Post on 01-Dec-2018
Técnico de Nível Médio
Subsequente em Geologia
Aula 2Trigonometria no Triângulo Retângulo
Professor Luciano Nóbrega
1
ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
2www.professorlucianonobrega.wordpress.com
A
C
B
a
b
c
a
b
c
ß
Lembre-se: A soma das medidas dos ângulos internos de qualquertriângulo resulta sempre em 180º.
Razões Trigonométricas
3
4
5
TERNA PITAGÓRICA
Este triângulo merece um destaque ESPECIAL.
Observe que as medidas dos seus lados, atende ao TEOREMA DE PITÁGORAS:
Se multiplicarmos as medidas dos lados deste triângulo por um mesmo número real positivo diferente de 1, obteremos outro triângulo retângulo semelhante a este.
8
10
6
2,5
2
1,5
α
Vamos fazer algumas comparações nesses três triângulos sobrepostos:
_cateto oposto ao ângulo α_
hipotenusa
= 0,6
_cateto adjacente ao ângulo α_
hipotenusa
_cat. op. a α_
cat. Adj. a α
3www.professorlucianonobrega.wordpress.com
Razões Trigonométricas
A
C
B
a
b
c
a
seno do ângulo B =
seno de um ângulo =
seno do ângulo C =
sen B = /
sen C = /
4www.professorlucianonobrega.wordpress.com
EXEMPLO: Sendo a = 5, b = 4 e c = 3, determine sen B e sen C.
Razões Trigonométricas
A
C
B
b
c
acosseno do ângulo B =
cosseno de um ângulo =
cosseno do ângulo C =
cos B = /
cos C = /
5www.professorlucianonobrega.wordpress.com
EXEMPLO: Sendo a = 5, b = 4 e c = 3, determine sen B e cos C.
Em seguida, determine sen C e cos B.
Razões Trigonométricas
A
C
B
b
c
atangente do ângulo B =
tangente do ângulo C =
tangente de um ângulo =
tg B = /
tg C = /
6www.professorlucianonobrega.wordpress.com
EXEMPLO: Sendo a = 5, b = 4 e c = 3, determine tg B e tg C.
Consequências das definições
A
C
B
a
b
c
a
b
c
sen B =
tg C =
cos B = cos C =
sen C =
tg B =
1ª CONSEQUÊNCIA - Como B e C são ângulos complementares,
podemos observar que o seno de um é igual ao cosseno do outro;
2ª CONSEQUÊNCIA - Observamos também que a tangente de um
ângulo é igual ao inverso da tangente do outro.
7www.professorlucianonobrega.wordpress.com
Consequências das definições
A
C
B
a
b
c
a
b
c
3ª CONSEQUÊNCIA
(Relação fundamental da trigonometria)
sen²α + cos²α = 1DEMONSTRAÇÃO:
sen B =
cos B =
Elevando os membros ao quadrado:
Somando as duas equações:
Desenvolvendo o 2º menbro: sen² B + cos² B =
sen² B + cos² B =
sen² B + cos² B = ²Ora, mas b2 + c2 = a2 (Teorema de Pitágoras), então:
4ª CONSEQUÊNCIA
DEMONSTRAÇÃO:
sen B =
cos B
sen B =
cos B
sen B =
cos B
8www.professorlucianonobrega.wordpress.com
Ângulos Notáveis
Razões Trigonométricas do ângulo de 45º
A B
CDsen 45º = sen 45º =
Considere o quadrado ABCD, com lado de medida ℓ.
ℓ
ℓ
d =
A diagonal AC desse quadrado mede d = .
Destaquemos do quadrado o triângulo ABC.
Temos:
45º
sen 45º =
cos 45º =
tg 45º = tg 45º =
Observe que os valores das razões trigonométricas
não dependem da medida do lado do quadrado.
9www.professorlucianonobrega.wordpress.com
Ângulos Notáveis
Razões Trigonométricas do ângulo de 30º
Considere agora o triângulo eqüilátero ABC, com lado de medida ℓ .
A
B C
ℓ
A altura AH do triângulo mede h = .
H.
h
Destaquemos do ABC o AHC.
Temos:
sen 30º =
30º
ℓ2
sen 30º = sen 30º =
cos 30º = cos 30º = cos 30º =
tg 30º = tg 30º =
tg 30º =
10www.professorlucianonobrega.wordpress.com
Ângulos Notáveis
Razões Trigonométricas do ângulo de 60º
Destaquemos novamente o AHC, temos:
cos 60º = cos 60º = cos 60º =
sen 60º = sen 60º = sen 60º =
tg 60º = tg 60º =
tg 60º =
A
B C
ℓ
H.
h
60º
ℓ2
11www.professorlucianonobrega.wordpress.com
Resumo
Vamos colocar numa tabela os valores encontrados:
Ângulo 30º 45º 60º
seno
cosseno
tangente
Música Dos Ângulos Notáveis
“1, 2, 3... 3, 2, 1...
Coloca o “2” embaixo de todo mundo
E raiz onde não tem “1”3, 1, 3... Coloca raiz no “3”
E divide o primeiro por 3”
www.professorlucianonobrega.wordpress.com
12
10 – (UFRN) Observe a figura a seguir e determine a altura “h” do
edifício, sabendo que AB mede 25m e cos Θ = 0,6 .
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
GA
BA
RIT
O: 1
0) 2
0 m
11 – (UFCE) Em certa hora do dia, os
raios do Sol incidem sobre um local plano
com uma inclinação de 60º em relação à
horizontal. Nesse momento, o
comprimento da sombra de uma
construção de 6m de altura será,
aproximadamente:
A) 10,2 m B) 8,5 m C) 5,9 m
D) 4,2 m E) 3,4 m
www.professorlucianonobrega.wordpress.com
13
12 – (UFPA) A figura representa um barco atravessando um rio, partindo de A
em direção ao ponto B. A forte correnteza arrasta o barco em direção ao ponto
C, segundo um ângulo de 60º. Sendo a largura do rio de 120m, a distância
percorrida pelo barco até o ponto C, é:
A) 240 √3 m B) 240 m C) 80 √3 m
D) 80 m E) 40 √3 m
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
15 – (UFPA) Para permitir o aceso a um monumento que está em um
pedestal de 2m de altura, vai ser construída uma rampa
com inclinação de 30 com o solo, conforme a ilustração.
O comprimento da rampa será igual a:
A) √3/2 m B) √3 m C) 2 m D) 4 m E) 4√3 m
www.professorlucianonobrega.wordpress.com
14
13 – No triângulo retângulo abaixo, qual é o valor do cosseno de  ?
X
10cm8cm
Â
GA
BA
RIT
O: 1
3) 3/5
1
4) 6
m
14 – Uma escada de 12m de comprimento esta apoiada em um prédio
fazendo com este um ângulo de 60º. Qual é a altura do prédio?
15
16 – (UFRN) Um observador, no ponto O da figura, vê um
prédio segundo um ângulo de 75°. Se esse observador
está situado a uma distância de 12m do prédio e a 12m
de altura do plano horizontal que passa pelo pé do prédio,
então a altura do prédio, em metros, é:
A) 4(3 + √3). B) √3. C) √3/2.
D) 6(√2 + 2). E) ½.
TESTANDO OS CONHECIMENTOS
17 – (UFRS) Uma torre vertical é presa por
cabos de aço fixos no chão, em um terreno
plano horizontal. Se A está a 15m da base B
da torre e C está a 20m de altura,
comprimento do cabo AC é:
A) 15 m B) 20 m C) 25 m
D) 35 m E) 40 m
www.professorlucianonobrega.wordpress.com
15
18 – Uma pessoa na margem de um rio vê, sob um ângulo de 60º, o topo de
uma árvore na margem oposta. Quando ela se afasta 40 metros
perpendicularmente à margem do rio, esse ângulo é de 30º.
a) Qual a largura do rio? b) Qual a altura da árvore?
GA
BA
RIT
O: 1
8) a
) 20
m b
) 20
√3
Vá correndo acessar...
Você só paga R$ 5,00
(Brincadeirinha... É de graça!)