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7/17/2019 Clculo Numrico -Unidade 8 - Integrao Numrica
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AmintasAmintas
engenhariaengenharia
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TIntegrao Numrica
Unidade 8
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Integrao Numrica
Ementa:8.1 Introduo
8.2 Regra dos trapzios
8.3 Primeira Regra de Simpson8.4 Segunda Regra de Simpson
8. !uadratura "aussiana
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8.1 Introduo
#ada uma $uno $%&'( integr)*e+ no inter*a+o
,a(-( de$inimos a integra+ /omo sendo:
0nde %&'$%&'.
as 5uando a $orma ana+6ti/a de %&' $or dedi$6/i+ o-teno( ou 5uando /on7e/ermos
somente *a+ores dis/retos de $%&' %/omo uma
ta-e+a de dados'( pre/isamos re/orrer a
mtodos numri/os para a sua reso+uo.
)()()( a-d&&$
-
a=
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8.2 Regra dos trapziosEsta regra apro&ima pe5uenos tre/7os da
/ur*a $%&' por segmentos de reta
igua+mente espaados no inter*a+o ,a(-.
( )000 ,&P
( )111 ,&P
( )222 ,&P
a& =0 1& 2&& 1n& -&n=
( )nnn &P ,
( )111 , nnn &P
( )&$=
&
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9 regio entre a /ur*a e o ei&o & apro&imada por trapzios. Rea+izando a soma
das )reas dos trapzios( en/ontramos a
integra+ de $%&'. #e $orma gera+( a $rmu+a
para o-teno da integra+ :
0nde 7 a +argura do trapzio( gera+mente
dada atra*s do n;mero a'?n
( )nn 888887
@ +++++= 1210 2222
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E&emp+o: Aa+/u+ar a integra+ de$inida a-ai&o(uti+izando a regra dos trapzios /om:
a'n inter*a+os.
-'n 1B inter*a+os.
4
1
1d&
&
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So+uo:a' 0 mtodo pr)ti/o de /)+/u+o en*o+*e
preen/7er uma ta-e+a /om os *a+ores de & e (
-em /omo os /oe$i/ientes de :i x y c
0 1,0 1,000 1
1 1,6 0,625 2
2 2,2 0,454 2
3 2,8 0,357 2
4 3,4 0,294 2
5 4,0 0,250 1
&8
n
a-7
1
6,05
14
=
=
=
=
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Portanto( uti+izando a regra do trapzio:
0 *a+or e&ato desta integra+ 1(38C3.
( )
( )
413,1)71,4.(3,0
)250,0588,0714,0908,025,11.(3,0
25,0294,0.2357,0.2454,0.2625,0.212
6,0
22222
543210
==+++++=
+++++=
+++++=
@
@
@
8888887
@
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-' Aonsiderando agora 1B inter*a+os:i x y c
0 1,0 1,000 1
1 1,3 0,769 2
2 1,6 0,625 23 1,9 0,526 2
4 2,2 0,454 2
5 2,5 0,400 2
6 2,8 0,357 27 3,1 0,322 2
8 3,4 0,294 2
9 3,7 0,270 2
10 4,0 0,250 1
&
n
a-7
1
3,010
14
=
=
=
=
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De*ando os dados e5uao dos trapzios:
Aomo pode>se notar( um maior n;mero de
pontos torna o resu+tado mais pr&imo do*a+or rea+.
( )
393,1)288,9(23,0
2...2222
1093210
==
++++++=
@
8888887
@
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8.3 Primeira Regra de Simpson
@am-m /on7e/ida /omo regra do 1?3 de
Simpson( este mtodo apro&ima os pontos da
ta-e+a por e5uaFes do 2G grau. 9 e5uao
gera+ para a primeira regra de Simpson :
0nde os /oe$i/ientes /i so iguais a 1( para /B
e /n( 4 para os
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E&emp+o:Aa+/u+e a integra+ a-ai&o( uti+izando m4
inter*a+os.
So+uo: Aomo temos m4 inter*a+os(uti+izamos nm1 pontos. 9ssim:
41
1 d&&
75,0
4
14=
=
=
m
a-7
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#e a/ordo /om a primeira regra de Simpson:
i x y c c.y
0 1 1 1 1
1 1,75 0,571 4 2,285
2 2,5 0,4 2 0,8
3 3,25 0,308 4 1,2304 4 0,25 1 0,25
( )
3915,1)566,5.(25,0
)25,0.1308,0.44,0.2571,0.41.1.(3
75,0
......3
2
2
44332211002
==
++++=
++++=
I
I
/////7I
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8.$ Segunda Regra de Simpson
@am-m /on7e/ida /omo regra dos 3?8 de
Simpson( este mtodo apro&ima os pontos da
ta-e+a por e5uaFes do 3G grau. 9 e5uao
gera+ para a segunda regra de Simpson :
0nde os /i so iguais a 1( para /Be /n( 2 para
os
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%&emp!o'Aa+/u+e a integra+ a-ai&o( uti+izando mC
inter*a+os.
So+uo: Ao+o/amos os dados em $orma deta-e+a( para $a/i+itar a interpretao:
41
1 d&&
5,0
6
14=
=
=
m
a-7
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i x y c c.y
0 1 1 1 1
1 1,5 0,667 3 2,001
2 2,0 0,500 3 1,500
3 2,5 0,400 2 0,8004 3,0 0,333 3 0,999
5 3,5 0,286 3 0,858
6 4,0 0,250 1 0,25
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#e a/ordo /om a primeira regra de Simpson:
Aomo pJde>se *er( este mtodo apro&ima
ainda mais o *a+or rea+ da integra+.
( )
3890,1)408,7.(1875,0
)25,0858,0999,08,05,1001,21.(1875,0
)25,0.1286,0.3333,0.34,0.25,0.3667,0.31.1.(8
5,0.3
........8
.3
3
3
3
665544332211003
==
++++++=+
+++++=
++++++=
I
I
I
///////7
I
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8.( )uadratura *aussiana0s mtodos mostrados at a5ui ne/essitam de
*a+ores de & igua+mente espaados es/o+7idos
por 5uem est) tra-a+7ando no mtodo. Ka5uadratura "aussiana( a es/o+7a segue um
padro -em de$inido.
Este mtodo tem /omo des*antagem a
ne/essidade de se /on7e/er a $orma ana+6ti/a
da $uno $%&'. Sua prin/ipa+ *antagem
o$ere/er resu+tados e&atos para po+inJmios de
ordem at n>1.
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Este mtodo /onsiste em trans$ormar aintegra+ de$inida:
Em outra integra+( na seguinte $orma:
9tra*s de uma tro/a de *ari)*eis( *ista a
seguir.
=
-
a
d&&$I )(
=1
1 )( dtt1I
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@ro/amos a *ari)*e+ & por:
Ento( a $uno %t' ser):
).(2
1)..(
2
1a-ta-& ++=
++= ).(
2
1)..(
2
1)..(
2
1)( a-ta-$a-t1
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Aom isso( a e5uao gera+ da !uadratura"aussiana ser):
0nde:
n n;mero de pontos %es/o+7ido'
9i /oe$i/ientes %ta-e+a'ti ra6zes %ta-e+a'
9 ta-e+a a seguir mostra a+guns *a+ores dos
/oe$i/ientes e ra6zes.
=
==1
0
1
1
)(.)(n
i
ii t19dtt1I
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n i ti Ai
1 0 0 2
20 -0,57735027 1
1 0,57735027 1
3
0 0,77459667 5/9=0,555556
1 -0,77459667 5/9=0,555556
2 0 8/9=0,888889
4
0 0,86113631 0,347854841 -0,86113631 0,34785484
2 0,33998104 0,65214516
3 -0,33998104 0,65214516
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E&emp+o:Aa+/u+e a integra+ a-ai&o( uti+izando n3
pontos.
So+uo:Ini/ia+mente( $azemos a su-stituio da
*ari)*e+ & por t:
4
1
1 d&&
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Portanto( %t' ser):
5,2.5,1
)14.(2
1).14.(
2
1
).(21)..(21
+=
++=
++=
t&
t&
a-ta-&
( )5,2.5,1
5,1
5,2.5,1
1.5,15,2.5,1).14.(
2
1)(
).(2
1)..(2
1)..(2
1)(
+
=
+
=+=
++=
tt
t$t1
a-ta-$a-t1
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Para n3( temos os seguintes *a+oresta-e+ados:
9ssim( temos a seguinte e5uao "aussiana:
n i ti Ai
30 0,77459667 5/9=0,5555561 -0,77459667 5/9=0,555556
2 0 8/9=0,888889
=
= +==
2
0
1
0 5,2.5,1
5,1.)(.
i i
i
n
i
iit
9t9I
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9ssim:
38367,1
5333334,06227717,02275690,0
5,20.5,15,1.888889,0
5,2)77459667,0.(5,15,1.555556,0
5,277459667,0.5,1
5,1.555556,0
5,2.5,1
5,1
.5,2.5,1
5,1
.5,2.5,1
5,1
.
5,2.5,1
5,1.
22
11
00
2
0
=++=
++++
+=
+++++=
=+
==
I
I
I
t9t9t9I
t9I
i i
i
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T Integrao Numr!"a
#$rmu%a &e Ne'ton-ote*egra &o +ra!o
m!nta a!a onao
CLCULO NUMRICO
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Integrao Numr!"a
Intro&uo #$rmu%a &e Ne'ton-ote
*egra &o +ra!o
*egra &o +ra!o *eet!&a*egra &e !mon
*egra &e !mon *eet!&a
ua&ratura au!ana
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mto&o ma! ut!%!a&o o "%a!!"a&o em&o! gruo
Frmula de Ne!ton"#ote emregama%ore &e (), on&e o a%ore &e o
!gua%mente eaa&oFrmula de $uadratura %auiana ut!%!am
onto &!erentemente eaa&o, on&e ete
eaamento &eterm!na&o or "ertaror!e&a&e &e o%!n:m!o ortogona!
Integrao Numr!"a
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Integrao Numr!"aInterretao geomtr!"a &a !ntegra%
a%or numr!"o &a !ntegra%
b
a
dxxf )(
igual rea entre afuno e o eixo x no
intervalo [a, b].
Para calcular a integral
dividese ! interval! "a# $%em N su$interval!s iguais
e escreve
se
N
abx
)( =
=
=1
00
)(lim)(N
n
n
Nx
b
a
xxfdxxf
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Integrao Numr!"aInterretao geomtr!"a &a !ntegra%
Numer!"amente, toma-e e;ueno o u!"!ente ara;ue o erro &o "
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Integrao Numr!"aInterretao geomtr!"a &a !ntegra% > e!&ente na !gura ;ue, a no er ;ue tomemo mu!to
e;ueno, o erro ero gran&e
a ?;u!na@ ;ue oAram &o retBngu%o
erro o&e er m!n!m!a&o, em &!m!nu!r o tamanCo &e e"o%Cen&o uma !gura geomtr!"a ma! a&e;ua&a ara
"a%"u%ar a
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#$rmu%a &e Ne'ton-ote
*egra &o +ra!oe uarmo a $rmu%a &e Gagrange ara erear oo%!n:m!o 1() ;ue !ntero%a () em 0 e 1temo
dxxfhxxxf
hxxdxxpdxxf
x
x
xb
xa
b
a +=
=
=
1
0
1
0
)()()()()()( 10
01
1
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#$rmu%a &e Ne'ton-ote
*egra &o +ra!oAssim#
&ue a 'rea d! tra*+i! de alturah = x1 x0e $ases
f(x0)e f(x1).
[ ],)()(2
10 xfxfh
IT +=
a = x0 b = x1
P0
f(x)
p1(x)f(x1)
f(x0)
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#$rmu%a &e Ne'ton-ote*egra &o +ra!o *eet!&a
Hte mto&o &e !ntegrao numr!"a "on!te em &!!&!r a
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Hem%o
a%"u%ar
+=
2
0 1 x
dxI usand! a regra d!s tra*+i!s# usand!
,.
1
1)(
xxf
+=
su$interval!s.
Um *!ss-vel *r!cediment! !
indicad! na ta$ela a! lad!.Nesta ta$ela#
x f(x) p pf(x)
#
/#
/ /#
#0
#1/02
3 /#0345
#4
#,,,5
3 /#////
/#3
#0,0,
3 #66/
/#5
#240
5
3 #156
3 = 5513,5)(xpf
* ! n7mer! *el! &ual 89:n; multi*licada na e:*ress
integral e p f(x) indica a s!mad!s term!s entre c!lchetes# na
mesma e:*ress
;4,05
02==x
== 1103,12
4,05513,5
2
)( x
xpfI
A 8un=
[ ]2
2222)( 13210x
ffffffdxxf nna
++++++
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Ht!mat!a ara o Hrro
< &ua mane!ra &e et!mar !n"ertea no uo &a regra &otra!o
;uan&o e "onCe"e () ),('')(12
2 fxab
=
!nde ! val!r *ara ! &ual a derivadasegunda de 89:; m':ima n! interval! a > > $.?&uand! n
.e 12
1 == nnnnnn ffffff
,12
2
f
ab
=edemdiovalordomduloo 22 nffonde
ff 22 demdiovalordomdulo
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Hem%o
+oman&o o eem%o anter!or,x f(x) f 2f
# /#
#0 #1/02
#34,
1
#4 #,,,5
#/,4
1
#/31
/#3 #0,0,
#//
/
#,15
/#5 #240
5
#566
#2/
3
nt
.01,0
0586,012
0,00,2
12
2
=
= fab
nt
=== 01,01103,101,02
4,05513,5
2
)( x
xpfI
f2
1
2
1
=
=
nnn
nnn
fff
fffnff demdiovalordomdulo-
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Calcular a integral da 8un=
: # #3 #0 #5 #4 /#
89:; # #/50 #354 #236 #2,6 #254
Exerccio
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Integrao Numr!"a
ua&ratura au!ana
m!nta a!a ono
CLCULO NUMRICO
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Integrao Numr!"a
Intro&uo #$rmu%a &e Ne'ton-ote
*egra &o +ra!o
*egra &o +ra!o *eet!&a*egra 1/3 &e !mon
*egra 1/3 &e !mon *eet!&a
ua&ratura au!ana
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o%!n:m!o rtogona!o %a&o &a $rmu%a &e Ne'ton-ote ara !ntegrao
numr!"a, a $rmu%a &e ua&ratura &e au e &eta"amor orne"erem reu%ta&o a%tamente re"!o.
+a! $rmu%a, Aae!am-e em ror!e&a&e &e o%!n:m!oortogona!.
.ortoo!ai"di#em"e...,)(,)(),($oli!%mio"o"e!t&o0,$ara,0))(),((
',i$ara,0))(),((e
...2,1,0,rau"
de$oli!%mio"defamliauma...,,)(,)(),(
210
iii
'i
210
xxxxx
xx
xxxSejam
=
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o%!n:m!o rtogona!Nete etu&o, etamo "on!&eran&o oro&uto e"a%ar
$e"o.fu!*&oa+(x)o!de,a,em/o!t!uae0+(x) com
,)()()(),( dxxgxfxwgfb
a
=
"eui!tedoatrav"otido""er$odem.,..2,1,0,i),($oli!%mio"" i =x
$ordefi!ido".,..2,1,0,
rau"de...,,)(,)(),($oli!%mio"o"eameorema 210 xxx
=
=
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+ ,))()()(x)(
3,...2,1,$arae,
1,(1,1)
(x,1)x)(
))(),0((
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,1)(
1-1
0
00
001
0
xxxx
xx
xxx
x
kk
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SOF
T
o%!n:m!o rtogona!on&e
"ati"fa#em,i"to,ortoo!ai"doi"adoi""&odefi!ido",a""im...,,)(,)(),($oli!%mio"" 210 xxx
.))(),((
))(),((;
))(),((
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1-1-
xx
xx
xx
xxxkk
==
=0.$ara,0))(),((
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iii
i
xx
xx
! ! ! %! : ! !
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T
r!n"!a! o%!n:m!o rtogona!
e;JKn"!a &e o%!n:m!o 0(), 1(), 2(),...,e!&entemente, &een&e &o ro&uto e"a%ar a&ota&o.
ma! "onCe"!&o (!n"%u!e < taAe%a&o) e "om o ;ua!traAa%Caremo o o egu!nte
o%!n:m!o &e Gegen&re
o%!n:m!o &e +"CeAECe
o%!n:m!o &e Gaguerre
o%!n:m!o &e erm!te
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r!n"!a! o%!n:m!o rtogona!&olin'mio de (egendre
o%!n:m!o &e Gegen&re 0(), 1(),..., o oAt!&oegun&o o ro&uto e"a%ar
,)()(),(1
1
dxxgxfgf
=
ist! # c!m B9:;/# a /# $ /.
?!olin"#io$ %e &cheb'$hevO *r!dut! escalar *ara !$ter !s *!linDmi!s de
Eche$Fshev E9:;# E/9:;#...# dad! *!r@,)()(
1
1),(
1
12
dxxgxfx
gf
=
1.e1-a,
1
1+(x)"ea,ou
2==
=x
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T
r!n"!a! o%!n:m!o rtogona!
&olin'mio de (aguerre
o%!n:m!o &e Gaguerre G0(), G1(),..., o oAt!&oegun&o o ro&uto e"a%ar
,)()(),(0
dxxgxfegf x
=
?!olin"#io$ %e er#iteO *r!dut! escalar *ara !$ter !s *!linDmi!s de
Germite G9:;# G/9:;#...# dad! *!r@
.e0a,+(x)$orta!to, === xe
,)()(),(2
dxxgxfegf x
=
.e-a,+(x),i"to
2
=== x
e
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Hem%oara oAter o o%!n:m!o
&e Gegen&re, &eemo ut!%!aro teorema &o o%!n:m!oortogona! e o ro&uto e"a%ar&e!n!&o e%o memo. !m
1)(0 =xP
xxP
x
xx
dx
dxxx
xxxP
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=
=
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3
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323
))(),((
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))(),((
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3
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1
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1
3
11
111
011112
==
==
=
==
=
=
==
=
xxxxP
x
x
dx
dxx
xPxP
xPxP
x
x
dxx
dxx
xPxP
xPxxP
xPxPxxPxP
O$ter !s *rimeir!s *!linDmi!s deLegendre.
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ror!e&a&e &o o%!n:m!ortogona!
Leamo a%guma &a ror!e&a&e &o o%!n:m!oortogona! ;ue ero !mortante ara a oAteno &a$rmu%a &e ua&ratura &e au.
).(,...,)(),(deli!ear/omi!a*&o
/omoe"/rito"er$ode!aiualoume!orraude$oli!%mio
ualuer!t&o,ualuer.e"/alar$rodutoum"eu!do!ulo",!&o,ortoo!ai"$oli!%mio"),...,(,)(),(e'am-1ero$riedad
!10
210
xxx
xxx
!.ueme!orraude
7(x)$oli!%mioualueraortoo!al)(!t&o1.e$ro$riedadda/o!di*8e"!a")(...,,)(),(eam-2e6ro$riedad
!
!10
xxxx
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.a,emdi"ti!ta"(reai")ra#e"!$o""ui(x)!t&o
.a,em/o!t!uae0+(x)
,)()()(),(
e"/alar$rodutoo"eu!do
ortoo!ai"$oli!%mio"),...,(,)(),(-3e6ro$riedad
!
210
=
comdxxgxfxwgf
xxxSejam
b
a
.)()(o!de),()()(
e!t&o1,2!aiualoume!orraude$oli!%mioumf(x)e.)(dera#e"a"x,...,x,xeam3.e$ro$riedad
da/o!di*8e"!a"),...,(,)(),(-4e6ro$riedad
0
1!!10
210
dxxxwAxfAdxxfxw
x
xxxSejam
b
a
kk
n
k
kk
b
a
==+
=
+
ror!e&a&e &o o%!n:m!ortogona!
& t !
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ua&ratura au!ana
on!&eraremo !ntegra! &a orma,)()( dxxfxw
b
a!nde B9:; e c!nt-nua em "a# $%.
? A 8un=
igual a +er! s!mente num n7mer! )nit! de*!nt!s.? Usarem!s Hrmulas de Juadratura *ara
a*r!:imar a integral.
? Hrmulas de &uadratura s
=
n
k
kk
b
a
xfAdxxfxw
0
),()()(
#$ % & & &
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53
#$rmu%a &e ua&ratura &e au
o $rmu%a ua&a ara e "a%"u%ar
,)()( dxxfxwb
a
? Calculam!s ! val!r a*r!:imad! da integral usand
=
n
k
kk
b
a
xfAdxxfxw0
),()()(
? !nde
).(dex,,x,x
ra#e"a""ore9ara!ede$oli!%mio"o""&o)(
1!!10 x
xe k
+
dxxxwA
b
akk
= )()(
#$ % & & t &
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!m, o ro"e&!mento ara e "a%"u%ar uma !ntegra%
uan&o ua&ratura &e au, o egu!nte
.a,i!tervalo!oe+(x)$e"ofu!*&oa/om,i"toe,/o!ve!ie!te"/alar
$rodutoo"eu!do,)(ortoo!al$oli!%mioodetermi!ar) 1! xa +
).(dex,,x,xra#e"a"/al/ular)1!!10
xb+
.)emotido"x,,x,x$o!to"o"
u"a!do!,1,...,0,,)(9ara!ede$oli!%mio"o"determi!ar)
!10
=xc k
!.1,...,0,,)()(/al/ular) ==
dxxxwAd
b
a
kk
.x,,x,xemf(x)devaloro/al/ular) !10 e
,fi!alme!te/al/ular,)f =
n
k
kk
b
a
xfAdxxfxw0
),()()(
#$rmu%a &e ua&ratura &e au
H %
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Hem%o
Man&o ;ua&ratura &e au, "a%"u%ar.)5(
1
1
3
dxxx ? Na integral# vem!s &ue@ a K/# $ /# B9:;
/# e 89:; :2K ,:.? Assim 89:; um *!linDmi! de grau 2# e *ela
*r!*riedade 0# tem!s &ue@ se 89:; um*!linDmi! de grau 3n /# ! resultad! da
integral e:at! 9a men!s de err!s dearred!ndament!;.
? P!rtant!# 8a+end! 3n / 2# !$tem!s &ue n /. "er:(x),oter$arae"/alar,$rodutoi!teral.are"olver
$ara(x),(x)de#ero"o"utili#ardevemo";""im,
2
21!
=+
.)()(
1
1
dxxgxf
H %
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Hem%o
Gogo o o%!n:m!o ro"ura&o 2 1/3. ortanto, aen&o 2 1/3 = 0, oAtemo 0= 0.57735 e 1=
0.57735 , (;ue o o ero &e 2() em O1, 1P). +emo ;ue
12
2
)(2)(
1)()(
1
)(
)()(
1
1
1
1
1
2
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1
1
1
10
1
1 10
1
1
1
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=
=
==
x
x
xxxxx
dxxxxx
dxxx
xxdxxA
e*!rtant!#
,)(
)(
)(,)(
)(
)( 01
0
110
1
0 xx
xx
xxx
xx
x
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=
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euede"de
1
1
2
10 =
=
xxx
H em%o
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Qo memo mo&o
12
2
)(2)(
1
)()(
1
)(
)()(
0
0
1
1
0
2
01
1
1
0
01
1
1 01
01
1
11
=
=
=
=
==
x
x
xxx
xx
dxxxxx
dxxx
xxdxxA
? Ag!ra# calculam!s a 8 n!s +er!s de 39:;. Assim@
89:; 89K.,112,; 9K.,112,;2K,9K.,112,;
89:/; 89.,112,; 9.,112,;2K ,9.,112,;
? Hinalmente# *!dem!scalcular a integral# ist!
@
0
5(0.5
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#$rmu%a &e auFrmula de %au"(egendre
ara ut!%!ar a $rmu%a &e au-Gegen&re a !ntegra% a er "a%"u%a&a &ee ter auno eo '() = 1 , a = 1 e A = 1. ao o !ntera%o &e !ntegrao no"o!n"!&a "om o !ntera%o O1, 1P, &eemo aer uma mu&ana &e ar!
#$rmu%a &e au
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Frmula de %au"(aguerre
ara ut!%!ar a $rmu%a &e au-Gaguerre a !ntegra% a er"a%"u%a&a &ee ter a uno eo '() = e-, a = 0 e A =.
Noamente, "ao o !ntera%o &e !ntegrao no "o!n"!&a "omo !ntera%o O0, P, &eemo aer uma mu&ana &e ar!B9:; e:3
# a e $ .?Neste cas!# se ! interval! de integra=
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Hrro na #$rmu%a &e au
uan&o () um o%!n:m!o, aAemo ;ue a $rmu%a &e;ua&ratura orne"em um reu%ta&o eato a meno, "%aro,&o erro &e arre&on&amento.
Na ma!or!a &a !tuaRe rea!, () no um o%!n:m!o e,ortanto, ua !ntegra% aro!ma&a ;uan&o "a%"u%a&a atra
&a $rmu%a &e ;ua&ratura. H!A!remo a%guma ereRe &o termo &o reto (ou erro
&e trun"amento) ara a
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Frmula de %au"(egendre
)(
)=22(
)=1(5 )22(
2
! +
+
+= nf
n
n
*r#ula %e +au$$&cheb'$hev
)()=22)(32(
)=1(2 )22(
3
432
! +
+
+++
= nn
fnn
n
*r#ula %e +au$$-a.uerre
*r#ula %e +au$$er#ite
)()=22(2
)=1( )22(
1! +
+ ++
= nn
fn
n
)()=22(
2 )22()22(!
++ += nn fne
),a(
Hrro na #$rmu%a &e au
Exerccio
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Usand! &uadratura de auss# calcular
@
e estimar ! err!.
Exerccio
1
121dx
x
senx
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BBB.matemati&ues.c!mBBB.matemati&ues.c!m
.$r.$r
engenhariaengenharia