Post on 21-Apr-2015
Cap. 3 – Estática dos fluidos
3.1 – Equação básica
Forças de massa (ou de campo) dV..gdm.gFd m
y
p
p
2
dy
y
pp
2
dy
y
pp
dy
y
x
z
p dA.2
dy
y
pp
dA.2
dy
y
pp
y
x
z
p )j(dz.dx.2
dy
y
pp
)j(dz.dx.
2
dy
y
pp
)j(dz.dx.2
dy
y
pp)j(dz.dx.
2
dy
y
ppFd yS
)j(dVy
p)j(dz.dx.dy
y
pFd yS
dV.g.dm.gFd m
k.dVz
pj.dV
y
pi.dV
x
pFdFdFdFd zSySxSS
dV.kz
pj
y
pi
x
pFd S
dV.pdV).pgrad(Fd S
dV).g.p(Fd
Força total atuando em um elemento de fluido:
dm.aFd
Fluido estático : 0a
0dV).g.p(
Força total atuando em um elemento de fluido = 0
0g.z
p
0g.y
p
0g.x
p
z
y
x
0g.p
Equação Básica
y
x
z
Se o sistema de coordenadas for posicionado de tal maneira que o eixo z coincida com a vertical e direcionado para cima, tem-se:
g gg0g0g zyx
g.z
p
0y
p
0x
p
3.2 – Variação da pressão em um fluido estático
g.dz
dp
Peso específico do fluido 3m/N][
dz.dp
dz.dp2
1
2
1
z
z
p
p
y
x
z
g
11 z,p
22 z,p
)zz.(pp 1212
h.pp 21
Pressão absoluta: Pressão positiva a partir do vácuo completo.
Pressão manométrica ou relativa: Diferença entre a pressão medida e a pressão atmosférica local.
Escalas de pressão
0 (vácuo absoluto)
p-atm (pressão atmosférica local)
p
p
Manômetro de coluna(medição de pressão)
111 hp
1
2
1h2h
ATM22 ph
?p1 ATMp
ATM11221 phhp
A pressão absoluta, p1, será conhecida se for conhecida a
pressão atmosférica local, pATM, bem como as demais grandezas.
1122ATM1r1 hhppp
A pressão relativa, p1r , é obtida ao passarmos o termo da pressão atmosférica local, pATM, para
o lado esquerdo da equação:
3.3 – Atmosfera padrão
Unidades de pressão:
- mmHg (milimetros de mercúrio)- mH20 (metro de água)- psi (libras por polegada quadrada)- kgf/cm2 (quilograma-força por centímetro quadrado)- Pascal (N/m2)- bar (105 N/m2) - mbar (102 N/m2)
CNTP temperatura e pressão de 273,15 K e 101.325 Pa
CPTP (Condições Padrão de Temperatura e Pressão),com valores de temperatura e pressão de 273,15 K (0 °C) e 100 000 Pa = 1 bar.
Exemplo: Calcule a pressão atmosférica em Curitiba e em uma localidade à 3.000 m de altitude, considerando que ao nivel do mar a temperatura é 30 oC e a pressão atmosférica é 101,325 N/m2, e que a temperatura do ar decresce 65 oC a cada 10 km de altura.
gdz
dp RTp )zz(mTT 00
z.mTT 0
mdz
dT
gRT
p
dz
dp
T
dz
R
g
p
dp
dT.m
1dz
T
dT
R.m
g
p
dp
1
0
1
0
1
0 T
dT
R.m
g
T
dT
R.m
g
p
dp
T
T
p
p 00Tln
R.m
gpln
00 T
Tln.
R.m
g
p
pln
z.mTT 0 000.10m65 ]m/K[10x5,6m 3
00 T
Tln.
R.m
g
p
pln 00 TlnTln.
R.m
gplnpln
25,5287.10x5,6
8,9
)97,28/314.8.(10x5,6
8,9
R.m
g33
)15,303(lnTln.25,5)325.101(lnpln
71,5Tln.25,552,11pln 45,18Tln.25,5pln
Curitibaz=920 m.
K17,297C02,2498,530920.10x5,630T o3
]Pa[967.92eep 44,1145,18Tln.25,5
]mbar[930]bar[93,0p
C5,105,1930000.3x10x5,630T o3 ]mbar[730p
3.4 – Sistemas hidráulicos
3.5 – Forças hidrostáticas sobre superfícies submersas
Comporta tipo Segmento Comporta tipo Vagão
Comporta tipo basculante com acionamento hidráulico
Comporta tipo basculante com acionamento por correntes
Comporta tipo basculante com acionamento hidráulico
Contra-peso para facilitar acionamento de comporta
h
(sobre a) Estrutura
p
Ad
(sobre o) Fluido
Ad.pFd
Fd
h
Forças na Estrutura
h = y - h1y
h.p
(sistema de referência)
L
A
R Ad.pF
Força resultante na estrutura
(elemento de área na estrutura)
x
)i.(dh.LAd
dh
)i(2
hLF
H
0
2
R
H
0
H
0R )i.(dh.L.h)i.(dh.L.pF
H
)i(2
LHF
2
R
h
Ponto de aplicação da força resultante
na estruturay
L
AAA
R dh.h.L.ph.dA.ph.dF´y.F
Momento da força resultante em torno do ponto O (por exemplo) é equivalente ao
momento das forças de pressão em torno de O.
x
dhH
O
y´ é a posição na vertical (linha tracejada vermelha) do ponto de aplicação da força resultante, FR.
H
0
22
dh.h.L.´y.2
LH
3
Hdh.h´y.
2
H 3H
0
22
H3
2´y
A
Exemplo 1: Calcular as reações nos apoios da comporta plana vertical, de profundidade W , da figura:
H
X
1h
2h
)i(dh.W.h.)i(dh.W.pFd p
Força no elemento de área da estrutura
O
h
y
h=y+h1 dh=dy
Sistema de referência:
xxOF
yAF xAF
yOF yAxAyOxO F;F;F;F
Incógnitas: 4 componentes de reações nos apoios
A) Cálculo da resultante das forças de pressão na estrutura
A
p
A
R FdAd.pF
Resultante das forças de pressão na estrutura )i(
2
WH)i(dh.h.WF
2H
0R
H
A
X
1h
2h
O
h
y
xxOF
yAF xAF
yOF
B) Balanço das forças que atuam na estrutura:
0FFF:x.dir RxAxO
0FF:y.dir yAyO RF
C) Balanço dos momentos nos apoios da estrutura:
0MO 0MA
+
0y.dFh.FX.FM p2xAyAO
0r.dFh.FX.FM p2xOyOA
r
H
A
X
1h
2h
O
h
y
xxOF
yAF xAF
yOF RF
+
?y.dFp
r
)i(dh.h.W.Fd p
Ap y.hdh.Wy.dF
H
0 1p )hh.(dh.hWy.dF
H
0 12
p dh).h.hh(Wy.dF
2
Hh
3
HWy.dF
2
1
3
p
3*p WHy.dF
H
A
X
1h
2h
O
h
y
xxOF
yAF xAF
yOF RF
+
?r.dFp
r
)i(dh.h.W.Fd p
Ap r.hdh.Wr.dF
H
0p )hH.(dh.hWr.dF
H
0
2p dh).hHh(Wr.dF
3
H
2
HWr.dF
33
p 6
WHr.dF
3
p
D) Sistema de equações final
02
WHFF:x.dir
2
AxOx
0FF:y.dir AyOy
02
Hh
3
HWh.FX.F:M
2
1
3
2AxAyO
06
WHh.FX.F:M
3
2OxOyA
]m/N[10 34
E) Dados
W=6 [m] H=6 [m] h1=3 [m]
X=12 [m]
010x08,1FF 6AxOx
0FF AyOy
010x08,13.F12.F 6AxAy
010x16,23.F12.F 6OxOy
6AxOx 10x08,1FF
010x08,13.F12.F 6AxAy
010x16,23.F12.F 6OxAy
010x08,13.F12.F 6AxAy
010x08,13.F12.F 6AxAy
Sistema estaticamente indeterminado
H
A
X
1h
2h
Oh
y
xOxF
AyF
OyFRF
Nestas condições, é normal admitir que o apoio em A não transmite forças na direção
horizontal, e portanto:
0FAx
]N[10x08,1F 6Ox
]N[10x9F 4Oy
]N[10x9F 4Ay
]tf[108FOx
]tf[9FOy
]tf[9FAy
010x08,1FF:x.dir 6AxOx
0FF:y.dir AyOy
010x08,13.F12.F:M 6AxAyO
Exemplo 2: Calcular as reações nos apoios da comporta plana inclinada, de profundidade W, da figura abaixo:
x
h
y
A
O
D
L
xOF
yOF
Diagrama de corpo livre:
xAF
yAF
x
h
y
A
O
D
L
l
A) Cálculo da força resultante devido à pressão do fluido
A
p
A
yRxRR FdAd.pFFF
yx AdAdAd
)j.(cos.dA)i.(sen.dAAd
d.WdA
L
0A
yR
L
0A
xR
)j.(cos.d.W.h)j.(cos.dA.pF
)i.(sen.d.W.h)i.(sen.dA.pF
x
h
y
A
O
D
L
l
L
0yR
L
0xR
)j.(d.h.cos.W.F
)i.(d.h.sen.W.F
L
0yR
L
0xR
)j.(d).sen.D(.cos.W.F
)i.(d).sen.D(.sen.W.F
sen2
LDLd).sen.D(
2L
0
)j(sen2
LDL.cos.W.F
)i(sen2
LDL.sen.W.F
2
yR
2
xR
B) Balanço das forças que atuam na estrutura:
0FF:x.dir xRxO
0FFF:y.dir yRyAyO
xOF
yOF
Diagrama de corpo livre:
xAF
yAF
xy
Para que o sistema não seja estaticamente indeterminado, consideraremos:
0F xA
0
RF
C) Balanço dos momentos no apoio da estrutura:
0MO
+
0.dFT.FM pyAO
T
l
0.dA.pT.FA
yA
xOF
yOF
yAF
xy
T
l
h
D AA
yA .d.W.h.dA.pT.F
A
yA .d.W).senD(T.F
L
0yA d.).senD(WT.F
L
0
32
yA sen32
DWT.F
sen
3
L
2
DLWcosL.F
32
yA
D) Sistema de equações final
sen3
L
2
DL
cos
WF
2
yA
sen
2
LDL.sen.W.F
2
xO
yA
2
yO Fsen2
LDL.cos.W.F
]m/N[10 34E) Dados
W=1 [m] =30 o L=4 [m]D=2 [m]
xOF
yOF
yAF
xy
T
l
h
D
A
RF
xOF
yOF
yAF
h
D=2 m
A
RF
]N[10x7,76
1642
3
10F 4
4
yA
]N[10x65,02
168
2
10F 4
4
xO
44
yO 10x7,75,02
168.3
2
10F
L=4 m
W=1 m
]N[10x7,2F 4yO
]tf[7,7F yA
]tf[6F xO
]tf[7,2F yO
Método simplificado utilizando propriedades geométricas das superfícies planas
RF
A
R dAhF
A
R dA.ysen.F
A
R dA.ysenF
A
dA.y
Momento de primeira ordem da área A em
relação ao eixo x
AysenF CR
yc é a coordenada do centróide da área medida a partir do eixo x que passa por 0 (nível do fluido)
AhF CR
Módulo Força Resultante:
RFy.dAhyF
A
RR
A
2RR dAseny.yF
A
A
2
RdA.ysen
dA.ysen
y
A
2 dA.y
Momento de segunda ordem da área A em
relação ao eixo x
Ponto de Aplicação da Força Resultante, yR:
A.y
dA.y
yc
A
2
R
A.y
I
c
x
2cxcx y.AII c
c
xcR y
Ay
Iy
RFx.dAhxF
A
RR
A
RR dAxysen.xF
A
AR
dA.ysen
dA.xysen
x
A
dA.xy
Produto de Inércia da área A em relação aos
eixos x e y
Ponto de Aplicação da Força Resultante, xR:
A.y
dA.xy
xc
AR
A.y
I
c
xy
ccxycxy yx.AII cc
xycR x
Ay
Ix
Exemplo 3: Calcular as reações nos apoios da comporta plana inclinada, de profundidade W, da figura abaixo:
h
A
B
D
L
xBF
yBF
Diagrama de corpo livre:
yAF
3.6 – Empuxo e estabilidade
dV
E dV.E
Empuxo = Peso Específico do fluido x Volume deslocado
]m].[m/N[]N[ 33
Exemplo : Determine a massa específica de um corpo que, ao ser mergulhado em óleo de densidade igual a 0,8 , se equilibra com 20% do seu volume acima da superfície do fluido (despreze o efeito do empuxo na atmosfera)
Eg.m
Em equilíbrio:Força peso = Empuxo
FluidoDSólidoT .Vg..V
SólidoFluido
g..V.8,0g..V FluidoTSólidoT
g).x8,0.(V.8,0g..V ÁguaTSólidoT
ÁguaSólido 64,0
3.7 – Fluidos em movimento de corpo rígido
dm.aFd
Fluido não está estático : 0a
dV..adV).g.p(
dV).g.p(Fd
Força total atuando em um elemento de fluido:
ag.p
zz
yy
xx
a.g.z
p
a.g.y
p
a.g.x
p
Gradiente de uma grandeza escalar em:
kz
pj
y
pi
x
pp
Coordenadas cartesianas:
zz
pp
r
1r
r
pp
Coordenadas cilíndricas:
Exemplo: Determine a borda livre da lateral de um reservatório retangular para transportar água sem transbordar quando sujeito a uma aceleração de 3 vezes a aceleração da gravidade na direção horizontal.
H
nHg
g
a
3H
00z
p
0g.y
p
g3.0x
p
g
a
x
y
gy
p
g3x
p )y,x(pp Campo de pressão
dyy
pdx
x
pdp
0dp Na superfície livre a pressão é constante, portanto:
0dyy
pdx
x
p
0dy.gdx.g3
zz
yy
xx
a.g.z
p
a.g.y
p
a.g.x
p
dx.g3dy.g 3dx
dydx.3dy
x
y
1
3
H
nH
3H
FinalInicial VV
2
1
3
)nHH()nHH(WH.W.3 2
H+nH
6
)n1(H).n1(HH3 2
2)n1(18
24,3123n