Aula 02/05/2013Disciplina: Mecânica aplicada

AULA: 8 – Centro de Gravidade .

Prof.: Tiago SimãoE-mail:tiago.simao@pitagoras.com.br

5 - 2

Mas antes:Vetor Posição,

Aplicações do Produto Escalar

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Exercício 2

Determinar o momento sobre a origem O da força F = 4i + 5j - 3k que atua em um ponto A. Suponha que o vetor posição de A é (a) r = 2i - 3j + 4k, (b) r = 2i + 2.5j - 1.5k, (c) r = 2i + 5j + 6k

resposta

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Exercício 3

Determinar o momento sobre a origem O da força F =-2i + 3j + 5k que atua em um ponto A. Suponha que o um vector de posição de A é (a) R = i + j + k, (b) R = 2i + 3j - 5k, (c) R =-4i + + 6j 10k

resposta

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Exercício 4

Uma força de 200 N é aplicado como mostrado na figura abaixo para o suporte (ABC). Determinar o momento da força sobre A.

resposta

5 - 15

Exercício 5

Dado os vetores P = 3i - j + 2k, Q = 4i + 5j - 3k, e S =-2i + 3j - k, calcular os produtos escalares P ⋅ Q, P ⋅ S e Q ⋅ S.

resposta

5 - 16

Exercício 6

As medidas 0,61 × 1,00 m da tampa ABCD de uma caixa de armazenamento é articulada no lado AB e é mantido aberto por cabo DEC passando sobre agancho de atrito em E. Se a tensão no cabo é de 66 N, determinar o momento em torno de cada um dos eixos de coordenadas a força exercida pelo cabo em C.

resposta

Introdução

5 - 17

• A Terra exerce uma força gravitacional em cada uma das partículas que constituem um corpo. Essas forças podem ser substituídas por uma única força equivalente, de intensidade igual ao peso do corpo e aplicada em seu centro de gravidade.

• O centroide de uma superfície é análogo ao centro de gravidade de um corpo e a para a sua determinação é utilizado o conceito de momento de primeira ordem de uma área.

• A determinação da área de uma superfície de revolução

ou do volume de um sólido de revolução é possível com a utilização dos Teoremas de Pappus-Guldinus.

Centro de Gravidade de um Corpo Bidimensional

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• Centro de gravidade de uma placa:

∫

∑∑∫

∑∑

=

∆=

=

∆=

dWy

WyWyM

dWx

WxWxM

x

y

• Centro de gravidade de um fio:

Centroides e Momentos de Primeira Ordem de Superfícies e Curvas

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( ) ( )

x

QdAyAy

y

QdAxAx

dAtxAtx

dWxWx

x

y

a relação em ordem primeira de momento

a relação em ordem primeira de momento

=

==

=

==

=

=

∫

∫

∫

∫γγ

• Centroide de uma superfície:

( ) ( )

∫

∫

∫

∫

=

=

=

=

dLyLy

dLxLx

dLaxLax

dWxWx

γγ

• Centroide de uma curva:

Momentos de Primeira Ordem de Superfícies e Curvas

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• Uma superfície é simétrica em relação a uma eixo BB’ se para cada ponto P da superfície há um ponto P’ tal que a linha PP’ é perpendicular a BB’

e é dividida em duas partes iguais por esse eixo.

• O momento de primeira ordem de uma superfície em relação a um eixo de simetria é zero.

• Se uma superfície tiver um eixo de simetria, seu centroide fica localizado sobre esse eixo.

• Se uma superfície tiver dois eixos de simetria, seu centroide deverá se localizar na interseção dos dois.

• Uma superfície é simétrica em relação a um centro O se, para cada elemento de superfície dA em (x,y) existir um elemento dA’ de mesma área em (-x,-y).

• O centroide de uma superfície coincide com o seu centro de simetria.

Centroides de Superfícies Planas de Formatos Usuais

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Centroides de Curvas Planas de Formatos Usuais

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Placas e Fios Compostos

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• Placas compostas:

∑∑

∑∑=

=

WyWY

WxWX

• Superfícies compostas:

∑∑

∑∑=

=

AyAY

AxAX

Problema Resolvido 5.1

5 - 24

Para a superfície plana mostrada, determine os momentos de primeira ordem em relação aos eixos x e y e a localização do centroide.

SOLUÇÃO:

• Dividimos a área em um triângulo, um retângulo e um semicírculo com um orifício circular.

• Calculamos as coordenadas do centroide da superfície dividindo os momentos de primeira ordem pela área total.

• Encontramos a área total e os momentos de primeira ordem do retângulo, do triângulo e do semicírculo. Subtraímos a área e o momento de primeira ordem do orifício circular.

• Calculamos os momentos de primeira ordem de cada superfície em relação aos eixos x e y.

Problema Resolvido 5.1

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33

33

mm107,757

mm102,506

×+=

×+=

y

x

Q

Q• Encontramos a área total e os momentos de

primeira ordem do retângulo, do triângulo e do semicírculo. Subtraímos a área e o momento de primeira ordem do orifício circular.

Problema Resolvido 5.1

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23

33

mm1013,828

mm107,757

×

×+==

∑∑

A

AxX

mm 8,54=X

23

33

mm1013,828

mm102,506

×

×+==

∑∑

A

AyY

mm 6,36=Y

• Calculamos as coordenadas do centroide da superfície dividindo os momentos de primeira ordem pela área total.

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Exercício 7

Localize a centroide da figura abaixo

X =175,6 mmY = 94,4 mm

Resposta

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Exercício 8

Localize a centroide da figura abaixo

X =16,21mmY = 31,9mm

Resposta

5 - 29

Exercício 9

Localize a centroide da figura abaixo

X =19.28 inY = 6.94 in

Resposta

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Exercício 10

Localize a centroide da figura abaixo

X =5.67 inY = 5.17 in

Resposta

5 - 31

Exercício 10

Localize a centroide da figura abaixo

X =−10.00mmY = 87.5mm

Resposta