Post on 30-May-2022
ELETROMAGNETISMO I / IFUSP / AULA 6
Eletromagnetismo 1
⚡Uma segunda expansão multipolar ⚡Exemplos e exercícios ⚡Além da simetria axial: os harmônicos esféricos
1
ELETROMAGNETISMO I / IFUSP / AULA 6
• Vamos lembrar novamente dos operadores diferencias em coordenadas esféricas. O divergente:
• O Laplaciano, quando aplicado numa função escalar, é dado por:
• Também é útil lembrar dos versores, elementos de distância, área e volume nessas coordenadas:
∇ ⋅ F =1r2
∂ (r2Fr)∂r
+1
r sin θ [ ∂ sin θ Fθ
∂θ+
∂ Fφ
∂φ ]
∇2f =1r2
∂∂r (r2 ∂ f
∂r ) +1
r2 sin θ∂∂θ (sin θ
∂ f∂θ ) +
1r2 sin2 θ
∂2 f∂φ2
Coordenadas esféricas
2
x = r sin θ cos φy = r sin θ sin φz = r cos θ
r = x2 + y2 + z2
cos θ =zr
tan φ =yx
r =x x + y y + z z
r
ρ =x x + y y
x2 + y2=
ρρ
θ =z ρ − ρ z
r
φ =−y x + x y
ρ
d l = dr r + rdθ θ + r sin θ dφ φ
d S = r2 sin θ dθdφ r + r sin θ dφdr θ + r drdθ φ
dV = r2 sin θ drdθdφ
ELETROMAGNETISMO I / IFUSP / AULA 6
• Na aula passada vimos que, em problemas com simetria axial, podemos expandir o potencial em termos dos polinômios de Legendre e suas funções radiais associadas:
• Também aprendemos que os multipolos revelam uma estrutura angular e radial para as fontes e os campos:
Monopolo ( ) :
Dipolo ( ) :
Quadrupolo ( ) :
etc.
• A principal “característica” que permanece em grandes distâncias é o monopolo; mas à medida que nos aproximamos da fonte, o dipolo começa a aparecer; depois, o quadrupolo; e assim por diante.
• Portanto, os detalhes mais “finos”, inomogeneidades, anisotropias, pequenas concentrações de carga aqui e ali, se revelam para nós em termos desses multipolos.
ϕ(r, θ) =∞
∑ℓ=0
(Aℓ rℓ + Bℓ r−1−ℓ) Pℓ(cos θ)
ℓ = 0 ϕ ∼1r
, E ∼1r2
ℓ = 1 ϕ ∼1r2
, E ∼1r3
ℓ = 2 ϕ ∼1r3
, E ∼1r4
Expansão Multipolar
3
+ +
=
+ …
ℓ = 0 ℓ = 1 ℓ = 2
ELETROMAGNETISMO I / IFUSP / AULA 6
• Agora veremos que essa mesma expansão multipolar também pode ser derivada em termos de uma expansão do
potencial de uma carga pontual. Considere uma carga num ponto , cujo potencial num ponto é dado por:
• Podemos expandir a função em termos de ou em termos de , dependendo do problema:
➡ se estamos distantes das cargas e da origem ( ), então usamos e ;
➡ se estamos perto da origem e as fontes estão mais longe, então podemos usar e .
• Vamos supor, por enquanto, que as fontes (cargas) estão próximas da origem, e que estamos distantes de ambas. Então:
que pode ser expandido em Taylor usando .
• Essa série de Taylor nos dá exatamente a série nos polinômios de Legendre, em ambos os casos ( ou ) :
se , e se .
• A única diferença com os resultados que tivemos anteriormente é que essa série multipolar acima ainda está escrita em
termos de uma carga pontual num ponto . Porém, é fácil generalizar esse resultado para qualquer distribuição de cargas ou para condições de contorno genéricas.
r′ r
ϕ( r ) =q
4πϵ0
1| r − r′ |
=q
4πϵ0
1R
1/R r r′
r = 0 1/r r′ /r
1/r′ r /r′
1R
=1
r2 + r′ 2 − 2rr′ cos θ=
1r
1
1 + r′ 2r2 − 2 r′
r cos θr′ /r ≪ 1
r′ /r ≪ 1 r /r′ ≪ 1
1R
=1r ∑
ℓ( r′
r )ℓ
Pℓ(cos θ) r > r′ 1R
=1r′ ∑
ℓ( r
r′ )ℓ
Pℓ(cos θ) r′ > r
r′
4
r′ r
R = r − r′
θ
Expansão Multipolar reload
ELETROMAGNETISMO I / IFUSP / AULA 6
• Vamos agora usar a solução direta em termos de cargas pontuais para resolver um problema com simetria axial .
• Considere um anel muito fino de raio (distância ao eixo , em coordenadas cilíndricas) , com uma carga que está distribuída
homogeneamente nesse anel. Vamos também supor que o anel está a uma altura acima da origem, como mostrado na figura ao lado.
• Vamos primeiro checar qual é o potencial ao longo do eixo . Devido à simetria axial, cada parte desse anel está equidistante de
qualquer ponto , e portanto o potencial é dado por:
, onde , ou
• Se você abrir a série de Taylor em torno de , verá que ela é precisamente a série em polinômios de Legendre, ou seja:
• Agora vamos nos lembrar do seguinte fato: até este momento nosso ponto está no eixo , ou seja, temos e .
• Por outro lado, sabemos da expansão multipolar que esse potencial (com simetria axial) pode ser expresso como:
,
onde se e se
z ρ0 qz0
zr = z z
ϕ =q
4πϵ0
1
r2 + r′ 2 − 2rr′ cos θ0
cos θ0 =z0
z20 + ρ2
0
tan θ0 =ρ0
z0
(r′ /r)
ϕ(r, cos θ = 1) =q
4πϵ0
1r> ∑
ℓ ( r<
r> )ℓ
Pℓ(cos θ0)
z θ = 0 cos θ = 1
ϕ =1
4πϵ0
1r> ∑
ℓ ( r<
r> )ℓ
fℓ Pℓ(cos θ)
r< = r′ , r> = r r′ < r r< = r , r> = r′ r < r′
5
r′ θ0
ρ0z0
r
Expansão Multipolar reload
ELETROMAGNETISMO I / IFUSP / AULA 6
• Ora, ao longo do eixo ( e ) temos que:
• Por outro lado, uma propriedade fundamental dos polinômios de Legendre é que , para qualquer , e assim podemos escrever que:
• Ora, isso significa que a expansão acima já determina todos os coeficientes da solução em termos dos polinômios de Legendre para qualquer ângulo — de fato, os coeficientes são exatamente !
• Portanto, obtemos imediatamente que, para esse anel, em qualquer ponto do espaço ( e quaisquer, com
e ):
• Nós vamos utilizar essa solução para construir outras soluções, para problemas ainda mais interessantes.
z θ = 0 cos θ = 1
ϕ(r, cos θ = 1) =q
4πϵ0
1r> ∑
ℓ ( r<
r> )ℓ
Pℓ(cos θ0)
Pℓ(1) = 1 ℓ
ϕ(r, cos θ = 1) =q
4πϵ0
1r> ∑
ℓ ( r<
r> )ℓ
Pℓ(cos θ0) Pℓ(cos θ = 1)
θ Pℓ(cos θ0)
ρ θρ/z = tan θ r = ρ/sin θ
ϕ =q
4πϵ0
1r> ∑
ℓ ( r<
r> )ℓ
Pℓ(cos θ0)Pℓ(cos θ)
6
r′ θ0
ρ0z0
r
θ
ρ
Expansão Multipolar reload
ELETROMAGNETISMO I / IFUSP / AULA 6
• Digamos que ao invés de um único anel o nosso problema seja de um cone com densidade superficial de carga constante, e disposto de tal forma que a ponta do cone está na origem.
• Podemos pensar nesse cone como uma série de anéis muito finos, com cargas que são proporcionais às suas áreas e circunferências:
• O potencial de cada anel é:
• É útil separar essa integral radial explicitamente em duas partes: (a) se , e portanto ;
e (b) se , portanto .
• Vamos também super que estamos do lado de fora desse cone, numa região não muito distante da origem, de tal forma que possamos ignorar o que acontece com essa integral numa distância muito grande — ou seja, vamos cortar essa integral num raio que é muito maior que a nossa distância para a ponta do cone.
dqanel( r′ ) = σ0 dA′ anel = σ0 2πρ′ dr′ = σ0 2π sin θ0 r′ dr′
dϕanel =dqanel
4πϵ0
1r> ∑
ℓ ( r<
r> )ℓ
Pℓ(cos θ0)Pℓ(cos θ)
⇒ ϕ = ∫ dϕanel =σ0 sin θ0
2ϵ0 ∑ℓ
Pℓ(cos θ0)Pℓ(cos θ)∫ dr′ r′ rℓ<
rℓ+1>
r′ < r r> → r , r< → r′
r′ > r r> → r′ , r< → r
R0
Expansão Multipolar: o efeito ponta
7
r′
ELETROMAGNETISMO I / IFUSP / AULA 6
• Portanto, supondo que o cone só vai até um raio (ou seja, uma altura ) temos:
• Essas integrais podem ser calculadas facilmente, com os resultados:
• Você pode agora substituir essas expressões de volta na série acima para o potencial, e o fato mais interessante que podemos observar é que aparece um termo um tanto esquisito: um termo de dipolo com dependência !
• Para distâncias pequenas, esse termo domina todos os demais, e portanto perto da ponta do cone temos um campo elétrico dado por:
• Esse é um tipo de “efeito ponta": toda vez que colocamos uma carga num condutor que tem uma ponta, o campo elétrico naquela ponta é muito forte — bem mais forte do que onde o condutor é plano ou levemente curvo!
• É por essa razão que as faíscas geralmente saem de alguma ponta, e não do meio de um fio ou outro condutor! [Para mais detalhes, veja o Jackson, Cap. 3.4.]
R0 h = R0 cos θ0
ϕ =σ0 sin θ0
2ϵ0 ∑ℓ
Pℓ(cos θ0)Pℓ(cos θ) × [∫r
0dr′ r′
r′ ℓ
rℓ+1+ ∫
R0
rdr′ r′
rℓ
r′ ℓ+1 ]
ℓ = 0 → R0 −12
r
ℓ = 1 →13
r + r logR0
r
ℓ ≥ 2 →r
ℓ + 2+
rℓ − 1 (1 −
rℓ−1
Rℓ−10 ) ≃
2ℓ + 1(ℓ + 2)(ℓ − 1)
r
r log R0 /r
E ≃ −σ0
2ϵ0sin θ0 cos θ0 log(R0 /r) cos θ r + …
8
r′
Expansão Multipolar: o efeito ponta
ELETROMAGNETISMO I / IFUSP / AULA 6
• Essa discussão toda mostra que podemos usar a expansão multipolar para representar ao mesmo tempo as distribuições de carga e os campos gerados por elas. Por enquanto vamos continuar supondo que temos uma densidade de cargas com simetria azimutal/axial, como mostrado na figura — ou seja, .
• Vamos também supor que estamos interessados na região longe das cargas, portanto temos que e .
Então, para cada elemento de volume da densidade de cargas dos anéis nós temos:
, e portanto:
• Essas integrais definem os multipolos da distribuição de cargas:
(Veja que o multipolo tem dimensões de )
• Em termos desses coeficientes nós temos então o potencial:
ρ = ρ(r, θ)
r> → r r< → r′
dϕ =ρ( r′ )dV′
4πϵ0
1r ∑
ℓ( r′
r )ℓ
Pℓ(cos θ′ )Pℓ(cos θ)
ϕ = ∫ρ( r′ )dV′
4πϵ0
1r ∑
ℓ( r′
r )ℓ
Pℓ(cos θ′ )Pℓ(cos θ)
= ∑ℓ
1rℓ+1
Pℓ(cos θ) ∫∞
0r′ 2dr′ ∫
π
0sin θ′ dθ′ ∫
2π
0dφ′
ρ(r′ , θ′ )4πϵ0
r′ ℓPℓ(cos θ′ )
ρℓ = ∫ d3r′ ρ(r′ , θ′ ) r′ ℓPℓ(cos θ′ ) ℓ q Lℓ−1
ϕ =1
4πϵ0 ∑ℓ
ρℓ
rℓ+1Pℓ(cos θ)
Multipolos físicos
9
r′
r
ELETROMAGNETISMO I / IFUSP / AULA 6
• O multipolo de ordem mais baixa é o monopolo ( ), que expressa a carga total:
• O próximo multipolo é o dipolo ( ), que pode ser expresso como:
Para um par de cargas positiva/negativa separadas por uma distância uma da outra (na direção , claro, para preservar a simetria axial) temos:
• Em geral podemos ter dipolos orientados em qualquer direção, então escrevemos:
, com
ℓ = 0
ρ0 = ∫ d3r′ ρ( r′ )
ℓ = 1
ρ1 = ∫ d3r′ ρ(r′ , θ′ ) r′ 1P1(cos θ′ ) = ∫ d3r′ ρ(r′ , θ′ ) × z′
2dz
ρ1 = ∫ d3r′ [qδ( r′ − d z) − qδ( r′ + d z)] × z′
= q∫ d3r′ [δ(x′ )δ(y′ )δ(z′ − d ) − δ(x′ )δ(y′ )δ(z′ + d )] × z′ = q d − q(−d ) = 2qd
ρ1 = r ⋅ p p = ∫ d3r′ r′ ρ( r′ )
10
r′ r
d
d
p
Multipolos físicos
ELETROMAGNETISMO I / IFUSP / AULA 6
• O multipolo (chamado de quadrupolo) já começa a ficar mais complicado. Temos:
• Veja que podemos escrever, de um modo mais geral:
• Portanto, um quadrupolo genérico pode ser expresso como:
, where
• Note que o monopolo é um escalar, o dipolo é um vetor, mas o quadrupolo não é nem um nem outro…!
• De um modo geral (ou seja, mesmo sem simetria axial) nós podemos interpretar um quadrupolo como se fosse um certo tipo muito especial de vetor.
• Um quadrupolo típico é mostrado nas figuras ao lado: são configurações com cargas e dipolos nulos. O que podemos fazer nesses casos é associar uma direção a esse sistema físico — a direção perpendicular ao plano das cargas, no caso dos exemplos ao lado. Mas note que o sistema não define um sentido a esse vetor.
• Veja também que o quadrupolo tem uma certa simetria sob rotações: ele é invariante por rotações de ( ) ao redor do eixo perpendicular ao plano das cargas, e o sinal desse quadrupolo muda se rodarmos de um ângulo ! Ou seja, podemos convencionar o sentido do quadrupolo como apontando para “cima" ou para “baixo" do plano, dependendo do sinal — de modo similar à convenção que define os produtos vetoriais. Dizemos, então, que o quadrupolo pode ser representado por um vetor axial.
• De fato, os multipolos são invariantes sob rotações de . Mas nós voltaremos a esse assunto mais pra frente…
ℓ = 2
ρ2 = ∫ d3r′ ρ(r′ , θ′ ) r′ 2P2(cos θ′ ) = ∫ d3r′ ρ(r′ , θ′ ) ×12 [3z′ 2 − r ′ 2]
3z′ 2 − r ′ 2 → 3( r ⋅ r ′ )2 − r ′ 2 r ⋅ r =3
∑i, j=1
[3r′ ir′ j − r ′ 2δij] ri rj
ρ2 =3
∑i, j=1
ri rj Qij Qij =12 ∫ d3r′ [3r′ ir′ j − r ′ 2δij] ρ( r ′ )
Qij
π 180∘
π /2
ℓ 2π /ℓ
11
r′ r
Multipolos físicos
ELETROMAGNETISMO I / IFUSP / AULA 6
• Muitas vezes utilizamos o termo “multipolo” com uma certa “liberdade poética”. De fato, temos duas “categorias” distintas:
Multipolos da distribuição de cargas,
Multipolos dos campos/do potencial:
• É claro que o multipolo do campo elétrico é gerado pelo mesmo multipolo da densidade de carga.
• O importante a notar na expansão multipolar é que as dependências angulares do multipolo da densidade carga e do multipolo do campo elétrico são exatamente as mesmas (pelo menos a nível do potencial elétrico), .
• A dependência radial — como cada multipolo decai com a distância — é dada no potencial
pela dependência para o potencial, e para o campo elétrico.
• À medida que nos aproximamos da densidade de cargas, os detalhes da distribuição dessas cargas começam a ficar progressivamente mais aparentes em termos dos campos que elas geram, de um modo que é precisamente caracterizado pelos multipolos!
ρℓ = ∫ d3r′ ρ(r′ , θ′ ) r′ ℓ Pℓ(cos θ′ )
ϕℓ =1
4πϵ0
ρℓ
rℓ+1Pℓ(cos θ)
ℓ ℓ
Pℓ(cos θ)
1/rℓ+1 1/rℓ+2
12
Multipolos das cargas e dos camposℓ = 0 ℓ = 1 ℓ = 2
ELETROMAGNETISMO I / IFUSP / AULA 6
• Até agora consideramos apenas problemas com simetria axial.
• Neste momento é interessante nos perguntarmos o que aconteceria num problema mais geral.
• Vamos retornar à Equação de Laplace em coordenadas esféricas:
• Só que agora vamos admitir que haja dependência com o ângulo azimutal. As soluções usando o método da separação de variáveis devem ser do tipo:
, onde já incluímos o fator de por conveniência.
• Isolando as funções de cada variável temos as equações:
• Note que a estrutura é um pouco diferente do que tínhamos anteriormente: o termo com é, ele mesmo, uma constante (não necessariamente zero!), onde temos de lembrar que essas funções têm de ser periódicas: .
• No caso de simetria axial, não temos dependência em , e a constante de separação .
• Mas de um modo geral, o termo e portanto as funções e não podem ser tão simples quanto tínhamos anteriormente … !
∇2ϕ =1r2
∂∂r (r2 ∂ ϕ
∂r ) +1
r2 sin θ∂∂θ (sin θ
∂ ϕ∂θ ) +
1r2 sin2 θ
∂2 ϕ∂φ2
= 0
ϕ =R(r)
rP(θ) Ψ(φ) 1/r
r2 sin2 θ [ 1R
d2Rdr2
+1
P r2 sin θd
dθ (sin θdPdθ )] +
1Ψ
d2Ψdφ2
= 0
ΨΨ(φ + 2π) = Ψ(φ)
φ Ψ′ ′ /Ψ = 0
Ψ′ ′ /Ψ ≠ 0 R P
Harmônicos esféricos
13
r
• Vamos encontrar a constante de separação para a dependência no ângulo azimutal:
, o que leva diretamente às soluções .
• A periodicidade em implica que podem ser números inteiros.
• Se tomamos , retornamos ao caso da simetria axial. Usando essa correspondência temos, para as funções e , que ficam modificadas do seguinte modo:
,
, onde .
• As funções radiais são as mesmas de antes (leis de potência), mas as funções são um tipo de generalização dos polinômios de Legendre — as chamadas funções associadas de Legendre.
• De modo a ter soluções finitas em , devemos ter e . Assim, temos:
.
1Ψ
d2Ψdφ2
= − m2 Ψ → eimφ
φ m
m = 0R P
d2Rdr2
−ℓ(ℓ + 1)
r2R = 0
ddμ [(1 − μ2)
dPdμ ] + [ℓ(ℓ + 1) −
m2
1 − μ2 ] P = 0 μ = cos θ
P(θ)
μ ∈ [−1,1] ℓ ≥ 0 m = − ℓ, − ℓ + 1,…, ℓ − 1,ℓ
P(θ) → P(m)ℓ (μ) = (−1)m(1 − μ2)m/2 dm
dμmPℓ(μ)
14
r
O fator é por razões “históricas"
(−1)m
Harmônicos esféricos
• As funções associadas de Legendre também obedecem a relações de ortogonalidade:
.
• Note que as funções do ângulo azimutal também são ortogonais:
.
• Isso significa que podemos combinar as duas funções angulares e obter:
• As integrais acima são simplesmente a integral sobre o ângulo sólido,
, e portanto escrevemos:
∫1
−1dμ P(m)
ℓ (μ) P(m)ℓ′ (μ) =
22ℓ + 1
(ℓ + m)!(ℓ − m)!
δℓℓ′
φ
∫2π
0dφeimφe−im′ φ = 2π δmm′
∫1
−1dμ∫
2π
0dφ [eimφ P(m)
ℓ (μ)] [e−im′ φP(m′ )ℓ′ (μ)] =
4π2ℓ + 1
(ℓ + m)!(ℓ − m)!
δℓℓ′ δmm′
∫ dμ∫ dφ = ∫ sin θdθ∫ dφ = ∫ d2Ω
∫d2Ω4π [eimφ P(m)
ℓ (μ)] [e−im′ φP(m′ )ℓ′ (μ)] =
12ℓ + 1
(ℓ + m)!(ℓ − m)!
δℓℓ′ δmm′
15
r
Harmônicos esféricos
• Vamos então normalizar essas funções angulares de um modo mais natural:
Usando essa definição, temos funções que são normalizadas à unidade quando integradas sob o ângulo sólido total:
.
• Esses são chamados de harmônicos esféricos, e são incrivelmente
úteis e versáteis para lidar com uma imensa gama de problemas, desde a Mecânica Clássica, Mecânica Quântica, Óptica, Imageamento em Medicina, Astronomia, Cosmologia… e, claro, em Eletromagnetismo!
• A lista de propriedades, simetrias e relações dessa base de funções angulares é imensa, mas vamos destacar algumas a seguir.
eimφ P(m)ℓ (μ) → (−1)m 2ℓ + 1
4π(ℓ − m)!(ℓ + m)!
eimφ P(m)ℓ (μ) = Y (m)
ℓ (θ, φ)
∫ d2Ω Y (m)ℓ (θ, φ) Y (m′ )*
ℓ′ (θ, φ) = δℓℓ′ δmm′
Y (m)ℓ (θ, φ)
16
0 ℓ1 2 3 4
m
0
Harmônicos esféricos
• Primeiro, a dependência no ângulo azimutal está codificada no índice , e por definição:
.
• Ale’m disso, os harmônicos esféricos também obedecem uma relação de completeza, que significa uma ortogonalidade no espaço das funções, e se manifesta da forma:
• Uma versão limitada dessa relação de completeza envolve apenas o ângulo azimutal:
,
onde , com e sendo os versores que apontam para as posições
angulares e . Em particular, se temos:
m
Y (m)*ℓ (θ, φ) = (−1)mY (−m)
ℓ (θ, φ)
∞
∑ℓ=0
ℓ
∑m=−ℓ
Y (m)*ℓ (θ, φ)Y (m)
ℓ (θ′ , φ′ ) = δ(φ − φ′ ) δ(cos θ − cos θ′ )
ℓ
∑m=−ℓ
Y (m)*ℓ (θ, φ)Y (m)
ℓ (θ′ , φ′ ) =2ℓ + 1
4πPℓ(cos γ)
cos γ = n ⋅ n′ n n′
(θ, φ) (θ′ , φ′ ) n = n′
ℓ
∑m=−ℓ
Y (m)ℓ (θ, φ)
2=
2ℓ + 14π
17
Veja mais visualizações dos harmônicos em http://www-
udc.ig.utexas.edu/external/becker/teaching-sh.html
Harmônicos esféricos
• Vale a pena relembrar as relações entre os harmônicos esféricos e o momento angular, que aparecem, por exemplo, em Mecânica Quântica. Vamos começar com a equação para os harmônicos:
• Em Mecânica Quântica, o momento angular é determinado através do operador:
e, em particular, a projeção do momento angular no eixo (momento angular azimutal) é:
• O momento angular total também pode ser expresso em termos do operador:
• Fica evidente, então, que os harmônicos esféricos são auto-funções dos operadores de momento angular:
, e
ddμ [(1 − μ2)
dY (m)ℓ
dμ ] + [ℓ(ℓ + 1) −m2
1 − μ2 ] Y (m)ℓ = 0
L = − iℏ r × ∇ = Lx x + Ly y + Lz z
z
Lz = − iℏ (x∂∂y
− y∂∂x ) = − iℏ
∂∂ φ
−1ℏ2
L2 = ∇2Ω =
ddμ [(1 − μ2)
ddμ ] +
11 − μ2
d2
dφ2
L2 Y (m)ℓ = ℏ2 ℓ(ℓ + 1)Y (m)
ℓ Lz Y (m)ℓ = ℏ m Y (m)
ℓ
Harmônicos esféricos e momento angular
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Veja mais visualizações dos harmônicos em http://www-
udc.ig.utexas.edu/external/becker/teaching-sh.html
• Um exemplo familiar de uma aplicação dos harmônicos esféricos leva a uma expressão
alternativa para a função :
,
• Agora, lembre-se da relação que encontramos anteriormente:
,
o que leva a:
,
onde, como antes,
e se , e
e se
1/ | x − x ′ |
1| x − x ′ |
= ∑ℓ
rℓ<
rℓ+1>
Pℓ( n ⋅ n′ ) n ⋅ n′ = cos γ
ℓ
∑m=−ℓ
Y (m)*ℓ ( n) Y (m)
ℓ ( n′ ) =2ℓ + 1
4πPℓ( n ⋅ n′ )
1| x − x ′ |
= ∑ℓ,m
4π2ℓ + 1
rℓ<
rℓ+1>
Y (m)ℓ ( n) Y (m)*
ℓ ( n′ )
r< = r′ r> = r r′ < r
r< = r r> = r′ r < r′
Harmônicos esféricos: aplicações
19
xx ′ γ
• O fato dos harmônicos esféricos serem uma base completa, ortogonal e normalizada de funções na esfera significa que podemos expandir qualquer função angular em um conjunto discreto de coeficientes ( ) :
, com os coeficientes dados por:
• Um exemplo legal é a maneira como descrevemos a radiação cósmica de fundo em microondas, que é o banho térmico de radiação (=luz!) que permeia todo o universo, e que nos traz sinais de todas as direções, permitindo medir as condições “iniciais" do cosmos, apenas 400.000 anos após o Big Bang.
S2
ℓ, m
f (θ, φ) =∞
∑ℓ=0
ℓ
∑m=−ℓ
fℓm Y (m)ℓ (θ, φ) fℓm = ∫ d2Ω f (θ, φ) Y (m)*
ℓ (θ, φ)
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Harmônicos esféricos: aplicações
ELETROMAGNETISMO I / IFUSP / AULA 6
Próxima aula:
21
• Exemplos e exercícios: coordenadas esféricas
• Exemplos e exercícios: expansão multipolar
• Leitura:
Griffiths, Cap. 3.3-3.4
Jackson, Caps. 3 e 4