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5/11/2018 Aula de Álgebra Linear - 6 de Outubro - slidepdf.com
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Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
Á l g e b r a L i n e a r
E s p a ç o s V e t o r i a i s : T e o r e m a d o C o m p l e t a m e n t o
P r o f . E s p . : T h i a g o V e d o V a t t o
U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d e G o i á s
C a m p u s J a t a í
C o o r d e n a ç ã o d e M a t e m á t i c a
1 6 d e o u t u b r o d e 2 0 1 1
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Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
O b j e t i v o s d a A u l a
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e D i m e n s ã o
T e o r e m a d a I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e D e t e r m i n a ç ã o d e u m a B a s e
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T h i a g o
V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
D e n i ç ã o ( D e n i ç ã o d e D i m e n s ã o ( r e c a p i t u l a n d o ) )
S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o
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V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
D e n i ç ã o ( D e n i ç ã o d e D i m e n s ã o ( r e c a p i t u l a n d o ) )
S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o . D e n o m i n a - s e
d i m e n s ã o d e V
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P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
D e n i ç ã o ( D e n i ç ã o d e D i m e n s ã o ( r e c a p i t u l a n d o ) )
S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o . D e n o m i n a - s e
d i m e n s ã o d e V ( n o t a ç ã o : d i m V ) o n ú m e r o d e v e t o r e s d e
u m a q u a i s q u e r d e s u a s b a s e s
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D e n i ç ã o ( D e n i ç ã o d e D i m e n s ã o ( r e c a p i t u l a n d o ) )
S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o . D e n o m i n a - s e
d i m e n s ã o d e V ( n o t a ç ã o : d i m V ) o n ú m e r o d e v e t o r e s d e
u m a q u a i s q u e r d e s u a s b a s e s . D i z - s e t a m b é m , n e s t e c a s o ,
q u e V é u m e s p a ç o d e d i m e n s ã o n i t a .
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S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o
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P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
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T e o r e m a ( T e o r e m a d a I n v a r i â n c i a ( r e c a p i t u l a n d o ) )
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S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e g e r a d o . E n t ã o d u a s
b a s e s q u a i s q u e r d e V t ê m o m e s m o n ú m e r o d e v e t o r e s .
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S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l d e d i m e n s ã o n ≥ 1
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u m a B a s e
T e o r e m a ( T e o r e m a d o C o m p l e t a m e n t o )
S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l d e d i m e n s ã o n ≥ 1
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u m a B a s e
T e o r e m a ( T e o r e m a d o C o m p l e t a m e n t o )
S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l d e d i m e n s ã o n ≥ 1 . S e
{u
1
, . . . ,u
r
} ⊂ V é u m s u b c o n j u n t o L . I . c o m r v e t o r e s e
r < n
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P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
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u m a B a s e
T e o r e m a ( T e o r e m a d o C o m p l e t a m e n t o )
S e j a V u m e s p a ç o v e t o r i a l d e d i m e n s ã o n ≥ 1 . S e
{u
1
, . . . ,u
r
} ⊂ V é u m s u b c o n j u n t o L . I . c o m r v e t o r e s e
r < n , e n t ã o e x i s t e m n − r v e t o r e s u
r +1 , . . . , u
n ∈ V , d e
m a n e i r a q u e B = {
u
1
, . . . ,u
r
,u
r +1
, . . . ,u
n
}é u m a b a s e d e
V .
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D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
D e m o n s t r a ç ã o .
C o n s i d e r a n d o {u
1
, . . . , u
r
} ⊂ V
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D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
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T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
D e m o n s t r a ç ã o .
C o n s i d e r a n d o {u
1
, . . . , u
r
} ⊂ V
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D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
D e m o n s t r a ç ã o .
C o n s i d e r a n d o {u
1
, . . . , u
r
} ⊂ V . T o m e m o s u m a b a s e
C
= {v
1
, . . . ,v
n
}d e V e f o r m e m o s a u n i ã o
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D i m e n s ã o
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I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
D e m o n s t r a ç ã o .
C o n s i d e r a n d o {u
1
, . . . , u
r
} ⊂ V . T o m e m o s u m a b a s e
C
= {v
1
, . . . ,v
n
}d e V e f o r m e m o s a u n i ã o :
S = {u
1
, . . . , u
r
, v
1
, . . . , v
n
}
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D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
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I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
D e m o n s t r a ç ã o .
C o n s i d e r a n d o {u
1
, . . . , u
r
} ⊂ V . T o m e m o s u m a b a s e
C
= {v
1
, . . . ,v
n
}d e V e f o r m e m o s a u n i ã o :
S = {u
1
, . . . , u
r
, v
1
, . . . , v
n
}. D e n t r e o s c o n j u n t o s d e S q u e
s ã o L . I . e q u e c o n t é m u
1
, . . . ,u
r
t o m e m o s u m c o m o m a i o r
n ú m e r o p o s s í v e l d e e l e m e n t o s
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D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
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T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
D e m o n s t r a ç ã o .
C o n s i d e r a n d o {u
1
, . . . , u
r
} ⊂ V . T o m e m o s u m a b a s e
C
= {v
1
, . . . ,v
n
}d e V e f o r m e m o s a u n i ã o :
S = {u
1
, . . . , u
r
, v
1
, . . . , v
n
}. D e n t r e o s c o n j u n t o s d e S q u e
s ã o L . I . e q u e c o n t é m u
1
, . . . ,u
r
t o m e m o s u m c o m o m a i o r
n ú m e r o p o s s í v e l d e e l e m e n t o s . S e j a B e s s e c o n j u n t o :
B = {u
1
, . . . , u
r
, v
1
, . . . , v
s
}
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D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
D e m o n s t r a ç ã o .
C o n s i d e r a n d o {u
1
, . . . , u
r
} ⊂ V . T o m e m o s u m a b a s e
C
= {v
1
, . . . ,v
n
}d e V e f o r m e m o s a u n i ã o :
S = {u
1
, . . . , u
r
, v
1
, . . . , v
n
}. D e n t r e o s c o n j u n t o s d e S q u e
s ã o L . I . e q u e c o n t é m u
1
, . . . ,u
r
t o m e m o s u m c o m o m a i o r
n ú m e r o p o s s í v e l d e e l e m e n t o s . S e j a B e s s e c o n j u n t o :
B = {u
1
, . . . , u
r
, v
1
, . . . , v
s
}M o s t r e m o s d e s s e m o d o q u e B
s a t i s f a z a d e n i ç ã o d e b a s e , s e n d o o m e s m o u m a b a s e d e V
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Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
D e m o n s t r a ç ã o .
C o n s i d e r a n d o {u
1
, . . . , u
r
} ⊂ V . T o m e m o s u m a b a s e
C
= {v
1
, . . . ,v
n
}d e V e f o r m e m o s a u n i ã o :
S = {u
1
, . . . , u
r
, v
1
, . . . , v
n
}. D e n t r e o s c o n j u n t o s d e S q u e
s ã o L . I . e q u e c o n t é m u
1
, . . . ,u
r
t o m e m o s u m c o m o m a i o r
n ú m e r o p o s s í v e l d e e l e m e n t o s . S e j a B e s s e c o n j u n t o :
B = {u
1
, . . . , u
r
, v
1
, . . . , v
s
}M o s t r e m o s d e s s e m o d o q u e B
s a t i s f a z a d e n i ç ã o d e b a s e , s e n d o o m e s m o u m a b a s e d e V :
v
1
, . . . , v
s
s ã o o b v i a m e n t e c o m b i n a ç õ e s l i n e a r e s d e B
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
D e m o n s t r a ç ã o .
C o n s i d e r a n d o {u
1
, . . . , u
r
} ⊂ V . T o m e m o s u m a b a s e
C
= {v
1
, . . . ,v
n
}d e V e f o r m e m o s a u n i ã o :
S = {u
1
, . . . , u
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1
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}. D e n t r e o s c o n j u n t o s d e S q u e
s ã o L . I . e q u e c o n t é m u
1
, . . . ,u
r
t o m e m o s u m c o m o m a i o r
n ú m e r o p o s s í v e l d e e l e m e n t o s . S e j a B e s s e c o n j u n t o :
B = {u
1
, . . . , u
r
, v
1
, . . . , v
s
}M o s t r e m o s d e s s e m o d o q u e B
s a t i s f a z a d e n i ç ã o d e b a s e , s e n d o o m e s m o u m a b a s e d e V :
v
1
, . . . , v
s
s ã o o b v i a m e n t e c o m b i n a ç õ e s l i n e a r e s d e B
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V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
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P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
D e m o n s t r a ç ã o .
C o n s i d e r a n d o {u
1
, . . . , u
r
} ⊂ V . T o m e m o s u m a b a s e
C
= {v
1
, . . . ,v
n
}d e V e f o r m e m o s a u n i ã o :
S = {u
1
, . . . , u
r
, v
1
, . . . , v
n
}. D e n t r e o s c o n j u n t o s d e S q u e
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1
, . . . ,u
r
t o m e m o s u m c o m o m a i o r
n ú m e r o p o s s í v e l d e e l e m e n t o s . S e j a B e s s e c o n j u n t o :
B = {u
1
, . . . , u
r
, v
1
, . . . , v
s
}M o s t r e m o s d e s s e m o d o q u e B
s a t i s f a z a d e n i ç ã o d e b a s e , s e n d o o m e s m o u m a b a s e d e V :
v
1
, . . . , v
s
s ã o o b v i a m e n t e c o m b i n a ç õ e s l i n e a r e s d e B . O
m e s m o p o d e s e r d i t o d e v
s +1
, . . . ,v
n
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D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
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I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
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P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
D e m o n s t r a ç ã o .
C o n s i d e r a n d o {u
1
, . . . , u
r
} ⊂ V . T o m e m o s u m a b a s e
C
= {v
1
, . . . ,v
n
}d e V e f o r m e m o s a u n i ã o :
S = {u
1
, . . . , u
r
, v
1
, . . . , v
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}. D e n t r e o s c o n j u n t o s d e S q u e
s ã o L . I . e q u e c o n t é m u
1
, . . . ,u
r
t o m e m o s u m c o m o m a i o r
n ú m e r o p o s s í v e l d e e l e m e n t o s . S e j a B e s s e c o n j u n t o :
B = {u
1
, . . . , u
r
, v
1
, . . . , v
s
}M o s t r e m o s d e s s e m o d o q u e B
s a t i s f a z a d e n i ç ã o d e b a s e , s e n d o o m e s m o u m a b a s e d e V :
v
1
, . . . , v
s
s ã o o b v i a m e n t e c o m b i n a ç õ e s l i n e a r e s d e B . O
m e s m o p o d e s e r d i t o d e v
s +1
, . . . ,v
n
. S e n d o t o d o s o s
v e t o r e s d e C c o m b i n a ç õ e s l i n e a r e s d e B , c o n c l u í - s e , p e l o
f a t o d e C s e r u m a b a s e d e V , q u e t o d o s o s v e t o r e s d e
V t a m b é m s ã o c o m b i n a ç õ e s l i n e a r e s d e B .
A p r ó p r i a c o n s t r u ç ã o d e B g a r a n t e q u e o m e s m o é L . I .
P o r t a n t o B é u m a b a s e d e V .
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D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
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T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
T e o r e m a
T o d o s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e
g e r a d o é t a m b é m n i t a m e n t e g e r a d o .
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D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
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I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
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P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
T e o r e m a
T o d o s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e
g e r a d o é t a m b é m n i t a m e n t e g e r a d o .
D e m o n s t r a ç ã o .
S e j a V n i t a m e n t e g e r a d o e W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V
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D i m e n s ã o
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T e o r e m a
T o d o s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e
g e r a d o é t a m b é m n i t a m e n t e g e r a d o .
D e m o n s t r a ç ã o .
S e j a V n i t a m e n t e g e r a d o e W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V
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T e o r e m a
T o d o s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e
g e r a d o é t a m b é m n i t a m e n t e g e r a d o .
D e m o n s t r a ç ã o .
S e j a V n i t a m e n t e g e r a d o e W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V .
S e W = {o }, n ã o h á n a d a a p r o v a r
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u m a B a s e
T e o r e m a
T o d o s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e
g e r a d o é t a m b é m n i t a m e n t e g e r a d o .
D e m o n s t r a ç ã o .
S e j a V n i t a m e n t e g e r a d o e W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V .
S e W = {o }, n ã o h á n a d a a p r o v a r
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P r o c e s s o d e
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T e o r e m a
T o d o s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e
g e r a d o é t a m b é m n i t a m e n t e g e r a d o .
D e m o n s t r a ç ã o .
S e j a V n i t a m e n t e g e r a d o e W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V .
S e W = {o }, n ã o h á n a d a a p r o v a r ;
S e W = {o } t o m e m o s w
1 ∈ W , w
1 = o
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V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
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T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
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P r o c e s s o d e
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u m a B a s e
T e o r e m a
T o d o s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e
g e r a d o é t a m b é m n i t a m e n t e g e r a d o .
D e m o n s t r a ç ã o .
S e j a V n i t a m e n t e g e r a d o e W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V .
S e W = {o }, n ã o h á n a d a a p r o v a r ;
S e W = {o } t o m e m o s w
1 ∈ W , w
1 = o
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I n v a r i â n c i a
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C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
T e o r e m a
T o d o s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e
g e r a d o é t a m b é m n i t a m e n t e g e r a d o .
D e m o n s t r a ç ã o .
S e j a V n i t a m e n t e g e r a d o e W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V .
S e W = {o }, n ã o h á n a d a a p r o v a r ;
S e W = {o } t o m e m o s w
1 ∈ W , w
1 = o .
S e
W = {λ1
w
1
: λ1
∈ R}, e s t á p r o v a d o
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
T e o r e m a
T o d o s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e
g e r a d o é t a m b é m n i t a m e n t e g e r a d o .
D e m o n s t r a ç ã o .
S e j a V n i t a m e n t e g e r a d o e W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V .
S e W = {o }, n ã o h á n a d a a p r o v a r ;
S e W = {o } t o m e m o s w
1 ∈ W , w
1 = o .
S e
W = {λ1
w
1
: λ1
∈ R}, e s t á p r o v a d o
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
T e o r e m a
T o d o s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e
g e r a d o é t a m b é m n i t a m e n t e g e r a d o .
D e m o n s t r a ç ã o .
S e j a V n i t a m e n t e g e r a d o e W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V .
S e W = {o }, n ã o h á n a d a a p r o v a r ;
S e W = {o } t o m e m o s w
1 ∈ W , w
1 = o .
S e
W = {λ1
w
1
: λ1
∈ R}, e s t á p r o v a d o .
S e n ã o , e x i s t e
w
2
∈ W , q u e n ã o é d a f o r m a λ
1
w
1
, i s t o é ,
{w
1
, w
2
}é L . I .
Á l g e b r a L i n e a r
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
T e o r e m a
T o d o s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e
g e r a d o é t a m b é m n i t a m e n t e g e r a d o .
D e m o n s t r a ç ã o .
S e j a V n i t a m e n t e g e r a d o e W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V .
S e W = {o }, n ã o h á n a d a a p r o v a r ;
S e W = {o } t o m e m o s w
1 ∈ W , w
1 = o .
S e
W = {λ1
w
1
: λ1
∈ R}, e s t á p r o v a d o .
S e n ã o , e x i s t e
w
2
∈ W , q u e n ã o é d a f o r m a λ
1
w
1
, i s t o é ,
{w
1
, w
2
}é L . I .
Á l g e b r a L i n e a r
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
T e o r e m a
T o d o s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e
g e r a d o é t a m b é m n i t a m e n t e g e r a d o .
D e m o n s t r a ç ã o .
S e j a V n i t a m e n t e g e r a d o e W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V .
S e W = {o }, n ã o h á n a d a a p r o v a r ;
S e W = {o } t o m e m o s w
1 ∈ W , w
1 = o .
S e
W = {λ1
w
1
: λ1
∈ R}, e s t á p r o v a d o .
S e n ã o , e x i s t e
w
2
∈ W , q u e n ã o é d a f o r m a λ
1
w
1
, i s t o é ,
{w
1
, w
2
}é L . I . . S e
W é g e r a d o p o r
{w
1
, w
2
}, e s t á
t e r m i n a d o
Á l g e b r a L i n e a r
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
T e o r e m a
T o d o s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e
g e r a d o é t a m b é m n i t a m e n t e g e r a d o .
D e m o n s t r a ç ã o .
S e j a V n i t a m e n t e g e r a d o e W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V .
S e W = {o }, n ã o h á n a d a a p r o v a r ;
S e W = {o } t o m e m o s w
1 ∈ W , w
1 = o .
S e
W = {λ1
w
1
: λ1
∈ R}, e s t á p r o v a d o .
S e n ã o , e x i s t e
w
2
∈ W , q u e n ã o é d a f o r m a λ
1
w
1
, i s t o é ,
{w
1
, w
2
}é L . I . . S e
W é g e r a d o p o r
{w
1
, w
2
}, e s t á
t e r m i n a d o . S e n ã o , e x i s t e w
3
e m W
, q u e n ã o é
c o m b i n a ç ã o l i n e a r d e {w
1 , w
2 }. E a s s i m p o r d i a n t e
Á l g e b r a L i n e a r
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
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C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
T e o r e m a
T o d o s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e u m e s p a ç o v e t o r i a l n i t a m e n t e
g e r a d o é t a m b é m n i t a m e n t e g e r a d o .
D e m o n s t r a ç ã o .
S e j a V n i t a m e n t e g e r a d o e W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V .
S e W = {o }, n ã o h á n a d a a p r o v a r ;
S e W = {o } t o m e m o s w
1 ∈ W , w
1 = o .
S e
W = {λ1
w
1
: λ1
∈ R}, e s t á p r o v a d o .
S e n ã o , e x i s t e
w
2
∈ W , q u e n ã o é d a f o r m a λ
1
w
1
, i s t o é ,
{w
1
, w
2
}é L . I . . S e
W é g e r a d o p o r
{w
1
, w
2
}, e s t á
t e r m i n a d o . S e n ã o , e x i s t e w
3
e m W
, q u e n ã o é
c o m b i n a ç ã o l i n e a r d e {w
1 , w
2 }. E a s s i m p o r d i a n t e .
E s s e p r o c e s s o d e v e p a r a r s e n ã o h a v e r i a e m V u m
c o n j u n t o L . I . e i n n i t o .
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P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
T e o r e m a
S e j a W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V . S e d i m W = d i m V ,
e n t ã o W = V .
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D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
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I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
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P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
T e o r e m a
S e j a W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V . S e d i m W = d i m V ,
e n t ã o W = V .
D e m o n s t r a ç ã o .
P e l a P r o p o s i ç ã o 3 , W é n i t a m e n t e g e r a d o
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D i m e n s ã o
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T e o r e m a
S e j a W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V . S e d i m W = d i m V ,
e n t ã o W = V .
D e m o n s t r a ç ã o .
P e l a P r o p o s i ç ã o 3 , W é n i t a m e n t e g e r a d o
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D i m e n s ã o
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P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
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D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
T e o r e m a
S e j a W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V . S e d i m W = d i m V ,
e n t ã o W = V .
D e m o n s t r a ç ã o .
P e l a P r o p o s i ç ã o 3 , W é n i t a m e n t e g e r a d o . L o g o W t e m
u m a b a s e
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D i m e n s ã o
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D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
T e o r e m a
S e j a W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V . S e d i m W = d i m V ,
e n t ã o W = V .
D e m o n s t r a ç ã o .
P e l a P r o p o s i ç ã o 3 , W é n i t a m e n t e g e r a d o . L o g o W t e m
u m a b a s e . T o d a b a s e d e W t a m b é m é b a s e d e V d e v i d o à
h i p ó t e s e d e q u e d i m W =
d i m V
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V e d o V a t t o
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D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
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I n v a r i â n c i a
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C o m p l e t a m e n t o
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D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
T e o r e m a
S e j a W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V . S e d i m W = d i m V ,
e n t ã o W = V .
D e m o n s t r a ç ã o .
P e l a P r o p o s i ç ã o 3 , W é n i t a m e n t e g e r a d o . L o g o W t e m
u m a b a s e . T o d a b a s e d e W t a m b é m é b a s e d e V d e v i d o à
h i p ó t e s e d e q u e d i m W =
d i m V . L o g o t o d o v e t o r d e V
p e r t e n c e à W
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D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
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P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
T e o r e m a
S e j a W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V . S e d i m W = d i m V ,
e n t ã o W = V .
D e m o n s t r a ç ã o .
P e l a P r o p o s i ç ã o 3 , W é n i t a m e n t e g e r a d o . L o g o W t e m
u m a b a s e . T o d a b a s e d e W t a m b é m é b a s e d e V d e v i d o à
h i p ó t e s e d e q u e d i m W =
d i m V . L o g o t o d o v e t o r d e V
p e r t e n c e à W . A s s i m V ⊂ W
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V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
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D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
T e o r e m a
S e j a W u m s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e V . S e d i m W = d i m V ,
e n t ã o W = V .
D e m o n s t r a ç ã o .
P e l a P r o p o s i ç ã o 3 , W é n i t a m e n t e g e r a d o . L o g o W t e m
u m a b a s e . T o d a b a s e d e W t a m b é m é b a s e d e V d e v i d o à
h i p ó t e s e d e q u e d i m W =
d i m V . L o g o t o d o v e t o r d e V
p e r t e n c e à W . A s s i m V ⊂ W e , c o m o W ⊂ V , s e g u e q u e
V = W .
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V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
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C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
d e u m S u b e s p a ç o d e Rn
O p r o c e s s o p o s s u i t r ê s o b s e r v a ç õ e s a p e n a s
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V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
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P r o p o s i ç ã o 3
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P r o c e s s o d e
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u m a B a s e
d e u m S u b e s p a ç o d e Rn
O p r o c e s s o p o s s u i t r ê s o b s e r v a ç õ e s a p e n a s . P a r a t a n t o
c o n s i d e r e m o s V = [u
1
, . . . ,u
r
] u m s u b e s p a ç o d o Rn
Á l g e b r a L i n e a r
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V e d o V a t t o
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D i m e n s ã o
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P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
d e u m S u b e s p a ç o d e Rn
O p r o c e s s o p o s s u i t r ê s o b s e r v a ç õ e s a p e n a s . P a r a t a n t o
c o n s i d e r e m o s V = [u
1
, . . . ,u
r
] u m s u b e s p a ç o d o Rn
.
S e n o s e g u n d o m e m b r o d a i g u a l d a d e p e r m u t a r m o s d o i s
d o s e l e m e n t o s q u e l á g u r a m n ã o a l t e r a m o s o s u b e s p a ç o
g e r a d o , o u s e j a
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V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
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I n v a r i â n c i a
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P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
d e u m S u b e s p a ç o d e Rn
O p r o c e s s o p o s s u i t r ê s o b s e r v a ç õ e s a p e n a s . P a r a t a n t o
c o n s i d e r e m o s V = [u
1
, . . . ,u
r
] u m s u b e s p a ç o d o Rn
.
S e n o s e g u n d o m e m b r o d a i g u a l d a d e p e r m u t a r m o s d o i s
d o s e l e m e n t o s q u e l á g u r a m n ã o a l t e r a m o s o s u b e s p a ç o
g e r a d o , o u s e j a
Á l g e b r a L i n e a r
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R
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T h i a g o
V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
d e u m S u b e s p a ç o d e Rn
O p r o c e s s o p o s s u i t r ê s o b s e r v a ç õ e s a p e n a s . P a r a t a n t o
c o n s i d e r e m o s V = [u
1
, . . . ,u
r
] u m s u b e s p a ç o d o Rn
.
S e n o s e g u n d o m e m b r o d a i g u a l d a d e p e r m u t a r m o s d o i s
d o s e l e m e n t o s q u e l á g u r a m n ã o a l t e r a m o s o s u b e s p a ç o
g e r a d o , o u s e j a :
v = [u
1
, . . . ,u
i
, . . . ,u
j
, . . . ,u
r
] = [ u
1
, . . . ,u
j
, . . . ,u
i
, . . . ,u
r
]
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Rn
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T h i a g o
V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
d e u m S u b e s p a ç o d e R
O p r o c e s s o p o s s u i t r ê s o b s e r v a ç õ e s a p e n a s . P a r a t a n t o
c o n s i d e r e m o s V = [u
1
, . . . ,u
r
] u m s u b e s p a ç o d o Rn
.
S e n o s e g u n d o m e m b r o d a i g u a l d a d e p e r m u t a r m o s d o i s
d o s e l e m e n t o s q u e l á g u r a m n ã o a l t e r a m o s o s u b e s p a ç o
g e r a d o , o u s e j a :
v = [u
1
, . . . ,u
i
, . . . ,u
j
, . . . ,u
r
] = [ u
1
, . . . ,u
j
, . . . ,u
i
, . . . ,u
r
]
P a r a t o d o n ú m e r o r e a l α t e m - s e a s e g u i n t e i g u a l d a d e
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
P r o c e s s o P r á t i c o d e D e t e r m i n a ç ã o d e u m a B a s e
Rn
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T h i a g o
V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
d e u m S u b e s p a ç o d e R
O p r o c e s s o p o s s u i t r ê s o b s e r v a ç õ e s a p e n a s . P a r a t a n t o
c o n s i d e r e m o s V = [u
1
, . . . ,u
r
] u m s u b e s p a ç o d o Rn
.
S e n o s e g u n d o m e m b r o d a i g u a l d a d e p e r m u t a r m o s d o i s
d o s e l e m e n t o s q u e l á g u r a m n ã o a l t e r a m o s o s u b e s p a ç o
g e r a d o , o u s e j a :
v = [u
1
, . . . ,u
i
, . . . ,u
j
, . . . ,u
r
] = [ u
1
, . . . ,u
j
, . . . ,u
i
, . . . ,u
r
]
P a r a t o d o n ú m e r o r e a l α t e m - s e a s e g u i n t e i g u a l d a d e
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
P r o c e s s o P r á t i c o d e D e t e r m i n a ç ã o d e u m a B a s e
Rn
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T h i a g o
V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
d e u m S u b e s p a ç o d e R
O p r o c e s s o p o s s u i t r ê s o b s e r v a ç õ e s a p e n a s . P a r a t a n t o
c o n s i d e r e m o s V = [u
1
, . . . ,u
r
] u m s u b e s p a ç o d o Rn
.
S e n o s e g u n d o m e m b r o d a i g u a l d a d e p e r m u t a r m o s d o i s
d o s e l e m e n t o s q u e l á g u r a m n ã o a l t e r a m o s o s u b e s p a ç o
g e r a d o , o u s e j a :
v = [u
1
, . . . ,u
i
, . . . ,u
j
, . . . ,u
r
] = [ u
1
, . . . ,u
j
, . . . ,u
i
, . . . ,u
r
]
P a r a t o d o n ú m e r o r e a l α t e m - s e a s e g u i n t e i g u a l d a d e :
v = [
u
1
, . . . ,u
i
, . . . ,u
j
+ αu
i
, . . . ,u
r
]
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
P r o c e s s o P r á t i c o d e D e t e r m i n a ç ã o d e u m a B a s e
Rn
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P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
d e u m S u b e s p a ç o d e R
O p r o c e s s o p o s s u i t r ê s o b s e r v a ç õ e s a p e n a s . P a r a t a n t o
c o n s i d e r e m o s V = [u
1
, . . . ,u
r
] u m s u b e s p a ç o d o Rn
.
S e n o s e g u n d o m e m b r o d a i g u a l d a d e p e r m u t a r m o s d o i s
d o s e l e m e n t o s q u e l á g u r a m n ã o a l t e r a m o s o s u b e s p a ç o
g e r a d o , o u s e j a :
v = [u
1
, . . . ,u
i
, . . . ,u
j
, . . . ,u
r
] = [ u
1
, . . . ,u
j
, . . . ,u
i
, . . . ,u
r
]
P a r a t o d o n ú m e r o r e a l α t e m - s e a s e g u i n t e i g u a l d a d e :
v = [
u
1
, . . . ,u
i
, . . . ,u
j
+ αu
i
, . . . ,u
r
]
Á l g e b r a L i n e a r
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D e f a t o , s e j a :
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P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
u = β1
u
1
+ . . . + βi
u
i
+ . . . + β j
u
j
+ . . . + βr
u
r
u m e l e m e n t o d e V
Á l g e b r a L i n e a r
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D e f a t o , s e j a :
β β β β
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P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
u = β1
u
1
+ . . . + βi
u
i
+ . . . + β j
u
j
+ . . . + βr
u
r
u m e l e m e n t o d e V
Á l g e b r a L i n e a r
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β β β β
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P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
u = β1
u
1
+ . . . + βi
u
i
+ . . . + β j
u
j
+ . . . + βr
u
r
u m e l e m e n t o d e V . E s s e e l e m e n t o t a m b é m p o d e s e r
e s c r i t o d a s e g u i n t e m a n e i r a
Á l g e b r a L i n e a r
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D e f a t o , s e j a :
β + + β + + β + + β
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D i m e n s ã o
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P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
u = β1
u
1
+ . . . + βi
u
i
+ . . . + β j
u
j
+ . . . + βr
u
r
u m e l e m e n t o d e V . E s s e e l e m e n t o t a m b é m p o d e s e r
e s c r i t o d a s e g u i n t e m a n e i r a :
u = β
1
u
1
+ . . .+βi
u
i
−β j
αu
i
+ . . .+β j
u
j
−β j
αu
i
+βr
u
r
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
D e f a t o , s e j a :
β + + β + + β + + β
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D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
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P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
u = β1
u
1
+ . . . + βi
u
i
+ . . . + β j
u
j
+ . . . + βr
u
r
u m e l e m e n t o d e V . E s s e e l e m e n t o t a m b é m p o d e s e r
e s c r i t o d a s e g u i n t e m a n e i r a :
u = β
1
u
1
+ . . .+βi
u
i
−β j
αu
i
+ . . .+β j
u
j
−β j
αu
i
+βr
u
r
o u a i n d a
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
D e f a t o , s e j a :
β + + β + + β + + β
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V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
u = β1
u
1
+ . . . + βi
u
i
+ . . . + β j
u
j
+ . . . + βr
u
r
u m e l e m e n t o d e V . E s s e e l e m e n t o t a m b é m p o d e s e r
e s c r i t o d a s e g u i n t e m a n e i r a :
u = β
1
u
1
+ . . .+βi
u
i
−β j
αu
i
+ . . .+β j
u
j
−β j
αu
i
+βr
u
r
o u a i n d a :
u = β
1
u
1
+ . . .+ (βi
−β j
α)u
i
+ . . .+β j
(u
j
+αu
i
) +βr
u
r
L o g o
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
D e f a t o , s e j a :
= β + + β + + β + + β
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V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
u = β1
u
1
+ . . . + βi
u
i
+ . . . + β j
u
j
+ . . . + βr
u
r
u m e l e m e n t o d e V . E s s e e l e m e n t o t a m b é m p o d e s e r
e s c r i t o d a s e g u i n t e m a n e i r a :
u = β
1
u
1
+ . . .+βi
u
i
−β j
αu
i
+ . . .+β j
u
j
−β j
αu
i
+βr
u
r
o u a i n d a :
u = β
1
u
1
+ . . .+ (βi
−β j
α)u
i
+ . . .+β j
(u
j
+αu
i
) +βr
u
r
L o g o :
u ∈ [u
1 , . . . , u
i , . . . , u
j + α u
i , . . . , u
r ]
M o s t r e q u e o s u b e s p a ç o V c o n t é m o s u b e s p a ç o g e r a d o p o r
u
1
, . . . ,u
i
, . . . ,u
j
+ αu
i
, . . . ,u
r
.
Á l g e b r a L i n e a r
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V e d o V a t t o
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D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
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C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
S e u
1
, . . . ,u
r
s e a p r e s e n t a m n a f o r m a e s c a l o n a d a , e n t ã o
é f á c i l m o s t r a r q u e o s v e t o r e s u
1 , . . . , u
r
f o r m a m u m
c o n j u n t o L . I .
Á l g e b r a L i n e a r
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D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
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P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
S e u
1
, . . . ,u
r
s e a p r e s e n t a m n a f o r m a e s c a l o n a d a , e n t ã o
é f á c i l m o s t r a r q u e o s v e t o r e s u
1 , . . . , u
r
f o r m a m u m
c o n j u n t o L . I . e , p o r t a n t o d i m V =
r
Á l g e b r a L i n e a r
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V e d o V a t t o
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D i m e n s ã o
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I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
S e u
1
, . . . ,u
r
s e a p r e s e n t a m n a f o r m a e s c a l o n a d a , e n t ã o
é f á c i l m o s t r a r q u e o s v e t o r e s u
1 , . . . , u
r
f o r m a m u m
c o n j u n t o L . I . e , p o r t a n t o d i m V =
r . S e o s g e r a d o r e s d e
V n ã o f o r m a s s e m u m c o n j u n t o L . I . , e n t ã o t e r í a m o s a l g o
c o m o :
u
1
= α2
u
2
+ . . . + αr
u
r
. M a s i s s o n ã o é p o s s í v e l p o i s o n ú m e r o d e z e r o s i n i c i a i s
d e u
1
é c e r t a m e n t e d i f e r e n t e d o n ú m e r o d e z e r o s i n i c i a i s
d e α
2
u
2
+ . . . + αr
u
r
, d e v i d o à n o s s a h i p ó t e s e a r e s p e i t o
d e s s e s v e t o r e s .
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
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V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
E x a m p l e
S e j a V = [(
2 ,
1 ,
1 ,
0 ), (
1 ,
0 ,
1 ,
2 ), (
0 ,−1
,1 ,
4 )] ⊂ R
4
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
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V e d o V a t t o
D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
E x a m p l e
S e j a V = [(
2 ,
1 ,
1 ,
0 ), (
1 ,
0 ,
1 ,
2 ), (
0 ,−1
,1 ,
4 )] ⊂ R
4
.
F o r m a m o s c o m e s s e s v e t o r e s a s l i n h a s d e u m a m a t r i z
s i m b ó l i c a d a s e g u i n t e m a n e i r a
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
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D i m e n s ã o
D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
E x a m p l e
S e j a V = [(
2 ,
1 ,
1 ,
0 ), (
1 ,
0 ,
1 ,
2 ), (
0 ,−1
,1 ,
4 )] ⊂ R
4
.
F o r m a m o s c o m e s s e s v e t o r e s a s l i n h a s d e u m a m a t r i z
s i m b ó l i c a d a s e g u i n t e m a n e i r a :
2 1 1 0
1 0 1 2
0 −1 1 4
Á l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
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D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
T e o r e m a d o
C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
D e t e r m i n a ç ã o d e
u m a B a s e
A g o r a e s c a l o n e m o s e s t a m a t r i z :
2 1 1 0
1 0 1 2
0 −1 1 4
Á l g e b r a L i n e a r
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D e n i ç ã o d e
D i m e n s ã o
T e o r e m a d a
I n v a r i â n c i a
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C o m p l e t a m e n t o
P r o p o s i ç ã o 3
P r o p o s i ç ã o 4
P r o c e s s o d e
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u m a B a s e
A g o r a e s c a l o n e m o s e s t a m a t r i z :
2 1 1 0
1 0 1 2
0 −1 1 4
L
1
L
2
∼
1 0 1 2
2 1 1 0
0 −1 1 4
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P r o p o s i ç ã o 4
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A g o r a e s c a l o n e m o s e s t a m a t r i z :
2 1 1 0
1 0 1 2
0 −1 1 4
L
1
L
2
∼
1 0 1 2
2 1 1 0
0 −1 1 4
L
2
→L
2
−2 L
1 ∼
1 0 1 2
0 1 −1 −4
0 −1 1 4
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D e t e r m i n a ç ã o d e
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2 1 1 0
1 0 1 2
0 −1 1 4
L
1
L
2
∼
1 0 1 2
2 1 1 0
0 −1 1 4
L
2
→L
2
−2 L
1 ∼
1 0 1 2
0 1 −1 −4
0 −1 1 4
L
3
→L
3
+L
2 ∼
1 0 1 2
0 1 − 1 − 4
0 0 0 0
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2 1 1 0
1 0 1 2
0 −1 1 4
L
1
L
2
∼
1 0 1 2
2 1 1 0
0 −1 1 4
L
2
→L
2
−2 L
1 ∼
1 0 1 2
0 1 −1 −4
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L
3
→L
3
+L
2 ∼
1 0 1 2
0 1 − 1 − 4
0 0 0 0
A s l i n h a s e m d e s t a q u e i n d i c a m o s v e t o r e s (1 , 0 , 1 , 2 ) e
(0 ,
1 ,−1
,−4 )
c o m o u m a b a s e d o s u b e s p a ç o v e t o r i a l
V = [( 2 , 1 , 1 , 0 ), ( 1 , 0 , 1 , 2 ), ( 0 ,−1 , 1 , 4 )] ⊂ R4
.