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Disciplina: Fundamentos de Física
Prof. Dr. Fábio de Camargo
Forças e Equilíbrio Estático I
Plano de Ensino
Unidade Conteúdo Programático Concluído
1 Medidas Físicas 100%
2 Sistema Internacional 100%
3 Cinemática Retilínea
4 Leis de Newton
5 Aplicações das Leis de Newton
A Física é a ciência que estuda a natureza e os fenômenos naturais do
Universo.
Mecânica... Estuda o quê?
A física pode ser dividida em algumas áreas:
Mecânica: Estuda o movimento e suas
causas e consequências
Termologia: Estuda o calor
Acústica: Estuda o som
Óptica: Estuda a luz
Eletricidade: Estuda a eletricidade
Física Moderna: Estuda a física após 1900
Física Nuclear: Propriedades básicas dos
núcleos e da também da matéria nuclear
Mecânica:dos corpos rígidos
dos corpos deformáveis
dos fluidos
estática
dinâmica
Princípios da estática: Medições de força
e geometria
• Princípio da alavanca• Estudos de polias• Plano Inclinado• Reações de Apoio e
etc.
Leis de Newton
1ª Lei Inércia (Repouso ou MRU)
3ª Lei Ação e Reação
2ª Lei 𝐹𝑅 = 𝑚. 𝑎 = 𝐹
Mecânica Clássica
Conceitos Fundamentais
1ª Lei de Newton Lei da Inércia
Definição: “Todo corpo continua no estado de repouso ou de movimento
retilíneo uniforme, a menos que seja obrigado a mudá-lo por forças a ele
aplicadas”
tradução do Princípia
Exemplos do Princípio da Inércia no Cotidiano
2ª Lei de Newton
Um ponto material de massa “m” sob a ação de uma força
“F” sofre uma aceleração “a” que tem a mesma direção da
força.
𝐹𝑅 = 𝑚. 𝑎 = 𝐹
𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 +⋯
𝐹𝑅 = 𝐹𝑅𝑥 𝑖 + 𝐹𝑅𝑦 𝑗
𝐹1
𝐹2𝐹𝑅
Força Gravitacional (𝑭𝒈): é a força que
um corpo exerce sobre outro.
Força Peso (𝑷):
𝐹𝐺 = 𝐺𝑀𝑚
𝑟2
Força que a Terra exerce sobre os corpos
“terrestres” sempre orientada para baixo,
em direção ao centro da Terra.
Forças Especiais
𝑭𝑮
𝑴
𝒎
𝒓
𝑃 = 𝑚. 𝑔
onde 𝑔 =𝐺𝑀
𝑟2é a aceleração da gravidade (≅ 9,81 𝑚/𝑠2) e𝑚 a massa do corpo
𝐹𝐺 = 𝐺𝑀𝑚
𝑟2→
onde 𝐺 = 6,67 × 10−11𝑁𝑚2
𝑘𝑔2é a constante da
gravitação universal.
𝑀𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 = 5,97 × 1024𝑘𝑔
𝑅𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 = 6,38 × 106 𝑚
Força Normal (𝑵 ou 𝑭𝑵): Força exercida pela superfície sobre
um corpo na qual ele está apoiado.
A força normal é sempre perpendicular a superfície.
Forças Especiais
Força de Tensão ou Tração: (𝑻): força que atua em cordas e
fios, quando submetidos a uma força externa.
Forças Especiais
Força de Atrito (𝑭𝒂𝒕): força exercida sobre um corpo quando ele
desliza ou tenta deslizar sobre uma superfície.
A força é sempre paralela à superfície e tem o sentido oposto
ao deslizamento.
Força de atrito nula ou
desprezível
Superfície Ideal
Forças Especiais
𝑓𝑎𝑡 = 𝜇𝑁
onde 𝜇 é o coeficiente de atrito e 𝑁 força normal.
Módulo da Força de Atrito:
Força Elástica (𝑭𝒆 ): força exercida por uma mola quando
comprimida ou estendida em relação ao ponto de equilíbrio.
A força elástica sempre será na mesma direção do
deslocamento e porém em sentido contrario.
Forças Especiais
𝐹 = − 𝑘∆𝑥
onde 𝑘 é a constante
elástica da mola e ∆𝑥 o
deslocamento em relação
ao ponto de equilíbrio.
Módulo da Força Elástica:
3ª Lei de Newton Lei da Ação e Reação
Definição: A toda ação existe uma reação com a
mesma intensidade, direção e sentido oposto. As forças atuam em corpos separados
𝑓𝑎𝑡
𝑃
− 𝑃
−𝑓𝑎𝑡
Exemplos
Quando aplica-se uma força sobre um corpo um dos efeitos é
alterar suas dimensões ou sua forma; outro é modificar seu
estado de movimento.
Movimento
Rotação
Translação
+
Uma única força pode
alterar tanto o movimento
de translação quanto de
rotação.
Força Aplicada ao Corpo
Quando várias forças são aplicadas simultaneamente, seus efeitos podem ser
cancelados não ocorrendo mudança nem na translação nem na rotação.
EQUILÍBRIO
Corpo em equilíbrio
Estático (corpo em repouso, parado)
Dinâmico (corpo em movimento, MRU v = constante)
Ponto encontra-se em
equilíbrio estático
satisfaz a equação:
𝑅23𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 = 0
Diversas Forças Aplicadas
Translação + Rotação:
↓
Se o corpo se movia, haverá
alteração no movimento de
translação (em módulo) ou
direção (ou ambas)
↓
Aumento ou diminuição no
movimento de rotação
𝐹1
ACM
Movimentos: Translação e Rotação
𝐹1
𝐹2
A
C
Linhas de ação não coincidem↓
Equilíbrio translacional mas não rotacional
Mesma linha de ação:
↓
Equilíbrio pode ser mantido
↓
Se 𝐹2 = − 𝐹1
𝐹1 + 𝐹2 = 0
↓
𝐹𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 = 𝐹1- 𝐹1 = 0
𝐹𝑅 = 0
𝐹1
𝐹2
Translação e Rotação
Generalizando:
A afirmação de que um corpo está em equilíbrio completo, quando ambas
condições são satisfeitas constitui a essência da 1ª Lei de Newton (Inércia)
2ª condição de equilíbrio forças não podem tender a
girar o corpo
𝐹𝑅 = 𝐹 = 0
1ª condição de equilíbrio representada por:
𝐹𝑅 = 𝐹𝑥 𝑖+ 𝐹𝑦 𝑗
𝐹𝑥 = 0
𝐹𝑦 = 0
As componentes
devem ser nulas
Equilíbrio
Exemplo: Forças aplicadas
B
A
𝐹
A
𝐹𝑇
𝑃𝐴
𝑁𝐴𝐵
𝑃𝐵
𝑁𝐵𝐴𝑁𝐵
𝑇 𝑓𝑎𝑡𝐵𝐴
𝑓𝑎𝑡𝐴𝐵
𝑓𝑎𝑡𝐵
B−𝑁𝐵
− 𝑓𝑎𝑡𝐵
𝐹𝑃
𝐹1
𝑁
𝑓𝑎𝑡
𝑃𝐴
Condição de Equilíbrio:↓
Em y (vertical):𝑁 − 𝑃𝐴 = 0
𝑁 = 𝑃𝐴
Em x (horizontal):F1 – fat = 0
F1 = fat
Força Peso 𝑃 = 𝑚. 𝑔, onde g = 9,8 m/s2
Força Normal sempre normal a superfície!!!!
Força de atrito 𝑓𝑎𝑡 = 𝜇 .𝑁 Coeficiente de atrito
estático
dinâmico
Exemplo: Condição Equilíbrio
Condição Equilíbrio
Equilíbrio de uma Partícula:
Regras (ou “Receita de Bolo”):
1-) Fazer esquema do aparelho ou estrutura analisado, mostrando
dimensões e ângulos.
2-) Selecionar um corpo como a partícula em equilíbrio, traçar um diagrama
separadamente (DCL – diagrama de corpo livre), onde todas as forças
aplicadas ao corpo são representadas por meio de setas (vetores).
3-) Traçar um sistema de eixos retangulares (cartesiano) e decompor
quaisquer forças inclinadas em suas componentes retangulares.
4-) Realizar a soma algébrica (separadamente) de todas as componentes
em x e em y, anulando as forças quando possível.
5-) Cálculo de forças, ângulos, distâncias etc.
1-) O lustre de massa igual a 10,20 kg é sustentado por uma corda ideal que é
presa ao teto. Calcule a força de tração que mantém o sistema em equilíbrio.
Considere g = 9,8 m/s2.
Exemplo:
𝑇1
𝑃1
−𝑇2
−𝑇1
𝑇2
Exemplo: Resolução
1-) O lustre de massa igual a 10,20 kg é sustentado por uma corda ideal que é
presa ao teto. Calcule a força de tração que mantém o sistema em equilíbrio.
Considere g = 9,8 m/s2.
T1 = P1
P1 = 100 N
T1 = 100 N
T2 -T1 = 0
T2 = 100 N−𝑇1
𝑇2
Exemplo: Resolução
𝑇1
𝑃1
2-) Uma placa de peso P está pendurado por uma corda amarrada em O a duas
outras: uma presa no teto e a outra na parede. Deseja-se encontrar as tensões
nas três cordas, supondo o peso de cada uma delas desprezível.
Exemplo:
Loja
60o
𝑇1
𝑇3
𝑇2O
𝑇2
𝑇1
𝑇3𝑥
𝑇3𝑦
𝑇2 = 𝑇3𝑥
𝑇1 = 𝑇3𝑦
Loja
𝑃
𝑇1
𝑇1+ −𝑃 = 0
𝑇1 = 𝑃
Exemplo: Resolução
2-) Uma placa de massa 70 kg está pendurada por uma corda amarrada em O a
duas outras: uma presa no teto e a outra na parede. Deseja-se encontrar as
tensões nas três cordas, supondo o peso de cada uma delas desprezível.
Loja
60o
𝑇1
𝑇3
𝑇2O
Mplaca = 70 kg
𝑇3𝑥
𝑇3𝑦𝑇3
60o
Em x:
𝑇3𝑥 = 𝑇2
𝑇3𝑥 − 𝑇2 = 0
𝑇3 cos 60º - 𝑇2 = 0
Em y:
𝑇3 sen 60º - 𝑇1 = 0
Fx = 0
Fy = 0
Seja g = 9,8m/s2 e mplaca = 70 kg, determine os valores de todas as
variáveis para que o sistema continue em equilíbrio.
Resp.: T1 = 686 N, T2 = 396,06N, T3 = 792,12 N, P = 686N
Exemplo: Resolução
3-) O bloco A de massa m1 = 61,22 kg repousa sobre um plano inclinado
de ângulo = 30o, sem atrito. Uma corda flexível é presa ao centro da face
esquerda do corpo, passa por uma roldana também sem atrito e é ligada a
um segundo bloco de massa m2. Determine a massa do bloco B e a força
normal atuante no sistema, para que o sistema mantenha-se em equilíbrio.
Adote: g = 9,8 m/s2.
m1
m2
Exemplo:
Resp.: N1 = 519,58 N, m2 = 30,61 kg
4-) Determine as intensidades de F1 e F2 de modo que o ponto material P
esteja em equilíbrio.
𝐹1 𝐹2
𝐹3 (400 N)
30o
60o
30oP
Exemplo:
Resp.: F1 = 461,88 N, F2 = 230,94 N
5-) Determine a tensão nos cabos AB e AD para que ocorra o equilíbrio do
motor de 250 kg mostrado abaixo. Adote: g = 9,8 m/s2.
𝐷
𝐶
𝐵
𝐴 42o
Exemplo:
Resp.: TAB = 3661,47 N, TAD = 2721,00 N
6-) Determine a intensidade e o ângulo de F de modo que o ponto
material esteja em equilíbrio.
F
7,5 kN
30o
60o
2,0 kN
4,5 kN
Resp.: F 10,97 kN e 48,6o
Exemplo:
7-) Determine a força necessária na corda AB para suportar os livros cuja
massa é de 5 kg, sabendo que = 30º e que a força F aplicada sobre a
corda BC = 16N.
B
𝐶𝐴
Exemplo:
Resp.: TAB 43,28 kN e 71,33o
8-) Determine o valor da força T3 e o ângulo que ela forma em relação a y
de modo que o sistema permaneça em equilíbrio.
200 𝑁
30o
T3
150 𝑁
Exemplo:
Resp.: T3 104,67 N e 44,2o
9-) A obra de arte de um artista plástico, que busca conscientizar a
população da importância do uso da bicicleta como meio de transporte e o
respeito à vida, será exposto no Museu de Arte Moderna de São Paulo
empregando cabos de aço, conforme mostra o diagrama abaixo.
Considerando estes cabos ideais e sabendo-se que a massa da obra de
arte é de 25 kg qual será a tensão que cada cabo
suportará? Use g = 9,8 m/s2.
Exemplo:
Resp.: T1 104 N e T2 231 N
10-) Veja o esquema abaixo e calcule as trações em cada fio.
Considerando g = 9,8 m/s2 pode-se afirmar que as tensões T1, T2 e T3 em
cada fio e a massa m que mantém o sistema em equilíbrio são
respectivamente:
a-) 33,9 N, 58,8 N, 33,9 N e 3,5 kg.
b-) 33,9 N, 33,9 N, 58,8 N e 3,2 kg.
c-) 58,8 N, 33,9 N, 33,9 N e 3,2 kg.
d-) 30,1 N, 60,2 N, 30,1 N e 3,4 kg.
Resp: a
Exemplo:
11-) Dois blocos com massas m1 = 15 kg e m2 = 30 kg encontram-se um
sobre o outro e o conjunto formado pelos dois blocos está apoiado sobre
uma mesa, conforme mostra a figura abaixo. Nesta situação e
considerando g = 9,8 m/s2, os módulos das reações normais a superfícies
dos blocos 1 e 2 são respectivamente:
a-) 147 N e 294 N.
b-) 300 N e 150 N.
c-) 147 N e 441 N.
d-) 150 N e 450 N.
Resp: c
Exemplo:
Exemplo:
12-) Os blocos de pesos P = 30 N e Q encontram-se em equilíbrio com a
ajuda de fios e polia ideais. É conhecido o ângulo = 30º.
Pedem-se:
a-) o peso Q;
b-) a tração no fio AB.
Exemplo: Resolução
12-) Resolução:Equilíbrio dos Blocos:
P
𝑇1
𝑃𝑃
Bloco P:
T1 - PP = 0
T1 = PP
T1 = 30 N
Bloco Q:
T2 - PQ = 0
T2 = PQ (I)
Q
𝑇2
𝑃𝑄
Dados:
= 30o
PP = 30 N
PQ = ?
Equilíbrio do Nó:
Em x:
T2 – Tx = 0
T2 = Tx
T2 = T cos 30º
T2 = T . 0,866 (II)
Exemplo: Resolução
Equilíbrio do Nó:
Em y:
Ty – T1 = 0
Ty = T1
T sen 30º = T1
T . 0,5 = T1
mas = T1 = 30 N
1,22 T2 (I)
T . 0,5 = 30
T = 30 / 0,5
T = 60 N
Retomando a eq. (II):
T2 = T . 0,866
T2 = 60 . 0,866
T2 = 51,96 N
Retomando a eq. (I):
T2 = PQ
PQ = 51,96 N
Exemplo:
13-) Os blocos de pesos P e Q = 100 N estão em equilíbrio conforme figura
anexa. Os ângulos são conhecidos: = 45º e = 60º. Pedem-se:
a-) o peso de P;
b-) a tração no fio AC.
Exemplo: Resolução
13-) Resolução:
Bloco P:
T - PP = 0
T = PP
P
𝑇
𝑃𝑃
Dados:
= 60o
= 45o
PQ = 100 N
PP = ?
Bloco Q:
T2 - PQ = 0
T2 = PQ
T2 = 100 N
Q
𝑇2
𝑃𝑄
Equilíbrio do Nó:
Em x:
T2x – T1x = 0
T2x = T1x
T1 cos 45º = T2 cos 30º
T1 0,707 = T2 0,866
T1 1,22 T2
Sabe-se que T2 = 100N
Logo: T1 = 1,22 . 100
T1 122 N
Equilíbrio dos Blocos:
𝑇2𝑦
𝑇
𝑇1𝑥 𝑇2𝑥c
𝑇1𝑦
𝑇1 𝑇2
Exemplo: Resolução
Equilíbrio do Nó:
Em y:
T1y + T2y – T = 0
T1y + T2y = T
T1 sen 45º + T2 sen 30º = T
T1 0,707 + T2 0,5 = T
mas T1 = 122 N e T2 = 100 N
122 . 0,707 + 100 0,5 = T
86,62 + 50 = T
T = 136,62 N
Exemplo:
14-) O bloco de peso P = 50 N, é sustentado por dois outros blocos de
pesos iguais Q = 29 N, através de fios e polias ideais.
Observe a figura que representa o diagrama deste esquema e determine:
a-) as trações nos fios;
b-) a altura y;
c-) o ângulo
Exemplo: Resolução
14-) Resolução: Equilíbrio dos Blocos:
Dados:
PQ = 29 N Trações ?
PP = 50 N y (altura) = ?
= ?
Q
𝑇1
𝑃𝑞
Q
𝑇2
𝑃𝑄
P
𝑇
𝑃𝑃
Bloco Q:
T1 - Pq = 0
T1 = Pq
T1 = 29 N
Bloco Q:
T2 - Pq = 0
T2 = Pq
T2 = 29 N
Bloco P:
T - PP = 0
T = PP
T = 50 N
Exemplo: Resolução
Equilíbrio do Nó:
Em y:
T1y + T2y – PP = 0
T1y + T2y = PP
T1 sen + T2 sen = PP
29 sen + 29 sen = PP
2 . 29 sen = 50
58 sen = 50
sen =50
58
sen = 0,862
= arc sen 0,862
= 59,55o
Cálculo da altura (y):
tg = 𝑐𝑜
𝑐𝑎
tg = 𝑦
2,0
tg 59,55o =𝑦
2,0
Y = 2,0 . tg 59,54º
Y = 2,0 . 1,7
Y = 3,4 m
y
2,0 m
Exemplo:
15-) Três corpos, em equilíbrio estático, sustentam-se mutuamente,
interligados através de três fios amarrados entre si pelo nó A. Sabe-se o
peso do corpo 1, P1 = 500 N.
Considere o sistema de polias e fios como ideais. Calcule o peso dos outros
dois corpos.
Exemplo: Resolução
15-) Resolução:
Dados:
P1 = 500 N
P2 = ?
P3 ? 1
𝑇2
𝑃1
Bloco 1:
T2 – P1 = 0
T2 = P1
T2 = 500 N
Equilíbrio dos Blocos:
2
𝑇1
𝑃2
Bloco 2:
T1 – P2 = 0
T1 = P2
3
𝑇3
𝑃3
Bloco 3:
T3 – P3 = 0
T3 = P3
Exemplo: Resolução
Equilíbrio do Nó:
Em x:
T3x – T1x = 0
T3 cos 37 - T1 cos 53 = 0
T3 0,8 - T1 0,6 = 0
T3 0,8 = T1 0,6
T3 = T1 0,75
Em y:
T3y + T1y – T2 = 0
T3 cos 53 + T1 cos 37 - T2 = 0
T3 cos 53 + T1 cos 37 = T2
T3 0,6 + T1 . 0,8 = T2
mas T3 = T1 0,75
T2 = 500 N
(T1 0,75 ) 0,6 + T1 . 0,8 = 500
1,25 T1 = 500
T1 = 400 N
mas como: T3 = T1 0,75
T3 = 400 . 0,75
T3 = 300 N
Como T1 = P2
P2 = 400 N
T3 = P3
P3 = 300 N
Exemplo:
16-) O cilindro de peso P = 400 N, está apoiado em uma superfície
horizontal, lisa, sendo mantido em equilíbrio com a ajuda de dois blocos de
pesos M = 200 N e Q = 400 N.
Determine o ângulo e a reação do apoio horizontal.
Exemplo: Resolução
Dados:
PQ = 400 N
PP = 400 N
M = 200 N
= ?
N = ?
16-) Resolução:
𝑃𝑃
𝑇2
𝑇2𝑥
𝑁 𝑇2𝑦
Equilíbrio dos Blocos:
M
𝑇1
𝑃𝑀
Bloco M:
T1 - PM = 0
T1 = PM
T1 = 200 N
Q
𝑇2
𝑃𝑄
𝑇1
Bloco M:
T2 - PQ = 0
T2 = PQ
T2 = 400 N
Exemplo: Resolução
Equilíbrio do Nó:
Em x:
T2x - T1 = 0
T2x = T1
T2x = 200 N
mas T2x = T2 cos
200 = T2 cos
mas T2 = 400
200 = 400 cos
cos =200
400
cos = 0,5
= arc cos 0,5
= 60o
T2y
T2x
Em y:
T2y + N - PP = 0
T2y + N = PP
T2 sen 60 + N = 400
400 0,866 + N = 400
346,41 + N = 400
N = 400 – 346,41
N =53,59 N
Exemplo:
17-) A esfera de peso P = 50 N encontra-se em equilíbrio, apoiada numa
superfície vertical lisa e sustentada por um fio que forma um ângulo
= 30º com a vertical. Analise a figura e determine a tração do fio e a
reação da parede.
Exemplo: Resolução
Dados:
P = 50 N
= 30o
T = ?
N = ?
17-) Resolução:
𝑇1𝑦
𝑇1𝑥
1
𝑁
𝑃
Em y:
T1y – P = 0
T1y = P
T1 sen 60 = P
T1 0,866 = P
T1 0,866 = 50
T1 = 57,74 N
Em x:
N - T1x = 0
N = T1x
N = T1 cos 60o
N = T1 . 0,5
N = 57,74 . 0,5
N = 28,87 N
30o
60o