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Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia do Triângulo Mineiro – IFTM
Pós-graduação em saneamento ambiental
Disciplina: Hidrologia Aplicada
Aula:Hidrologia Estatística
Docente responsável: Melina Chiba Galvão
• Estatística descritiva
• Distribuição Probabilística
• Curva de permanência
• Vazões máximas
• Vazões mínimas
Hidrologia Estatística Hidrologia Estatística
• (q) vazão média específica: a vazão média/ área de drenagem da bacia.
n
x
x
n
i
i 1
Média
• Vazões médias mensais - valor médio da vazão para cada mês do ano. Importância: análise da sazonalidade de um rio.
Vazões medias mensais do rio Cuiabá em Cuiabá (dados de 1967 a 1999).
Sazonalidade Marcada
Mediana
• Desvantagem da média: um valor excepcional pode afetar muito a média.
• Def.: é a medida de centro, o valor do meio quando os dados originais estão arranjados em ordem crescente (ou decrescente) de magnitude.
• Valor superado em 50% dos pontos da amostra ou da população.
• Para encontrar a mediana, ordene os valores e: - Caso o n for ímpar, a mediana será o número
localizado no meio exato da lista; - Caso o n for par; a mediana será dada pelo cálculo da
média dos 2 números do meio
desvio padrão
• Indica a variabilidade dos valores em torno da média.
• Para cálculo de σ (população), ao invés de dividir por n – 1, dividimos por N (tamanho da população);
• o quadrado do desvio padrão s2 é chamada variância da amostra; σ2 é a variância populacional.
1
1
2
n
xx
s
n
i
i
Coeficiente de Variação
Relação entre o desvio padrão e a média.
–É uma medida da variabilidade dos valores em torno da média.
Coeficiente de Assimetria
• Valor que caracteriza o quanto uma amostra de dados é assimétrica com relação à média.
– Uma amostra é simétrica com relação à média se o histograma dos dados revela o mesmo comportamento de ambos os lados da média.
Coeficiente de Assimetria
• Assimetria nula: –G = 0 • Assimetria Positiva: –G > 0 –Concentração de
frequências na zona de valores mais reduzidos.
• Assimetria Negativa –G < 0 –Concentração de
frequências na zona de valores mais elevados.
Quantis e Quartis
• Quantis separam a amostra de forma semelhante à mediana, porém em intervalos diferentes.
• Quartis: Separam a amostra em quatro partes:
–Primeiro Quartil: Valor que separa a amostra em dois grupos em que 25% dos pontos tem valor inferior ao quartil e 75% tem valor superior ao quartil.
–Terceiro Quartil: Valor que separa a amostra em dois grupos em que 75% dos pontos tem valor inferior ao quartil e 25% tem valor superior ao quartil.
–Segundo quartil: A própria mediana.
Quantis e Quartis
• Além dos três quartis, que separam a amostra em quatro, podem ser definidos quantis arbitrários, que dividem a amostra arbitrariamente em frações diferentes.
–Ex: o quantil 90% divide a amostra em dois grupos. O primeiro (90% dos dados) tem valores inferiores ao quantil 90% e o segundo (10% dos dados) tem valores superiores ao quantil 90%.
• Grande conjunto de dados útil organizar e resumir em uma tabela.
• Def.: lista os valores dos dados (individualmente ou por grupos de intervalos), juntamente com suas frequências correspondentes (ou contagens).
• Contribui na compreensão da natureza da distribuição do conjunto de dados.
Distribuição de Frequência Tempo Chuva
0 0 1 0 2 0 3 3 4 0 5 4 6 8 7 12 8 5 9 9
10 7 11 7 12 5 13 1 14 0 15 0 16 0 17 0 18 0 19 0 20 0 21 0 22 0 23 0 24 0
• Frequência de ocorrência de chuvas diárias de diferentes alturas em um posto pluviométrico (PR), em um período de aprox. 23 anos.
Distribuição de Frequência
Distribuição de Frequência
• Histograma – representação gráfica da tabela de distribuição de frequências.
Tempo Chuva 0 0
1 0
2 0
3 3
4 0
5 4
6 8
7 12
8 5 9 9
10 7
11 7
12 5
13 1
14 0
15 0
16 0
17 0
18 0
19 0
20 0
21 0
22 0 23 0 24 0
Frequência de Dados Hidrológicos
• Fenômenos hidrológicos são aleatórios (ex.: vazão) pode-se associar um caráter probabilístico;
• Sempre haverá possibilidade de um dado evento hidrológico ser superior ou inferior a um valor histórico já registrado.
• Uma das principais funções da hidrologia: observar os eventos e modelar as frequências de ocorrência previsões assumindo determinado risco.
Frequência de Dados Hidrológicos • Estatística associada a variáveis hidrológicas: a
probabilidade deste evento ser maior ou menor que este valor, ou estar entre 2 valores específicos.
• Frequência de dados hidrológicos: • inicia-se pelo estudo de sua ocorrência,
estabelecendo um percentual com que uma variável hidrológica pode ser maior que um dado valor frequência de excedência e é obtida diretamente de uma série histórica de dados.
• Frequência de não excedência - percentual de uma variável ser menor ou igual a um dado valor.
A curva de permanência
- Uma das análises estatísticas mais simples e mais importantes na hidrologia.
- Auxilia na análise dos dados de vazão. Ex:
• O rio tem uma vazão aproximadamente cte ou extremamente variável entre os extremos máximo e mínimo?
• Qual é a porcentagem do tempo em que o rio apresenta vazões em determinada faixa?
• Qual é a porcentagem do tempo em que um rio tem vazão suficiente para atender determinada demanda?
• Variação do diagrama de freqüências relativas acumuladas • Expressa a relação entre a vazão e a frequência com que esta
vazão é superada ou igualada. • Pode ser elaborada a partir de dados diários ou dados
mensais de vazão.
A curva de permanência
A curva de permanência
Destaque para a faixa de vazões mais baixas eixo vertical logarítmico
Importância da curva de permanência
Alguns pontos da curva recebem atenção especial:
• Q50: a vazão que é superada em 50% do tempo (mediana das vazões).
• Q90: a vazão que é superada em 90% do tempo referência para legislação na área de Meio Ambiente e de Recursos Hídricos em muitos Estados do Brasil.
• Q95: a vazão que é superada em 95% do tempo utilizada para definir a Energia Assegurada de uma usina hidrelétrica.
Q90 = 40 m3/s
A vazão deste rio é superior a 40 m3/s em 90 % do tempo.
Curva permanência de vazões
• As ações e legislações existentes, nos Sistemas Estaduais
de Gestão de Recursos Hídricos, apresentam critérios de
estabelecimento de uma “vazão ecológica” evitar que o
rio seque pelo excesso de uso.
• Escolhe-se uma vazão de referência (baseada na curva de
permanência de vazões ou num ajuste de probabilidade de
ocorrência de vazões mínimas, ex.: Q90 ou Q7,10) e arbitra-se
um percentual máximo desta vazão que pode ser outorgado.
O restante da vazão de referência é considerado como sendo
a “vazão ecológica”.
ESTADO Vazão de referência Vazão Máxima Outorgável Vazão Remanescente
PR
Q7,10 50% Q7,10
50% Q7,10
MG 30% Q7,10 70% Q7,10
PE
Q90
80% Q90 20% Q90 BA
PB
90% Q90 10% Q90 RN
CE
Vazões de referência, máximas outorgáveis
e remanescentes Vazões de referência, máximas outorgáveis e remanescentes
definidas por órgãos ambientais de Estados Brasileiros:
Exercício 1 Os dados de vazão do rio Descoberto em Santo Antônio do
Descoberto (GO) foram organizados na forma de uma curva de permanência. Um empreendedor solicita outorga de 2,5 m3/s num ponto próximo no mesmo rio. Considerando que a legislação permite outorgar apenas 20% da Q90 a cada solicitante, responda: é possível atender a solicitação?
• Energia Assegurada é a energia que pode ser
suprida por uma usina com um risco de 5% de não
ser atendida, isto é, com uma garantia de 95% de
atendimento;
• Numa usina com reservatório pequeno, a energia
assegurada é definida pela Q95 ;
• A empresa de energia será remunerada pela
Energia Assegurada.
Energia Assegurada
eHQP
P = Potência (W)
= peso específico da água (9810 N/m3)
Q = vazão (m3/s)
H = queda líquida (m)
e = eficiência da conversão de energia hidráulica em
elétrica
e depende da turbina; do gerador e do sistema de adução
0,76 < e < 0,87
Importância para geração de energia
Exercício 2 Calcule a energia assegurada de uma usina hidrelétrica
para a qual a curva de permanência de vazões é dada pelo gráfico abaixo. Considere uma eficiência de conversão de energia de 79% e uma altura de queda de 98 metros.
Séries Temporais
• Hidrograma: Gráfico que relaciona as vazões com o tempo sequência contínua.
• Algumas análises estatísticas necessitam de dados discretos.
–A partir de uma sequência contínua de vazões, é possível identificar séries temporais de valores discretos. Ex.: vazões médias anuais, máximas anuais e mínimas anuais.
–As séries discretas são tratadas como amostras do comportamento de um rio ou de uma bacia.
Séries temporais
Séries temporais
Risco, probabilidade e tempo de retorno
• Séries temporais discretas são convenientes para avaliar riscos em hidrologia.
• Risco - um sinônimo de probabilidade.
• Hidrologia: risco a probabilidade de ocorrência de um evento multiplicada pelos prejuízos que se espera da ocorrência deste evento.
• Projetos de estruturas hidráulicas sempre são elaborados admitindo probabilidades de falha.
• Ex.: pontes de estradas são projetadas com uma altura tal que a probabilidade de ocorrência de uma cheia que atinja a ponte seja de apenas 1% num ano qualquer.
• Alto custo para dimensionamento para a maior vazão possível, por isso admite-se uma probabilidade, ou risco, de que a estrutura falhe.
• Podem ocorrer vazões maiores do que a vazão adotada no dimensionamento.
Risco, probabilidade e tempo de retorno
• Probabilidade depende do tipo de estrutura: a probabilidade admitida para a falha < se a falha desta estrutura provocar grandes prejuízos econômicos ou mortes de pessoas.
Estrutura TR (anos)
Bueiros de estradas pouco movimentadas 5 a 10
Bueiros de estradas muito movimentadas 50 a 100
Pontes 50 a 100
Diques de proteção de cidades 50 a 200
Drenagem pluvial 2 a 10
Grandes barragens (vertedor) 10.000
Pequenas barragens 100
Risco, probabilidade e tempo de retorno
Análise de vazões máximas:
• A probabilidade anual de excedência de uma determinada vazão é a probabilidade que esta vazão venha a ser igualada ou superada num ano qualquer.
• O tempo de retorno desta vazão é o intervalo médio de tempo, em anos, que decorre entre duas ocorrências subseqüentes de uma vazão maior ou igual.
Risco, probabilidade e tempo de retorno
• A probabilidade de ocorrência de uma cheia de 10 anos de tempo de retorno, ou mais, num ano qualquer é de 0,1 (ou 10%).
• A vazão máxima de 10 anos de tempo de retorno (TR = 10 anos) é excedida em média 1 vez a cada dez anos.
• Isto não significa que 2 cheias de TR = 10 anos não possam ocorrem em 2 anos seguidos. Também não significa que não possam ocorrer 20 anos seguidos sem vazões iguais ou maiores do que a cheia de TR=10 anos.
Risco, probabilidade e tempo de retorno
- O risco também pode estar relacionado a situações de vazões mínimas.
• Ex.: utilização de um rio para abastecimento de uma cidade.
• Dependendo do tamanho da população e das características do rio, existe um sério risco de que, num ano qualquer, ocorram alguns dias em que a vazão do rio seja inferior à vazão necessária para abastecer a população.
• Vazões mínimas: P refere-se à probabilidade de ocorrer um evento com vazão igual ou inferior.
Risco, probabilidade e tempo de retorno
• 2 formas de atribuir probabilidades e tempos de retorno às vazões máximas e mínimas: métodos empíricos e métodos analíticos.
• Probabilidades empíricas - estimadas a partir da observação das variáveis aleatórias.
• Ex.: a probabilidade de que uma moeda caia com a face “cara” virada para cima é de 50%. Esta probabilidade pode ser estimada empiricamente lançando a moeda 100 vezes e contando quantas vezes cada uma das faces fica voltada para cima.
• Problema: tamanho da amostra pequeno, a estimativa tende a ser muito incerta.
• Ex.: moeda com 6 lançamentos – há a possibilidade de que seja estimada uma probabilidade muito diferente de 50%.
• Resolução: é comum supor que os dados hidrológicos sejam aleatórios e que sigam uma determinada distribuição de probabilidade analítica: ex.: a distribuição normal.
Risco, probabilidade e tempo de retorno
Chuvas anuais e a distribuição normal
• Chuvas anuais: pode ser considerada uma variável aleatória com distribuição aprox. normal.
• Suposição: permite explorar melhor amostras relativamente pequenas (ex.: apenas 20 anos).
Distribuição normal padrão Função densidade de probabilidade (FDP) da
distribuição normal, depende de 2 parâmetros: a média e o desvio padrão da população.
•Onde: μx - média da população; σx - desvio padrão da população.
Distribuição normal padrão
2
zexp
2
1zf
2
z
No caso mais simples, z é uma variável aleatória com μ= 0 e σ = 1
• Uma variável aleatória x com média mx e desvio padrão sx
pode ser transformada em uma variável aleatória z, com
média zero e desvio padrão igual a 1 pela transformação
abaixo:
• Esta transformação pode ser utilizada para estimar a
probabilidade associada a um determinado evento
hidrológico em que a variável segue uma distribuição
normal.
x
xxz
Distribuição normal padrão
Tabela
• Programa Excel é possível obter os valores das probabilidades utilizando a função DIST.NORMP(z), que dá a probabilidade de ocorrer um valor inferior a z.
• Relação entre probabilidades e tempos de retorno
Exercício 3 As chuvas anuais em um posto pluviométrico
seguem aproximadamente, uma distribuição normal, com µ = 1433 mm e σ = 299 mm. a) Qual é a probabilidade de ocorrer um ano com chuva total > 2000 mm? b) E o seu tempo de retorno?
x
xxz
• Vazões máximas
• Vazões mínimas
Eventos Extremos
• Dimensionamento de canais.
• Dimensionamento de proteções contra cheias (diques).
• Dimensionamento de pontes.
• Dimensionamento de vertedores (neste caso o volume é
muito importante).
Algumas situações em que se deseja estimar
as vazões máximas
Vazões máximas
• Selecionando apenas as vazões máximas de cada ano em um determinado local (série de vazões máximas) análises estatísticas relacionando vazão com probabilidade.
• As séries de vazões disponíveis na maior parte dos locais (postos fluviométricos) são relativamente curtas, não superando algumas dezenas de anos.
Vazões máximas • Ex.: Vazões do rio Cuiabá (1984-1992) -> análise das
vazões máximas.
Vazões máximas • Distribuição Empírica: Equação para estimativa da
frequência observada - fórmula de Weibull • Reorganizando as vazões máximas em ordem
decrescente (freq. de excedência), podemos atribuir uma probabilidade de excedência empírica a cada uma das vazões máximas da série:
• Onde: m - ordem da vazão (para a maior vazão m=1 e para a menor vazão m=N); N - tamanho da amostra (número de anos).
Distribuição Empírica
Ano Vazão (m3/s) Ordem Probabilidade TR (anos)
1988 2218.0 1 0.11 9.0
1989 2190.0 2 0.22 4.5
1987 1812.0 3 0.33 3.0
1984 1796.8 4 0.44 2.3
1991 1747.0 5 0.56 1.8
1986 1565.0 6 0.67 1.5
1985 1492.0 7 0.78 1.3
1990 1445.0 8 0.89 1.1
Vazões máximas
• Problema da estimativa empírica de probabilidades: não é possível extrapolar a estimativa para tempos de retorno maiores.
• Ex.: necessidade de estimar a vazão máxima de 100 anos de TR, mas existem apenas 18 anos de dados observados. Probabilidades empíricas permitem estimar vazões máximas de TR próximo de 18 anos.
• Para extrapolar as estimativas de vazão máxima supor que as vazões máximas anuais seguem uma distribuição de probabilidades conhecida (chuvas anuais).
Vazões Máximas
• Distribuição Normal:
–Calcular a média 𝑄
–Calcular desvio padrão 𝑆𝑄
–Obter os valores de “Z” (ou “K” (fator de frequencia) da tabela.
–Calcular a vazão para cada TR:
Ajuste da Distribuição Normal aos dados do
Rio Guaporé de 1940 a 1995
Subestima!
Vazões máximas
• Vazões máximas não seguem a distribuição normal.
• Histogramas de vazões máximas anuais - forte assimetria positiva (longa cauda na direção dos maiores valores) - invalida o uso da distribuição normal
• Log Normal: a mais simples, supõe que os logaritmos das vazões seguem uma distribuição normal.
Outras distribuições de probabilidades
• Calcular os logaritmos das
vazões máximas anuais
• Calcular a média
• Calcular desvio padrão S
• Obter os valores de Z da tabela
• Calcular o valor de x (logaritmo
da vazão) para cada TR por
• Calcular as vazões usando Q =
10x para cada TR
ZSxx
x
Log normal Passo a passo
As vazões máximas anuais do no Guaporé no posto
fluviométrico Linha Colombo são apresentadas na tabela abaixo.
Utilize a distribuição log-normal para estimar a vazão máxima
com 100 anos de tempo de retomo.
Exercício 4
• Análises mais rigorosas: é necessário testar 3 ou mais distribuições de probabilidade teóricas, e avaliar qual é a distribuição que melhor se adequa aos dados.
Vazões máximas
Dados do Rio Guaporé
Distribuição Log Pearson III: • Utiliza, além da média e do desvio padrão, um
terceiro parâmetro estimado a partir dos dados: o coeficiente de assimetria.
• Também pode ser expressa na forma:
• Valores de K tabelados para diferentes valores do coeficiente de assimetria.
• Não é adequada para N pequeno.
Outras distribuições de probabilidades
Distribuição de Gumbel
• Também chamada de Distribuição de Valores Extremos do tipo 1, muito utilizada em análise estatística de eventos extremos.
• Vantagem: não é necessário utilizar tabelas de probabilidades.
• A função de probabilidades acumuladas (1) e função densidade da distribuição (2) são, respectivamente:
• α – parâmetro de escala e β – parâmetro de posição
1 2
Distribuição de Gumbel
• A funcão inversa da FAP de Gumbel, ou função de quantis, e expressa por:
• T - período de retorno em anos; F – probabilidade
anual de nao superacao.
O valor esperado , a variância e o coeficiente de assimetria:
Distribuição de Gumbel
• Exemplos de funções densidades da distribuição de Gumbel (máximos)
Vazões máximas em pequenas bacias
• Em pequenas bacias, onde normalmente não existem dados de vazão medidos, as vazões máximas são necessárias para dimensionar estruturas de drenagem, como bueiros, bocas de lobo e calhas.
• Nestas situações é mais comum a utilização de um método de estimativa baseado em dados de chuva, que são transformados em vazão.
• O método mais simples: Método racional (bacias de até 2 km2)
Vazões mínimas
• Semelhante à análise de vazões máximas
• Probabilidade de ocorrência de vazões iguais ou menores do que um determinado limite.
• Probabilidades empíricas: valores de vazão devem ser organizados em ordem crescente (e não decrescente).
Vazões mínimas
Usos:
- Disponibilidade hídrica em períodos críticos;
- Legislação de qualidade de água;
- Outorga;
• Normalmente, as vazões mínimas que interessam tem a duração de vários dias
• Q7,10 é a vazão mínima de 7 dias de duração com TR de 10 anos.
Q7,10
1) Seleção da amostra: Série histórica de vazões diárias de i anos (i > 30 anos)
2) Formação da série das Q7 mínimas observadas:
• Cálculo das médias-móveis de 7 dias (Q7)
– 365 valores de Q7 para cada um dos i anos
• Formar uma série de i elementos, composta pela menor Q7 obtida em cada ano (Q7m)
3) A série de i valores de Q7m deve ser ajustada a uma distribuição de probabilidade
4) Para cada período de retorno T desejado tem-se:
Q7,10
• A expressão de KT varia conforme a distribuição probabilística utilizada:
– Normal; Log-Normal
– Gumbel; Log-Gumbel
– Pearson; Weibull...
Distribuição Gumbel Mínimos
• forma assintótica limite para um conjunto de N variáveis aleatórias originais {X1, X2, ... , XN}, independentes e igualmente distribuídas conforme um modelo FX(x) de cauda inferior exponencial.
• A função de probabilidades acumuladas (1) e função densidade da distribuição (2) são, respectivamente:
• α – parâmetro de escala e β – parâmetro de posição
1 2
Distribuição Gumbel Mínimos • O valor esperado, a variância e o coeficiente de
assimetria são respectivamente:
• A inversa da FAP de Gumbel (mínimos), ou função de quantis, e expressa por:
• T - periodo de retorno (anos); F – probabilidade anual de nao superacao.
Distribuição Gumbel Mínimos
• Exemplos de funções densidades da distribuição de Gumbel (mínimos)
Exercício 5
• Suponha que para um dado local, as Q7 anuais sejam denotadas pela variável aleatória Z e que, em um dado local, E[Z] = 28,475 m3/s e σ[Z]= 7,5956 m3/s. Calcule a vazão Q7,10 pelo modelo de Gumbel (mínimos).
Disponível em: http://www.cprm.gov.br/publique/cgi/cgilua.exe/sys/start.htm?infoid=981&sid=36