AulaModelosdeMatrizes

MauricioBonesso Sampaiomauriciobonesso@gmail.comPesquisadordePós-doutorado

LaboratóriodeEcologiadeFragmentosFlorestaisUniversidadeFederaldeAlfenas– UNIFAL/MG

ConteúdodaAula

• Paraqueserveestudaradinâmicadeumapopulação?• Comofuncionamosmodelosdematrizes• Projeçãodapopulaçãonofuturo• Dinâmicapopulacionaltransiente• Dinâmicapopulacionalassintótica• Métricasusadasparadescreveradinâmicadeumapopulação

- Autovalordominante- Estruturaestável- Valorreprodutivo- Sensibilidadeeelasticidade

• Modelosestocásticos

Paraqueserveadinâmicapopulacional?

Paraqueserveadinâmicapopulacional?

- Preverotamanhodeumapopulaçãonofuturo?

- Avaliaraschancesdeextinçãolocal

- Avaliaroimpactodedistúrbios(naturais/antrópicos)

- Compararadinâmicadeduas,oumais,populações

- Avaliarquaisfasesdociclodevidasãomaisimportantesparaadinâmica

- Avaliaraeficiênciadeaçõesdeconservação(reintrodução/controledeinvasora)

Dinâmicapopulacional

Nt+1=Nt +B– D

Modelosmatriciais

- Consideraasvariaçõesentreindivíduos- Modeloestruturado- Taxasdemográficassãocalculadosparacada(estádio/classe/categoria)- Matrizdetransiçãoéutilizadaparacalcularparâmetrosdemográficos- Nãohánecessidadedeacompanharoind.aolongodasuavidainteira

Migraçãopodeserincluída

Comofuncionaomodelomatricial?

- Populaçãocom3estádios:plântula,jovemeadulto- Objetivo:projetarotamanhopopulacionalnofuturo

Gráficodociclodevida:

Lifecycle graph

13

6

9

Tempo=t

13-3+4-2=12

6-1+1=6

9-1-1+2=9

Tempo=t+1

Nt Nt+1

Intervalodemográfico

Morreu Nasceu Cresceu311

4-- -

21

1ªamostragem 2ªamostragem

13

6

913-3+4-2=12

6-1+1=6

9-1-1+2=9

Nt Nt+1Morreu Nasceu Cresceu311

4-- -

21

Taxasdemográficas(ouprobabilidades):

Mortalidade Crescimento Sobrevivência Permanência Fecundidade

3/13=0,23 2/13=0,15 10/13=0,77 8/13=0,62 -

1/9=0,11 1/9=0,11 8/9=0,89 7/9=0,78 -

1/6=0,17 - 5/6=0,83 5/6=0,83 4/6=0,67plântulas/adulto

Fecundidade:nºmédiodeplântulasproduzidasporumind.reprodutivo

Mortalidade Crescimento Sobrevivência Permanência Fecundidade

3/13=0,23 2/13=0,15 10/13=0,77 8/13=0,62 -

1/9=0,11 1/9=0,11 8/9=0,89 7/9=0,78 -

1/6=0,17 - 5/6=0,83 5/6=0,83 4/6=0,67plântulas/adulto

p1=0,62 p2=0,78p3=0,83

c1=0,15 c2=0,11

f=0,67

Qualseráotamanhopopulacionalemt+2?

Mortalidade Transiçãoentreestádios Sobrevivência Permanência Fecundidade

3/13=0,23 2/13=0,15 10/13=0,77 8/13=0,62 -

1/9=0,11 1/9=0,11 8/9=0,89 7/9=0,78 -

1/6=0,17 - 5/6=0,83 5/6=0,83 4/6=0,67plântulas/adulto

Intervalodemográfico1

1ªamostragem 2ªamostragem

Intervalodemográfico2

3ªamostragemTempot Tempot+1 Tempot+2

13

6

9

Nt12

6

9

Nt+112*0,62+0,67*6=11

6*0,83+9*0,11=69*0,78+12*0,15=9

Nt+2

Total 28 27 26

Mortalidade Transiçãoentreestádios Sobrevivência Permanência Fecundidade

3/13=0,23 2/13=0,15 10/13=0,77 8/13=0,62 -

1/9=0,11 1/9=0,11 8/9=0,89 7/9=0,78 -

1/6=0,17 - 5/6=0,83 5/6=0,83 4/6=0,67plântulas/adulto

Vocêconfiarianestastaxasparaprojetarapopulaçãonofuturo(100anos)?

Mortalidade Transiçãoentreestádios Sobrevivência Permanência Fecundidade

3/13=0,23 2/13=0,15 10/13=0,77 8/13=0,62 -

1/9=0,11 1/9=0,11 8/9=0,89 7/9=0,78 -

1/6=0,17 - 5/6=0,83 5/6=0,83 4/6=0,67plântulas/adulto

Baixonamostralparaestimarastaxasdemográficascomprecisão

- Cadaind.mortoem6indivíduosrepresenta17%

- Seforemamostrados100indivíduosdecadacategoria,cadaumdelesrepresenta1%

Vocêconfiarianestastaxasparaprojetarapopulaçãonofuturo(100anos)?

Qualseráotamanhodapopulaçãoemt100?

- ModeloMatricial:

- A=matrizdetransição

- n=vetorcolunacontendoon° deindivíduosemcadaestádionotempot

- Facilitaaoperacionalizaçãodascontaserequerpoucoprocessamentodedados

- Possibilitaocálculodeváriosoutrosparâmetrospopulacionais

nt+1=Ant

Matrizdetransição(A):

p1 p2 p3

c1 c2

f3

Permanência(p)Crescimento(c)Fecundidade(f)

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

320021301

pcpc

fpA

plântula

plântula

jovem

jovem

adulto

adulto

Tempot

Tempot+1Fecundidade:nºmédiodeplântulasproduzidasporumind.reprodutivo

Matrizdetransição(A):

p1 p2 p3

c1 c2

f3

Permanência(p)Crescimento(c)Fecundidade(f)

plântula

plântula

jovem

jovem

adulto

adulto

Tempot

Tempot+1Fecundidade:nºmédiodeplântulasproduzidasporumind.reprodutivo ú

úú

û

ù

êêê

ë

é=

83,011,00078,015,067,0062,0

A

MatrizdeLefkovitch

p1 p2 p3

c1 c2

f3

c1 c2

f3

MatrizdeLeslie

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û

ù

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ë

é=

320021301

pcpc

fpA

úúú

û

ù

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ë

é=

020001300

cc

fA

- Estádiosontogenéticosouclassesdetamanho

- Muitoutilizadaparaplantas

- Classesetárias- Poucoutilizadapara

plantas

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ù

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ë

é*úúú

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ù

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ù

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é

321

320021301

321

nnn

pcpc

fp

mmm

A n2n3

nt+1=Ant

plântula

jovem

adulto

ModeloMatricial

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û

ù

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ë

é*úúú

û

ù

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ù

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321

320021301

321

nnn

pcpc

fp

mmm

A n2n3

nt+1=Ant

m1=(p1xn1)+(0xn2)+(f3xn3)

plântula

jovem

adulto

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é*úúú

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ù

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321

320021301

321

nnn

pcpc

fp

mmm

A n2n3

nt+1=Ant

m1=(p1xn1)+(0xn2)+(f3xn3)

m2=(c1xn1)+(p2 xn2)+(0 xn3)

plântula

jovem

adulto

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321

320021301

321

nnn

pcpc

fp

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A n2n3

nt+1=Ant

m1=(p1xn1)+(0xn2)+(f3xn3)

m2=(g1xn1)+(p2 xn2)+(0 xn3)

m3=(0xn1)+(c2 xn2)+(p3xn3)

plântula

jovem

adulto

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ù

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é

6912

83,011,00078,015,067,0062,0

321

mmm

A n2n3m1=(0,62x12)+(0x9)+(0,67x6)=11

m2=(0,15x12)+(0,78x9)+(0x6)=9

m3=(0x12)+(0,11x9)+(0,83x6)=6

p1=0,62 p2=0,78p3=0,83

c1=0,15 c2=0,11

f=0,67

nt+1=Ant

A n1n2

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û

ù

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ë

é*úúú

û

ù

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û

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321

320021301

321

nnn

pcpc

fp

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A n2n3

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é*úúú

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321

320021301

321

nnn

pcpc

fp

mmm

A n3n4

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é

321

320021301

321

nnn

pcpc

fp

mmm

A n4n5

(...)

n5=AAAAn1

nt =At-1 n1

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ù

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é*úúú

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ù

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é=

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ù

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é

321

320021301

321

nnn

pcpc

fp

mmm

Premissa:ascondiçõesambientaisnãosealteramaolongodotempo

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Núm

erode

indivídu

os

Ano

Estruturapopulacionalprojetadaaolongodotempo

Ano Plântula Jovem Adulto0 13,0 9,0 6,01 12,0 9,0 6,02 11,4 8,8 6,03 11,0 8,6 6,04 10,8 8,4 5,95 10,6 8,2 5,96 10,4 8,0 5,87 10,3 7,8 5,78 10,2 7,7 5,79 10,0 7,5 5,6

10 9,9 7,4 5,511 9,7 7,3 5,412 9,6 7,2 5,313 9,4 7,0 5,214 9,3 6,9 5,115 9,1 6,8 5,016 9,0 6,7 5,017 8,8 6,6 4,918 8,7 6,5 4,819 8,5 6,4 4,720 8,4 6,3 4,6

DinâmicaassintóticaEstruturaestável

Dinâmicatransiente

17181920212223242526272829

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Núm

erode

indivídu

os

Ano

Tamanhopopulacionalprojetadoaolongodotempo

DinâmicaassintóticaEstruturaestável

Dinâmicatransiente

Ano N0 28,01 27,02 26,23 25,64 25,15 24,76 24,37 23,98 23,59 23,1

10 22,711 22,412 22,013 21,714 21,315 21,016 20,617 20,318 20,019 19,620 19,3

0,9640,9720,9770,9800,9820,9830,9840,9840,9840,9840,9840,9840,9840,9840,9840,9840,9840,9840,9840,984

Lambda

Lambda=Nt+1/Nt

Ano N0 28,01 27,02 26,23 25,64 25,15 24,76 24,37 23,98 23,59 23,1

10 22,711 22,412 22,013 21,714 21,315 21,016 20,617 20,318 20,019 19,620 19,3

Taxadecrescimentopopulacionalprojetadaaolongodotempo

0.9500.9550.9600.9650.9700.9750.9800.9850.9900.9951.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Lambd

a

Ano

DinâmicaassintóticaEstruturaelambdaestáveis

Dinâmicatransiente

Dinâmicatransiente

- Conceito:dinâmicadecurtoprazodapopulação,influenciadapelaestruturapopulacionalinicial

- Importanteparapopulaçõespequenas(podemserextintasantesdeatingiraassíntota)

- Importanteparaavaliarosefeitosdeperturbaçõesoumanejoemcurtoprazo

Stott etal2011.Ecol.Letters 14:959-970

Dinâmicatransiente

Stott etal2011.Ecol.Letters 14:959-970

Métricasusadasparadescreveradinâmicatransientedeumapopulação:

Reactivity – máximocrescimentopopulacionalnoprimeirointervalodemográfico

First-timestep Attenuation - mínimocrescimentopopulacionalnoprimeirointervalodemográfico

Maximum Amplification – maiortamanhopopulacionalpossívelnafasetransiente

Maximum Attenuation - menortamanhopopulacionalpossívelnafasetransiente

Amplified Inertia – amaiordensidadepopulacionalalcançadaemlongoprazoconsiderandoumadeterminadaestruturapopulacional

Attenuated Inertia – amenordensidadepopulacionalalcançadaemlongoprazoconsiderandoumadeterminadaestruturapopulacional

Stott etal2011.Ecol.Letters 14:959-970

Dinâmicatransiente

Conceito:dinâmicadeumapopulaçãoemlongoprazo,quedesprezaainfluênciadaestruturapopulacionalinicial

Principaismétricasusadasparadescreveradinâmicadeumapopulação:

1. Taxaassintóticadecrescimentopopulacional

2. Estruturaestável

3. Valorreprodutivo

4. Sensibilidade

5. Elasticidade

Dinâmicaassintótica

0.9500.9550.9600.9650.9700.9750.9800.9850.9900.9951.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Lambd

a

Ano

1. Taxaassintóticadecrescimentopopulacional

ʎ=0,984Reduçãode1,6%no

tamanhopopulacionalacadaintervalodemográfico

Outraformadesecalcularλ assintótico:

•Propriedadesdasmatrizes(1):

Todamatrizquadradapossuiumautovalordominanteedoisautovetores

Amultiplicaçãodamatriz(A)porumdeterminadovetorcoluna(W)é igualaumdeterminadoescalar(λ1)multiplicadopelomesmovetor(W)

AW=λ1W

λ1=autovalordominantedamatrizA

W=autovetor direito– estruturapopulacionalassintótica

úúú

û

ù

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ë

é=

3w2w1w

W

Desenvolvendoapropriedade1paraencontrarλ1

AW=λ1W

AW-λ1W=0

(A-λ1I)W=0ondeI=matrizidentidadeúúú

û

ù

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ë

é=

100010001

I

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ù

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é-úúú

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ù

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ë

é=-

ll

l

000000

320021301

I)λ(A 1

pcpc

fp

úúú

û

ù

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ë

é

--

-=-

ll

l

320021301

I)λ(A 1

pcpc

fp

• Propriedadedasmatrizes(2):Odeterminantedetodamatrizquadradaé igualazero,portanto,Det (A-λ1I)=0

202101

320021301

cpc

p

pcpc

fpl

l

ll

l-

-

úúú

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ù

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ë

é

--

-

Det (A- λ1I)=0

[(p1-λ)(p2-λ)(p3-λ)]+0+(f3*c1*c2)-0-0-0=0

aλ3+bλ2+cλ +d=0(equaçãodeterceirograu)

Trêspossíveissoluções:λ1, λ2, λ3

λassintótico é omaiorvalorrealemmódulo(autovalordominante)

Ex. λ1 =λ2 =λ3 =

0,9840,621+0,176i0,621-0,176i

Representaavelocidadedecrescimentodapopulação

Autovetores

Autovetor direito (W)– estruturaestáveldapopulação

AW=λ1W

Autovetor esquerdo(V)– valorreprodutivo

V’A=λ1V’

Véumamedidadacontribuiçãodoindivíduoàpróximageraçãodapopulação.

Estádio W VPlântula 0,43 0,13Jovem 0,32 0,31Adulto 0,24 0,57

Estádio

Plântula Jovem Adulto Idade

Árvores Populaçãohumana

Sensibilidadedeλ

• Asensibilidademedeoquantoλ vaivariarcasohajaumapequenaalteração(nomáximo10%)emumataxadamatrizA

• Otermo<W,V>éovalorresultantedamultiplicaçãodosvetoresWeV

• Oresultadoéapresentadoemumamatriz

0,19 0,14 0,11

0,46 0,34 0,25

0,85 0,63 0,47p1=0,62 p2=0,78 p3=0,83

c1=0,15 c2=0,11

f=0,67Acréscimode0,10nataxa:Fecundidade

λ =0,994Δλ =0,01

Crescimentodejovens(c2)λ =1,035Δλ =0,05

Elasticidadedeλ

• Aelasticidadedeλaumapequenavariação(nomáximo10%)nataxaaij damatrizAéoresultadodamultiplicaçãodataxapelasuasensibilidadedivididopelovalordeλ

• Representaasensibilidadeproporcionaldeλaumapequenavariaçãonataxa

• Asomadaselasticidadesdetodasastaxasdamatrizéiguala1

0,12 0,00 0,07

0,07 0,27 0,00

0,00 0,07 0,40p1=0,62 p2=0,78 p3=0,83

c1=0,15 c2=0,11

f=0,67 Acréscimode10%nataxa:Fecundidade

λ =0,991Δλ =0,01

Permanênciadeadultos(p3)λ =1,027Δλ =0,04

Elasticidadedeλ

• Aelasticidadedeλaumapequenavariação(nomáximo10%)nataxaaij damatrizAéoresultadodamultiplicaçãodataxapelasuasensibilidadedivididopelovalordeλ

• Representaasensibilidadeproporcionaldeλaumapequenavariaçãonataxa

• Asomadaselasticidadesdetodasastaxasdamatrizéiguala1

0,12 0,00 0,07

0,07 0,27 0,00

0,00 0,07 0,40p1=0,62 p2=0,78 p3=0,83

c1=0,15 c2=0,11

f=0,67 Somadaselasticidades:

Permanência0,12+0,27+0,40=0,79

Crescimento0,07+0,07=0,14

Fecundidade=0,07

Triângulodemográfico

Franco & Silvertown 2004. Ecology 85(2):531-538

Fecundidade

CrescimentoPermanência

Ahistóriadevidadaplantainfluenciaaelasticidade

LTRE– LifeTable ResponseExperiments

• Permitecompararadinâmicaentreduasoumaispopulações(ouentreanos)

• Aanáliseencontraataxademográficaquemaiscontribuiparaadiferençadeλ entrematrizes

• Essacontribuiçãoconsistenadiferençaentreosvaloresdataxaponderadapelasensibilidadedeλ àvariaçõesnataxa

Exemplo:

• Aalteraçãodequaldasduastaxasabaixotemmaiorcontribuiçãoparaavariaçãodoλ entrematrizes?

úúú

û

ù

êêê

ë

é

83,011,00078,015,067,0062,0

A1(λ =0,984)

úúú

û

ù

êêê

ë

é

89,011,00078,015,000,5062,0

A2(λ =1,215)

Exemplo:

úúú

û

ù

êêê

ë

é

83,011,00078,015,067,0062,0

A1(λ =0,984)

úúú

û

ù

êêê

ë

é

89,011,00078,015,000,5062,0

A2(λ =1,215)

úúú

û

ù

êêê

ë

é

86,011,00078,015,083,2062,0

Matrizmédia

úúú

û

ù

êêê

ë

é

44,006,141,214,033,076,004,010,023,0

Sensibilidade

ComparandoA1comA2:

úúú

û

ù

êêê

ë

é

01,00000009,000

ContribuiçãoLTRE

úúú

û

ù

êêê

ë

é

03,00000017,200

A2- média

Adiferençaemλ foi9vezesmaisinfluenciadapeladiferençadefecundidadedoquepeladiferençanapermanênciadosadultos

• Testerealizadocom82populaçõesde20espéciesdeplantas

1- Amostrageminicial durantedoisacincoanosconsecutivos2- Estimativadotamanhopopulacionalparatanosnofuturo(pelomenos5anos)usandomodelosmatriciais3- Reamostragem noanotparaconferirseaestimativaestava,ounão,correta

Croneetal.2013

• 40%daspopulaçõesobservadascaíramdentrodointervalodeconfiançadaestimativafeitausandoosmodelosmatriciais

• Emgeral,osmodelosmatriciaissuperestimaramotamanhopopulacionalreal

• Oerrodaestimativadeveestarrelacionadoàmudançasnascondiçõesambientais,principalmenteprecipitaçãoetemperatura

Estimativa± intervalodeconf.Observado

•Modelosmatriciaissãopoucoprecisosparaestimarofuturodaspopulações,anãoserqueascondiçõesambientaissemantenhamconstantes;

• Compararocomportamentodepopulaçõessujeitasadiferentescondiçõesambientais;

• Avaliarosefeitosemcurtoprazodeaçõesdemanejo(dinâmicatransiente);

• Determinarosprocessosdemográficosmaisimportantesparaadinâmicapopulacional

Esteéumproblemadetodomodelopreditivo.Nãoconseguimosprever

adequadamentenemoclima.

Af:Anadenanthera falcataBr:Bauhinia rufaDm:DalbergiamiscolobiumMa:MiconiaalbicansVt:Vochysia tucanorumXa:Xylopia aromatica

Santos,F.A.M.,Martins,F.R. &Tamashiro,J.Y. dadosnãopublicados.Itirapina,SP.

Adensidadeeataxadecrescimentopopulacionaldasespéciesvariammuitoentreanos

Fatoresestocásticos:• Variaçõesclimáticasentreanos• Competiçãointerespecífica• Disponibilidadederecursos• Herbivoria• Fogo

Estocasticidade ambiental

• Incluiravariabilidadeambientalaolongodotemponomodelomatricial• EstimadordeHeyde eCohen(1985)• Exemplo:• Amostragenscomdoisintervalosdemográficos

• Comoadinâmicapopulacionaléinfluenciadapelafrequênciadeanosruinsaolongodotempo?

úúú

û

ù

êêê

ë

é

83,011,00078,015,067,0062,0

úúú

û

ù

êêê

ë

é

50,011,00078,015,067,0062,0

B- anobom R- anoruim

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

SequenciadeMatrizes

B B R B R R B R B R B R R B B

N 28 30 27 28 27 25 26 25 27 26 27 26 24 25 26

Logλt 0,03 -0,05 0,02 -0,02 -0,03 0,02 -0,02 0,03 -0,02 0,02 -0,02 -0,03 0,02 0,02 0,03

• 50%dechancedeocorrerumanoruim(frequencia de0,5):

Logλt =logN(t+1)– logN(t)

T=1.000

λs =0,998

å-

=-=

1T

1t1s (t)logλ

1T1Logλ

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

SequenciadeMatrizes

B B R B R B B B B R B B R B B

N 28 30 27 28 27 28 30 32 33 32 32 33 31 32 34

Logλt 0,03 -0,05 0,02 -0,02 0,02 0,03 0,03 0,01 -0,01 0,00 0,01 -0,03 0,01 0,03 0,03

• 25%dechancedeocorrerumanoruim(frequencia de0,25):

λs =1,006

0.97

0.98

0.99

1.00

1.01

1.02

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

Lambd

aestocástico

Frequenciadeocorrênciadoanoruim

Resumodaaula

• Adinâmicapopulacionalpodeserdescritadetrêsformasdiferentes1)Dinâmicatransiente2)Dinâmicaassintótica

+Estruturapopulacionalestável+Taxadecrescimentopopulacionalassintótica+Valorreprodutivodosindivíduos+Sensibilidadeeelasticidade

3)Dinâmicaqueconsideraosfatoresestocásticos

• Ousodosmodelosmatriciaisparapredizerofuturodeveserevitado

• Osmodelosmatriciaissãoferramentaspoderosasparaestudosdesimulaçãoecomparaçãoentrepopulações

ReferênciasGerais

Goteli,N.J.2009.Ecologia.4ªEd.EditoraPlanta.

Gurevitch,J.;Scheiner,S.;Fox,G.2002.The ecology of plants.SinauerAssociates,Sunderland,USA.

Harper,J.L.1977.PopulationBiologyofPlants.AcademicPress,London.

Silvertown,J.&Charlesworth,D.2001.Introductiontoplantpopulationbiology.4ªEd.BlackwellPublishing,USA.

Referênciassobremodelosmatriciais

Aulaprática

Instalar:R(https://cran.r-project.org/)Rstudio (https://www.rstudio.com/products/rstudio/download/)Pacotepopbio (https://cran.r-project.org/web/packages/popbio/)

Dados:“dadosparapratica.xlsx”Script:“scriptaulamatrizes.r”

Aulaprática

HerbáceaameaçadadeextinçãoqueocorrenosobosquedeMatadeGaleriaefoiamostradaemumafazenda.

p1 p2 p3

c1c2

f3

Permanência(p)Crescimento(c)Fecundidade(f)Retrogressão (r)

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

320321301

pcrpcfp

A

plântulaplântula

jovem

jovem

adulto

adulto

Tempot

Tempot+1

Fecundidade:nºmédiodeplântulasproduzidasporumind.reprodutivo

r3

Amostragem1 Amostragem2 Amostragem3

Intervalodemográfico1MatrizA1

t1 t2 t31 1 2NA 1 11 m NA2 2 mNA NA 13 2 33 3 m

.

.

.

entret1et2 entret2et3permaneceu cresceurecrutou permaneceumorreu NA

permaneceu morreuNA recrutou

regrediu cresceupermaneceu morreu

Legenda:Símbolo Descrição

1 plântula2 jovem3 adultom mortaNA célulaembranco

Planilhadedados:

Intervalodemográfico2MatrizA2

Nointervalodemográfico1aprecipitaçãoanualfoi2vezesmenorquenointervalodemográfico2

Questãodaaula:

Refazertodasasanálisesfeitasnaaulapráticausandoo

mesmoarquivodedadoseomesmoscriptdoR.Escrever

umrelatórioquecontenhatodososresultadosobtidosna

análiseeasuainterpretação.Escreverumparágrafodeaté

10linhascontendosugestõesviáveisdemanejodesta

populaçãoparaoproprietáriodafazenda,queteminteresse

emconservaraespécienaárea.