Post on 30-Jan-2016
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Cap. 36
DIFRAÇÃO
Milton Massumi FujimotoDepartamento de Física / UFPR
http://fisica.ufpr.br/down/FIV
Difração
Quando uma onda encontra um obstáculo com dimensões da ordem do comprimento de onda, se espalha de acordo com o princípio de Huygens.
λ≈a
A Luz como uma Onda
tt ≡′
Difração por uma fenda
máximo central
máximos secundários ou laterais
Sombra de uma lâmina
máximos secundários ou laterais
O ponto claro de Fresnel
Ponto claro de Fresneltambém ponto de Poisson ou Arago
Augustin Jean Fresnel1819
Difração por uma Fenda:Posição dos mínimos
posição das franjas escuras
Quando as ondas passam pela fenda estão em fase
aD >>
2sen
2a λ
=θ ⇒ λ=θasen Primeiro mínimo
Difração de Fraunhofer
Primeiro mínimo ( primeira franja escura):
Observe que:
2sen
2a λ
=θ
λ=θasen
asen λ
=θ
λ>>a ⇒ °≈θ 0 Não se observa a difração
λ≈a ⇒ °≈θ 90 Toda tela iluminada
Segundo mínimo (2a. franja escura):
Equação Geral:
aD >>
2sen
4a λ
=θ ⇒ λ=θ 2asen segundo mínimo
λ=θ masen ,...3,2,1m = Mínimos franjas escuras⇐
Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda – Método Qualitativo
P
Diferença de fase
θΔ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
λπ
=φΔ sen.x2
Nax =Δ
2EI θ∝
θΔλ
↔↔
φΔπ
sen.x2/
Método dos Fasores
0=φΔ°=θ 00
1θ
2θ
3θ
Primeiro mínimoMáximo central
Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda – Método Quantitativo
A intensidade I(θ) em função de θ é:
onde
Os mínimos ocorrem nos pontos em que:
Assim:
Ou
2
msenI)(I ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
=θ θλπ
=φ
=α sena2
)0(IIm °=
π=α m ,...3,2,1m =
θλπ
=π senam
λ=θ masen ,...3,2,1m = MínimosFranjas escuras
radianosem,, αθφ
Largura do máximo central em função da abertura a:
λ=a
λ= 5a
λ=10a
amsen λ
=θ
Dep
endê
ncia
com
a a
bertu
ramm1,0a =
Dep
endê
ncia
com
a a
bertu
ramm2,0a =
Dep
endê
ncia
com
λnm450=λ
Dep
endê
ncia
com
λnm570=λ
Demonstração das Equações de IntensidadeMétodo dos Fasores
assim,
Portanto
R2Esen 2
1 θ=φR
Em=φ
φφ
=θ 21
21
m senEE
2m
2
m EE
I)(I θ=
θ
0
2rms
cEI
μ=⇐
2
msenI)(I ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
=θ ⇐Difração porFenda única
φ
φ/2α
α=φ 2
Relação entre α e θ:– Δx.senθ é a diferença entre as distâncias percorridas por ondas
secundárias vindas regiões vizinhas– Δφ é a diferença de fase entre estas ondas secundárias de regiões
vizinhas.
– A diferença de fase φ entre os raios que partem das extremidades superior e inferior da fenda é:
– Como
– Temos:
∑ Δ= xa
θΔ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
λπ
=φΔ sen.x2
θ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
λπ
=φ sen.a2
α=φ 2
∑ φΔ=φ
θλπ
=φ
=α sena2
φ
φ
φl
Rl
=φ
R
Justificativa de α=φ 2
ExercícioDifração por fenda única
37-10E. Uma luz monocromática com um comprimento de onda de 538 nm incide em uma fenda com uma largura de 0,025 mm. A distância entre a fenda e a tela é de 3,5 m. Considere um ponto na tela a 1,1 cm do máximo central. (a) Calcule o valor de θ neste ponto (ângulo entre a reta ligando o ponto central da fenda à tela e a reta ligando o ponto central da fenda ao ponto em questão na tela). (b) Calcule o valor de α. (c) Calcule a razão entre a intensidade neste ponto e a intensidade no máximo central.
Dados:
m10x38,5nm538 7−==λ
m10x5,2mm025,0a 5−==m5,3D =
m011,0cm1,1y ==
P
a)
b)
c)
Dytg =θ
?=θ
?=α θλπ
=α sena
?I
)(Im
=θ
o0,18rad0,0031435,3011,0arctg ==
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=θ
rad459,0)3en(0,00314s10x53810x5,2
9
5=
π=α −
−
932,00,459)en(0,459s
I)(I
2
m
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
θ
2
m
ensI
)(I⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
=θ
A imagem de um ponto luminoso distante, não é um ponto, mas um disco luminoso cercado por anéis claros e escuros.
Difração por uma abertura Circular
Exemplos: Olho humano,obturadores de filmadora, máquinas fotográficas etc
Posição do primeiro mínimo:
d22,1sen λ
=θd
Posição do primeiro mínimop/ fenda única
asen λ
=θ
Aberturacircular⇐
Figura de difração de uma abertura circularImagens produzidas por lentes
Resolução(Abertura Circular)
Imagens produzidas por lentes são figuras de difração.O importante é resolver dois corpos distantes cuja separação angular é pequena.
Resolução (cont)
Não podem serdistinguidos
Podem serdistinguidosLimite
Resolução (cont)
Critério de Rayleigh para a resolução– Quando o máximo central de uma figura coincide com o primeiro
mínimo de outra.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ λ
=θd
22,1arcsenR
Como os ângulos sãoPequenos, em radianos:
θ≈θsen
d22,1R
λ=θCritério de Rayleigh ⇒
Critério de resolução de Rayleigh
Dependência com o comprimento de onda
d22,1R
λ=θ
nm700maior ≈λ
nm400menor ≈λ
Quanto menor λmenor será θRmelhor será a resolução
Critério de resolução de Rayleigh
Dependência com a distância
Quanto mais próximo, maior a separação angular θ emelhor a resolução.Quanto menor θR , melhor a resolução, e é possível distinguir a distâncias maiores
R1 θ<θ R2 θ=θ R3 θ>θ
d22,1R
λ=θ
fixo está Rθ
d está limitadopelo olho
O pintor neoimpressionista Georges Seurat (final do século XIX) pertencia a escola do pontilhismo.
As cores pareciam mudar com a distância do observador ao quadro.
Difração por duas Fendas
onda incidente
λ≈a
Difração por duas Fendas
=
×Interferência por dupla fenda estreitas Difração por fenda única
λ<<a λ≈a
Difração porFenda dupla
Difração por uma fenda
Difração por duas fendas
Observe que no caso de duas fendas existem também os máximos e mínimos ocasionados pela interferência.
Intensidade na difração por fenda dupla
A intensidade na figura de difração por duas fendas é:
Fator de interferência:
Fator de Difração:
2
msenI)(I ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
=θ
)2/(cosI4)(I 20 φ=θ Intensidade na interferência – fenda dupla
estreitas⇐
Intensidade na difração – fenda única⇐
22
msen.cos.I)(I ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αα
β=θ θλπ
=β sendθ
λπ
=α sena
0a → 0→α 1sen→
αα
0d → 0→β 1cos2 →β
Redes de Difração
Grande número fendasou ranhuras
⇓
Rede de difração
Redes de difração
Quanto maior o número de fendas, mais separados são os picos,Melhor a resolução.
5 fendas 10 fendas
Rede de Difração
dD >>
w
Nwd =
λ=θ mdsen ,...2,1,0m =
Posições do máximos
Linha centralOrdem zero (m = 0)
Laser de He-Ne
0 11 22 m
O ângulo θ entre o eixo central e uma determinada linha
Sabendo-se θ, m e d, podemos determinar λ.
Mesmo que seja uma mistura de λ’s pelo uso da rede de difração podemos determinar cada λ separadamente, pois as figuras não se superpõem.
dmsen λ
=θ ⇒ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ λ
=θd
marcsen
Redes de difração:Largura de linhas
Capacidade de resolver (separar) λ’s diferentes depende da largura de linhas.Meia-largura da linha central (Δθml):
Para Δθml pequeno,
Quanto menor Δθml melhor a separação
λ=θΔ mlsenNd
mlmlsen θΔ≈θΔ ⇒Ndmlλ
=θΔ
λ=θsena
Meia-largura de qualquer outra linha (Δθml):
Para um mesmo λ e espaçamento d a largura de linhas é
θλ
=θΔcosNdml
N1
ml ∝θΔ A rede de difração com maior NSepara melhor
⇒
Uma Aplicação das redes de difração
São usadas para determinar os λ’s de uma fonte luminosa.
Espectroscópio
Linhas de emissãodo cádmio
Linhas de Emissão do hidrogênio
Redes de Difração: Dispersão e Resolução
Dispersão(D):
Dispersão de uma rede de difração:
Maior dispersão, maior a separação entre os picos.Maior dispersão, menor d e/ou ordens maiores m.
λΔθΔ
=D ⇐ definição
θ=
cosdmD
θ1 θ2
λ1 λ2
θ
Δθ
Demonstração da equação:– Posição da linhas de difração de uma rede:
– Diferenciando
– Para ângulos pequenos, os infinitésimos pode ser substituídos por diferenças
ou
λ=θ msend
λ=θθ dd mcosd
λΔ=θΔθ mcosd
θ=
λΔθΔ
cosdm
Redes de Difração: Dispersão e Resolução
Resolução (R):– Resolver linhas muito próximas linhas estreitas
Resolução de uma rede de difração:
λΔλ
= médR ⇐ definição
NmR =
θ1 θ2
λ1 λ2
θ
12 λ−λ=λΔ
212
med
λ+λ=λ
Demonstração da equação:– Meia-largura de uma linha:
– Substituindo Δθml em– Temos
– Ou resolução
θλ
=θΔcosNdml
λΔ=θΔθ mcosd
λΔ=λ mN
NmR =λΔ
λ=
Comparação entre Dispersão e Resolução
θ=
cosdmD
NmR =
Exercícios
37-33E. Uma rede de difração com 20,0 mm de largura possui 6000 ranhuras. (a) Calcule a distância d entre ranhuras vizinhas. (b) Para que ângulos θ ocorrerão máximos de intensidade em uma tela de observação se a radiação incidente na rede de difração tiver um comprimento de onda de 589 nm?
Dados:
(a) d = ?
ranhuras6000N =mm0,20w =
m10x33,36000
m10x0,20Nwd 6
3−
−===
m=0
m=1
m=1
m=2
m=2
(b) θ = ? Ocorrerão máximos de intensidade.
Os valores possíveis para m são:Os valores possíveis para os ângulos são:Para m =1
m10x89,5nm589 7−==λ
1d
msen ≤λ
=θ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ λ
=θd
marcsenm⇒
66,5m10x89,5m10x33,3dm 7
6==
λ≤ −
−
5,4,3,2,1,0m =
177,010x33,310x89,5x1
dm
6
7==
λ−
−
⇒ ( ) rad17763,0177,0arcsen1 ==θ
°=θ 2,101
Outros valores possíveis para os ângulos são:
Para m = 2
Para m = 3
Para m = 4
Para m = 5
353,0177,0x2d
m==
λ⇒ ( ) rad3612,0353,0arcsen2 ==θ
530,0177,0x3d
m==
λ ⇒ ( ) rad5587,053,0arcsen3 ==θ
707,0177,0x4d
m==
λ ⇒ ( ) rad7849,0707,0arcsen4 ==θ
884,0177,0x5d
m==
λ ⇒ ( ) rad083,1884,0arcsen5 ==θ
°=θ 7,202
°=θ 0,323
°=θ 0,454
°=θ 0,625
Exercícios37-48E. Uma rede de difração tem 600 ranhuras/mm e 5,0 mm de largura. (a) Qual é o menor intervalo de comprimentos de onda que a rede é capaz de resolver em terceira ordem para λ=500 nm? (b) Quantas ordens acima da terceira podem ser observadas?
Dados:
(a)
mm/ranhuras600N =′
mm0,5w =
m10x0,5nm500 7−==λ
?=λΔ 3m =
NmR =λΔ
λ=
NmR =λΔ
λ=
A rede de difração deveter alta resolução
Resolução maiorPicos mais estreitos
Picos mais estreitos:Possível distingüir doisλ’s muito próximos
θ1 θ2
λ1 λ2
θ
(a) Δλ = ? Para m = 3
N total:
Assim:
(b) quais os m’s possíveis ? m = ? (m>3)
NmR =λΔ
λ=
ranhuras3000mm0,5xmm
ranhuras600wNN ==′=
m10x56,53ranhurasx3000
m10x0,5Nm
117
−−
==λ
=λΔ
1d
msen ≤λ
=θ ⇒λ
≤dm
(b) cont.
Os valores possíveis para são
Portanto não podemos observar nenhuma ordem acima da terceira.
m10x667,1ranhuras3000
m10x0,5Nwd 3
3−
−===
3,3m10x0,5m10x667,1m 7
3=≤ −
−
3,2,1,0m =
Difração de Raios X
Em 1895, descoberto por Röentgen - (1901, Nobel de Física)
São ondas eletromagnéticas com
Luz visível
m10A1 10o
−=≈λ
m10x5,5nm550 7−=≈λ
Misteriosos raios X– Não eram defletidos pelo campo magnético
• Conclusão: partículas não carregadas.
– Inicialmente não foi observado difração:• Para uma rede de difração comum
• O máximo de primeira ordem (m = 1) ocorre para
m103nm3000d 6−×== m10A1 10o
−==λ
°=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ λ=θ 0019,0darcsen Não podem ser
resolvidas⇐
Difração de raios X
Raios X
Em 1912 propôs
m10A1 10o
−=≈λ
Um sólido cristalinoPoderia se comportarComo uma rede de difração
Difração de raios X
Colimador Filme fotográfico
CristalTubo de raios-x
Raios-x
Figura de Laue
Pontos de Laue
m10A1 10o
−=≈λ
A lei de Bragg
Posições dos máximos
Plano superior
Plano inferior
Feixe incidente
Feixe refletido
Lei de Bragg
,...3,2,1m =θ é definido em relação a superfície refletora
λ=θ mdsen2
Para qualquer ângulo de incidência θ sempre haverá uma família de planos refletores.Nos 2 casos acima a estrutura cristalina tem a mesma orientação, mas o ângulo de incidência são diferentes. θ está relacionado com uma família de planos com separação d
λ=θ mdsen2
λ=θ mdsen2
A difração de raios X é um excelente método para:
– Analisar o espectro de raios X:• Usa-se um cristal com estrutura cristalina conhecida (d),
medindo I(θ) e θ, determina-se os λ’s
– Determinar a estrutura cristalina:• Usa-se raios X monocromático com λ conhecido e mede-se
o ângulo θ correspondente a um dado m, determina-se d e depois o a0 da célula unitária.
mdsen2 θ
=λ
θλ
=sen2md
Exercícios
37-53E. Raios-X de comprimento de onda de 0,12 nm sofrem reflexão de segunda ordem em um cristal de fluoreto de lítio para um ângulo de Bragg de 28o. Qual é a distância interplanar dos planos cristalinos responsáveis pela reflexão?
Dados:
m10x2,1nm12,0 10−==λ °=θ 28
nm26,0)28(xsen2
10x2,1x2sen2md
10=
°=
θλ
=−
2m =
Referências Bibliográficas
Livro texto:– Fundamentos de Física
• Halliday, Resnick e Walker• Vol. 4: Óptica e Física Moderna• 7a. edição