Post on 10-Jan-2016
description
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
86
2.4. Cabos
Cabos so estruturas lineares, extremamente flexveis, capazes de resistir a
esforos de trao. Os esforos cortantes, de compresso, de flexo e de toro no so
resistidos por um cabo ideal.
Os cabos so utilizados em vrios tipos de estruturas. Nas pontes pnseis e
telefricos so principais elementos portantes, nas linhas de transmisso conduzem a
energia eltrica, vencendo vos entre as torres e so empregados como elemento portante
de coberturas de grandes vos (Sssekind, 1987).
No estudo esttico, assume-se a hiptese que os cabos so perfeitamente flexveis,
isto , possuem momento fletor e esforo cortante nulos ao longo do comprimento. Dessa
forma, os cabos ficam submetidos apenas a esforos normais de trao.
As formas assumidas pelo cabo dependem do carregamento que nele atua. Se o
carregamento externo for muito maior do que o peso prprio do cabo, este ltimo
desprezado no clculo. A geometria da configurao deformada do cabo, para um dado
carregamento, denominada forma funicular (do latim, funis = corda) do cabo.
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
87
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
88
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
89
Exemplo de formas funiculares:
Catenria
Parbola
Polgono
Trapezide
Tringulo
Carga UniformementeDistribuda ao longo do vo
Carga Uniformemente Distribuda ao longo docomprimento do cabo (peso prprio)
Forma FunicularCarregamento
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
90
A catenria possui uma geometria mais baixa que a parbola. Isto conseqncia
do peso prprio se concentrar mais nas regies prximas das extremidades.
A partir de estudos comparativos entre a forma da parbola e da catenria, para
vrias relaes de flecha (f) e vo entre extremidades (L), constata-se que para relaes (f
/ L) 0,2 as formas da parbola e da catenria so praticamente coincidentes. Nestes casos, mais prtico usar a forma da parbola para determinao dos lugares geomtricos
dos pontos ao longo do cabo.
f
L
y
x
Y = ax2 + bx +c
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
91
2.4.1. Reaes de Apoio para Cabos:
Seja um cabo que suporta duas cargas concentradas de valor P, dispostas nos
teros do vo:
PP
f
L/3 L/3 L/3
H = Ax
Ay By
H = Bx x
y
A
C D
B
Os sistemas do tipo cabo desenvolvem em suas extremidades empuxos
horizontais, exigindo que os vnculos em A e B sejam do 2o gnero.
Por ser um sistema estrutural plano, as equaes de equilbrio a serem satisfeitas
sero: 6Fx = 0;6Fy = 0;6Mz = 0.Lembrando que para qualquer ponto ao longo do cabo o momento fletor nulo
devido sua flexibilidade.
Aplicando as equaes de equilbrio ao cabo ACDB :6Fx = 0 Ax Bx = 0, logo Ax = Bx = H (empuxo horizontal);6MA = 0 PL / 3 + P (2L / 3) By.L = 0, portanto By = P;6Fy = 0 Ay + By = 2P, ento Ay = 2P By = P.Para o clculo do empuxo horizontal H necessria uma Quarta equao de
equilbrio que sai da hiptese de momento fletro nulo (M = 0) para qualquer ponto ao
longo do cabo. Escolhendo-se o ponto C: 6Mc = 0.Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
92
Faz-se uma seo no cabo que coincida com o ponto C escolhido e trabalha-se
com a parte a esquerda ou a direita do ponto C, substituindo pelo seu efeito na seo.
AH
L/3
Ay = P
C
P
NCDf
6Mc = 0 - H.f + (P.L) / 3 = 0, portanto H = (P . L) / 3f.Observe-se que quanto menor a flecha f, maior o empuxo H. E assim encontram-
se as reaes de apoio do cabo.
interessante a seguinte comparao:
D
L/3
A
L/3
H
PC
P
B H = PL / 3f
L/3
P
f
P
P
Ay* = P
A
P
By* = P
B
L/3 L/3 L/3
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
93
Observa-se que as reaes de apoio verticais coincidem para o cabo AB e para a
viga AB de idntico vo e carregamento. Logo, as reaes de apoio verticais do cabo
podem ser encontradas pela substituio do cabo por uma viga com idntico vo e
carregamento:
Ay e By (no cabo) = Ay* e By* (na viga).
Doravante, toda referncia a reaes de apoio e esforos na viga de substituio
sero identificados por um asterisco.
No entanto, a vantagem de comparar o cabo AB a uma viga de substituio AB
no est somente nas reaes de apoio verticais. Comparemos o empuxo horizontal no
cabo ao diagrama de momentos fletores da viga de substituio.
D
P
P
A
P
PL / 3f
C
A
P
P
B
P
H = PL / 3fB
PL/3
(+)
DMF
PL/3
L/3L/3 L/3
f
L/3 L/3 L/3
M*mx = PL / 3, logo H = PL / 3f = M*mx / f.
Onde f a distncia vertical mxima do cabo at a linha de fechamento entre as
extremidades A e B do cabo.
Vejamos para outras condies de carregamento:
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
94
a)
L/2 L/2
P
f
P/2P/2
PL / 4f H = PL / 4f
P
L/2 L/2P/2 P/2
(+)
PL/4
DMF
C
6Mc = 0 - H.f + (P/2).(L/2) = 0,portanto H = (P . L) / 4f = M*max/f
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
95
b)
(+)
qL /8
DMF
L
f
qL/2
H = qL / 8fqL / 8f
qL/2
q
q
L
qL/2qL/2
2
2
Portanto, as reaes de apoio nos cabos podem ser obtidas atravs de uma vigas
de substituio:
Ay = Ay*
By = By*
H = M*max / f
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
96
2.4.2. Esforos Normais de Trao Atuantes em Cabos
Uma vez conhecidas as reaes de apoio, possvel determinar os esforos
normais atuantes no cabo.
Usando mais uma vez o exemplo do cabo submetido a duas cargas concentradas
eqidistantes, de valor P cada uma:
BA xPL/3fPL/3f
y
PDC
P
P
P
E
L/3L/3 L/3
f
Esforo normal no trecho AC:
Substitui-se a parte do cabo
retirada, pelo seu efeito, a Fora Normal
NAC. Aplicam-se as equaes de
equilbrio:
6Fx = 0 NACx = P L / 3 f;6Fy = 0 NAC y = P, logoNAC2 = (NACx) 2 + (NACy) 2 ;
NAC = [ (P L / 3 f) 2 + P 2 ]
PL/3f A
E
P
NAC
y
y
x
NACy
NACx
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
97
Esforo normal no trecho CD:
f
P
P
F
C
APL/3f
NCD
6Fx = 0 NCD = H = P L / 3 f;6Fy = 0 P P = 0, equilbrio satisfeitoEsforo normal no trecho DB:
NDB = NAC = [ (P L / 3 f) 2 + P 2 ]
Observa-se, da comparao entre NAC e NCD, que o esforo normal mximo de
trao no cabo AB ocorre nos trechos AC e DB, trechos adjacentes aos apoios das
extremidades. Esta uma das caractersticas dos cabos, os esforos normais mximos
ocorrem nas sees dos cabos prximas aos vnculos externos, pois onde a componente
vertical do esforo normal, NY, de maior valor.
Calculando agora os esforos normais para um cabo com carga uniformemente
distribuda ao longo do vo:
y
q
L
qL/2
H
x
qL/2
f
H = qL / 8f
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
98
Cortando o cabo em uma seo genrica de coordenadas (x,y):
Nsy
y
q
S
H
qL/2
x
Ns
Nsx
Aplicando-se as equaes de equilbrio:6Fx = 0 NSx = H ; 6Fy = 0 NSy q L / 2 + q x = 0NSy = q L / 2 - q x, sendo
para x = 0, NSy = q L / 2 ;
para x = L/2, NSy = 0.
Para o ponto x = L / 2, onde ocorre a flecha f, distncia mxima da linha AB, no
h componente vertical do esforo normal de trao.
Logo, o esforo normal varia ao longo do comprimento do cabo:
Para x = 0 NS = [ (NSx)2 + (NSy)2 ]
NS = [ (H)2 + (q L /2)2 ] Valor MximoPara x = L / 2 NS = [ (NSx)2 + (NSy)2 ]
NS = [ (H)2 + (0)2 ]
NS = H Valor MnimoComparando o valor de NSy com os esforos da viga de substituio submetida a
idntico carregamento, constata-se que a variao de NSy para x=0 q L / 2 e para x=L/2
nulo, coincidindo com a variao do esforo cortante na viga:
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
99
Portanto, pode-se concluir que o esforo normal de trao para um cabo
estimado pela expresso:
NS = [ (NSx)2 + (NSy)2 ]
NS = [ (H)2 + (VS*)2 ]
Onde H: Empuxo horizontal nas extremidades do cabo e;
VS*: Esforo cortante para uma seo genrica da viga de substituio.
Exerccio Proposto: Determinar os esforos normais para cada trecho da estrutura:
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
100
Respostas:
NAC = NEB = 1.639,12 tf;
NCD = NDE = 1.598,80 tf.
Uma vez conhecida a fora normal de trao mxima no cabo, a tenso normal de
trao ser:
Onde fst = resistncia trao do ao;
A = rea til da seo transversal.
t = Nmx / A fst
25 m
yc = 6m
25 m
256 tf
383 tf C
H = 1593,75 tfA
25 m25 m
ye = 6myd = 8m
383 tf
256 tf254 tf
DE
H = 1593,75 tfB
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
101
2.4.3. Conformao Geomtrica Final do Cabo:
Fazendo, mais uma vez, uso da viga da hiptese de momentos fletores nulos para
qualquer ponto genrico sobre o cabo AB.
BA PL/3fPL/3f
L/3L/3L/3
f
PDC
P
P
P
E
X
Y
Para um ponto genrico E que pertena ao cabo e tenha coordenadas (x,y)
PL/3f A
E
P
NAC
y
y
C
Para um ponto E situado a uma distncia x do apoio A do cabo AB, a equao
de momentos fletores dada pela equao:6ME = 0 - H.y + P.x = 0, portanto y = P . x / H = 3f . x / L.A configurao geomtrica do cabo para o trecho AC definida por uma equao
do 1o. grau.
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
102
6ME* = 0 P . x ME* = 0, logo ME* = P . xComparando a expresso do momento no ponto E para a viga de substituio
com a expresso encontrada para a configurao geomtrica do cabo para o ponto E:
Viga de Substituio ME* = P . x ;Cabo yE = (P . xE) / H.
Percebe-se que mais uma vez existe uma relao entre a cota vertical y do cabo e
o momento fletor para a viga de substituio na mesma seo, portanto, deduz-se que a
cota vertical ys, para uma seo genrica S do cabo, igual ao Ms* dividida pelo empuxo
horizontal H na viga de substituio para uma seo S de mesma posio horizontal que
no cabo:
Ys = Ms* / H
Dessa forma, pode-se determinar a posio vertical de qualquer ponto do cabo a
partir do momento fletor na viga de substituio. Uma concluso adicional desta relao
PL/3
(+)
DMF
P
A EME*
L/3L/3
P
P
A
L/3
P
P
B
E
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
103
y = Ms* / H constatada ao comparar-se a forma do diagrama de momentos fletores para
a viga de substituio e a forma funicular do cabo:
M* = f (x) - parbola
DMF
q
P
DMF
M* = f (x)
P P
DMF
M* = f (x)
q
H H
y = M * / H
H
P
y = M* / H
H
H
P P
y = M* /H
H
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
104
Exerccio Proposto: Determinar as reaes de apoio no cabo AB e as cotas
verticais nos pontos C e E.
Respostas:
Ay = By = 383 tf
H = 1.593,75 tf
yC = yE = 6,0 m
Pode-se tambm deduzir a forma funicular para um cabo submetido a carga
uniformemente distribuda ao longo do vo:
q
qL / 8f H = qL / 8f X
y
qL/2 qL/2
fC
A
C E
256 tf
B
D
254 tf256 tf
25 m 25 m 25 m25 m
y = 8m
D
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
105
Reaes de Apoio:
Ay = By = qL/2
H = M*mx / f = qL2 / 8f
Escolhendo um ponto genrico C, com posio (xC, yC), passando uma seo, o
diagrama de equilbrio esttico fica:
6MC = 0 qL . xC q . xC2 H . yC = 0
yC = q . (L . xC - xC2) / 2H
yC = 4 f . (L . xC - xC2) / L2
Generalizando para um ponto qualquer sobre o cabo, de coordenadas (x,y):
y = 4 f . (L . x - x2) / L2 Equao da Conformao Geomtrica do Cabo.Equao de parbola quadrtica para o caso de carregamento uniformemente
distribudo ao longo do vo.
Uma vez conhecida a linha elstica do cabo na conformao deformada, pode-se
estimar o comprimento total do cabo: Lc.
O comprimento total do cabo Lc obtido a partir da expresso da linha elstica y=
f(x), atravs da integrao ao longo do comprimento:
dL2 = dx2 + dy2
( )2
2
222
dx
dy+1dx=dx/dy+1dx=dL
L L dxdxdydLLc 0 0 221dL
dx
dy
qL/2
qL / 8f
C
Nc
yc
y
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
106
Para a situao de carregamento uniformemente distribudo ao longo do vo:
y = 4 f . (L . x - x2) / L2 .
dy / dx = 4 f . (L 2 x) / L2, substituindo na integral:
0
5,02
22
41
L
dxxLL
fLc
A soluo desta integral feita pelo desenvolvimento do integrando sob a forma
de srie. Utilizando este tipo de resoluo de integrais definidas, encontra-se a seguinte
expresso:
Lc # L [ 1 + 8/3 ( f / L )2 ]Comprimento total de um cabo de forma funicular parablica, submetido carga
uniformemente distribuda ao longo do vo.
Nas situaes de cabos submetidos a peso prprio, cuja forma funicular uma
catenria, mas para a relao f/LU 0,2, pode-se utilizar a mesma expresso anterior para estimar o comprimento total do cabo Lc.
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
107
Exemplo:
Qual o comprimento total do cabo que suporta uma sobrecarga uniformemente
distribuda ao longo do vo de 100 N/m e que possui peso prprio igual a 50 N/m,
sabendo-se que os pontos de fixao esto no topo de postes de 6 m de altura e que esto
afastados entre si de 50 m? Alm disso, h a informao que o ponto mais baixo do cabo
est 4,5 m acima do solo.
Flecha:f = 6m 4,5m = 1,5 m
f / L = 1,5 / 50 = 0,03 U 0,2 Pode-se utilizar a expresso da parbola para substituir a geometria da catenria: Lc # L [ 1 + 8/3 ( f / L )2 ].
Considerando-se o erro na substituio da catenria pela parbola desprezvel:
Lc = 50 [ 1 + 8/3 ( 1,5 / 50 )2 ] = 50,12 m
q = 100 N/m - Parbola
g = 50 N/m - Catenria
f
4,5m
6m
L = 50m
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
108
Exemplo de Aplicao (Extrado de Salvadori e Levy, pg.194)
Uma passarela, que liga duas edificaes afastadas de 15,0 m, possui 3,0 m de largura e
deve suportar uma sobrecarga de 5 kN/m2 alm de seu peso prprio, tambm estimado
em 5 kN/m2. A passarela ser suspensa por 2 cabos com um flecha de 3m. Determine a
fora normal mxima que tracionar o cabo.
Reaes de Apoio: H = ?; Ay = ?; By = ?
H
qL/2 qL/2
H
Parbola
L = 15m
f = 3m
A B
5 kN/m
5 kN/mCargas
2
2
Sobrecarga
Peso Prprio
Planta
1,5
1,5
3
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET
ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)
109
Carga distribuda por cabo qA/2L = (5 + 5)kN/m x (15x3)m / 2 x 15m = 15kN/mComo o cabo e o carregamento so simtricos Ay = By, ento:
Ay = By = 15 x 15 / 2 = 112,5 kN;
H = M*max / f H = q L2 / 8 f = 15 kN/m x (15m)2 / 8 x 3mH = 140,63 kN.
Fora Normal Mxima:
NS = [ (H)2 + (VS*)2 ] V*s = Vmax*, para Nmax
Vmax* = 112,5 kN, nos apoios
NS = [ (H)2 + (VS*)2 ] NS = [ (140,63)2 + (112,5)2 ] NS = 180,09 kN
Resposta: O esforo normal mximo ocorre nos extremos, prximo aos vnculos A e
B e vale 180,09 kN.
112,5 kN 112,5 kN
15 kN / m
112,5
-112,5
(+)
(-)
DEC (kN)
15 kN/m
Mmax* = qL/8
Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET