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AULA COMPUTACIONALAULA COMPUTACIONAL
- Otimização Paramétrica (Cap. 5)Otimização Paramétrica (Cap. 5)
15 DE SETEMBRO DE 2008
5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.
5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis
5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS
Os métodos podem ser:
- Diretos: utilizam apenas o valor da Função Objetivo.
- Indiretos: utilizam também o valor da(s) derivada(s) da Função Objetivo (menor números de tentativas mas o esforço computacional é maior).
São métodos de busca por tentativas.
Os pesquisadores buscam desenvolver métodos que atendam às seguintes propriedades:
- Eficiência: resolver o mesmo problema com menor esforço.
- Robustez: resolver uma variedade maior de problemas.
5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS 5.6.1 Problemas Univariáveis
Método da Seção Áurea
Utiliza dois pontos posicionados de forma a manter:
(a) simetria em relação aos limites do intervalo
(b) fração eliminada constante
Método da Seção Áurea
Base: Retângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos)
1
1- Propriedade: removendo um quadrado de lado igual ao lado menor,
resulta um outro retângulo com as mesmas proporções do retângulo original
618,0011
1 2
Razão Áurea
Algoritmo da Seção Áurea
ÁUREAIniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto
ConvergiuDelta Tolerância
Problema de Mínimo
Eliminação de RegiãoProblema de MáximoEliminação de Região
Atualiza Tolerância ?Novo Ponto
Atualiza Tolerância ?Novo Ponto
Li Lsxs
Fs
xi
Fi
Li Lxs xi
Fs
Fi
s
0,618
Li xs
Fs
xi LsLsxs xi
Fi
Li
Li Lsxs xi
Fs
Fi
= L s - Li
xi = Lixs = Ls - 0,618
+ 0,618
Inicialização
0,618
IniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto
W kg B/h
Q = 10.000 kgA/h
rafinado
y kg AB/kg B
xo= 0,02 kg AB/kg A
extrato
x kgB/kgA
Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0 (k = 4)
Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (otimização)
Avaliação Econômica:L = R - CR = pAB W yC = pB WpAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB
5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.1 Problemas univariáveis
Exemplo: dimensionamento do extrator
2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y
Seqüência de Cálculo
Restrições de Igualdade !!!
x y W
1 * * *2 * *
x y W
1 x x o2 x o
Incorporando a L às Restrições de Igualdade ordenadas :
2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y
Função Objetivo: L = R - C = pAB W y - pB W
= + =a Q p xp
kAB oB( ) 105
= =b p QAB 4000
= =cp Qx
kB o ,0 5
L = a - b x - c/x
0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,0220
10
20
30
40
50
60
L,R,C$/a
x kgAB/kg A
L
C
R
xo =0, 01118
Lo = 15,6
Busca do ponto estacionário:
yo = 0,04472 kg AB/kg B; Wo = 1.972,3 kgB/h; Ro = 35,3 $/h; Co = 19,7 $/h; Lo = 15,6 $/h
Solução completa do problema:
L = a - b x - c/x
x b
dL
dxb
cx
co= - + = || = =2
0 0 01118,
o
2
2 o 3
x
d L c= -2 < 0
dx (x )
Máximo!
5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS
Procedimento Geral:
(c) progressão na direção de busca até decisão em contrário. (b) exploração da vizinhança da base para inferir uma direção de busca.(a) seleção de um ponto inicial (base).
Os métodos diferem quanto à forma de executar a exploração e a progressão.
Alguns métodos diretos:- Busca Aleatória- Busca por Malhas- Busca Secionada- Simplex (Poliedros Flexíveis)- Hooke & Jeeves
5.6.2 Problemas Multivariáveis
(d) finalização
Método de Hooke & Jeeves
ALGORITMO
Senão: reduzir os incrementos
Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável
Escolher uma Base
Repetir
Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)
Se houve Sucesso em alguma direção
Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso
Senão (proximidade do ótimo):
Se Chegou ao Ótimo
Então: Finalizar
Exploração
Testar a Função Objetivo em cada sentido (incrementos + i e - i) de cada direção (xi) ao redor da Base.
Base?- 1
?
- 2
?+ 1
?
+ 2
A Exploração não pode ser interrompida sem que todas as direções tenham sido testadas.
Do resultado, depreender a direção provável do ótimo
Exploração
BaseS- 1
I
- 2
S
+ 2
Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
y
x
S: SucessoI: Insucesso
buscando máximo
Sucesso
desnecessário
Exploração
BaseS- 1
I
- 2
S
+ 2
O Sucesso numa tentativa justifica a mudança da Base para a nova posição. A Exploração continua a partir desta melhor posição.
x1
x2
Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão
15+110
Base
+ 2
18
+ 2 2
+2 1
25
+ 2 2
+2 1
22
Resultado da Exploração
Progredir com duplo incrementoaté ocorrer um Insucesso
Sucesso! Mover a Base.Continuar a Progressão
Insucesso!Permanecer na Base (25)
Exploração a partir da Base (25) com 1 e 2 .
A Base estará suficientemente próxima para ser declarada como o ótimo?
Se todos os incrementos estiverem menores do que as tolerâncias, SIM!: Finalizar
Se algum deles estiver maior, então este deve ser reduzido à metade.
Inicia-se uma nova Exploração à volta da Base com os novos incrementos
Senão: reduzir os incrementos
Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar
x1
x2
1 > 1 e 2 > 2 : ainda não chegou ao ótimo : 1 = 1 /2 , 2 = 2 /2
Senão: reduzir os incrementos
Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar
9
- 1
7
- 2
+1
10Base
+ 2
5
8
+ 1- 1
+ 2
- 2
x1
x2
1 < 1 e 2 < 2 : a Base pode ser considerada o Ponto Ótimo
8- 1
7
- 2
+110
Base
+ 2
9
5
+ 1- 2
+ 2
- 2
Se Chegou ao Ótimo
Então: Finalizar
1 2
Q = 10.000 kgA/h
x = 0,02 kgAB/kgAo
W1
kgB/hW2
kgB/h
y1
kgAB/kgBy2
kgAB/kgB
x1
x2
kgAB/kgAkgAB/kgA
Modelo Matemático1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0
Avaliação EconômicaL = R - CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB
Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)
Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série
Modelo Matemático1. Q (xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0
W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 * * *2 * * 3 * * * *4 * *
W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 o x x2 x o 3 x o x x4 x o
Modelo Matemático2. y1 = k x1
4. y2 = k x2
3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2
1. W1 = Q (xo - x1)/ y1
Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série
Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo L
Buscando o ponto estacionário:
Solução completa:y1
o = 0,05428 kgAB/kgB; W1o = 1.184 kgB/h
y2o = 0,03684 kgAB/kgB; W2
o = 1.184 kgB/hCo = 23,68 $/h; Ro = 43,15 $/h; Lo = 19,47 $/h
L = a – b/x1– cx2 – d x1/x2
L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0
L/x2 = - c + dx1/x22 = 0
x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357
x2o = (d/b) x1
2 = 0,00921
L = R – CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)
2. y1 = k x1
4. y2 = k x2
3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2
1. W1 = Q (xo - x1)/ y1
a = pAB Q xo + 2 pB Q / k = 130; b = pB Q xo/ k = 0,5; c = pAB Q = 4000; d = pB Q / k = 25
Analisando o ponto estacionário:
L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0
L/x2 = - c + dx1/x22 = 0
x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357
x2o = (d/b) x1
2 = 0,00921
o
2 2
o 3 o 22 5 51 21 2 1o o
1 2 o 5 52 21
o 2 o 322 21 2 2 x
b dL L2
(x ) (x )x x x 4 10 2,95 10H(x ,x ) =
d d x 2,95 10 8,69 10L L2
(x ) (x )x x x
Máximo!
det(H - I) = 0 1 = -0,258106 e 2 = -1,011106
1 2
Q = 10.000 kgA/h
xo = 0,02 kgAB/kgA
W1 = 1.184 kgB/h
W2 = 1.184 kgB/h
x1 = 0,01357 kgAB/kgA
x2 = 0,00921 kgAB/kgA
y1 = 0,05428 kgAB/kgA
y2 = 0,03824 kgAB/kgA
Estágio 1 2 Total
Soluto Recup. kg/h 64,28 43,62 107,90Solv. Consum. kg/h 1.184 1.184 2.368Lucro $/a 13,87 5,61 19,48
02,04,0
6,08,0
10
12
1416
18
0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
X2
X1
19,5
0,01357
0,00921
Seguem-se todos os resultados possíveis da Exploração em 2 dimensões
- 1
18
15
- 2
x1
x2
Sucesso: deslocar a Base
Sucesso: deslocar a Base
Direção provável do ótimo
10 Base
Unimodalidade: dispensa + 1
Direção x1
Direção x2
Unimodalidade: dispensa + 2
- 115
12
- 2
x1
x2
+ 2
18
Sucesso: deslocar a Base
Insucesso: permanece na Base
Sucesso: deslocar a Base
Direção provável do ótimo
10 Base
Direção x1
Direção x2
Unimodalidade: dispensa + 1
- 115
- 2
x1
x2
+ 2 Sucesso: deslocar a Base
12 Insucesso: permanecer na Base
Direção provável do ótimo
10 Base
Direção x1
Direção x2
Unimodalidade: dispensa + 1
13 Insucesso: permanecer na Base
- 17
18
- 2
x1
x2
Sucesso: deslocar a Base
Insucesso: permanecer na Base
Sucesso: deslocar a Base
Direção provável do ótimo
15+1
10
Base
Direção x1
Direção x2
Unimodalidade: dispensa + 2
- 17
- 2
x1
x2
Sucesso: deslocar a BaseInsucesso:
permanecer na Base
Direção provável do ótimo
15+1
12
10
Base
18 Sucesso: deslocar a Base
Insucesso: permanecer na Base
+ 2
Direção x1
Direção x2
- 17
- 2
x1
x2
Sucesso: deslocar a Base
Insucesso: permanecer na Base Direção provável
do ótimo
15+1
10
Base
Insucesso: permanecer na Base
+ 2
Direção x1
Direção x2
12
11Insucesso: permanecer na Base
- 17
- 2
x1
x2
Sucesso: deslocar a Base
Insucesso: permanecer na Base
Direção provável do ótimo
+110
Base
Direção x1
Direção x2
Insucesso: permanecer na Base8
15
Unimodalidade: dispensa + 2
- 17
- 2
x1
x2
Insucesso: permanecer na Base
Direção provável do ótimo
+110
Base
Direção x1
Direção x2
Insucesso: permanecer na Base8
Sucesso: deslocar a Base
15
+ 2
Insucesso: permanecer na Base9
- 17
- 2
x1
x2
Insucesso: permanecer na Base
+110
Base
Direção x1
Direção x2
Insucesso: permanecer na Base8
+ 2
Insucesso: permanecer na Base9
Insucesso: permanecer na Base5
A Base deve estar próxima do ótimo !
Método de Hooke & Jeeves
ALGORITMO
Senão: reduzir os incrementos
Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável
Escolher uma BaseRepetir
Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)
Se houve Sucesso em alguma direçãoEntão: Progredir (na direção provável) até haver um InsucessoSenão: (proximidade do ótimo)
Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar
Funções Unimodais
O método converge sempre para o único extremo independentemente da base inicial.
Os incrementos iniciais afetam apenas o número de tentativas.
O método pode convergir para extremos locais diferentes dependendo da base inicial e dos incrementos iniciais selecionados.
Funções Multimodais
(a) partindo de bases iniciais diferentes pode-se alcançar extremos locais diferentes com os mesmos incrementos iniciais.
(b) partindo de uma mesma base inicial pode-se alcançar extremos locais diferentes com incrementos iniciais diferentes
f (x) = (x12 + x2 – 11)2 + (x2
2 + x1 – 7)2
6
78
9 1011
12
1 4
5
X2
X1
23
13
Método dos poliedros flexíveis
É um método de busca multivariável (J.A. Nelder e R. Mead, 1964, também chamado de Simplex), onde o pior vértice de um poliedro com n + 1 vértices é substituído por um novo vértice colinear com o vértice antigo e o centróide.
xn
x x j nj i j h ji
n
01
111 2, , , , ,
Centróide:
onde xh,j é o pior vértice.
Método dos poliedros flexíveis
O algoritmo envolve quatro operações de busca, que para o caso da minimização da função objetivo têm as seguintes formas:
0 0
1 1
( ) , 0
( ) max ( ), , ( )
k k k kR h
k k kh n
x x x x
onde f x f x f x
Reflexão 1 1
0 0
1
1
( ) ( ) min ( ), , ( ) ,
( ) , 1
( ) ( ),
sen
1 ( 1)
k k k kR n
k k k kE R
k k k kE R h E
k kh R
Se f x f x f x f x
então x x x x
Se f x f x então x x
ão x x
k k ir para
onde x k é o melhor vértice.
Expansão
0 0
1
( ) ( ) , ( )
, 0 1
1 ( 1)
k k k k k kR i C h
k kh C
Se f x f x i h então x x x x
x x
k k ir para
Contração
1 1( ) ( ), ( )
21,2, , 1
1 ( 1)
k k k k k kR h i iSe f x f x então x x x x
i n
k k ir para
Redução
Método dos poliedros flexíveis
O critério usado por Nelder e Mead para terminar a busca é o seguinte:
11 22
01
1( ) ( )
1
nk ki
i
f x f xn
DIMENSIONAMENTO POR SIMULAÇÕES SUCESSIVAS
EMPREGADO POR “SOFTWARES” COMERCIAIS
Empregam, para dimensionamento, os módulos ordenados para simulação.
Mas exige um procedimento de otimização:
- função objetivo (a ser minimizada): diferença, em valor absoluto, entre os valores obtidos para as variáveis de saída e os valores estipulados como metas
- variáveis de projeto: as dimensões dos equipamentos
Exemplo: Extrator
T oC
W = 3.750 kgB/h
rafinado
y = 0,032kg AB/kg Br = 0,60
extrato W = 3.750 kgB/h
Q* = 10.000 kgA/hQ* = 10.000 kgA/hxo*= 0,02 kg AB/kg A
To oC
Ts oC
T oCT oC
x* = 0,008 kgAB/kg A
alimentação
solvente
T oC
W = ??? kgB/h
rafinado
y = kg AB/kg Bextrato W = kgB/h
Q* = 10.000 kgA/hQ* = 10.000 kgA/hxo*= 0,02 kg AB/kg A
To oC
Ts oC
T oCT oC
x = ??? kgAB/kg A
alimentação
solvente
FO = |x – 0,008|
Normal
Simulações Sucessivas
Exemplo: Extrator
T oC
W = ??? kgB/h
rafinado
y = kg AB/kg Bextrato W = kgB/h
Q* = 10.000 kgA/hQ* = 10.000 kgA/hxo*= 0,02 kg AB/kg A
To oC
Ts oC
T oCT oC
x = ??? kgAB/kg A
alimentação
solvente
FO = |x – 0,008|
Simulações Sucessivas
1. Q(xo – x) – W y = 02. y – k x = 0
x = Q xo / (Q + k W )
Por Seção Áurea, 0 < W < 1.000 W = 3.750
Exemplo: Trocador de Calor
T1* = 80 oC
W1* = 30.000 kg/h
A = 265,6 m2
T 2* = 25 oC
W3 = 44.000 kg/h
T3* = 15 oC
T4* = 30 oC
0
TT
TTln
)TT()TT(.4
0UAQ.3
0)TT(CpWQ.2
0)TT(CpWQ.1
32
41
3241
3433
2111
T1* = 80 oC
W1* = 30.000 kg/h
A T 2* ???
W3
T3* = 15 oC
T4* = ???
T2 = T1 – Q/W1Cp1
T4 = T3 + Q/W3Cp3
Normal
Simulações Sucessivas
Por Hooke&Jeeves ...
0 < A < 1.0000 < W3 < 100.000
FO = (T2 – 25)2 + (T4 – 30)2