184 kgB/h

x1 = 0,01357 kgAB/kgA

x2 = 0,00921 kgAB/kgA

y1 = 0,05428 kgAB/kgA y2 = 0,03824 kgAB/kgA

Estágio 1 2 Total

Soluto Rec. kg/h 64,28 43,62 107,90Solv. Cons. kg/h 1.184 1.184 2.368Lucro $/a 13,87 5,61 19,48

DIMENSIONAMENTO ÓTIMO

Examinando a contribuição de cada estágio à solução ótima

02,04,0

6,08,0

0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002

0,01357

0,00921

Modelo Físico1. Q* (xo

* - x1 *) - W1 y1 = 0

2. y1 - k x1 * = 0

3. Q * (x1 * - x2

*) - W2 y2 = 04. y2 - k x2

Balanço de InformaçãoV = 8, N = 4, C = 2, M = 2 G = 0 (solução única)

DIMENSIONAMENTO COM G = 0

Q* = 10.000 kgA/hxo

*= 0,02 kg AB/kg A

rafinado

x1 * = 0,015 kgAB/kgA

W1 kg B/h ?

W1 kg B/h

Q * = 10.000 kgA/h

W2 kg B/h

Q * = 10.000 kgA/hx2

* = 0,008 kgAB/kg A

W2 kg B/h ?

rafinado1 2

alimentação

Dimensionamento: x1* = 0,015 e x2

* = 0,008

02,04,0

6,08,0

0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002

OTIMIZAÇÃO SIMULTÂNEA x SEQUENCIAL

O Método Analítico foi aplicado às duas variáveis de projeto simultaneamente, surgindo um sistema de duas equações que foi

resolvido.

Alternativamente, pode-se pensar em decompor o problema em dois sub-problemas univariáveis:

(a) otimizar o primeiro estágio (b) utilizar o valor ótimo x1

o na otimização do segundo.

L p Q x x

p Q x x

L a b xc

a Q p xp

cp Q x

ab ob o

1 1 1 11

00111803

* ** *

L p Q x x

p Q x x

L a b xc

a Q p xp

cp Q x

2 1 21 2

2 2 2 22

0008359

* ** *

, $/Solução ótima do Estágio 1 Solução ótima do Estágio 2

imposição!

x1 = 0,01118 kgAB/kgA

x2 = 0,008359 kgAB/kgA

Q = 10.000 kgA/h

xo = 0,02 kgAB/kgA

W1 = 1.972 kgB/h W2 = 843 kgB/h

y1 = 0,04472 kgAB/kgA y2 = 0,03344 kgAB/kgA

Estágio 1 2 Total

Soluto Rec. kg/h 64,28 28,21 116,41Solv. Cons. kg/h 1.972 843 2.815Lucro $/a 15,56 2,84 18,40

O segundo estágio foi otimizado para x1 = 0,01118

Resultando:

02,04,0

6,08,0

0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002

A busca de x2o ficou restrita a x1 – 0,01118 = 0

Obviamente, não é a solução ótima

Comparando as duas soluções...

Solução Seqüencial

Estágio 1 2 Total

Soluto Rec. kg/h 88,20 28,21 116,41Solv. Cons. kg/h 1.972 843 2.815Lucro $/a 15,56 2,84 18,40

Solução Simultânea

Estágio 1 2 Total

Soluto Rec. kg/h 64,28 43,62 107,90Solv. Cons. kg/h 1.184 1.184 2.368Lucro $/a 13,87 5,61 19,48

A solução ótima é aquela obtida pela otimização simultânea

Na solução seqüencial, o primeiro estágio consome mais solvente e recupera mais soluto. Mas o faz ignorando o segundo estágio que

consome menos solvente mas recupera menos soluto.

Problemas Restritos [hi(x) , gi(x)]

Método dos Multiplicadores de Lagrange

1. Formar o Lagrangeano do problema:

L(x, , ) = f(x) + i hi (x) + j [gj(x) - j2]

i : multiplicadores de Lagrange i : variável de folga (distância de um ponto interior à fronteira da restrição; transforma desigualdade em igualdade)

2. Localizar os pontos estacionários do Lagrangeano.

3. Analisar as soluções obtidas à luz das restrições.

Exemplo: Min f(x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2

s.a.: g1 (x) = x12 + x2

2 – 0,25 0 g2 (x) = x1 0 g3 (x) = x2 0

restrição

curvas de nível da função objetivo

Exemplo: Min f (x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2

s.a.: g1 (x) = x12 + x2

2 – 0,25 0 g2 (x) = x1 0 g3 (x) = x2 0

Considerar apenas g1(x) e depois eliminar valores negativos de x1 e x2

L (x, , ) = f(x) + i hi (x) + j [gj(x) - j2]

L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 + [x12 + x2

2 – 0,25 - 2]

Formar o Lagrangeano:

L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 + [x12 + x2

2 – 0,25 - 2]

L / x1 = 2 x1 – 2 + 2 x1 = 0 x1 = 1/(1 + ) (1)L / x2 = 2 x2 – 2 + 2 x2 = 0 x2 = 1/(1 + ) (2) L / = x1

2 + x22 – 0,25 - 2 = 0 (3)

L / = 2 = 0 (4)

A Eq. (4) é satisfeita para:

restrição

x2 curvas de nível da função objetivo

= 0 (solução irrestrita):

= 0 (folga zero, fronteira da região):

(1) x1 = 1 ; (2) x2 = 1

(1) e (2) em (3) x1 = x2 = 0,35

5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.

5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis

5.6 MÉTODOS NUMÉRICOS

- Indiretos: utilizam, também, o valor da derivada da Função Objetivo. (com mais informação, o número de tentantivas é menor; mas o esforço computacional é maior).

São métodos de busca por tentativas.

- Robustez: resolver uma variedade maior de problemas.

Os pesquisadores buscam desenvolver métodos que atendam às seguintes propriedades:

- Eficiência: resolver o mesmo problema com menor esforço.

- Diretos: orientam as tentativas com base apenas no valor da Função Objetivo.

Os métodos podem ser:

Motivação para o uso de métodos numéricos

5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS 5.6.1 Problemas Univariáveis

W1 = 30.000 kg/h

T1 = 100 oC T2 = 50 oC

W3 kg/h ?

A m2 ?

T3= 15 oC

Dimensionamento de um trocador de calor

Modelo

Balanço de Informação: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimização)

Avaliação Econômica

02111 )TT(CWQ1. p

03433 )TT(CWQ2. p

0 UAQ3.

)TT()TT(4.

FLUXOGRAMA

W1 = 30.000 kg/h

T1 = 100 oC T2 = 50 oC

W3 kg/h ?

A m2 ?

T3= 15 oC

CT = Ccap + Cutil480,

cap 4,6

A50)(0,10)(1.3C

Cutil = (8.500)(5x10-5)W3

cap 4,6

A50)(0,10)(1.3C

Cutil = (8.500)(5x10-5)W3

Modelo Ordenado

)TT(CpWQ. 21111

)TT(Cp

)TT()TT(4.

Incorporando o modelo ordenado à Função Objetivo

Variável de Projeto: T4

286.875

4T6535

4T-100ln

4.469TC

W1 = 30.000 kg/h

T1 = 100 oC T2 = 50 oC

W3 kg/h ?

A m2 ?

T3= 15 oC

286.875

4T6535

4T-100ln

4.469TC

Limites de T4: 15 e 100, com uma descontinuidade em 65.

MÉTODOS DE ESTREITAMENTO DO INTERVALO VIÁVEL

(b) a partir dos valores calculados e da suposição de unimodalidade, elimina-se a parte do intervalo em que o ponto extremo não pode estar (o intervalo viável, de incerteza, é reduzido).

(a) a Função Objetivo é calculada em determinados pontos do intervalo viável.

(c) o intervalo viável vai sendo estreitado sucessivamente a cadaiteração até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida

Os métodos diferem quanto ao número e ao critério de colocação dos pontos.

Hipótese: a Função Objetivo é unimodal

Então, qualquer ponto no interior do intervalo pode ser considerado como solução do problema.

0 1/3 2/3 1

Dois experimentos por ciclo

0 11/4 2/4 3/40 11/4 2/4 3/4 0 11/4 2/4 3/4

Três experimentos por ciclo

Exemplos (Problemas de Máximo)

intervalos eliminados

0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1

Casos de eliminação de 50% do intervalo

0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1

MÉTODO DA SEÇÃO ÁUREA

Em cada iteração, um dos intervalos é eliminado com base no valor da Função Objetivo calculada em apenas dois pontos.

Onde posicionar xi e xs? Qual é esta fração?

Esses pontos (xi e xs) são estrategicamente posicionados de modo a:

(a) exibir uma simetria em relação aos limites do intervalo (Li e Ls)

(b) eliminar sempre a mesma fração do intervalo vigente.

LsLi xi xs

Esta fração advém da razão dos lados do Retângulo Áureo (aquele esteticamente perfeito, segundo os gregos)

Seja um retângulo de lado maior 1 e lado menor

A razão dos seus lados é /1 =

Removendo-se um quadrado,

sobra um retângulo cuja razão dos lados é (1 - ) /

O Retângulo Áureo é aquele cuja razão dos lados permanece a mesma ao se remover quadrados sucessivos

61800121

Esta é a Razão Áurea dos lados de um retângulo

Retângulo Áureo

0,618 / 1 = 0,382 / 0,618 = 0,618

Assim, a cada remoção de um quadrado o lado maior do retângulo perde 38,2% do seu comprimento ficando reduzido a

61,8% do comprimento anterior.

Retângulo Áureo

0,618 / 1 = 0,382 / 0,618 = 0,618

Após a remoção de N quadrados, o lado maior do retângulo estará reduzido a 0,618N do comprimento original.

Após a remoção de 10 quadrados, o lado maior do retângulo estará reduzido a 0,0081 do comprimento original, ou seja, a menos de 1% do

comprimento original.

(a) exibir uma simetria em relação aos limites do intervalo (Li e Ls)(b) eliminar sempre a mesma fração do intervalo vigente.

Isto é obtido dividindo o intervalo de busca na razão áurea

LsLi xi xs

0,382 0,382

= Ls – Li

xi = Li + 0,382 xs = Ls - 0,382

Algoritmo da Seção Áurea

ÁUREAIniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto

ConvergiuDelta Tolerância

Problema de Mínimo

Eliminação de RegiãoProblema de MáximoEliminação de Região

Atualiza Tolerância ?Novo Ponto

IniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto

LsLi xi xsxi

LsLi xs

LsLi xi xs

Inicialização

= Ls – Li

xi = Li + 0,382 xs = Ls - 0,382

LsLi xi xs

0,382 0,382

EXEMPLO

W1 = 30.000 kg/h

T1 = 100 oC T2 = 50 oC

W3 kg/h ?

A m2 ?

T3= 15 oC

Cp1 = 1,35 kcal/kg oCCp3 = 1,00 kcal/kg oC U = 0,75 kcal / m2 oC

Modelo

02111 )TT(CWQ1. p

03433 )TT(CWQ2. p

0 UAQ3.

)TT()TT(4.

FLUXOGRAMA

W1 = 30.000 kg/h

T1 = 100 oC T2 = 50 oC

W3 kg/h ?

A m2 ?

T3= 15 oC

CT = Ccap + Cutil

cap 4,6

A50)(0,10)(1.3C

Cutil = (8.500)(5x10-5)W3

cap 4,6

A50)(0,10)(1.3C

Cutil = (8.500)(5x10-5)W3

Modelo Ordenado

)TT(CpWQ. 21111

)TT(Cp

)TT()TT(4.

286.875

4T6535

4T-100ln

4.469TC

W1 = 30.000 kg/h

T1 = 100 oC T2 = 50 oC

W3 kg/h ?

A m2 ?

T3= 15 oC

Limites de T4: 15 e 100, com uma descontinuidade em 65 (T4 = 1)

286.875

4T6535

4T-100ln

4.469TC

PROGRAMA Áurea.bas e Áurea.xls

286.875

4T6535

4T-100ln

4.469TC

i i i s s sN L x F x F L

2 15 47,47 9.568 67,53 6.287 100 8579,93 5.33967,53 6.2873 47,47 100 52,53

4 67,53 79,93 5.339 100 32,47

Se Convergiu Então Finalizar

Colocar Novo Ponto

Iniciar

Repetir

Eliminar Região

Atualizar Delta

VER PROGRAMA AUREA.XLS

i s s i i sN L x F x F L

2 15 47,47 6776,632 67,53 5073,825 100 8567,53 5073,8253 47,47 79,93 4510,13 100 52,53

87,59 4293,364 67,53 79,93 4510,13 100 32,47

87,59 4293,365 79,93 92,33 4222,96 100 20,0795,26 4224,396 87,59 92,33 4222,96 100 20,4292,33 4222,967 87,59 90,52 4242,09 95,26 12,40

92,33 4222,968 90,52 93,45 4217,68 95,26 7,6693,45 4217,689 92,33 94,14 4217,63 95,26 4,74

94,57 4219,1010 93,45 94,14 4217,63 95,26 2,93

Minimização do Custo do Trocador de Calor

Tolerância: 1,8 oC (1% do intervalo inicial)

T4o = 93,88 Ao = 17 ft2 W3

o = 1.770 lb/h

93,45 94,14 1,1193,88 4217,3211 93,45 94,14 4217,63 94,57 1,8193,88 4217,32

FUNÇÕES MULTIMODAIS

5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS

Procedimento Geral:

(c ) progressão na direção de busca até decisão em contrário. (b) exploração da vizinhança da base para inferir uma direção de busca.(a) seleção de um ponto inicial (base).

Os métodos diferem quanto à forma de executar a exploração e a progressão.

Alguns métodos diretos:- Busca Aleatória- Busca por Malhas- Busca Secionada- Simplex- Hooke & Jeeves

5.6.2 Problemas Multivariáveis

(d) finalização

Método de Hooke & Jeeves

ALGORITMO

Senão: reduzir os incrementos

Explorar, Progredir e Chegou ao Ótimo: ver em seguida

Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável

Escolher uma Base

Repetir

Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)

Se houve Sucesso em alguma direção

Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso

Senão (estamos nas proximidades do ótimo):

Se Chegou ao Ótimo

Então: Finalizar

ALGORITMOEstabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável

Escolher uma BaseRepetir

Base: o centro da região de busca (na falta de maiores informações).

Tolerância: o menor intervalo de incerteza admissível para cada variável

Incremento: a busca deve ser grosseira, porém rápida no início e lenta e minuciosa nas proximidades do ótimo. O incremento inicial pode ser 2 vezes a tolerância, ou mais, para ser reduzido à metade à medida que se aproxima do ótimo.

Exploração

Testar a Função Objetivo em cada sentido (incrementos + i e - i) de cada direção (xi) ao redor da Base.

Base?- 1

A Exploração não pode ser interrompida sem que todas as direções tenham sido testadas.

Do resultado, depreender a direção provável do ótimo

Exploração

BaseS- 1

Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

S: SucessoI: Insucesso

buscando máximo

Sucesso

desnecessário

Exploração

BaseS- 1

O Sucesso numa tentativa justifica a mudança da Base para a nova posição. A Exploração continua a partir desta melhor

posição.

Seguem-se todos os resultados possíveis da Exploração

Sucesso: deslocar a Base

Direção provável do ótimo

10 Base

Unimodalidade: dispensa + 1

Direção x1

Direção x2

Insucesso: permanecer na Base

10 Base

Direção x1

Direção x2

+ 2 Sucesso: deslocar a Base

12 Insucesso:permanecer na Base

10 Base

Direção x1

Direção x2

13 Insucesso: permanecer na Base

Direção x1

Direção x2

18 Sucesso: deslocar a Base

Direção x1

Direção x2

Direção x1

Direção x2

11Insucesso: permanecer na Base

Direção x1

Direção x2

Insucesso: permanecer na Base8

10Base

Direção x1

Direção x2

10Base

Direção x1

Direção x2

A Base deve estar próxima do ótimo !

ALGORITMOEstabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável

Escolher uma BaseRepetir

Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)Se houve Sucesso em alguma direção

Senão (proximidade do ótimo):

Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar

A Base estará suficientemente próxima para ser declarada como o ótimo?

Se todos os incrementos estiverem menores do que as tolerâncias, SIM!: Finalizar

Se algum deles estiver maior, então este deve ser reduzido à metade.

Inicia-se uma nova Exploração à volta da Base com os novos incrementos

Reduzir os incrementos1 = 1 /2 , 2 = 2 /2

10Base

+ 1- 1

1 > 1 e 2 > 2 ainda não chegou ao ótimo

Reduzir os incrementos1 = 1 /2 , 2 = 2 /2

10Base

+ 1- 1

1 > 1 e 2 > 2 ainda não chegou ao ótimo

1 < 1 e 2 < 2

10Base

+ 1- 2

Se Chegou ao Ótimo

Então: Finalizar

a Base pode ser considerada o Ponto Ótimo

ALGORITMO

Escolher uma Base

Repetir

Senão: (proximidade do ótimo)

Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão

Resultado da Exploração

Progredir até ocorrer um Insucesso

Sucesso! Mover a Base.Continuar a Progressão

Insucesso!Permanecer na Base (25)

Exploração a partir da Base (25) com 1 e 2 .

Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão

15+110

Resultado da Exploração

Progredir com duplo incrementoaté ocorrer um Insucesso

Sucesso! Mover a Base.Continuar a Progressão

Insucesso!Permanecer na Base (25)

Exploração a partir da Base (25) com 1 e 2 .

Funções Unimodais

O método converge sempre para o único extremo independentemente da base inicial.

Os incrementos iniciais afetam apenas o número de tentativas.

O método pode convergir para extremos locais diferentes dependendo da base inicial e dos incrementos iniciais selecionados.

Funções Multimodais

(a) partindo de bases iniciais diferentes pode-se alcançar extremos locais diferentes com os mesmos incrementos iniciais.

(b) partindo de uma mesma base inicial pode-se alcançar extremos locais diferentes com incrementos iniciais diferentes

f (x) = (x12 + x2 – 11)2 + (x2

2 + x1 – 7)2

ALGORITMO

Escolher uma Base

Repetir

Senão: (proximidade do ótimo)

Se Chegou ao Ótimo

Então: Finalizar

'HJ 18JUL90-23MAI96'Executa o Método de Hooke & Jeeves.

'----------------------------------------------------------------------------' Programa Principal'----------------------------------------------------------------------------EscolherUmaBaseDO ExplorarAsVizinhancasDaBase '(Buscando a direção provável do ótimo). IF HouveSucessoEmAlgumaDirecao THEN

ProgredirAteUmInsucesso '(Na direção provável do ótimo). ELSE

IF ChegouAoOtimo THEN EXIT DO ELSE ReduzirTodosOsIncrementos END IFLOOPFinalizar

DIMENSIONAMENTO POR SIMULAÇÕES SUCESSIVAS

EMPREGADO POR “SOFTWARES” COMERCIAIS

Empregam, para dimensionamento, os módulos ordenados para simulação.

Mas exige um procedimento de otimização:

- função objetivo (a ser minimizada): diferença, em valor absoluto, entre os valores obtidos para as variáveis de saída e os valores estipulados como metas

- variáveis de projeto: as dimensões dos equipamentos

Exemplo: Extrator

W = ??? kgB/h

rafinado

y = kg AB/kg Bextrato W = kgB/h

Q* = 10.000 kgA/hQ* = 10.000 kgA/hxo*= 0,02 kg AB/kg A

T oCT oC

x = ??? kgAB/kg A

alimentação

solvente

FO = |x – 0,008|

W = 3.750 kgB/h

rafinado

y = 0,032kg AB/kg Br = 0,60

extrato W = 3.750 kgB/h

T oCT oC

x* = 0,008 kgAB/kg A

alimentação

solvente

Normal

Simulações Sucessivas

Exemplo: Extrator

W = ??? kgB/h

rafinado

y = kg AB/kg Bextrato W = kgB/h

T oCT oC

x = ??? kgAB/kg A

alimentação

solvente

FO = |x – 0,008|

1. Q (xo – x) – W y = 02. y – k x = 0

x = Q xo / (Q + k W )

Por Seção Áurea, 0 < W < 1.000 W = 3.750

Exemplo: Trocador de Calor

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

A = 265,6 m2

T 2* = 25 oC

W3 = 44.000 kg/h

T3* = 15 oC

T4* = 30 oC

)TT()TT(.4

0UAQ.3

0)TT(CpWQ.2

0)TT(CpWQ.1

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

A ??T 2

T3* = 15 oC

T4* = ???

1.T2 = T1 – Q / W1Cp1

2. T4 = T3 + Q / W3Cp3

4. 3. Q – U A = 0

Normal

Ciclo!

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

A ??T 2

T3* = 15 oC

T4* = ???

1.T2 = T1 – Q / W1Cp1

2. T4 = T3 + Q / W3Cp3

4. 3. Q – U A = 0

Ciclo!

Substituindo 4, 2 e 1 em 3, resulta:

a = T1 – T3b = U A [ 1 / W1 Cp1 – 1 / W3 Cp3]3’. Q = a (eb – 1) / [ eb / W1 Cp1 – 1 / W3 Cp3]1.T2 = T1 – Q / W1Cp1

2. T4 = T3 + Q / W3Cp3

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

A ??T 2

T3* = 15 oC

T4* = ???

a = T1 – T3b = U A [ 1 / W1 Cp1 – 1 / W3 Cp3]3’. Q = a (eb – 1) / [ eb / W1 Cp1 – 1 / W3 Cp3]1.T2 = T1 – Q / W1Cp1

2. T4 = T3 + Q / W3Cp3

4. Otimização

Por Hooke&Jeeves

0 < A < 1.0000 < W3 < 100.000

FO = |T2 – 25| + |T4 – 30|

REVISÃO DE SEÇÃO ÁUREA

MÉTODOS DE ESTREITAMENTO DO INTERVALO VIÁVEL

(b) a partir dos valores calculados e da suposição de unimodalidade, elimina-se a parte do intervalo em que o ponto extremo não pode estar (o intervalo viável, de incerteza, é reduzido).

(a) a Função Objetivo é calculada em determinados pontos do intervalo viável.

Hipótese: a Função Objetivo é unimodal

0 1/3 2/3 1

Dois experimentos por ciclo

0 11/4 2/4 3/40 11/4 2/4 3/4 0 11/4 2/4 3/4

Três experimentos por ciclo

Exemplos (Problemas de Máximo)

intervalos eliminados

0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1

(c) o intervalo viável vai sendo estreitado sucessivamente a cadaiteração até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida

Os métodos diferem quanto ao número e ao critério de colocação dos pontos.

Então, qualquer ponto no interior do intervalo pode ser considerado como solução do problema.

Onde posicionar xi e xs? Qual é esta fração?

(a) exibir simetria em relação aos limites do intervalo (Li e Ls)

(b) permitir a eliminação da mesma fração do intervalo vigente em todas as iterações..

LsLi xi xs

Esta fração advém da razão dos lados do Retângulo Áureo (aquele esteticamente perfeito, segundo os gregos)

Seja um retângulo de lado maior 1 e lado menor

A razão dos seus lados é /1 =

Removendo-se um quadrado,

sobra um retângulo cuja razão dos lados é (1 - ) /

O Retângulo Áureo é aquele cuja razão dos lados permanece a mesma ao se remover quadrados sucessivos

61800121

Esta é a Razão Áurea dos lados de um retângulo

Retângulo Áureo

0,618 / 1 = 0,382 / 0,618 = 0,618

Assim, a cada remoção de um quadrado o lado maior do retângulo perde 38,2% do seu comprimento ficando reduzido a

61,8% do comprimento anterior.

Retângulo Áureo

0,618 / 1 = 0,382 / 0,618 = 0,618

Após a remoção de N quadrados, o lado maior do retângulo estará reduzido a 0,618N do comprimento original.

Após a remoção de 10 quadrados, o lado maior do retângulo estará reduzido a 0,0081 do comprimento original, ou seja, a menos de 1% do

comprimento original.

(a) exibir uma simetria em relação aos limites do intervalo (Li e Ls)(b) eliminar sempre a mesma fração do intervalo vigente.

Isto é obtido dividindo o intervalo de busca na razão áurea

LsLi xi xs

0,382 0,382

= Ls – Li

xi = Li + 0,382 xs = Ls - 0,382

Algoritmo da Seção Áurea

ÁUREAIniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto

ConvergiuDelta Tolerância

Problema de Mínimo

Eliminação de RegiãoProblema de MáximoEliminação de Região

Atualiza Tolerância ?Novo Ponto

LsLi xi xsxi

LsLi xs

LsLi xi xs

Inicialização

= Ls – Li

xi = Li + 0,382 xs = Ls - 0,382

LsLi xi xs

0,382 0,382

EXEMPLO

W1 = 30.000 kg/h

T1 = 100 oC T2 = 50 oC

W3 kg/h ?

A m2 ?

T3= 15 oC

Cp1 = 1,35 kcal/kg oCCp3 = 1,00 kcal/kg oC U = 0,75 kcal / m2 oC

Modelo

02111 )TT(CWQ1. p

03433 )TT(CWQ2. p

0 UAQ3.

)TT()TT(4.

FLUXOGRAMA

W1 = 30.000 kg/h

T1 = 100 oC T2 = 50 oC

W3 kg/h ?

A m2 ?

T3= 15 oC

CT = Ccap + Cutil

cap 4,6

A50)(0,10)(1.3C

Cutil = (8.500)(5x10-5)W3

cap 4,6

A50)(0,10)(1.3C

Cutil = (8.500)(5x10-5)W3

Modelo Ordenado

)TT(CpWQ. 21111

)TT(Cp

)TT()TT(4.

286.875

4T6535

4T-100ln

4.469TC

W1 = 30.000 kg/h

T1 = 100 oC T2 = 50 oC

W3 kg/h ?

A m2 ?

T3= 15 oC

Limites de T4: 15 e 100, com uma descontinuidade em 65 (T4 = 1)

286.875

4T6535

4T-100ln

4.469TC

PROGRAMA Áurea.bas e Áurea.xls

286.875

4T6535

4T-100ln

4.469TC

i i i s s sN L x F x F L

2 15 47,47 9.568 67,53 6.287 100 8579,93 5.33967,53 6.2873 47,47 100 52,53

4 67,53 79,93 5.339 100 32,47

Se Convergiu Então Finalizar

Colocar Novo Ponto

Iniciar

Repetir

Eliminar Região

Atualizar Delta

VER PROGRAMA AUREA.XLS

i s s i i sN L x F x F L

2 15 47,47 6776,632 67,53 5073,825 100 8567,53 5073,8253 47,47 79,93 4510,13 100 52,53

87,59 4293,364 67,53 79,93 4510,13 100 32,47

87,59 4293,365 79,93 92,33 4222,96 100 20,0795,26 4224,396 87,59 92,33 4222,96 100 20,4292,33 4222,967 87,59 90,52 4242,09 95,26 12,40

92,33 4222,968 90,52 93,45 4217,68 95,26 7,6693,45 4217,689 92,33 94,14 4217,63 95,26 4,74

94,57 4219,1010 93,45 94,14 4217,63 95,26 2,93

Minimização do Custo do Trocador de Calor

Tolerância: 1,8 oC (1% do intervalo inicial)

T4o = 93,88 Ao = 17 ft2 W3

o = 1.770 lb/h

93,45 94,14 1,1193,88 4217,3211 93,45 94,14 4217,63 94,57 1,8193,88 4217,32

CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 19 de julho de 2013.

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