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ESTATÍSTICA APLICADA
2. Estimativas Pontuais
A inferência estatística é em geral dividida em estimação e testes de hipóteses. Em estimação
pretende-se escolher um valor de um parâmetro de um conjunto possível de alternativas. Em geral,
uma estatística é usada para estimar um parâmetro populacional e, por isso, constitui uma estimativa
pontual do referido parâmetro. Assim, exemplos de estimativas pontuais são a média amostral, a
proporção amostral ou a variância amostral, usadas para estimar, respectivamente, a média de uma
população, a proporção de uma distribuição binomial ou a variância de uma população. Estas
estimativas fornecem um valor pontual para o parâmetro a estimar, sendo também referidas como
estimadores. Assim, a média aritmética x é um estimador de µ , assim como é um estimador de 2s2σ .
Contudo, como um estimador é o resultado de uma amostra aleatória, possui, portanto, uma
distribuição amostral. A distribuição da média amostral será aproximadamente normal, centrada em
µ . A figura 2.1 mostra uma possível distribuição da média amostral.
Figura 2.1-Distribuição de um estimador centrado.
Como os estimadores são variáveis aleatórias, importa estudar as suas propriedades estatísticas, por
forma a definir com maior certeza quão próxima está a estimativa do parâmetro que se pretende
estimar, ou em face de vários estimadores possíveis, qual o melhor. Estas propriedades são as
seguintes: não enviesamento, consistência e eficiência relativa.
Definição 2.1
Um estimador é um estimador não enviesado de θ̂ θ se e só se ˆE θ θ= .
O enviesamento de um estimador é dado pela diferença θ̂ ˆE θ θ− .
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2. Estimativas Pontuais
Figura 2.2-Distribuição de dois estimadores, com e sem tendência.
Assim, o teorema 1.1 mostra que a média aritmética x é um estimador não enviesado para µ. Um
estimador não tendencioso possui, portanto, uma distribuição amostral centrada no parâmetro a ser
estimado. Na figura 1 o estimador A é não tendencioso e o estimador B apresenta um enviesamento.
Por outro lado, a figura 2 fornece as distribuições amostrais de dois estimadores não enviesados,
mas com diferentes variâncias.
Figura 2.3-Dsitribuição de dois estimadores não tendenciosos.
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2. Estimativas Pontuais
Exemplo 2.1
Seja x uma variável aleatória com distribuição binomial. Mostre que x n , a proporção observada de
sucessos, é um estimador não tendencioso do parâmetro p . Calcule a variância do estimador.
Solução
[ ] pnpn
xEnn
xE ===
11
[ ] ( ) ( )2 2
11 1 1p pxV V x np p
n n n n− = = − =
Exemplo 2.2
Sejam 1 2, , , nx x … x uma amostra aleatória de uma população normal com média µ e variância 2σ .
Mostre que a variância amostral , é um estimador não tendencioso de 2s 2σ .
Solução
( )∑= −
−=
n
i
i
nxxs
1
22
1
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
−+−−−−
−=
−+−−−−−
=
−−−−
=−+−−
=
∑ ∑
∑
∑∑
= =
=
==
n
i
n
iii
n
iii
n
ii
n
ii
xnxxxn
xxxxn
xxn
xxn
s
1
2
1
2
1
22
1
2
1
22
21
1
21
11
11
1
µµµµ
µµµµ
µµµµ
Contudo,
( ) ( ) ( ) ( )21
1222 µ
µµµµ −−=
−
−−=−−−∑
∑ =
=
xnn
nxnxxx
n
iin
ii .
Logo,
( )
−−−
−= ∑
=
n
ii xnx
ns
1
222 )(1
1 µµ .
Como cada ix é um valor seleccionado de uma população com média µ e variância 2σ , então
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2. Estimativas Pontuais
( ) ( )
( )
2 2
22 2
1, 2,....i
x
E x i
E xn
µ σ
σµ σ
− = =
− = =
n.
Assim, o valor esperado de s2 é dado por,
[ ] ( )
( )[ ]
2
1
22
2
1
2
1
222
11
)(1
1
)(1
1
σ
σσ
µµ
µµ
=
−
−=
−−
−
−=
−−−
−=
∑
∑
∑
=
=
=
n
i
n
ii
n
ii
nn
n
xnExEn
xnxn
EsE
.
Fica assim demonstrado que é um estimador não tendencioso de 2s 2σ , qualquer que seja a forma
da distribuição da população amostrada, bem como a razão do uso do divisor -1 na fórmula de
cálculo da variância amostral. Convém notar, contudo, que não é um estimador não tendencioso
de
ns
σ , dado que, debaixo de transformações funcionais, o não enviesamento de um estimador nem
sempre é conservado.
Um estimador não é somente avaliado em termos do enviesamento, mas também com base na sua
variância. Nesse sentido, pretende-se que o estimador seja tão concentrado quanto possível à volta
do parâmetro a estimar. Um estimador, cujos valores se aproximam do parâmetro a estimar à medida
que n aumenta, é dito consistente.
Definição 2.2
O estimador é um estimador consistente do parâmetro θ̂ θ se e só se, para qualquer constante
positiva ε,
( )ˆlim 1n P θ θ ε→∞ − < →.
Um estimador é consistente se verificar as seguintes condições suficientes, mas não necessárias: θ̂
1. é não tendencioso. θ̂
2. V à medida que . ˆ 0θ → ∞→n
Convém notar que a consistência é uma propriedade assimptótica que não explicita a rapidez da
convergência, sendo no entanto mais fácil de analisar do que a eficiência.
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2. Estimativas Pontuais
Exemplo 2.3
Mostre que a média aritmética x é um estimador consistente da média µ .
Solução
A média x é um estimador não tendencioso cuja variância
[ ] 02
→=n
xV σ quando . ∞→n
Entre dois estimadores não enviesados, como os da figura 2.3, o estimador A é preferível ao
estimador B, porque apresenta uma menor variância. A definição de eficiência permite comparar dois
estimadores não tendenciosos e , através da razão das variâncias, 1̂θ 2θ̂
1
2
ˆ
ˆV
V
θ
θ
.
Contudo, quando se pretende comparar um estimador tendencioso com um outro não enviesado, ou
mesmo um outro tendencioso, é necessário conjugar a tendência com a variância do estimador.
Assim, por exemplo, na figura 2.4 são apresentados três estimadores. Poderá ser justificada a
escolha do estimador C em virtude de apresentar uma menor variância, apesar de um grande
enviesamento. No entanto, e para que a escolha não seja subjectiva, é possível usar um critério que
combina a tendência com a variância. Esse critério, para um estimador , denominado como Erro
Quadrático Médio (EQM), é definido através da seguinte expressão,
θ̂
( )2ˆ ˆEQM E V E ˆθ θ θ θ= − = − − θ .
Assim, a eficiência de dois quaisquer estimadores pode ser calculada através da razão dos erros
quadráticos médios. Para o caso de dois estimadores não tendenciosos, esta razão é equivalente à
razão das variâncias.
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2. Estimativas Pontuais
Figura 2.4-Comparação entre estimadores.
MÉTODO DOS MOMENTOS
Um dos métodos mais antigos para gerar estimadores pontuais é o chamado método dos
momentos, que tem por base o facto de que o momento de ordem , definido na origem, de uma
variável aleatória é . O momento de ordem para uma amostra pode ser definido de
forma semelhante.
kk
k E Xµ′ = k
Definição 2.2
O momento de ordem de um conjunto de observações, é a média da potência de ordem ,
simbolicamente representada por ,
k k
km′
1
nki
ik
xm
n=′ =∑
Assim, para o caso k =1, o primeiro momento populacional é µ e o correspondente momento
amostral é x . Para uma qualquer população definida por p parâmetros, o método dos momentos
consiste em resolver um sistema de p equações, m k 1,2 ,k k , pµ′ ′= = … .
Exemplo 2.4 Considere uma amostra de tamanho de uma população gama, cuja função densidade de
probabilidade é dada por
n
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2. Estimativas Pontuais
( )11 0, 0, 0
( )0
xx e xf x
outros valores
α βα α β
β α− − > > > Γ=
sendo os momentos de ordem k, centrados na origem, dados por
( )( )
k
k
kβ αµ
αΓ +
′ =Γ
.
Use o método dos momentos para estimar os parâmetros α e β .
Solução
A função gama satisfaz a seguinte relação recursiva
( ) ( ) ( )1 1α α αΓ = − Γ −
e os primeiros momentos são
[ ]
( )2 21
E x
E x
αβ
α α β
=
= + .
Logo,
( )
12
2 1mm
αβ
α α β
′ = ′′ = +
e as correspondentes estimativas,
( )( )( )
21
22 1
22 1
1
ˆ
ˆ
mm m
m mm
α
β
′=
′ ′−
′ ′ −= ′
e como 1 x′ =m e 22
1
n
ii
m x=
′ = ∑ n
( )
( )
2
2
1
2
1
1
ˆ
ˆ
n
iin
ii
nx
x x
x x
nx
α
β
=
=
=
− −
=
∑
∑.
O método de estimação baseado nos momentos, apesar da sua simplicidade, tem desvantagens
quando comparado com o método da máxima verosimilhança, já que em alguns casos, as estimativas
produzidas não possuem as propriedades desejáveis de um estimador.
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MÉTODO DA MÁXIMA VEROSIMILHANÇA
Um dos melhores métodos para gerar estatísticas pontuais é o chamado método da Máxima
Verosimilhança desenvolvido por R. A. Fisher. Entre outras vantagens, Fisher demonstrou que os
estimadores gerados por este método eram suficientes, não tendenciosos e assimptoticamente de
variância mínima.
Para compreender o método, considere-se o seguinte exemplo. Uma urna contém um grande número
de bolas vermelhas e negras, na proporção de 3:1. Contudo, não se sabe qual das cores está
presente em maioria, se a vermelha se a negra. Para o efeito, uma amostra de 3 bolas é retirada
dessa urna. Assim, os resultados possíveis são (nº de bolas vermelhas, nº de bolas negras): (3,0);
(2,1); (1,2); (0,3). Para um grande número de bolas dentro da urna, as probabilidades podem ser
descritas por uma distribuição binomial. Contudo, as probabilidades associadas a cada um dos
eventos dependem de qual a cor presente em maioria. Se a cor maioritária for a vermelha, então a
probabilidade de retirar uma bola vermelha é p=3/4, caso contrário é p=1/4.
Nº de bolas vermelhas
0
1
2
3
p=3/4 1/64 9/64 27/64 27/64
p=1/4 27/64 27/64 9/64 1/64
A tabela lista as probabilidades de todos os acontecimentos possíveis, para os dois casos de cor
maioritária vermelha ou negra. Se, por exemplo, o resultado observado fosse 2 bolas vermelhas, a
maior probabilidade de tal ocorrência resulta da situação em que a cor vermelha é maioritária (27/64
contra 9/64), ou seja, tal favoreceria a escolha de p=3/4; inversamente, a ocorrência de 0 bolas
vermelhas, favoreceria a escolha de uma maioria de bolas negras, já que para esta situação a
probabilidade é muito maior (27/64 contra 1/64). Neste caso, esta tabela poderá ser vista como uma
tabela de decisão, em que o resultado 2 ou 3 favorece a hipótese vermelha, enquanto que um
resultado de 0 ou 1 favoreceria a escolha oposta.
Em resumo, com base nos valores observados na amostra aleatória, é escolhido um valor para a
estimativa que maximiza a probabilidade de obter aqueles dados. Assim, no caso discreto, uma
amostra aleatória de observações, n 1 2, , , nx x … x , com uma função de probabilidade dependente de
um parâmetro θ , então a probabilidade de observar estes valores independentes é dada por, n
1 2 1 2 1 2( , ,..., ) ( ) ( )... ( ) ( , ,..., ; )n nP x x x P x P x P x f x x xn θ= =
que corresponde à distribuição de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias no ponto amostral
( 1 2, , , nx x … x ). Dado que os valores de 1 2, , , nx x … x , são conhecidos, esta função depende de θ , e
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2. Estimativas Pontuais
é referida como função de verosimilhança. No caso contínuo, 1 2( , ,..., ; )nf x x x θ , representa a função
de densidade conjunta no ponto ( 1 2, , , nx x … x ). Fisher sugeriu que o valor de θ devia ser escolhido
por forma a maximizar esta função.
( )L f )xθ θ=
1 2( , ,f x x
1 2, , , nx x…
(1( ; )
0f x p
=
0,1xvalores
− =
1 21 1 ... 1nx x xp− −
ln
Definição 2.3
Se 1 2, , , nx x … x são os valores de uma amostra aleatória de uma população com parâmetroθ , a
função de verosimilhança é dada por,
1 2( , ,..., ;nx x
para valores de θ no domínio dado. ..., ; )nx θ é o valor da função de probabilidade conjunta
ou a função de densidade conjunta das variáveis aleatórias x observadas.
Assim, o método da máxima verosimilhança consiste na maximização da função de verosimilhança, e
por via do cálculo diferencial, no caso de um só parâmetro θ , o valor que anula a primeira derivada,
a que corresponde ao máximo.
Exemplo 2.5 Seja x uma variável aleatória de Bernoulli. A função de probabilidade é dada por
1)x xp poutros
−
onde p é o parâmetro a ser estimado.
Solução
( ) ( ) ( )
( )
( )
1 2
11
1
1
( ) 1 1
1
1
n
ii
nn
iii
i
x x
nxx
i
xn x
L p p p p p p
p p
p p==
−
=
−
= − − −
= −
∑ ∑= −
∏
1 x−
O máximo de ( )L p é também o máximo de ( )L p . Assim,
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ESTATÍSTICA APLICADA
2. Estimativas Pontuais
( )
( )
1 1
11
1
ln ( ) ln ln 1
ln1
ˆ
n n
i ii i
nn
iiii
n
ii
L p x p n x p
n xxd L pdp p p
xp
n
= =
==
=
= + −
− = −
−
=
∑ ∑
∑∑
∑
−
.
Exemplo 2.6
Seja x uma variável aleatória exponencial com parâmetro λ . Calcule o estimador de máxima
verosimilhança para o parâmetro λ , com base numa amostra de tamanho . Considere, em
seguida, uma amostra de =10 valores respeitantes ao tempo de vida (em horas) de um
componente eléctrico (8.2, 40.5, 3.9, 7.7, 7.1, 3.3, 4.3, 25.4, 5.2,1.0). Estime o valor do
parâmetro
nn
λ com base nestes 10 valores.
Solução
1
1 2
1
1
1
1
( ) ( ) ( )... ( )
( )
ln ( ) ln
ln ( )
1ˆ
n
ii i
n
n xx n
in
ii
n
ii
n
ii
L f x f x f x
L e e
L n x
d L n xdn
xx
λλ
λ
λ λ λ
λ λ λ
λλ λ
λ
=
−−
=
=
=
=
=
∑= =
= −
= −
= =
∏
∑
∑
∑
1ˆ10.66 0.09410.66
x λ= ⇒ = = .
Os valores apresentados foram gerados a partir de uma distribuição exponencial com λ =0.1, e como
se pode ver pelo gráfico da Figura 2.5, o máximo do logaritmo da função de verosimilhança ocorre
para λ̂ =0.094.
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2. Estimativas Pontuais
Figura 2.5-Função de verosimilhança para o exemplo 2.6.
Podem surgir, contudo, algumas situações em que poderá não ser fácil a aplicação do método da
máxima verosimilhança, nomeadamente nas situações em que não seja possível obter a derivada da
função de verosimilhança.
Exemplo 2.7
Sejam 1 2, , , nx x …
a
x os valores de uma amostra de uma distribuição uniforme, com parâmetros
0,α β == . Encontre o estimador de máxima verosimilhança para . a
Solução
A função densidade de probabilidade é dada por 1( ; )f x aa
= e a a função de máxima
verosimilhança por
1
1( ) ( ; )nn
ii
L a f x aa=
= =
∏ .
O valor da função da função de verosimilhança cresce à medida que a decresce. Contudo, para
qualquer valor observado, 0 ix a≤ ≤ , logo a não pode ser menor que qualquer valor da amostra, e a
função atinge o seu máximo quando a é igual ao maior dos valores na amostra, isto é, .
Esta situação é ilustrada na figura 2.6, e como se pode ver, as regras do cálculo não se podem
aplicar nesta situação, já que o máximo ocorre num ponto de descontinuidade.
ˆ max( )ia x=
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2. Estimativas Pontuais
Figura 2.6-Função de verosimilhança para o exemplo 2.7.
Finalmente, importa referir, em jeito de resumo, algumas das propriedades mais importantes dos
estimadores de máxima verosimilhança.
Propriedades dos Estimadores de Máxima Versosimilhança
Em condições muito gerais, quando a dimensão da amostra é grande e se n θ̂ é o estimador de
máxima verosimilhança do parâmetro θ , então
a) θ̂ é aproximadamente um estimador não tendencioso;
b) a variância de θ̂ é quase tão pequena quanto a variância que poderia ser obtida com qualquer
outro estimador;
c) θ̂ tem uma distribuição aproximadamente normal.
Propriedade da Invariância
Sejam 1 2ˆ ˆ ˆ, , , kθ θ … θ os estimadores de máxima verosimilhança dos parâmetros 1 2, , , kθ θ … θ . Então,
o estimador de máxima verosimilhança de qualquer função ( )1 2, , , kh θ θ θ… destes parâmetros é a
mesma função ( 1 2ˆ ˆ ˆ, , , k )h θ θ θ… dos estimadores 1 2
ˆ ˆ, , , k̂θ θ θ… .
Existem outras técnicas de estimação, nomeadamente o método dos mínimos quadrados, que será
abordado no capítulo de regressão. Outras técnicas incluem os estimadores robustos [Hoaglin,
Mosteller and Tukey (1992)], os estimadores “jacknife” e os estimadores bayesianos [Mendenhall,
Wackerly and Scheaffer (1989)].
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ESTATÍSTICA APLICADA
2. Estimativas Pontuais
EXERCÍCIOS 1. Considerando uma amostra aleatória de dimensão , encontre o estimador de máxima
verosimilhança para o parâmetro
nλ
( ) 0,1,2,!
xef x xx
λλ−
= = …
da distribuição de probabilidade de Poisson.
2. Considerando uma amostra aleatória de dimensão , encontre os estimadores de máxima
verosimilhança para os parâmetros
n
µ e 2σ 21
21( )2
, 0
x
f x e xµ
σ
πσµ σ
− − = −∞ ≤ ≤ ∞
−∞ ≤ ≤ ∞ >
da distribuição normal.
3. Considerando uma amostra aleatória de dimensão , encontre o estimador de máxima
verosimilhança para o parâmetro
nα da seguinte distribuição de probabilidade,
( )1 0( )
01x x
f xoutros valores
αα + < <=
.
4. Numa experiência binomial, foram observados x sucessos em tentativas. Encontre o estimador
de máxima verosimilhança para o parâmetro
np
( ) (1 ) 0,1,2, ,n x n xxf x C p p x−= − = … n
da distribuição binomial. É o estimador tendencioso?