Cap. 1 - Tensão

Resistência dos Materiais Curso de Engenharia Civil

Universidade Federal do Rio Grande Escola de Engenharia 1/49

TENSÃO 1

Faremos uma revisão dos princípios importantes da estática e mostraremos como eles são usados para determinar

os esforços internos em um corpo.

Além disso, apresentaremos os conceitos de tensão normal, tensão de

cisalhamento e tensão admissível

Objetivos:

1.1 Introdução 1.2 Equilíbrio de um Corpo Deformável 1.3 Tensão 1.4 Tensão Normal Média 1.5 Tensão de Cisalhamento Média 1.6 Tensão Admissível

1.1 Introdução

A Resistência dos Materiais é um ramo da Mecânica que estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que

atuam dentro do corpo (Hibbeler, 2004).

A Mecânica dos Materiais é um ramo da Mecânica que lida com o comportamento dos corpos sólidos sujeitos a diversos tipos de carregamentos. Tem como finalidade determinar tensões, deformações e deslocamentos nas

estruturas e em seus componentes (Gere, 2003).

A Mecânica dos Sólidos tem como objetivo principal fornecer ao engenheiro os meios que possibilitam analisar e projetar máquinas e estruturas (Beer e Johnston, 1982).

No projeto de qualquer estrutura ou máquina, em

primeiro lugar, é necessário usar os princípios da estática para determinar as forças que

agem sobre os vários elementos e em seu interior.

O tamanho dos elementos, sua deflexão e estabilidade dependem não só das forças internas, mas

também do tipo de material de que são feitos. Assim, conhecer o comportamento do material é fundamental na disciplina de

Resistência dos Materiais.

1.2 Equilíbrio de um Corpo Deformável

( )∑ ∑∑

Equações de Equilíbrio:

Para um corpo em equilíbrio estático, as forças e momentos

externos são anulados e não produzem nenhum movimento de translação ou rotação no corpo.

A condição necessária e suficiente para o

equilíbrio estático de um corpo é que a força

resultante e o momento resultante de todas forças externas formam um sistema equivalente a zero.

∑∑∑

Para estruturas tridimensionais, o equilíbrio estático é verificado se decompormos as duas equações de equilíbrio segundo 3 eixos cartesianos ortogonais,

resultando em 6 equações de equilíbrio.

∑∑∑

FSendo A um

ponto qualquer no plano da estrutura.

E, em estruturas bidimensionais, se todas as forças e momentos atuam

no plano da estrutura, então:

Assim as equações de equilíbrio ficam reduzidas a:

Tipos de apoios em uma estrutura plana

Apoio equivalente a

uma força (reação) com linha de ação

definida.

Apoio do 1º gênero

Balancim de ponte: apoio do 1º gênero

Apoio equivalente a uma força (reação)

com direção desconhecida.

Vinculação de uma pá de retroescavadeira:

apoio do 2º gênero ou rótula

Apoio equivalente a uma força (reação) de direção desconhecida

e um momento.

ou engaste

Fixação de uma estrutura: apoio do 3º gênero ou engaste

Cabe destacar que a aplicação correta das equações de equilíbrio exige a especificação completa de todas as forças conhecidas ou

desconhecidas que agem sobre o corpo.

A melhor maneira de levar em conta essas forças é desenhar o diagrama de

corpo livre do elemento estrutural.

Esforços Internos

Os esforços internos são as forças e

momentos necessários para

manter a integridade de um corpo que está submetido a um conjunto de forças externas.

Método das Seções

Para obtermos as solicitações internas que agem sobre uma

determinada região no interior de um corpo, é necessário aplicarmos o Método das Seções.

1) Desenhar um diagrama de corpo livre da estrutura.

2) Incluir todas as forças externas.

3) Incluir todas as reações de apoio.

4) Dividir a estrutura em duas partes através de

um plano (seção).

5) Tomar isoladamente uma das partes da estrutura.

6) No plano da seção deverão

surgir forças que mantenham a parte isolada da estrutura

em equilíbrio.

( )∑ ∑∑

7) Calcular a força resultante e o momento resultante em relação ao centróide da seção, das forças necessárias para

manter a parte isolada do corpo em equilíbrio.

8) Aplicar as equações de equilíbrio à parte do corpo que foi isolada.

9) Decompor a força resultante e o

momento resultante segundo as direções normal

e tangencial ao plano da seção

transversal.

Esforços Internos Simples

Momento fletor M: é um momento cujo eixo de atuação encontra-se contido no plano da seção. Surge

quando as cargas externas tendem a fletir o corpo em relação a esse eixo.

Esforço normal N: é uma força que atua perperdicularmente ao plano da seção e

segundo o eixo da estrutura. Surge quando as forças externas tendem a empurrar ou

puxar as duas partes do corpo.

Esforço cortante V: é uma força de corte que atua no próprio plano da

seção. Surge quando as cargas externas tendem a provocar o

deslizamento das duas partes do corpo.

Momento torçor T: é um momento cujo eixo de atuação é perpendicular ao plano da seção. Surge quando as cargas externas tendem a torcer uma

parte do corpo em relação à outra.

Estrutura contida em um Plano xoy: Cargas Coplanares

∑∑∑

Se a estrutura e o carregamento estiverem contidos em um único plano, podemos aplicar

também o Método das Seções.

Basta secionar a estrutura e aplicar as equações de equilíbrio bidimensionais.

Esforços simples no Plano xoy

1.3 Tensão O efeito que um lado da seção exerce sobre

o outro pode ser reduzido a uma força resultante e a um momento resultante

aplicados no centróide da seção.

Porém a interação entre os dois lados da seção transversal não

ocorre apenas no ponto do centróide.

Para isso consideramos um elemento de área ∆A muito pequeno.

Sobre este elemento de área atua

apenas uma força elementar ∆F.

É necessário, então, determinarmos como acontece essa interação entre os

dois lados da seção, ponto a ponto.

A força ∆F pode ser

decomposta em ∆Fx, ∆Fy,

e ∆Fz.

Tensão normal: é a força por unidade de área que

atua no sentido perpendicular à ΔA.

0lim Z

σ∆ →

Se a força normal “puxa” o elemento ΔA, temos

uma tensão de tração. Se a força normal

“empurra” o elemento ΔA, temos uma tensão

de compressão.

Tensão de cisalhamento: é a força por unidade de área que atua tangente à ΔA.

0lim x

τ∆ →

0lim y

τ∆ →

O eixo z especifica a orientação da área,

enquanto x e y referem-se às retas de direção

das tensões de cisalhamento.

Surge então o conceito de Tensão:

Estado Geral de Tensão Se o corpo for também

secionado por planos paralelos ao plano x-z e ao plano y-z,

podemos cortar um elemento cúbico do volume do material.

Esse elemento cúbico representa o estado de tensão no

ponto analisado.

Esse estado de tensão é então caracterizado pelos

três componentes que atuam em cada face do elemento.

Estado Geral de Tensão

Nas faces opostas do cubo existem tensões normais de mesmo módulo e sentido oposto, por equilíbrio de forças.

E, nas faces adjacentes do cubo

existem tensões tangenciais de mesmo

módulo e sentido oposto, por equilíbrio

de momentos.

Portanto, são necessárias apenas 6 componentes de tensão para definir o estado geral de tensão em um ponto.

Tensor de tensões simétrico:

Felizmente, na prática, muitos problemas podem ser reduzidos a

um estado plano de tensões.

xyxσττσ

Com isso, é necessário determinar apenas 3

componentes de tensão:

No estado plano de tensões as componentes fora do plano são todas nulas.

Unidades A unidade de tensão no Sistema Internacional de Unidades (SI) é o Newton por metro quadrado (N/m²), ou Pascal (Pa).

= 21 1Pa N m

O Pascal é uma unidade pequena para medir tensões em Engenharia.

Na prática usam-se múltiplos do Pascal:

kPa = 103 Pa (quilopascal)

MPa = 106 Pa (megapascal)

GPa = 109 Pa (gigapascal)

Observação:

62 6 2 2

1 1 10 110

N N N MPamm m m−

1 psi = 0,006895 MPa

1 ksi =6,895 MPa

Conversão de unidades!

Já no Sistema Inglês de Unidades, a tensão é especificada por:

libra por polegada quadrada: psi (pound per square inch)

quilolibra por polegada quadrada: ksi (kilopound per square inch)

2lbpsiin

1000ksi psi=

1.4 Tensão Normal Média Frequentemente,

elementos estruturais ou mecânicos são

compridos e delgados.

Aqui, discutiremos a distribuição de tensão média que atua na seção transversal de

elementos submetidos a solicitações axiais.

Além disso, estão sujeitos a cargas axiais que em

geral estão aplicadas nas extremidades do elemento.

Para isso, é necessário considerarmos duas Hipóteses Simplificadoras:

“A barra deve permanecer reta antes e depois da aplicação da carga e, além

disso, sua seção transversal deve permanecer plana durante a deformação

(mudança de volume e forma).”

Será analisada a região central da barra, evitando as regiões próximas

às cargas aplicadas.

Então, linhas horizontais e verticais deformam-se uniformemente quando a

barra está submetida ao carregamento P.

“Para que a barra sofra uma deformação uniforme, considera-se que a carga P seja aplicada ao longo

do eixo centróide da seção transversal e que o material seja

homogêneo e isotrópico.”

Material homogêneo → possui as mesmas propriedades físicas e mecânicas em todo o seu volume.

Material isotrópico → possui as mesmas propriedades físicas e mecânicas em todas as direções.

A barra está submetida a uma

deformação uniforme constante

Resultado de uma tensão

normal constante

σ → tensão normal média em qualquer ponto da área

da seção transversal; P → resultante da força

normal interna, aplicada no centróide da área da seção

transversal; A → área da seção

transversal da barra.

Portanto:

1.5 Tensão de Cisalhamento Média Já para discutirmos a tensão de

cisalhamento média, vamos considerar que os apoios são

rígidos e que a carga F é suficientemente grande para

provocar deformação e falha da barra ao longo dos planos AB e CD.

O diagrama de corpo livre do segmento central não apoiado da

barra indica que a força de cisalhamento V = F/2 deve ser aplicada em cada seção para

manter o segmento em equilíbrio.

Assim, a tensão de cisalhamento média

distribuída sobre cada área secionada é definida por:

τmed → tensão de cisalhamento média na seção, que se supõe ser a mesma em cada ponto da seção;

V → resultante interna da força de cisalhamento na seção, determinada pelas equações de equilíbrio;

A → área da seção transversal.

Tipos de Cisalhamento

Cisalhamento Simples – considerando as juntas sobrepostas de aço (a) e madeira (c) e os

diagramas de corpo livre (b) e (d), a área de seção transversal do parafuso e a superfície de fixação entre os elementos estão submetidas apenas a

uma força de cisalhamento simples V = F.

Na prática, existem dois tipos de cisalhamento que merecem destaque:

Conexão parafusada na qual o parafuso é

submetido a cisalhamento simples.

Cisalhamento Duplo – considerando as juntas de dupla sobreposição de aço (a) e madeira (c) e os

diagramas de corpo livre (b) e (d), temos uma condição de cisalhamento duplo. Por consequência,

V = F/2 atua em cada área secionada.

Conexão parafusada na qual o parafuso é submetido a cisalhamento duplo.

1.6 Tensão Admissível O engenheiro responsável pelo projeto de elementos estruturais ou mecânicos

deve restringir a tensão do material a um nível seguro.

Para garantir a segurança, é necessário escolher uma tensão

admissível que limite a carga aplicada a um valor menor do que a carga que possa levar o

elemento à ruptura.

Tensão Admissível

Um dos métodos para especificar a carga de projeto de um elemento é usar um número denominado Fator

de Segurança (F.S.). . . rup

Frup → carga de ruptura do material, obtida através de testes experimentais

Fadm → carga admissível

Se a carga aplicada ao elemento for relacionada linearmente à tensão desenvolvida no interior do elemento, como no caso da

tensão normal média e da tensão de cisalhamento média.

σ = medVA

É possível expressar o F.S. como a relação entre a tensão de ruptura e a tensão admissível:

. . rup

admF S

= . . rup

admF S

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