Post on 21-Nov-2015
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CONTROLE DIGITAL
SINAIS E SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO
Jaime Alex Boscov
OBJETIVOS GERAIS
Apresentar os conceitos relacionados a sinais e sistemas em tempo discreto
Apresentar os conceitos de sinais e sequencias Descrever e definir sistemas em tempo discreto Apresentar as caractersticas principais de sistemas em
tempo discreto, como causalidade, invarincia no tempo e linearidade.
OBJETIVOS ESPECFICOS
BIBLIOGRAFIA
OPPENHEIM, Alan V; SCHAFER, Ronald W. Discrete-Time Signal Processing . 3. ed., Pearson, 2009.
OGATA, Katsuhiko. Discrete-Time Control Systems . 2. ed., Prentice Hall, 1995.
SINAL
REPRESENTA O COMPORTAMENTO DE ALGUM SISTEMA FSICO
REPRESENTADO MATEMATICAMENTE ATRAVS DE FUNES DE UMA OU MAIS VARIVEIS INDEPENDENTES
PROCESSAMENTO DE SINAIS
Representao,
Transformao e
Manipulao de sinais e de informaes contidas em sinais
TIPOS DE SINAIS
ANALGICOS (CONTNUOS)
TIPOS DE SINAIS
DISCRETOS(DIGITAIS)
REPRESENTAO DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO
SEQUENCIAS
x = {x[n]} - < n < , n inteiro
OBTENO DE SEQUENCIAS A PARTIR DE AMOSTRAGEM DE UM SINAL:
x[n] = xa(nT) - < n < , T = perodo de
amostragem
REPRESENTAO GRFICA
REPRESENTAO DE UMA VARIVEL NA FORMA DE UM SINAL CONTINUO E UM SINAL DISCRETO
OUTRO EXEMPLO
SINAIS DISCRETIZADOS COM DIFERENTES PERODOS DE AMOSTRAGEM
SINAL ANALGICOSINAL DISCRETIZADO
Operaes bsicas
Soma: soma amostra a amostra
Exemplo:
{3, 6, 8, 2, 4} + {5, 1, 0, 0, 1} = {8, 7, 8, 2, 5}
Multiplicao: multiplica amostra a amostra
Exemplo:
{3, 6, 8, 2, 4} x {5, 1, 0, 0, 1} = {15, 6, 0, 0, 4}
Multiplicao por um escalar: multiplica todas as amostras
Exemplo:
2 x {3, 6, 8, 2, 4} = {6, 12, 16, 4, 8}
Operaes bsicas
Deslocamento
Deslocamento ou atraso de uma sequencia:[] = [ 0]
Onde 0 um nmero inteiro.
[]
[] = [ 3]
SEQUENCIAS BSICAS
Impulso unitrio:
= 0, 0 = 1, =0
SEQUENCIAS BSICAS
Degrau unitrio:
= 1, 0 = 0,
Degrau unitrio
Pode ser interpretado como uma sequencia de impulsos deslocados.
= + 1 + 2 + 3 +...
=
Impulso
Pode ser interpretado como a subtrao de dois degraus deslocados
= 1
1
SEQUENCIAS BSICAS
=
Exponencial
Se 0 < < 1 > 0 !#$!%!&' ( %
Se > 1 ! ( %
SEQUENCIAS BSICAS
=cos( + )
Senoidal
SEQUENCIAS BSICAS
=cos( + )
Senoidal
Sinal peridico
Sinal peridico em tempo continuo:
% = % + 0 , 0operodofundamental
cos(% + )= cos(% + =>? + )
Sinal peridico em tempo discreto:
= + @ , #(%$'$#(@!%!($
cos( + )= cos ( + @) + cos( + )= cos + @) + Portanto
@ = 2(
=2( @
A discretizao de um sinal peridico no necessariamente cria um outro sinal peridico
A discretizao de um sinal peridico no necessariamente cria um outro sinal peridico
SEQUENCIAS
QUALQUER SEQUENCIA PODE SER REPRESENTADA PELA SOMA DE IMPULSOS ESCALADOS E DESLOCADOS NO TEMPO
= B [ ]C
COMBINAO DE SEQUENCIAS
EXEMPLO: exponencial que = 0 para n
SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO
TRANSFORMAO OU OPERAO QUE
MAPEIA UMA SEQUENCIA DE ENTRADA {x[n]} EM UMA SEQUENCIA DE SADA {y[n]}
y[n] = T{x[n]}
SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO
Sistemas em tempo discreto
Delay (atraso) ideal:
= F , < <
[]
[] = [ 3]
Acumulador:
= H
C
CARACTERSTICAS
QUANTO A MEMRIA
Sem memria: y[n] = T (x[n]), para cada valor de n
Ex: y[n] = x[n]
y[n] = 2x[n]
Com memria: y[n] = T (x[n], x[n-1], x[n-2],...)
Ex: y[n] = 2x[n] + x[n-1]
LINEARIDADE
Sistemas Lineares atendem ao principio da superposio.
seja y1[n] e y2[n] respostas de um sistema para as entradas x1[n] e x2[n]. O sistema linear se :
T{x1[n] + x2[n]} = T{x1 [n]} + T{x2[n]} = y1 [n] + y2 [n]
e
T{ax[n]} = aT{x[n]} , onde a uma constante
LINEARIDADE T{ax1 [n] + bx2[n]} = aT{x1 [n]} + bT{x2 [n]} , a e b
constantes
LINEARIDADE
EXEMPLOS
Ex. sistema linear: y[n] = 2x[n] + x[n-1] x[n-2]
Ex. sistema no linear: y[n] = 2(x[n])
SISTEMAS INVARIANTES NO TEMPO
UM DESLOCAMENTO (DELAY) NA SEQUENCIA DE ENTRADA CAUSA O MESMO DESLOCAMENTO NA SEQUENCIA DE SADA
seja y[n] = T{x[n]}
se x1[n] = x[n-n0], n0 inteiro positivo
ento y1[n] = y[n-n0]
CAUSALIDADE
UM SISTEMA CAUSAL SE A SADA EM UM INSTANTE n0 S DEPENDE DE ENTRADAS EM INSTANTES n n0
UM SISTEMA NO ANTECIPATIVO
Ex. sistema causal: y[n] = 2x[n] + x[n-1] x[n-2]
Ex. sistema no causal: y[n] = 2x[n] + x[n+1] x[n-2]
ESTABILIDADE
UM SISTEMA ESTVEL SE PARA QUALQUER ENTRADA FINITA, A SADA TAMBM SER FINITA.
Sequencia finita: |x[n]| Bx < para todo n, onde Bx finito e
positivo
Sendo y[n] = T {x[n]} ento
|y[n]| By < para todo n, onde By finito e positivo
ESTABILIDADE
Exemplos sistema estveis:
y[n] = 2x[n] + x[n-1]
y[n] = 2(x[n] )
Exemplos sistemas instveis:
Exerccio
Classifique os seguintes sistemas quanto a memria, invarincia no tempo, linearidade, causalidade e estabilidade
1. y[n]=x[n+1]+x[n+2], -
SISTEMAS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO
PODE SER COMPLETAMENTE CARACTERIZADO PELA SUA RESPOSTA AO IMPULSO UNITRIO
SISTEMAS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO - LTI
= [ ]C (seq. genrica)
SISTEMAS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO - LTI
= [ ]C (seq. genrica)
= 0 I C
SISTEMAS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO - LTI
= [ ]C (seq. genrica)
= 0 I C (linearidade)
= 0{I C }
LTI
Sequenciagenrica: = H 0{I
C}
Sendo =T{[]}
=T{[ ]}(invarincianotempo)
LTI
Sequenciagenrica: = H U{V W X
C}
Como =T{[ ]}(invarincianotempo)
= C
= (somadeconvoluo)
Convoluo
Cada amostra na entrada produz uma sada equivalente ao valor da amostra multiplicado pela resposta do sistema ao impulso unitrio.
A sada do sistema equivale a superposio dessa sadas
Convoluo
Convoluo
*
Convoluo
Convoluo
Exerccio
Considere um sistema LTI cuja resposta ao impulso unitrio seja
= 1 +2 , onde o impulso unitrio
1. Desenhe h[n]
2. Desenhe a entrada = [ 2], onde u[n] o degrau unitrio.
3. Faa a convoluo
Propriedades - Convoluo
Comutativa: = *
Distributiva na adio:
(\ + ] ) = \ + ]
Propriedades - Convoluo
Sistemas em cascata
Sistemas paralelos
Estabilidade de um sistema em tempo discreto
Um sistema estvel se, e somente se, sua resposta ao impulso unitrio absolutamente somvel, ou seja:
|[]| < C
Causalidade de um sistema em tempo discreto
Um sistema causal se sua resposta no depende de valores futuros da entrada, ou seja
= 0, < 0
Exerccio
Considere um sistema LTI cuja resposta ao impulso unitrio seja
= 1 +2 , onde o impulsounitrio1. Desenhe h[n]2. Desenhe a entrada = [ 2],
onde u[n] o degrau unitrio.3. Faa a convoluo 4. Classifique o sistema quanto a causalidade e
estabilidade.