Post on 06-Jul-2015
Variável aleatória contínua
Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes
MAT013 Departamento de Matemática e
Computação UNIFEI
Aula 8
Variável aleatória
• Uma Variável aleatória é contínua se seu
conjunto de valores é qualquer intervalo dos
números reais, isto é, um conjunto não
enumerável.
Ex: Peso e altura dos filhos.
Função densidade de
probabilidade
• Dizemos que f(x) é uma função contínua de
probabilidade ou função densidade de probabilidade
para uma variável aleatória contínua X, se satisfaz
duas condições:
1. f(x)0, para todo x (-,);
2. A área definida por f(x) é igual a 1
1)( dxxf
Exemplo
• Arqueólogos estudaram uma certa região e
mediram o comprimento de fósseis encontrados
(em cm). Chamamos de C a v.a. contínua
comprimento de fósseis. Suponha que C possui
a função densidade de probabilidade:
.contráriocaso0
;200se11040
1
)(c
c
cf
12
2040
3
40
1
2
)()(sobÁrea
hBb
cf
111040
1)(sobÁrea
20
0
ccf
Gráfico da função
densidade de
probabilidade
• Como f(c) é positiva e a área é igual 1, podemos concluir
que f(c) é efetivamente uma densidade.
• Qual a probabilidade de um fóssil, escolhido ao acaso
nessa região, apresentar comprimento inferior a 8 cm?
200
9)8( f
9/200
8
025
7)()8( dccfCP
25
7
2
8200
9
40
1
)8(
CP
Função de distribuição de
probabilidade
• Dada uma v.a. X com função densidade de
probabilidade f(x), podemos definir a sua
função de distribuição acumulada, F(x), do
mesmo modo como foi definida para v.a.
discreta:
x
dttfxXPxF )()()(
• Considere o exemplo anterior, cuja função densidade de
probabilidade é dada por:
• A função de distribuição acumulada é dada por:
.contráriocaso0
;200se11040
1
)(c
c
cf
20
2010)(
0c+2040
1)(
0,0
)(
20
0 20
0
2
xsedtdttf
csec
dttf
cse
cF
c
c
Gráfico da função acumulada
Valor esperado
• Dada a variável aleatória X contínua, com
função densidade dada por f(x), chamamos de
valor médio ou esperança matemática de X ao
valor:
dxxfxXE )()(
Variância
• A variância da variável aleatória X contínua, com f. densidade f(x), é definida por:
• O desvio padrão ( ) de X é definido como a raiz quadrada da variância.
222
22
)(
)()(
XE
dxxfx
Mediana e Moda
• A mediana de uma v.a. X contínua, com f.
densidade f(x), é o valor que satisfaz às
seguintes condições:
• A moda é valor da variável que tem maior
probabilidade de ocorrêcia
2
1)(
2
1)( MdXPeMdXP
)(max)( xfMoXPx
Desvio
padrão
Variância
Mo = valor com
maior densidade
Mo= valor com
maior probabilid.
mo= valor com
maior frequência
Moda
md = valor centralMediana
Média
Valores
Variável aleatória
contínua
Variável aleatória
discreta
Conjunto de dados
n
n
frfrfrfreq
xxxX
....
...
21
21
ni
n
pppp
xxxX
...
...
21
21
n
i
ii frxx1
n
i
ii pxXE1
)(
i
n
i
i px 2
1
2 )(
i
n
i
i frxxx 2
1
)()var(
)var()( xxdp 2
2
1)(
2
1)(: MdXPeMdXPMd
)(xf
dxxfx )(
)(max)( xfMoXPx
ii
pMoXP max)(
dxxfx )()( 22
2
Principais modelos contínuos
• Algumas variáveis aleatórias aparecem com frequência
em situações práticas. Em geral nesses casos, a
distribuição de probabilidade pode ser escrita de uma
maneira mais compacta, isto é, existe uma lei para
atribuir as probabilidades.
• Para caracterizar completamente uma variável aleatória
contínua, precisamos fornecer sua função densidade de
probabilidade, segundo sua definição, é uma função
positiva e com integral igual a 1.
Modelo uniforme contínuo
• Uma v.a. X tem distribuição Uniforme Contínua no
intervalo [a,b], a<b, se sua função densidade de
probabilidade é dada por:
contráriocaso0
1
)(bxa
abxf
12
)(;
2
1 22 abba
dxab
x
b
a
Distribuição Uniforme Contínua
• Função densidade e função de distribuição
xi
f(x)
a b
1/(b-a)
xi
1
F(x)
a b
Modelo Exponencial
• Utilizado para modelar variáveis como, vida útil de
equipamentos, tempos de falha e tempos de sobrevivência
de espécies.
• Uma v.a. contínua X, assumindo valores não
negativos, segue o modelo Exponencial com
parâmetro >0 se sua densidade é:
contráriocaso0
01
)( xexf
x
Distribuição Exponencial
2)(;)( XVarXE
Gráfico f. densidade Gráfico f. distribuição acumulada
Distribuição Exponencial
•Para calcular probabilidades com a
Exponencial, precisamos resolver a integral,
pois não teremos as figuras geométricas
simples do exemplo anterior. Assim,
bab
a
x
eedxebXaP
1
)(
Exemplo
• O tempo de vida (em horas) de um transistor pode ser
considerado uma v.a. com distribuição exponencial com
=500. Segue-se que a vida média do transistor é
E(T)=500 horas. Qual é a probabilidade de que ele dure
mais do que a média?
Exemplo
• O tempo de vida (em horas) de um transistor pode ser
considerado uma v.a. com distribuição exponencial com
=500. Segue-se que a vida média do transistor é
E(T)=500 horas. Qual é a probabilidade de que ele dure
mais do que a média?
3678,0500500
1
500
1)()500(
1
500/1
500
500 500
500
ee
dtedttfTP
t
t
Modelo Normal
• Modelo fundamental em probabilidade e inferência
estatística. Representa grande parte das variáveis
aleatórias contínuas.
• Dizemos que a v.a. X tem distribuição Normal com
parâmetros e 2, se sua função densidade é
dada por:
xparaexf
x
,2
1)(
2
2
2
)(
Propriedades do modelo Normal• Algumas propriedades da densidade da
Normal podem ser observadas no seu gráfico:
1. f(x) é simétrica em relação à ;
2. f(x)→0 quando x→;
3. O valor máximo de f(x) se dá qdo x= .
2)(
)(
XVar
XE
Calcular probabilidades no modelo
Normal
• Para calcular probabilidades precisamos
resolver a integral:
• Entretanto, a integral acima só pode ser
resolvida de modo aproximado.
• Então essas probabilidades podem ser
calculadas através do uso de tabelas.
dxebXaP
b
a
x
2
2
2
)(
2
1)(
• Para se utilizar apenas uma tabela, utiliza-se
uma transformação da variável X que conduz
sempre ao cálculo de probabilidades com uma
variável normal com parâmetros (0,1), isto é,
média igual a 0 e variância igual a 1.
• Essa variável Z transformada terá distribuição
N(0,1) e será denominada Normal Padrão.
XZ
• Para determinar a probabilidade X[a.b],
procedemos da seguinte forma:
• E então olhamos na tabela e obtemos as
probabilidades da distribuição Normal
bZ
aP
bXaP
bXaPbXaP )()(
Tabela da Normal Padrão
• Como a distribuição Normal é simétrica,
apresenta-se na tabela apenas os valore de
P(0 Z z). A probabilidade de estar acima (ou
abaixo de zero) é 0,5.
Exemplo
• Seja X~N(2,9), a probabilidade P(2<X<5) é?
)10(9
25
9
22)52(
ZPZPXP
0,3413
Exemplo
• Para obter P(0X<2), usamos a simetria da Normal
3
20
03
2
9
22
9
20)20(
ZP
ZPZPXP
0,2486
• A tabela também pode ser usada no
sentido inverso, dado uma probabilidade,
desejamos obter o valor que a originou.
• Por exemplo, quanto vale c tal que
P(0<Z<c)=0,4?
• É só procurar no corpo da tabela onde está
o 0,4 (aprox. 0,3997), que corresponde a
1,28 que será o valor de c.
• Suponha, agora, que queremos encontrar d, tal
que P(Z>d)=0,8.
• Como a probabilidade desejada é maior que ½,
então d é um número negativo. Então o
intervalo precisa ter probabilidade 0,3.
• Da tabela –d=0,84, ou seja, d=-0,84.
Exercício 1
• Se X~N(100,100), calcule:
a) P(X<115)
b) P(X80)
c) O valor a, tal que P(100-aX 100+a)=0,95
95,01010
95,0100
100)100(
100
100)100(
95,0)100100()
)2(100
10080)80()
)5,1(100
100115)115()
aZ
aP
aZ
aP
aXaPc
ZPZPXPb
ZPZPXPa
Exercício 2
• O peso bruto de latas de conserva é
uma v.a. normal, com média 1000g e
desvio padrão 20g.
a) Qual a probabilidade de uma lata pesar menos
de 980g?
b) Qual a probabilidade de uma lata pesar mais
de 1010g?
)5,0(20
10001010)1010()
)1(20
1000980)980()
ZPZPXPb
ZPZPXPa